Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 1
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 3. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ......................................................................... 3
DẠNG 1. KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG ................................................................................ 4
DẠNG 2. KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU .................................................................................. 18
DẠNG 3. KHỐI LĂNG TRỤ XIÊNG .............................................................................. 23
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 2
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
CHỦ ĐỀ 3. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
1. Định nghĩa: Cho hai mặt song song () và ( ') . Trên () ta lấy đa giác lồi A1A2 ...A n ,
qua các đỉnh này ta dựng các đường thẳng song song cắt ( ') tại A1' ,A'2 ,...,A 'n .
Hình bao gồm hai đa giác A1A2 ...An ,A'1 A'2 ...A'n và các hình bình hành A1A2 A'2 A1' ,...
Được gọi là hình lăng trụ. Kí hiệu là: A1A2 ...An .A'1 A'2 ...A'n .
A3
A2
A4
A1
A5
A'3
A'2
A'4
A'1
'
A'5
Nhận xét:
Các mặt bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau
Các mặt bên là các hình bình hành
Hai đáy hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau
2. Hình lăng trụ đứng - hình lăng trụ đều, hình hộp chữ nhật và hình lập phương
a) Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Độ dài cạnh
bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ. Lúc đó các mặt bên của hình lăng trụ
đứng là các hình chữ nhật
b) Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của
lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều, tứ
giác đều... thì ta hiểu là hình lăng trụ đều
c) Hình hộp : Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành
d) Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành
e) Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật
f) Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được
gọi là hình lập phương (hay hình chữ nhật có ba kích thước bằng nhau được gọi là
hình lập phương)
Nhận xét:
Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng (Có tất cả các mặt là hình chữ nhật
Hình lập phương hình lăng trụ đều (tất cả các cạnh bằng nhau)
Hình hộp đứng hình lăng trụ đứng (mặt bên là hình chữ nhật, mặt đáy là
hình bình hành)
3. Thể tích khối lăng trụ:
V B.h : Với B là diện tích đáy và h là chiều cao
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 3
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
4. So sánh khối lăng trụ đứng và khối lăng trụ đều:
ĐỊNH NGHĨA:
TÍNH CHẤT
Hình lăng trụ đứng là
hình lăng trụ có cạnh bên
Các mặt bên hình lăng trụ
đứng là hình chữ nhật
vuông góc với mặt đáy
Các mặt bên hình lăng trụ
đứng vuông góc với mặt
đáy
Chiều cao là cạnh bên
Các mặt bên của hình lăng
trụ đều là các hình chữ
nhật bằng nhau
Chiều cao là cạnh bên
Hình lăng trụ đều là hình
lăng trụ đứng có đáy là đa
giác đều
DẠNG 1. KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG
Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích là
V. Trong các khối chóp dưới đây, khối chóp có thể tích
B'
C'
2V
3
A'
là:
I
A. A.A'B'C'
B. C'.ABC
C. A'.BCC'B'
D. I.ABB'A'
B
C
A
Hướng dẫn giải
Ta có: VABC.A'B'C' VA'.BCC'B' VA'.ABC .
1
2
2
Mà VA'.ABC VABC.A'B'C' VA'.BCC'B' VABC.A'B'C' V .
3
3
3
Vậy chọn đáp án C.
Câu
2.
Cho
hình
hộp
đứng
có
các
cạnh
AB 3a;AD 2a;AA' 2a như hình vẽ. Thể tích của khối
A'
D'
B'
C'
A’.ACD’ là:
A. a3
B. 2a3
C. 3a3
D. 6a3
B
A
D
C
Hướng dẫn giải
1
1 1
1
Ta có: VA’.ACD’ VC.ADD'A' . .VABCD.A'B'C'D' .3a.2a.2a 2a3 .
2
2 3
6
Vậy chọn đáp án B.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 4
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC 3a,BC a,ACB 1500 , đường thẳng
B'C tạo với mặt phẳng ABB' A ' một góc thỏa mãn sin
1
. Thể tích khối lăng trụ
4
ABC.A’B’C’ là:
A.
a3 105
28
B.
a3 105
14
a3 339
a3 339
D.
14
28
Hướng dẫn giải
C.
Ta có
B'
C'
1
AC.BC.sin ACB
2
1
3a2
a 3.a.sin1500
2
4
SABC
A'
Kẻ CH AB CH ABB' A'
nên B’H là hình chiếu vuông góc
B
ABB' A '
B'C, ABB' A ' B'C,B' H CB' H
C
của B’C lên
H
A
AB2 AC2 BC2 2AC.BC.cos1500 7a2 AB a 7
CH
2.SABC
AB
a 21
CH 2a 21
B'C
14
s in
7
Xét BB'C vuông tại B có: BB' B'C2 BC2
a 35
.
7
3a2 a 35 a3 105
.
Do đó V SABC .AA '
Chọn đáp án A
4
7
28
Câu 4. Khối lập phương có độ dài đường chéo bằng d thì thể tích của khối lập phương là:
A. V d3 ;
B.
C. 3d 3 ;
3d3 ;
d3 3
D. V
9
Hướng dẫn giải
Khối lập phương có cạnh là
a
d
3
.
Do đó khối lập phương có thể tích là
3
d
d3 3
V
. Vậy chọn đáp án D.
9
3
Câu 5. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân, AB AC a , BAC 1200 .
Mặt phẳng AB'C' tạo với mặt đáy góc 600 . Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’.
A.
8 3
a ;
3
B.
3 3
a ;
8
a3
;
C.
8
D.
3 3
a ;
8
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 5
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
Hướng dẫn giải
Xác định góc giữa AB'C' và mặt đáy
là AKA' AKA' 60
C
B
0
a
Tính
1200
a
A
1
a
A 'C'
2
2
A 'K
AA ' A 'K.tan 60 0
a 3
2
VABC.A'B'C' AA '.SABC
600
B'
C'
K
3a3
.
8
A'
Vậy chọn đáp án B.
Câu 6. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC a ,
5
. Tính thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’.
6
AA ' a 2 và cos BA 'C
A.
a3 6
4
B.
a3 3
4
3a3 6
3a3 3
D.
4
4
Hướng dẫn giải
C.
Đặt AB x thì A'B2 A'C2 x2 2a2
B
Áp dụng định lí hàm số cosin trong
A' BC , ta có:
cos BA 'C
A
A ' B2 A 'C2 BC2
2A ' B.A 'C
2x2 4a2 a2
2
2 x 2a
2
a 3
5
xa
6
Suy ra ABC đều nên SABC
C
a
C'
B'
a2 3
4
A'
Vậy thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là V
a3 6
4
Vậy chọn đáp án A.
Câu 7. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
BAD 450 , AA'
A.
a3
2 1
2 2
a 2 2
. Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là
2
B.
a3
2 1
2
C.
a3
2 1
4
D.
a3
2 1
2
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 6
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
Ta có: SABCD 2SABD
SABD
D
C
O
1
a2
AB.AD.sin BAD
2
2 2
450
A
B
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ
đứng nên
a 2- 2
2
D'
VABCD.A'B'C'D' AA '.SABCD
C'
O'
a 2 2 a2 a3 2 1
.
2
2
2
A'
B'
Vậy chọn đáp án D.
Câu 8. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết
AB 3cm, BC' 3 2cm . Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. 27 cm 3
B.
27
cm 3
2
27
27
D.
cm 3
cm 3
4
8
Hướng dẫn giải
C.
Diện tích đáy của khối lăng trụ: SABC
9
cm2
a
A
B
3
3
Chiều cao của khối lăng trụ:
C
h CC' BC'2 BC2 3 cm
3 2
Thể tích của khối lăng trụ đã cho:
B'
A'
9
27
V SABC .h .3
cm3 .
2
2
Vậy chọn đáp án C.
A'
Câu 9. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a, BC b, AA' c . Gọi M và N
theo thứ tự là trung điểm của A’B’ và B’C’. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và
thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
A.
1
2
B.
1
5
1
8
C.
D.
1
4
Hướng dẫn giải
A
B
C
D
M
A'
A'
M
B'
N
B
N
D'
D'
C'
C'
Thể tích khối chóp D’.DMN bằng thể tích khối chóp D.D’MN
Ta có SD'MN SA'B'C'D' SD'A'M SD'C'N SB'MN
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 7
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
ab ab ab 3ab
ab
4
8
8
4
1
1 3ab
abc
Thể tích khối chóp D’.DMN là: V1 SD'MN .DD' .
.c
3
3 8
8
Thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là V abc
V1 1
. Vậy chọn đáp án C.
V 8
Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy ABC là tam giác cân tại A,
AB AC a, BAC . Gọi M là trung điểm của AA’, tam giác C’MB vuông. Thể tích của
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là
A. a3 sin . cos
B. a3cos. sin
C. a3cot. sin
D. a3 tan . cos
Hướng dẫn giải
Diện tích đáy của khối lăng trụ là:
C'
A'
1
S a2 sin
2
Đặt A'A x . Ta có: BM C' M
2
x
a2 ,
4
BC' BC2 x2
A
Trong đó BC 2asin
. Tam giác C’MB
2
B'
M
C
α
B
vuông tại M, ta có:
2
x2
2 a2 BC2 x2 x2 4a2 2 2asin x2 4a2 cos x 2a cos Thể
4
2
tích
của khối lăng trụ là V a3 sin . cos .
Vậy chọn đáp án A.
Câu 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B,
AB a, BC 2a, AA' 3a . Mặt phẳng qua A vuông góc với CA’ lần lượt cắt các đoạn
thẳng CC’ và BB’ tại M và N. Diện tích tam giác AMN là
a2 14
A.
6
a2 14
B.
3
a2 14
a2 14
C.
D.
9
7
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 8
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
Gọi H A'C
A'
C'
Trong tam giác A’AH ta có:
2
B'
A'A
9a
A 'C
a2 4a2 9a2
9a
A'H
14
A'H
Ta
SAMN
có:
M
2
3VA'.AMN
A'H
N
H
C
A
.
Mà
B
NB∥AA' nên:
1
VA'.AMN VM.A'AN VM.A'AB VC.A'AB AA '.SABC VA'.AMN a3
3
Vì vậy SAMN
3a3 a2 14
. Vậy chọn đáp án B.
9a
3
14
Câu 12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, AB a, AD a 3 , khoảng cách từ A đến
mặt phẳng (A’BD) bằng
a3 2
A.
8
a
. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là
2
3a3 2
B.
2
3a3 2
C.
4
3a3 2
D.
8
Giải
Gọi K là hình chiếu của A lên BD, H
là hình chiếu của A lên A’K
D'
BD AH
H
Mà AH A'K AH A'BD
a
2
Trong tam giác vuông A’AK ta có:
AH
Suy ra
1
A'A
2
1
A'A
2
1
AK
4
2
a
2
1
2
a
1
A'A
2
1
2
3a
1
2
AB
8
3
3a
C
D
AH
2
B'
A'
BD AK
Vì
BD AKA '
BD AA '
1
C'
K
B
A
1
AD2
A'A
a 6
4
a 6
3a 3 2
.a.a 3
Vậy VABCD.A'B'C'D' A'A.AB.AD
.
4
4
Vậy chọn đáp án C.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 9
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
Câu 13. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và
AB a, AC a 3 , mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 300 . Thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ là
A.
a3 3
4
B.
2a3 3
3
3a3 2
3a3 2
D.
7
7
Hướng dẫn giải
C.
1
a2 3
.
AB.AC
2
2
Gọi M là hình chiếu của A trên
BC.
A'
Ta có SABC
C'
B'
Suy ra BC A' MA
A' MA A' BC , ABC 30
C
A
0
M
Do
B
AM
a 3
a
AA ' AM tan 300
2
2
a a2 3 a3 3
Vậy VABC.A'B'C' AA '.SABC .
.
2 2
4
Vậy chọn đáp án A.
Câu 14. Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’, có cạnh đáy bằng a, đường chéo BC’
của mặt bên (BCC’B’) tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 300 . Thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ theo a.
A.
a3 6
3
B.
a3 6
8
C.
a3 6
6
D.
a3 6
4
Hướng dẫn giải
Gọi I’ là trung điểm của A’B’, thì
C'I' A'B' (do ABC đều)
A'
C'I' AA' C'I' ABB'A' suy
C'
I'
ra I ' BC' là góc giữa BC’ và mặt
phẳng (ABB’A’)
I' BC' 300 .
Suy
ra
Ta
C' I '
C' I '
a 3
a 3
, BC'
2
sin 300
có
Trong BCC' vuông:
2
2
2
B'
C
A
a
300
B
2
CC' BC' BC 2a CC' a 2
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 10
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: V CC'.SABC
a3 6
.
4
Vậy chọn đáp án D.
Câu 15. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' là tam giác ABC vuông cân tại A
có cạnh BC a 2 và biết A ' B 3a . Tính thể tích khối lăng trụ
A. a3 2
B.
a3 6
8
C.
a3 6
6
D.
a3 6
4
Hướng dẫn giải
Ta có ABC vuông cân tại A nên
A'
C'
AB AC a
ABC.A'B'C'
AA' AB
B'
là
lăng
trụ
đứng
Trong
AA'B:
AA'2
A'B2 AB2
3a
a
A
8a2
C
a
AA' 2a 2 .
a 2
B
Vậy V AA'.SABC a3 2
Vậy chọn đáp án A.
Câu 16. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' là tam giác đều cạnh a 4 và biết
diện tích tam giác A' BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
A. 8
B.
8 3
3
C. 8 3
D.
3
Hướng dẫn
Gọi I là trung điểm BC . Ta có ABC đều nên
AI
AB 3
2 3 , AI BC A ' I BC
2
2S
1
SA'BC BC.A ' I A ' I A'BC 4
2
BC
AA' (ABC) AA' AI .
A'AI AA' A'I2 AI2 2
Vậy V AA'.S ABC 8 3 .
Vậy chọn đáp án C.
Câu 17. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B với BA BC a ,biết A ' B hợp với đáy ABC một góc 600. Tính thể tích lăng trụ.
A.
a3 3
4
B.
a3 3
2
C. 2a3 3
D. a3 3
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 11
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
Ta có A'A (ABC) A'A AB và
AB là hình chiếu của A' B trên đáy ABC
.
Vậy A'B,(ABC) ABA ' 60o .
Trong ABA' : AA' AB.tan 600 a 3
SABC
1
a2
BA.BC .
2
2
Vậy V AA '.SABC
a3 3
. Vậy chọn đáp án B.
2
Câu 18. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A
với AC a , ACB 600 , biết BC' hợp với AA'C'C một góc 300 . Thể tích lăng trụ là
A. 3a3 3
C. a3 3
B. 2a3 6
D. a3 6
Hướng dẫn giải
ABC AB AC.tan60o a 3 .
Ta có:
AB AC;AB AA' AB (AA'C'C)
AC' là hình chiếu của
nên
AA 'C'C .
BC'
trên
BC', AA'C'C BC' A 300
AC' B AC'
Trong AA'C' :
AB
t an30o
3a
AA' AC'2 A'C'2 2a 2
ABC là nửa tam giác đều nên SABC
a2 3
.
2
Vậy V a3 6 . Vậy chọn đáp án D.
Câu 19. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B với BA BC a ,biết A ' BC hợp với đáy ABC một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.
A.
3a3 3
2
B.
a3 3
2
C.
a3 3
3
D.
a3
3
Hướng dẫn
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 12
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
Ta có
A'A (ABC)& BC AB BC A'B
(A ' BC),(ABC) ABA ' 60
A'
C'
B'
o
ABA' AA' AB.tan 600 a 3
A
C
o
60
1
a2
a3 3
SABC BA.BC . Vậy V
2
2
2
B
Vậy chọn đáp án B.
Câu 20.
Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' là tam giác đều cạnh x . Mặt
A'BC tạo với
đáy một góc 300 và diện tích tam giác A' BC bằng 8. Tính thể tích khối
lăng trụ
A.
x3 3
3
B. 3x3 3
C. x3 3
D.
x3
3
Hướng dẫn giải
ABC đều AI BC mà AA' ABC nên A'I BC .
Vậy
A'BC , ABC A'IA 30 0
Ta có BC x AI
C'
A'
2x 3
x 3 . Ta có
2
A' AI : A' I AI : cos 30 0
2 AI
3
B'
2x 3
3
0
A'A AI tan30 x . Ta có VABC.A'B'C' x
2x
3
A
3.
30o
C
B
x I
Mà SA'BC BI.A'I x.2x 8 x 2 . Do đó VABC.A'B'C' x3 . 3
Vậy chọn đáp án C.
Câu 21. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a , cạnh
bên AA' a 2. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
A.
2 3
a
2
B. 2a3
C.
2a3
D. 2 2a3
Hướng dẫn giải
1
1
1
Ta có SABC BA.BC a.a a2 .
2
2
2
1
2 3
VABC.A'B'C' AA '.SABC a 2. a2
a . Vậy chọn đáp án A.
2
2
Câu 22. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 . Đường
chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp .
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 13
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
3a3 6
A.
2
2a3 6
D.
3
a3 6
B.
3
a3 6
C.
2
Hướng dẫn giải
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
và SABCD = 2SABD =
a2 3
2
Theo đề bài BD' = AC = 2
a 3
a 3
2
DD'B DD' BD'2 BD2 a 2
Vậy V = SABCD.DD' =
a3 6
.
2
Vậy chọn đáp án C.
Câu 23. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường
chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính tổng diên tích của các mặt bên
của lăng trụ .
a2 6
A.
2
a3 6
B.
3
4a2 6
D.
3
a2 6
C.
4
Hướng dẫn giải
Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có:
DD' (ABCD) DD' BD
và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD .
Vậy góc [BD';(ABCD)] = DBD' 300
BDD' DD' BD.tan 300
S = 4SADD'A' =
a 6
3
4a2 6
. Vậy chọn đáp án D.
3
Câu 24. Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD =
60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o. Tính thể tích của hình hộp
a3
B.
4
A. 3a3
3a3
C.
2
D. a3
Hướng dẫn
ABD đều cạnh a
SABD
SABCD 2SABD
ABB' vuông tại B
C'
B'
a2 3
4
A'
2
a
D'
3
2
A
60
C
B
o
30
o
D
a
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 14
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
BB' ABt an30o a 3
3a3
. Vậy chọn đáp án C.
2
Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với
đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp
chữ nhật.
Vậy V B.h SABCD .BB'
16a3 2
A.
B.
3
16a3 2
9
C.
16a3 2
3
D.
16a3 2
8
Hướng dẫn giải
Ta có AA' (ABCD) AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD) .
Vậy góc[A'C,(ABCD)] = A'CA 30o
C'
B'
Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = A'BA 60o
2a
A'AC AC = AA'.cot30o = 2a 3
A'AB AB = AA'.cot60o =
2a 3
3
ABC BC AC2 AB2
D'
A'
BC AB BC A'B (đl 3 ) .
D
A
o
60
o
30
C
B
4a 6
.
3
16a3 2
.Vậy chọn đáp án C.
3
Câu 26. Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AC=a
Vậy V AB.BC.A A '
3 , cạnh A/B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ
3a3 6
2
A.
B.
a3 6
4
C.
a3 6
2
D.
2a3 6
2
Hướng dẫn
* Tam giác ABC vuông tại B
BC =
AC2 AB2 a 2
1
a2 2
SABC AB.BC
2
2
* Tam giác A/AB vuông tại A
/
/ 2
2
A A A B AB a 3
* V
C/
A/
ABC.A / B/C /
a3 6
SABC .A A
.
2
/
B/
2a
a 3
A
C
a
B
Vậy chọn đáp án C.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 15
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
Câu 27. Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a,
BC a 2 , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng
trụ.
a3 6
9
A.
B.
a3 6
4
C.
a3 6
3
a3 6
6
D.
Hướng dẫn giải
Ta có A/A (ABC)
C/
A/
/
(A BC) (ABC) BC
B/
AB BC Mà AB = hc(ABC)A / B nên
A/B BC
2a
(A / BC),(ABC) A / BA 300
* Tam giác ABC vuông tại B
SABC
C
1
a2 2
AB.BC
2
2
A
a
ABC.A / B/C /
Câu 28.
SABC .A / A
a 2
B
* Tam giác A/AB vuông tại A A / A AB.tan 300
* V
30 0
a 3
3
a3 6
. Vậy chọn đáp án D.
6
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a 3 , AD = a, AA’ = a, O là
giao điểm của AC và BD. Tính thể tích khối OBB’C’.
a3 2
A.
9
a3 2
B.
4
a3 2
C.
3
a3 2
D.
12
Hướng dẫn giải
ABD có : DB AB2 AD2 2a
M là trung điểm BC
OM (BB ' C ')
A
O
D
1
1 a 2 a 3 a3 3
VO BB 'C ' S BB 'C ' .OM . .
3
3 2 2
12
Vậy chọn đáp án D.
B
M
C
B'
A'
C'
D'
Câu 29. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện
ACB’D’.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 16
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
a3
A.
2
a3
D.
4
a3
B.
6
a3
C.
3
Hướng dẫn giải
Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn
khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’.
B
A
Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích
đáy và chiều cao bằng nhau nên có cùng
D
C
thể tích.
Khối CB’D’C’ có
Khối
lập
1 1
1
V1 . a 2 .a a3
3 2
6
phương
có
thể
A'
tích:
V2 a
3
B'
C'
D'
a
1
1
VACB ' D ' a3 4. a3 a3
6
3
Vậy chọn đáp án C.
Câu 30. Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a. E là trung điểm cạnh AC,
mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE
A.
a3 3
5
B.
a3 3
4
C.
a3 3
16
D.
a3 3
15
Hướng dẫn giải
Khối CA’B’FE: phân ra hai khối
CEFA’ và CFA’B’.
E
A
I
F
C
Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường
cao
A’A
nên
1
VA 'CEF SCEF . A ' A
3
B
B'
A'
J
C'
SCEF
1
a2 3
a3 3
S ABC
VA 'CEF
4
16
48
Gọi J là trung điểm B’C’.
Ta có khối A’B’CF có
SCFB'
Vậy :
đáy là CFB’, đường cao JA’ nên VA ' B 'CF
1
SCFB' . A ' J ;
3
1
a2
1 a 2 a 3 a3 3
SCBB '
VA ' B 'CF
2
4
3 4 2
24
VCA'B'FE
a3 3
. Vậy chọn đáp án C.
16
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 17
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
DẠNG 2. KHỐI LĂNG TRỤ ĐỀU
Câu 1. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Mặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ
thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó bằng:
A.
1
;
2
B.
1
3
D.
;
5
4
Hướng dẫn giải
1
;
3
C.
Mặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ thành hai phần là A'.ABC
và A'B'C'BC
C'
A'
B'
Ta có:
1
VA'.ABC VABC.A'B'C'
3
2
VA'B'C'BC VABC.A'B'C'
3
Suy ra tỉ số thể tích của hai phần đó
C
A
B
1
. Vậy chọn đáp án A.
2
Câu 2. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm cạnh AA’. Mặt
phẳng (MBC) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số thể tích cua hai phần đó bằng:
bằng
A.
1
;
3
B.
1
;
5
1
3
;
D.
5
6
Hướng dẫn giải
C.
Mặt phẳng (MBC) chia khối lăng trụ thành hai
phần M.ABC Và MA'B'C'BC .
1 1
1
Ta có: VM.ABC . h.SABC VABC.A'B'C
3 2
6
Suy ra: VMA'B'C'BC
5
V
6 ABC.A'B'C'
A'
C'
B'
M
A
C
B
1
. Vậy ta chọn đáp án B.
5
Câu 3. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng
Tỉ số thể tích cua hai phần đó bằng:
a 6
. Thể tích khối tứ diện ACA’B’ là
2
A.
a3 2
8
B.
a3 2
4
a3
a3 2
D.
8
2
Hướng dẫn giải
C.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 18
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
1
VACA'B' VC.AA'B' SAA'B' .d C, AA ' B'
3
Ta có CM AB (vì tam giác ABC là tam
giác đều)
C'
A'
B'
a 6
2
CM AA' B' B hay CM AA' B'
CM d C, AA' B'
C
A
a
M
1
1 1
VACA'B' SAA'B' .CM . AA '.A ' B'.CM
3
3 2
B
1 a 6 a 3 a3 2
.
.a.
6 2
2
8
Vậy chọn đáp án A.
Câu 4. Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và A’D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5. Vẽ
AK A'D K A'D . Lúc đó độ dài AK là
A. 1
B. 2
C. 3
AB∥A'B' AB∥ A'B'D
D. 4
Hướng dẫn giải
B'
d A, A' B' D d AB,A'D
C'
D'
A'
Ta có A' B' AA' D' D
A'B' AK
K
B
Ta còn có A'D AK (giả thiết)
AK A' B' D
C
A
D
Vậy AK d A, A' B' D d AB,A' D 2 . Vậy chọn đáp án B.
Câu 5. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC’)
hợp với mặt phẳng (BCC’B’) một góc . Diện tích xung quanh của khối lăng trụ là
A.
3 3a2
tan2 3
B.
3a2
tan2 3
C.
3 3a2
tan2 3
D.
3a2
tan2 3
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 19
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 3: Thể tích khối lăng trụ
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên
BC, BC’.
B'
C'
A'
Ta có AH BCC'B' AH BC' , do đó
AKH BC' AKH
K
Tam giác AKH vuông tại H và AH
a 3
2
H
α
C
B
a
a 3
2sin
Đặt AA' x . Xét tam giác C’AB có:
nên AK
A
C'A CB x2 a2 , AB a .
Nên từ AK
a 3
a 3
ta tính được x
2sin
tan2 3
Diện tích xung quanh của khối lăng trụ Sxq
3 3a2
tan2 3
.
Vậy chọn đáp án C.
Câu 6. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a .
Tính thể tích khối lăng trụ này
A. 8a3
B. 9a3
C. 18a3
D. 21a3
Hướng dẫn giải
ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên
BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 BD 3a
ABCD là hình vuông AB
Suy ra B = SABCD =
3a
2
9a2
2
Vậy V B.h S ABCD.AA' 18a 3
Vậy chọn đáp án C.
Câu 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp
với đáy (ABCD) một góc 60o. Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
a3 6
A.
2
a3 6
B.
4
a3 6
C.
3
a3 6
D.
12
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 20
- Xem thêm -
.PDF 
34 
365 
122 
