®¹i häc
SỨC BỀN
VẬT LIỆU
Trần Minh Tú
Đại học xây dựng
1
July 2010
[email protected]
Chương 4
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
2
7/18/2010
Chương 4. Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang
4.1. Khái niệm chung
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
4.3. Mô men quán tính một số hình đơn giản
4.4. Công thức chuyển trục song song
4.5. Ví dụ
(3)25
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.1. Khái niệm chung
•
Kéo – nén đúng tâm:
F
ứng suất, biến dạng phụ thuộc vào
diện tích mặt cắt ngang
•
Thanh tiết diện chữ nhật
x
z
khả năng chịu lực theo hai phương x,
y khác nhau
•
Khả năng chịu lực của thanh phụ
thuộc vào diện tích, hình dáng, cách
sắp xếp, …của mặt cắt ngang
•
Các đại lượng phụ thuộc vào hình
dạng, kích thước của mặt cắt ngang
- đặc trưng hình học của mặt cắt
ngang
(4)25
July 2010
y
F
x
z
y
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.1. Khái niệm chung
Hình dạng các mặt cắt ngang
Kích thước, hình dạng?
(5)25
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
•
1.
Hình phẳng, diện tích A
trong hệ trục Oxy. Phân
tố diện tích dA(x,y)
Mô men tĩnh của diện
tích A đối với trục Ox,
Oy:
Sx =
∫ ydA
( A)
•
Sy =
∫ xdA
( A)
Thứ nguyên của mô men
tĩnh là [chiều dài3], giá trị
của nó có thể là dương,
bằng 0, hoặc âm.
(6)25
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
Trục trung tâm: trục có mô
men tĩnh của diện tích A
đối với nó bằng 0.
Trọng tâm: Giao điểm của
hai trục trung tâm => mô
men tĩnh của hình phẳng
đối với trục đi qua trọng
tâm bằng 0
Cách xác định trọng tâm C
(xC, yC) của hình phẳng:
(7)25
July 2010
yC
C
xC
xC =
Sy
A
Sx
yC =
A
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
Bài toán xác định trọng tâm
y0
Giả sử C(xC, yC) là trọng tâm mặt cắt ngang
x0, y0 - hệ trục đi qua C
dA(x,y) trong hệ toạ độ xy
dA
y0
y
yC
C
x0
dA(x0,y0) trong hệ toạ độ x0y0
Ta có:
xC x
x = x0 + xC
y = y0 + yC
⇒ yC =
S x = ∫ ydA = ∫ ( y0 + yC )dA
A
A
⇒ S x = ∫ y0 dA + ∫ yC dA = yC A
A
(8)25
July 2010
A
xC =
Sy
A
Sx
A
Sx
yC =
A
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
x0
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
Cách xác định trọng tâm của
hình ghép từ nhiều hình đơn
giản
• Hình đơn giản: toạ độ trọng tâm dễ xác
•
•
định
Chọn hệ trục ban đầu Oxy, biểu diễn
kích thước và toạ độ trọng tâm
C(xC, yC) trong hệ trục này
Nếu mặt cắt ngang A ghép từ nhiều
hình đơn giản có diện tích Ai với tọa độ
trọng tâm mỗi hình đơn giản là
Ci( xCi,yCi) trong hệ toạ độ ban đầu, thì:
(9)25
July 2010
y
yC1
C1
C2
C3
x
xC1
n
xC =
Sy
A
=
∑x
Ci
i =1
n
Ai
∑A
i =1
i
n
Sx ∑
yC =
= i =1n
A
yCi Ai
∑A
i =1
i
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
Chú ý
Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục
đối xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ
trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của
càng nhiều hình đơn giản càng tốt.
Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị
âm.
(10)25
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
2.
Mô men quán tính của mặt
cắt ngang A đối với trục x, y
Ix =
•
3.
∫
y 2 dA
Iy =
∫
x 2 dA
( A)
( A)
Thứ nguyên của mô men
quán tính là [chiều dài4], giá
trị của nó luôn luôn dương
Mô men quán tính độc cực
Ip =
∫
ρ 2 dA = I x + I y
( A)
• Thứ nguyên của mô men quán tính độc cực là
dài4], giá trị của nó luôn luôn dương
(11)25
July 2010
[chiều
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
4.
Mô men quán tính ly tâm
I xy =
∫ xydA
( A)
Thứ nguyên của mô men quán tính
ly tâm là [chiều dài4], giá trị của
nó có thể là dương, bằng 0,
hoặc âm.
Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang: là
hệ trục mà mô men quán tính ly tâm của diện tích mặt cắt
ngang đối với nó bằng 0.
Hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt
ngang: là hệ trục quán tính chính, có gốc tọa độ trùng với
trọng tâm mặt cắt ngang.
(12)25
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
Tính chất:
Nếu mặt cắt có 1 trục đối xứng thì bất cứ trục nào
vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó một
hệ trục quán tính chính
I xy = ∫ xydA + ∫ ( − xy ) dA = 0
A
A
Nếu hình ghép:
n
Ix = ∑ I
i =1
(13)25
July 2010
n
i
x
Iy = ∑I
i =1
i
y
n
I xy = ∑ I xyi
i =1
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.3. Mô men quán tính một số hình đơn giản
hb3
Iy =
12
bh3
Ix =
12
x
Hình tròn
Ip =
π R4
2
Ix = Iy =
y
=
π D4
π R4
4
32
=
0,1D
π D4
64
x
4
b
D
0,05 D 4
Hình tam giác
bh3
Ix =
12
(14)25
July 2010
h
y
Hình chữ nhật
h
x
b
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.4. Công thức chuyển trục song song
Mặt cắt ngang ngang A trong
hệ trục ban đầu Oxy có các
đặc trưng hình học mặt cắt
ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy.
Hệ trục mới O'uv có O'u//Ox,
O'v//Oy và:
u = x+b
v= y+a
Các đặc trưng hình học mặt
cắt ngang A trong hệ trục O'uv
là:
Su = S x + a. A
Sv = S y + b. A
v
y
A
v
dA
y
b>0
x
x
O
a>0
u
u
I u = I x + 2aS x + a 2 A
I v = I y + 2bS y + b 2 A
I uv = I xy + aS y + bS x + abA
(15)25
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.4. Công thức chuyển trục song song
Nếu O đi qua trọng tâm C:
C
C
Iu = I x + a 2 A
I v = I y + b2 A
I uv = I xy + abA
(16)25
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.5. Công thức xoay trục
- Trong nhiều trường hợp, cần xác định các đặc trưng hình
học mặt cắt ngang trong hệ trục toạ độ xoay một góc nào đó
so với hệ trục ban đầu
(17)25
July 2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.5. Công thức xoay trục
- Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục
ban đầu Oxy có các đặc trưng hình
học mặt cắt ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy.
y
- Hệ trục mới O'uv xoay góc q ngược
chiều kim đồng hồ
u
v
u = x cos θ + y sin θ
x
v = − x sin θ + y cos θ
- Các đặc trưng hình học
mặt cắt ngang trong hệ trục
mới O'uv là Su, Sv, Iu, Iv, Iuv
Iu =
Iv =
I uv =
(18)25
July 2010
Ix + I y
2
Ix + I y
2
Ix − I y
2
+
−
Ix − I y
2
Ix − I y
2
cos 2θ − I xy sin 2θ
cos 2θ + I xy sin 2θ
sin 2θ + I xy cos 2θ
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.5. Công thức xoay trục
- Hệ trục quán tính chính có Iuv=0 => Vị
trí của hệ trục quán tính chính xác định
bởi góc q0:
tan 2θ0 = −
2 I xy
I y − Ix
- Các mô men quán tính đối với hệ trục
quán tính chính :
2
Ix + I y
⎛ Ix − I y ⎞
2
I max, min =
± ⎜
+
I
⎟
xy
2
2
⎝
⎠
Tương quan giữa Iu, Iuv và Ix,
Iy, Ixy tương tự như tương quan
giữa su, tuv và sx, sy, txy
-
(19)25
July 2010
Vòng tròn Mohr quán tính
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.6. Bài tập – Ví dụ 4.6.1
Ví dụ 4.6.1. Cho mặt cắt ngang có
hình dạng và kích thước như hình
vẽ.Xác định các mô men quán tính
chính trung tâm của mặt cắt ngang
Giải: Chọn hệ trục toạ độ ban đầu
x0y0 như hình vẽ. Chia mặt cắt ngang
làm hai hình đơn giản 1 và 2
y0
1. Xác định toạ độ trọng tâm, ta có:
1
- xC=0 (y0 - trục đối xứng)
yC1 = 50 mm;
yC =
∑ yCi Ai
∑A
i
(20)25
July 2010
yC2 = 20 mm
y A + yC 2 A2
= C1 1
= 38 mm
A1 + A2
2
x0
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
.PDF 
27 
145 
69 
