Tài liệu Chứng minh 3 điểm thẳng hàng phương pháp thêm điểm buổi học oxy 9 trên schoolbus.vn2

CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG PHƯƠNG PHÁP THÊM ĐIỂM Nội dung phương pháp : Khi chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng , khi đã biết  mối quan hệ nào đó của C,D,E . Ví dụ như C là trung điểm của DE chẳng hạn , ta  sẽ thêm một điểm C’ là giao của AB với một đường DE  đã chứa điểm C . Ta sẽ  tìm cách chứng minh C’ cũng là trung điểm của DE , tức là C’ trùng với C. Đó là  điều phải chứng minh , phương pháp thêm điểm là như vậy . Dưới đây là hình  minh họa và các ví dụ để các em tiện theo dõi nhé .      BÀI TOÁN MINH HỌA : Bài 1: Cho tam giác ABC, về phía tam giác ABC vẽ tam giác ABD vuông cân tại A.  Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng ba  điểm M,A,H thẳng hàng.  Lời giải:   Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 1 Vẽ   EK  AH  tại K,  DN  AH  tại N, AH cắt DE tại M    900 )  và tam giac NDA  ( DNA   900 ) có:  Xét tam giác HAB  ( AHB AB = AD ( tam giác ABC vuông cân tại A)    NDA   ( cùng với góc DAN)  BAH Do đó   HAB  NDA ( cạnh huyền – góc nhọn)  Tương tự   KAE  HCA  ( cạnh huyền – góc nhọn)   KE  AH   Ta có DN = KE = AH  KE  AH , DN  AH  KE // DN  /  KEM / , DN  KE , DNM /  EKM /   Xét tam giác  M / DN  và tam giác  M / EK  có :  NDM Do đó  M / DN M / EK ( g.c.g )  M / D  M / E   M là trung điểm của DE nên M/ = M  Vậy ba điểm M,A,H thẳng hàng.  Bài 2: Cho tam giác ABC,đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt ở D, E.  Trên các đoạn thẳng BC, DE lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BC = 3BM, DE = 3DN.   Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng.  Lời giải:   Gọi N/  là giao điểm của AM và DE  Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 2 Xét tam giác ABC có DE // BC (gt)   Xét tam giác ABM có DN/ // BC   DE AD    BC AB DN / AD    BM AB Do đó:  DE DN DE DN /   , mà BC = 3BM (gt), DE = 3 DN (gt)     BC BM BC BM Nên có  DN / DN   N  N/   BM BM Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng.  Bài 3: Cho hai đường tròn (O;R) và (O/;R) tiếp xúc ngoài nhau tại A.  BC, DE là các tiếp tuyến chung  ngoài của hai đường tròn (O) và (O/) (B, D   (O) ;  E  (O / )) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm  của BC và DE.   Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng.  Lời giải: Gọi  M / , N /  lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến chung trong tại A của hai đường tròn (O) và (O/)  với BC, DE.  Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 3 Ta có  M / C  M / A, M / A  M / B  ( Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau )   M /C  M / B   Do đó  M /  M . Tương tự  N /  N   Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng.  Bài 4: Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AEF (E nằm giữa A    ). Vẽ đường thẳng qua E vuông s BC góc với OB cắt BC tại M, BF tại N.  và F,  B AF  FAC Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm F, M, I thẳng hàng.  Lời giải: Vẽ  OK  EF  tại K => K là trung điểm của EF.   ABO   AKO   ACO  900    A, B, K , C , O  cùng thuộc một đường tròn.    MCK    BAK   MEK   Mà  AB  OB, EN  OB  AB / / EN  BAK   MEK  ( BAK )   Ta có  MCK   tứ giác EMKC nội tiếp    EKM    ECM   EFB  , nên  EKM   EFB   MK // BN  Mà  ECM Tam giác EFN có KM // NF, EK = KF  => EM = MN  Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 4 Gọi I/ là giao điểm của FM và AB  EM MN  FM  / / /  /    AI  I B . Vậy I = I   AI / I B  FI /  Do đó: F, M, I thẳng hàng.  Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD, CE. Gọi M là  giao điểm của các tiếp tuyến vẽ từ B, từ C của đường tròn (O), N là trung điểm của đoạn thẳng  DE.  Chứng minh rằng A, M, N thẳng hàng.  Lời giải: Qua M vẽ đường thẳng song song với DE cắt AB, AC lần lượt ở K, S.    BDC   900   Gọi  Cx  là tia đối của tia CM. Ta có  BEC  Tứ giác BEDC nội tiếp   ADE   ABC ,  AED   ACB   ,    ( đồng vị và DE // KS)  ADE  MSC AED  BKM Mà   Ta có   ACx   ABC ( hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)  Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 5    ( đối đỉnh )  ACx  MCS   MSC   Do đó  MCS MCS  cân tại M   MC = MS  Tương tự MB = MK  Mà MB = MC ( MB, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O))  Do đó MK = MS  Gọi M/ là giao điểm của AN và KS   AKM /  có EN // KM/   EN AN    / KM AM /   AM / S  có ND // M/S   ND AN    / SM AM / Nên  EN ND  AN      / KM SM /  AM /  Mà EN = ND, do đó KM/ = SM/. Ta có M/ = M  Vậy A, M, N thẳng hàng.  Bài 6: Cho  tam  giác  nhọn  ABC  nọi  tiếp  đường  tròn  (O;R).  AD,  BE  là  các  đường  cao  của  tam  giác  ABC. Các tiếp tuyến tại A, B của (O) ắt nhau ở M, N là trung điểm của DE.  Chứng minh rằng ba điểm M, N, C thẳng hàng.  Lời giải: Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 6 Qua M vẽ đương thẳng song song với DE cắt BC, AC lần lượt ở K, I.  Gọi Bx là tia đối của tia BM   AEB   ADB  900     Tứ giác ABDE nội tiếp    BAE    CDE   BKM  (KI //AB)  CDE   CBx  , CBx   MBK   BAC   MBK   Do đó  BKM MKB  cân tại M  => MB = MK  Tương tự MA = MI mà MA = MB  Do vậy MI = MK  (1)  Gọi N/ là giao điểm của CM và DE  Tam giác CMI có N/E // MI   N / E CN /    (2)  MI CM Tam giác CKM có N/D // KM   N / D CN /    (3)  MK CM Từ (1), (2), (3) có N/ E // N/D   Do đó N/ = N  Vậy ba điểm M, N, C thẳng hàng.  Bài 7: Cho đường tròn (O;R) , A là điểm nằm trên đường tròn (O), H là điểm ở bên trong đường tròn  (O)  sao  cho  AH  =  R 2 .  Đường  thẳng  vuông  góc  với  AH  tại  H  cắt  đường  tròn  (O)  tại  B,  C.  Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt ở D, E ( khác A).  Chứng minh rằng D, E, O thẳng hàng.  Lời giải: Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 7 Xét đường tròn đường kính AH có   AEH  900 ,  ADE   AHE     Mà   AHE  C  ( cung phụ với góc EHC) do đó   ADE  C    1 AOB  và OA = OB (= R)  Mặt khác  C   2   tam giác OAB cân tại O  1  DAO AOB  900   2  Nên   DAO ADE  900  AO  DE    (1)  Vẽ  AK  DE  tại K  Xét tam giác AED và tam giác ABC có:    ( chung ),   ADE   ACB   EAD Do đó   EAD  ABC ( g.g )   Bán kính đường tròn (AED) là  R 2   2 Bán kính đường tròn (ABC) là R.  Nên ta có  AK 2  . Mà  AH  R 2( gt )  AK  R    (2)  AH R Từ (1) và (2) ta có K = O  Vậy D, E, O thẳng hàng.  Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 8 Bài 8: Cho tam giác ABC ( AB > AC) nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho  BD  =  AC.  Đường  thẳng  qua  D  song  song  với  BC  cắt  AC  tại  H.  Tia  phân  giác  góc  BAC  cắt  đường tròn (O) tại E và cắt DH tại F ( E khác A). Gọi M là trung điểm củ AD. Tia CF cắt đường  tròn (O) tại N. Chứng minh rằng :  a) E, D, N thẳng hàng.  b) C, M, N thẳng hàng.  Lời giải:   a)  Ta có:   ADF   ABC  (đồng vị và DH // BC)  mà   ANF   ABC  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)  Do đó:   ADF   ANF  => Tứ giác AFDN nội tiếp    FAD   FND   FAD   (AE là tia phân giác của góc BAC)  Mà  CAE   CNE  ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE)  Và  CAE   CNE   Hai tia ND, NE trùng nhau  Do đó:  FND Vậy ba điểm E, D, N thẳng hàng.  b) Gọi K là giao điểm của CN và AB  Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 9 Tam giác ACK có AF là đường phân giác   Tam giác KBC có DF // BC   KF AK    (1)  CF AC KF KD    ( định lý Talét)        (2)  CF BD Mà AC = BD (gt)  Từ (1), (2) và (3) có AK = KN => K là trung điểm của AD nên K = M.  Vậy C, M, N thẳng hàng.  Bài 9: Cho tam giác ABC (AB < BC) nội tiếp đường tròn (O). M là điểm trên cạnh BC sao cho   MC = AB. Vẽ đường thẳng qua M song song với AC cắt AB tại N, cắt tia phân giác của góc  ABC  tại  I. Gọi  K là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh rằng  ba điểm A,  I, K thẳng  hàng.  Lời giải: Gọi T là giao điểm của AI và BC.  Tam giác TAC có MI // AC   TI TM    (1)  AI MC Tam giác BAT có BI là đường phân giác (gt)   TI BT     (2)  AI AB Mà MC = AB             (3)  Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 10 Từ (1), (2) và (3) ta có BT = TM  => T là trung điểm của BM nêm T = K  Vậy ba điểm A, I, K thẳng hàng.    Bài 10: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Một đường thẳng song song với BC cắt AB,  AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng.  Lời giải:    Gọi K là giao điểm của AM và DE, N là giao điểm của OM và DE  Tam giác ABM có DN // BM   AN DN    AM BM Tam giác ACM có NE // MC   AN NE    AM MC Mà BM = MC. Do đó DN = NE => N là trung điểm của DE.  Mặt khác xét tam giác OMC có DK // MC   Tam giác OBM có KE // BM   DK OK    MC OM KE OK    BM OM Do đó DK = KE => K là trung điểm của DE. Do vậy N = K  Ta có A, N, O, M thẳng hàng.      Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 11   Bài 11: Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn (O) đường kính  AB và các tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By  theo thứ tự tại C và D. Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Gọi E là trung điểm của MH.  Chứng minh rằng ba điểm B, E, C thẳng hàng.  Lời giải: Gọi K là giao điểm của MH và BC  CA, CM là các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)    CA = CM, CO là tia phân giác góc ACM.  Tam giác CAM cân tại C, CO là đường phân giác nên cũng là đường cao   CO  AM   Tam giác MAB nội tiếp đường tròn đường kính AB  MAB vuông tại M.  Ta có:  CO  AM , BM  AM  CO // BM.  Xét tam giác HBM và tam giác AOC có:    OAC   900 , MBH   COA   (OC // BM)  BHM Do đó:   HBM  AOC ( g.g )  MH BH    AC OA Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 12 Tam giác ABC có AC // KH  (AC  AB, KH  AB)  AB = 2OA nên  KH BH    AC AB KH BH MH MH    KH   nên K là trung điểm của MH  AC 2OA 2 AC 2 Ta có K = E. vậy ba điểm B, E, C thẳng hàng.  Bài 12: Cho đường tròn…tâm O. Từ 1 điểm P nằm ngoài …, ta kẻ đến … hai tiếp tuyến PA và PB.  Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường kính BC. M là trung điểm AH.  Chứng minh rằng ba điểm P, C, M thẳng hàng.    Lời giải: Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng CA và BP.  P/ là giao điểm của hai đường thẳng CM và BI.  Như vậy, để chứng minh ba điểm P, C, M thẳng hàng, ta chỉ việc chứng minh P = P/.    900   Thật vậy, ta có:  BAC   900   Suy ra: BAI   900   Tam giác BAI vuông tại A, nên:   AIB   ABI  BAI   PAI    AIB   ABI  BAP   (vì tam giác PAB cân tại P)   AIB  PAI Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 13 Suy ra AP = PI  Mặt khác: AP = PB, nên PI = PB  Như vậy: P là trung điểm BI             (1)  Lúc này ta cần chứng minh P/ cũng là trung điểm BI.  Thật vậy, ta có:  AM CM MH CM AM MH  , /   /  /   / CP P B CP PI PI PB Mặt khác: AM = MH, do đó : P/I = P/B  Như vậy, P/ là trung điểm BI               (2)  Từ (1) và (2) ta nhận được P = P/  Kết luận: ba điểm P, C, M thẳng hàng.  Bài 13: Cho đường tròn (O;R), điểm A ở ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai  tiếp điểm) và cát tuyến AMN ( AM < AN). Vẽ dây BD của đường tròn (O) và BD song song với  MN. Gọi I là tring điểm của MN. Chứng minh rằng C, I, D thẳng hàng.  Lời giải:   Cách 1:  I là trung điểm của MN   OI  MN . Ta có   ABO   AIO   ACO  900    B, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA   A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn  Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 14  AIB   ACB     BIA   Ta có BD // MN (gt)   IBD Và  OI  MN , BD // MN   OI  BD    OI đi qua trung điểm của BD  Do đó OI là đường trung trực của đoạn thẳng BD   tam giác IBD cân tại I    IBD    IDB   BCA  , do vậy  BDI   BDC   Mà  BDC   Hai tia DI, DC trùng nhau.  Vậy C, I, D thẳng hàng.  BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Bài 14 : Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn  (O) vẽ nửa đường tròn (I) đường kính OA. C là điểm trên nửa đường tròn (I). Tia OC cắt nửa  đường tròn (I) ở D. Đường thẳng qua D vuông góc với AB cắt AC tại E. Đường tròn ngoại tiếp  tam giác ODE cắt nửa đường tròn (O) ở M (M khác D). Chứng minh rằng A, E, M thẳng hàng.  Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 15 Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 16