GV: Phạm Thị Thu Huyền
CÁC TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI
Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên
Ví dụ 1.1: Cho dãy số un có dạng khai triển sau: 1; 1; 1;1;5;11;19; 29; 41;55;.....
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo?
Bài giải:
Nhận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với
những cách cho này ta thường làm phương pháp sau:
Đặt:
uk uk 1 uk
2uk uk 1 uk
3uk 2uk 1 2uk
……..
Ta lập bảng các giá trị uk , 2uk , 3uk ..... nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng
lại, sau đó kết luận un là đa thức bậc 1, 2, 3,…..và ta đi tìm đa thức đó.
Lời giải:
Bảng giá trị ban đầu:
uk
uk
uk
2
1
-1
-2
-1
0
2
1
2
2
5
4
2
11
6
2
19
8
2
29
10
2
41
12
2
55
14
2
Ta thấy hàng của 2uk không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai:
un an 2 bn c a 0 (1) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy.
Tìm a, b, c như sau:
Cho n 1; 2;3 thay vào công thức (1) ta được hệ phương trình sau:
a b c 1
a 1
2
4a 2b c 1 b 5 un n 5n 5
9a 3b c 1
c 5
Số hạng tiếp theo u11 71
Ví dụ 1.2: Cho dãy số un có dạng khai triển sau: 5; 3;11; 43;99;185;307; 471;....
1
GV: Phạm Thị Thu Huyền
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và 2 số hạng tiếp theo
Bài giải:
Bảng giá trị ban đầu
-5
uk
uk
2 uk
-3
2
11
14
12
3uk
43
99
32
18
6
56
24
185
86
30
6
6
307
122
36
6
471
164
42
6
Ta thấy hàng của 3uk không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc ba:
un an3 bn 2 cn d a 0 (2) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy.
Tìm a, b, c, d như sau:
Cho n 1; 2;3; 4 thay vào công thức (2) ta được hệ phương trình sau:
a b c d 5
a b c d 5
a 1
8a 4b 2c d 3
7a 3b c 2
b 0
27 a 9b 3c d 11
26a 8b 2c 16
c 5
64a 16b 4c d 43 63a 15b 3c 48 d 1
un n3 5n 1
Hai số hạng tiếp theo là: u9 683 ; u10 949
Lời bình: Công thức tìm được trên là không duy nhất vì hiển nhiên các số hạng đã cho
cũng thỏa mãn, chẳng hạn dãy số sau:
un n 2 5n 5 P n . n 1 n 2 n 3 (Của ví dụ 1.1)
un n3 5n 1 P n n 1 n 2 n 3 n 4 (của ví dụ 1.2)
Với P n là một đa thức bất kỳ
Vậy cách tìm trên đây là mới chỉ tìm được một dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn mà
không tìm được tất cả các dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn.
Bài tập tương tự:
Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số
(Đs: un 6n 2 )
1) 8;14; 20; 26;32;.....
3
15
n7)
2
2
(Đs: un 3n 2 4n 2 )
2) 1; 2; 2;1;7;16; 28; 43;61;...
(Đs: un n 2
3) 1;6;17;34;57;86;121;.....
2
GV: Phạm Thị Thu Huyền
3
7
2
2
3
5
(Đs: un n 2 n 4 )
2
2
5 2 17
(Đs: un n n 8 )
2
2
3
2
(Đs: un n 3n 2n 2 )
(Đs: un n 2 n 4 )
4) 2;3;7;14; 24;37;.....
5) 3;5;10;18; 29;.....
6) 2;1;5;14; 28; 47;71;100;134;173; 217;....
7) 2; 2;8; 26;62;122; 212;338;....
u1 a
un 1 qun d , n 1
DẠNG 2: Dạng cơ sở: Cho dãy un biết
Với q, d là các hằng số thực.
GIẢI:
u1 a
un 1 d , n 1
Trường hợp 1: Nếu q 0
u1 a , un d , n * , n 2
u1 a
un 1 un d , n 1
Trường hợp 2: Nếu q 1
un là cấp số cộng với số hạng đầu u1 a và công sai bằng d
un a n 1 d
u1 a
un 1 qun , n 1
Trường hợp 3: Nếu d 0
un là cấp số nhân với số hạng đầu u1 a và công bội bằng q
un a.q n 1
Trường hợp 4: Nếu q 0, q 1, d 0 . Đặt dãy vn sao cho un vn
d
(1)
1 q
Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có:
d
d
q vn
d
1 q
1 q
vn 1 qvn , n 1
vn 1
vn là một cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1
bằng q
d n 1
vn a
q ,n 1
1 q
3
d
d
a
và công bội
1 q
1 q
GV: Phạm Thị Thu Huyền
un vn
d
d n 1
d
a
q
1 q
1 q
1 q
Ví dụ 2.1: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy un biết:
u1 1
un 1 un 3, n 1
(Đs: un 3n 4 )
u1 1
un 1 2un 3, n 1
(Đs: un 4.2n 1 3 )
1)
2)
Giải:
u1 1
un 1 un 3, n 1
1)
Vì un 1 un 3 , n 1
un là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 1 và công sai d 3
un u1 n 1 d 1 3 n 1 3n 4
u1 1
un 1 2un 3, n 1
2)
Nhận xét: Dãy số này có dạng 1 với q 1, d 3
Đặt dãy vn sao cho: un vn
d
vn 3 (1)
1 q
Thay (1) vào công thức truy hồi ta được
vn 1 3 2 vn 3 3 vn 1 2vn
vn là cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1 3 1 3 4 và công bội q 2
vn 4.2n 1 2n 1
un vn 3 2n 1 3
u1 1
Còn có các cách sau:
un 1 un 3, n 1
Nhận xét: Câu 1:
Cách 2:
Ta có:
u1 1
u2 u1 3
u3 u2 3
4
GV: Phạm Thị Thu Huyền
……..
un un 1 3
Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:
u1 u2 u3 ...... un 1 u1 u2 u3 ..... u n 1 3(n 1)
un 1 3 n 1
un 3n 4
Cách 3:
Dựa vào công thức truy hồi ta tính được dạng khai triển của dãy un là:
1; 2;;5;8;11;14;17;....
uk
uk
-1
2
3
5
3
8
11
3
3
14
3
17
3
un an b, a 0 (1)
a b 1 a 3
2a b 2
b 4
Thay n 1 và n 2 thay vào (1) ta được:
un 3n 4
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy un biết:
u1 1
un 1 un 7, n 1
(Đs: un 7n 6 )
u1 3
un 1 2un , n 1
(Đs: un 2n 1.3 )
u1 1
un 1 2un 1, n 1
(Đs: un 1 )
1)
2)
3)
5
u1 4
4)
u 2u 3 , n 1
n
n 1
4
u1 1
5)
1
un 1 2un 3 , n 1
(Đs: u n
2n 3
)
4
(Đs: u n
2n 1
)
3
Lời bình: Dạng 2 gọi là dạng cơ sở vì:
- Với 3 trường hợp 1, 2, và 3, dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy số hằng,
cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đều đã tìm được công thức của số
hạng tổng quát.
5
GV: Phạm Thị Thu Huyền
-
Trên cơ sở của 3 dãy này, để giải trường hợp 4: bằng phương pháp đặt một dãy
số mới vn liên hệ với dãy số un bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa
được về dãy số vn mà vn dãy số hằng hoặc cấp cộng hoặc cấp số nhân.
-
Vấn đề đặt ra là: Mối liên hệ giữa un và vn bởi biểu thức nào mới có thể đưa
dãy số vn thành dãy số hằng hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân hoặc trường
hợp 4. Qua quá trình tìm tòi, tôi đã tìm ra được một số dạng sau:
u1 a
với q, c, d R và q, c 0
un 1 qun cn d , n 1
LOẠI 2.1:
GIẢI:
u1 a
un 1 un cn d
Trường hợp 1: Nếu q 1
Cách 1:
Ta có:
u1 a
u2 u1 c.1 d
u3 u2 c.2 d
u4 u3 c.3 d
………….
un un 1 c. n 1 d
Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được:
un a c.1 c.2 c.3 ...... c. n 1 n 1 d a
cn n 1
2
n 1 d
Cách 2: Dùng công thức DẠNG 1 (Viết dãy số theo dạng khai triền)
Trường hợp 2: Nếu q 1
Đặt dãy vn sao cho: un vn
c n 1
cn
, thay vào công thức truy hồi ta được
1 q
cn
q vn
cn d
1 q
1 q
c
vn 1 qvn d
1 q
c
v1 u1 1 q
Khi đó dãy vn lại
Từ đó ta có dãy vn với
c
n 1
v qv d
qvn d ',
n
n 1
1 q
vn 1
có DẠNG 1
6
GV: Phạm Thị Thu Huyền
Ví dụ 2.2: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy un biết:
u 5
1) 1
un 1 un 3n 2, n 1
3n 2 7n 14
(Đs: un
)
2
u1 11
un 1 10un 1 9n, n 1
(Đs: un 10n n )
u1 1
un 1 3un 6n 1
(Đs: un 3n 1 3n )
2)
3)
Bài giải:
u 5
1) 1
un 1 un 3n 2, n 1
Cách 1:
Ta có:
u1 5
u2 u1 3.1 2
u3 u2 3.2 2
u4 u3 3.3 2
u5 u4 3.4 2
…………..
un un 1 3. n 1 2
Cộng vế với vế ta được:
un 5 3.1 3.2 3.3 .... 3. n 1 2 n 1 5
3 n 1 n
2
2 n 1
3n 2 7n 14
2
Cách 2:
Ta có dạng khai triển của dãy số un là:
5;6;10;17; 27; 40;56;75;.....
uk
uk
2 uk
5
6
1
10
4
3
17
7
3
27
10
3
un an 2 bn c (*)
Thay n 1, n 2, n 3 vào (*) ta được:
7
40
13
3
56
16
3
75
19
3
GV: Phạm Thị Thu Huyền
3
a 2
a b c 5
7
4a 2b c 6 b
2
9a 3b c 10
c 7
3
7
3n 2 7n 14
un n 2 n 7
2
2
2
u1 11
un 1 10un 1 9n, n 1
2)
Đặt dãy vn sao cho: un vn n, n 1
Thay vào công thức truy hồi ta được:
vn 1 n 1 10 vn n 1 9n
vn 1 10vn
vn là một cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1 1 10 và công bội q 10
vn 10.10n 1 10n
un 10n n
u1 1
un 1 3un 6n 1
3)
Đặt dãy vn sao cho: un vn 3n , thay vào công thức truy hồi của dãy un ta được:
vn 1 3 n 1 3 vn 3n 6n 1
vn 1 3vn 2
v1 u1 3 2
vn được xác định bởi:
vn 1 3vn 2, n 1
Đặt dãy yn sao cho vn yn 1, n 1 , thay vào công thức truy hồi của dãy vn ta được
yn 1 1 3 yn 1 2
yn 1 3 yn
yn là một cấp số nhân với số hạng đầu y1 v1 1 2 1 3 và công bội q 3
yn 3.3n 1 3n
vn 3n 1
Vây: un 3n 1 3n
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy un biết:
8
GV: Phạm Thị Thu Huyền
u1 99
un 1 un 2n 1, n 1
(Đs: un 100 n 2 )
1)
n n 1
(Đs: un 1 1 2 ... n 1
)
2
2
u1 1
2)
3
un 1 un n , n 1
u1 1
2
un 1 un 2n , n 1
3)
3
3
3
(Đs: un 1 2 12 22 32 .... n 1 1
2
n 1 n 2n 1
3
u1 a
với q 0
n
un 1 qun rc , n 1
LOẠI 2.2: Cho dãy un xác định bởi:
GIẢI:
u1 a
n
un 1 un rc ,
Trường hợp 1: Nếu q 1
n 1
ta có thể làm bằng phương
pháp sau:
u1 a
Ta có:
u2 u1 rc1
u3 u2 rc 2
u4 u3 rc3
………………..
un un 1 rc n 1
Cộng vế với vế ta được:
un a (c c c .... c
2
3
n 1
)r a
c c n 1 1 r
c 1
u1 a
n
un 1 qun rc , n 1
Trường hợp 2: Nếu c q
Đặt dãy vn sao cho: un vn
rc n
, thay vào công thức truy hồi ta được
cq
rc n 1
rc n
n
q vn
rc
cq
cq
vn 1 qvn
vn 1
9
GV: Phạm Thị Thu Huyền
vn là một cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1
rc
rc
và công bội
a
cq
cq
bằng q
rc n 1
vn a
q
cq
rc n
rc n 1 rc n
un vn
a
q
cq
cq
cq
u1 a
n
un qvn rq , n 1
Trường hợp 3: Nếu c q
Đặt dãy số vn sao cho: un q n .vn , thay vào công thức truy hồi của dãy un ta
được
q n 1vn 1 q q n vn rq n
vn 1 vn
r
q
vn là một cấp số cộng với số hạng đầu v1
Ví dụ 2.3: Cho dãy u n
u1 1
*
n
biết
1 với n N .
u n 1 u n
2
Xác định số hạng tổng quát của dãy u n
Bài giải:
Cách 1:
Ta có:
u1 1
u2 u1
1
2
1
u3 u2
2
2
1
u4 u3
2
3
…………
1
un un 1
2
u1 a
r
và công sai d
q
q q
n 1
10
1
(Đs: un 2
2
n 1
)
GV: Phạm Thị Thu Huyền
Cộng vế với vế ta được:
n
1
1
2
n 1
n 1
1 1
1
2 2 1
un 1 .....
1
2 2
2
2
1
2
Cách 2:
n
Đặt dãy số vn
1
n
2 v 2. 1 thay vào công thức truy hồi ta
sao cho: un vn
n
1
2
2
được:
1
vn 1 2
2
vn 1 vn
n 1
dãy vn
n
1 1
vn 2
2 2
n
1
v1 u1 2 1 1 2
được xác định bởi:
2
v v
n 1 v
vn v1 2, n 1
n
1
1
Vậy: un 2 2 2
2
2
n 1
Ví dụ 2.4: Viết công thức của số hạng tổng quát của các dãy số un với:
u1 8
n
un 1 2un 3 , n 1
(Đs: un 5.2n1 3n )
u1 1
n
un 1 5un 3 , n 1
(Đs: un
u1 101
n 1
un 1 7un 7 , n 1
(Đs: un n.7 n 94.7 n 1 )
4)
u1 1
n
un 1 2un 6.2 , n 1
(Đs: un 3n.2n 5.2n 1 )
u1 0
5)
n
un 1 un 2n.3 , n 1
3 3n 1
n.3n )
(Đs: un
2
1)
2)
3)
Bài giải:
11
1 n n 1
3 5
)
2
GV: Phạm Thị Thu Huyền
u1 8
n
un 1 2un 3 , n 1
1)
Đặt un vn 3n , n 1 thay vào công thức truy hội của dãy un ta được:
vn 1 3n 1 2 vn 3n 3n
vn 1 2vn
vn là một cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1 3 5 và công bội q 2
vn 5.2n 1
un 5.2n 1 3n
u1 1
n
un 1 5un 3 , n 1
2)
3n
thay vào công thức truy hồi ta được
2
3n 1
3n n
vn 1
5 vn 3
2
2
vn 1 5vn
3
1
vn là một cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1 và công bội q 5
2
2
1
vn .5n 1
2
1
1
1
un .5n 1 .3n 3n 5n 1
2
2
2
u1 101
3)
n 1
un 1 7un 7 , n 1
Đặt un vn
Đặt un 7 n vn thay vào công thức truy hồi ta được
7 n 1 vn 1 7.7 n vn 7 n 1
vn 1 vn 1
vn là một cấp số cộng với số hạng đầu v1
101
94
n 1 n
7
7
n
n 1
un n.7 94.7
vn
12
u1 101
và công sai d 1
7
7
GV: Phạm Thị Thu Huyền
u1 1
n
un 1 2un 6.2 , n 1
4)
Đặt un 2n vn , n 1 thay vào công thức truy hồi ta được
2n 1 vn 1 2.2n vn 6.2n
vn 1 vn 3
vn là cấp số cộng với số hạng đầu v1
u1 1
và công sai d 3
2 2
1
5
n 1 3 3n
2
2
5 n
un 3n .2 3n.2n 5.2n 1
2
vn
u1 0
n
un 1 un 2n.3 , n 1
5)
Đặt un 3n vn , n 1 thay vào biểu thức truy hồi của dãy un ta được
3n 1 vn 1 3n vn 2n.3n
1
2
vn 1 vn n
3
3
u1
v1 2 0
dãy vn xác định bởi
v 1 v 2 n, n 1
n 1 3 n 3
Đặt vn yn n thay vào công thức truy hồi của dãy vn ta được
yn 1 n 1
yn 1
1
2
yn n n
3
3
1
yn 1
3
y1 v1 1 1
yn xác định bởi
1
yn 1 3 yn 1, n 1
3
Đặt yn tn thay vào công thức truy hồi của dãy yn ta được
2
3 1
3
tn 1 tn 1
2 3
2
1
tn 1 tn
3
13
GV: Phạm Thị Thu Huyền
tn là một cấp số nhân với số hạng đầu t1 y1
3
3 1
1
1 và công bội q
2
2 2
3
………………….
3 3n 1
n.3n
2
un
LOẠI 2.3: Cho dãy số un
u1 a
xác định bởi:
cun
un 1 q du , n 1
n
GIẢI:
Đặt dãy số vn sao cho: un
1
vn 1
c
vn
q
1
1
thay vào công thức truy hồi của dãy un ta đươc
vn
d
vn
c
vn 1 qvn d
q
d
vn 1 vn
c
c
1
v1 a
quay về DẠNG 1
vn :
q
d
v v , n 1
n 1 c n c
LOẠI 2.4: Cho dãy số un
u1 a
xác định bởi:
b cun
un 1 p ru , n 1
n
GIẢI:
Đặt un vn , n 1 thay vào công thức truy hồi của dãy un ta được
b c vn
vn 1
p r vn
vn 1
b c cvn p rvn 2
p r vn
14
GV: Phạm Thị Thu Huyền
2 p c b c r vn
vn 1
p r rvn
vn trở về loại 2.3, ta chọn
2 r c b 0
Để dãy
là nghiệm của phương trình
Ví dụ 2.5: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy un sau, biết:
u1` 1
1)
un
un 1 1 u , n 1
n
(Đs: un
u1 2
2)
u
un 1 n , n 1
2 un
(Đs: un
1
u1 2
3)
un 1 1
2 un
u1 1
4)
1 4un
un 1 1 6u , n 1
n
(Đs: un
(Đs: un
Bài giải:
u1` 1
1)
un
un 1 1 u , n 1
n
1
thay vào công thức truy hồi của dãy un ta được:
vn
1
v
1
n
vn 1 1 1
vn
Đặt un
15
1
)
n
1
3.2
n2
1
)
n
)
n 1
1
2
n 2
6
1
)
2
GV: Phạm Thị Thu Huyền
1
vn 1 1 vn
vn 1 vn 1
1
Dãy vn là cấp số cộng có số hạng đầu v1
vn v1 n 1 d 1 n 1 n
un
1
1 , công sai d 1
u1
1
n
u1 2
2)
un
un 1 2 u , n 1
n
1
Đặt un thay vào công thức truy hồi của dãy un ta được:
vn
1
vn
1
vn 1 2 1
vn
1
1
vn 1 2vn 1
vn 1 2vn 1
Đặt vn yn 1 thay vào dãy vn ta được:
yn 1 1 2 yn 1 1
yn 1 2 yn
yn là một cấp số nhân với số hạng đầu y1 v1 1
1
3
1 và công bội q 2
u1
2
3
yn .2n 1 3.2n 2
2
vn yn 1 3.2n 2 1
1
un
n2
3.2 1
1
u1 2
3)
un 1 1
2 un
Đặt dãy số vn sao cho: un vn thay vào dãy un ta được:
vn 1
1
2 vn
16
GV: Phạm Thị Thu Huyền
2 2 1 vn
2 vn
Chọn là nghiệm của phương trình: 2 2 1 0 1
vn 1
un vn 1 và vn 1
vn
1 vn
Đặt dãy số yn sao cho: vn
1
thay vào dãy vn ta được:
yn
1
yn
1
yn 1 1 1
yn
1
1
yn 1 yn 1
yn 1 yn 1
yn là cấp số cộng có số hạng đầu y1
yn 2 n 1 1 n 1
vn
1
1
2 và công sai d 1
v1 u1 1
1
1
yn
n 1
un vn 1 1
1
n
n 1 n 1
u1 1
4)
1 4un
un 1 1 6u , n 1
n
Đặt dãy vn sao cho un vn , thay vào công thức truy hồi ta được
vn 1
vn 1
1 4 vn
1 6 vn
6
2
5 1 6 4
1 6 vn
1
là một nghiệm của phương trình 6 2 5 1 0
2
1
v1 2
1
Khi đó un vn và dãy số vn được xác định bởi
vn
2
vn 1
2 6vn
1
Đặt dãy số yn sao cho vn
thay vào công thức truy hồi của dãy vn ta được:
yn
=> chọn
17
GV: Phạm Thị Thu Huyền
1
yn
1
yn 1 2 6
yn
1
1
yn 1 2 yn 6
yn 1 2 yn 6
y1 2
yn 1 2 yn 6, n 1
sao cho yn xn 6 thay vào công thức truy hồi của dãy yn ta được
yn được xác định bởi
Đặt dãy số xn
xn 1 6 2 xn 6 6
xn 1 2 xn
xn là cấp số nhân với x1 y1 6 8 và công bội q 2
xn 8.2n 1 2n 2
yn 2 n 2 6
1
vn n 2
2 6
1
1
un n 2
2 6 2
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy un sau, biết:
u1 1
1)
2un 2
un 1 3u 1 , n 1
n
u1 0
2)
un
un 1 2u 1 , n 1
n
2.3. Sử dụng máy tính casio để tìm các số hạng trong một dãy số được cho bởi công thức
truy hồi:
Theo dự án mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, từ năm học 2016 – 2017 kỳ thi THPT
Quốc gia, bộ môn Toán thi bằng phương pháp trắc nghiệm. Vậy, với một bài toán về dãy
số mà dãy số đó cho bởi công thức truy hồi thì phải giải thế nào? Có phải tìm công thức
của số hạng tổng quát hay không?
Sau đây tôi xin giới thiệu quy trình bấm máy tính casio để tìm giá trị uk của một dãy số
cho bởi biểu thức truy hồi
18
GV: Phạm Thị Thu Huyền
u1 1
. Tính u8 ?
un 1 un 3, n 1
Ví dụ 3.1: Cho dãy số un xác định bởi
Bài giải:
+ Gán giá trị của u1 1 vào biến A: 1 SHIFT STO A
+ Dùng biến D làm biến đếm, công thức truy hồi bắt đầu được tính từ u2 , nên ta gán cho
biến đếm D giá trị khởi đầu là 1: 1 SHIFT STO D
+ Biểu thức lặp: Khi biến đếm D tăng lên 1 đơn vị thì u2 u1 3 A 3 và ta lại gán giá
trị của u2 vào biến A, cứ như vậy biều thức được lặp lại. Nên ta có biểu thức lặp như sau:
D D 1: A A 3
+ Sau đó bấm phím CACL và liên tiếp các dấu “=” cho đến khi giá trị D D 1 8 thì
tính được u8 .
Tóm lại quy trình bấm máy như sau:
1 SHIFT STO A
1 SHIFT STO D
D D 1: A A 3
CACL = = = ……=
Cho đến khi trên màn hình có D D 1 8 bấm tiếp dấu “=” ta được A u8 22
Chú ý: Các ký hiệu “=” và “:” trong biểu thức lặp D D 1: A A 3 là những phím màu
đỏ trên bàn phím của máy tính casio, nên ta phải bấm tổ hợp phím ALPHA và dấu “=”,
dấu “:” màu đỏ. Còn dấu “=” sau khi gọi phím CACL = = = ……= là dấu “=” màu đen
trên màn phím máy tính casio.
Ví dụ 3.2: Cho dãy số un
u1 2
xác định bởi: u2 1
Tính u7 ?
u u 2u , n 1
n
n 1
n 2
Bài giải:
Vì công thức truy hồi được tính theo 2 số hạng đứng ngay trước nó, nên ta cần dùng đến 2
biến A và B cho 2 số hạng đó và phải dùng tới 2 lần lặp. Quy trình bấm máy như sau:
2 SHIFT STO A
-1 SHIFT STO B
2 SHIFT STO D
D D 1: A B 2 A : D D 1: B A 2 B
CACL = = = ….=
Cho đến khi D D 1 7 bấm tiếp dấu “=” nữa ta được u7 23
19
GV: Phạm Thị Thu Huyền
Lời bình: Với quy trình này học sinh không phải dùng nháp và tính từng bước từ công
thức truy hồi hoặc không phải tìm công thức của số hạng tổng quát đồng thời cũng có lợi
khi bài toán yêu cầu tìm uk với k hơi lớn (VD: u40 , u45 )
Bài tập áp dụng:
u1 2
Bài 1: Cho dãy số un xác định bởi:
. Số hạng u4 của dãy số là:
u 1
un 1 n
,n 1
2
9
7
4
A. 1
B.
C.
D.
8
8
3
Bài 2: Cho dãy số hữu hạn un có dạng khai triển là: 1; 1; 1; 1; 5; 11; 19; 29; 41; 55;
Khi đó công thức tổng quát của dãy số là:
B. un n 2 3n 1
A. un n 2 3n 1
C. un n 2 5n 5
D. un n 2 2n
Bài 3: Cho dãy số un
u1 1
n
xác định bởi
Công thức của số hạng tổng
1
un 1 un , n 1
2
quát un là:
2n 1 1
2n
2n 1 1
D. un n 1
2
2n 1
2n 1
2n 3
C. un n
2
A. un
B. un
Với bài số 2: Ta sử dụng MODE 7 để kiểm tra từng đáp án
Quy trình bấm như sau:
MODE 7
F x x 2 3x 1
START 1
END 10
STEP 1
Sau đó dò trên cột f x . Nếu cột này trùng với các giá trị của các số hạng trong dãy số
thì ta chọn biểu thức đó.
Chú ý: Với máy casio fx – 570 VN PLUS ta có thể kiểm tra một lúc 2 đáp án qua 2 hàm
f x và g x bằng phím chuyển đổi: SHIFT MODE ▼ 5 2
2.4. Các bài toán thi học sinh giỏi các cấp:
20
- Xem thêm -
.PDF 
23 
634 
92 
