Mô tả:
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
NGUYÊN HÀM_CÁC PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
I – TỔNG QUAN LÝ THUYẾT:
1. Nguyên hàm
a. Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm
số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ' x f x với mọi x K .
b. Định lí:
1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số
G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K .
2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x
trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng số.
Do đó F x C , C là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K .
Ký hiệu
f x dx F x C
.
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:
f x dx f x và f ' x dx f x C
kf x dx k f x dx với k là hằng số khác 0 .
Tính chất 3: f x g x dx f x dx g x dx
Tính chất 2:
Chú ý:
f x .g x dx f x dx. g x dx;
f x
g x
dx
f x dx .
g x dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm của hàm số hợp Nguyên hàm của hàm
số hợp u u x
u ax b; a 0
sơ cấp
0dx C
0du C
dx x C
du u C
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
1
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
x
dx
1 1
x C
1
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
ax b
1
1
1
1
1 1
dx .
ax b C
a 1
1
1
ax b dx a ln ax b C
e dx e
e
x
C
ax b
1
1
dx e axb C
a
e du e
u
u
C
u
a du
a 0, a 1
a 0, a 1
a 0, a 1
sin xdx cos x C
sin ax b dx
cos xdx sin x C
cos ax b dx
1
cos2 x dx tan x C
cos ax b dx
1
sin2 x dx cot x C
cot ax b
1
d
x
C
sin2 ax b
a
ax
C
ln a
C
u du ln u C
1 Aax b
ax b
A
d
x
.
C
a ln A
x
a dx
1
1
x dx ln x C
x
1
u du 1 u
cos ax b
a
sin ax b
a
1
2
a
sin udu cos u C
C
cos udu sin u C
C
tan ax b
au
C
ln a
1
cos
C
2
u
1
sin
2
u
du tan u C
du cot u C
II – PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phƣơng pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu
f u du F u C và u u x là hàm số có đạo hàm liên tục thì
f u x u ' x dx F u x C
Hệ quả: Nếu u ax b a 0 thì ta có
f ax b dx a F ax b C
1
2. Phƣơng pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u u x và v v x có đạo hàm liên tục trên K thì
u x v ' x dx u x v x u ' x v x dx
Vì v ' x dx dv, u ' x dx dv nên đẳng thức còn được viết dưới dạng:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
2
udv uv vdu
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
II – BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:
Nhóm kỹ năng:
MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN
Ví dụ 1: Xác định:
a)
x 1 2x 1 dx.
2
b)
x4 3x2 4 x 2
dx.
x
c)
4
3
x 3 4 x dx. x 0 .
Lời giải:
a) Ta có:
x 1 2x 1 dx x
2
2
2 x 1 2 x 1 dx 2 x3 3x2 1 dx
x4
x 3 x C.
2
x 4 3x 2 4 x 2
3
2
x 4 3x 2
b) Ta có:
dx x 3x 4 dx
4 x 2 ln x C.
x
x
4
2
c) Ta có, với x 0 :
4
5
1
1
4 x 3 3x 4
12
4 3 x 3 4 x dx 4 x 3 3x 4 dx
3 x 3 x x 4 x C.
4
5
5
3
4
Ví dụ 2: Xác định:
a) 4
2 x 1
b) e 2 e
x
dx.
x
2
e2x 2 e4x
dx.
c)
ex
dx.
Lời giải:
a) Ta có: 42 x 1 dx
4 2 x 1
C.
2 ln 4
4 2 x 1 4 2 x 1 4 2 x
1
1 4x
.16 x
.2 (để phát triển đáp án trong vấn đề trắc nghiệm).
Nhận xét:
2 ln 4 4 ln 2 ln 2 ln 2
ln 2
b) Ta có: e x 2 e x
c) Ta có:
2
dx e x 4 4e x e 2 x dx 4e x 4e 2 x e 3 x dx 4e x 2e 2 x
e3x
C.
3
e2x 2 e4x
e3x
e5x
3x
x
5x
x
d
x
e
2
e
e
d
x
2
e
C.
ex
3
5
Ví dụ 3: Xác định:
a)
2 sin 4x 3cos 5x 1 dx.
c) 2 sin 4 3xdx.
b)
4 sin
d)
sin
4
2
2 x 6 cos2 x dx.
2x cos4 2 x dx.
Lời giải:
a) Ta có:
2 sin 4x 3cos 5x 1 dx
cos 4 x 3sin 5x
x C.
2
5
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
3
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
b) Ta có:
4 sin
2
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
2x 6 cos2 x dx 2 1 cos 4 x 3 1 cos 2 x dx 3cos 2 x 2 cos 4 x 5 dx
3sin 2 x sin 4 x
5 x C.
2
2
c) Ta có: 2 sin 3x 2 sin 3x
4
2
2
2
1 cos 6 x
1
2
1 2 cos 6 x cos 2 6 x
2
2
1
1 cos12 x 3
cos12 x
1 2 cos 6 x
2 cos 6 x
.
2
2
4
4
3
cos12 x
3x sin 6 x sin12 x
Vậy 2 sin 4 3xdx 2 cos 6 x
dx
C.
4
4
3
48
4
1
1 1 cos 8 x 3 cos 8 x
d) Ta có: sin 4 2 x cos4 2 x 1 sin 2 4 x 1 .
.
2
2
2
4
4
Vậy
sin
4
3 cos 8 x
3
sin 8 x
2 x cos4 2 x dx
dx x
C.
4
4
32
4
Ví dụ 4: Xác định:
a) 2 sin 3x cos 2xdx.
b) 6 sin 4x sin 2xdx.
c) cos 5x cos 2xdx.
d) 8 sin 3x cos 2x sin 6 xdx.
Lời giải:
a) Ta có: 2 sin 3x cos 2 xdx sin x sin 5x dx cos x
b) Ta có: 6 sin 4 x sin 2 xdx 3 cos 2 x cos 6 x dx
c) Ta có: cos 5x cos 2 xdx
cos 5x
C.
5
3sin 2 x sin 6 x
C.
2
2
1
sin 3x sin 7 x
cos 3x cos7 x dx
C.
2
6
14
d) Ta có: 8 sin 3x cos 2x sin 6 x 4 sin x sin 5x sin 6 x 4 sin x sin 6 x 4 sin 5 x sin 6x
2 cos 5x cos7 x 2 cos x cos11x 2 cos x 2 cos 5x 2 cos7 x 2 cos11x .
Vậy 8 sin 3x cos 2x sin 6 xdx 2 cos x 2 cos 5x 2 cos7 x 2 cos11x dx
2 sin x
2 sin 5x 2 sin 7 x 2 sin11x
C.
5
7
11
Bài tập tự luyện: Xác định các nguyên hàm sau:
1)
3x 1 2x 1 dx.
2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
x4 7 x2 2x 5
dx.
2)
x2
4
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
3)
4
3
x 5 x dx. x 0 .
5) e 2 x 3 e x
7)
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
2
4) 92 x1 dx.
dx.
3sin 2x 2 cos7 x 1 dx.
6)
e2x 2 e4x
dx.
ex
8)
2 sin
sin
2
2 x 4 cos2 4 x dx.
4
x cos4 x dx.
9) 6 sin 4 2 xdx.
10)
11) 8 sin 3x cos 6 xdx.
12) 10 sin 2x sin 8xdx.
13) 4 cos 5x cos 3xdx.
14) 16 sin 2 x cos 3x sin 6 xdx.
Nhóm kỹ năng:
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC
Nội dung:
Để tìm nguyên hàm của hàm số
P( x )
, trong đó P( x), Q( x) là các đa thức, ta thực hiện như
Q( x)
sau:
- Nếu bậc của P( x) không nhỏ hơn bậc của Q( x) , thì ta tách phần nguyên ra, tức là biểu
biễn:
P ( x)
P ( x)
P( x)
M( x) 1
, trong đó M( x) là đa thức, và 1
là phân thức có bậc của
Q( x)
Q( x)
Q( x)
P1 ( x) nhỏ hơn bậc của Q( x) .
- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẩu, thì ta phân tích mẫu thành tích các nhị thức bậc
nhất và các tam thức bậc hai có biệt số âm:
Q( x) ( x a)m ...( x2 px q)n
p2 4q 0
- Phân tích phân thức hữu tỉ thành các phân thức đơn giản:
P( x)
x a x
m
2
px q
A1
x a
n
x
2
Am
A2
...
...
m 1
x
a
x a
B1 x C1
2
px q
B2 x C2
x
n
2
px q
n 1
...
Bn x Cn
x
2
px q
- Đồng nhất hai vế để tìm các hệ số A1 , A2 ,..., Am , B1 ,..., Bn .
Cuối cùng việc tìm nguyên hàm của các phân thức hữu tỉ được đưa về nguyên hàm của đa
thức và các phân thức hữu tỉ đơn giản.
LUYỆN TẬP:
Ví dụ 1: Xác định các nguyên hàm sau:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
5
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
a) I1
3x 1
dx
x4
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
b) I 2
x4 4x 2
dx
2x 1
Lời giải
a) Ta có: I1
b) Biểu diễn:
3x 1
3( x 4) 13
1
dx
dx 3dx 13
dx 3x 13ln x 4 C
x4
x4
x4
x4 4 x 2 x3 x2 x 47 1
1
.
2x 1
2 6 12 24 24 2 x 1
Lúc đó:
I2
x3 x2 x 31 63 1
x4 4x 2
x 4 x 3 x 2 31x 63
dx .
d
x
ln 2 x 1 C.
2x 1
2
4
8
16
16
2
x
1
8
12
16
16
32
Ví dụ 2: Xác định các nguyên hàm sau:
a) I1
3
dx
x 4
2
b) I 2
1
dx
x 5x 6
2
c) I 3
1
dx
2 x 3x 1
2
Lời giải
a) Ta có:
I1
3
1
3 ( x 2) ( x 2)
3 1
1
3 x2
dx 3
dx
dx
dx ln
C
( x 2)( x 2)
4 ( x 2)( x 2)
4 x2 x2
4 x2
x 4
2
b) Tương tự:
I2
1
1
( x 2) ( x 3)
1
1
x3
dx
dx
dx
dx ln
C
( x 2)( x 3)
( x 2)( x 3)
x2
x 5x 6
x3 x2
2
c) Phân tích:
1
2 x 3x 1
2
1
1
2 x 1 x
2
1
x 2 x 1
1
1
dx
Hướng 1: I 3 2
dx
dx
1
1
2 x 3x 1
2 x 1 x
x 1 x 2
2
1
1
x 1
2x 2
C ln
C
dx ln
1
2x 1
x 1 x 1
x
2
2
Hướng 2: I 3
1
1
(2 x 1) 2( x 1)
dx
dx
dx
2 x 3x 1
x 1 2x 1
x 1 2x 1
2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
6
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
1
2
x 1
dx ln x 1 ln 2 x 1 C ln
C
2x 1
x 1 2x 1
Nhận xét: Hướng 2 giải quyết tốt và gọn gàng hơn.
Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau:
a)
2x 1
x2 5x 4dx
b)
x2 x
x2 5x 6dx
c)
2 x3 x
x2 3x 2dx
Lời giải
2x 1
2x 1
A
B
x 5x 4 x 1 x 4 x 1 x 4
a) Phân tích:
2
Cách 1: (*)
2x 1
A( x 4) B( x 1)
(*)
x 1 x 4 x 1 x 4
A B x 4 A B
2x 1
x 1 x 4
x 1 x 4
A B 2
A 1
2 x 1 A B x 4 A B
4 A B 1 B 3
Cách 2: Từ (*) đồng nhất ta có: 2x 1 A( x 4) B( x 1) (**)
Thay x 1 vào (**): 3 3 A A 1.
Thay x 4 vào (**): 9 3B B 3.
Lúc đó:
2x 1
1
3
x 5x 4 x 1 x 4
2
Cách 3:
x
2
x
2
2x 1
1
1
dx
dx 3
dx ln x 1 3ln x 4 C
x 1
x4
5x 4
2
2 x 1 3
2x 1
2x 1
3
dx
dx
dx
dx.
x 4 x 1 x 4
5x 4
x 1 x 4
x 1 x 4
Nhận xét: Cách giải 2, tỏ ra khoa học và tốt hơn cách 1.
Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau:
a) I1
x2 x 4
dx
x 3 3x 2 2 x
b) I 2
x2 1
dx
x 1 x 3
2
c) I 3
x2
x 1
5
dx
Lời giải
a) Phân tích:
x2 x 4
x2 x 4
x2 x 4
x( x 1)( x 2)
x 3 3x 2 2 x x x 2 3x 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
7
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
x2 x 4
A
B
C
Sử dụng đồng nhất thức:
x( x 1)( x 2) x x 1 x 2
x
x2 x 4
A( x 1)( x 2) Bx( x 2) Cx( x 1)
x
x( x 1)( x 2)
x( x 1)( x 2)
x2 x 4 A( x 1)( x 2) Bx( x 2) Cx( x 1) x (*)
Thay x 0 vào (*), ta được: 4 2 A A 2
Thay x 1 vào (*), ta được: 4 B B 4
Thay x 2 vào (*), ta được: 6 2C C 3 .
Lúc đó: I1
b) Phân tích:
x2 x 4
2 4
3
dx
dx 2 ln x 4 ln x 1 3ln x 2 C
3
2
x 3x 2 x
x x 1 x 2
x2 1
x 1 x 3
2
A
B
C
2
x 1 ( x 1) x 3
x2 1
x 1 x 3
2
x
A( x 1)( x 3) B( x 3) C( x 1)2
x 1 x 3
x
2
x 2 1 A( x 1)( x 3) B( x 3) C( x 1)2
x
(*)
1
Thay x 1 vào (*) ta được: 2 4 B B .
2
5
Thay x 3 vào (*) ta được: 10 16C C .
8
Thay x 0 vào (*) ta được: 1 3 A 3B C A
3B C 1 3
.
3
8
3
5
1
3
1 1
5
8
2
dx
8 dx ln x 1 .
ln x 3 C
Lúc đó: I 2
2
2
8
2 x 1 8
x 1 ( x 1) x 3
x 1 x 3
x2 1
c) Phân tích:
x2
x 1
5
A
B
C
D
E
2
3
4
x 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)5
Sử dụng phương pháp đồng nhất thức như trên.
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau:
1)
2
4x2 9dx
2)
2x 1
x2 5x 4dx
3)
2x3 x
x2 3x 2dx
4)
2x 6
x 2 3x 1dx
5)
x2 2 x 6
x 1 x 2 x 4 dx
6)
x x 3 dx
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
8
x2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
x3 x
7) 2
dx
x 6x 5
10)
8)
x3 2x
x
1
2
dx
2
11)
1
x2 2 x
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
2
5x3 17 x2 18 x 5
9)
dx
3
x 1 x 2
dx
x2 1
dx
12)
x 1 x 3
2
Nhóm kỹ năng:
x5 1
x4 8x2 16dx
NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
I f ( x)
DẠNG 1:
sin x
cosx
dx , trong đó f ( x) : đa thức.
du f / ( x)dx
u f ( x)
Phương pháp: Đặt
dv sinxdx chän: v sin xdx
Ví dụ 1: Xác định:
a)
x 1 sin 2xdx.
b)
x
2
x cos xdx.
Lời giải
u x 1 du dx
a) Đặt
cos 2 x
sin 2 xdx dv chän v
2
Ta có:
x 1 sin 2xdx
x 1 cos 2x
2
x 1 cos 2x sin 2x C.
cos 2 x
dx
2
2
4
2
u x x du 2 x 1 dx
Đặt
. Ta có:
cos xdx dv chän v sin x
Xét
x
2
x cos xdx x2 x sin x 2x 1 sin xdx.
u 2 x 1 du 2dx
2x 1 sin xdx. Đặt sin xdx dv
chän v cos x
2x 1 sin xdx 2x 1 cos x 2 cos xdx 2x 1 cos x 2 sin x C .
Vậy x x cos xdx x x sin x 2x 1 cos x 2 sin x C '.
Ta có:
2
2
I f ( x).e x dx , trong đó f ( x) : đa thức.
DẠNG 2:
u f ( x)
du f / ( x)dx
Phương pháp: Đặt
dv e x dx chän: v e x dx
Ví dụ 2: Xác định:
a)
x 1 e
2x
dx.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
b)
9
x
2
4 x e x dx.
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Lời giải
u x 1 du dx
a) Đặt 2 x
e 2 x . Ta có:
e
d
x
d
v
chän
v
2
2x
x 1 e dx
2
u x 4 x du 2 x 4 dx
b) Đặt x
. Ta có:
x
e dx dv chän v e
Xét
x
2
x 1 e
2x
2
x 1 e
e2x
dx
2
2
2x
e2x
C.
4
4x e x dx x2 4x e x 2x 4 e x dx
u 2 x 4 du 2dx
.
x
x
chän
v
e
2x 4 e dx . Đặt e dx dv
x
2x 4 e dx 2x 4 e 2e dx 2x 4 e 2e
Vậy x 4x e dx x 4x e 2x 4 e 2e C '.
x
Ta có:
2
x
x
2
x
x
x
I f ( x)
DẠNG 3:
x
x
C.
x
ln x
dx , trong đó f ( x) : đa thức.
log a x
1
du dx
u ln x
x
Phương pháp: Đặt
dv f ( x)dx chän: v f ( x)dx
Ví dụ 3: Xác định:
a)
2x 1 ln xdx.
b) x ln x2 x dx.
Lời giải
1
u ln x du dx
.
a) Đặt
x
2 x 1 dx dv chän v x 2 x
Ta có:
2x 1 ln xdx x
2
x ln x x 1 dx x 2 x ln x
x2
x C
2
2x 1
2
u ln x x du x 2 x dx
a) Đặt
2
xdx dv chän v x
2
2
x2
1 x 2 x 1
2
Ta có: x ln x x dx ln x x
dx
2
2
x2 x
2
x2
1
1
x2
x2 x 1
2
2
ln x x 2 x 1
dx ln x x ln x 1 C.
2
2
x 1
2
2 2 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
10
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Bài tập tƣơng tự:
1) Xác định các nguyên hàm sau:
I1 x sin xdx
I 2 x cos 2xdx
I 3 2x cos2 xdx
I 4 2x 1 cos2 xdx
I 5 x2 1 sin xdx
I 6 x cos2 x sin xdx
I9
I10 x 2 cos2 x 1 dx
x sin x
dx
cos2 x
x sin x
dx
I11
cos3 x
I13 sin xdx
I14 x tan 2 xdx
I15 x2 2x 3 cos xdx
I7 x sin 2 x cos xdx
I8
x
dx
cos2 x
x sin x
dx
1 cos x
I12 x sin xdx
x
dx
cos 2 x 1
I17 x2 5 sin xdx
I18
I1 xe x dx
I 2 x2 e x dx
I 3 x 1 e 2 x dx
I 4 e x dx
I 5 x3 e x dx
I 6 2 x xdx
I8 e cos x .sin 2xdx
I 9 e xln x dx
I 2 x ln xdx
I 3 ln 2 xdx
I 5 log 2 x 3 dx
I 6 lg xdx
I16
2) Xác định các nguyên hàm sau:
2
2
I7 x2 2x 1 e x dx
3) Xác định các nguyên hàm sau:
I1 ln xdx
I4
ln xdx
x
I7 2x ln 1 x dx
I10 ln x2 1 dx
I13
ln x
dx
x3
I16
ln x
I 8 x ln 1 x2 dx
I 9 ln x2 x dx
I11 x2 lnxdx
I12 x3 ln 2 xdx
I14
ln ln x
x
dx
I15 1 ln x dx
2
I17 x ln x2 1 dx
x2 1
I18
ln xdx
x
I1 e x cos xdx
I 2 cos ln x dx
I 3 sin x.ln(tan x)dx
I 4 5e x sin 2 xdx
I 5 e 3 x .sin 5xdx
I6 cos x.ln 1 cos x dx
x 1
2
dx
4) Xác định các nguyên hàm sau:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
11
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
I7 e 2 x sin 2 xdx
I8 sin x ln cos x dx
I 9 ln x2 x dx
I10 x cos x sin xdx
I11 x sin x cos2 xdx
I12 ( x ln x)2 dx
Nhóm kỹ năng:
ĐỔI BIẾN
a) A tan xdx.
Ví dụ 1: Xác định
b) B cot xdx .
Lời giải
a) A tan xdx
sin x
dx
cos x
Đặt t cos x dt sin xdx . Khi đó: A
b) B cot xdx
dt
ln t C ln cos x C .
t
cos x
dx
sin x
Đặt t sin x dt cos xdx . Khi đó: A
dt
ln t C ln sin x C .
t
Ví dụ 2: Xác định nguyên hàm của hàm số f x trong các trường hợp sau:
a) f x e1cos x sin x.
b) f x sin3 x cos5 x.
Lời giải
a) I f x dx e1cos x sin xdx.
Đặt t 1 cos x dt sin xdx. Khi đó: I et dt et C e1cos x C.
b) I f x dx sin3 x cos5 xdx sin x 1 cos2 x cos5 xdx.
Đặt t cos x dt sin xdx.
Khi đó: I 1 t 2 t 5dt t 7 t 5 dt
t8 t6
cos8 x cos6 x
C
C.
8 6
8
6
Ví dụ 3: Xác định các nguyên hàm sau:
a) A
9 x2 12 x
dx.
x3 2 x2 5
b) B
Lời giải
x 1
x1
dx.
3 3x 2 4 x
9 x2 12 x
dx 3
dx.
a) A 3
x 2x2 5
x 2x2 5
Đặt t x3 2x2 5 dt 3x2 4x dx. Khi đó: A
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
12
3dt
3ln t C 3ln x3 2 x 2 5 C.
t
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
b) B
x 1
x1
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
dx.
Đặt t x 1 t 2 x 1 2tdt dx.
Khi đó: B
t
2
1 1
t
t3
2tdt 2 t 2 2 dt 2 2t C
3
2 x 1 x 5
x1
2 x 1
2 C
C.
3
3
Ví dụ 4: Xác định các nguyên hàm sau:
a) A
ln x 1
2
x
dx
.
x ln x ln ln x
b) B
dx.
Lời giải
a) A
ln x 1
2
x
dx.
ln x 1 C.
t3
dx
2
Đặt t ln x 1 dt . Khi đó: A t dt C
x
3
3
dx
.
b) B
x ln x ln ln x
3
Đặt t ln ln x dt
1
dt
dx. Khi đó: I ln t C ln ln ln x C.
x ln x
t
Ví dụ 5: Xác định các nguyên hàm sau:
a) I
ex 1
dx.
x ex
b) J
sin x cos x
sin x cos x
2
dx.
Lời giải
a) I
ex 1
dx.
x ex
Đặt t 1 e x dt 1 e x dx . Khi đó: I
a) J
sin x cos x
sin x cos x
2
dt
ln t C ln 1 e x C.
t
dx.
Đặt t sin x cos x dt cos x sin x dx . Khi đó: J
dt
1
1
C
C .
2
t
sin x cos x
t
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau:
1) A
1 cot x
dx.
sin 2 x
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
6) F
13
1 3ln x ln x
dx.
x
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
2) B
cos ln x
x
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
7) G e cos2 x sin x cos xdx.
dx.
1
3) C sin2 x cos3 xdx.
8) H
ex ex
4) D x x dx.
e e
9) I
5) E x3 3 x2 1dx.
10) K cos4 xdx.
Nhóm kỹ năng:
a) I tan xdx.
Lời giải
a) Ta có: I tan xdx
b) Ta có: I cot xdx
sin 2 x
dx.
4 cos 2 x
b) I cot xdx.
d cos x
sin x
dx
ln cos x C.
cos x
cos x
d sin x
cos x
dx
ln sin x C.
sin x
sin x
1 2sin 2 x
dx .
a) I
1 sin 2 x
Ví dụ 2: Xác định
a) Ta có: I
dx.
DÙNG VI PHÂN
Ví dụ 1: Xác định
Lời giải
x x2 1
b) I e sin x cos x cos xdx .
1 2sin 2 x
cos2 x
1 d 1 sin 2 x 1
dx
dx
ln 1 sin 2 x C.
1 sin 2 x
1 sin2 x
2
1 sin2 x
2
Nhận xét: So với phép đổi biến t 1 sin2x thì cách dùng vi phân tỏ ra khoa học hơn.
b) Ta có: I e sin x cos x cos xdx e sin x cos xdx cos2 xdx e sin x d sin x
1 cos 2 x
dx
2
1
1
e sin x x sin 2 x C.
2
4
a) I
Ví dụ 3: Xác định
dx
.
x
e 1
b) I
e x dx
1 e
x
3
Lời giải
a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:
ex 1 ex
d ex 1
dx
ex
I x
dx dx x
dx dx x
e 1 ex 1
e 1
e 1
x ln e x 1 C.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
14
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
b) Ta có: I
e x dx
1 e
x
3
1 ex
3
2
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
d 1 ex
x 3 dx
a) I 2
.
x 1
Ví dụ 4: Xác định
1 e
x
3 1
2
3 1
2
C
3
1 ex
C.
4x3
b) I 2
dx.
2 x 3x 1
Lời giải
a) Dùng kỹ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích:
2
x2 1 1 .xdx
x3dx
x2 .xdx
xdx
1 d x 1
I 2
xdx 2
xdx 2
2
x 1 x2 1
x2 1
x 1
x 1
x2 1
ln x2 1 C.
2 2
2
4x3
7x 3
7 2 x 3x 1 ' 9
1
b) Phân tích:
2x 3 2
2x 3 .
. 2
2
2
4 2 x 3x 1
4 2 x 3x 1
2 x 3x 1
2 x 3x 1
2
2
7 2 x 3x 1
9 2 x 1 2 x 1
7 2 x 3x 1
9 1
2
2x 3 .
.
2x 3 .
2
2
4 2 x 3x 1
4
( x 1)(2 x 1)
4 2 x 3x 1
4 x 1 2 x 1
/
/
/
2 x 2 3x 1
7
9 1
2
dx
Suy ra: I 2 x 3 .
4 2 x 2 3x 1
4 x 1 2 x 1
2
7 d 2 x 3x 1 9
1
9 d 2 x 1
2 x 3 dx
d
x
4
4 x 1
4 2x 1
2 x 2 3x 1
7
9
9
x2 3x ln 2 x2 3x 1 ln x 1 ln 2 x 1 C.
4
4
4
Bài tập tƣơng tự: Xác định các nguyên hàm sau:
3x
1) I 2
dx
x 1
4) I e sin x .cosx tanx dx
7) I
sin2 x.cosx
dx
1 cosx
ln 2 x ln x 4
2) I
dx
2x
sin 2 x
5) I
dx
cos2 x 4sin 2 x
e x dx
3) I x
e 2
dx
6) I x
e 2e x 3
8) I x3 . 1 x2 dx
9) I
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
15
x2 e x 2x2 e x
dx
2e x 1
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
IV – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:
Câu 1.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên
a; b
và C là hằng số thì
f x dx F x C .
B. Mọi hàm số liên tục trên a; b đều có nguyên hàm trên a; b .
C. F x là họ nguyên hàm của f x trên a; b F / x f x , x a; b .
D.
f x dx
f x , x a; b .
/
Lời giải
Phương án C sai, vì F x là một nguyên hàm của f x trên chỉ kéo theo được
F / x f x , x a; b Chọn đáp án C.
Câu 2.
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 0dx C ( C là hằng số).
C.
x dx
B.
x 1
C ( C là hằng số).
1
1
x dx ln x C
( C là hằng số).
D. dx x C ( C là hằng số).
Lời giải
Ở phương án C, trường hợp 1 thì khẳng định trên sai Chọn đáp án C.
Câu 3.
Hàm số f x
1
có nguyên hàm trên:
cos x
B. ; .
2 2
A. 0; .
D. ; .
2 2
C. ; 2 .
Lời giải
Ta có: Vì f x
1
xác định và liên tục trên khoảng
cos x
2 ; 2 nên hàm số có nguyên
hàm trên ; Chọn đáp án B.
2 2
Câu 4.
Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số x 3 ?
4
A.
x 3
5
5
x.
B.
x 3
5
5
C.
.
x 3
5
5
2016.
D.
x 3
5
5
1.
Lời giải
/
x 3 5
4
4
Ta có:
x x 3 1 x 3 Chọn đáp án A.
5
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
16
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Câu 5.
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn
lại?
A. sin 2x và cos2 x.
B. cos 2x và sin 2 x.
C. e 2 x và 2e 2 x .
D. tan 2x và
2
.
cos 2 2x
Lời giải
Vì tan 2 x '
Câu 6.
2
nên phương án D đúng Chọn đáp án D.
cos2 2 x
Nguyên hàm F x của hàm số f x
1
biết F là
2
sin x
2 2
A. F x x.
B. F x cot x
C. F x cot x.
D. F x sin x
2
2
.
1.
Lời giải
Ta có: F x
1
dx cot x C .
sin 2 x
F cot C C . Vậy F x cot x Chọn đáp án B.
2
2
2
2
2 2
Câu 7.
Hàm số F x thỏa mãn F ' x
3
1
3x 1 x 1
2
A. F x
2
. Lúc đó, F x là
B. F x
1
1
C.
3x 1 x 1
1
1
C. F x
C.
x 1 3x 1
1
3
C.
x 1 3x 1
1
C
D. F x
.
x 1 3x 1
Lời giải
3
1
1
1
Ta có: F x
dx
d 3x 1
d x 1
2
2
2
2
3x 1 x 1
3 x 1
x 1
Câu 8.
1
1
C Chọn đáp án C.
x 1 3x 1
Hàm số F x biết F ' x 3x2 2x 1 và đồ thị y F x cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng 2017 là
A. F x x2 x 2017.
B. F x cos 2x 2016.
C. F x x3 x2 x 2017.
D. F x x3 x2 x 2016.
Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
17
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Ta có: F x 3x2 2x 1 dx x3 x2 x C .
Đồ thị y F x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2017 F 0 2017
C 2017 . Vậy F x x3 x2 x 2017 Chọn đáp án C.
Câu 9.
1
Nguyên hàm của hàm số f ( x) 2x 1 ; x là
2
A.
f x dx 3 2x 1
C.
f x dx 3
1
1
2x 1 C .
2x 1 C .
B.
f x dx 3 2x 1
D.
f x dx 2
2
1
2x 1 C .
2x 1 C .
Lời giải
Ta có:
f x dx 2 x 1dx
1
1
2 d 2x 1
2
x
1
2
3
1 2 x 1 2
2
C
3
2
1
2x 1 2x 1 C Chọn đáp án A.
3
Câu 10. Hàm số F x e x là một nguyên hàm của hàm số
3
A. f x e x .
B. f x 3x2 e x .
3
3
3
ex
C. f x 2 .
3x
D. f x x3 e x 1.
3
Lời giải
3x e
Ta có: F ' x e x
3
/
2 x3
Chọn đáp án B.
Câu 11. Nguyên hàm của hàm số f ( x)
1
sin x
6
là
2
A.
f ( x)dx cot x 6 C .
C.
f ( x)dx cot x 6 C .
1
B.
f ( x)dx 6 cot x 4 C .
D.
f ( x)dx 6 cot x 6 C .
1
Lời giải
Ta có:
f ( x)dx
1
dx
d x cot x C .
6
6
sin 2 x
sin 2 x
6
6
1
Chọn đáp án A.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
18
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Câu 12. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 2 sin 4x là hàm số F x thỏa mãn F 0
Khi đó F x là hàm số nào sau đây?
A. F x
B. F x
cos 4 x
2.
4
cos 4 x
C. F x
2.
2
3
.
2
cos 4 x
2.
2
D. F x 2 cos 4x 2 .
Lời giải
Ta có: F x 2 sin 4 xdx
Vậy F x
cos 4 x
3
1
3
C . Vì F 0 nên C C 2 .
2
2
2
2
cos 4 x
2 Chọn đáp án B.
2
Câu 13. Giá trị m để hàm số F x 4mx3 2x2 m2 2 x 1 là một nguyên hàm của hàm số
f x 12x2 4x x là
A. m 1 .
B. m 0 .
C. m 1 .
D. m 2 .
Lời giải
Ta có: F ' x 12mx2 4x m2 2 f x . Đồng nhất các hệ số tương ứng ta được:
12m 12
m 1 Chọn đáp án C.
2
m
2
1
Câu 14. Tính
A.
1
4x
2
dx ta được kết quả
1
ln 2 x 2 x C.
4
1 2x
C. ln
C.
4 2x
B.
1 2x
ln
C.
4 2x
D.
1
ln x 2 .ln x 2 C.
4
Lời giải
Ta có:
1
4x
2
dx
1
2 x 2 x
dx
1 1
1
dx
4 2 x 2 x
1
1
ln 2 x ln 2 x C ln 2 x 2 x C Chọn đáp án C.
4
4
Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm là f ' x
A. ln 2.
B. 2ln 3 1.
1
và f 0 1 thì f 1 có giá trị bằng
2x 1
1
C. 2ln 3 1.
D. ln 3 1.
2
Lời giải
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
19
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Ta có: f x
1
1
1
1
dx
d 2 x 1 ln 2 x 1 C .
2x 1
2 2x 1
2
1
1
f 0 1 ln1 C 1 C 1 f x ln 2 x 1 1
2
2
1
Vậy f 1 ln 3 1 Chọn đáp án D.
2
Câu 16. Cho hàm số y f x
1
. Nếu F x là nguyên hàm của hàm số f x và đồ thị
sin 2 2 x
y F x đi qua điểm A ; 0 thì F x là
12
A. F x
C. F x
cot 2 x 3
.
2
B. F x
cot 2 x 3
.
2
cot 2 x 3
.
2
D. F x cot 2 x
3
.
2
Lời giải
Ta có: F x
1
1
dx cot 2 x C .
2
2
sin 2 x
1
3
Đồ thị y F x đi qua điểm A ; 0 0 F cot C 0 C
.
2
6
2
12
12
1
3 cot 2 x 3
Vậy F x cot 2 x
Chọn đáp án C.
2
2
2
Câu 17. Kết quả
A.
ln 3 x
x dx là
3ln 2 x ln 3 x
.
x2
B.
ln 4 x
C.
4x
C.
ln 4 x
C.
4
D. 3ln2 x C.
Lời giải
Ta có:
ln 3 x
ln 4 x
3
d
x
ln
x
dlnx
C Chọn đáp án C.
x
4
Câu 18. Tính F( x) x sin xdx ta được kết quả
A. F( x) x sin x cos x C .
B. F( x) sin x x cos x C .
C. F( x) sin x x cos x C .
D. F( x) x sin x cos x C .
Lời giải
Đặt u x, dv sin xdx du dx, v cos x .
Ta có: F( x) x cos x cos xdx x cos x sin x C Chọn đáp án B.
Câu 19. Kết quả của
x ln 2 x dx là
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…
20
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- Xem thêm -
.PDF 
41 
177 
71 
