Tài liệu Các đường tròn lemoine và họ các đường tròn tucker

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRỊNH VĂN DŨNG CÁC ĐƯỜNG TRÒN LEMOINE VÀ HỌ CÁC ĐƯỜNG TRÒN TUCKER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 8 - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRỊNH VĂN DŨNG CÁC ĐƯỜNG TRÒN LEMOINE VÀ HỌ CÁC ĐƯỜNG TRÒN TUCKER Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên 8 - 2020 i Lời cảm ơn Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phòng. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả cũng đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K12B; Nhà trường và các phòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K12B đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020 Tác giả Trịnh Văn Dũng ii Danh mục hình 1.1 Ba đường đối trung đồng quy tại điểm Lemoine . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tính chất đường đối trung của tam giác 1.3 L là trọng tâm tam giác pedal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Hai đường đối song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Các cạnh đối song DE và F K của tam giác ABC bằng nhau . . . . . 14 1.6 Mệnh đề 1.2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Đường tròn Lemoine thứ nhất 2.2 Đường tròn Lemoine thứ hai 2.3 Dựng điểm Lemoine 2.4 Độ dài các đường song song Lemoine 2.5 Độ dài đường đối song Lemoine 2.6 Tính bán kính đường tròn Lemoine thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . 35 2.7 Trục đẳng phương của hai đường tròn Lemoine 2.8 Đường tròn Lemoine thứ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 . . . . . . . . . . . . 37 2.9 L là trọng tâm của ∆AAb Ac , ∆Ba BBc , ∆Ca Cb C . . . . . . . . . . . . . 39 1 1 2.10 Bm K = BO = R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 2 2.11 Các điểm S, L, K, M, U thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1 Lục giác Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 √ AKa : Ka L = λt : (2 ν − λt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 √ OK(t) : K(t)L = λt : 2 νt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 Các đường tròn Lemoine Ln , n = 0, 1, 2, 3 3.5 Các đường tròn của Q.T.Bui 3.6 Đường tròn Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 iii 3.7 Đường tròn Gallatly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.8 Hai đường tròn van Lamoen và Kenmotu . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.9 Hai đường tròn van Lamoen và Kenmotu . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.10 Hai đường tròn Tucker bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.11 Hai đường tròn Tucker tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp . . . . . . . . 62 iv Mục lục Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Đường đối trung và điểm Lemoine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Đường đối trung và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Tính chất của điểm Lemoine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Đường đối song và đường đối song Lemoine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Tọa độ Barycentric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1. Định nghĩa và tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2. Một số kết quả trong tọa độ barycentric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Các đường tròn Lemoine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1. Đường tròn Lemoine thứ nhất và thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Một số công thức tính độ dài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3. Đường tròn Lemoine thứ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Chương 3. Họ đường tròn Tucker và trường hợp đặc biệt . . . . . . 44 3.1. Đường tròn Tucker C(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Một số đường tròn Tucker đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Các đường tròn Tucker bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4. Các đường tròn Tucker trực giao và tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1 Giới thiệu luận văn 1. Mục đích của đề tài luận văn Các yếu tố hình học xung quanh đường tròn Lemoine rất phong phú, liên quan sâu sắc đến các vấn đề về đường tròn trong hình học sơ cấp. Đó là các khái niệm: Điểm Lemoine, trục Brocard, đường thẳng Lemoine, lục giác Lemoine, lục giác Tucker...Bằng cách tham số hóa ta có thể xây dựng họ đường tròn Tucker với phương trình tổng quát trong tọa độ barycentric và các vấn đề khác. Đó là lý do để tôi chọn đề tài 00 Các đường tròn Lemoine và họ các đường tròn Tucker” làm luận văn thạc sĩ của mình. Mục đích của đề tài là: - Trình bày các đường tròn Lemoine gồm đường tròn Lemoine thứ nhất, đường tròn Lemoine thứ hai và đường tròn Lemoine thứ ba của tam giác ABC . Bố cục chung là xác định tâm, tính bán kính và các tính chất đặc trưng của mỗi đường tròn Lemoine. - Bằng cách sử dụng tọa độ barycentric, mở rộng lục giác Lemoine sang lục giác Tucker, tổng quát hóa các đường tròn Lemoine thành họ các đường tròn Tucker theo tham số t. Từ đó quay trở lại xác định các trường hợp đặc biệt khác của họ đường tròn Tucker cùng các ứng dụng của họ đường tròn này. Tài liệu tham khảo chính là bài báo [4] đăng năm 2017 của hai nhà hình học tên tuổi Sandor Nagydobai Kiss (Romania) và Paul Yiu (USA). - Bồi dưỡng học sinh phổ thông có năng khiếu Toán, nâng cao và khai thác các chuyên đề hình học hay và khó, chưa được hệ thống và giới thiệu trong chương trình Hình học phổ thông và các giáo trình Hình học sơ cấp. 2 2. Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết Dựa vào các tài liệu chính [1] và [4], luận văn trình bày các kiến thức bổ sung gồm các đường đối trung, điểm Lemoine, các đường song song, ... và hệ tọa độ barycentric. Từ đó nghiên cứu ba đường tròn Lemoine, tổng quát hóa nghiên cứu họ đường tròn Tucker phụ thuộc một tham số độ dài t và các ứng dụng liên quan. Nội dung luận văn chia làm 3 chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trình bày các kiến thức bổ sung là: Đường đối trung, điểm Lemoine, đường đối song và tọa độ barycentric. Nội dung chương bao gồm (có tham khảo và chọn lọc trong [1], [6]): 1.1. Đường đối trung và điểm Lemoine 1.2. Đường đối song và đường đối song Lemoine. 1.3. Tọa độ barycentric. Chương 2. Các đường tròn Lemoine Xây dựng các đường tròn Lemoine dựa vào các khái niệm đường đối song, đường đối trung, điểm Lemoine, lục giác Lemoine,...Phát biểu và chứng minh các tính chất đặc trưng của mỗi đường tròn Lemoine. Chương này bao gồm (có tham khảo và chọn lọc trong [5]): 2.1. Đường tròn Lemoine thứ nhất và thứ hai 2.1. Một số công thức tính độ dài 2.4. Đường tròn Lemoine thứ ba. Chương 3. Họ các đường tròn Tucker và ứng dụng Dựa vào khái niệm lục giác Tucker (tổng quát hóa từ lục giác Lemoine), tiến hành tham số hóa theo độ dài cạnh đối song thu được họ các đường tròn Tucker. Từ phương trình tổng quát lại nhận được nhiều trường hợp đặc biệt và các ứng dụng của họ đường tròn này. Nội dung của chương bao gồm (có tham khảo và chọn lọc trong [4]): 3 3.1. Lục giác Tucker và đường tròn Tucker C(t) 3.2. Một số đường tròn Tucker đặc biệt 3.3. Các đường tròn Tucker bằng nhau 3.4. Các đường tròn Tucker trực giao và tiếp xúc 4 KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt Ký hiệu 1 L 2 T 3 T0 4 S 5 O9 6 σ 7 P 8 L1 ≡ (O1 , R1 ) 9 L2 ≡ (O2 , R2 ) 10 OL 11 ω 12 L3 ≡ (O3 , R3 ) 13 C (t) Nội dung ký hiệu Trang Điểm Lemoine của tam giác 6 Là tâm vị tự trong của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 18 Là tâm vị tự ngoài của đường tròn nội tiếp ∆ABC 18 Là diện tích ∆ABC 18 Là tâm Euler 18 bằng hai lần diện tích ∆ABC 20 Là trọng tâm của tam giác pedal 20 Đường tròn Lemoine thứ nhất 28 Đường tròn Lemoine thứ hai 29 Trục Brocard 29 Góc Brocard 36 Đường tròn Lemoine thứ ba 38 Họ đường tròn Tucker tham số t 44 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trước hết ta nhắc lại về đường đối trung, điểm Lemoine và đường đối song trong tam giác 1.1. Đường đối trung và điểm Lemoine Hình 1.1: Ba đường đối trung đồng quy tại điểm Lemoine Trên Hình 1.1 tam giác ABC có ba trung tuyến AD; BF ; CE , ba phân giác (nét đứt) và 3 đường thẳng: AA1 ; BB1 ; CC1 tương ứng là đối xứng của trung tuyến qua đường phân giác, được gọi là các đường đối trung của tam giác ABC . Các trung tuyến đồng quy ở G−trọng tâm, các đường 6 phân giác đồng quy tại I−tâm đường tròn nội tiếp, còn ba đường đối trung đồng quy tại điểm L, gọi là điểm Lemoine (điểm Grebe hay tâm đối trung của tam giác). Trong “Bách khoa toàn thư về các tâm tam giác”, điểm Lemoine được ký hiệu là X(6). 1.1.1. Đường đối trung và một số tính chất Định nghĩa 1.1. Đường thẳng đối xứng với trung tuyến qua phân giác trong của góc tại đỉnh tam giác được gọi là đường đối trung. Mệnh đề 1.1.1. Ba đường đối trung của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy đó được gọi là điểm Lemoine (còn gọi là điểm Grebe hay tâm đối trung) của tam giác. Chứng minh. Giả sử ASA , BSB là hai đường đối trung, cắt nhau tại điểm L. Từ L ta hạ các đường vuông góc xuống các cạnh tam giác. Ký hiệu x, y, z là khoảng cách từ L lần lượt đến các cạnh a, b, c. Vì L thuộc đường đối trung ASA nên b y = . (1.1) z c L lại thuộc đường đối trung BSB nên x a = . (1.2) z c Chia vế với vế của 2 đẳng thức (1.1), (1.2) ta được y b = . x a (1.3) Đẳng thức (1.3) chứng tỏ đường đối trung CSC đi qua điểm L. Mệnh đề 1.1.2. Đường đối trung chia trong cạnh đối diện thành các phần tỷ lệ với bình phương các cạnh kề. Chứng minh. Gọi AS và AM là đường đối trung và trung tuyến của ∆ABC xuất phát từ A. Khi đó BS AB.AS SBAS = = SM AC MC AM.AC Chia vế với vế hai đẳng thức trên thì được BS BM AB 2 . = . M C SC AC 2 7 BS AB 2 AB 2 SB Vì BM = M C nên = hay = (BCS) = − . SC AC 2 AC 2 SC Mệnh đề đảo của Mệnh đề 1.1.2 cũng đúng. Mệnh đề 1.1.3. Nếu một đường thẳng xuất phát từ đỉnh tam giác chia trong cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với bình phương các cạnh kề thì đó là đường đối trung. SB AB 2 Chứng minh. Theo giả thiết . Giả sử S không = (BCS) = − AC 2 SC phải chân đường đối trung xuất phát từ A. Ta dựng đường đối trung AS 0 . AB 2 S 0B 0 Theo Mệnh đề 1.1.2, 0 = (BCS ) = − . Từ đó suy ra hai tỉ số đơn SC AC 2 bằng nhau (BCS) = (BCS 0 ) nên S ≡ S 0 . Nói cách khác AS là đường đối trung. Mệnh đề 1.1.4. Đường đối trung là quỹ tích những điểm mà khoảng cách từ đó đến 2 cạnh tam giác tỷ lệ với hai cạnh này. Chứng minh. Giả sử S là điểm mà khoảng cách từ S đến 2 cạnh tam giác SD AB tỷ lệ với hai cạnh này. Từ S kẻ SD ⊥ AB , SE ⊥ AC thì = . Gọi SE AC S0 = AS ∩ BC và hạ S0 D0 ⊥ AB , S0 E0 ⊥ AC thì S0 D0 SD AB = = . S0 E0 SE AC Tiếp theo, SBAS0 AB.SA D0 AB 2 = = . SCAS0 AC.SA E0 AC 2 SBAS0 BS0 BS0 AB 2 Mặt khác, = . Vậy = . Theo Mệnh đề 1.1.3 thì AS0 SCAS0 CS0 CS0 AC 2 là đường đối trung. Đảo lại, giả sử AS0 là đường đối trung trong tam giác ABC , S0 là chân đường đối trung. Trên AS0 ta lấy S bất kỳ và vẽ S0 D, SD0 ⊥ AB , S0 E , SE 0 ⊥ AC . Ta có AB.S0 D AB S0 D BS0 AB 2 SAS0 B = = . = = . SAS0 C AC.S0 E AC S0 E CS0 AC 2 S0 D AB S0 D SD0 Suy ra = . Nhưng = . Như vậy tỷ số 2 khoảng cách từ S0 E AC S0 E SE 0 S đến 2 cạnh bằng tỷ số của 2 cạnh ấy. 8 Hình 1.2: Tính chất đường đối trung của tam giác Ta hãy xác định các khoảng cách x, y, z từ điểm Lemoine đến các cạnh. Vì L là giao ba đường đối trung nên x y z ax by cz = = ; 2 = 2 = 2. a b c a b c Áp dụng tính chất các tỷ số bằng nhau, ta có ax + by + cz ax x = 2 = . 2 2 2 a +b +c a a Vì ax + by + cz = 2S với S = SAB C là diện tích của ∆ABC nên 2S x 2aS a2 ha = ; x = = . a2 + b 2 + c 2 a a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 Tương tự, 2bS b2 hb y= 2 = 2 , a + b2 + c2 a + b2 + c2 2cS c2 hc z= 2 = 2 . a + b2 + c2 a + b2 + c2 1.1.2. Tính chất của điểm Lemoine Ta phát biểu và chứng minh các tính chất cơ bản của điểm Lemoine. 9 Tính chất 1.1. Trong ∆ABC , với S là diện tích của tam giác, khoảng cách từ điểm Lemoine L đến các cạnh tỷ lệ với 2S 2S 2S a, b, c. a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 Chứng minh. Theo định lý Grebe: "Các đoạn thẳng nối điểm Lemoine L với các hình chiếu của L trên các cạnh thì tỷ lệ với độ dài các cạnh tương ứng", [2] . Nếu LA , LB , LC là chân đường vuông góc hạ từ L xuống cạnh BC, CA, AB tương ứng thì LLB LLC LLA = = = α (chẳng hạn). a b c Như vậy, LLA = α.a, LLB = α.b, LLC = α.c. Mặt khác, S = S∆ABC thì 2S = 2SLBC + 2SLCA + 2SLAB = aLLA + bLLB + cLLC . Như vậy, 2S = a(α.a) + b(α.b) + c(α.c). Từ đây 2S . Ta có điều cần chứng minh. suy ra: α = 2 a + b2 + c2 Nhắc lại rằng với điểm P tùy ý, kẻ P Pa ⊥ BC , P Pb ⊥ AC , P Pc ⊥ AB . Ta gọi tam giác Pa Pb Pc là tam giác pedal của điểm P đối với tam giác ABC . Khi P ≡ L thì ta gọi tam giác pedal La Lb Lc của L là tam giác pedal Lemoine. Tính chất 1.2. Độ dài các cạnh của tam giác pedal Lemoine tương ứng là 2α.ma , 2α.mb , 2α.mc , trong đó, ma , mb , mc là độ dài các trung tuyến 2S tương ứng xuất phát từ đỉnh A, B, C của ∆ABC và α = 2 a + b2 + c2 0 b Chứng minh. Vì ALB LLC là tứ giác nội tiếp nên L\ C LLB = 180 − A. Áp dụng Định lý cô sin vào tam giác LLC LB : LC L2B = LL2C + LL2B − 2LLC .LLB .cosL\ C LLB = α2 c2 + α2 b2 − 2α2 cos(π − A) = α2 (b2 + c2 + 2bc cosA)  2 2 2 b + c − a = α2 b2 + c2 + 2bc 2bc = α2 [(b2 + c2 ) − a2 ] = α2 .4m2a . Như vậy, LC LB = 2α.ma . Tương tự, LB LA = 2α.mb ; LA LC = 2α.mc . 10 Tính chất 1.3 (Định lý Grebe thứ 2). Nếu L là điểm trên mặt phẳng tam giác ABC sao cho đại lượng d2 (L, BC) + d2 (L, AC) + d2 (L, AB) đạt cực tiểu thì L là điểm Lemoine của tam giác. Chứng minh. Giả sử L là điểm trên mặt phẳng, hạ LLa ⊥ BC , LLb ⊥ CA, LLc ⊥ AB . Ta có a.LLa + b.LLb + c.LLc = 2SABC nếu L ở trong tam giác. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, 4S 2 ≤ (a2 + b2 + c2 )(LL2a + LL2b + LL2c ). Như vậy, LL2a + LL2b + LL2c 4S 2 và dấu bằng xảy ra khi và ≥ 2 a + b2 + c2 chỉ khi LLa LLb LLc = = = const. a b c Vậy L phải là điểm Lemoine của tam giác. (a) (b) Hình 1.3: L là trọng tâm tam giác pedal 11 Tính chất 1.4 (Định lý Lemoine). Cho tam giác ABC và P là điểm bất kỳ. Ký hiệu A0 B 0 C 0 là tam giác pedal của P đối với ∆ABC . Khi đó, P là điểm Lemoine của ∆ABC khi và chỉ khi P là trọng tâm của tam giác pedal A0 B 0 C 0 . Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử P ≡ L− điểm Lemoine của ∆ABC , hình 1.3a. Gọi M là trung điểm của BC , N là đối xứng của G qua M ,G là trọng tâm ∆ABC , ∆A0 B 0 C 0 là tam giác pedal của L. Khi đó, BGCN là hình bình hành và các tứ giác LB 0 AC 0 , LA0 BC 0 , LA0 CB 0 là các tứ giác nội tiếp. Ta có các đẳng thức góc: ∠CN G = ∠BGN = ∠GAB + ∠GBA = ∠LAC + ∠LBC = ∠LC 0 B 0 + ∠LC 0 A0 (1.4) = ∠A0 C 0 B 0 . ∠N CG = ∠N CB + ∠BCG = ∠GBC + ∠BCG = ∠LBA + ∠LCA = LA0 C 0 + ∠LA0 B 0 (1.5) = C 0 A0 B 0 . Từ (1.4) và (1.5) ta có ∆CGN ∼ ∆C 0 A0 B 0 . Goi K = A0 L ∩ B 0 C 0 thì ∠M CN = ∠GBC = ∠LBA = ∠LA0 C 0 = ∠C 0 A0 K 0 . Điều đó nghĩa là ∆CM N ∼ ∆A0 KC 0 và có biến đổi đồng dạng biến C, G, N, M tương ứng thành A0 , B 0 , C 0 , K . Vì M là trung điểm GN nên K là trung điểm của C 0 B 0 . Nghĩa là A0 L là trung tuyến ∆A0 B 0 C 0 . Tương tự, B 0 L, C 0 L là 2 trung tuyến còn lại. Do đó, L là trọng tâm tam giác pedal A0 B 0 C 0 . Điều kiện đủ. Hình 1.3b, giả sử P là trọng tâm của tam giác pedal 0 0 0 A B C của nó. Gọi Q là điểm liên hợp đẳng cự của P ứng với tam giác ABC . Kéo dài AQ đến N sao cho CN k QB . Chú ý rằng các tứ giác P C 0 AB 0 , P C 0 BA0 , P A0 CB 0 nội tiếp. Ta có các đẳng thức góc ∠CN Q = ∠BQN = ∠QAB + ∠QBA = ∠P AC + ∠P BC = ∠P C 0 B 0 + ∠P C 0 A0 (1.6) = ∠A0 C 0 B 0 . ∠N CQ = ∠N CB + ∠BCQ = ∠QBC + ∠QCB = ∠LBA + ∠LCA = ∠P A0 C 0 + ∠P A0 B 0 (1.7) 12 = ∠C 0 A0 B 0 . Từ (1.6) và (1.7) ta có ∆CQN ∼ ∆A0 B 0 C 0 . Giả sử A0 P ∩ B 0 C 0 = K . Vì P là trọng tâm tam giác A0 B 0 C 0 nên K là trung điểm của B 0 C 0 . Lại gọi M = CB ∩ QN thì ∠M CN = ∠QBC = ∠P BA = ∠P A0 C 0 = ∠KA0 C 0 . Điều đó nghĩa là ∆CM N ∼ ∆A0 KC 0 và có phép biến đổi đồng dạng biến A0 , B 0 , C 0 , K lần lượt thành C, Q, N, M . Vì K là trung điểm của B 0 C 0 nên M là trung điểm của QN . Vì CN k BQ nên ∆BM Q = ∆CM N . Từ đó suy ra M là trung điểm của BC và AQ chia đôi đoạn thẳng BC . Phép chứng minh tương tự cho BQ chia đôi đoạn AC . Do đó, Q là trọng tâm tam giác ABC và P là điểm liên hợp đẳng giác của Q. Đó là điểm Lemoine trong tam giác ABC . Nhắc lại rằng nếu ABC là một tam giác có X ∈ BC , Y ∈ CA, Z ∈ CA thì chu vi tam giác XY Z đạt cực tiểu nếu XY Z là tam giác trực tâm. Ta còn có các bài toán tương tự đối với đại lượng XY 2 + Y Z 2 + ZX 2 . Bài toán 1.1. [1], Cho tam giác ABC. Nếu có X ∈ BC , y ∈ CA, Z ∈ CA thì đại lượng XY 2 + Y Z 2 + ZX 2 cực tiểu khi ∆XY Z là tam giác pedal của điểm Lemoine L. Bài toán 1.2. [1], Diện tích của tam giác pedal của điểm Lemoine L đối với ∆ABC bằng 12S 2 SL = 2 . (a + b2 + c2 )2 (1.8) Bài toán 1.3. [1], Chứng minh rằng trong tam giác vuông điểm Lemoine là trung điểm của đường cao hạ từ đỉnh góc vuông. Bài toán 1.4. [1], Chứng minh rằng nếu x, y, z là các khoảng cách từ điểm Lemoine L đến các cạnh BC, CA, AB tương ứng thì xha = yhb = zhc . Bài toán 1.5. [1], Tại giao điểm S của đường đối trung xuất phát từ A dựng đường thẳng `1 ⊥ BC ; tại điểm B dựng `2 ⊥ AB ; tại C dựng `3 ⊥ AC . Ký hiệu B 0 = `1 ∩ `2 , C 0 = `1 ∩ `3 . Chứng minh rằng b3 CC 0 = 3. BB 0 c . 13 1.2. Đường đối song và đường đối song Lemoine Định nghĩa 1.2. Cho ∆ABC , trên cạnh AB (hay phần kéo dài) lấy một b . Ta gọi đường thẳng \=C điểm D, qua D kẻ đường thẳng DF thỏa ADF DF là đối song của đường thẳng BC trong tam giác ABC . Đoạn thẳng DF được gọi là cạnh đối song của cạnh BC hay DF và BC là hai cạnh đối song. Trong tam giác có 3 cạnh đối song (tương ứng với 3 cạnh tam giác). Mệnh đề 1.2.1 (Định lý về đường đối song). Đường tròn đi qua 2 đỉnh tam giác cắt 2 cạnh tam giác tại D và F thì DF đối song với cạnh thứ ba. b = 2v do tứ giác BDF C là \ Chứng minh. Trên Hình 1.4, ta có DF C +C b. \ \ \ tứ giác nội tiếp. Ta suy ra AF D + DF C = 2v nên AF D=B Mệnh đề 1.2.2. Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác tại đỉnh tam giác thì đối song với cạnh đối diện của đỉnh. b cũng \ có số đo bằng một nửa cung AM B , góc C Chứng minh. Góc EAB b , Hình 1.4. \=C vậy. Ta suy ra EAB Mệnh đề 1.2.3. Hai cạnh đối song bằng nhau thì cắt nhau trên đường đối trung tương ứng. Chứng minh. Giả sử P Q và DK là 2 đường đối song bằng nhau, cắt nhau tại M , khi đó M P = M K vì tam giác M P K cân tại M . Vậy ta có M D = M Q. Từ M hạ M E ⊥ AB , M F ⊥ AC . Ta có M E = DE sin C ; và có M F = M Q sin B , ME DE sin C sin C c = = = . MF M Q sin B sin B b Vì tỷ số các khoảng cách từ M đến 2 canh AB, AC bằng tỷ số của 2 cạnh đó nên M nằm trên đường đối trung xuất phát từ A. Ta có nhận xét: Tiếp tuyến tại 2 đỉnh tam giác của đường tròn ngoại tiếp cắt nhau trên đường đối trung xuất phát từ đỉnh thứ ba. 14 Hình 1.4: Hai đường đối song Hình 1.5: Các cạnh đối song DE và F K của tam giác ABC bằng nhau