Tài liệu Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số

NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Chuyên đề: NHÓM TOÁN VD – VDC CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN 1: BIẾT ĐẶC ĐIỂM CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) Dạng toán 1. Dạng toán 2. Các bài toán về cực trị của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10). Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y = f ( x ) trong bài toán không chứa tham số. Dạng toán 3. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y = f ( x ) trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 4. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f ( x ) , tìm ( ) f ( x ) ) ,... y f f ( f ... ( x ) ) trong bài toán không chứa tham cực trị = của hàm y f= (ϕ ( x ) ) ; y f (= số Dạng toán 5. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc BBT hoặc đạo hàm của hàm f ( x ) , tìm ( ) cực trị= của hàm y f= ( f ( x ) ) ,... y f f ( f ... ( x ) ) trong bài toán chứa tham số. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f ( x ) , tìm cực trị = của hàm y ln= ( f ( x ) ) , y e f ( x) ,sin f ( x ) , cos f ( x ) ... trong bài toán không chứa tham số Dạng toán 7. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f ( x ) , tìm cực trị = của hàm y ln= ( f ( x ) ) , y e f ( x) ,sin f ( x ) , cos f ( x ) ... trong bài toán chứa tham số. Dạng toán 8. Các dạng khác với các dạng đã đưa ra… https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1 NHÓM TOÁNVD – VDC Dạng toán 6. NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số DẠNG 1. Các bài toán về cực trị của hàm ẩn bậc 2 (dành cho khối 10). Câu 1:   Cho hàm số f x   ax 2  bx  c đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số g  f x 2 có mấy điểm cực NHÓM TOÁN VD – VDC trị? y 3 O 2 x 1 A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn C Xét hàm số g = f ( x 2 ) . Đặt t = x 2 . Khi đó với t ≥ 0 , hàm g = f (t ) có đồ thị là dạng của đồ thị hàm số f ( x) bên phải trục Oy . Hàm số g = f ( x 2 ) là hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. Từ đó ta có đồ thị hàm g ( t ) như sau: NHÓM TOÁNVD – VDC Câu 2: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị. Cho parabol y = f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ bằng 1 và 2, biết rằng hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng ( x0 ; +∞) và khoảng cách từ giao điểm của parabol với trục tung đến điểm O bằng 4. Tìm số điểm cực trị của hàm số = y A. 2 . B. 3 . C. 5 . Lời giải f ( x +1 ) . D. 7. Chọn D Do hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( x0 ; + ∞ ) nên a < 0 . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Biết y = f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ bằng 1 và 2 nên f ( x) = a( x − 1)( x − 2) = a( x 2 − 3x + 2) = ax 2 − 3ax + 2a . NHÓM TOÁN VD – VDC a = 2 . Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2a , ta có 2a= 4 ⇔   a = −2 Do hàm số y = f ( x) nghịch biến trên khoảng ( x0 ; +∞) nên a = −2 . f ( x) = −2 x 2 + 6 x − 4 Vậy parabol là y = Đồ thị hàm số = y f ( x + 1 ) (hình vẽ phần tô đậm) có được bằng cách + Vẽ đồ thị y f ( x + 1 ) ( C1 ) = + Giữ nguyên phần đồ thị ( C1 ) trên trục hoành và lấy đối xứng phần ( C1 ) dưới trục hoành. f ( x) = −2 x 2 + 6 x − 4 qua trục tung sau đó tịnh tiến Để vẽ ( C1 ) lấy đối xứng phần đồ thị y = sáng trái 1 đơn vị. y -1 O 1 x NHÓM TOÁNVD – VDC Từ đồ thị suy ra hàm số có 7 điểm cực trị. Câu 3: Cho hàm số f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) có đồ thị là parabol như hình vẽ. Tìm m để giá trị lớn y nhất của hàm số = f ( x ) + m − 4 trên [ −2;1] đạt giá trị nhỏ nhất. A. m = 5 . B. m = 4 . C. m = 3 . D. m = 1 . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Lời giải Chọn C ( x + 1) 2 + m − 5 . Đặt g ( x ) = ( x + 1) + m − 5 . 2 NHÓM TOÁN VD – VDC Từ giả thiết suy ra y = Với ∀x ∈ [ −2;1] ta có g ( x ) ∈ [ m − 5; m − 1] . Giá trị lớn nhất của hàm số ymax= max { m − 5 , m − 1 } . + Trường hợp 1: m − 5 ≥ m − 1 ⇔ ( m − 5 ) ≥ ( m − 1) ⇔ m ≤ 3 . 2 2 Khi đó ymax = m − 5 = 5 − m ≥ 2 ⇒ GTLN của hàm số đạt GTNN bằng 2, khi m = 3 . + Trường hợp 2: m − 1 ≥ m − 5 ⇔ m ≥ 3 . Khi đó ymax = m − 1 = m − 1 ≥ 2 ⇒ GTLN của hàm số đạt GTNN bằng 2, khi m = 3 . Vậy m = 3 . DẠNG 2. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y = f ( x ) trong bài toán không chứa tham số. Câu 1: Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d . Biết rằng đồ thị hàm số có một điểm cực trị là M (1; − 1) và nhận I ( 0;1) làm tâm đối xứng. Giá trị y ( 2 ) là B. y ( 2 ) = −2 . C. y ( 2 ) = 6 . D. y ( 2 ) = 3 . Lời giải Chọn D Ta có: y′ = 3ax 2 + 2bx + c, y '' = 6ax + 2b . Do đồ thị hàm số có một điểm cực trị là M (1; − 1) và nhận I ( 0;1) làm tâm đối xứng nên:  y (1) = −1 a + b + c + d =−1 a =1  3a += b 0 2b + c 0 =  y′ (1) = 0   . ⇔ ⇔   y '' ( 0 ) = 0 2b = 0 c = −3 y 0 =1 d 1= d 1 =  ( ) NHÓM TOÁNVD – VDC A. y ( 2 ) = 2 . Vậy: y = x 3 − 3 x + 1 . Suy ra y ( 2 ) = 23 − 3.2 + 1 = 3 . Câu 2: Đồ thị của hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d có hai điểm cực trị là A (1; 2 ) và B ( −1;6 ) . Giá trị của P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 bằng bao nhiêu? A. P = 18 . B. P = 26 . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C. P = 15 . D. P = 23 . Trang 4 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Lời giải Chọn B Vì A (1; 2 ) và B ( −1;6 ) là điểm cực trị nên  y ' (1) = 0 2b + c 0 a + 2c 0 = 3a + = 6= a 1    b 0 c+d 2 b+d 4 =  y (1) = 2 a + b += =  . ⇔ ⇔ ⇔  0  y ' ( −1) = 3a − 2b + c =0 2a + 2c =−4 c =−3  y −1 = c+d 6 = = −a + b −= 4b 0 d 4  ( ) 6 Câu 3: Vậy P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 26 . Cho hàm số y  f ( x)  ax3  bx 2  cx  d (a  0) xác định trên  và thỏa mãn f (2)  1. Đồ NHÓM TOÁN VD – VDC Tập xác định D =  . Ta có y ' = 3ax 2 + 2bx + c và = y '' 6ax + 2b . thị hàm số f '( x) được cho bởi hình bên dưới. NHÓM TOÁNVD – VDC Tìm giá trị cực tiểu yCT của hàm số f ( x). A. yCT  3 . B. yCT  1 . C. yCT  1 . D. yCT  2 . Lời giải Chọn A Vì đồ thị hàm f '( x) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x  1 và x  1 nên f '( x)  k ( x 1)( x  1) với k là số thực khác 0. Vì đồ thị hàm f '( x) đi qua điểm (0; 3) nên ta có 3  k  k  3. Suy ra f '( x)  3 x 2  3. Mà f '( x)  3ax 2  2bx  c nên ta có được a  1, b  0, c  3. Từ đó f ( x)  x3  3 x  d . Mặt khác f (2)  1 nên d  1. Suy ra f ( x)  x3  3 x 1.  x  1 Ta có f '( x)  0   .  x  1 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Bảng biến thiên Câu 4: ( )  3 x 2 − 15 x f ′ ( x ) + (10 − 5 x ) f ( x ) = 0  Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  , thỏa mãn  với 2 2 ′ f x + f x > 0       ( )   ( )  NHÓM TOÁN VD – VDC Vậy yCT  3. ∀x ≠ 0 và f (1) = −4 . Tổng cực đại và cực tiểu của hàm số y = f ( x ) bằng C. −2 3 4 . B. 3 3 4 . A. −3 3 4 . D. 3 4 2 . Lời giải Chọn A 2 2 0 ⇒ f '( x) ≠ 0 . Từ  f ′ ( x )  +  f ( x )  > 0 với ∀x ≠ 0 ta suy ra: Với x ≠ 0 ta có f ( x ) = ( ) Do đó từ 3 x 2 − 15 x f ′ ( x ) + (10 − 5 x ) f ( x ) = 0 với ∀x ≠ 0 , ta suy ra: ( ) Với x ≠ 0 ta có f ( x ) = 0 ⇔ 3 x 2 − 15 x f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 5 . Suy ra ( ) 5 x−2 x) ∫ f ( x ) dx = 3 ∫ x ( x − 5)dx ⇔ ln f (= f′ x NHÓM TOÁNVD – VDC f ′( x) 5 x − 2 Với các kết quả trên ta được= ∀x ∉ {0;5} f ( x ) 3 x ( x − 5) 2 ln x + ln x − 5 + C 3 ⇔ f ( x ) =eC ( x − 5 ) 3 x 2 Do f (1) = −4 nên C = 0 và f ( x= ) ( x − 5) 3 x 2 với ∀x ∉ {0;5} Vì f ( x ) liên tục trên  nên f ( x ) liên tục tại= x 0,= x 5 suy ra f= ( 0 ) f= ( 5) 0 Hay f ( x= ) ( x − 5) 3 x 2 Khi đó f ′ ( x ) = với ∀x ∈  . 5 x−2 . 3 3x Ta có f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 2 , f ′ ( x ) không xác định khi x = 0 . Bảng biến thiên của f ( x ) : https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số −3 3 4 . Từ đó suy ra yCD = f ( 0 ) = 0; yCT = f ( 2 ) = −3 3 4 . Vậy yCD + yCT = DẠNG 3. Dạng toán có thể tìm được biểu thức cụ thể của hàm số y = f ( x ) Câu 1. x 3 − 3mx 2 + 4m3 có điểm Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y = cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là A. 2 . 2 B. 1 . 2 C. 0 . D. Lời giải Chọn C 1 . 4 x = 0 Ta có: = . y′ 3 x 2 − 6mx , y′= 0 ⇔   x = 2m Để hàm số có cực đại cực tiểu thì m ≠ 0 . NHÓM TOÁN VD – VDC trong bài toán chứa tham số. Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A ( 0; 4m3 ) , B ( 2m ;0 ) . Ta có I ( m ; 2m3 ) là trung điểm của đoạn thẳng AB . 0. Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là d : x − y = Do đó để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua d thì: 2m − 4m3 = 0 2 . ⇔ 1 − 2m 2 =0 ⇔ m =±  3 2 0 m − 2m = Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực m là 0 . Câu 2. Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + m 2 có đồ thị ( C ) . Để đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị A , B , C sao cho bốn điểm A , B , C , O là bốn đỉnh của hình thoi ( O là gốc tọa độ) thì giá trị tham số m là B. m = ± 2 . 2 Chọn B C. m = ± 2 . D. m = Lời giải NHÓM TOÁNVD – VDC A. m = − 2 . 2 . 2 x = 0 Ta có = . y′ 4 x3 − 4m 2 x ; y′= 0 ⇔  2 x = m Điều kiện để hàm số có ba cực trị là y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0 . x = 0 Khi đó: y′= 0 ⇔  .  x = ±m Tọa độ các điểm cực trị là A ( 0; m 2 ) , B ( m; −m 4 + m 2 ) , C ( m; −m 4 + m 2 ) . Ta có OA ⊥ BC , nên bốn điểm A , B , C , O là bốn đỉnh của hình thoi điều kiện cần và đủ là OA và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn 0 = 0  x A + xO = xB + xC ⇔ ⇔ 2 ( m4 + m2 ) + ( −m4 + m2 )  y A + yO = yB + yC m + 0 =− 2 1 ⇔ 2m 4 − m 2 = 0 ⇔ m 2 =⇔ m = . ± 2 2 Vậy m = ± 2 . 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M ( 2m3 ; m ) cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2 x 3 − 3 ( 2m + 1) x 2 + 6m ( m + 1) x + 1 tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất. A. m = −1 . Chọn D Tập xác định: D =  . y′ = 6 x 2 − 6 ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) D. m = 0 . NHÓM TOÁN VD – VDC C. m = 1 . Lời giải B. m = 2 .  x= m ⇒ y= 2m3 + 3m 2 + 1 y′ = 0 ⇔ 6 x − 6 ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) = 0⇔ . 3 2  x = m + 1 ⇒ y = 2m + 3m 2 Hàm số có 2 cực trị: ∆′ > 0 ⇔ 9 ( 2m + 1) − 36m ( m + 1) > 0 ⇔ 9 > 0, ∀x ∈  . 2 Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  ⇒ A ( m; 2m3 + 3m 2 + 1) , B ( m + 1; 2m3 + 3m 2 ) ⇒ AB =(1; − 1) ⇒ AB = 2 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua 2 điểm cực trị: x + y − 2m3 − 3m 2 − m − 1 =0 = d (M , ∆) 2m3 + m − 2m3 − 3m 2 − m − 1 3m 2 + 1 = 2 2 1 1 3m 2 + 1 3m 2 + 1 S ∆MAB= d ( M , ∆ ) . AB= . . 2= . 2 2 2 2 1 S min = ⇔ m = 0 . 2 Câu 4. x 4 − 2mx 2 + m ( C ) . Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị đồng thời ba Cho hàm số y = x = 0 y′= 0 ⇔  2 . x = m Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ y′ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 . Các điểm cực trị của đồ thị là A ( 0; m ) , B = AC = Ta có: AB ( ) ( m ; − m2 + m , C − m ; − m2 + m ) m 4 + m , BC = 2 m . Gọi I là trung điểm BC . Suy ra I ( 0; −m 2 + m ) và AI = m 2 . = S 1  AB + BC + CA  2 m = AI .BC   .r ⇔ m .2 = 2 2   (2 ) m 4 + m + 2 m .1 m = 0 ( loai ) ⇔ 2 m m 2 − m3 + 1 − 1 = 0⇔ 3 2  m + 1= m − 1 ( ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8 NHÓM TOÁNVD – VDC điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 . A. m = 1 . B. m = 0 . C. m = −2 . D. m = 2 . Lời giải Chọn D y′ 4 x 3 − 4mx . Ta có = NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Câu 5. 1 4 x − mx 2 + m 2 . Gọi ma là 4 Cho ( P ) là đường Parabol qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = giá trị để ( P ) đi qua B A. ( ) 10; 15 . ( ) 2; 2 . Hỏi ma thuộc khoảng nào dưới đây? B. ( − 2; 5 ) . C. Để hàm số có ba cực trị thì ab < 0 ⇔ − Gọi parabol đi qua điểm A ( 0; m 2 ) , B D. ( − 8; 2 ) . Lời giải Chọn B y=′ x3 − 2= mx x ( x 2 − 2m ) .  x 0,= = y m2  y′ = 0 ⇔= 2m= ,y 0 . x  − 2m , y = 0  x = ( − 5; 2 ) . m < 0 ⇔ m > 0. 4 ( ) ( ) 2 2m ; 0 , C − 2m ; 0 có dạng: y = ax + bx + c ( ) ( ) 2 0 + ma2 ⇔ ma2 − ma − 2 = Vậy ma = 2 . NHÓM TOÁNVD – VDC m  2ma + 2mb + c = 0 a = − 2   m  Ta có: 2ma − 2mb + c = hay y = 0 − x 2 + m2 . 0 ⇔ b = 2 c = m 2 c = m 2     m Theo yêu cầu bài toán parabol đi qua B 2; 2 nên: 2 = − a 2 2  ma = −1 ⇔ .  ma = 2 Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x8 + ( m − 3) x 5 − ( m 2 − 9 ) x 4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0 ? A. 4 . B. 7 . C. 6 . Lời giải Chọn C D. Vô số. Ta có y = x8 + ( m − 3) x 5 − ( m 2 − 9 ) x 4 + 1 ⇒ y′ = 8 x 7 + 5 ( m − 3) x 4 − 4 ( m 2 − 9 ) x3 . ( ) y′ = 0 ⇔ x 3 8 x 4 + 5 ( m − 3) x − 4 ( m 2 − 9 ) = 0 x = 0 . ⇔ 4 2  g ( x ) = 8 x + 5 ( m − 3) x − 4 ( m − 9 ) = 0 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHÓM TOÁN VD – VDC  m ≥1  m 2 − 1 ≥ 0   m = 0 ( loai ) ⇔ ⇔ 3 ⇔m= 2.   4 2 = − m nhan 1 ( ) m + 1= m − 2m + 1    m = 2 nhan ( )  Trang 9 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Xét hàm số g ( x ) = 8 x 4 + 5 ( m − 3) x − 4 ( m 2 − 9 ) có g ′ ( x ) = 32 x3 + 5 ( m − 3) . Ta thấy g ′ ( x ) = 0 có một nghiệm nên g ( x ) = 0 có tối đa hai nghiệm. Với m = 3 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của g ( x ) . Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của y′ và y′ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m = 3 thỏa ycbt. x = 0 4  Với m = −3 thì g ( x ) = . 8 x − 30 x =⇔ 0  x = 3 15  4 Bảng biến thiên NHÓM TOÁN VD – VDC +) TH1: Nếu g ( x ) = 0 có nghiệm x = 0 ⇒ m = 3 hoặc m = −3 . Dựa vào BBT x = 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m = −3 không thỏa ycbt. +) TH2: g ( 0 ) ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3 . Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇔ g ( 0 ) > 0 ⇔ m 2 − 9 < 0 ⇔ −3 < m < 3 . Do m ∈  nên m ∈ {−2; −1;0;1; 2} . Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa ycbt. NHÓM TOÁNVD – VDC DẠNG 4. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT, hoặc đạo hàm của = f ( x ) ) ,... y f ( f ( f ... ( x ) ) ) trong hàm f ( x ) , tìm cực trị của hàm y f= (ϕ ( x ) ) ; y f (= bài toán không chứa tham số. Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên  và có đúng hai điểm cực trị x = −1, x = 1, có đồ thị như hình vẽ sau: Hỏi hàm số y f ( x 2 − 2 x + 1) + 2019 có bao nhiêu điểm cực trị? = A. 4 . B. 3 . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C. 1 . D. 2 . Trang 10 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Lời giải Chọn B nghiệm bội lẻ phân biệt x = −1, x = 1. Ta có y′ = ( 2 x − 2 ) f ′ ( x 2 − 2 x + 1) . 0 2 x − 2 = x = 1  2 y′ = 0 ⇔  x − 2 x + 1 =−1 ⇔  x =0 .  2 1  x = 2  x − 2x +1 = Ta có NHÓM TOÁN VD – VDC Do hàm số y = f ( x ) có đúng hai điểm cực trị x = −1, x = 1 nên phương trình f ′ ( x ) = 0 có hai  x > 1  x > 1  2 x − 2 > 0  2    x − 2 x + 1 > 1 2  x > 2  2 x > 2  f '( x − 2 x + 1) > 0    y' > 0 ⇔  ⇔   x − 2 x + 1 < −1 ⇔    x < 0 ⇔    2 x − 2 < 0 0 < x < 1   < x 1 x <  1    f '( x 2 − 2 x + 1) < 0   2   −1 < x − 2 x + 1 < 1  0 < x < 2 Do đó ta có bảng biến thiên: Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′( x) trên  . Đồ thị của hàm số y = f ( x) như hình vẽ Đồ thị hàm số y = ( f ( x) ) có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu? 2 A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu. B. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại. D. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11 NHÓM TOÁNVD – VDC Từ bảng biến thiên ta suy= ra hàm số y f ( x 2 − 2 x + 1) + 2019 có 3 cực trị. Chọn phương án B. NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Chọn A x 0;= x 3 và nghiệm kép x = 1 . Từ đồ thị ta có: f ( x) = 0 có nghiệm đơn là= x x2 ∈ (1;3) và x = 1 . Và f '( x) = 0 có 3 nghiệm đơn x= x1 ∈ (0;1) ; = 2 x =1. Ta có bảng xét dấu sau: Vậy đồ thị hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Câu 3: NHÓM TOÁN VD – VDC Ta có: x 0;= x 3; x1 ; x2 và nghiệm bội 3 là = y ( f ( x) ) ⇒= y ' 2 f '( x). f ( x) có các nghiệm đơn là= Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực tiểu của hàm số g ( x= ) 2 f ( x + 2 ) + ( x + 1)( x + 3) là B. 1 . C. 3 . D. 4 . NHÓM TOÁNVD – VDC A. 2 . Lời giải Chọn A x ) 2 f ′ ( x + 2) + 2x + 4 . Ta có g ′ ( = 0 g ′ ( x ) =⇔ f ′ ( x + 2) = − ( x + 2) . Đặt t= x + 2 ta được f ′ ( t ) = −t . (1) (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f ′ ( t ) và đường thẳng d : y = −t (hình vẽ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Dựa vào đồ thị của f ′ ( t ) và đường thẳng y = −t ta có NHÓM TOÁN VD – VDC  x = −3 t = −1 t = 0  x = −2  ta có f ′ ( t ) = −t ⇔ hay  .  x = −1 t = 1   x = 0 t = 2 Bảng biến thiên của hàm số g ( x ) . Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu. Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt = g ( x ) 3 f ( f ( x ) ) + 4 . Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) ? y 3 −1 B. 8 . 1 2 3 C. 10 . 4 x NHÓM TOÁNVD – VDC A. 2 . O D. 6 . Lời giải Chọn B https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số NHÓM TOÁN VD – VDC g′ ( x ) = 3 f ′ ( f ( x )). f ′ ( x ) .  f ( x) = 0   f ′ ( f ( x )) = 0 f ( x) = a ⇔ g′( x) = 0 ⇔ 3 f ′ ( f ( x )). f ′ ( x ) = 0⇔ , ( 2 < a < 3) . x = 0  f ′ ( x ) = 0   x = a f ( x ) = 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt x1 , x2 , x3 khác 0 và a . Vì 2 < a < 3 nên f ( x ) = a có 3 nghiệm đơn phân biệt x4 , x5 , x6 khác x1 , x2 , x3 , 0 , a . trị. Câu 5: Biết rằng hàm số f ( x ) xác định, liên tục trên  có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f  f ( x )  . A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14 NHÓM TOÁNVD – VDC Suy ra g ′ ( x ) = 0 có 8 nghiệm đơn phân biệt. Do đó hàm= số g ( x ) 3 f ( f ( x ) ) + 4 có 8 điểm cực NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Xét hàm số y = f  f ( x )  , y′ = f ′ ( x ) . f ′  f ( x )  ; NHÓM TOÁN VD – VDC =  x 0= x 0  x =  f ′( x) = 0 x= 2 2  . ⇔ ⇔ y′ = 0⇔  f ( x )= 0  x= a ∈ ( 2; +∞ )  f ′  f ( x )  = 0    f ( x )= 2  x= b ∈ ( a; +∞ )   f ′( x) > 0 ⇒ y′ > 0 . Với x ∈ ( −∞ ; 0 ) ⇒   f ( x ) < 0 ⇒ f ′  f ( x )  > 0    f ′( x) < 0 ⇒ y′ < 0 . Với x ∈ ( 0; 2 ) ⇒   f ( x ) < 0 ⇒ f ′  f ( x )  > 0    f ′( x) > 0 ⇒ y′ > 0 . Với x ∈ ( 2; a ) ⇒   f ( x ) < 0 ⇒ f ′  f ( x )  > 0   f ′ ( x ) > 0 ⇒ y′ < 0 . Với x ∈ ( a ; b ) ⇒  ′ 0 2 0 < f x < ⇒ f f x <   ( ) ) (      f ′( x) > 0 ⇒ y′ > 0 . Với x ∈ ( b ;  ∞ ) ⇒  ′ > ⇒ > f x 2 f f x 0   ) ( ) (     Ta có bảng biến thiên NHÓM TOÁNVD – VDC Dựa vào BBT suy ra hàm số y = f  f ( x )  có bốn điểm cực trị. DẠNG 5. Biết đặc điểm của hàm số hoặc đồ thị, hoặc BBT, hoặc đạo hàm của = f ( x ) ) ,... y f ( f ( f ... ( x ) ) ) trong bài hàm y f= hàm f ( x ) , tìm cực trị của (ϕ ( x ) ) ; y f (= toán chứa tham số. DẠNG 6. Biết đặc điểm của hàm số hoặc BBT, hoặc đồ thị, hoặc đạo hàm của hàm f ( x ) , tìm cực trị của hàm y ln= = ( f ( x ) ) , y e f ( x) ,sin f ( x ) , cos f ( x ) ... trong bài toán không chứa tham số. Câu 1: Cho hàm số f ( x ) có đồ thị như hình dưới đây https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số NHÓM TOÁN VD – VDC Hàm số g ( x ) = ln ( f ( x ) ) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn D ′ f ′( x) . g ′ ( x ) = ln ( f ( x ) )  = f ( x) Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta thấy f ( x ) > 0 với mọi x ∈  . Vì vậy dấu của g ′ ( x ) là dấu của f ′ ( x ) . Ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x ) NHÓM TOÁNVD – VDC Vậy hàm số g ( x ) = ln ( f ( x ) ) có 3 điểm cực trị. Câu 2: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên sau = y g= Tìm số cực trị của hàm số ( x ) ln ( f ( x ) ) . A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 4 Lời giải Chọn B Điều kiện: f ( x) > 0 ⇔ x < −1 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Ta có g ' ( x ) = f ′( x) ; giải phương trình y′ = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = −3 và y′ đổi dấu khi qua f ( x) x = −3 . Câu 3: NHÓM TOÁN VD – VDC = y g= Do đó hàm số ( x ) ln ( f ( x ) ) có một cực trị. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau Hàm số y = ln ( f ( x ) ) có tất cả bao nhiêu điểm cực đại? A. 0. B. 2 . C. 1. D. 3. Lời giải Chọn C Điều kiện : f ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( a; b ) :0 < a < 3 < b . Ta có: y ln ( f ( x ) )= = ⇒ y′ f ′( x) . f ( x) NHÓM TOÁNVD – VDC Dấu của y′ là dấu của f ′ ( x ) . Dễ thấy trên ( a; b ) hàm số f ( x ) đạt cực đại tại duy nhất 1 điểm x = 3 . Do đó hàm số y = ln ( f ( x ) ) có đúng 1 điểm cực đại. Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên: y O −1 x . Tìm số điểm cực trị của hàm số= y 2 f ( x) − 3 f ( x) . A. 6 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) ta thấy f ( x ) ≥ −1, ∀x ∈  . NHÓM TOÁN VD – VDC Khi đó xét hàm số g = ( x ) 2 f ( x) − 3 f ( x) Ta có g ′ ( x ) f ′ ( x.)  2 f ( x ).ln 2 − 3 f ( x ).ln 3 =  f ′( x) = 0 g′( x) = 0 ⇔  f x f ( x) ( ) 0  2 .ln 2 − 3 .ln 3 = Xét phương trình 2 f ( x) .ln 2 − 3 .ln 3 = 0 trên khoảng ( −∞; + ∞ ) . f ( x) f ( x) 2 log 2 3 ⇔ f= ⇔ = ( x ) log 2 ( log 2 3) ≈ −1, 4 (loại).  3 3 Do đó số điểm cực trị của hàm g ( x ) cũng bằng số điểm cực trị của hàm f ( x ) . Tức là hàm g ( x ) có 3 điểm cực trị. Câu 5: Cho hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên: A. 2 . B. 3 . f ( x) NHÓM TOÁNVD – VDC y 3 Tìm số điểm cực trị của hàm số= + 2 f ( x) . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn D Ta thấy f ′ ( x ) xác định trên  nên f ( x ) xác định trên  . Ta có: y′ = f ′ ( x ) .3 f ( x ) + f ′ ( x ) .2 f ( x ) = f ′ ( x ) 3 f ( x ) + 2 f ( x )  . 0 ⇔ f ′( x) = 0 (do 3 Xét y′ = f ( x) + 2 f ( x ) > 0 , ∀x ∈  ). Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f ′ ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Vậy y′ = 0 có 4 điểm cực trị. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y = e f ( x )− ( x −1)2 2 là NHÓM TOÁN VD – VDC A. 4 . B. 3 . D. 5 . C. 2 . Lời giải Chọn B Xét y = e g( x) , g= ( x) f ( x) ( x − 1) − 2 2 ( ) y′ g ′ ( x ) e =  f ′ ( x ) − ( x − 1)  .e ( ) , trong đó e g ( x ) > 0, ∀x ∈  Hàm số xác định trên , có =  x = −1 x = 1 nên y′ = 0 ⇔ g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) − ( x − 1) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x − 1 ⇔  x = 2  x = 3 g x g x NHÓM TOÁNVD – VDC (Vì đường thẳng y= x − 1 cắt đồ thị f ′ ( x ) tại 4 điểm có hoành độ x = 1; x = 2; x = 3 ) và −1; x = dấu của y ′ là dấu của g ′ ( x ) . Bảng biến thiên: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19 NHÓM TOÁN VD–VDC Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số Câu 7: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên  và đồ thị hàm số y = f ( x) như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = 2019 A. 13. B. 11. f ( f ( x ) −1) . C. 10. NHÓM TOÁN VD – VDC Suy ra hàm số y = e g ( x ) có ba điểm cực trị là x = 2; x = 3. −1; x = D. 12. Lời giải Chọn D NHÓM TOÁNVD – VDC f f x −1 Ta có y ' f ' ( x ) f ' ( f ( x ) − 1) 2019 ( ( ) ) ln 2019 . = (1)  f '( x) = 0 y' = 0 ⇔  . 0 (2)  f ' ( f ( x ) − 1) =  x1 = −1 x = 1 Giải (1) : f ' ( x )= 0 ⇔  2 .  x3 = 3   x4 = 6 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20