Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 1
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ 8. GÓC TRONG KHÔNG GIAN ........................................................................ 3
DẠNG 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ..................................................................... 3
DẠNG 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG............................................................... 9
DẠNG 3. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ...................................... 15
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 2
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
CHỦ ĐỀ 8. GÓC TRONG KHÔNG GIAN
DẠNG 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), SA AB a, AD 3a . Gọi M là trung điểm BC. Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng
(ABCD) và (SDM)
A.
5
7
B.
6
7
3
7
Hướng dẫn giải
C.
D.
Kẻ SH MD, H MD ,
1
7
S
mà SA MD SAH MD AH MD
Do đó
SMD , ABCD SH,AH SHA
Ta lại có: SAMD
1
3a 2
a 13
.3a.a
, MD CD2 CM2
2
2
2
2S
6a 13
7a 13
AH AMD
SH
DM
13
13
cos
A
B
H
D
C
M
AH 6
6
. Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng (SMD) và (ABCD) bằng
SH 7
7
Vậy chọn đáp án B.
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AB 2a và góc BAD 1200 . Hình
chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I của hai đường chéo và
SI
a
. Tính góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD)
2
A. 300
B. 450
C. 600
Hướng dẫn giải
D. 900
Ta có BAD 1200 BAI 600
S
BI
sin 600
BI a 3
AB
Suy ra:
AI a
cos600 AI
AB
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD)
K
H
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB. Ta có:
AB SHI AB SH
A
D
I
B
C
Do đó: SH,IH SHI
Xét tam giác vuông AIB có:
tan SHI
1
IH
2
1
IA
2
1
IB
2
IH
3
a
2
SI
1
SHI 300 hay 300 .
HI
3
Vậy chọn đáp án A.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 3
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
Câu 3*. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a , SA SB và
ACB 300 , SA SB . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
3a
. Tính cosin góc
4
giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)
A.
5
33
B.
3
13
65
13
Hướng dẫn giải
C.
D.
Gọi D là trung điểm của BC, suy ra tam giác ABD đều cạnh a.
2 5
11
S
Gọi I, E là trung điểm của BD và AB, H là giao của AI và DE. Khi
N
đó dễ thấy H là trọng tâm tam giác ABD.
Ta có AI BC, DE AB
K
Vì SA SB SE AB , suy ra AB SDE AB SH
M
A
Khi đó ta có SH ABC
Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên SA, khi đó IK là đoạn
vuông góc chung của SA và BC.
Do đó IK d SA; BC
Đặt SH h, AI
30°
E
C
D
H
I
B
a
4
a 3
a 3
a2
, AH
SA
h2
2
3
3
Lại có AI.SH IK.SA 2SSAI
a 3
3a a 2
h
h2 h a
2
4 3
Gọi M là hình chiếu của A lên SI, khi đó AM SBC . Gọi N là hình chiếu của M lên SC, khi đó
SC AMN SAC , SBC ANM
Ta có: HI
a 3
a 39
AI.SH 3a
; SI
AM
6
6
SI
13
Mặt khác IM AI 2 AM2
Ta lại có SMN SCI
tan
a 39
5a
a 30
SI SM SI IM
; SC
26
3
39
MN SM
SM.CI 3a 130
MN
CI
SC
SC
52
AM 2 10
65
hay cos
.
MN
5
13
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là với cos
65
.
13
Vậy chọn đáp án C.
Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB 2a, AC a, AA'
a 10
, BAC 1200 . Hình chiếu
2
vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính số đo góc giữa hai mặt
phẳng (ABC) và (ACC’A’)
A. 750
B. 300
C. 450
D. 150
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 4
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra C'H ABC . Trong ABC ta có:
BC2 AC2 AB2 2AC.AB.cos1200 7a 2
BC a 7 CH
B'
C'
a 7
2
C'H C'C2 CH2
A'
a 3
2
Hạ HK AC . Vì C'H ABC đường xiên C'K AC
ABC , ACC'A' C'KH
C
(1)
K
( C'HK vuông tại H nên C'KH 900 )
Trong HAC ta có HK
Từ (1) và (2) suy ra
B
H
A
2SHAC S ABC a 3
C'H
tan C'KH
1 C'KH 450
HK
AC
AC
2
(2)
ABC , ACC'A' 450 .
Vậy chọn đáp án C.
Câu 5. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và A'A A' B A'C a
7
.
12
Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC)
A. 750
B. 300
C. 450
Hướng dẫn giải
D. 600
Gọi H là hình chiếu của A trên (ABC)
B'
C'
Vì A'A A' B A'C nên HA HB HC , suy ra H là tâm
của tam giác đều ABC.
A'
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB.
A' J AA'2 AJ 2
7a 2 a 2
a
12
4
3
1
1 a 3 a 3
HJ CJ .
3
3 2
6
a
2
2
A'H A' J HJ
2
A'J AB
Vì
A' JC AB A' JC chính là góc giữa hai
CJ AB
I
B
C
H
J
A
a
A'H
mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC). Khi đó tan A' JC
2 3 A' JC 600
JH
a 3
6
Vậy chọn đáp án D.
Câu 6. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B có AB = BC 4. Gọi H là
trung điểm của AB, SH (ABC). Mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 600. Cosin góc giữa 2 mặt
phẳng SAC và ABC là:
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 5
Chuyên đề: Hình học không gian
5
5
A.
B.
Chủ đề 8: Góc
5
4
10
5
C.
D.
1
7
Hướng dẫn giải
Kẻ HP AC SAC ; ABC SPH cos SAC ; ABC cosSPH
Ta có ngay
HP
SP
SBC ; ABC SBH SBH 600
tan 600
SH
3 SH HB 3 2 3
HB
APH vuông cân P HP
AH
2
2
2
2
SP2 SH2 HP2 12 2 14 SP 14
cos SAC ; ABC
HP
2
1
.
SP
14
7
Vậy chọn đáp án D
Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a. Biết SO ABCD , AC = a và thể
tích khối chóp là
A.
a3 3
. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng SAB và ABC là:
2
6
7
B.
3
7
C.
1
7
D.
2
7
Hướng dẫn giải
Kẻ OP AB SAB ; ABC SPO
cos SAB ; ABC cosSPO
OP
SP
Cạnh AB BC a và AC a AB BC CA a ABC
đều sin 600
OP
3
3
3 a a 3
OP
OA
.
OA
2
2
2 2
4
1
1
1
1
a2 3 a3 3
Ta có : VS.ABCD SO.SABCD SO.2SABC SO.2. .a.a.sin 600 SO.
3
3
3
2
6
2
SO 3a SP2 SO2 OP2 9a 2
3a 2 147a 2
16
16
a 3
7a 3
OP
1
SP
cos SAB ; ABC
4 .
4
SP 7a 3 7
4
Vậy chọn đáp án C.
Câu 8. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O và SA (ABCD). Để góc giữa SBC và SCD bằng
600 thì độ dài của SA
A. a
B. a 2
C. a 3
D. 2a
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 6
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
BD AC
Ta có
BD SAC BD SC
BD SA
SC BI
Kẻ BI SC ta có
SC BID
SC BD
SBC , SCD BI,ID 600
Trường hợp 1: BID 600 BIO 300
Ta có tan BIO
BO
a 6
a 2
(vô lý)
OI
OC
IO
2
2
Trường hợp 2: BID 1200 BIO 600
Ta có tan BIO
BO
a 6
OI
IO
6
Ta có sin ICO
OI
3
1
tan ICO
SA AC.tan ICO a
OC
3
2
Vậy chọn đáp án A.
Câu 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA= a , SB= 3 và SAB
vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Cosin của góc giữa 2
đường thẳng SM và DN là:
A.
2
5
B.
2
C.
5
1
5
D.
1
5
Hướng dẫn giải
Kẻ ME song song với DN với E AD suy ra AE
a
2
Đặt là góc giữa hai đường thẳng SM, DN nên SM;ME
Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Ta có SH ABCD
Suy ra SH AD AD SAB AD SA
Do đó SE2 SA2 AE2
5a 2
a 5
a 5
và ME
SE
4
2
2
Tam giác SME cân tại E, có cos cosSME
5
.
5
Vậy chọn đáp án D.
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
AB =2a, SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng SAD
và SBC là:
A.
2
2
B.
2
3
C.
2
4
D.
2
5
Hướng dẫn giải
Gọi I là giao điểm của AD và BC
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 7
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
BD AD
Ta có
BD SAD BD SI
BD SA
SI BD
Kẻ DE SI ta có
SI BDE
SI DE
SAD , SBC DE,BE
Ta có sin AIS
SA
3
DE
mà sin AIS
SI
DI
7
DE DI.sin AIS
tan DEB
a 3
7
BD
2
.
7 cos DEB
ED
4
Vậy chọn đáp án C
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD .có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , có AB = 2a, AD =
DC = a, SA = a và SA (ABCD). Tan của góc giữa 2 mặt phẳng SBC và ABCD là:
A.
1
B.
3
3
C.
2
D.
1
2
Hướng dẫn giải
Ta có
SBC , ABCD ACS
Ta có AC AD2 DC2 a 2
tan ACS
SA
1
.
AC
2
Vậy chọn đáp án D
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA (ABC), SA = a 3 . Cosin
của góc giữa 2 mặt phẳng SAB và SBC là:
A.
2
B.
5
2
C.
5
1
5
D.
1
5
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm AB
CM AB
Ta có
CM SAB CM SB
CM SA
SB MN
Kẻ MN SB ta có
SB CMN
SB CM
SAB , SBC MN,NC MNC
Ta có tan SBA
SA
3 SBA 600
AB
Ta có sin SBA
MN
a 3
1
MN
cosMNC
. Vậy chọn đáp án D.
MB
4
5
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 8
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
DẠNG 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1. Cho tứ diện ABCD có các mặt (ABC) và (ABD) là các tam giác đều cạnh a, các mặt (ACD) và
(BCD) vuông góc với nhau. Tính số đo của góc giữa hai mặt đường thẳng AD và BC
A. 300
B. 600
D. 450
C. 90
Hướng dẫn giải
Gọi M, N, E lần lượt là các trung điểm của các cạnh CD,
AB, BD
A
AB BN
Ta có:
AB BCN AB MN
AB CN
Do ACD cân tại A AM CD
AM BCD AM BM
MN
N
AMB vuông tại M
AB a
2
2
B
D
E
3a 3 a 2 a 2
4
4
2
DM ND2 NM2
M
MNE là tam giác đều MEN 600
C
NE / /AD
Do
AD, BC NE,EM 600 .
EM / /BC
Vậy chọn đáp án B
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA a , SB a 3 và mặt
phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.
Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN
A.
7 5
5
B.
2 5
5
5
5
Hướng dẫn giải
C.
3 5
5
D.
Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra SH ABCD
Do đó SH là đường cao của hình chóp S.BMDN
S
Ta có: SA2 SB2 a2 3a 2 AB2 SAB vuông tại S
SM
AB
a
a . Kẻ ME∥DN E AD AE
2
2
Đặt là góc giữa hai đường thẳng SM và DN. Ta có:
SM,ME
A
Theo định lý ba đường vuông góc, ta có: SA AE
Suy ra SE SA2 AE2
a 5
a 5
, ME AM2 AE2
2
2
a
5
SME cân tại E nên SME và cos 2
5
a 5
2
E
D
H
M
O
B
N
C
Vậy chọn đáp án B.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 9
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
Câu 3. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của
cạnh BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’
A.
3
4
B.
1
4
C.
1
2
3
2
D.
Hướng dẫn giải
Gọi
H
là
trung
điểm
AH
1
1 2
BC
a 3a 2 a
2
2
của
BC
A'H ABC
và
B'
C'
A'
Do đó:
2a
A'H A'A AH 3a A'H a 3
2
2
2
2
1
a3
Vậy VA'.ABC A'H.S ABC
(đvtt)
3
3
Trong tam giác vuông A’B’H có HB' A' B'2 A'H2 2a nên B
a
tam giác B’BH là cân tại B’. Đặt là góc giữa hai đường thẳng
AA’ và B’C’ thì B' BH
Vậy cos
C
H
a 3
A
a
1
.
2.2a 4
Vậy chọn đáp án B.
Câu 4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân AB AC a , BAC 1200 và AB’
vuông góc với đáy (A’B’C’). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CC’ và A’B’, mặt phẳng
(AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300 . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và
C’N
A.
7
19
B. 2
5
39
3
29
Hướng dẫn giải
C. 2
D. 2
Ta có: BC2 AB2 AC2 2AB.ACcosA 3a 2 BC a 3
K
Gọi K là hình chiếu của B’ lên A’C’, suy ra A'C' AB'K
B'
Do đó:
7
29
A'
N
C'
AKB' A' B'C' , AA'C' 300 Trong tam giác A’KB’ có
E
a 3
KA' B' 60 , A' B' a nên B'K A' B'sin 60
2
0
Suy ra AB' B'K.tan 300
0
M
a
2
Gọi E là trung điểm của AB’, suy ra ME∥C'N nên
A
B
C
C'N,AM EM,AM
Vì AB' C'N AE EM C'N,AM AME
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 10
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
2 C' B'2 C'A'2 A' B'2
1
a
a 7
2
2
AE AB' ; EM C'N
EM
2
4
4
2
AM2 AE2 EM2
Vậy cos AME
29a 2
a 29
AM
16
4
ME
7
2
.
MA
29
Vậy chọn đáp án D.
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a 2 , AC =2a. Mặt bên SAC
là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh bên SA hợp với mặt đáy
một góc thỏa mãn cos
A. 300
21
. Góc giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
6
B. 450
C. 600
D. 900
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của AC khi đó SH AC
Mặt khác SAC ABC SH ABC
Mặt khác BC AC2 AB2 a 2 AB nên tam giác ABC vuông cân tại
B do đó BH AC .
Lại có SH AC AC SBH do đó SB AC .
Vậy chọn đáp án D.
Câu 6. Cho hình lăng trụ đều ABC. A’B’C’ ' có cạnh đáy bằng 2a. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BGC’) bằng
a 3
. Góc giữa hai đường thẳng chéo
2
nhau B’G và BC gần bằng
A. 61,280
B. 64,280
C. 68,240
D. 52,280
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của AC ta có: BM AC
Dựng CE CC' CE C'MB
Do đó d C; BC'M d C; BC'G GE
Khi đó
1
CE
2
1
CM
2
1
CC'2
Lại có BM a 3 BG
Tương tự ta có C'G
Do vậy cos C' B'G
a 3
2
CC' a 3
2a 3
a 39
B'G BG2 BB'2
3
3
a 39
3
C' B'2 GB'2 GC'2
3
C' B'G 61,290
2C' B'.GB'
39
Mặt khác B'C'/ /BC BC; B'G B'C'; B'G C' B'G 61,290 .
Vậy chọn đáp án A.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 11
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
Câu 7. Cho hình chóp S ABCD . có SA, SB, SC, đôi một vuông góc với nhau và SA = SB = SC = a .
Tính góc giữa hai đường thẳng SM và BC với M là trung điểm của AB
A. 300
B. 600
C. 900
D.1200
Hướng dẫn giải
Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM
Và cắt đường thẳng SA tại N
Do đó SM; BC BN; BC NBC
Ta có SM||BN và M là trung điểm của AB
Nên SN SA SC a NC a 2
NV 2SM a 2
Mà BC SB2 SC2 a 2 NBC là tam giác đều
Vậy NBC 600 SM, BC 600 .
Vậy chọn đáp án B
Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính góc giữa hai đường thẳng CI và AC, với I là trung
điểm của AB
A. 100
B. 300
C. 1500
D. 1700
Hướng dẫn giải
Ta có I là trung điểm của AB nên CI;CA ICA
Xét tam giác AIC vuông tại I, có AI
Suy ra sin ICA
AB AC
AI 1
2
2
AC 2
IA 1
ICA 300 CI;CA 300 .
CA 2
Vậy chọn đáp án B
Câu 9. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình chữ nhật. Các tam giác SAB, SAD, SAC là
các tam giác vuông tại A . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD biết SA= 3 ,
AB a,AD 3a.
A.
1
2
B.
3
2
C.
4
130
D.
8
130
Hướng dẫn giải
Ta có các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A.
Nên SA AB,SA AD SA ABCD
Gọi O AC BD . Và M là trung điểm của SA. Do đó OM||SC
Hay SC|| MBD nên SC; BD OM; BD MOB
Có BM AM2 AB2
SA2
a 7
SC a 13
AB2
,MO
4
2
2
2
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 12
Chuyên đề: Hình học không gian
BO
Chủ đề 8: Góc
BD a 10
. Áp dụng định lý cosin trong tam giác MOB.
2
2
Ta được BM2 OM2 OB2 2OM.OB.cosMOB
cosMOB
OM2 OB2 BM2
8
.
2OM.OB
130
Vậy chọn đáp án D
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và BC biết AD = DC = a, AB = 2a,
SA
A.
2a 3
3
1
B.
42
2
C.
42
3
4
D.
42
42
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của AB. Ta có AM AD DC a
Mà AB song song với CD nên AMCD là hình vuông cạnh A.
Do đó DM song song với BC. Suy ra SD; BC SD; DM SDM
Lại có SM SA2 AM2
a 21
3
Và DM a 2 ,SD SA2 AD2
a 21
3
Áp dụng định lý cosin trong tam giác SDM, ta được
cosSDM
SD2 DM2 SM2
3
.
2SD.SM
42
Vậy chọn đáp án C
Câu 11. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI với I là
trung điểm của AD.
A.
3
2
B.
3
4
C.
3
6
D.
1
2
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của BD. Ta có IH||AB AB|| HIC
Nên AB;CI IH;IC HIC . Mà IH
a
a 3
,CH CI
2
2
Áp dụng định lý cosin trong tam giác HIC, ta được
2
a
2
2
2
2
HI CI HC
3
3
cosHIC
cos AB; CI
.
2HI.CI
6
6
a a 3
2. .
2 2
Vậy chọn đáp án C
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 13
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
Câu 12. Cho lăng trụ ABC.A’B’ C’ có tất cả các cạnh đáy bằng a . Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt
đáy là 600 và H là hình chiếu của đỉnh A lên mặt phẳng A’B’C , H trùng với trung điểm của
cạnh B’C’. Góc giữa BC và AC là . Giá trị của tan là:
A. 3
B. -3
C.
1
3
D.
1
3
Hướng dẫn giải
Ta có A'H là hình chiếu của AA' lên mặt phẳng đáy
Do đó AA'; ABC AA'; A'H AA'H 600
Lại có A'H
Và AA'
a
a a 3
a 6
AH tan 600.
B'H nên AB'
2
2
2
2
A'H
cos600
a AC' a
Mặt khác BC; AC' AC'; B'C' AC' B'
Do đó cos
Suy ra tan
AC'2 B'C'2 AB'2 1
2.AC'.B'C'
4
1
cos2
1 3.
Vậy chọn đáp án A
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại AD, với AB = 3a, AD = 2a,
DC = a. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ABCD là H thuộc AB với AH = 2HB . Biết
SH = 2a , cosin của góc giữa SB và AC là:
A.
2
2
B.
2
6
C.
1
5
D.
1
5
Hướng dẫn giải
Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC và cắt CH tại K
Ta có SB; AC SB; BK SBK
Xét hai tam giác đồng dạng ACH và BKH có
CH AH
2
HK BH
SB SH2 HB2 a 5
CH a 5
BK
Nên HK
a 21
2
2
SK SH2 HK 2
2
Do đó cosSBK cos
SB2 BK 2 SK 2 1
.
2.SB.BK
5
Vậy chọn đáp án C
Câu 14. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA
= a; AB = a; BC = a 2 . Gọi I là trung điểm của BC. Cosin của góc giữa 2 đường thẳng AI và SC là:
A.
2
3
B.
2
3
C.
2
3
D.
2
8
Hướng dẫn giải
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 14
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
Gọi H là trung điểm của SB IH song song với SC.
Do đó SC|| AHI AI;SC AI;HI AIH
Ta có AI AB2 BI 2
SC
SA2 AC2
a 6
và IH
a
2
2
2
AB2 AS2 BS2 a 2
.
2
4
2
AH
Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHI, có
cos AIH
AI 2 HI 2 AH2
6
2
.
2AI.AH
3
3
Vậy chọn đáp án A
DẠNG 3. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC a , AA' a 2 và
cos BA'C
5
. Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (A A’C’C)
6
A. 300
B. 450
C. 600
Hướng dẫn giải
D. 900
Đặt AB x thì A' B2 A'C2 x2 2a 2
B
Áp dụng định lí hàm số cosin trong A' BC , ta có:
cos BA'C
2
2
2
2
H
A
A' B A'C BC
2x 4a a
5
xa
2A' B.A'C
6
2 x2 2a 2
2
C
2
Kẻ BH AC , khi đó BH AA'C'C
Suy ra góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (AA’C’C) là góc BA'H .
C'
B'
Trong tam giác vuông A’BH có
A'
a 3
BH
1
sin BA'H
2 BA'H 300
A' B a 3 2
Vậy chọn đáp án A.
Câu 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết
AB 3cm, BC' 3 2cm . Tính góc hợp bởi đường thẳng BC’ và mặt phẳng (ACC’A’)
A. 900
B. 600
C. 450
Hướng dẫn giải
Tính góc hợp bởi đường thẳng BC’ và mặt phẳng (ACC’A’)
D. 300
B
A
Gọi H là trung điểm của cạnh AC, suy ra HC’ là hình chiếu của BC’
H
C
lên mặt phẳng (ACC’A’)
Do đó BC', ACC'A' BC';HC'
3 2
Ta có tam giác BHC’ vuông tại H, cạnh BH
cm
2
A'
B'
C'
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 15
Chuyên đề: Hình học không gian
Ta có sin HC' B
Chủ đề 8: Góc
BH 1
HC' B 300 . Vậy BC', ACC'A' 30 0
BC' 2
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) bằng 600 .
Vậy chọn đáp án B.
Câu 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A 600 . Chân đường
vuông góc hạ từ B’ xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy
ABCD. Cho BB' a .Tính góc giữa cạnh bên và đáy
A. 300
B. 450
C. 600
Hướng dẫn giải
D. 900
Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.
D'
C'
Gọi O AC BD . Theo giả thiết ta có B'O ABCD
A'
B' B ABCD B
B'O ABCD , O ABCD
B'
Hình chiếu B’B trên (ABCD) là OB
B' B, ABCD B' B,BO B' BO Tam
giác
ABD
D
có
C
O
a
AB AD a , BAD 60 ABD là tam giác đều OB
2
A
0
H
K
B
a
OB 2 1
Trong tam giác vuông B’OB: cos B'OB
B'OB 600 .
BB' a 2
Vậy chọn đáp án C.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a. Hai mặt phẳng (SAB)
và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tam giác SAB có diện tích bằng
8a 2 6
. Côsin của góc tạo bởi
3
đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC) bằng:
A.
19
5
B.
6
5
C.
6
25
D.
19
25
Hướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (SBC)
S
SH
SD; SBC HSD cos SD; SBC cosHSD
SD
1
1
8a 2 6
4a 6
SABC SA.AB SA.4a
SA
2
2
3
3
1
VD.SBC DH.SSBC và
3
VD.SBC VS.BCD
A
1
1 4a 6 1
32a 3 6
.SA.S BCD .
. .4a.4a
3
3 3 2
9
3
3
1
32a 6
32a 6
DH.SSBC
DH
3
9
3SSBC
D
4a
H
B
C
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 16
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
BC AB
1
1
Từ
BC SAB BC SB SSBC BC.SB .4a.SB 2a.SB
2
2
BC SA
2
4a 6
80a 2
80
80
2
SB SA AB
SB a
S SBC 2a 2
16a
3
3
3
3
2
2
2
Thế vào (1) DH
32a 3 6
80
3
3.2a 2
4a 10
5
2
4a 6
80a 2
80
2
SD SA AD
SD a
16a
3
3
3
2
2
2
2
80a 2 4a 10
304a 2
SH SD HD
5
3
15
2
2
2
304
304
SH
15 19 .
SA a
cos SD; SBC
15
SD
5
80
a
3
a
Chọn A
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, CD 2a, AD = AB =
a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của đoạn AB. Khoảng cách từ điểm H
a 2
. Tan của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng (SCD) bằng:
3
đến mặt phẳng (SCD) bằng
A.
2
4
B.
2
C.
2
2
D. 2 2
Hướng dẫn giải
Gọi P là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (SCD)
BC; SCD BCP tan BC; SCD tan BCP
BP
PC
AB / /CD AB / / SCD d H; SCD d B; SCD BP BP
a 2
3
Ta có BC2 AD2 CD AB a 2 2a a 2a 2
2
2
2
a 2
16a 2
PC BC BP 2a
3
9
2
2
2
2
a 2
4a
BP
2
PC
tan BC; SCD
3
.
4a
3
PC
4
3
Vậy chọn đáp án B
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 17
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB 2a ; AD = 2a 3 và SA
ABCD . Gọi M là trung điểm của CD, biết SC tạo với đáy góc 450. Cosin góc tạo bởi đường thẳng
SM và mặt phẳng ABCD là:
A.
3
13
B.
13
29
C.
377
29
D.
277
29
Hướng dẫn giải
Từ SA ABCD SM; ABCD SMA cos SM; ABCD cosSMA
AM
SM
Từ SA ABCD SC; ABCD SCA SCA 450 SAC vuông cân tại A
SA AC AB2 BC2 4a 2 12a 2 4a
SM2 SA2 AM2 16a2 13a2 29a2 SM a 29
cos SM; ABCD
AM a 13
377
. Vậy chọn đáp án C
SM a 29
29
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B có AB = BC = a; SA (ABC. Biết
mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 600 .Cosin góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ABC
là:
A.
10
15
B.
10
10
C.
10
20
D.
10
5
Hướng dẫn giải
Từ SA ABC SC; ABC SCA cos SC; ABC cosSCA
AC
SC
ABC vuông cân B AC AB 2 a 2
+Ta có ngay
SA
SB; ABC SBA SBA 600 tan 600 AB
3 SA a 3
SC2 SA2 AC2 3a2 2a2 5a2 SC a 5
cos SC; ABC
AC a 2 a 10
.
SC a 5
5
Vậy chọn đáp án D
Câu 8. Cho hình hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a 3 , BC =
a. Biết A’C = 3a. Cosin góc tạo bởi đường thẳng A’ B và mặt đáy ABC là:
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 18
Chuyên đề: Hình học không gian
10
4
A.
B.
Chủ đề 8: Góc
10
6
C.
6
4
D.
15
5
Hướng dẫn giải
Lăng trụ đứng A' B'C.ABC A'A ABC
A' B; ABC A' BA cos A' B; ABC cos A' BA
AB
A' B
ABC vuông tại B AC2 AB2 BC2 3a 2 a 2 4a 2 AC 2a
A'A2 A'C2 AC2 9a2 4a2 5a2
A' B2 A'A2 AB2 5a2 3a2 8a2 A' B 2a 2
cos A' B; ABC cos A' BA
AB
a 3
6
. Vậy chọn đáp án C
A' B 2a 2
4
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
và SC= a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Cosin của góc giữa SC và
mặt phẳng SHD là
3
5
A.
B.
5
3
C.
2
5
D.
5
2
Hướng dẫn giải
Ta có SB2 BC2 SC2 2a2 SB BC mà BC AB
BC SAB BC SH mà SH AB SH ABCD
Kẻ CE HD CE SHD SC, SHD SC,SE CSE
Ta có
1
1
2a 5
CE.HD S ABCD CE
2
2
5
SE SC2 CE2
a 30
SE
3
cosCSE
.
5
SC
5
Vậy chọn đáp án A
Câu 10. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A có AB = AC = 4a, góc BAC 1200 . Gọi
M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AB, SAM là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng
vuông góc với đáy. Biết SA = a 2 . Góc giữa SN và mặt phẳng ABC là:
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Hướng dẫn giải
Ta có SN; ABC SN; NH SNH
Ta có MAC 600 AM 2a,MC 2a 3
1
AH AM a SH SA2 AH2 a
2
Ta có NH
1
BM a 3
2
tan SNH
SH
1
SNH 300 SN, ABC 300
NH
3
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 19
Chuyên đề: Hình học không gian
Chủ đề 8: Góc
Vậy chọn đáp án A
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S
lên ABCD là trọng tâm G của ABD. Biết SG = 2a , cosin của góc giữa SD và ABCD là:
5
21
A.
B.
5
21
C.
5
41
5
41
D.
Hướng dẫn giải
Ta có SD; ABCD SD,GD SDG
Ta có DG
2
2
a 5
DM
AM2 AD2
3
3
3
tan SDG
cosSDG
SG 6 5
GD
5
5
5
cos SD, ABCD
41
41
Vậy chọn đáp án C
Câu 12. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = 4a, AD a 3 . Điểm H
1
nằm trên cạnh AB thỏa mãn AH HB . Hai mặt phẳng SHC và SHD cùng vuông góc với mặt
3
phẳng đáy. Biết SA = a 5 . Cosin của góc giữa SD và SBC là:
A.
5
12
B.
5
13
C.
4
13
D.
1
3
Hướng dẫn giải
Kẻ HK SB HK SBC . Gọi E DH BC , kẻ DF / /HK F EK
DF SBC SD, SBC SD,SF DSF
Ta có SH SA2 AH2 2a . Xét SHB có
Ta có
1
HK
2
1
SH
2
1
HB
2
13
36a
2
HK
6a
13
EH HB 3
HK EH 3
8a
DF
. Ta có SD SH2 DH2 2a 2
ED CD 4
DF ED 4
13
SF SD2 DF2
2a 10
13
cos DSF
SF
5
SD
13
Vậy chọn đáp án B.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133
Page 20
- Xem thêm -
.PDF 
23 
229 
129 
