Mô tả:
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1
DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1) 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 → 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 ; 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 . 2) 𝑡𝑎𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 1 →
𝑐𝑜𝑡𝛼 = 1 𝑡𝑎𝑛𝛼 .3) 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 .4) 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝛼 = 1 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 .5) 𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 .6) 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 .7) cos 𝑎 ± 𝑏 = cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 ∓ 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏 .8) sin 𝑎 ± 𝑏 =
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 ± 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏 .9) tan 𝑎 ± 𝑏 = (𝑡𝑎𝑛𝑎 ± 𝑡𝑎𝑛𝑏) (1 ∓ 𝑡𝑎𝑛𝑎𝑡𝑎𝑛𝑏) .10) 𝑠𝑖𝑛2𝛼 =
2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 → 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑖𝑛2𝛼 2 .11) 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1 = 1 −
2𝑠𝑖𝑛2 𝛼 → 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝛼) 2 ; 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼) 2 .12) 𝑠𝑖𝑛3𝛼 = 3𝑠𝑖𝑛𝛼 −
4𝑠𝑖𝑛3 𝛼 → 𝑠𝑖𝑛3 𝛼 = (3𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑠𝑖𝑛3𝛼) 4 .13) 𝑐𝑜𝑠3𝛼 = 4𝑐𝑜𝑠 3 𝛼 − 3𝑐𝑜𝑠𝛼 → 𝑐𝑜𝑠 3 𝛼 =
(3𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠3𝛼) 4 .14) cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 = cos 𝑎 + 𝑏 + cos 𝑎 − 𝑏 2 .15) 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏 =
cos 𝑎 − 𝑏 − cos 𝑎 + 𝑏 2 .16)𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 = sin 𝑎 + 𝑏 + sin 𝑎 − 𝑏 2 .17)𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏 =
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
sin 𝑎 + 𝑏 − sin 𝑎 − 𝑏 2 . 18) cos 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠
.19) 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑦 =
−2𝑠𝑖𝑛
𝑥+𝑦
2
𝑠𝑖𝑛
𝑥−𝑦
2
. 20)𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛
𝑥+𝑦
2
𝑐𝑜𝑠
𝑥−𝑦
2
2
2
. 21)𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠
𝑥+𝑦
2
𝑠𝑖𝑛
𝑥−𝑦
2
22)𝑡𝑎𝑛𝑥 ± 𝑡𝑎𝑛𝑦 = sin
(𝑥 ± 𝑦) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 .23) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥
24) 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 2𝑐𝑜𝑡2𝑥 . 25) 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 =
𝑎2 +𝑏 2 𝑠𝑖𝑛
(𝑥 + 𝛼)
26) 𝑠𝑖𝑛𝑥 ± 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 sin 𝑥 ± 𝜋 3 . 27) 3𝑠𝑖𝑛𝑥 ± 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 sin 𝑥 ± 𝜋 6
28) 𝑠𝑖𝑛𝑥 ± 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 sin 𝑥 ± 𝜋 4 ; 29) 𝑐𝑜𝑠𝑥 ± 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2cos
(𝑥 ∓ 𝜋 4)
30) (𝑠𝑖𝑛𝑥 ± 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 1 ± 𝑠𝑖𝑛2𝑥 → 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = ± (𝑠𝑖𝑛𝑥 ± 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 − 1 2
31) 𝑐𝑜𝑠 −𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ; 𝑠𝑖𝑛 −𝛼 = −𝑠𝑖𝑛𝛼 ; tan(−𝛼) = 𝑡𝑎𝑛𝛼
32) 𝑠𝑖𝑛 𝜋 − 𝛼 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 ; 𝑐𝑜𝑠 𝜋 − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ; 𝑡𝑎𝑛 𝜋 − 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛𝛼
33) 𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ; 𝑡𝑎𝑛 𝜋 2 − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝛼
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT:
𝛼
GT
𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑡𝑎𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑡𝛼
00
0
0
1
0
∥
300
𝜋 6
1/2
3 2
1 3
3
450
𝜋 4
2 2
2 2
1
1
600
𝜋 3
3 2
1/2
3
1
3
900
𝜋 2
1
0
∥
0
1200
2𝜋 3
3 2
-1/2
1350
1500
3𝜋 4
5𝜋 6
1/2
2 2
− 2 2 − 3 2
-1
− 3
−1 3
-1
−1 3
− 3
1800
𝜋
0
-1
0
∥
2
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN
CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:
𝟏) 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒎
𝒎 ≤ 𝟏 : 𝒙𝟏 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒎 + 𝟐𝒌𝝅; 𝒙𝟐 = 𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒎 + 𝟐𝒌𝝅
𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒎
𝒎 ≤ 𝟏 : 𝒙 = ±𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒎 + 𝟐𝒌𝝅
𝟑) 𝒕𝒂𝒏𝒙 = 𝒎 ∶ 𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒎 + 𝒌𝝅
Để giải phương trình dạng 𝒂 𝒔𝒊𝒏𝒙 ± 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒃𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝑡𝑎 đặ𝑡 𝒕 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 ± 𝒄𝒐𝒔𝒙.
I.Sử dụng phép biến đổi lượng giác để đơn giản phương trình:
1) 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛4𝑥 ; 2) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 1) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
3) 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = (𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 1) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ; 4) 𝑐𝑜𝑠 8 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛8 𝑥 = 17 16𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥
5) 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 = 7 cot 𝑥 + 𝜋 3 cot
(𝜋 6 − 𝑥) 8 ; 6) 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛6 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠4𝑥
7) 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 + 𝜋 4 = 1 4 ; 8) 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛6 𝑥 = 0
9) 3𝑡𝑎𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 2𝑡𝑎𝑛𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛4𝑥 ; 10) 𝑐𝑜𝑠(4𝑥 3) = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
11)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 4) ; 12 𝑐𝑜𝑠10𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 + 6𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 8𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠 3 3𝑥
13) 𝑠𝑖𝑛2𝑥
1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ; 14)𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 5𝜋/2 − 3𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 7𝜋/2 = 1 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥
15)𝑠𝑖𝑛3 𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛3 4𝑥; 16)𝑠𝑖𝑛3 𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 2 4
𝑥
𝑥
𝜋 𝑥
17)1 + 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2
− ; 18)𝑡𝑎𝑛2 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑡𝑎𝑛3𝑥 = 2
2
2
4 2
19)𝑠𝑖𝑛2 4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 6𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(21𝜋 2 + 10𝑥); 20) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2(𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
21)
= 16 1 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 ; 22) 2𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 1/𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 1/𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
23) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ; 24) 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1
25) (𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 2) ( 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠 2
𝑥
𝑥
) = 𝑡𝑎𝑛2 ; 26) 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠3𝑥
2
2
27) 2𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ; 28)𝑠𝑖𝑛2,5𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑠𝑖𝑛0,5𝑥
29) (𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4𝑥) 𝑐𝑜𝑡2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2 ; 30) 𝑠𝑖𝑛4𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥
31) 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3 2 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1
1 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1; 32)4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 3𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 1
3
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN
33)2𝑐𝑜𝑠13𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠5𝑥 = 8𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠 3 4𝑥; 34)𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2 = 0
35) (𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠2𝑥)2 − 5 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 𝜋 6) ; 36 3𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 = 1
37) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0 ; 38) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 = 1,5
39) 2𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 4𝑠𝑖𝑛2 2𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ; 40) 3𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠9𝑥 = 1 + 4𝑠𝑖𝑛3 3𝑥
41)𝑐𝑜𝑠7𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1 − 𝑠𝑖𝑛7𝑥𝑠𝑖𝑛5𝑥; 42)𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛6 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥
43) 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3 4𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 ; 44) 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 2 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0
𝜋
2
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑠𝑖𝑛2𝑥 ; 46) 3𝑡𝑎𝑛6𝑥 − 2𝑡𝑎𝑛2𝑥 =
− 𝑐𝑜𝑡4𝑥
2
𝑠𝑖𝑛8𝑥
45) 2𝑐𝑜𝑠 2
47) 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥+𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 − 3 = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 1 ; 48) 𝑠𝑖𝑛5𝑥 5𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1
49) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 5 = 2 2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 50) 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 2 2𝑥 = 11/3
51)
1
2(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥)
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
; 52) 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 =
𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑥 − 1
𝑠𝑖𝑛2 2𝑥
53) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠6𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 2
54) 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0
55) 8 2𝑐𝑜𝑠 6 𝑥 + 2 2𝑠𝑖𝑛3 𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 6 2𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 − 1 = 0
56) 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 + 𝜋 4 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝜋 2 ; 57) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝜋 4 = 𝑐𝑜𝑠 2 (3𝑥 + 𝜋 2)
58) 4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛4𝑥 ; 59) 16𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠8𝑥 = 1
60) 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 8𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 10𝑥 + 17𝜋 2 ; 61) 1 + 2𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 5 = 3𝑐𝑜𝑠(4𝑥 5)
62) 3𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 𝜋 12 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝜋 12 = 1 ; 63) 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 2𝑐𝑜𝑡 3 2𝑥
64) 3𝑡𝑎𝑛6𝑥 − 2𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑡4𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛8𝑥 ; 65) 2𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 3 + 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥
66) (1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)2 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 67) 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 4𝑠𝑖𝑛4 𝑥 − 1 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥(7𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 4)
68) 2𝑠𝑖𝑛3𝑥 1 − 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 1 ↔ 𝑠𝑖𝑛6𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 69) 𝑠𝑖𝑛10 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠10 𝑥 = 29 64 ↔ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 0
II.Biến đổi về phương trình tích:
1) 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = (1 − 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥) (1 − 𝑠𝑖𝑛3 𝑥) ; 2) 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 1
3) 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 1 = 3 − 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ; 4) 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 3𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4 + 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 3
5) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 3 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 3𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 3 3 ; 6) 4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 1
4
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN
7) 2𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 ; 8) 2𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
9)
3(𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥)
3(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥)
− 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2 ; 10)
− 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2
𝑐𝑜𝑡2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥
11) 3 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 5 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2 ; 12) 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
13)1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥; 14)𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥
15) 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0 ; 16) 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
3𝑥
𝑥
3𝑥 1
𝜋
1
1
17) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠
− 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛
= ; 18) 2 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 +
=
+
2
2
2
2
2
4
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
19) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 0 ; 20) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥+𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 4𝑥 = 2
21) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛4𝑥 = 2𝑡𝑎𝑛3𝑥 ; 22) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2(𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
23) 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 ; 24) 𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 𝑐𝑜𝑡3𝑥 = 1 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥
25) 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 + 3𝑡𝑎𝑛𝑥 ; 26) 𝑠𝑖𝑛4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 1 + 4 2𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 𝜋 4)
1
2 − 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥
𝑥
𝑥
𝜋 𝑥
27)
=
; 28) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 + 1 = 2𝑐𝑜𝑠 2
−
2
3
𝑐𝑜𝑠 𝑥
1 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥
2
2
4 2
29)2𝑠𝑖𝑛3𝑥 −
1
1
3(1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)
𝜋 𝑥
= 2𝑐𝑜𝑠3𝑥 +
; 30)3𝑡𝑎𝑛3 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥 +
− 8𝑐𝑜𝑠 2
−
=0
2
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
4 2
31) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 = 4𝑠𝑖𝑛2
𝜋 𝑥
7
−
− ; 32) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
4 2
2
1
8
𝜋
1
33) 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝜋 = + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠 𝑥 +
+ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
3
3
2
3
34) 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ; 35) 𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 8𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
36)
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 + (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2
1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥
− 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 =
+ 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
4(1 − 𝑠𝑖𝑛𝑥)
2
37) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥
38) 4𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 3 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 8𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 39) 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3(4𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1)
40) 9𝑠𝑖𝑛𝑥 + 6𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 8 ; 41) 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 + 3𝑡𝑎𝑛𝑥
III.Đặt ẩn phụ:
1)𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝜋 4 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 ; 2) 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 − 𝜋 4 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝜋 4)
3) 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 − 𝜋 4 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1 ; 4) 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
5
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN
5)8𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝜋 3 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥; 6)𝑡𝑎𝑛 3𝑥 + 1200 − 𝑡𝑎𝑛 1400 − 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛(800 + 2𝑥)
7) 𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1,5𝑐𝑜𝑡𝑥 ; 8) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 3 𝑥 = 6
9)3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛𝑥 +
6
3
= 6; 10)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥 = 3 −
3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1
11)𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 3 ; 12)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 10 3
13) 2 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 = 4 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝜋 4 − 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 𝜋 4)
IV.Đưa về phương trình của tanx:
1) 6𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 5𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 2) 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
3)2 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 ; 4) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1 = 3𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3
5) 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 ; 6) 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
7) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 6 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 ; 8) 2𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛2𝑥
9) 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ; 10) 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 3 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
11) 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 2𝑡𝑎𝑛2𝑥 ; 12) 1 + 3𝑡𝑎𝑛𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥
13) 1 + 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2𝑡𝑎𝑛𝑥 ; 14) 𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1,5𝑐𝑜𝑡𝑥
15) 9 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − 5𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 0 ; 16) 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 3(𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥)
17) 3𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 5𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ; 18) 4𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥
V.Phương trình chứa giá trị tuyệt đối và căn thức:
1) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 ; 2) 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1
3)3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 = 0 ; 4) 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 1 − 3𝑠𝑖𝑛3𝑥
5) 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 6) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 =
2 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛2𝑥
7) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2; 8) 5𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0
9) 5 − 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 10) 2𝑠𝑖𝑛 3𝑥 + 𝜋 4 =
1 + 8𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥
11) 1 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 ; 12) 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
13) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 1 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 14) 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥
6
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN
15) 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 1 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥; 16)
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥
17) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 18) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1
19) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 1 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 =
𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥
20) 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 =
21) (𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥)
2;
(2 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥) 4
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ; 22) 3 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2
VI.Các phương trình lượng giác đặc biệt:
1) 𝑠𝑖𝑛8 𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛4 𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 1 = 0 ; 2) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 0,25𝑠𝑖𝑛2 3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛2 3𝑥
3)𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 0; 4)𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 2 − 𝑠𝑖𝑛4 𝑥
5) 𝑠𝑖𝑛6 𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛3 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 + 1 = 0 ; 6) 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2(2 − 𝑠𝑖𝑛 1,5𝑥 )
7) 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 2 − 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 = 2 1 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ; 8) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 3
9) 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 1 = 1 ; 10) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2(2 − 𝑠𝑖𝑛3𝑥)
11) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠6𝑥 + 12𝑠𝑖𝑛𝑥 − 16𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 4 = 0 ; 12) 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥 + 𝑥 2 = 0
13) 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 = 1 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁; 𝑚, 𝑛 > 2 ; 14) 7𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 8𝑠𝑖𝑛100 𝑥 = 8
15) 𝑥 2 − 2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 = 0 ; 16) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑥 2 + 3 = 0
17) (𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 )2 + (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)2 = 12 + 0,5𝑠𝑖𝑛𝑦
18)4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 3𝑡𝑎𝑛2 𝑥 − 4 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 3𝑡𝑎𝑛𝑥 + 4 = 0 ;
18′)𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4 = 0
19) (𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 1 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 )2 + (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)2 = 3,5 + 2𝑠𝑖𝑛𝑦 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑦
20) 𝑇ì𝑚 𝑐á𝑐 𝑔𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑎, 𝑏 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔𝑖ệ𝑚: 𝑥 2 + 5 = 2 𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏)
21) 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛3 𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 ;
22)3𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 2 3𝑡𝑎𝑛𝑥 − 4𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 = 0
𝑦
𝑦
23) 𝑠𝑖𝑛5 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1 + 2 ; 23) 6 − 4𝑥 − 𝑥 2 = 5 sin 𝑐𝑜𝑠
𝑥
𝑥
24)𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 8𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2 12𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 16𝑥 + 2
7
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN
7.Phương trình chứa tham số:
1) 𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó đú𝑛𝑔 7 𝑛𝑔𝑖ệ𝑚 𝑡𝑢ộ𝑐 𝑘𝑜ả𝑛𝑔 – 𝜋 2 ; 2𝜋 :
𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑚𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0 ( 1 < 𝑚 < 3 )
2) 𝑋á𝑐 đị𝑛 𝑐á𝑐 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑎𝑚 𝑠ố 𝑚 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 8 𝑛𝑔𝑖ệ𝑚 𝑡𝑢ộ𝑐 𝑘𝑜ả𝑛𝑔
0; 3𝜋 : 𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑚𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑚 + 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑚 = 0 (− 2 3 < 𝑚 < 2 )
3) 𝑇ì𝑚 𝑎 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 4 𝑛𝑔 ∈ 0; 2𝜋 : 𝑎𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 ( 𝑎 < 1; 𝑎 = 2)
4) 𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔𝑖ệ𝑚 𝑑𝑢𝑦 𝑛ấ𝑡 𝑡𝑢ộ𝑐 đ𝑜ạ𝑛 0; 𝜋 4 :
4 − 6𝑚 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 3 2𝑚 − 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 𝑚 − 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 4𝑚 − 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
(1 ≤ 𝑚; 𝑚 < 3 4)
5) 𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔𝑑𝑛 ∈ 0; 𝜋 : 𝑚𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑚 = 0 ( 𝑚 < 2 )
6) 𝑇ì𝑚 𝑐á𝑐 𝑔𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑠ố 𝑎 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑖ề𝑢 ơ𝑛 1 𝑛𝑔 ∈ 0; 𝜋 2 :
1 − 𝑎 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 + 3𝑎 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ( 𝑎 ≠ 0,5; 1 3 < 𝑎 < 1 )
7) Tìm các gt của thsố m để các pt sau có ng:
𝑎) (𝑠𝑖𝑛6 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑚𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑚 > 0,25 ; 𝑏) 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 𝑚2 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 ( 𝑚 ≥ 2 2)
𝑐) 3𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑚 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 1 + 3 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0 ( 𝑚 < 4 )
8) 𝑇ì𝑚 𝑎 để 𝑝𝑡𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔 ∈ 0; 𝜋 12 : 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 + 𝑎𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ( 0 < 𝑎 < 1 )
9) 𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝑝𝑡𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔 ∈ 0; 𝜋 2 :
𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 + 0,5 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ( 𝑚 ≤ − 2 − 1 )
10)𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔𝑑𝑛 ∈ 0; 𝜋 : 𝑚𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑚 = 0 ( 𝑚 < 2 )
11)𝑇ì𝑚 𝑐á𝑐 𝑔𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑠ố 𝑎 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑖ề𝑢 ơ𝑛 1 𝑛𝑔 ∈ 0; 𝜋 2 :
1 − 𝑎 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 + 3𝑎 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ( 𝑎 ≠ 0,5; 1 3 < 𝑎 < 1 )
12)Tìm các gt của thsố m để các pt sau có ng:
𝑎) (𝑠𝑖𝑛6 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑚𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑚 > 0,25 ; 𝑏) 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 𝑚2 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 ( 𝑚 ≥ 2 2)
𝑐) 3𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑚 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 1 + 3 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0 ( 𝑚 < 4 )
8
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN
13)𝑇ì𝑚 𝑎 để 𝑝𝑡𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔 ∈ 0; 𝜋 12 : 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 + 𝑎𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ( 0 < 𝑎 < 1 )
14)𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝑝𝑡𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔𝑖ệ𝑚 ∈ 0; 𝜋 2 :
𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 + 0,5 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ( 𝑚 ≤ − 2 − 1 )
15)𝑇ì𝑚 𝑎, 𝑏 để 𝑝𝑡𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔𝑖ệ𝑚 𝑣ớ𝑖 ∀𝑥: 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 + 𝑏2 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 + 𝑏2 − 1
16)𝑇ì𝑚 𝑎, 𝑏, 𝑐 để 𝑝𝑡𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔 𝑣ớ𝑖 ∀𝑥: 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0
17)𝐺𝑖ả𝑖 𝑣à 𝑏𝑙𝑝𝑡: 8𝑎2 + 1 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − 4𝑎2 + 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑎𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 0
18) 𝐺𝑖ả𝑖 𝑣à 𝑏𝑙𝑝𝑡: 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑘𝑐𝑜𝑠𝑥 ( 𝑘 ≥ 2 )
19) 𝐶𝑜 𝑝𝑡 4𝑐𝑜𝑠 5 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4𝑠𝑖𝑛5 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2 4𝑥 + 𝑚 ∗ . 𝐵𝑖ế𝑡 𝑥 = − 𝜋 8 𝑙à 1 𝑛𝑔
Của (*) . Hãy tìm các ng của (*) tmbpt: 𝑥 4 − 3𝑥 2 + 2 < 0 .
20) Xác định các gt của thsố m để 2pt sau tương đương:
𝑎)3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 1
= 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 & 𝑚𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 4 − 8𝑚 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 7𝑚 − 4 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 8𝑚 − 4 = 0
𝑏) 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 & 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑚𝑐𝑜𝑥 + 4 − 𝑚 (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
𝑐) 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 & 𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑚𝑠𝑖𝑛𝑥 = (4 − 2 𝑚 )𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑑) 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 & 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 𝑚 + 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2 𝑚 − 1 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑒) 2𝑠𝑖𝑛7 𝑥 − 1 − 𝑚 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 2𝑚3 − 2𝑚 − 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 & 2𝑠𝑖𝑛6 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 1 + 𝑚 − 2𝑚3 + 𝑚𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑓) 2𝑠𝑖𝑛1,5𝑥𝑠𝑖𝑛0,5𝑥 = 1 & 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 2 𝑚 − 2 − 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 6 − 𝑚 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
21) Tìm các gt của a và b để 2 pt sau tđ với nhau:
𝑎𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑎 2𝑠𝑖𝑛𝑥 & 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑏 = 2𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1
22) Tìm m để bpt sau đúng với ∀𝑥 ∈ 0; 𝜋 2 : 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑚𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥 ≥ 0 ( 𝑚 ≥ −2 2 )
23) Tìm m để bpt sau đúng với
∀𝑥 ∈ 0; 𝜋 4 : 𝑠𝑖𝑛5 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥 − 𝑚(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) ≥ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
24) Tìm a để hpt sau có ngdn:
𝑎𝑥 2 + 𝑎 − 1 = 𝑦 − 𝑠𝑖𝑛𝑦
𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑦 2 = 1
--------------------- // -------------------
- Xem thêm -