[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Các tác giả:
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP VŨNG TÀU)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Chủ đề 3:
I-LÝ THUYẾT:
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Vectơ a 0 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của
vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d .
a
a'
d
2. Phương trình tham số - Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Đường thẳng d đi qua M0 x0 ; y0 ; z0 và có 1 vectơ chỉ phương a a1 ; a2 ; a3
+Phương trình tham số của đường thẳng d là:
x x0 a1t
y y0 a2t (t R)
z z a t
0
3
a
(1)
M0
+Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:
d:
x x0 y y0 z z0
a1
a2
a3
(2)
a .a .a
1
2
3
0
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d1 và d2 .
Đường thẳng d1 có 1 vectơ chỉ phương a .
Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương b .
Cách 1: Xét vị trí tương đối của d1 và d2 theo chương trình cơ bản, ta xét theo các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra tính cùng phương của a và b .
Bước 2: Nhận xét:
d / / d2
+ Nếu a và b cùng phương thì: 1
d1 d2
+ Nếu a và b không cùng phương thì hoặc d1 cắt d2 hoặc d1 và d2 chéo nhau.
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
- 1 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
TH1: d1 cắt d2 .
Điều kiện 1: a và b không cùng phương .
d2
M0
Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:
d (*) có nghiệm duy nhất t0 ; k0 .
d1
Kết luận: d1 cắt d2 tại điểm .
Lưu ý: Giải hệ (*) bằng cách: Từ (1) và (2) giải ra t0 ; k0 và thay vào (3) (Nếu (3) thoả thì t0 ; k0 là
nghiệm, ngược lại thì không).
TH2: d1 và d2 chéo nhau.
Điều kiện 1: a và b không cùng phương .
Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:
x0 a1t x0 / b1k (1)
/
y0 a2t y0 b2 k (2) (*) vô nghiệm.
z a t z / b k (3)
0
3
0 3
d1
d2
TH3: d1 và d2 song song nhau.
Điều kiện 1: a và b cùng phương.
Điều kiện 2: Chọn điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) d1 . Cần chỉ rõ M 0 d2 .
M0
TH4: d1 và d2 trùng nhau.
Điều kiện 1: a và b cùng phương.
d2
Điều kiện 2: Chọn điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 d1 . Cần chỉ rõ M 0 d2 .
d1
M0
Đặc biệt: d1 d2 a.b 0 a1b1 a2 b2 a3b3 0
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 2 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Cách 2: Xét vị trí tương đối của d1 và d2 chương trình nâng cao theo sơ đồ sau:
- Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương ud vµ M0 d.
- Đường thẳng d’ có 1 vectơ chỉ phương ud/ vµ M 0/ d.
Tính ud , ud'
u , u 0
d d'
u , u 0
d d'
/
ud , M0 M0 0
u , u 0
d d'
u , u 0
d d'
/
ud , M0 M0 0
Trùng nhau
u , u 0
d d'
/
ud , ud' M0 M0 0
Song song
Cắt nhau
u , u 0
d d'
/
ud , ud' M0 M0 0
Chéo nhau
II- BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:
LOẠI 1: XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
+ Vectơ a 0 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc trùng
với đường thẳng d .
+ Nếu a là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì ka ,( k 0) cũng là 1 vectơ chỉ phương của d .
+ Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d . Nếu có 2 vectơ a , b không cùng phương và
u a
thì chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u a , b hoặc u k a , b , k 0 .
u b
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1; 1; 2 , B 2; 3; 1 , C 4; 2; 0 ; các
x 1
x 1 y z 3
đường thẳng 1 : y 2 3t t R , 2 :
; các mặt phẳng ( P) : x 3y 2z 1 0 ,
3
3
2
z 3 4t
(Q) : 3x z 0 . Tìm một vectơ chỉ phương của các đường thẳng sau:
a) Đường thẳng 1 .
b) Đường thẳng d1 đi qua A và song song với 2 .
c) Đường thẳng AB .
d) Đường thẳng d2 qua B và song song với Oy .
e) Đường thẳng d3 qua C và vuông góc với ( P) .
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 3 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
f) Đường thẳng d4 qua B , vuông góc với Ox và 1 .
g) Đường thẳng d5 (Q) qua O và vuông góc với 2 .
h) Đường thẳng d6 là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P),(Q) .
i) Đường thẳng d7 qua B vuông góc với 2 và song song với mặt phẳng (Oxy ) .
j)Đường thẳng d8 qua A , cắt và vuông góc với trục Oz .
Bài giải:
a) Đường thẳng 1 có 1 vectơ chỉ phương là a (0; 3; 4) .
b) Đường thẳng 2 có 1 vectơ chỉ phương là b (3; 3; 2) . Ta có: d1 / / 2 nên b (3; 3; 2)
cũng là 1 vectơ chỉ phương của d1 .
c) Đường thẳng AB có 1 vectơ chỉ phương là AB (1; 4; 1) .
d) Đường thẳng d2 / / Oy nên có 1 vectơ chỉ phương là j (0;1; 0) .
e) Mặt phẳng ( P) có 1 vectơ pháp tuyến là n1 (1; 3; 2) . Đường thẳng d3 ( P ) nên có 1 vectơ
chỉ phương là n1 (1; 3; 2) .
f) Gọi u4 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d4 .
u4 i
Ta có: i , a 0; 4; 3 ,
chọn u4 0; 4; 3 .
u4 a
g) Mặt phẳng (Q) có 1 vectơ pháp tuyến là n2 3; 0; 1 . Gọi u5 là 1 vectơ chỉ phương của
u5 n2
chọn u5 (1; 3; 3) .
đường thẳng d5 . Ta có: n2 , b ( 3; 9; 9) ,
u4 b
h) Gọi u6 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d6 . Ta có: n1 , n2 3; 5; 9 ,
u6 n1
chọn u6 3; 5; 9 .
u6 n2
i) Gọi u7 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d7 . Mặt phẳng (Oxy ) có 1 vectơ pháp tuyến
u7 n2
chọn u7 1; 1; 0 .
là k 0; 0;1 .Ta có: n2 , k 3; 3; 0 ,
u7 k
d Oz
j)Gọi H d8 Oz . Ta có 8
H là hình chiếu của A lên Oz H 0; 0; 2 . Vậy d8 có 1
A d8
vectơ chỉ phương là OA 1; 1; 0 .
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng : x 3ky z 2 0 và
: kx y 2z 1 0 . Tìm k để giao tuyến của ,
a) vuông góc với mặt phẳng P : x y 2z 5 0 .
b) song song với mặt phẳng Q : x y 2z 1 0 .
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 4 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Bài giải:
Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là giao tuyến của , .
Mặt phẳng của có 1 vectơ pháp là n 1; 3k ; 1 .
Mặt phẳng của có 1 vectơ pháp là n k ; 1; 2 .
u n
Ta có: chọn u n , n 6 k 1; k 2; 3k 2 1 .
u n
a) Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến nP 1; 1; 2 . Đường thẳng d vuông góc với mặt
3k 2 2 k 3 0
phẳng u, nP cùng phương u, nP 0 11k 4 0
(vô nghiệm).
1 5k 0
Vậy không tồn tại giá trị k thỏa yêu cầu bài toán.
b) Mặt phẳng (Q) có 1 vectơ pháp tuyến nQ 1; 1; 2 .
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng u.nP 0
k 0
.
6k 1 k 2 3k 1 0 3k 7 k 0
k 7
3
2
2
LOẠI 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bước 1: Xác định M 0 x0 ; y0 ; z0 d.
Bước 2: Xác định 1 vectơ chỉ phương a a1 ; a2 ; a3 của đường thẳng d .
Bước 3: Áp dụng công thức, ta có:
+Phương trình tham số của d :
x x0 a1t
y y0 a2t (t R)
z z a t
0
3
+Phương trình chính tắc của d :
x x0 y y0 z z0
; a1 , a2 , a3 0
a1
a2
a3
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng 1 :
x 1 y 2 z
và
1
1
2
x 2 2t
2 : y 1 t .
z 3t
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng 1 .
b) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng 2 .
Bài giải:
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 5 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
a) Đường thẳng 1 qua M 1; 2; 0 và có 1 vectơ chỉ phương u 1; 1; 2 , có phương trình tham số
x 1 t
là: y 2 t .
z 2t
b) Đường thẳng 1 qua N 2; 1; 0 và có 1 vectơ chỉ phương u 2; 1; 3 , có phương trình chính tắc
x 2 y 1 z
.
2
1 3
Chú ý: Nếu đề bài chỉ yêu cầu viết phương trình đường thẳng thì ta viết phương trình tham số hay phương
là:
trình chính tắc của đường thẳng đều được.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 2; 0; 1 , B 2; 3; 3 , C 1; 2; 4 ,
x t
D 1; 2;1 ; đường thẳng thẳng 1 : y 1 t ; mặt phẳng : 3x 5y z 1 0 . Viết phương trình
z 2t
của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) Qua A và có 1 vectơ chỉ phương u 1; 3; 5 .
b) Qua 2 điểm B, C .
c) Qua M0 1; 2; 3 và song song với trục tung.
d) Qua C và song song với 1 .
e) Qua B và vuông góc với Oxz .
f) Qua D và vuông góc với .
Bài giải:
a) Đường thẳng d qua A 2; 0; 1 và có 1 vectơ chỉ phương u 1; 3; 5 , có phương trình
x 2 t
.
tham số là: y 3t
z 1 5t
b) Đường thẳng d qua B 2; 3; 3 và có 1 vectơ chỉ phương BC 1; 1; 7 , có phương trình
x 2 t
tham số là: y 3 t .
z 3 7t
c) Đường thẳng d qua M 0 1; 2; 3 Ox và song song với trục Ox nên nhận i 1; 0; 0 làm 1
x 1 t
vectơ chỉ phương, có phương trình tham số: y 2 .
z 3
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 6 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
d)Đường thẳng d đi qua điểm C 1; 2; 4 . Đường thẳng 1 có 1 vectơ chỉ phương là
u 1; 1; 2 . Ta có: d / / 1 d có 1 vectơ chỉ phương là u 1; 1; 2 . Vậy phương trình chính tắc
của đường thẳng d là:
x 1 y 2 z 4
.
1
1
2
e) Đường thẳng d đi qua điểm B 2; 3; 3 . Mặt phẳng Oxz có 1 vectơ pháp tuyến là
j 0;1; 0 .
Đường thẳng d vuông góc với Oxz nên nhận j (0; 1; 0) làm 1 vectơ chỉ phương. Vậy
x 2
phương trình tham số của đường thẳng d là: y 3 t .
z 3
f)Đường thẳng d đi qua điểm D 1; 2;1 . Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là
n 3; 5; 1 . Đường thẳng d vuông góc với nên nhận n 3; 5; 1 làm 1 vectơ chỉ phương. Vậy
phương trình chính tắc của đường thẳng d là:
x 1 y 2 z 1
.
3
5
1
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1;1; 1 , B 2; 1; 3 , C 1; 2; 2 ,
x 2 t
x 1 y z 1
D 1; 2;1 ; các đường thẳng thẳng 1 : y 1 t , 2 :
; các mặt phẳng
2
1
1
z t
: x 2y z 1 0 , :
x y 2z 3 0 . Viết phương trình của đường thẳng d trong mỗi
trường hợp sau:
a) Qua A và vuông góc với các đường thẳng 1 , AB .
b) Qua B và vuông góc với đường thẳng AC và trục Oz.
c) Qua O và song song với 2 mặt phẳng , Oyz .
d) Qua C , song song với và vuông góc với 2 .
e) d là giao tuyến của hai mặt phẳng , .
Bài giải:
a) Đường thẳng d qua A 1;1; 1 . Đường thẳng 1 có 1 vectơ chỉ phương u1 1; 1;1 ;
u u1
AB 1; 2; 4 u; AB 2; 3; 1 . Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d . Ta có: chọn
u AB
x 1 y 1 z 1
u 2; 3;1 . Vậy phương trình chính tắc của d là
.
2
3
1
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 7 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
b) Đường thẳng d qua B 2; 1; 3 ; AC 0; 1; 3 ; k 0; 0;1 AC , k 1; 0; 0 . Gọi u là 1
u AC
vectơ chỉ phương của d . Ta có: chọn u 1; 0; 0 .
u k
x 2 t
Vậy phương trình tham số của d là y 1
z 3
c) Đường thẳng d qua O 0; 0; 0 ; n1 1; 2; 1 là 1 vectơ pháp tuyến của ; i 1; 0; 0 là 1
vectơ pháp tuyến của Oyz ; Ta có: n1 , i 0; 1; 2 .
u n1
Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d . Ta có: chọn u 0;1; 2 . Vậy phương trình
u i
x 0
tham số của d là y t .
z 2t
d) Đường thẳng d qua C 1; 2; 2 ; n2 1;1; 2 là 1 vectơ pháp tuyến của ; u2 2;1;1 là 1
vectơ chỉ phương của 2 ; Ta có: n2 , u2 ( 1; 3; 1) .Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d . Ta có:
u n2
x 1 y 2 z 2
.
chọn u ( 1; 3; 1) . Vậy phương trình chính tắc của d là
1
3
1
u u2
e) Chọn điểm trên giao tuyến d :
x 2 y z 1 0
x 5
A 5; 2; 0 d .
Xét hệ phương trình:
(I) . Cho z 0 , giải được:
x
y
2
z
3
0
y
2
u n1
+ Xác định vectơ chỉ phương của d : Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d. Ta có:
u n2
x 5 5t
chọn u n1 , n2 5; 3; 1 . Vậy phương trình tham số của d : y 2 3t .
z t
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d đi qua A 2; 1;1
x t
cắt và vuông góc với đường thẳng : y 1 t .
z t
Bài giải:
a) Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là u 1; 1;1 .
Gọi B d . Ta có: B B(t; 1 t; t ); AB (t 2; t ; t 1); u AB u.AB 0 t 1 .
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 8 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Suy ra: B 1; 2;1 . Đường thẳng d đi qua A 2; 1;1 và có 1 vectơ chỉ phương là AB 1;1; 0 nên có
x 2 t
phương trình tham số là: y 1 t .
z 1
x 2 y 4 z 1
và
3
2
2
mặt phẳng (P): 3x 2 y 3z 7 0 .Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, song song với
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 3; 2; 4 và d:
(P) và cắt đường thẳng d.
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
Bước 1: Xác định điểm B d : AB / / mp( P) .
B
A
x 2 3t
Ta có: d : y 4 2t . Gọi B 2 3t; 4 2t ;1 2t d
z 1 2t
P
Lúc đó: AB 3t 1; 2t 6; 2t 5 . Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp nP 3; 2; 3
6
AB / / mp( P ) AB.nP 3 3t 1 2 2t 6 3 2t 5 0 7t 6 0 t
7
Bước 2: Đường thẳng AB .
11 54 47
32 40 19
Vì vậy B ; ; AB ; ; .
7 7
7 11
7
7
Đường thẳng AB đi qua A và có 1 vectơ chỉ phương là u 11; 54; 47 nên có phương trình
x 3 11t
tham số: y 3 54t .
z 4 47t
A
Q
Cách 2:
B
Bước 1: Lập phương trình mp(Q) qua A và song song với mp(P):
P
Bước 2: Xác định giao điểm B của d và mp(Q), AB .
Ví dụ 8: (Khối A- 2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d
vuông
góc
với
mp(P),
đồng
thời
cắt
cả
hai
đường
thẳng
d1 ,
d2
với
x 1 2t
x y 1 z 2
d1 :
; d2 : y 1 t ; ( P) : 7 x y 4z 0.
2
1
1
z 3
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 9 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
d
d1
Bíc 1: ViÕt ph¬ng tr×nh mp( ) chøa d1 vµ vu«ng gãc víi (P).
Bíc 2: ViÕt ph¬ng tr×nh mp( ) chøa d 2 vµ vu«ng gãc víi (P).
d2
P
Bíc 3: §êng th¼ng cÇn t×m lµ giao tuyÕn cña mp( ) vµ mp( )
KiÓm tra sù c¾t nhau. (Mèi quan hÖ gi÷a vect¬ chØ ph¬ng)
P
Cách 2:
d
d2
Bíc 1: ViÕt ph¬ng tr×nh mp( ) chøa d1 vµ vu«ng gãc víi (P).
Bíc 2: X¸c ®Þnh giao ®iÓm A cña d 2 vµ mp( )
A
d1
Bíc 3: §êng th¼ng cÇn t×m ®i qua A vµ vu«ng gãc víi mp(P)
KiÓm tra sù c¾t nhau. (Mèi quan hÖ gi÷a vect¬ chØ ph¬ng)
Cách 3: Sử dụng kỹ năng khái niệm “thuộc” (Tìm ra 2 giao điểm M, N)
x 2m
Ta có: d1 : y 1 m ; d 2 :
z 2 m
d
x 1 2t
y 1 t
z 3
N
Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là nP 7;1; 4 .
M
d2
d1
P
Gọi N d d1 , M d d2 . Ta có: N 2m;1 m; 2 m d1 , M 1 2t ;1 t ; 3 d2 .
NM 2t 2m 1; t m; 5 m .
4t 3m 5 0
t 2
Lúc đó ta có NM và nP cùng phương AB, nP 0 8t 15m 31 0
m 1
5t 9m 1 0
N 2; 0; 1 , M 5; 1; 3 .
Đường thẳng d NM , qua N 2; 0; 1 và có 1 vectơ chỉ phương là nP 7;1; 4 , có phương trình
x 2 7t
tham số: y t
.
z 1 4t
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp đi qua A 3; 2;1 và
vuông góc với :
x y 1 z
.
2
1
3
Bài giải:
Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là u 2;1; 3 .
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 10 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Mặt phẳng
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
đi qua A 3; 2;1 và vuông góc với nên nhận u 2;1; 3 làm 1 vectơ pháp
tuyến, có phương trình: 2 x 3 1 y 2 3 z 1 0 2 x y 3z 1 0 .
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp và mặt cầu (S) có
2
2
phương trình như sau: : x y z 5 0 , (S) : x 2 y 1 z 2 25 .
a)Chứng minh: cắt (S) theo một đường tròn có tâm H .
b)Gọi I là tâm mặt cầu (S) . Viết phương trình đường thẳng IH .
Bài giải:
a)Mặt cầu (S) có tâm I ( 2; 1; 0) , bán kính R 5 . Ta có: d( I ,( ))
6
3
R cắt (S) theo
một đường tròn có tâm H .
b)Đường thẳng IH đi qua I ( 2; 1; 0) và nhận VTPT của là n (1; 1;1) làm vectơ chỉ
phương nên có phương trình chính tắc:
x 2 y 1 z
.
1
1
1
LOẠI 3: XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Dùng 1 trong 2 cách như trong phần lý thuyết.
Ví dụ 11: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
x 2 2t /
x 1 t
a) 1 : y 2t
; 2 : y 3 4t / .
z 3 t
z 5 2t /
x 2 3t
x 3 y 4 z 5
; 2 : y 5 3t
b) 1 :
1
1
2
z 3 6t
x 2 2t
x 1 y 2 z 3
c) 1 :
; 2 : y 2 t
1
3
1
z 1 3t
x 1 3t /
x 2t
d) 1 : y 1 3t ; 2 : y 2 2t /
z t
/
z 1 2t
Bài giải:
a) Đường thẳng 1 đi qua điểm M 1; 0; 3 và có 1 vectơ chỉ phương a 1; 2; 1 .
Đường thẳng 2 đi qua điểm N 2; 3; 5 và có 1 vectơ chỉ phương b 2; 4; 2 .
Ta có: a , b 0 , MN 1; 3; 2 , a , MN 7; 3; 1 0 1 / / 2 .
b) Đường thẳng 1 đi qua điểm M 3; 4; 5 và có 1 vectơ chỉ phương a 1; 1; 2 .
Đường thẳng 2 đi qua điểm N 2; 5; 3 và có 1 vectơ chỉ phương b 3; 3; 6 .
Ta có: a , b 0 , MN 1;1; 2 , a , MN 0 1 2 .
c) Đường thẳng 1 đi qua điểm M 1; 2; 3 và có 1 vectơ chỉ phương a 1; 3; 1 .
Đường thẳng 2 đi qua điểm N 2; 2;1 và có 1 vectơ chỉ phương b 2;1; 3 .
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 11 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Ta có: a , b 10; 1; 7 0 , MN 1; 4; 4 , a , b .MN 35 0 1 , 2 chéo nhau.
d)Đường thẳng 1 đi qua điểm M 0; 1; 0 và có 1 vectơ chỉ phương a 2; 3; 1 .
Đường thẳng 2 đi qua điểm N 1; 2;1 và có 1 vectơ chỉ phương b 3; 2; 2 .
Ta có: a , b 4; 1; 5 0 , MN 1; 1;1 , a , b .MN 0 1 , 2 cắt nhau.
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xác định vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau
x 1 mt
theo A 4; 2; 2 , B 0; 0; 7 với dm : y m 2t
và dm/ :
z 1 m 3t
x m 2t /
/
.
y mt
z 1 m t /
Bài giải:
Đường thẳng d m qua điểm A 1; m;1 m và có 1 vectơ chỉ phương là d2 .
Đường thẳng d /m qua điểm B m; 0;1 m và có 1 vectơ chỉ phương là u2 2; m;1 .
Ta có: u1 , u2 2 3m; 6 m; m2 4 0 do ( m2 4 0 m ) và AB m 1; m; 0 .
Xét u1 , u2 .AB 2 3m m 1 m 6 m 4m2 7 m 2 .
m 2
TH 1: u1 , u2 .AB 0
d m và d /m cắt nhau.
1
m
4
m 2
/
TH 2: u1 , u2 .AB 0
1 d m và d m chéo nhau.
m 4
x 5 t
Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : y at
và
z 2 t
x 1 2t /
d2 : y a 4t / . Xác định a để:
z 2 2t /
a) d1 vuông góc với d2 .
b) d1 song song với d2 .
Bài giải:
Đường thẳng d1 có 1 vectơ chỉ phương là u1 1; a; 1 .
Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương là u2 2; 4; 2 .
a) d1 vuông góc với d2 u1 u2 u1 .u2 0 2 4a 2 0 a 1.
b) d1 song song với d2 u1 , u2 cùng phương u1 , u2 2 a 4; 0; 0 0 a 2.
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 12 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
x 5 t
Kiểm tra lại: Với a 2 thì d1 : y 2t và d2
z 2 t
x 1 2t /
: y 2 4t / .
z 2 2t /
5 1 2t /
Chọn A 5; 0; 2 d1 , thấy A d2 (do hệ phương trình 0 2 4t / vô nghiệm)
2 2 2t /
Vậy khi a 2 thì d1 song song với d2 .
x 1 t
Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : y 2t
và
z 3 t
x 2 2t /
2 : y 3 4t / .
z 5 2t /
a) Chứng minh 1 và 2 cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 và 2 .
Bài giải:
Đường thẳng 1 qua điểm A 1; 0; 3 và có 1 vectơ chỉ phương là u1 1; 2; 1 .
Đường thẳng 2 qua điểm B 2; 3; 5 và có 1 vectơ chỉ phương là u2 2; 4; 2 .
a) Ta có: u1 , u2 0 và AB 1; 3; 2 .
Xét AB , u1 7; 3; 1 0 . Từ đó suy ra, 1 và 2 song song, tức là 1 và 2 cùng thuộc một
mặt phẳng.
b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.
n AB
Ta có: P chọn nP AB , u1 7; 3; 1 .
nP u1
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A 1; 0; 3 1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP 7; 3; 1 .
(P): 7 x 1 3 y 0 1 z 3 0 7 x 3 y z 10 0 .
Ví dụ 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường
x 2 2t
x 2 y 2 z 1
thẳng 1 :
và 2 : y 2 t .
1
3
1
z 1 3t
Bài giải:
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 13 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
x 2 t
Ta có: 1 : y 2 3t
z 1 t
Đường thẳng 1 qua điểm A 2; 2;1 và có 1 vectơ chỉ phương là u1 1; 3; 1 .
Đường thẳng 2 qua điểm A 2; 2;1 và có 1 vectơ chỉ phương là u2 2;1; 3 .
a) Ta có: u1 , u2 10; 1; 7 0 và 1 2 A .
Từ đó suy ra, 1 và 2 cắt nhau.
b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.
nP u1
Ta có:
chọn nP u1 , u2 10; 1; 7 .
nP u2
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A 2; 2; 1 1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP 10; 1; 7 .
(P): 10 x 2 1 y 2 7 z 1 0 10 x y 7 z 29 0 .
Ví dụ 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng: 1 :
3 x y 1 z 1
và
7
2
3
x 8 t
2 : y 5 2t .
z 8 t
a) Chứng minh 1 và 2 chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 và song song với 2 .
Bài giải:
Đường thẳng 1 qua điểm A 3;1;1 và có 1 vectơ chỉ phương là u1 7; 2; 3 .
Đường thẳng 2 qua điểm B 8; 5; 8 và có 1 vectơ chỉ phương là u2 1; 2; 1 .
a) Ta có: u1 , u2 8; 4; 16 0 và AB 5; 4; 7 .
Xét u1 , u2 .AB 40 16 112 168 0 . Từ đó suy ra, 1 và 2 chéo nhau.
b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.
nP u1
Ta có:
chọn nP u1 , u2 8; 4; 16 .
nP u2
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A 3;1;1 1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP 8; 4; 16 .
(P): 8 x 3 4 y 1 16 z 1 0 2 x y 4 z 11 0 .
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 14 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
x 8 t
Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 đường thẳng d1 : y 5 2t và
z 8 t
d2 :
3 x y 1 z 1
.
7
2
3
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d1 , d2 chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O, song song với d1 và d2 .
c) Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2 .
Bài giải:
Đường thẳng d1 qua điểm A 8; 5; 8 và có 1 vectơ chỉ phương là u1 1; 2; 1 .
Đường thẳng d2 qua điểm B 3; 1;1 và có 1 vectơ chỉ phương là u2 7; 2; 3 .
a) Ta có: u1 , u2 8; 4;16 0 và AB 5; 4; 7 .
Xét u1 , u2 .AB 40 16 112 168 0 . Từ đó suy ra, d1 và d2 chéo nhau.
b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.
nP u1
Ta có:
chọn nP u1 , u2 8; 4; 16 .
nP u2
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua O 0; 0; 0 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP 8; 4;16 , có phương trình:
(P): 8 x 0 4 y 0 16 z 0 0 2 x y 4 z 0 .
c) Gọi d là đường vuông góc chung của d1 và d2 , d d1 M , d d2 N .
Ta có: M d1 M(8 t ; 5 2t ; 8 t), N d2 N (3 7t;1 2t;1 3t) ,
MN 7t t 5; 2t 2t 4; 3t t 7 .
u MN
u .MN
7 t t 5 4t 4t 8 3t t 7 0
1
1
49t 7t 35 4t 4t 8 9t 3t 21 0
u2 MN
u2 .MN
6t 6t 6
t 0
M 7; 3; 9 , N 3;1;1 MN 4; 2; 8 .
62t 6t 6
t 1
u2
d2
N
d
M
d1
u1
Vậy đường thẳng d MN đi qua điểm N 3;1;1 và có 1 vectơ chỉ phương u 2;1; 4 nên có
phương trình chính tắc là d2 :
x 3 y 1 z 1
.
2
1
4
Ví dụ 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 đường thẳng:
d1 :
x 1 y 2 z
x2 y2 z
x y z 1
x 2 y z 1
, d2 :
, d3 :
, d4 :
.
1
2
2
2
4
4
2 1
1
2
2
1
a) CMR: Hai đường thẳng d1 , d2 cùng nằm trong 1 mặt phẳng. Viết phương trình
mặt phẳng đó.
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 15 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
b) CMR: Tồn tại một đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng đã cho. Viết phương trình
chính tắc của đường thẳng .
Bài giải:
a) Đường thẳng d1 qua điểm A 1; 2; 0 và có 1 vectơ chỉ phương là u1 1; 2; 2 .
Đường thẳng d2 qua điểm B 2; 2; 0 và có 1 vectơ chỉ phương là u2 2; 4; 4 .
a) Ta có: u1 , u2 0 và AB 1; 0; 0 . Xét u1 , AB 0; 2; 2 0 . Từ đó suy ra, d1 và d2
song song, tức là d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
nP u1
chọn nP u1 , AB 0; 2; 2 .
Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm. Ta có:
nP AB
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A 1; 2; 0 1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP 0; 2; 2 .
(P): 0 x 1 2 y 2 2 z 0 0 y z 2 0 .
x 2m
x 2 2n
b) Ta có d3 : y m , d4 : y 2n
.
z 1 m
z 1 n
x 2 m
y m
+ Tọa độ giao điểm C của d3 và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:
z 1 m
y z 2 0
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 2m 1 0 m
(1)
(2)
(3)
(4)
1
1 3
C 1; ; .
2
2 2
x 2 2n
y 2n
+ Tọa độ giao điểm D của d4 và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:
z 1 n
y z 2 0
(1)
(2)
(3)
(4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: n 1 0 n 1 D 4; 2; 0 .
Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là đường thẳng CD .
2
Đường thẳng qua D 4; 2; 0 và có 1 vectơ chỉ phương là u CD 2;1; 1 , có phương trình
3
x 4 2t
: y 2 t .
z t
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 16 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Ví dụ 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1;1 và 2 đường thẳng
4
x 5 t
x t
3
d1 : y 1 2t ; d 2 : y 2t . Chứng minh A, d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
5
z 3t
z 5t
Bài giải:
+ Lập phương trình mp(P) chứa A và d1 :
Đường thẳng d1 có 1 vectơ chỉ phương là u 1; 2; 3 .
Chọn B 0; 1; 0 d1 . Ta có: AB 1; 0; 1 .
Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.
n AB
Ta có: P chọn nP u, AB 2; 4; 2 .
nP u
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A 1; 1;1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP 2; 4; 2 .
(P): 2 x 1 4 y 1 2 z 1 0 x 2 y z 2 0. .
4 3
1 7
+ Chỉ rõ d2 mp P . Ta có C ; ; 0 d 2 C mp( P) và D ; ; 5 d 2 C mp( P) .
5 5
5 5
Từ đó suy ra d2 mp P .
Kết luận: Mặt phẳng (P): x 2 y z 2 0 là mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.
LOẠI 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
x x0 a1t
Cho đường thẳng d : y y0 a2t (t R) và mặt phẳng (P) : Ax By Cz D 0 .
z z a t
0
3
x x0 a1t
y y0 a2 t
Xét hệ phương trình
z z0 a3t
Ax by Cz D 0
A x0 a1t B y0 a2t C z0 a3t D 0 (1)
+Nếu (1) vô nghiệm thì d / /( P) .
+Nếu (1) có nghiệm duy nhất t t0 thì d cắt ( P) tại M x0 a1t0 ; y0 a2 t0 ; z0 a3t0
+Nếu (1) có vô số nghiệm thì d ( P) .
Chú ý: Nếu VTCP của d cùng phương với VTPT của ( P) thì d ( P) .
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 17 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
x t
Ví dụ 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , và 3 đường thẳng d1 : y 1 2t ;
z 3t
x t
x4 y1 z
d 2 : y 1 2t ; d 3 :
và mặt phẳng ( P) : x y z 5 0 .
1
1
2
z t
Xét vị trí tương đối của:
a) d1 và ( P) .
b) d 2 và ( P) .
c) d 3 và ( P) .
Bài giải:
x t
y 1 2t
a)Xét hệ phương trình:
, ta thấy hệ vô nghiệm. Suy ra d1 / /( P) .
z 3t
x y x 5 0
x t
t 3
y 1 2t
x 3
b) Xét hệ phương trình:
, Suy ra d 2 cắt ( P) tại điểm M 3; 5; 3 .
z t
y 5
x y x 5 0
z 3
x 4 t
y 1 t
c) Xét hệ phương trình:
, ta thấy hệ có vô số nghiệm. Suy ra d 3 ( P ) .
z 2t
x y x 5 0
Ví dụ 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng : 2 x y 3 z 4 0 và đường
thẳng :
x1 y3
z .
2
4
a) Xác định giao điểm A của đt và mặt phẳng .
b) Viết phương trình đường thẳng d qua A nằm trong mp và vuông góc với .
Bài giải:
x 1 2t
a) Ta có: : y 3 4t .
z t
x 1 2t
y 3 4t
Tạo độ giao điểm A của và là nghiệm của hệ phương trình:
z t
2 x y 3 z 4 0
(1)
(2)
(3)
(4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 18 -
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
2 1 2t 3 4t 3t 4 0 3t 3 0 t 1 A 1;1;1
b) Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là n 2; 1; 3 .
Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là u 2; 4;1 .
ud n
Gọi ud là 1 vectơ chỉ phương của d. Ta có:
chọn ud n , u 13; 4;10 .
ud u
Đường thẳng d qua A 1; 1;1 và có 1 vectơ chỉ phương là ud 13; 4;10 , có phương trình:
x 1 13t
d: y 1 4t .
z 1 10t
Ví dụ 22: (DỰ BỊ D-2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P):
4 x 3 y 11z 26 0 và 2 đường thẳng d1 :
x y 3 z 1
;
1
2
3
d2 :
x4 y z3
1
1
2
a) Chứng minh: d1 và d2 chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng nằm trên mp(P), đồng thời cắt d1 và d2 .
Bài giải:
Bíc 1: X¸c ®Þnh giao ®iÓm A cña d1 vµ mp(P).
Bíc 2: X¸c ®Þnh giao ®iÓm B cña d 2 vµ mp(P).
KÕt luËn: §êng th¼ng cÇn t×m lµ ®êng th¼ng AB.
Trình bày:
x t
Ta có: d1 : y 3 2t ;
z 1 3t
x 4 m
d2 : y m
z 3 2m
x t
y 3 2t
+ Tọa độ giao điểm C của d1 và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:
z 1 3t
4 x 3 y 11z 26 0
(1)
(2)
(3)
.
(4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 23t 46 0 t 2 C 2; 7; 5 .
x 4 m
y m
+ Tọa độ giao điểm D của d2 và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:
z 3 2m
4 x 3 y 11z 26 0
(1)
(2)
(3)
(4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 23m 23 0 m 1 D 3; 1;1 .
Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là đường thẳng CD .
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 19 -
.
[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 12…]
Đường thẳng qua C 2; 7; 5
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
và có 1 vectơ chỉ phương là CD 5; 8; 4 , có phương trình
x 2 5t
: y 7 8t .
z 5 4t
LOẠI 5: HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
d
x x0 a1t
Cho điểm A xA ; y A ; z A và đường thẳng d : y y0 a2 t (t R) .
z z a t
0
3
H
A
ud
Cách 1:
Gọi H là hình chiếu của A lên d . Ta c ó H d H x0 a1t ; y0 a2t ; z0 a3t .
Tính AH ; AH ud ud .AH 0 t ? H ?
Cách 2:
d
Gọi H là hình chiếu của A lên d .
A
+) Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A và vuông góc với d
P
+) Khi đó tìm tọa độ điểm H thỏa H d ( P)
ud
H
x 2 t
Ví dụ 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;0; 0 và đường thẳng : y 1 2t .
z t
a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng .
b)Tìm tọa độ điểm A đối xứng với A qua đường thẳng .
Bài giải:
a)Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là u 1; 2;1 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng .
Ta có: H H 2 t ;1 2t ; t ; AH 1 t ;1 2t ; t
A
H
u
A
1
3
1
u AH u.AH 0 t H ;0; .
2
2
2
b)Ta có: A đối xứng với A qua đường thẳng H là trung điểm của đoạn thẳng AA
3 1 x A
2 2
x A 2
0 y A
0
y A 0 .Vậy A 2; 0; 1 .
2
z 1
A
1 0 z A
2
2
LOẠI 6: HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG
ĐẶNG NGỌC HIỀN (TP Vũng Tàu)
LÊ BÁ BẢO (TP Huế)
…0935.785.115…
…0935.785.115…
CLB Giáo viên trẻ TP Huế - 20 -
- Xem thêm -
.PDF 
77 
82 
57 
