Tài liệu Bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 cấp huyện

PHÒNG GD& ĐT YÊN THÀNH TRƯỜNG THCS Liên - Lý ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 Môn :Toán 9 (Thời gian làm bài 120 phút )  2x  x - 1 2x x  x   1- x 1 x x  Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức A =   x  2 x 1 :  x x  a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị x để giá trị của biểu thức A = 2 3 . c) Biểu thức A có giá trị lớn nhất không ? Vì sao? Bài 2: (2,0 điểm) Chứng minh rằng: a) 2   a b  1 2 b  b c  Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2 và c >0. b) Biểu thức B = 1  2014 2  2014 2 2014  2015 2 2015 có giá trị là một số nguyên. Bài 3: (2 điểm) Giải phương trình a) x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2x  3 b) 4x  1  3x  2  x3 . 5 Bài 4( 3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I. 1.Chứng minh : 1 1 1   2 2 AM AK AB 2 2.Biếtsố đo =450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm.Tính số đo =? 3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( P  IK, Q  AK, R  AI). Xác định vị trí điểm O để OP 2  OQ 2  OR 2 đạt giá trị nhỏ nhất. ………………………..Hết………………………….. HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1 (2.5đ) a) Rút gọn biểu thức (1 điểm) 1 4 - Nêu đúng điều kiện: x >0, x  1, x     1  - Rút gọn đến A =  - Rút gọn được kq: A = b) - Đưa về được pt:  2 - Giải được x = 2 1 4  0.25    : x x     x 1 x 1  2  x   x 1   x 1 x 1 0.5 0.25 x x  x 1 x 2  =0 ,x=4 0.25 0.25 - Kết luận: Giá trị x cần tìm là: x = 4( TMĐK) c) - Vì x > 0, Nên ta có A = 1 1> x x Mà 0.5 x 1 1 x 1 1 (vì x  1) nên x 1 1 x 1 <1 0.5 - Vậy A không có giá trị lớn nhất. 0.25 Bài 2 (2 điểm) a) Chứng minh rằng 2   a b  1 2 b   b  c biết a; b; c là ba số thực thoả mãn điều kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (1 điểm). Ta có: a  b  1  a  b  1  a  b  1 . b  1  c  2  b  c  1  b  c  0  2  . (c > 0 theo (gt)) Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0. Mặt khác a  b  1   2   a b   a b   a  b 1 1 1  (Vì a >b>0) a b 2 b 1 . b 0.5 Chứng minh tương tự cho trường hợp:    b c . 0.25 0.25 b) Biến đổi đưa về được bình phương của 1 biểu thức trong căn 0.5 a b    B =  2015  1 2 b  1 2 b  Vậy 2  a b 0.25 b  c (đpcm). 2 2014  2014   2015  2015 Bài 3 (2điểm) Giải phương trình B = 2015 0.25 a) x 2  3x  2  x  3  x  2  x 2  2x  3 (1) (1.0 điểm)   x  1  x  2   0  x  3  0 ۳ x Điều kiện  x2  0    x  1  x  3  0  (1)   1     x  1  x  2   x2   x 1 1  2 x3  x2  x 1 1  x  3    x  1  x  3  1 0.5 x 1 1  0  x 1 1  0 x2  x3 0     x2  x3 0   x 1  1  x2   x2  x 3 0.5 x = 2 thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. b) 4x  1  3x  2   1    x3 2 (1). (1.0 điểm). Điều kiện x  . 5 3  4x  1  3x  2 . 4x  1  3x  2 4x  1  3x  2 4x  1  3x  2 x 3   5 4x  1  3x  2 (Vì x    x3  4x  1  3x  2 x3  5 4x  1  3x  2 5 x 3 x3   5 4x  1  3x  2 0.5 4x  1  3x  2  5 (2) 2 nên x + 3 > 0). 3 Giải tiếp phương trình (2) ta được nghiệm của phương trình là x = 2. Bài 4 (3.5 điểm) a)Ta cã A ABM  ADI  AM  AI (1) B Q Trong tam gi¸c AIK vu«ng t¹i A ta cã: 1 1 1   (2) . vµ AB = AD 2 2 AI AK AD 2 1 1 1 Tõ (1) vµ (2)    2 2 AM AK AB 2 0.5 1.5 R M O H P D C b)KÎ AH vu«ng gãc víi MN ( H  MN )I. Do CM + CN N vµ CN- CM=1cm  =7 CN=4cm; CM= 3cm, MN = 5 cm Ta cã AMN  AIN  AH  AD  IN  MN AMH  AID  ID  MH mµ ID  BM  MH  BM Ta l¹i cã : DN  BM  MN  5 vµ CM+MB = CN + ND  CN- CM = MB- ND =1  DN =2cm; BM =3cm; BC = AD = AH = 6 cm -Tan AMH = => = …. Hay = …. Tõ gi¶ thiÕt ta cã AQOR lµ h×nh ch÷ nhËt OP 2  OQ 2  OR 2  OA 2  OP 2  OP 2  OQ 2  OR 2 (OA  OP) 2 AP 2 AD 2   2 2 2 nhá nhÊt khi O lµ trung ®iÓm cña AD. Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương. K 0.5 0.5 0.5 0.5 2. Điểm toàn bài không được làm tròn.