Tài liệu Biểu diễn mô hình 3d bằng kỹ thuật nurbs trong máy tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN &TRUYỀN THÔNG MAI THỊ BÍNH BIỂU DIỄN MÔ HÌNH 3D BẰNG KỸ THUẬT NURBS TRONG MÁY TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG MAI THỊ BÍNH BIỂU DIỄN MÔ HÌNH 3D BẰNG KỸ THUẬT NURBS TRONG MÁY TÍNH Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số: 60 48 01 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Năng Toàn THÁI NGUYÊN - 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi, kết quả của luận văn hoàn toàn là kết quả của tự bản thân tôi tìm hiểu, nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của giáo viên hướng dẫn PGS.TS Đỗ Năng Toàn. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm về tính pháp lý quá trình nghiên cứu khoa học của luận văn này. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 HỌC VIÊN Mai Thị Bính ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Đỗ Năng Toàn người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn. Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô Viện Công nghệ thông tin đã truyền đạt những kiến thức và giúp đỡ em trong suốt quá trình học của mình. Học viên cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường Trung cấp Kinh tế Kỹ thuật Lạng sơn đã tạo điều kiện thuận lợi cho học viên tham gia khóa học vào quá trình hoàn thành luận văn. Và học viên cũng xin gửi lời cảm ơn tới các đồng nghiệp, gia đình và bạn bè những người đã ủng hộ, động viên tạo mọi điều kiện giúp đỡ để học viên có được kết quả như ngày hôm nay. Thái Nguyên,10 tháng 4 năm 2016 Học viên Mai Thị Bính iii MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 1 CHƯƠNG 1. KHÁI QUÁT VỀ ĐỐI TƯỢNG 3D ......................................... 3 VÀ BÀI TOÁN BIỂU DIỄN NURBS............................................................ 3 1.1. Khái quát về đối tượng 3D ................................................................... 3 1.1.1. Một số khái niệm về đồ họa 3D ...................................................... 3 1.1.2. Khái niệm về một số chi tiết trong mô hình .................................... 7 1.1.2.1. Các điểm (Points) ..................................................................... 7 1.1.2.2. Các đường cong(Curves) .......................................................... 8 1.1.2.3. Các Surface ............................................................................ 11 1.1.2.4. Mô hình 3D ............................................................................ 12 1.1.2.5. Tổng quan về mô hình hóa ..................................................... 13 1.1.2.6. Hệ tọa độ trong không gian 3 chiều ........................................ 13 1.1.2.7. Quá trình xử lý hiển thị trong đồ họa 3D ................................ 15 1.2. Biểu diễn đối tượng 3D ...................................................................... 15 1.2.1. Biểu diễn mặt lưới 3D .................................................................. 16 1.2.2. Biểu diễn bề mặt trơn tham số ...................................................... 17 1.2.3. Đường cong tham số NURBS....................................................... 17 1.2.4.Thư viện xử lý đồ họa OpenGL ..................................................... 20 1.3. Kết luận chương ................................................................................. 21 CHƯƠNG 2. ................................................................................................ 22 MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG BIỂU DIỄN .................................................... 22 MÔ HÌNH 3D BỞI KỸ THUẬT NURBS .................................................... 22 2.1. Đường cong tham số NURBS............................................................. 22 2.1.1 Đường cong – CURVE .................................................................. 22 2.1.2. Điểm biểu diễn đường cong (curve represents points ) ................. 22 2.1.3. Đường cong đa thức bậc ba tham biến .......................................... 23 2.1.4. Đường cong Hermite .................................................................... 24 iv 2.1.5. Đường cong Bezier....................................................................... 26 2.1.6. Đường cong B-Splines ................................................................. 29 2.1.6.1. Đường cong bậc ba Splines .................................................... 29 2.6.1.2. Đường B-Spline ..................................................................... 33 2.1.7. Đường cong tham số NURBS....................................................... 38 2.2. Bề mặt NURBS .................................................................................. 40 2.2.1. Mô hình bề mặt (Surface) và các phương pháp xây dựng ............. 40 2.2.1.1. Các khái niệm cơ bản ............................................................. 40 2.2.1.2. Biểu diễn mảnh tứ giác ........................................................... 40 2.2.1.3. Tam giác – Triangular ............................................................ 42 2.2.2. Mặt từ các đường cong ................................................................. 43 2.2.2.1. Mặt cong bậc ba Hermite........................................................ 43 2.2.2.2. Mặt cong Bezier ..................................................................... 45 2.2.2.3. Mặt cong B-spline .................................................................. 48 2.2.2.4. Bề mặt NURBS ...................................................................... 49 2.2.2.5. Thuật toán NURBS biểu diễn bề mặt. ..................................... 50 CHƯƠNG 3. CHƯƠNG TRÌNH THỰC NGHIỆM ..................................... 52 3.1. Bài toán .............................................................................................. 52 3.2. Phân tích lựa chọn công cụ. ................................................................ 53 3.3. Một số kết quả của chương trình........................................................ 55 PHẦN KẾT LUẬN ...................................................................................... 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 63 v DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 1.1. Minh hoạ tham số của đường cong tại một điểm............................. 9 Hình 1.2. Normal.......................................................................................... 10 Hình 1.3. Các thành phần chính của một đường cong ................................... 11 Hình 1.4. Một cảnh biểu diễn đối tượng 3 chiều ........................................... 12 Hình 1.5. Hệ tọa độ Descartes ba chiều với trục y ........................................ 14 có chiều chạy xa người quan sát. .................................................................. 14 Hình 1.6. Hệ tọa độ Descartes ba chiều với trục x ........................................ 14 có chiều chạy về phía người quan sát. .......................................................... 14 Hình 1.7. Quá trình xử lý và hiển thị 3D ...................................................... 15 Hình 1.8. Biểu diễn các đường cong và mặt cong ........................................ 16 Hình 1.9. Lưới tam giác và lưới tứ giác ........................................................ 17 Hình 1.10. Biểu diễn mặt đa giác.................................................................. 17 Hình 1.11. Minh hoạ tiến trình dựng một chiếc cốc đơn giản bằng NURBS . 18 Hình 2.1. Đường cong đa thức bậc ba........................................................... 23 Hình 2.2. Đường cong Hermite .................................................................... 24 Hình 2.3. Đường cong Hermite .................................................................... 26 Hình 2.4. Đường cong Bezier ....................................................................... 27 Hình 2.5. Hàm hợp của đường cong Bezier .................................................. 27 Hình 2.6. Kết nối hai đường cong................................................................. 30 Hình 2.7. Phân đoạn của đường cong Spline – Hermite ................................ 31 Hình 2.8. Đường cong B-spline .................................................................... 35 Hình 2.9. Biểu diễn mảng tứ giác ................................................................. 41 Hình 2.10. Kết nối mảng tứ giác ................................................................... 41 Hình 2.11.Mảnh tam giác ............................................................................. 42 Hình 2.12. Mặt cong Hermite và các điểm dữ liệu........................................ 44 vi Hình 2.13. Mặt cong Bezier.......................................................................... 45 Hình 2.14. Nối hai mảnh Bezier bậc ba ........................................................ 47 Hình 2.15. Bề mặt NURBS .......................................................................... 49 Hình 3.1. Biểu diễn mô hình bề mặt Nurbs................................................... 55 Hình 3.2. Biểu diễn mô hình bề mặt Nurbs................................................... 56 Hình 3.3. Biểu diễn mô hình bề mặt Nurbs................................................. 569 vii DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT STT Ký hiệu Tiếng Anh Tiếng Việt 1. 2D Two- dimensional Không gian hai chiều 2. 3D Three-dimensional Không gian ba chiều 3. CAD Computer-aided design 4. CP Control point 5. CPU Central Processing Unit Bộ xử lí trung tâm 6. CT Computed Tomography chụp quét cắt lớp điện toán 7. CV 8. 9. 10. thiết kế được sự hỗ trợ của máy tính Một điểm điều khiển hình dạng của một đối tượng. Một điểm mà điều khiển hình dạng của đường cong NURBS hay bề mặt. Một điểm mà nằm trên đường cong là điểm nối của EP Edit point đa thức biểu diễn đường cong. Non-Uniform Rational B-spline hữu tỉ không đồng NURBS B-spline đều một tiêu chuẩn kỹ thuật đồ họa có mục đích định ra OPENGL Open Graphics Library một giao diện lập trình ứng dụng (tiếng Anh: API)đồ họa 3 chiều Control vertex 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây công nghệ thông tin đã đạt được những bước phát triển nhảy vọt cả về phần cứng lẫn phần mềm. Những ứng dụng của nó vào cuộc sống ngày càng phong phú, đa dạng và thiết thực hơn. Từ các lĩnh vực cơ bản như khoa học cơ bản, kinh tế, kỹ thuật cho đến các lĩnh vực như giải trí, du lịch, không lĩnh vực nào không có sự ứng dụng thiết thực và hiệu quả của công nghệ thông tin. Sự phát triển không ngừng của sức mạnh máy tính đã làm cho một số lĩnh vực khó phát triển trước kia nay đã có khả năng phát triển và đã đạt được những thành tựu đáng kể. Chúng ta có thể kể đến cả các lĩnh vực như: các hệ chuyên gia, các hệ xử lý thời gian thực … Hiện nay, đồ họa máy tính đang là một lĩnh vực hết sức lý thú và được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, đặc biệt phương pháp mô hình hóa hình học các đối tượng 3 chiều dựa trên mặt cong NURBS đang được quan tâm nghiên cứu và triển khai trong đồ họa ba chiều. Hơn thế, phương pháp này đang được ứng dụng để mô hình hóa các vật thể trong các hệ thống CAD/CAM. Các đường cong và các surface NURBS có rất nhiều các ứng dụng và được ưa dùng trong thiết kế công nghiệp và tự động. Đây là những nơi các hình dạng trơn tru với lượng dữ liệu tối thiểu là yêu cầu đặt ra. Các đường cong NURBS phát huy hiệu quả trong việc tạo ra đường chuyển động liên tục của một đối tượng được hoạt hoá. Trong quá trình tìm hiểu và nghiên cứu về đồ họa máy tính cùng cùng với gợi ý của thầy hướng dẫn học viên đã lựa chọn đề tài “Biểu diễn mô hình 3D bằng kỹ thuật NURBS trong máy tính”. 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: - Mô hình đối tượng 3D; 2 - Kỹ thuật NURBS trong biểu diễn đối tượng 3D; + Phạm vi: - Biễu diễn bởi kỹ thuật NURBS để biểu diễn đường cong và bề mặt mô hình 3D trong máy tính. 3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu: - Hệ thống hóa kỹ thuật biểu diễn đối tượng 3D bởi đường cong NURBS và bề mặt NURBS. - Đề xuất hướng nghiên cứu hỗ trợ cho việc mô phỏng các đối tượng trong thế giới thực, mô phỏng hình học và đặc biệt trong thiết kế công nghiệp và tự động như sản xuất các hình dáng bên ngoài của tầu, của ô tô, tầu ngầm và máy bay … và còn thiết kế phông chữ cho các ngôn ngữ khác nhau,… 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Tìm hiểu, tổng hợp tài liệu, phân tích, đánh giá các phương pháp. - Phương pháp trao đổi khoa học, lấy ý kiến chuyên gia. - Phương pháp thực nghiệm: xây dựng chương trình cụ thể để thử nghiệm, phân tích, đánh giá kết quả đạt được. 5. Luận văn gồm ba phần chính: Chương 1. Khái quát về đối tượng 3D và bài toán biểu diễn NURBS. Chương 2. Một số vấn đề trong biểu diễn mô hình 3D bởi kỹ thuật NURBS; Chương 3. Chương trình thử nghiệm. 3 CHƯƠNG 1 KHÁI QUÁT VỀ ĐỐI TƯỢNG 3D VÀ BÀI TOÁN BIỂU DIỄN NURBS Nội dung chính của chương sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về đồ họa ba chiều theo định hướng của đề tài và các khái niệm biểu diễn mô hình 3D, biểu diễn đường cong và bề mặt. 1.1. Khái quát về đối tượng 3D 1.1.1. Một số khái niệm về đồ họa 3D Đồ họa máy tính là một lĩnh vực khoa học nghiên cứu về các thuật toán cũng như kĩ thuật cho phép tạo, hiển thị và điều khiển hình ảnh trên màn hình máy tính. Đồ họa máy tính có liên quan đến đại số, hình học giải tích, hình học họa hình, quang học,... kĩ thuật máy tính và chế tạo phần cứng (các loại màn hình, các thiết bị xuất, nhập, các vi mạch đồ họa...)[1]. Hệ đồ họa bao giờ cũng có hai thành phần chính đó là phần cứng và phần mềm. Phần cứng gồm thiết bị hiển thị và nhập dữ liệu, … Phần mềm gồm công cụ lập trình và các trình ứng dụng đồ họa. Công cụ lập trình cung cấp tập các hàm đồ họa có thể được dùng trong các ngôn ngữ lập trình cấp cao như C, Pascal, ... Các hàm cơ sở của đồ hoạ bao gồm việc tạo đối tượng cơ sở của hình ảnh như đoạn thẳng, đa giác, đường tròn, …, thay đổi màu sắc, chọn khung nhìn, áp dụng các phép biến đổi, …Ứng dụng đồ họa được thiết kế cho những người dùng không phải là lập trình viên tạo được đối tượng, hình ảnh, … mà không cần quan tâm tới việc chúng được tạo ra như thế nào. Ví dụ như là Photoshop, AutoCAD, … Việc thể hiện các đối tượng 3D trên máy tính là cần thiết vì phần lớn các đối tượng trong thế giới thực là đối tượng 3D còn thiết bị hiển thị chỉ hiển thị ảnh 2 chiều. Do vậy muốn có hình ảnh 3 chiều ta cần phải giả lập. Biểu diễn đối tượng 3D bằng máy tính phải tuân theo quy luật về phối 4 cảnh, ánh sáng, tối… giúp người xem nhìn thấy hình ảnh gần đúng nhất. Chiến lược cơ bản là chuyển đổi từng bước. Hình ảnh sẽ được hình thành ngày càng chi tiết hơn. Khi mô hình hóa và hiển thị một hình ảnh 3D chúng ta xét rất nhiều khía cạnh và các vấn đề khác nhau không đơn giản là thêm một tọa độ thứ 3 cho các đối tượng. Bề mặt đối tượng có thể được xây dựng bởi nhiều tổ hợp khác nhau của mặt phẳng và mặt cong, đôi khi chúng ta còn mô tả một số thông tin bên trong đối tượng. Khi biểu diễn đối tượng 3 chiều bằng máy tính ta cần quan tâm các vấn đề sau:  Phương pháp biểu diễn Có 2 phương pháp biểu diễn đối tượng 3 chiều là phương pháp biểu diễn bề mặt và biểu diễn theo phân hoạch không gian. Phương pháp biểu diễn bề mặt mô tả đối tượng bằng một tập hợp các bề mặt giới hạn phần bên trong của đối tượng với môi trường bên ngoài. Thông thường ta xấp xỉ các bề mặt phức tạp bởi các mảnh nhỏ hơn gọi là các patch (mặt vá). Các mảnh này có thể là các đa giác hoặc các mặt cong. Phương pháp phân hoạch không gian thường dùng để mô tả các thuộc tính bên trong đối tượng.  Các phép biến đổi hình học Khi áp dụng một dãy các phép biến đổi hình học có thể tạo ra nhiều phiên bản của cùng một đối tượng. Do đó có thể quan sát vật thể ở nhiều vị trí, nhiều góc độ khác nhau và cảm nhận về các hình ảnh vẽ ba chiều sẽ trực quan, sinh động hơn. Các phép biến đổi thường được sử dụng là phép tịnh tiến, phép quy, phép biến dạng… được mô tả bằng các ma trận. Ma trận của mỗi phép biến đổi có các dạng khác nhau  Vấn đề chiếu sáng Tác dụng của việc chiếu sáng là làm cho các đối tượng hiển thị trong 5 máy tính giống với vật thể trong thế giới thực. Để thực hiện công việc này cần phải có các mô hình tạo sáng. Vật thể được chiếu sáng nhờ vào ánh sáng đến từ khắp mọi hướng gọi là ánh sáng xung quanh (ambient light) hay ánh sáng nền (background light). Trên bề mặt có 2 loại hiệu ứng phát sáng là khuếch tán (diffuse light) - ánh sáng đi theo mọi hướng và phản xạ gương (specular light).  Vấn đề tạo bóng Để tạo bóng ta ứng dụng các mô hình xác định cường độ sáng theo nhiều kiểu khác nhau tùy thuộc bài toán cụ thể. Các vật có bề mặt phẳng chỉ cần tính cường độ sáng chung cho một bề mặt là có thể hiển thị đối tượng tương đối thật. Các vật có bề mặt cong phải tính cường độ sáng cho từng pixel trên bề mặt. Để tăng tốc độ ta xấp xỉ các mặt cong bởi một tập hợp các mặt phẳng. Với mỗi mặt phẳng sẽ áp dụng mô hình cường độ không đổi (flat shading) hoặc cường độ nội suy (Gouraud shading, Phong shading) để tạo bóng. Các ứng dụng cơ bản của đồ họa 3D 3D là công nghệ được xây dựng từ các phần mềm máy tính, giúp người sử dụng có thể quan sát hình ảnh trong không gian ba chiều. Ứng dụng của công nghệ này được sử dụng trong một số lĩnh vực đạt hiệu quả cao như Y học, xây dựng, kiến trúc, phim, trò chơi... Tại Việt Nam công nghệ này chỉ mới được sử dụng phần lớn trong quảng cáo và kiến trúc.  Ứng dụng đồ hoạ 3D trong y tế Ứng dụng công nghệ hình ảnh 3D thu hút sự chú ý của nhiều người trong lĩnh vực y học. Nhiều bác sĩ cũng tận dụng công nghệ mới này phục vụ điều trị bệnh nhân giúp tăng độ chính xác và hiệu quả. Với phương pháp chụp cắt lớp điện toán (CT) hay chụp cộng hưởng từ (MRI). Bác sĩ phải theo dõi hình ảnh 2D trên màn hình, vừa phải tưởng tượng 6 hình ảnh trong không gian 3 chiều đã gặp không ít khó khăn. Ứng dụng công nghệ hình ảnh 3D, bác sĩ nhìn được các hình ảnh 3 chiều rõ nét ngay lập tức và tập trung hơn vào phẫu thuật.  Ứng dụng đồ hoạ 3D trong xây dựng kiến trúc Đối với người thiết kế: có thể vẽ lên không gian 3 chiều, ứng dụng vật liệu thật vào không gian, phối trí và phân tích ánh sáng, thông gió hợp lý nhất cho công trình thiết kế xây dựng làm cho sự kết hợp giữa các yếu tố, bố trí các vật dụng trở nên hài hoà. Tính toán tải trọng kết cấu chính xác nhất, đưa ra giải pháp tiết kiệm vật tư và chi phí nhằm nâng cao năng lực cạnh tranh. Đối với người khách hàng: ứng dụng 3D trong kiến trúc làm cho người xem như đứng ngay trong không gian trong thực tế.  Ứng dụng đồ hoạ 3D trong phim, trò chơi Công nghệ 3D trong phim ảnh đang là xu hướng phát triển của điện ảnh thế giới. Ứng dụng tạo hình 3D mang đến cho người xem những trải nghiệm thực sự, những hình ảnh sống động và hấp dẫn. Nó cũng được sử dụng để tạo các hiệu ứng phim và thực tại ảo, khán giả sẽ trải nghiệm những hành động, cử chỉ sống động như thật. Trong game, ứng dụng công nghệ 3D để xây dựng mô hình, và chuyển động cho hình ảnh sắc nét giúp người chơi bao quát được toàn bộ góc nhìn với chất lượng hình ảnh tốt nhất và không bị gián đoạn.  Ứng dụng đồ hoạ 3D trong mô phỏng, đào tạo Hệ thống phần mềm mô phỏng các thí nghiệm bằng hình ảnh minh họa sống động, giúp học sinh dễ nhận biết, tiếp thu và tạo sự hứng thú với môn học. Cho phép học sinh, sinh viên được quan sát trực quan các mô hình cụ thể, thấy được những hoạt động, chuyển động của các sự vật, sự kiện được giảng viên trình bày. Học sinh được hình dung một cách rõ ràng và đầy đủ các khái niệm về hình học không gian, địa lý vũ trụ, mô hình sinh học hoặc các khái niệm khó tưởng tượng ra trong thế giới hai chiều. 7  Ứng dụng đồ hoạ 3D trong lĩnh vực quốc phòng và an ninh Những sản phẩm mô phỏng sẽ được áp dụng trong giảng dạy các môn khoa học như Giáo dục quốc phòng, quân sự. Người học có thể quan sát chi tiết các hoạt động của các bộ phận cơ khí, quy trình hoạt động và tương tác, những hiện tượng xảy ra trong các hoạt động của vũ khí. Công nghệ mô phỏng 3D mô tả chi tiết cụ thể hiện tượng bắn, quá trình chuyển vận của các bộ phận trong tương tác sự vật, hiện tượng giúp cho học sinh dễ nhận biết, tiếp thu tạo sự hứng thú với môn học. Có thể nói các ứng dụng tiềm năng của công nghệ hình ảnh 3D là vô hạn và để làm được điều đó ta phải biết cách biểu diễn mô hình 3D trong máy tính. 1.1.2. Khái niệm về một số chi tiết trong mô hình 1.1.2.1. Các điểm (Points) Trong dựng hình, có nhiều thuật ngữ để nói về điểm. Mỗi một thuật ngữ lại được áp dụng trong các trường hợp khác nhau. - Control point (CP): Một điểm điều khiển hình dạng của một đối tượng. Ví dụ của CP là các điểm của NURBS (control vertices - CVs), các đỉnh của Polygon (polygonal vertices). Một đối tượng phải có các điểm điều khiển để biến đổi hình dạng. - Control vertex (CV): Trong dựng hình, một điểm mà điều khiển hình dạng của đường cong NURBS hay bề mặt thì gọi là control vertex. - Vertex: là một đỉnh. Nhiều Vertex thì người ta sử dụng từ vertices. Nó là:  Một điểm trong không gian 3D.  Trong dựng đa giác, nó là một góc giao của hai hoặc nhiều face của đa giác. - Edit point (EP): Trong dựng hình, một điểm mà nằm trên đường 8 cong mà là điểm nối của các đa thức biểu diễn đường cong thì được gọi là các Edit point. Thêm các EP đối với một đường cong không ảnh hưởng tới hình dạng của đường cong nhưng tạo ra thêm đoạn (segment) cho đường cong và thêm phần (span) cho bề mặt. EP còn được gọi là các knot. - Multi-knot và CV Multiplicity: Multi-knot là nhiều EP ở trong cùng một vị trí trong không gian. CV multiplicity là nhiều CV ở trong cùng một ví trí trong không gian. Multi-knot và CV muliplicity thường không được mong muốn. Vì lý do: thứ nhất là làm tăng dung lượng, thứ hai là không có tác dụng gì cho đường cong và thứ 3 là nhiều công cụ sẽ không làm việc chính xác khi có chúng [2]. 1.1.2.2. Các đường cong(Curves) Đường cong để biểu diễn cho một biểu thức toán học. Phương trình biểu diễn đường cong dễ tính toán và biểu diễn trên đồ thị nhất là có dạng: x = a+bt + ct2 + dt3+… y = g+ht + jt2 + kt3+… Dạng biểu diễn này tiện lợi và phù hợp với tính chất 3 chiều của mô hình. Các đường cong bậc càng cao thì càng phức tạp và càng đòi hỏi nhiều khối lượng tính toán. Vì thế để biểu diễn các đường này thì người ta đã nghĩ ra cách phân đoạn. Có nghĩa là đường cong phức tạp được phân ra thành từng đoạn. Mỗi đoạn lại là một đường cong nhưng có bậc nhỏ hơn. Điểm giao của các đoạn tạo ra đường cong đó người ta gọi là edit points, còn mỗi đoạn đó người ta gọi là segment hay là span. Tuy nhiên không phải lúc nào các đường cong bậc cao cũng phải giảm 9 bớt bậc của nó đi. Những đường cong bậc tầm 5 đến 7 có lợi là cho đường cong có vẻ trơn tru hơn và có độ căng. Chúng thường được sử dụng trong thiết kế tự động (automotive design). Bậc của đường cong cũng xác định độ trơn của các điểm nối giữa các span:  Đường bậc 1 (linear): các đường cong chỉ việc đặt ở các vị liên tiếp nhau.  Đường bậc 2 (squadratic): các đường cong đặt tiếp xúc với nhau  Đường bậc 3 (cubic): các độ cong liên tiếp với nhau. - Bậc(degree): Đây là khái niệm để chỉ một span thì có bao nhiêu CV.  Đường bậc 1: là các EP đặt thẳng hàng  Đường bậc 2: Có một phần cong giữa các EP. Các bề mặt thì có nhiều bậc theo chiều dài và chiều rộng. Có thể chiều rộng bậc 3 nhưng chiều dài lại bậc 4. -Parameter (tham số): Các tham số là các giá trị bằng số duy nhất của các điểm (giống như là toạ độ) nằm trên đường cong hay surface. Hình 1.1. Minh hoạ tham số của đường cong tại một điểm  Tham số mà càng lớn thì điểm nằm càng cao trên đường cong  Đối với đường cong, cần một tham số xác định dọc theo chiều dài đường cong, đó là tham số U.  Đối với surface cần một tham số nữa để xác định theo bề rộng của surface, đó là tham số V. - Normal: Nó là đường trực giao tại một điểm nằm trên bề mặt hay 10 đường cong. Nó dùng để xác định xem một mặt đang xét là mặt trong (inside) hay mặt ngoài (outside) của bề mặt. Hình 1.2. Normal - Có thể chia đường cong thành 3 loại: khép kín, đóng, mở (periodic, closed, open).  Khép kín: Có 2 phần đầu và cuối nằm gối lên nhau  Đóng: Có 2 phần: đầu và cuối chung nhau tại một điểm  Mở: Phần đầu và cuối không giao nhau. Đối với đường khép kín, khi dịch chuyển EP đầu thì EP cuối dịch theo. Một số đường cong cơ bản là theo kiểu này Đối với đường cong đóng, khi dịch chuyển EP thì tính đóng bị mất. Nên tạo ra đường cong khép kín hơn là đường cong đóng. - Các thành phần của một đường cong:  CV: Số CV trên một đoạn sẽ bằng bậc của đường cong tạo đoạn đó cộng với 1. Ví dụ như một đường cong bậc 3 thì cần đến 4 CV trên nó.  EP: CV và EP cho biết có bao nhiêu đoạn tạo ra đường cong đó.  Hull: khi vẽ một số đường cong thì có đường nối giữa các CV để thể hiện vết của hình đường cong, đó là hull 11 Hình 1.3. Các thành phần chính của một đường cong Những thành phần này quyết định đến việc hiển thị của đường cong: Curve direction : đường cong chỉ có một hướng U Span : khoảng cách giữa 2 điểm Editpoint Hull : đường nối giữa 2 điểm đã cho Control Vertex(CV): điểm điều khiển. Biên tập một đường cong nên làm việc với các CV hơn là các EP vì các EP không làm thay đổi hình dạng của đường cong bằng các CV, dễ gây đổ vỡ hình khối và tăng dung lượng. 1.1.2.3. Các Surface Tạm dịch là bề mặt. Trong dựng hình, surface là một tập các đường cong liên kết với nhau. Trong tạo kết xuất, surface là một lớp bao phủ đối tượng để xác định xem đối tượng đó sẽ phản xạ ánh sáng như thế nào. Có thể bề mặt chỉ có một màu nào đó, hoặc có thể là một mẫu vật liệu, một vỏ xù xì, hoặc trơn nhẵn. Một số thành phần của surface: - Isoparm: viết tắt từ cụm từ isoparametric curve. Đó là một đường cong nằm trên surface hay ở một EP có giá trị U hoặc V là hằng số.