Tất cả vì học sinh thân yêu
Bình dân học vụ BẤT ĐẲNG THỨC – MIN & MAX tại đây
DÀNH CHO CÁC EM MỚI CHẬP CHỮNG HỌC MẢNG NÀY NÊN NGÔN NGỮ
BÌNH DÂN THEO KIỂU NHÀ QUÊ
1. Các bất đẳngthức phụ CM BĐT
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/cac-bat-dang-thuc-phu-cm-bdht
2. Bất đẳng thức Côsi
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/bat-dang-thuc-cosi
3. Dùng BĐT Bunhiacopxki
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/dung-bdht-bunhiacopxki
4. BĐT có 2 biến đối xứng
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/bdht-co-2-bien-doi-xung
5. Phuương pháp thế
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/bdht-co-bien-doi-hay
6. Dùng kỹ thuật 2 lần đổi dấu - Cô si ngược dấu
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/dung-ky-thuat-2-lan-doi-dau---cosi-nguoc-dau
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
1
Tất cả vì học sinh thân yêu
7. Dùng tam thức bậc 2 - chứng minh BĐT
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/dung-tam-thuc-bac-2---chungminh-bdht-2
8. Kỹ thuật cân bằng bậc tử và mẫu số để CM BĐT
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/ky-thuat-can-bang-bac-tu-vamau-so-de-cm-bdht
9. Kỹ thuật chuẩn hóa - Chứng minh bất đẳng thức
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/ky-thuat-chuan-hoa---chung-minhbat-dang-thuc
10. Dùng tiếp tuyến CM BĐT
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/dung-tiep-tuyen-cm-bdht
11. BĐT có hiệu a -b , b - c , c - a
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/bdht-co-hieu-a---b-b---c-c---a
12. BĐT - Dạng toán đồng bậc tử số mẫu số
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/bdhtdang-toan-dong-bac-tu-somau-so
13. Kỹ thuật sửdụng BĐT Cô Si cho 3 biến không bằng nhau
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
2
Tất cả vì học sinh thân yêu
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/ky-thuat-su-dung-bdht-co-si-cho-3bien-khong-bang-nhau
14. BĐT có 3 biến bằng nhau , chứa tích abc , ab , ac , bc
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/bdht-co-3-bien-bang-nhau-chuatich-abc-ab-ac-bc
15. BĐT 3 biến và có biến bằng 0
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/bdht-3-bien-va-co-bien-bang-0
16. Bất đẳng thức 3 biến - các biến đổi đặc biệt
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/bat-dang-thuc-3-bien---cac-biendoi-dac-biet
17. BĐT khảo sát hàm nhiều biến , cố định biến số
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/bdht-khao-sat-ham-nhieu-bienbang-cach-coi-mot-bien-khac-la-tham-so
18. Bất đẳng thức phụ khi có căn - MinCopxki
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/bat-dang-thucphu-khi-co-can--mini-copxki
19. Dùng tính chất bắc cầu, (dồn biến) CM BĐT - Tìm Min Max
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
3
Tất cả vì học sinh thân yêu
https://sites.google.com/site/trungtamtriviethanoi/dung-tinh-chat-bac-cau-ky-thuat-don-biencm-bdht---tim-min-max
20. Ép biên (Ép duyên)
https://www.youtube.com/watch?v=cnRRcZ8mNK4
BẤT ĐẲNG THỨC 2 BIẾN
ĐỐI XỨNG :
Bài 1: Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa x 2 y 2 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P 2 x 3 y 3 3xy
Bài giải:
P 2 x 3 y 3 3xy
2 x y x 2 xy y 2 3 xy 2 x y 2 xy 3 xy
t2 2
đặt t = x + y. ĐK : t 2 xy
,
2
3
P t 3 t 2 6t 3 , với t 2
2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
4
Tất cả vì học sinh thân yêu
3
Xét f (t ) t 3 t 2 6t 3 trên [-2,2]
2
f '(t ) 3t 2 3t 6
f’(t) = 0 t 1 t 2
f(2) = 1
f 1
13
2
f(-2) = - 7
1 3
1 3
x
x
x
y
1
13
13
2
2
2
khi t = 1 nên max P
max f t
2
2,2
2
2
x y 2
y 1 3 y 1 3
2
2
x y 2
x y 1
min f t 7 khi t = -2 nên minP = - 7 2
2
2,2
x y 2
Bài 2: Cho x 0 và y 0 thỏa điều kiện x y 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P xy
1
.
xy 1
Bài giải:
2
x y
Ta có 0 xy
1
2
Đặt t xy , điều kiện 0 t 1
Pt
1
t (t 2)
1
P/ 1
2
t 1
t 1 (t 1) 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
5
Tất cả vì học sinh thân yêu
x
0
P/
0
1
+
3
P
2
1
Vậy GTLN P
3
Khi x 1; y 1
2
Bài 3: Cho a, b 0 thỏa mãn 2 a 2 b 2 a 2b 2 . Tìm Min P, với
P
a
b
1
.
2
b 1 a 1
a b2 1
Bài giải:
2
Ta có a 2b 2 2 a 2 b 2 a b ab a b
2
2
a 2 b2 1 a b 2ab 1 a b 2 a b 1 a b 1
2
a 2 b2 1 a b 1
1
a
b
P
1
1 2
b 1 a 1
a2 b2 1
1
1
1
a b 1
2
2
a 1 b 1
a b2 1
a b 1
4
1
2
a b 2 a b 1
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
6
Tất cả vì học sinh thân yêu
Đặt t a b , ta có
a b
2
2a b
2
Xét f t
2
ab
2
a b
4
16
ab 4
4 t 1
1
2; t 4 ta được
t2
t 1
5
MinP M inf x khi x y 2
3
Bài 4: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy x y 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
3x
3y
xy
x2 y 2
y 1 x 1 x y
Bài giải:
2
Đặt t x y xy 3 t ; x 2 y 2 x y 2 xy t 2 2 3 t t 2 2t 6
2
1 2
x y
Ta có xy
3t t t 2
4
2
Suy ra P
3 x2 y 2 3 x y
xy x y 1
Xét hàm số f t t 2 t
Ta có f ' t 2t 1
P f t f 2
xy
12 5
x 2 y 2 t 2 t
x y
t 2
12 5
với t 2
t 2
2
0, t 2 . Suy ra hàm số f t nghịch biến với t 2
t2
3
2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
7
Tất cả vì học sinh thân yêu
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng
3
khi x y 1 .
2
Bài 5: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện ( x y ) 3 4 xy 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu
thức P 3( x 2 y 2 ) 2 2( x y ) 2 xy (3 xy 4) 2015 .
Bài giải:
Với mọi số thực x, y ta luôn có ( x y ) 2 4 xy , nên từ điều kiện suy ra
( x y )3 ( x y ) 2 ( x y )3 4 xy 2 ( x y )3 ( x y )2 2 0 x y 1 Ta biến đổi P
như sau P
3 2
3
( x y 2 ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 2( x 2 y 2 2 xy ) xy (3 xy 4) 2015
2
2
3 2
3
( x y 2 ) 2 ( x 4 y 4 ) 2( x 2 y 2 ) 2015
2
2
Do x 4 y 4
(3)
(x2 y 2 )2
9
nên từ (3) suy ra P ( x 2 y 2 ) 2 2( x 2 y 2 ) 2015 .
4
2
Đặt x 2 y 2 t thì t
Xét hàm số f (t )
1
2
(do x y 1) .
9 2
1
9
1
t 2t 2015 với t , có f ' (t ) t 2 0 , với t nên hàm
4
2
2
2
1 32233
1
số f(t) đồng biến trên ; . Suy ra min f (t ) f
.
1
2
16
2
t ;
2
Do đó GTNN của P bằng
32233
1
, đạt được khi và chỉ khi x y
16
2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
8
Tất cả vì học sinh thân yêu
Bài 6: Cho các số dương x, y. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
P
2
x 3y
1
2
2
3x y
2
2
3 x y
3
.
Bài giải:
1
Xét biểu thức P
2
x 3y
1
2
2
3x y
1
Trước hết ta chứng minh
2
x 3y
1
1
Thật vậy,
2
x2 3 y 2
3x y 2
8 x2 y 2
x
Xét
2
3 y 2 3 x 2 y 2
4 x y
x
2
3y
2
3x
2
y
2
2
2
3 x y
1
2
3x y
2
2
4
x y
x y
2
x y
8 x2 y 2
1
1
2 2
2
3 x 2 y 2 x 2 3 y 2 3 x 2 y 2
x 3y
2
2
4 2 x 2 y 2 x y x 2 3 y 2 3 x 2 y 2
2
2
2
2
2
x 3 y 3x y x y
4
2
3
2
0
1
2
x 3y
2
1
2
3x y
2
2
x y
Dấu “=” xảy ra khi x = y
Như vậy, P
Đặt, t
2
2
x y 3 x y 3
1
,t 0.
x y
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
9
Tất cả vì học sinh thân yêu
Xét hàm số f (t ) 2t
2t 3
f '(t ) 2 2t 2 ; f '(t ) 0 t 1
3
Ta có bảng biến thiên
t
–
f’(t)
–
–1
+
1
0
+
0
–
4/3
f(t)
Từ BBT ta thấy GTLN của f(t) là
Vậy, GTLN của P là
4
khi t = 1.
3
4
1
khi x y
3
2
Bài 7: Với mọi số thực x,y thỏa mãn điều kiện 2 x 2 y 2 xy 1
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P
x4 y4
2 xy 1
Bài giải:
1
2
Đặt t xy . Ta có: xy 1 2 x y 2 xy 4 xy xy
5
1
1
1
2
Và xy 1 2 x y 2 xy 4 xy xy nên t
3
5
3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
10
Tất cả vì học sinh thân yêu
x
Suy ra: P
2
2
y 2 2 x2 y2
2 xy 1
7t 2 2t 1
4 2t 1
7 t 2 t
t 0
7t 2 2t 1
Xét hàm số f t
có f ' t
; f 't 0
2
4 2t 1
2 2t 1
t 1 l
1
1
1 2
f f ; f 0
4
5
3 15
Vậy GTLN bằng
1
2
, GTNN bằng
4
15
2
Bài 8: Giả sử x, y là các số thực dương thỏa mãn 3 x y 4 x 2 y 2 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức P
x 2y
2x y
2
2
2
x 2y
2x y2
Bài giải:
Ta có
x 2y
1
xy
3
xy
3
x
3
2
.
.
.
2
2
2
2
2
x 2y
x y x y y x y 2 xy y x y 2 x y x y
2x y
1
y
3
.
2
2
2x y
x y x 2y x y
x
y
2
Mặt khác, ta cũng có
, vì bất đẳng thức này tương đương với
2x y x 2 y 3
Tương tự, ta cũng có
x 2 y 2 4 xy
2
2
, hay x y 0
2
2
2 x 2 y 5 xy 3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
11
Tất cả vì học sinh thân yêu
Từ đó ta có P
x
2
y 3
2 3
2
4
. Suy ra P
.
.
x y 2x y x 2 y x y 3 x y x y
x y
2
(1)
2
Từ giả thiết ta lại có 3 x y 4 x 2 y 2 4 2 x y 4
2
Suy ra x y 4 , hay x y 2
(2)
Từ (1) và (2) ta có P 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2, đạt được khi x y 1
Bài 9: Cho hai số dương x, y thoả mãn x 2 y 2 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
P x 1 1 y 1 1 .
y
x
Bài giải:
Đặt x y t xy
t 2 1
2
Bến đổi P .. x y
t
2 t 1
2
t 1
2
2t
x2 y2 x y
2
xy
2
2
t 1
Có x y 4 xy t 2 4
t 2 1
t2 2
2
Lại có 0 x, y 1 x x 2 , y y 2 x y 1. vậy 1 t 2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
12
Tất cả vì học sinh thân yêu
Xét hàm số f t t
Có f
2 43
2
2 trên nửa khoảng 1; 2
t 1
2
Kết luận: min P min f t 4 3 2
1; 2
Bài 10: Cho x và y là hai số thực dương thay đổi thuộc nửa khoảng (0;1] và x+y=4xy. Tìm gía trị
1 1
1
lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P= x 2 y xy 2 2 2 .
6 x
y
Bài giải:
1
Ta có: 4 xy x y 2 xy xy .
4
x; y (0;1] (1 x )(1 y ) 0 1 ( x y ) xy 0 1 4 xy xy 0 xy
1
.
3
1 1
1
1 ( x y ) 2 2 xy
1 8
P = x 2 y xy 2 2 2 xy ( x y )
4( xy ) 2
.
2
6 x
y
6
( xy )
3 xy 3
Đặt t = xy thì P = t 2
f '(t ) 8t
1 8
1 1
f (t ) với t ; .
3t 3
4 3
1 24t 3 1
1 1
1 1
0, t ; suy ra f (t ) nghịch biến trên đoạn ; .
2
2
3t
3t
4 3
4 3
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
13
Tất cả vì học sinh thân yêu
1
1
1 1
Do đó f f (t) f , t ; .
3
4
4 3
13
1
đạt được khi và chỉ khi x y .
12
2
11
1
1
minP = đạt được khi và chỉ khi x 1; y hoặc x ; y 1.
9
3
3
maxP =
Bài 11: Cho hai số thực thỏa mãn x 1; y 1 và 3 (x + y) = 4xy
1 1
Tìm gía trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = x3 y 3 3 3 3 .
y
x
Bài giải:
Đặt t = x.y; vì x 1 nên 3( x y ) 4 x. y 3 x 2 3 xy 4 x 2 y xy
Có 3( x y ) 4 x. y x
f '( y )
3x 2
4x 3
3y
3y
(vì y 1 ). Xét hàm số f ( y )
trên [1; ) có
4y 3
4y 3
9
0, y [1; ) f ( y ) f (1) 3 1 x 3
(4 y 3)2
Xét hàm số g(x)
3x2
9
9
trên [1;3] g ( x) 3 . Vậy t [ ;3]
4x 3
4
4
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
14
Tất cả vì học sinh thân yêu
Khi
đó
3
3
3
P ( x3 y 3 ) 1 3 3 x y 3xy ( x y)
3
x y
( xy)
4 xy 3
12 64
4 xy
3 64t 3
3 64t 3
2
4t 2
3
xy
.
1
4
t
1
3
3
27
t
9
3 ( xy ) 27
t
3
Xét hàm số P (t )
Ta có P '(t )
64t 3
12 64
9
với t [ ;3]
4t 2
27
t
9
4
64t 2
12
9
8
12
8t 2 2 8t t 1 2 0, t [ ;3]
9
t
4
9
t
Vậy MaxP P (3)
x 3 x 1
280
xy 3
tại t 3
;
9
y 1 y 3
x y 4
9
9 304
MinP P
tại t
4
4 36
9
3
xy
4 x y
2
x y 3
Bài 12: Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A xy
1
1
2
2
x
y
Bài giải:
Ta có P xy
1
1
2
2 xy
2
x
y
xy
2
x y 1
Đặt t xy ta có 0 t xy
4
2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
15
Tất cả vì học sinh thân yêu
2
2
31
31 33
32t 31t 2 32.2 16
t
t
4
4
4
1
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z
2
33
Vậy min A
4
Khi đó: P t
2
2
Bài 13: Cho các số thực x, y thỏa mãn x 4 y 4 2 xy 32 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức A x3 y 3 3 xy 1 x y 2 .
Bài giải:
2
2
2
Ta có x 4 y 4 2 xy 32 x y 8 x y 0 0 x y 8
3
3
A x y 3 x y 6 xy 6 x y
3
2
x y 3 x y 6.
2
3
Xét hàm số: f t t 3 t 2 3t 6 trên đoạn 0;8 .
2
Ta có f ' t 3t 2 3t 3, f ' t 0 t
1 5
1 5
hoặc t
(loại)
2
2
1 5 17 5 5
17 5 5
Ta có f 0 6, f
, f 8 398 . Suy ra A
4
4
2
Khi x y
1 5
17 5 5
thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
4
4
Bài 14: Cho các số thực dương
a, b thỏa mãn a 5b b5 a 2 ( ab 1) 2
. Tìm GTLN của :
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
16
Tất cả vì học sinh thân yêu
P
Ta có :
1
1
8ab 1
2
2
1 a 1 b 2 4ab
( ab 1) 2 a 5b b5 a 2 2 ab( a 4 b 4 ) 2 2a 3b 3 1 ab
Khi đó ta có BĐT quen thuộc :
P
1
2
1
1
2
2
2
1 a 1 b 1 ab
2
8ab 1
2
8t 1
. Xét hàm số f (t )
1 ab 2 4ab
1 t 4t 2
với
1
t ab; t ;1
2
1
31
1
f (t ) max f ( ) Pmax a b
2
12
2
Bài 15: Cho x, y là các số thực thuộc (0;1) thỏa mãn
( x3 y 3 )( x y)
(1 x)(1 y) . Tìm giá trị
xy
lớn nhất của biểu thức:
P
1
1 x
2
1
1 y
2
4 xy x 2 y 2
( x3 y 3 )( x y )
Ta có: (1 x)(1 y )
1 xy x y 4 xy 1 3xy x y 3xy 2 xy
xy
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
17
Tất cả vì học sinh thân yêu
Xét
P
1
1 x2
1
4 xy x 2 y 2
1 y2
vì x, y (0;1)
1
1 x2
1
1 y2
2 xy 2.
1
1 x2
1
1 y2
2 xy
1
1
2
(*)
2
2
1 xy
1 x 1 y
Thật vậy
(*) (2 x 2 y 2 )(1 xy ) 2(1 x 2 )(1 y 2 ) ( x y ) 2 (1 xy ) 0 . Luôn đúng vì x, y (0;1)
Suy ra P
2
1
2 xy, xy 0;
1 xy
9
Xét hàm số f (t )
1
1
1
2 0, t 0;
2t , t 0; . Có f
(1 t ) 1 t
9
1 t
9
2
56
1
56
1
Vậy P f
nên maxP =
x y
3
9 10
9 9 10
2
Bài 15b: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a 5b ab5 2 ab 1 . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức P
1
1
8ab 1
2
2
1 a 1 b
2 4ab
Bài giải:
P
1
1
8ab 1
2
2
1 a 1 b 2 4ab
2
5
5
4
4
3
3
Ta có : ( ab 1) a b b a 2 2 ab(a b ) 2 2a b 1 ab
1
2
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
18
Tất cả vì học sinh thân yêu
Khi đó ta có BĐT quen thuộc :
P
1
1
2
2
2
1 a 1 b 1 ab
2
8ab 1
2
8t 1
1
. Xét hàm số f (t )
với t ab; t ;1
1 ab 2 4ab
1 t 4t 2
2
1
31
1
f (t ) max f ( ) Pmax a b
2
12
2
KHÔNG ĐỐI XỨNG :
Bài 16: cho x, y là số không âm thỏa mãn x 2 y 2 2 . Tìm GTLN và nhỏ nhất của:
P 5( x5 y 5 ) x 2 y 2 (5 2 xy 2 4 xy 12)
x 2 ( x 2) 0
*0 x, y 2
x3 y 3 2( x 2 y 2 ) 2 2
2
y ( y 2) 0
*4 (12 12 )( x 2 y 2 ) ( x y ) 2 2 x y
2( x 3 y 3 ) ( x y )( x 3 y 3 ) ( x . x 3
y . y 3 ) 2 4 x3 y 3 2
Đặt t x 3 y 3 . Ta có : t 2; 2 2
Ta có:
*2 ( x 2 y 2 )3 x 6 y 6 3 x 2 y 2 ( x 2 y 2 )
x 6 y 6 6 x 2 y 2 ( x3 y 3 )2 2 x 2 y 3 6 x 2 y 2
2 x3 y 3 6 x 2 y 2 t 2 8
*2( x 3 y 3 ) ( x 3 y 3 )( x 2 y 2 ) x5 y 5 x 2 y 3 x 3 y 2 x 5 y 5 x 2 y 2 ( x y )
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
19
Tất cả vì học sinh thân yêu
x 5 y 5 x 2 y 2 ( x y ) 2t
P 5( x5 y 5 ) x 2 y 2 (5 2 xy 2 4 xy 12)
4 x3 y 3 12 x 2 y 2 5( x5 y 5 ) 5 x 2 y 2 2 2 xy
2(2 x 3 y 3 6 x 2 y 2 ) 5( x 5 y 5 ) 5 x 2 y 2 x 2 y 2 2 xy
2(t 2 8) 5 x 2 y 2 2 xy x 2 y 2 ( x y ) 2t 2 10t 16 f (t )
f / (t ) 4t 10; f / (t ) 0 t
5
2; 2 2
2
5
57
Ta có: f (2) 28, f ( )
và f (2 2) 20 2
2
2
Vậy MinP min 2;2
Bài 17: Cho
5
57
f (t ) f (2) 28 và MaxP f ( )
2
2
2x2 y2 2x y
2 x 3 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của B
xy
Xét hàm số g(y):
g / ( y)
2
2 x 2 y 2 2 x y 2( x 1) y 1
với 2 x 3 y (0.25đ)
xy
y
x
2( x 1) /
, g ( y ) 0 y 2 x( x 1)
y2
(0.25đ)
BBT
Thấy min g ( y ) g
2 x( x 1) 2 2
1
1
1
x
x
Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI
20
- Xem thêm -
.PDF 
310 
196 
109 
