Tài liệu Bài toán góc và khoảng cách trong đề tham khảo thptqg 2020 môn toán

NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 NHÓM VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO NĂM HỌC 2019 - 2020 I. 1 PHÂN TÍCH – BÌNH LUẬN CÂU 37 =I Phân tích • Nhắc lại các cánh tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b . NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH ĐỀ THAM KHẢO Cách 1: Dựng đoạn vuông góc chung (thường dùng khi hai đường vừa chéo và vuông góc) Cách 2 : Quy về khoảng cách từ đường này đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường kia , cuối cùng là quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : Cách 3 : Quy về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song mỗi mặt chứa một đường. • Câu 37 đề thi tham khảo: Là bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình chóp có đường cao cho trước. Một bài ở mức độ Vận Dụng . Có hai ý tưởng nổi bật trong bài : ⊕ Thứ nhất : Là bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo và không vuông góc với nhau : Một đường nằm trong mặt phẳng đáy và một đường là cạnh bên. Nên giải quyết vấn Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b : d (a, b) = d (a, ( P )) = d ( M , ( P )) với : ( P ) ⊃ b, ( P ) / / a, M ∈ a . Vì bài toán có chân đường cao cho trước nên : Đưa Về bài toán tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên. ⊕ Thứ hai : Đáy của hình chóp là một hình thang rất hay , rất đặc biệt : từ đó dẫn đến đường chéo vuông góc với cạnh bên , là rút ngắn cách tính khoảng cách. 2 Lời giải tham khảo Ngô Tú Hoa và Thoa Nguyễn Câu 37: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang, AB = 2 a , AD = DC = CB = a . SA vuông góc với đáy và SA = 3a (minh họa hình dưới đây). https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1 NHÓM TOÁN VD – VDC đề khoảng cách này có lối mòn đối với học sinh thường dùng đó là cách 2 : NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 A. 3 a. 4 B. 3 a. 2 C. 3 13a . 13 D. 6 13 a 13 NHÓM TOÁN VD – VDC Gọi M là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng Lời giải Chọn A NHÓM TOÁN VD – VDC Cách 1. Ta có DM / / ( SBC ) ⇒ d ( DM , SB ) = d ( DM , ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) ) Ta có MA = MB = MD = MC = a Suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm M , đường kính AB . Suy ra tam giác ABC vuông tại C  BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAC )  BC ⊥ SA Như vậy ta có  Trong mặt phẳng ( SAC ) Dựng AH ⊥ SC tại H suy ra BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) Nên d ( A, ( SBC ) ) = AH https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2 NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 AC = AB 2 − BC 2 = a 3 ; SC = SA2 + AC 2 = 2 3a ⇒ AH = 1 3 d ( A, ( SBC ) ) = a 2 4 NHÓM TOÁN VD – VDC ⇒ d ( M , ( SBC ) ) = SA. AC 3 = a SC 2 Cách 2 Gọi I = AC ∩ DM , N là trung điểm của đoạn thẳng SA . Dễ dàng chứng minh được ( SBC ) // ( MND ) . ) ( ) ( NHÓM TOÁN VD – VDC ( ) Do đó, d ( SB, DM ) = d ( SBC ) , ( MND ) = d B, ( MND ) = d A , ( MND ) . Trong mp ( SAC ) kẻ AH ⊥ NI , mặt khác, ta chứng minh được MI ⊥ ( SAC ) nên suy ra: AH ⊥ ( MND ) và ( 1 1 1 3a = + 2 ⇒ AH = . 2 2 4 AH AN AI ) Vậy, d ( SB, DM ) = d A , ( MND ) = AH = 3a . 4 Hoặc Áp dụng công thức thể tích trong phần tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. ( ) ( ) d ( SB , DM ) = d ( SBC ) , ( MND ) = d M , ( SBC ) = II. 3V 1 3a d A , ( SBC ) = S. ABC = 2 SSBC 4 ( ) Ý TƯỞNG V HƯỚNG PHÁT TRIỂN =I 1. Ý tưởng 1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nằm trên hai mặt bên ,trong hình chóp có đường cao https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3 NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 Câu 1 Chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a 3 . Hình chiếu H của S trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm cạnh AB và SH = a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SC , MC .Tính khoảng NHÓM TOÁN VD – VDC cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AM , BN . A. 15a . 4 79 B. 2 237 . 79 C. 2 a 237 . 79 D. 15a 79 79 Lời giải Chọn C Do đó NHÓM TOÁN VD – VDC + Gọi E là trung điểm cạnh AC ; K là hình chiếu của N trên HC ⇒ NK / / SH . 8 ⇒ d ( AM ; BN ) = d ( A; ( BEN ) ) = d ( C ; ( BEN ) ) = d ( K ; ( BEN ) ) . 5 2 HC d ( C ; ( BEN ) ) CG 5 3 Vì = = = . 8 d ( K ; ( BEN ) ) KG  2 1   −  HC 3 4 KN CN 1 a + Ta có: = = ⇒ KN = . SH SC 4 4 + Gọi I là hình chiếu của K trên BE ⇒ IK / / EC IK GK 5 5a 3 . = = ⇒ KI = EC GC 8 8 8 8 KN .KI 8 Vậy d ( AM ; BN ) = d ( K ; ( BEN ) ) = = 5 5 KN 2 + KI 2 5 a 5 . .a 3 2a 237 4 8 = . 79 a 2 25 2 + .3a 16 64 2. Ý tưởng 2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình chóp có đường cao https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4 NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 Câu 2 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC đều và SA = AB = a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và SC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BN . a 13 . 13 B. a 13 . 3 C. a3 13 . 13 D. NHÓM TOÁN VD – VDC A. a 2 13 . 13 Lời giải Chọn A Gọi M ' là trung điểm SC ⇒ MM '/ / BN . Khi đó d ( AM , BN ) = d ( BN , ( AMM ' ) ) = d ( B, ( AMM ' ) ) = và S ∆ABM = 1 a SA = 4 4 NHÓM TOÁN VD – VDC Do SC = 4M ' C nên d ( M ', ( ABC ) ) = 3.VB. AMM ' . S ∆AMN 1 a2 3 a3 3 a 3 . Suy ra VM ' ABM = . Tính được AM = . S ∆ABC = 2 8 96 2 Theo công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác ta có MM ' = AM ' = 1 1 BC 2 + BS 2 SC 2 1 a 2 + 2a 2 2a 2 a BN = − = − = . 2 2 2 4 2 2 4 2 AN 2 + AC 2 NC 2 − = 2 4 a2 + a2 a 2 a 10 2 − = . 2 8 4 a3 3 a 13 a 2 39 . Vậy d ( AM , BN ) = 2 96 = = 13 32 a 39 32 3. Suy ra S ∆AMM ' https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5 NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 3. Ý tưởng 3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình lăng trụ đứng có đường cao cho trước và có giả thiết góc gữa mặt bên và mặt đáy NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC là tam giác vuông tại A . ' Biết AC = 2 3a , M là trung điểm của CC . Góc giữa mặt phẳng ( A′B′M ) và mặt đáy bằng 30 Khoảng cách giữa hai đương thẳng AB và B′M bằng. A. 2 3a . B. 4 3a C. 6a . D. 2 6a Lời giải Chọn A NHÓM TOÁN VD – VDC Ta có: C ′A′M = (( A ' B ′M ) , ( A ' B ′C ′)) = 30 ⇒ CC ′ = 4a ⇒ C ′M = A′ C ′ tan 30 = 2a Kẻ AN ⊥ AM ( N ∈ A′C ) . Gọi A′M ∩ AN = D . Khi đó : d ( B′M , AB ) = d ( A, ( A′B′M ) ) = AD = A′A2 = AN ( Do A′N = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 16a 2 = 2 3a . 16 2 2 16a + a 3 A′A.C ′M 4 3a = ) C ′A′ 3 Trang 6 NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 4. Ý tưởng 4 Câu 4 Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có AA ' = 2a, AB = a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm A ' B ' và A ' C ' . Tính khoảng cách giữa các đường thẳng AN và BM A. 4a 65 . 65 B. 14a 65 . 65 C. 4a 65 . 195 D. 12a 65 . 65 Lời giải NHÓM TOÁN VD – VDC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình lăng trụ tam giác đều là hình có đường cao cho trước. Đưa về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và được tính bằng phương pháp thể tích. Chọn A NHÓM TOÁN VD – VDC Gọi N ′ là trung điểm của BC , suy ra BM / / ( ANN ' ) Do đó d ( BM , AN ) = d ( BM , ( ANN ′ ) ) = d ( B, ( ANN ′ ) ) = Ta có: AN = AA′2 + A′N 2 = Suy ra S ∆ANN ′ = Ta có VB. ANN ′ = 3VB. ANN ′ S ∆ANN ′ a 17 a 3 a 17 , AN ′ = ; NN ' = BM = AN = 2 2 2 a 2 195 . 16 1 1 1 a 2 3 a3 3 AA′.S ABN ′ = .2a. . = 3 3 2 4 12 a3 3 4a 65 Vậy d ( BM ; AN ) = 2 12 = 65 a 195 16 3. https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7 NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 5. Ý tưởng 5 Phục dựng hình ẩn để tìm đường cao trong hình chóp, từ đó tính khoảng cách . NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 5 Cho hình chóp S . ABC có SA ⊥ AB, SB ⊥ BC , đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB, BC , biết d ( S , ( ABC ) ) = 2a . Tính khoảng cách giữa AM và SN . A. 3 10a 20 B. 3 10a 40 C. 3 5a 40 D. 3 5a 20 Lời giải Chọn B. ⇒ hình chiếu của M trên ( ABC ) là tâm tam giác đều ABC , nên gọi G là tâm tam 1 d ( S , ( ABC ) ) = a 2 Gọi E là trung điểm BN ⇒ ME / / SN giác thì MG ⊥ ( ABC ) và MG = 3 d ( G, ( AME ) ) . 2 MG.GF ⇒ d ( AM , SN ) = d ( SN , ( AME ) ) = d ( N , ( AME ) ) = Kẻ GF ⊥ AE , F ∈ AE ⇒ d ( G , ( AME ) ) = Ta có MG 2 + GF 2 GF GA a ⇒ d (G, ( AME )) = = ⇒ GF = EN EA 39 1 39 1 + 1 39 a= 1 a 2 10 3 1 3 10a ⇒ d ( AM , SN ) = . a= 2 2 10 40 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8 NHÓM TOÁN VD – VDC Từ giả thiết ta có hai tam giác vuông SAB và SBC chung cạnh huyền SB SB ⇒ MA = MB = = MC . 2 NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 6. Ý tưởng 6 Phục dựng hình ẩn để tìm đường cao trong bài toán tính khoảng cách mở rộng trong hình lăng trụ.. NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 6 Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B ′C ′ biết độ dài các cạnh bên 2 2a và B ′C = a 7 , B ′AB = 90 , AB = BC = a , BAC = 30 . Tính khoảng cách d (CC ′, AB ′) . A. a 21 . 3 B. a 21 . 7 C. a 7 . 7 D. a 21 . 5 Lời giải Chọn B Nên gọi H là hình chiếu của S trên mp ( ABC ) thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp △ ABC . Lại có △ ABC cân tại B, BAC = 30 ⇒ ABC = 120 ⇒ H là 1 đỉnh của hình thoi ABCH . △ AHB đều, nên kẻ HE ⊥ AB, E ∈ AB ⇒ EH = Và có SH = ( a 3 . 2 2 ) 2a − a 2 = a d ( AB ′, CC ′) = d (C ′, ( SAB )) = d ( H , ( SAB )) = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc SH .HE SH 2 + HE 2 = a 21 7 Trang 9 NHÓM TOÁN VD – VDC Tính được △BB ′C vuông tại C . Nên gọi S là trung điểm BB′ thì SA = SB = SC . NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 7. Ý tưởng 7 Phát triển bài toán giả thiết là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phục dựng đường cao để xác định giả thiết .Từ đó tính thể tích Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , SA = SB = a 2 , khoảng cách giữa hai đưởng thẳng AB và SC bằng a . Tính thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 3a 3 . 6 B. 2 3a 3 . 3 C. 2 6a 3 . 3 D. 6a3 . 3 Lời giải NHÓM TOÁN VD – VDC Câu 7 Chọn B S a 2 A a D M H 2a NHÓM TOÁN VD – VDC B N O C Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB . Ta có SA = SB = a 2 nên tam giác SAB cân tại S suy ra SM ⊥ AB . Gọi N là trung điểm đoạn thẳng CD suy ra MN ⊥ AB . Do đó AB ⊥ ( SMN ) mà AB ⊂ ( ABCD ) nên ( SMN ) ⊥ ( ABCD ) . Kẻ SH ⊥ MN ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) . Lại có SM = SA2 − AM 2 = SA2 − AB 2 = a ⇒ SM = AM = BM = a 4 hay tam giác SAB vuông cân tại S . Mặt khác lại có AB / / ( SCD ) . Nên d ( AB, SC ) = d ( A, ( SCD )) = d ( AB, ( SCD )) = d ( M , ( SCD )) = a = SM ⇒ SM ⊥ SN ⇒ SN = MN 2 − SM 2 = a 3 . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 Do đó SH .MN = SM .SN ⇔ SH = SM .SN a 3 và S ABCD = AB 2 = 4a 2 . = MN 2 8. Ý tưởng 8 Phát triển bài toán giả thiết là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phục dựng đường cao để xác định giả thiết .Từ đó tính thể tích Câu 8 Cho tứ diện ABCD , có AD = 3a, AB = 2a, BC = 4a, BD = 13a và DAC = 90 . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD bằng 3 10 a , tính thể tích của khối tứ 5 NHÓM TOÁN VD – VDC 1 1 a 3 2 3a 3 Vậy VS . ABCD = .SH .S ABCD = . . .4a 2 = 3 3 2 3 diện ABCD A. 6a3 . B. 6a3 . C. 2 6a3 . D. 2 3a3 . Lời giải Chọn B MỘT LÀ : phát triển Khôi phục hình ẩn là hình chóp có đáy là hình bình hành để sử dụng khoảng cách giữa cặp cạnh đáy và cạnh bên chéo nhau đưa về khoảng cách giữa một điểm thuận lợi trên cạnh đáy đến mặt bên. HAI LÀ : Sử dụng giả thiết tìm chân đường cao cho chóp D. ABC , triển khai giả thiết NHÓM TOÁN VD – VDC khoảng cách. Từ giả thiết ta có AD 2 + AB 2 = BD 2 ⇒ DA ⊥ AB ⇒ DA ⊥ ( ABC ) . Dựng hình bình hành ABEC có EC = AB = 2a . d ( AB, CD ) = d ( AB, (CDE )) = d ( A, (CDE )) . Kẻ AK ⊥ CE , AH ⊥ DK AH ⊥ ( DCE ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11 NHÓM TOÁN VD – VDC ⇒ d ( A, (CDE )) = AH = PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 DA. AK 2 DA + AK 2 ⇒ 3. AK 9 + AK 2 = 3a 10 ⇒ AK = a 6 5 9. Ý tưởng 9 Phát triển bài toán giả thiết là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Phục dựng đường cao để xác định giả thiết khoảng cách .Từ đó tính thể tích Câu 9 Cho tứ diện ABCD có AB = BD = AD = 2a, AC = 7 a , BC = 3a . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, CD bằng a , tính thể tích của khối tứ diện ABCD . A. 2a 3 6 . 3 B. 2a 3 2 . 3 C. 2a 3 6 . NHÓM TOÁN VD – VDC 1 1 ⇒ VABCD = .3a. .2a. 6a = 6a 3 3 2 D. 2a 3 2 . Lời giải Chọn B Cách 1. Xuất phát từ cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . NHÓM TOÁN VD – VDC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1 : Phục dựng đường cao để xác định được khoảng cách trong giả thiết Coi tứ diện là hình chóp D. ABC . Qua C kẻ tia Cx / / AB . Khi đó d ( AB, CD ) = d ( AB, (CD, Cx )) . Giả thiết DA = DB suy ra hình chiếu H của D trên đáy thuộc đường thẳng trung trực đoạn AB , đường thẳng này qua trung điểm M của AB và vuông góc với AB . Lại có AB 2 + BC 2 = AC 2 ⇒ AB ⊥ AC . https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12 NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 Nên qua M dựng MN / / BC , N ∈ Cx ⇒ H ∈ MN và CN ⊥ ( DMN ) . Trong ( DMN ) kẻ MI ⊥ DN ⇒ MI ⊥ ( DCN ) ⇒ MI = d ( M , ( DCN )) GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2 : Khai thác giả thiết khoảng cách đã xác định được , và giả thiết đặc biệt đưa về tam giác đặc biệt . Từ đó tính được đường cao . Ta có DM = 3 = MN nên △DMN cân đỉnh M ⇒ I là trung điểm DN ⇒ DN = 2 MN 2 − MI 2 = 2 2 ⇒ DH = MI .DN a.2 2a 2 2a = = MN 3a 3 NHÓM TOÁN VD – VDC Rõ ràng d ( AB, (CD, Cx )) = d ( M , ( DCN )) .Nên ta được MI = a . 1 1 2 2 2 2a 3 VABCD = DH .S ABC = . .2. 3a 3 = . 3 6 3 3 Cách 2. Phục dựng hình chóp đáy là hình bình hành hay các trường hợp đặc biệt của hình bình hành. NHÓM TOÁN VD – VDC ⊗ Hình quen : Chóp S . ABCD đáy ABCD là hình bình hành thì d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD )) = d ( M , ( SCD )) với bất kỳ điểm M ∈ AB . ⊗ Dấu hiệu : Từ giả thiêt các cạnh ta có được AB2 + BC 2 = AC 2 ⇒ AB ⊥ AC Nên có nửa hình chữ nhật ABC nên dựng hình chữ nhật ABCE Ta có chóp D . ABCE có đáy ABCE là hình chữ nhật . Khi đó a = d ( AB, CD ) = d ( AB, ( CED ) ) = d ( M , ( CED ) ) (Với M là trung điểm AB ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13 NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 Từ giả thiết DA = DB ta có được hình chiếu của D trên đáy thuộc mặt phẳng trung trực đoạn AB , mặt phẳng trung trực của AB cũng chính là mặt phẳng trung trực của CE ⇒ DE = DC . NHÓM TOÁN VD – VDC Gọi N là trung điểm CD ⇒ CE ⊥ ( DMN ) . Kẻ MI ⊥ DN ⇒ MI ⊥ ( DCE ) ⇒ MI = d ( M , ( DCE )) = a Đến đây bài toán được giải quyết. • 2 Lời giải. 2 AB + BC = AC 2 ⇒ AB ⊥ AC . Dựng hình chữ nhật ABCE . Do đó ta có hình chóp D . ABCE đáy hình chữ nhật ABCE . Nên a = d ( AB, CD ) = d ( AB, ( CED ) ) . Từ giả thiết DA = DB ta có được hình chiếu H của D trên đáy thuộc mặt phẳng trung trực đoạn AB và đó cũng chính là mặt phẳng trung trực của CE . Nên gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CE thì H ∈ MN ⇒ CE ⊥ ( DMN ) . Đến đây ta làm như cách 1. Cách 3. trụ là một cạnh của tứ diện và một đỉnh của tứ diện thuộc một cạnh bên khác. • Lời giải Từ giả thiết ⇒ AB ⊥ AC Dựng lăng trụ đứng AGF .BCE có 1 cạnh bên là AB và D là trung điểm EF ⇒ VAGF . BCE = 3.VABCD Khi đó, vì AB / / (CEFG ) ⇒ d ( AB, CD ) = d ( B, CE ) = BH = a với H ∈ CE , BH ⊥ CE https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14 NHÓM TOÁN VD – VDC Phục dựng hình lăng trụ đứng có hai mặt bên chứa hai mặt của tứ diện và một cạnh bên lăng NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH Đ THAM KH O – 2019-2020 1 2 2 3 Ta tính được BE = a 3 = BC ⇒ CE = 2 2a ⇒ S BCE = 2a 2 ⇒ VABCD = . AB.S BCE = a 3 3 NHÓM TOÁN VD – VDC NHÓM TOÁN VD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15 NHÓM TOÁN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 NHÓM TOÁN VD – VDC PHÂN TÍCH VÀ PHÁT TRIỂN CÂU 49 ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 Ngô Tú Hoa – Dung Ngô – Nguyễn Thị Hồng Gấm PHÂN TÍCH Ý TƯỞNG CÂU 49 ĐỀ THI THAM KHẢO Có hai Nội Dung trọng tâm của câu 49 đó là: Thể tích và Góc giữa hai mặt phẳng I. Phân tích về bài toán thể tích: Một bài toán thể tích kiểm tra được hai kỹ năng: + Thứ nhất là xác định và tính đường cao. + Thứ hai là tính diện tích đáy. Thì trong bài toán này khó khăn đó là đường cao: Phương của đường cao chưa có và giá trị của đường cao được cho ẩn trong giả thiết về góc giữa hai mặt phẳng. Khi đó, để giải bài toán này ta có thể dùng hai con đường: + Con đường 1 đi tìm và xác định đường cao của chóp đã cho bằng cách chọn ẩn là độ dài đường cao . Tìm ẩn qua giả thiết góc. Đó là cách làm 1 và 2 trong bài. + Con đường hai khi xác định góc giữa hai mặt phẳng , ta đã đưa yêu cầu tính thể tích về bài toán tính thể tích của hình dễ xác định đường cao : Đó là giao tuyến của hai mặt phẳng trong giả thiết góc. Khi đổi đường cao thì ta sẽ định hướng đáy mới theo đường cao này- Đó là cách 5 trong câu 49 này. II. Phân tích về bài toán góc giữa hai mặt phẳng : Trước hết là nhắc lại lý thuyết về góc giữa 2 mặt phẳng phân biệt P và Q cắt nhau: Gọi P , Q , 0 90 , ta đưa về góc giữa hai đường thẳng a và b như sau: a, b với a + Cách 1: Dùng định nghĩa : P + Cách 2: Xác định góc : P ,b Q Q d,O d a, b với O a, a P ,a d O b, b Q ,b d + Cách 3: Phương pháp khoảng cách : sin d M, Q d M,d + Cách 4: Công thức đa giác chiếu : cos ở đây P Q d, M P S . S Ở đây: S là diện tích đa giác của đa giác H nằm trên P https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1 N H Ó M T O Á N VD – VD C NHÓM TOÁN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 và S là diện tích của đa giác chiếu của đa giác H chiếu trên mp Q . + Cách 5: Phương pháp diện tích hai mặt: giả sử là góc giữa hai mặt ABC và ABD 2S VABCD .S 3 AB ABC ABD 3.VABCD . AB 2S ABC .S ABD sin .sin Chú ý : Khi gặp bài góc khó tìm : Ta có thể mở rộng mặt phẳng để góc cần tìm được nhìn thấy rõ ràng hơn,hoặc áp dụng mặt phẳng song song để đưa về góc giữa hai mặt phẳng dễ tìm hơn Tiếp theo Bài toán góc giữa hai mặt phẳng luôn là bài toán khó nhất trong các bài toán hình học không gian. Câu 49 trong đề thị tham khảo : Bộ đã đưa ra hai vấn đề khó thường gặp và kiểm tra kiến thức cơ bản về góc + Khó thứ nhất là cái khó chung của bài toán hình học không gian, là hình trong bài không có đường cao cho trước. + Khó thứ hai là cái khó riêng của bài toán góc giữa hai mặt phẳng. Ở đây câu 49 này còn kết hợp hết cái khó của bài toán góc: Cho góc giữa hai mặt bên vào giả thiết. Muốn giải quyết được bài toán này phải khai thác được giả thiết góc. Tuy nhiên đây đã là bài toán quen , ý tưởng không có gì mới. Nên chúng ta chỉ cần lần lượt giải quyết hai vấn đề trên. Và nắm vững cách xác định góc cơ bản. Giải quyết vấn đề 1: Tìm đường cao của hình : học sinh phải tìm đường cao bằng cách suy ra từ các quan hệ vuông góc giữa đường với đường để chứng mình được đường vuông góc với mặt, hay phục dựng hình ẩn để xác định đường cao. Giải quyết vấn đề 2: - Để khai thác được giả thiết góc ta thường làm : + Xác định được góc. Trong quá trình xác định góc phải tránh bẫy khi đưa về góc giữa hai đường thẳng cắt nhau nó là góc không tù. + Cần chọn ẩn ( Là chiều cao hay cạnh đáy nếu giả thiết chưa có) sau đó sử dụng giả thiết góc để tìm ẩn. - Và có thể sử dụng nhiều phương pháp khác ngoài hai cách truyền thống để tính góc giữa hai mặt phẳng - Ta đi chứng minh 1 công thức tính nhanh sau : Cho hình chóp S. ABCD có SA SA h, AB Gọi SBC , SDC Khi đó: cos a, AD ABCD ,đáy ABCD là hình chữ nhật , biết b. AB AD . SB SD . a h2 a2 . Đặc biệt khi ABCD là hình vuông thì cos https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc b h2 1 b2 a2 h2 a2 2 . Trang 2 N H Ó M T O Á N VD – VD C NHÓM TOÁN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 Thật vậy : Cách 1: S F E D A C B Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD , khi đó ta có AE   SBC  và AF   SDC  ,   SBC  ,  SDC     AE, AF    . do đó Khi đó cos = AE. AF  3 . AE. AF SA SB Ta có AE  AB.SA SB suy ra SE  SA2 SA2 AB 2 SB  AE  AB  AS SB 2 SB 2 SB 2 Tương tự , AF  suy ra SF  * và SE  AD.SA SD N H Ó M T O Á N VD – VD C 2 ** , SF  SA2 SD SA2 SA2 AD 2 SD  AF  AD  AS SD 2 SD 2 SD 2 Do đó AE. AF  AB 2 . AD 2 . AS 2 SB 2 .SD 2 *** . Thay * , ** , *** vào  3 ta được công thức 1 . Cho a  b ta được  2  . Cách 2: Gọi K là hình chiếu của D lên SC , khi đó sin   d  D,  SBC   DK  d  A,  SBC   DK AS 2 .SC 2 cos   1  2  SB .SD 2  SA 2  AE AS . AB SC AS .SC    DK SB SD.DC SB.SD SB 2 .SD 2  SA2  SA2  AB 2  AD 2  SB 2 .SD 2  AB 2  .  SA2  AD 2   SA2  SA2  AB 2  AD 2  2 SB .SD 2   AD. AB SD.SB Cách 3: PP Toạ độ hoá https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3 NHÓM TOÁN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 LỜI GIẢI CÂU 49 ĐỀ THI THAM KHẢO NĂM HỌC 2019-2020 Câu 49: [ ĐỀ THI THAM KHẢO - 2020 ] Cho khối chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB a, SBA SCA 90 , góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SAC  bằng 60 . Thể tích khối chóp đã cho bằng a3 B. . 3 3 A. a . a3 D. . 6 a3 C. . 2 Lời giải Chọn D Cách 1: N H Ó M T O Á N VD – VD C 1 a2 AB. AC  . 2 2 Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  . Ta có SABC   AB  SB  AB   SBD   AB  BD . Ta có   AB  SD Tương tự, ta có AC  CD  ABDC là hình vuông cạnh a . Đăt SD  x, x  0 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên SB  DH  DB.DS DB  DS 2 2  ax a  x2 2 .  DH  SB ax  DH   SAB   d  D,  SAB    DH  Ta có  . 2 2  DH  AB a x Lại có CD // AB  CD //  SAB   d  C,  SAB    d  D,  SAB    DH . SCA vuông tại C , có AC  a, SC  x2  a 2 . Kẻ CK  SA  CK  CA.CS CA2  CS 2  a. x 2  a 2 x 2  2a 2 Vì  SAB    SAC   SA  sin   SAB  ,  SAC    https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc . d  C ,  SAB   d  C , SA  DH CK Trang 4 NHÓM TOÁN VD – VDC PBM – PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD 4/2020 ax  sin 60  2 2 a 2  x 2  3  x x  2a  3 x 2  a 2 2 x2  a2 a x2  a2   2    4 x 2 x 2  2a 2  x  a . x 2  2a 2 1 a3  DH  a . Vậy VS . ABC  SABC .SD  . 3 6 Bình Luận cách 1: Đây là cách truyền thống cả trong bài tính thể tích và một phương pháp thường gặp trong bài toán góc giữa hai mặt bên : Đó là sử dụng khoảng cách trong bài toán góc giữa hai mặt phẳng. Cách 2: N H Ó M T O Á N VD – VD C Dựng hình vuông ABDC  SD   ABCD  . Đặt SD  x, x  0 . Kẻ DH  SB,  H  SB   DH   SAB  và DH  Kẻ DK  SC,  K  SC   DK   SAC  và DK  ax x a ax 2 2 x2  a2 . . Ta có SH SK SD 2 x2 x2 x2     HK // BD  HK  2 BD  2 .a 2 . SB SC SB 2 x 2  a 2 x  a2 x  a2 Ta có cos SAB , SAC 1   2 2 x2a2 2a 2 x 4  x2  a2 x2  a2  2 x2a2 x2  a2 cos HDK  DH 2 DK 2 HK 2 2 DH .DK 2  1 a2  2  x  a .  SD  a. 2 x  a2 1 a2 1 a3 Lại có SABC  AB. AC  . Vậy VS . ABC  SABC .SD  . 2 2 3 6 Bình Luận cách 2: Đây là cách truyền thống cả trong bài tính thể tích và một phương pháp thường gặp trong bài toán góc giữa hai mặt bên : Đó là tìm được hai đường mỗi đường vuông góc với một mặt. ( PP dùng định nghĩa) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5