Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
MỤC LỤC
NỘI DUNG
Trang
A – Mở đầu ............................................................................................................................. 1
B – Nội dung ........................................................................................................................... 2
Phần I: Tóm tắt lý thuyết ......................................................................................................... 2
Phần II: Các phương pháp giải các bài toán chia hết ................................................................ 4
1. Phương pháp sử dụng dấu hiệu chia hết ............................................................................... 4
2. Phương pháp sử dụng tính chất chia hết ............................................................................... 6
3. Phương pháp sử dụng xét tập hợp số dư trong phép chia ...................................................... 8
4. Phương pháp sử dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử ......................................... 10
5. Phương pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng ........................................... 11
6. Phương pháp quy nạp toán học ........................................................................................... 13
7. Phương pháp sử dụng đồng dư thức .................................................................................... 14
8. Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet .......................................................................... 16
9. Phương pháp phản chứng.................................................................................................... 18
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
http://baigiangtoanhoc.com
Tuyển tập chuyên đề toán 6
PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA
Cho 2 số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao
cho:
a = bq + r Với 0 r b
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.
Khi a chia cho b có thể xẩy ra b số dư
r {0; 1; 2; …; b}
Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.
Ký hiệu: ab hay b\ a
Vậy:
a b Có số nguyên q sao cho a = bq
II. CÁC TÍNH CHẤT
1. Với a 0 a a
2. Nếu a b và b c a c
3. Với a 0 0 a
4. Nếu a, b > 0 và a b ; b a a = b
5. Nếu a b và c bất kỳ ac b
6. Nếu a b (a) (b)
7. Với a a (1)
8. Nếu a b và c b a c b
9. Nếu a b và cb a c b
10. Nếu a + b c và a c b c
11. Nếu a b và n > 0 an b n
12. Nếu ac b và (a, b) =1 c b
13. Nếu a b, c b và m, n bất kỳ am + cn b
14. Nếu a b và c d ac bd
15. Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
III. MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT
Gọi N =
a n a n 1 ...a 1 a 0
1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
N 2 a0 2 a0{0; 2; 4; 6; 8}
N 5 a0 5 a0{0; 5}
N 4 (hoặc 25)
a1 a0 4 (hoặc 25)
N 8 (hoặc 125)
a2 a1 a0 8 (hoặc 125)
2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9
+ N 3 (hoặc 9) a0+a1+…+an 3 (hoặc 9)
3. Một số dấu hiệu khác
N 11 [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] 11
N 101 [( a1 a0 + a5 a4 +…) - ( a3 a2 + a7 a6 +…)]101
N 7 (hoặc 13) [( a2 a1 a0 +
a8a7 a6 +…) - [( a5a4 a3
+
a11a10a9 +…) 11 (hoặc
13)
N 37 ( a2 a1 a0 +
a5 a4 a3 +…) 37
N 19 ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0) 19
IV. ĐỒNG DƯ THỨC
a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cho cùng số dư khi chia cho
m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m.
Ký hiệu: a b (modun)
Vậy: a b (modun) a - b m
b. Các tính chất
1. Với a a a (modun)
2. Nếu a b (modun) b a (modun)
3. Nếu a b (modun), b c (modun) a c (modun)
4. Nếu a b (modun) và c d (modun) a+c b+d (modun)
5. Nếu a b (modun) và c d (modun) ac bd (modun)
6. Nếu a b (modun), d Uc (a, b) và (d, m) =1
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
a
b
(modun)
d
d
7. Nếu a b (modun), d > 0 và d Uc (a, b, m)
a
b
m
(modun
)
d
d
d
V. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ
1. Định lý Euler
Nếu m là 1 số nguyên dương (m) là số các số nguyên dương nhỏ hơn m và nguyên tố cùng
nhau với m, (a, m) = 1
Thì a(m) 1 (modun)
Công thức tính (m)
Phân tích m ra thừa số nguyên tố
m = p 11 p22 … pkk với pi p; i N*
Thì (m) = m(1 -
1
1
1
)(1 ) … (1 )
p1`
p2
pk
2. Định lý Fermat
Nếu t là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì ap-1 1 (modp)
3. Định lý Wilson
Nếu p là số nguyên tố thì
( P - 1)! + 1 0 (modp)
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT
1. Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT
Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b 45
Giải
Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1
để a56b 45 a56b 5 và 9
Xét a56b 5 b {0 ; 5}
Nếu b = 0 ta có số a56b 9 a + 5 + 6 + 0 9
a + 11 9
a=7
Nếu b = 5 ta có số a56b 9 a + 5 + 6 + 0 9
a + 16 9
a=2
Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560
a = 2 và b = 5 ta có số 2560
Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh răng số đó
chia hết cho 9.
Giải
Gọi số đã cho là a
Ta có: a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số dư
5a - a 9 4a 9 mà (4 ; 9) = 1
a 9 (Đpcm)
Ví dụ 3: CMR số
111
111
81
81 sè 1
Giải
Ta thấy: 111111111 9
Có
111
111
= 111111111(1072 + 1063 + … + 109 + 1)
81 sè 1
Mà tổng 1072 + 10 63 + … + 109 + 1 có tổng các chữ số bằng 9 9
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
1072 + 10 63 + … + 109 + 1 9
Vậy:
111
111
81 (Đpcm)
81 sè 1
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho
a. 34x5y
4 và 9
b. 2x78 17
Bài 2: Cho số N = dcba CMR
a. N 4 (a + 2b) 4
b. N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 với b chẵn
c. N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29
Bài 3: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó.
Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số A = 192021…7980. Hỏi số A
có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?
Bài 5: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?
Bài 6: Chứng tỏ rằng số
11
11
22
22
100 sè 1
là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.
100 sè 2
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: a. x =
và y = 2
x=
và y = 6
b. 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = 2
Bài 2: a. N4 ab 4 10b + a4 8b + (2b + a) 4
a + 2b4
b. N16 1000d + 100c + 10b + a16
(992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16
a + 2b + 4c + 8d16 với b chẵn
c. Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca 29
mà (1000, 29) =1
dbca 29
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
(d + 3c + 9b + 27a) 29
Bài 3: Gọi ab là số có 2 chữ số
Theo bài ra ta có:
ab = 10a + b = 2ab (1)
ab 2 b {0; 2; 4; 6; 8}
Thay vào (1) a = 3; b = 6
Bài 4: Có 1980 = 2 2.32.5.11
Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80 4 và 5
A 4 và 5
Tổng các số hàng lẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279
Tổng các số hàng chẵn 9+(0+1+…+9).6+0 = 279
Có 279 + 279 = 558 9 A 9
279 - 279 = 0 11 A 11
Bài 5: Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số lẻ nên không chia hết cho 2.
Có 46 số tự nhiên liên tiếp có 23 cặp số mỗi cặp có tổng là 1 số lẻ tổng 23 cặp không chia hết
cho 2. Vậy tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46.
Bài 6: Có
11
11
22
11
02
22
= 11
100
100 sè 1
Mà
100 sè 1
99 sè 0
100
02
34
= 3. 33
99 sè 0
100 sè 2
99 sè 3
11
11
22
33 33
34
22
= 33
100 sè 1
100 sè 2
100sè 3
(Đpcm)
99 sè 3
2. Phương pháp 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT
* Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n.
CMR: Gọi n là số nguyên liên tiếp
m + 1; m + 2; … m + n với m Z, n N*
Lấy n số nguyên liên tiếp trên chia cho n thì ta được tập hợp số dư là: {0; 1; 2; … n - 1}
* Nếu tồn tại 1 số dư là 0: giả sử m + i = nqi ; i = 1, n
m+in
* Nếu không tồn tại số dư là 0 không có số nguyên nào trong dãy chia hết cho n phải có ít
nhất 2 số dư trùng nhau.
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
m i nqi r
m j qjn r
1 i; j n
Giả sử:
i - j = n(qi - q j) n i - j n
mà i - j< n i - j = 0 i = j
m+i=m+j
Vậy trong n số đó có 1 số và chỉ 1 số đó chia hết cho n…
Ví dụ 1: CMR: a. Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2
b. Tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
Giải
a. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn
Số chẵn đó chia hết cho 2.
Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2.
Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2
b. Trong 3 sô nguyên liên tiếp bao giơ cũng có 1 số chia hết cho 3.
Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (1; 3) = 1.
Vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6.
Ví dụ 2: CMR: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9.
Giải
Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n - 1 , n , n+1
Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3
= 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9
= 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n
Ta thấy (n - 1)n (n + 1) 3 (CM Ví dụ 1)
3(n - 1)n (n + 1) 9
9 ( n 2 1) 9
mà
18 n 9
A 9 (ĐPCM)
Ví dụ 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 3 84 với n chẵn, n4
Giải
Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2
Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k
= đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2)
= đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1)
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
Với k 2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia hết cho 2
và 1 số chia hết cho 4. (k - 2)(k - 1)(k + 1)k 8
Mà (k - 2) (k - 1)k 3 ; (3,8)=1
(k - 2) (k - 1) (k + 1)k 24
16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k (16,24)
Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 với n chẵn, n 4
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: a. n(n + 1) (2n + 1) 6
b. n5 - 5n3 + 4n 120 Với n N
Bài 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 Với n Z
Bài 3: CMR: Với n lẻ thì
a. n2 + 4n + 3 8
b. n3 + 3n2 - n - 3 48
c. n12 - n8 - n4 + 1 512
Bài 4: Với p là số nguyên tố p > 3. CMR: p2 - 1 24
Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: a. n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)]
= n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) 6
b. n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n
= n(n2 - 1) (n2 - 4)
= n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) 120
Bài 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2
= n(n3 + 6n2 + 6 + 11n)
= n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 24
Bài 3: a. n2 + 4n + 3 = (n + 1) (n + 3) 8
b. n3 + 3n2 - n - 3 = n2(n + 3) - (n + 3)
= (n2 - 1) (n + 3)
= (n + 1) (n - 1) (n + 3)
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
= (2k + 4) (2k + 2) (2k với n = 2k + 1, k N)
= 8k(k + 1) (k +2) 48
c. n12 - n8 - n4 + 1 = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1)
= (n4 - 1) (n8 - 1)
= (n4 - 1)2 (n4 + 1)
= (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1)
= 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1)
Với n = 2k + 1 n2 + 1 và n4 + 1 là những số chẵn (n2 + 1)2 2
n4 + 1 2
n12 - n8 - n4 + 1 (24.22. 22. 1 . 21)
Vậy n12 - n8 - n4 + 1 512
Bài 4: Có p 2 - 1 = (p - 1) (p + 1) vì p là số nguyên tố p > 3
p 3 ta có: (p - 1) (p + 1) 8
và p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k N)
(p - 1) (p + 1) 3
Vậy p 2 - 1 24
Bài 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là
n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1)
trong 1000 tự nhiên liên tiếp n, n + 1; n + 2; …; n + 999
có 1 số chia hết cho 1000 giả sử n0, khi đó n0 có tận cùng là 3 chữ số 0 giả sử tổng các chữ số của
n0 là s khi đó 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99; n0 + 199; … n0 + 899 (2)
Có tổng các chữ số lần lượt là: s; s + 1 … ; s + 26
Có 1 số chia hết cho 27 (ĐPCM)
* Chú ý: n + 899 n + 999 + 899 < n + 1989
Các số ở (2) nằm trong dãy (1)
3. Phương pháp 3: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA
Ví dụ 1: CMR: Với n N
Thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho 6
Giải
Ta thấy 1 trong 2 thừa số n và 7n + 1 là số chẵn. Với n N A(n) 2
Ta chứng minh A(n) 3
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
Lấy n chia cho 3 ta được n = 3k + 1 (k N)
Với r {0; 1; 2}
Với r = 0 n = 3k n 3 A(n) 3
Với r = 1 n = 3k + 1 2n + 7 = 6k + 9 3 A(n) 3
Với r = 2 n = 3k + 2 7n + 1 = 21k + 15 3 A(n) 3
A(n) 3 với n mà (2, 3) = 1
Vậy A(n) 6 với n N
Ví dụ 2: CMR: Nếu n 3 thì A(n) = 3 2n + 3n + 1 13 Với n N
Giải
Vì n 3 n = 3k + r (k N); r {1; 2; 3}
A(n) = 3 2(3k + r) + 33k+r + 1
= 32r(3 6k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + 1
ta thấy 3 6k - 1 = (3 3)2k - 1 = (33 - 1)M = 26M 13
33k - 1 = (33 - 1)N = 26N 13
với r = 1 32n + 3 n + 1 = 32 + 3 +1 = 13 13
32n + 3 n + 1 13
với r = 2 32n + 3 n + 1 = 34 + 3 2 + 1 = 91 13
32n + 3 n + 1
Vậy với n 3 thì A(n) = 32n + 3n + 1 13 Với n N
Ví dụ 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2n - 1 7
Giải
Lấy n chia cho 3 ta có n = 3k + 1 (k N); r {0; 1; 2}
Với r = 0 n = 3k ta có
2n - 1 = 2 3k - 1 = 8k - 1 = (8 - 1)M = 7M 7
với r =1 n = 3k + 1 ta có:
2n - 1 = 2 8k +1 - 1 = 2.23k - 1 = 2(23k - 1) + 1
mà 23k - 1 7 2 n - 1 chia cho 7 dư 1
với r = 2 n = 3k + 2 ta có :
2n - 1 = 2 3k + 2 - 1 = 4(23k - 1) + 3
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
mà 23k - 1 7 2 n - 1 chia cho 7 dư 3
Vậy 2 3k - 1 7 n = 3k (k N)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) 5 Với n Z
Bài 2: Cho A = a1 + a2 + … + an
B = a51 + a52 + … + a5n
Bài 3: CMR: Nếu (n, 6) =1 thì n2 - 1 24 Với n Z
Bài 4: Tìm số tự nhiên W để 22n + 2n + 1 7
Bài 5: Cho 2 số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + 1 = n2
CMR: mn 55
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: + A(n) 6
+ Lấy n chia cho 5 n = 5q + r r {0; 1; 2; 3; 4}
r = 0 n 5 A(n) 5
r = 1, 4 n2 + 4 5 A(n) 5
r = 2; 3 n2 + 1 5 A(n) 5
A(n) 5 A(n) 30
Bài 2: Xét hiệu B - A = (a51 - a1) + … + (a5n - an)
Chỉ chứng minh: a5i - ai 30 là đủ
Bài 3: Vì (n, 6) =1 n = 6k + 1 (k N)
Với r {1}
r = 1 n2 - 1 24
Bài 4: Xét n = 3k + r (k N)
Với r {0; 1; 2}
Ta có: 22n + 2n + 1 = 2 2r(26k - 1) + 2r(2 3k - 1) + 22n + 2n + 1
Làm tương tự VD3
Bài 5: Có 24m4 + 1 = n2 = 25m4 - (m4 - 1)
Khi m 5 mn 5
Khi m 5 thì (m, 5) = 1 m4 - 1 5
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
(Vì m5 - m 5 (m4 - 1) 5 m4 - 1 5)
n2 5 n 5
Vậy mn 5
4. Phương pháp 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ
Giả sử chứng minh an k
Ta có thể phân tích an chứa thừa số k hoặc phân tích thành các thừa số mà các thừa số đó
chia hết cho các thừa số của k.
Ví dụ 1: CMR: 36n - 26n 35 Với n N
Giải
6n
6n
6 n
6 n
6
6
Ta có 3 - 2 = (3 ) - (2 ) = (3 - 2 )M
= (3 3 + 23) (33 - 2 3)M
= 35.19M 35 Vậy 36n - 26n 35 Với n N
Ví dụ 2: CMR: Với n là số tự nhiên chăn thì biểu thức
A = 20 n + 16n - 3n - 1 232
Giải
Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = 1 ta chứng minh
A 17 và A 19 ta có A = (20 n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M 17M
16 n - 1 = (16 + 1)M = 17N 17 (n chẵn)
A 17 (1)
ta có: A = (20n - 1) + (16 n - 3 n)
có 20n - 1 = (20 - 1)p = 19p 19
có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q 19 (n chẵn)
A 19 (2)
Từ (1) và (2) A 232
Ví dụ 3: CMR: nn - n2 + n - 1 (n - 1)2 Với n >1
Giải
n
2
Với n = 2 n - n + n - 1 = 1
và (n - 1)2 = (2 - 1)2 = 1
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
nn - n2 + n - 1 (n - 1)2
với n > 2 đặt A = nn - n2 + n - 1 ta có A = (nn - n2) + (n - 1)
= n2(nn-2 - 1) + (n - 1)
= n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1)
= (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1)
= (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)]
= (n - 1)2M (n - 1)2
Vậy A (n - 1)2 (ĐPCM)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: a. 32n +1 + 22n +2 7
b. mn(m4 - n4) 30
Bài 2: CMR: A(n) = 3n + 63 72 với n chẵn n N, n 2
Bài 3: Cho a và b là 2 số chính phương lẻ liên tiếp
CMR: a. (a - 1) (b - 1) 192
Bài 4: CMR: Với p là 1 số nguyên tố p > 5 thì p4 - 1 240
Bài 5: Cho 3 số nguyên dương a, b, c và thoả mãn a2 = b 2 + c2
CMR: abc 60
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
2n +1
2n +2
2n
Bài 1: a. 3
+2
= 3.3 + 2.2
n
n
= 3.9 + 4.2
= 3(7 + 2)n + 4.2 n
n
= 7M + 7.2n 7
b. mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) 30
Bài 3: Có 72 = 9.8 mà (8, 9) = 1 và n = 2k (k N)
có 3 n + 63 = 32k + 63
= (3 2k - 1) + 64 A(n) 8
Bài 4: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k N)
Ta có (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) 64 và 3
Bài 5: Có 60 = 3.4.5 Đặt M = abc
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3 a2, b2 và c2 chia hết cho 3 đều dư 1 a2 b2 + c2.
Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M 3
Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5 a2, b2 và c2 chia 5 dư 1 hoặc 4 b 2 + c2 chia 5 thì
dư 2; 0 hoặc 3.
a2 b2 + c2. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5. Vậy M 5
Nếu a, b, c là các số lẻ b2 và c2 chia hết cho 4 dư 1.
b2 + c2 (mod 4) a2 b 2 + c2
Do đó 1 trong 2 số a, b phải là số chẵn.
Giả sử b là số chẵn
Nếu C là số chẵn M 4
Nếu C là số lẻ mà a2 = b 2 + c2 a là số lẻ
2
b
a c a c
b2 = (a - c) (a + b)
2
2 2
b
chẵn b 4 m 4
2
Vậy M = abc 3.4.5 = 60
5. Phương pháp 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG
Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi
hạng tử đều chia hết cho k.
Ví dụ 1: CMR: n3 + 11n 6 với n z.
Giải
3
3
2
Ta có n + 11n = n - n + 12n = n(n - 1) + 12n
= n(n + 1) (n - 1) + 12n
Vì n, n - 1; n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp
n(n + 1) (n - 1) 6 và 12n 6
Vậy n3 + 11n 6
Ví dụ 2: Cho a, b z thoả mãn (16a +17b) (17a +16b) 11
CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121
Giải
Có 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) 11
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
16a 17b11
(1)
17a 16b11
Có 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) 11 (2)
16a 17b11
Từ (1) và (2)
17a 16b11
Vậy (16a +17b) (17a +16b) 121
Ví dụ 3: Tìm n N sao cho P = (n + 5)(n + 6) 6n.
Giải
2
Ta có P = (n + 5)(n + 6) = n + 11n + 30
= 12n + n2 - n + 30
Vì 12n 6n nên để P 6n n2 - n + 30 6n
n2 - n 6
n(n - 1) 3 (1)
30 6n
30 n (2)
Từ (1) n = 3k hoặc n = 3k + 1 (k N)
Từ (2) n {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
Vậy từ (1); (2) n {1; 3; 6; 10; 15; 30}
Thay các giá trị của n vào P ta có
n {1; 3; 10; 30} là thoả mãn
Vậy n {1; 3; 10; 15; 30} thì P = (n + 5)(n + 6) 6n.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 7 3 23
Bài 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 24
Bài 3: CMR: a. 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 59
b. 9 2n + 14 5
Bài 4: Tìm n N sao cho n3 - 8n2 + 2n n2 + 1
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
3
3
3
3
3
3
Bài 1: 1 + 3 + 5 + 7 = (1 + 7 ) + (33 + 53)
= 8m + 8N 2 3
Bài 2: 36 2 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
Ta thấy n và 3n + 5 không đồng thời cùng chẵn hoặc cùng lẻ
n(3n + 5) 2 ĐPCM
Bài 3: a. 5n+2 + 26.5 n + 8 2n+1
= 5 n(25 + 26) + 8 2n+1
= 5 n(59 - 8) + 8.64 n
= 5n.59 + 8.59m 59
b. 9 2n + 14 = 9 2n - 1 + 15
= (81n - 1) + 15
= 80m + 15 5
Bài 4: Có n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + 8 (n2 + 1) n + 8 n2 + 1
Nếu n + 8 = 0 n = -8 (thoả mãn)
Nếu n + 8 0 n + 8 n2 + 1
n 8 -n 2 1 Víi n 8 n 2 n 9 0 Víi n 8
2
2
n
8
n
1
Víi
n
8
n n 7 0 Víi n 8
n {-2; 0; 2} thử lại
Vậy n {-8; 0; 2}
6. Phương pháp 6: DÙNG QUY NẠP TOÁN HỌC
Giả sử CM A(n) P với n a (1)
Bước 1: Ta CM (1) đúng với n = a tức là CM A(n) P
Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là CM A(k) P với k a
Ta CM (1) đúng với n = k + 1 tức là phải CM A(k+1) P
Bước 3: Kết luận A(n) P với n a
Ví dụ 1: Chứng minh A(n) = 16 n - 15n - 1 225 với n N*
Giải
Với n = 1 A(n) = 225 225 vậy n = 1 đúng
Giả sử n = k 1 nghĩa là A(k) = 16 k - 15k - 1 225
Ta phải CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1 225
Thật vậy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 1
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
= 16.16 k - 15k - 16
= (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15
= 16k - 15k - 1 + 15.15m
= A(k) + 225
mà A(k) 225 (giả thiết quy nạp)
225m 225
Vậy A(n) 225
n
Ví dụ 2: CMR: với n N* và n là số tự nhiên lẻ ta có
m 2 1 2 n 2
Giải
Với n = 1 m2 - 1 = (m + 1)(m - 1) 8 (vì m + 1; m - 1 là 2 số chẵn liên tiếp nên tích của chúng
chia hết cho 8)
k
Giả sử với n = k ta có
m2
k 1
m 2 1 2 k 2
ta phải chứng minh
1 2 k 3
k
k
Thật vậy
2
k2
m 2 1 2 k 2 m 1 2 .q
(q z )
k
m 2 2 k 2.q 1
có
m2
k 1
1 2
1 m2
=
k
2
k2
2
.q 1 1 2 k 4.q 2 2 k 3.q
2 k 3 ( 2 k 1 q 2 q ) 2 k 3
n
Vậy
m 2 1 2 n 2
với n 1
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: 33n+3 - 26n - 27 29 với n 1
Bài 2: CMR: 42n+2 - 1 15
Bài 3: CMR số được thành lập bởi 3n chữ số giống nhau thì chia hết cho 3n với n là số nguyên
dương.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: Tương tự ví dụ 1.
Bài 2: Tương tự ví dụ 1.
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
Bài 3: Ta cần CM
a
a .. .a
3
n
sè a
3n (1)
1 1 1a 3
Với n = 1 ta có a a . . . a
Giả sử (1) đúng với n = k tức là
aa
...a
3
k
3k
sèa
Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là phải chứng minh
aa
...a
3
k 1
3k+1 ta có 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k +3 k
sè a
2 .3 k
a . . . a a
. . . a a
. . . a a
. . .a a a . ..a . 1 0
Có a
3 k 1 sè a
3k
k
3k
a a ...a .1 0
3k
3k
3k
k
aa
...
a 102.3 103 1 3k1
3k
7. Phương pháp 7: SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC
Giải bài toán dựa vào đồng dư thức chủ yếu là sử dụng định lý Euler và định lý Fermat
Ví dụ 1: CMR: 22225555 + 55552222 7
Giải
Có 2222 - 4 (mod 7) 22225555 + 55552222 (- 4)5555 + 45555 (mod 7)
Lại có: (- 4)5555 + 4 2222 = - 45555 + 42222
= - 42222 (43333 - 1) = - 4 2222 4 3
3
Vì 4 3 = 64 (mod 7) 4
1111
Vậy 22225555 + 55552222 7
24 n1
4 n1
33
1111
522 với n N
Giải
Theo định lý Fermat ta có:
310 1 (mod 11)
210 1 (mod 11)
Ta tìm dư trong phép chia là 24n+1 và 34n+1 cho 10
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
1
1 0 (mod 7)
22225555 + 55552222 0 (mod 7)
Ví dụ 2: CMR: 3
a
. . .a
Tuyển tập chuyên đề toán 6
http://baigiangtoanhoc.com
Có 24n+1 = 2.16n 2 (mod 10)
24n+1 = 10q + 2 (q N)
Có 34n+1 = 3.81n 3 (mod 10)
34n+1 = 10k + 3 (k N)
32
Ta có:
4 n 1
4 n 1
33
5 310q2 210k 3
= 32.3 10q + 2 3.2 10k + 5
1+0+1 (mod 2)
0 (mod 2)
mà (2, 11) = 1
Vậy
24 n 1
3
5 22 với n N
34 n 1
3
4 n 1
22
Ví dụ 3: CMR:
7 11 với n N
Giải
4
Ta có: 2 6 (mod) 2
2
4n+1
2 (mod 10)
= 10q + 2 (q N)
4 n1
4n+1
22
210q2
Theo định lý Fermat ta có: 2 10 1 (mod 11)
210q 1 (mod 11)
22
4 n1
7 210q2 7
4+7 (mod 11) 0 (mod 11)
4 n 1
Vậy
22
7 11 với n N (ĐPCM)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
6 n 2
Bài 1: CMR
22
319
với n N
Bài 2: CMR với n 1 ta có
52n-1. 2 2n-15n+1 + 3 n+1 .22n-1 38
Bài 3: Cho số p > 3, p (P)
CMR 3 p - 2 p - 1 42p
Bài 4: CMR với mọi số nguyên tố p đều có dạng
2n - n (n N) chia hết cho p.
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: Làm tương tự như VD3
Trung tâm gia sư VIP – http://giasuvip.net
Hotline: 0989189380
- Xem thêm -
.PDF 
25 
343 
78 
