Tài liệu Bài giảng cơ học đại cương

§¹i häc ®µ n½ng Tr−êng ®¹i häc B¸ch KHOA khoa s− ph¹m kü thuËt -------¶ ·------- bµi gi¶ng c¬ häc ®¹i c−¬ng - MÐcanique gÐnÐrale (C¥ Häc vËt r¾n – dao ®éng vµ sãng c¬) dïng cho sinh viªn ch−¬ng tr×nh ®µo t¹o kü s− chÊt l−îng cao (L¦U HµNH NéI Bé) Biªn so¹n : L£ CUNG - Khoa s− ph¹m kü thuËt ®µ n¨ng 2006 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông PHÁÖN I : CÅ HOÜC VÁÛT RÀÕN Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Chæång än táûp: MÄÜT SÄÚ KHAÏI NIÃÛM VAÌ ÂËNH LYÏ CÅ BAÍN CUÍA ÂÄÜNG HOÜC VAÌ ÂÄÜNG LÆÛC HOÜC HÃÛ CHÁÚT §1. Håüp váûn täúc - Håüp gia täúc : Xeït hãû quy chiãúu (R2) chuyãøn âäüng tæång âäúi so våïi hãû quy G G G G G G chiãúu (R1). Goüi (O1 ; ex1 , e y1 , ez1 ) vaì (O2 ; ex 2 , e y 2 , ez 2 ) laì hai hãû toüa âäü Descartes láön læåüt gàõn liãön våïi (R1) vaì (R2). 1) Chuyãøn âäüng tæång âäúi cuía hai hãû quy chiãúu : a) Veïctå quay : G Vectå quay Ω R 2 / R1 cuía hãû quy chiãúu (R2) âäúi våïi hãû quy ez2 ez1 ( R2 ) O2 ( R1 ) O1 chiãúu (R1) : ex2 ey2 G G G G : ey1 Ω R2/R1 = Ω x 2 .ex 2 + Ω y 2 .ey 2 + Ω z 2 .ez 2 våïi G G ⎛ de y 2 ⎞ Suy ra : Ω x 2 (t ) = ez 2 .⎜ ex1 ⎟ dt ⎝ ⎠ / R1 G G G ⎛ dex 2 ⎞ ⎜ ⎟ = Ω R 2 / R1 × ex 2 ⎝ dt ⎠ / R1 G G G ⎛ dey 2 ⎞ G G ⎛ dez 2 ⎞ = Ω Ω y 2 (t ) = e x 2 . ⎜ R 2 / R1 × e y 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ dt ⎠ / R1 ⎝ dt ⎠/ R1 G G G G G ⎛ dex 2 ⎞ ⎛ dez 2 ⎞ = Ω Ω z 2 (t ) = e y 2 . ⎜ R 2 / R1 × ez 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ dt ⎠ / R1 ⎝ dt ⎠ / R1 G Vectå Ω R 2 / R1 âàûc træng cho chuyãøn âäüng quay cuía hãû (R2) âäúi våïi hãû (R1) vaì âæåüc goüi laì vectå quay keïo theo. b) Træåìng håüp (R2) chuyãøn âäüng tënh tiãún tæång âäúi so våïi (R1) : G Ta coï : Ω R 2 / R1 = 0 G G G ⎛ dey 2 ⎞ de ⎛ dex 2 ⎞ ⎛ z2 ⎞ ⇒ ⎟ = 0; ⎜ ⎟ =0 ⎜ ⎟ =0 ; ⎜ ⎝ dt ⎠ / R1 ⎝ dt ⎠ / R1 ⎝ dt ⎠ / R1 z2 z1 ( R2 ) O2 ( R1 ) O1 x2 y1 x1 y2 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) G G PFIEV Âaì nàông G ⇒ Caïc veïctå ex 2 , ey 2 , ez 2 vaì moüi vectå gàõn liãön våïi hãû quy chiãúu (R2) âãöu laì khäng âäøi trong hãû quy chiãúu (R1). JJJJJG ⎛ ⎞ âàûc træng cho chuyãøn âäüng tënh tiãún cuía hãû (R ) so våïi hãû (R ). G dO 1O2 Váûn täúc v (O ) = ⎜ 2 1 ⎟ 2 / R1 dt ⎝ ⎠ / R1 b) Træåìng håüp hãû (R2) quay tæång âäúi xung quanh mäüt truûc cäú âënh cuía hãû (R1): Giaí sæí hãû quy chiãúu (R2) quay xung quanh truûc cäú âënh (O1z1) cuía hãû quy chiãúu (R1) vaì giaí sæí O1 = O2, hai truûc (O1z1) vaì (O2z2) z1= z2 G truìng nhau. Ω R 2 / R1 Vectå quay cuía hãû quy chiãúu (R2) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R1) : G G Ω R2/R1 = θ.ez1 O1 = O2 JJJG JJJG JJJG JJJG Trong âoï : θ = (Ox1 , Ox 2 ) = (Oy1 , Oy 2 ) θ θ b) Træåìng håüp täøng quaït : Trong træåìng håüp täøng quaït, chuyãøn âäüng tæång âäúi cuía hãû (R2) x1 x2 cuía so våïi hãû (R1) coï thãø xem laì håüp cuía hai chuyãøn âäüng : JJJJJG ⎛ dO1O2 ⎞ G • Chuyãøn âäüng tënh tiãún våïi váûn täúc : v (O2 ) / R1 = ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ / R1 G • Chuyãøn âäüng quay våïi vectå quay Ω R2/R1 coï phæång chiãöu thay âäøi theo thåìi gian. y2 y1 2) Âaûo haìm cuía mäüt vectå trong hãû (R1) vaì trong hãû (R2): G G G G Xeït mäüt veïctå U (t ) phuû thuäüc vaìo thåìi gian t vaì âæåüc mä taí trong cå såí (ex 2 , e y 2 , ez 2 ) cuía hãû (R2) G G G G U (t ) = U x 2 .ex 2 + U y 2 .ey 2 + U z 2 .ez 2 G G dU y 2 G ⎛ dU ⎞ dU x 2 G dU z 2 G Âaûo haìm cuía U (t ) trong hãû (R2) : .ex 2 + .ey 2 + .ez 2 ⎜ ⎟ = dt dt dt ⎝ dt ⎠ / R 2 G G G G G ⎛ dU ⎞ ⎛ dU ⎞ Âaûo haìm cuía U (t ) trong hãû (R1) : U = + Ω × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ R 2 / R1 ⎝ dt ⎠ / R1 ⎝ dt ⎠ / R 2 nhæ sau : 3) Håüp váûn täúc : Xeït hãû quy chiãúu (R2) chuyãøn âäüng tæång âäúi so våïi hãû quy chiãúu (R1). Xeït mäüt âiãøm M chuyãøn JJJJJG ⎛ dO2 M ⎞ G G âäüng våïi váûn täúc v ( M ) / R 2 trong hãû quy chiãúu (R2): v ( M ) / R = ⎜ ⎟ vaì chuyãøn âäüng våïi 2 ⎝ dt ⎠ / R 2 JJJJJG ⎛ dO1M ⎞ G G váûn täúc v ( M ) / R1 trong hãû quy chiãúu (R1) : v ( M ) / R = ⎜ ⎟ 1 ⎝ dt ⎠ / R 1 G G G Âënh lyï håüp váûn täúc : v (M )/ R1 = ve (M ) + v (M )/ R 2 JJJJJG JJJJJG G G ⎛ dO1O2 ⎞ G G Trong âoï : ve ( M ) = v (O2 ) / R1 + Ω R 2 / R1 × O2 M ; v (O2 ) / R = ⎜ ⎟ 1 ⎝ dt ⎠ / R 1 G ve ( M ) âæåüc goüi laì váûn täúc theo cuía âiãøm M. 4 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông G Váûn täúc theo ve ( M ) cuía âiãøm M, taûi thåìi âiãøm âang xeït, chênh laì váûn täúc trong hãû (R1) cuía âiãøm M* gàõn liãön våïi hãû (R2) vaì taûi thåìi âiãøm âang xeït M* truìng våïi âiãøm M. M* goüi laì truìng âiãøm G G cuía M taûi thåìi âiãøm noïi trãn : ve ( M ) = v ( M *) / R1 4) Håüp gia täúc : Xeït hãû quy chiãúu (R2) chuyãøn âäüng tæång âäúi so våïi hãû quy chiãúu (R1). Xeït mäüt âiãøm M chuyãøn G âäüng trong hãû quy chiãúu (R2) våïi gia täúc a ( M ) / R 2 vaì trong hãû quy chiãúu (R1) våïi gia täúc G a ( M ) / R1 . G G G G Âënh lyï håüp gia täúc : a ( M ) / R1 = ae ( M ) + aC ( M ) + a ( M ) / R 2 Trong âoï : G JJJJJG G JJJJJG G ⎛ d ΩR 2 / R1 ⎞ G G ae (M ) = a (O2 ) R1 + ⎜ ⎟ × O2 M + ΩR 2 / R1 × (ΩR 2 / R1 × O2 M ) ⎝ dt ⎠/ R1 G ae ( M ) âæåüc goüi laì gia täúc theo cuía âiãøm M. G Gia täúc theo ae ( M ) cuía âiãøm M, taûi thåìi âiãøm âang xeït, chênh laì gia täúc trong hãû (R1) cuía truìng G G âiãøm M* cuía âiãøm M taûi thåìi âiãøm noïi trãn : ae ( M ) = a ( M *) / R1 G G G Vaì : aC ( M ) = 2Ω R 2 / R1 × v ( M ) / R 2 G aC ( M ) âæåüc goüi laì gia täúc Coriolis cuía âiãøm M. 5) Caïc træåìng håüp chuyãøn âäüng âàûc biãût cuía (R2) âäúi våïi (R1): a) Hãû (R2) chuyãøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû (R1) : G Ta coï : ΩR2/ R1 = 0 G G ve (M ) = v(O2 )/ R1 G G ae (M ) = a(O2 )/ R1 G aC (M ) = 0 Do âoï : H G ΩR2/R1 b) Hãû (R2) quay quanh mäüt truûc cäú âënh cuía (R1) : Giaí sæí hãû quy chiãúu (R2) quay xung quanh truûc cäú âënh (O1z1) cuía hãû quy chiãúu (R1) vaì giaí sæí O1 = O2, hai truûc (O1z1) vaì (O2z2) truìng nhau. Vectå quay cuía hãû quy chiãúu (R2) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R1) : z1= z2 O1 = O2 x1 M = M* y2 θ θ y1 x2 G G Ω R2/R1 = θ.ez1 Trong træåìng håüp naìy, ta coï : G (do O2 cäú âënh trong R1) v (O2 ) / R1 = 0 JJJJG G G ve ( M ) = θ.ez1 × HM G (do O2 cäú âënh trong R1) a (O2 ) / R1 = 0 JJJJG JJJJ G G G ae ( M ) = θ.ez1 × HM − θ 2 .HM Trong âoï : H laì hçnh chiãúu cuía M trãn truûc quay Oz1 = Oz2 . G G G JJJJG • Ghi chuï : Gia täúc ae ( M ) gäöm hai thaình pháön : Thaình pháön aτ = θ.ez1 × HM vuäng goïc våïi G JJJJG HM (gia täúc tiãúp tuyãún) vaì thaình pháön an = −θ .HM hæåïng tæì M vãö H (gia täúc hæåïng tám). 2 5 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông §2. Khäúê læåüng vaì khäúi tám cuía hãû cháút - Hãû quy chiãúu khäúi tám : 2) Khäúi læåüng cuía hãû : • Xeït mäüt hãû cháút (S) gäöm n cháút âiãøm Mi khäúi læåüng mi. Khäúi læåüng m cuía hãû (S) : m = ∑ mi (dV) M i (V) • Nãúu hãû (S) laì mäüt táûp håüp vä haûn caïc cháút âiãøm phán bäú liãn tuûc trong thãø têch V, khäúi læåüng m cuía hãû: m = ∫∫∫ ρ ( M ).dV V Våïi : ρ(Μ) laì khäúi læåüng riãng cuía phán täú thãø têch dV cuía hãû bao quanh âiãøm M (khäúi læåüng cuía phán täú dV: dm = ρ ( M ).dV ). • Hãû goüi laì âäöng nháút nãúu nhæ khäúi læåüng riãng ρ = hàòng säú vaì khäng phuû thuäüc vaìo âiãøm M. 2) Khäúi tám (Quaïn tám) : Xeït mäüt hãû kên (S) (khäng trao âäøi cháút våïi mäi træåìng ngoaìi bao quanh hãû) gäöm n cháút âiãøm Mi coï khäúi læåüng mi. Goüi O laì mäüt âiãøm báút kyì. Khäúi tám G cuía hãû (S) âæåüc xaïc âënh båíi : JJJJJG JJJK våïi : m = ∑ mi m.OG = ∑ mi .OM i i JJJJJG Nãúu choün O åí G: O ≡ G thç : ∑ mi .GM i = 0 i i Ghi chuï : • Giaí sæí hãû (S) bao gäöm tæì hai hãû (S1) vaì (S2) láön læåüt coï khäúi tám laì G1 vaì G2, coï khäúi læåüng laì m1 vaì m2, khäúi tám chung G cuía hãû (S) âæåüc xaïc âënh båíi : JJJJG JJJJG JJJK ( m1 + m2 ).OG = m1 .OG1 + m2 .OG2 • Khi mäüt hãû laì âäöng nháút vaì coï mäüt pháön tæí âäúi xæïng (màût âäúi xæïng, truûc âäúi xæïng..), khäúi tám G cuía hãû seî nàòm trãn pháön tæí âäúi xæïng naìy. 3) Hãû quy chiãúu khäúi tám: Chuyãøn âäüng cuía hãû cháút (S) âæåüc nghiãn cæïu trong hãû quy chiãúu (R). Hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), tæång æïng våïi hãû quy chiãúu (R), laì hãû quy chiãúu gàõn liãön våïi khäúi G tám G cuía hãû cháút (S) vaì chuyãøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) våïi váûn täúc v (G ) / R . Khi âoï, theo âënh lyï håüp váûn täúc vaì håüp gia täúc, ta coï: z G G G v ( M ) / R = v (G ) / R + v ( M ) * G G våïi : v ( M )* = v ( M ) / R* G G G a ( M ) / R = a (G ) / R + a ( M ) * G G våïi : a ( M )* = a ( M ) / R* Chæïng minh: Do hãû (R*) chuyãøn âäüng tënh tiãún trong hãû (R), nãn: G G G G G ve (M ) = v (G)/ R ; ae ( M ) = a (G ) / R ; aC ( M ) = 0 z (R) (R*) G x y O y x 6 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông G G G v (M )/ R = ve (M ) + v (M )/ R* G G G v ( M ) / R = v (G ) / R + v ( M ) * G G G G a ( M ) / R = ae ( M ) + aC ( M ) + a ( M ) / R* G G G a ( M ) / R = a (G ) / R + a ( M ) * Thãú maì: ⇒ Vaì : ⇒ §3. Âäüng læåüng vaì momen âäüng læåüng cuía mäüt hãû cháút: 1) Âäüng læåüng : a) Âënh nghéa : G Xeït hãû (S) gäöm n cháút âiãøm Mi coï khäúi læåüng mi , coï váûn täúc vi trong hãû quy chiãúu (R). G Âäüng læåüng P cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu (R) : G G P = ∑ mi .vi i Cuîng coï thãø viãút: JJJJJG JJJJJG ⎞ d JJJG G d OM i d ⎛ P = ∑ mi = ⎜ ∑ mi OM i ⎟ = mOG dt dt ⎝ i i ⎠ dt G G ⇒ P = mv . (G) våïi : m = ∑ mi ( ) i b) Âäüng læåüng trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) : Trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), khäúi tám G laì âiãøm cäú âënh ⇒ Váûn täúc cuía khäúi tám G trong G hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) : vG(G)* = 0 ⇒ Âäüng læåüng P * cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu khäúi G G tám (R*) : P* = m.v (G )* = 0 2) Momen âäüng læåüng : a) Âënh nghéa : G Xeït mäüt hãû (S) gäöm n cháút âiãøm Mi coï khäúi læåüng mi, coï váûn täúc vi trong hãû quy chiãúu (R). G Momen âäüng læåüng L0 cuía hãû (S) âäúi våïi mäüt âiãøm O trong hãû quy chiãúu (R) : JJJJJG G G L0 = ∑ OM i × mi vi i b) Âënh lyï Koenig vãö momen âäüng læåüng : G • Momen âäüng læåüng L0 cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm O trong hãû quy chiãúu (R) : G JJJG G G L0 = OG × mv (G ) + LG * G våïi : LG * : Momen âäüng læåüng cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm G trong hãû quy chiãúu (R*); G laì khäúi G tám cuía hãû; v (G) : Váûn täúc cuía khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R). G • Suy ra, momen âäüng læåüng LG cuía hãû (S) âäúi våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R) : JJJG G G G G G LG = GG × mv (G ) + LG * ⇒ LG = LG * 3) Mämen âäüng læåüng khäúi tám: Momen âäüng læåüng cuía mäüt hãû (S) trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) khäng phuû thuäüc vaìo âiãøm tênh toaïn. 7 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông G Tháût váûy, goüi A laì mäüt âiãøm báút kyì, LA * laì momen âäüng læåüng cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm A trong G* hãû quy chiãúu (R*), vi laì váûn täúc cuía âiãøm Mi trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), ta coï: JJJJJG JJJG JJJJJG JJJJJG G G G JJJG G G LA * = ∑ AM i × mi vi* = ∑ AG + GM i × mi vi* = AG × ∑ mi vi* + ∑ GM i × mi vi* i i i G i G G G * Suy ra: LA* = LG * Båíi vç: P* = ∑ mi vi = 0 ( ) ( ( ) ( ) ) i 4) Momen âäüng læåüng âäúi våïi mäüt truûc : G Hçnh chiãúu cuía momen âäüng læåüng L0 cuía hãû cháút (S) âäúi våïi âiãøm O, trãn truûc ∆ âi qua O âæåüc goüi laì momen âäüng læåüng cuía hãû (S) âäúi våïi truûc ∆. G G G L∆ = L0 .e∆ våïi : e∆ veïctå âån vë cuía truûc ∆ §4. Täøng âäüng læûc vaì mämen âäüng læûc cuía mäüt hãû cháút : 1) Täøng âäüng læûc: G Xeït hãû (S) gäöm n cháút âiãøm Mi coï khäúi læåüng mi , coï gia täúc ai trong hãû quy chiãúu (R). G • Täøng âäüng læûc S cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu (R): G G S = ∑ mi ai i • Tæång tæû nhæ âäüng læåüng, ta coï: G G S = ma (G) våïi : m = ∑ mi i G G dv d G d G G Chæïng minh: S = ∑ mi i = ⎛⎜ ∑ mi vi ⎞⎟ = ( mvG ) = ma (G ) dt dt ⎝ i i ⎠ dt G G G G dP • Giæîa täøng âäüng læûc S vaì âäüng læåüng P coï hãû thæïc: S = dt 2) Momen âäüng læûc:G • Momen âäüng læûc DO cuía hãû (S) âäúi våïi mäüt âiãøm O trong hãû quy chiãúu (R): JJJJJG G G DO = ∑OMi × ma i i i âäüng læåüng, cuîng coï âënh lyï Koenig vãö momen âäüng læûc: • Tæång tæû momen JJJG G G G DO = OG × ma (G ) + DG* G DG* : momen âäüng læûc cuía hãû (S) âäúi våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*); G laì khäúi G tám cuía hãû, a (G ) laì gia täúc cuía khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R). G • Suy ra momen âäüng læûc DG cuía hãû cháút (S) âäúi våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R) : G G JJJG G G G DG = GG × ma (G ) + DG * ⇒ DG = DG * . • Tæång tæû momen âäüng læåüng, momen âäüng læûc âäúi våïi hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) khäng phuû thuäüc vaìo âiãøm tênh toaïn. Nãúu goüi A laì mäüt âiãøm báút kyì, ta coï: G G DA* = DG* G G G dLO G G G • Giæîa DO vaì LO ta coï hãû thæïc: = DO − v(O) × mv(G) dt 8 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông G dLO G Nãúu O laì mäüt âiãøm cäú âënh trong (R) hay O ≡ G thç: = DO dt Chæïng minh: G JJJJJG JJJJJG dL d G G G G G Ta coï: O = ⎛⎜ ∑ OM i × mi vi ⎞⎟ = ∑ ( vi − v (O) ) ×mi vi + ∑ OM i × mi ai dt dt ⎝ i i ⎠ i G G G G dL G G G G Thãú maì: vi × vi = 0 vaì ∑ mi vi = mv (G ) , nãn : O = D0 − v (O ) × mv (G ) dt i G G dL Nãúu O cäú âënh trong R hay O ≡ G , säú haûng thæï hai cuía vãú phaíi bàòng 0, vaì: O = D0 dt §5. Âäüng nàng cuía mäüt hãû cháút : 1) Âënh nghéa : G Âäüng nàng cuía hãû (S) gäöm n cháút âiãøm Mi, coï khäúi læåüng mi chuyãøn âäüng våïi váûn täúc vi trong hãû 1 EK = ∑ mi vi2 i 2 quy chiãúu (R) : 2) Âënh lyï Koenig vãö âäüng nàng : Âäüng nàng cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu (R) : 1 EK = mv(G ) 2 + EK * våïi : m = ∑ mi 2 i Våïi : EK * : Âäüng nàng cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*). Chæïng minh: 1 2 1 2 (G G Ta coï: EK = ∑ mi vi2 = ∑ mi v (G ) + vi* ) i i ) 2 1 G G 1 G = mv (G ) 2 + Ek* + 2v (G )∑ mi vi* 2 i 2 G 1 G Thãú maì: P* = ∑ mi vi* = 0 , nãn: EK = mv(G )2 + EK * 2 i §6. Mäüt säú âënh lyï cå baín cuía âäüng læûc hoüc hãû cháút : 1) Âënh lyï vãö täøng âäüng læûc (hay âënh lyï vãö âäüng læåüng) : G •G Trong hãû quy chiãúu Galileïe (Rg), täøng âäüng læûc S cuía mäüt hãû cháút kheïp kên (S) bàòng täøng G G F ext cuía táút caí caïc ngoaûi læûc taïc duûng lãn hãû: S = F ext G • Trong hãû quy chiãúu Galileïe (Rg), âaûo haìm theo thåìi gian cuía täøng âäüng læåüng PG cuía mäüt hãû G ext dP G ext cháút kheïp kên (S) bàòng täøng F cuía táút caí caïc ngoaûi læûc taïc duûng lãn hãû : =F dt G G G dP G Nhæ váûy ta coï: = S = ma(G) = F ext dt 2) Âënh lyï vãö momen âäüng læûc (hay âënh lyï vãö momen âäüng læåüng): G • Trong hãû quy chiãúu Galileïe (Rg), momen âäüng læûc DO cuía mäüt hãû cháút kheïp kên (S) âäúi våïi G G G âiãøm O bàòng momen M O ( F ext ) âäúi våïi âiãøm O cuía täøng F ext cuía táút caí caïc ngoaûi læûc taïc duûng lãn G G G DO = M O ( F ext ) hãû: 9 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông G • Trong hãû quy chiãúu Galileïe (Rg), âaûo haìm theo thåìi gian cuía momen âäüng læûåüng LO cuía mäüt G G hãû cháút (S) kheïp kên âäúi våïi âiãøm O cäú âënh trong (Rg) bàòng momen M O ( F ext ) âäúi våïi âiãøm O G G ext G G dLO G cuía täøng F cuía táút caí ngoaûi læûc taïc duûng lãn hãû: = DO = MO (F ext ) dt (Våïi O laì âiãøm cäú âënh trong (Rg)). G G dLO G G Tháût váûy, ta coï: = DO − v(O) × mv(G) våïi O laì mäüt âiãøm báút kyì. Khi O laì âiãøm cäú âënh dt G G G G G dLO G dLO G trong Rg, ta coï: v(O) = 0 , do âoï: = DO . Tæì âoï suy ra: = DO = MO (F ext ) dt dt Ghi chuï: • Træåìng håüp O khäng phaíi laì âiãøm cäú âënh trong (Rg), nhæng O truìng våïi âiãøm G, ta cuîng coï: G G G ⎛ dLG ⎞ G v(O) × mv(G) = 0 , do âoï: ⎜ ⎟ = DG ⇒ Âënh lyï vãö momen âäüng læåüng váùn nghiãûm âuïng: dt ⎝ ⎠ G G G ext ⎛ dLG ⎞ G ⎜ ⎟ = DG = MG (F ) (màût dáöu G khäng cäú âënh trong hãû (Rg)). ⎝ dt ⎠ G G* G G G • Do DG = DG* vaì LG = LG våïi LG : momen âäüng læåüng cuía hãû (S) âäúi våïi âiãøm G trong hãû quy G* chiãúu (Rg), LG : momen âäüng læåüng cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu (R*). G G ⎛ dLG * ⎞ ⎛ dLG * ⎞ Màûc khaïc, do (R*) chuyãøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi (Rg), nãn : ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠Rg ⎝ dt ⎠R* G G G G ext ⎛ dLG * ⎞ Suy ra: ⎜ ⎟ = DG* = MG (F ) ⎝ dt ⎠R* Nhæ váûy âënh lyï vãö momen âäüng læåüng coï thãø váûn duûng cho âiãøm G trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) (màûc dáöu hãû quy chiãúu (R*) coï thãø khäng phaíi laì hãû quy chiãúu Galileïe). 3) Âënh lyï vãö momen âäüng læåüng âäúi våïi mäüt truûc cäú âënh: Trong hãû quy chiãúu Galileïe Rg, âaûo haìm theo thåìi gian cuía momen âäüng læåüng L∆ cuía mäüt hãû G cháút (S) kheïp kên âäúi våïi mäüt truûc ∆ cäú âënh trong (Rg) bàòng momen M∆ (Fext ) âäúi våïi truûc ∆ G cuía täøng F ext cuía táút caí caïc ngoaûi læûc taïc duûng lãn hãû: G dL∆ = M∆ (F ext ) dt • GTháût váûy, chiãúu âënh lyï vãö momen âäüng læåüng âäúi våïi âiãøm O cäú âënh trãn truûc ∆ cuía hãû (S): G dL dLO G G ext = MO (F ) lãn truûc ∆ , suy ra: ∆ = M∆ (F ext ) dt dt 4) Âënh lyï vãö âäüng nàng : • Âaûo haìm theo thåìi gian cuía âäüng nàng cuía mäüt hãû cháút (S) kheïp kên trong hãû quy chiãúu Galileïe (Rg) bàòng täøng cäng suáút cuía táút caí caïc näüi læûc vaì ngoaûi læûc taïc duûng lãn hãû (S). 10 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Ge Gi Xeït mäüt hãû (S) kheïp kên gäöm n cháút âiãøm Mi coï khäúi læåüng mi. Goüi Fi vaì Fi laì ngoaûi læûc vaì näüi G læûc taïc duûng lãn cháút âiãøm thæï i cuía hãû (S). vi laì váûn täúc trong (Rg) cuía cháút âiãøm thæï i. Goüi EK laì âäüng nàng cuía hãû (S) trong (Rg). G G G G dEK Ta coï : = ∑ Fi i .vi + ∑ Fi e .vi dt i i • Âäü biãún thiãún âäüng nàng ∆EK cuía mäüt hãû cháút kheïp kên trong hãû quy chiãúu Galileïe (Rg) trong mäüt khoaíng thåìi gian (t0,t) naìo âoï bàòng täøng cäng cuía táút caí caïc ngoaûi læûc vaì näüi læûc sinh ra trong chuyãøn dåìi tæång æïng våïi khoaíng thåìi gian âoï: ∆EK (t0 , t ) = Ek (t ) − Ek (t0 ) = Wext + Wint Våïi: Wext laì cäng cuía caïc ngoaûi læûc, Wint laì cäng cuía táút caí caïc näüi læûc uïng våïi chuyãøn dåìi noïi trãn. 11 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Chæång 1 : CHUYÃØN ÂÄÜNG CUÍA VÁÛT RÀÕN G F §1. Váût ràõn trong cå hoüc : 1) Khaïi niãûm vãö váût ràõn : Trong cå hoüc, váût ràõn laì mäüt váût thãø khäng biãún daûng : Khoaíng caïch giæîa hai âiãøm báút kyì cuía váût ràõn khäng âäøi theo thåìi gian. gäúi tæûa dáöm kim loaûi Khaïi niãûm váût thãø khäng biãún daûng chè laì mäüt mä hçnh. Vç váûy, mäüt tåì giáúy Hçnh 1 moíng træåüt trãn màût baìn vaì khäng bë biãún daûng váùn coï thãø xem nhæ laì mäüt váût JG ràõn. Trong khi âoï mäüt dáöm kim loaûi âàût trãn hai gäúi tæûa vaì chëu læûc F khaï låïn, seî bë biãún daûng khaï nhiãöu trong quïa trçnh chëu læûc ⇒ trong træåìng håüp naìy, khäng thãø coi dáöm laì váût ràõn. 2) Hãû quy chiãúu gàõn liãön våïi váût ràõn : z Xeït mäüt váût ràõn (S) coï daûng hçnh vaình troìn, tám C, chuyãøn âäüng trong màût phàóng thàóng âæïng trãn màût âáút nàòm ngang, trong hãû quy G G G chiãúu traïi âáút R (O; ex ; e y ; ez ) . Âiãøm C, tám (R) cuía vaình troìn, cuîng coï thãø xem nhæ laì mäüt âiãøm thuäüc váût ràõn, màûc âáöu taûi C khäng coï váût cháút, båíi vç khi vaình troìn chuyãøn âäüng, âiãøm C cuîng chuyãøn âäüng cuìng våïi vaình troìn. Täøng quaït hån, moüi âiãøm trong khäng gian (màûc dáöu taûi âoï khäng coï váût cháút), liãn kãút chàût cheî våïi (S) vaì chuyãøn âäüng cuìng våïi (S) cuîng coï thãø xem laì caïc âiãøm thuäüc váût ràõn (S). Nhæ váûy nãúu gàõn cæïng trãn váût ràõn (S) mäüt hãû G G G quy chiãúu RS (C ; exS ; e yS ; ezS ) (1) liãn kãút chàût ⊕ zS (RS) Gθ exs M C y = yS xS x O Hçnh 2 zS z (S ) γ ( RS ) yS OS (R) α xS β y cheî våïi váût ràõn vaì chuyãøn âäüng cuìng våïi váût G ràõn. Khi âoï, chuyãøn âäüng cuía váût ràõn (S) trong exs hãû quy chiãúu (R) coï thãø xem nhæ tæång âæång Hçnh 3 våïi chuyãøn âäüng cuía hãû quy chiãúu (RS) so våïi x hãû quy chiãúu (R). 3) Thäng säú cáön thiãút âãø mä taí chuyãøn âäüng cuía váût ràõn : • Âäúi våïi mäüt hãû cháút âiãøm (S) gäöm n cháút âiãøm Mi. Âãø mä taí chuyãøn âäüng cuía hãû (S) trong hãû quy chiãúu(R), cáön phaíi biãút 3n thäng säú (våïi mäùi cháút âiãøm cáön biãút ba toüa âäü x, y, z cuía noï). 1 G G G G G O G Caïc hãû toaû âäü (O; ex ; e y ; ex ) vaì (C ; ex ; e y ; ez ) laì caïc hãû toüa âäü De scartes S S S 12 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông • Tuy nhiãn, âãø mä taí chuyãøn âäüng cuía váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R), chè cáön biãút nhiãöu nháút laì 6 thäng säú, nhàòm mä taí chuyãøn âäüng cuía hãû quy chiãúu (RS) gàõn liãön våïi váût ràõn âäúi våïi hãû quy chiãúu (R): + Ba thäng säú âãø xaïc âënh vë trê cuía gäúc OS cuía hãû quy chiãúu (RS) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) : ba toüa âäü xOS, yOS, zOS cuía âiãøm OS trong hãû (R) G + Ba thäng säú (ba goïc) âãø xaïc âënh phæång chiãöu cuía vectå âån vë exS cuía hãû (RS) âäúi våïi hãû (R): α, β, γ • Trong træåìng håüp chuyãøn âäüng cuía váût ràõn âæåüc dáùn hæåïng båíi mäüt säú raìng buäüc, säú thäng säú cáön thiãút âãø mä taí chuyãøn âäüng cuía váût ràõn coï thãø < 6. Vê duû, vaình troìn chuyãøn âäüng trong màût phàóng thàóng âæïng vaì luän tiãúp xuïc våïi màût âáút nàòm ngang ⇒ chè cáön hai thäng säú âãø mä taí chuyãøn âäüng cuía váût ràõn trong hãû quy chiãúu (R) (Hçnh 2): + Hoaình âäü x cuía tám C cuía vaình troìn trong hãû (R) G + Goïc θ xaïc âënh phæång chiãöu cuía veïctå âån vë exS cuía hãû (RS) trong (R). §2. Træåìng váûn täúc : 1) Quan hãû váûn täúc vaì gia täúc : Xeït mäüt váût ràõn (S) chuyãøn âäüng trong hãû quy chiãúu (R). Goüi (RS) laì hãû quy chiãúu gàõn liãön våïi váût ràõn (S) vaì coï gäúc P, våïi P laì mäüt âiãøm cäú âënh trãn (S). K @ Goüi v ( M ) / R laì váûn täúc cuía âiãøm M thuäüc váût ràõn zS z ( RS ) ( S ) P °M yS (R) xS (S) trong hãû quy chiãúu (R). AÏp duûng âënh lyï håüp váûn O K K K täúc : v ( M ) / R = ve ( M ) + v ( M ) / RS y K Hçnh 4 våïi : ve ( M ) : váûn täúc theo cuía âiãøm M. K v ( M ) / RS : váûn täúc cuía âiãøm M trong hãû quy x K chiãúu (RS) (Âiãøm M cäú âënh trong hãû quy chiãúu (RS) : v ( M ) / RS = 0 ) K Goüi Ω RS / R laì veïctå quay tæïc thåìi cuía váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R) (veïctå quay cuía hãû quy chiãúu (RS) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R)) JJJJK K K K K ⇒ v ( M ) / R = ve ( M ) = v ( P) / R + Ω RS / R × PM K JJJJK K K Viãút goün laûi, ta coï : v ( M ) = v ( P ) + Ω × PM (1) K Nhæ váûy, khi biãút váûn täúc cuía mäüt âiãøm P vaì vectå quay tæïc thåìi Ω cuía váût ràõn (S) ⇒ coï thãø xaïc âënh váûn täúc cuía mäüt âiãøm M báút kyì thuäüc váût ràõn (S) theo biãøu thæïc (1). G @ Tæång tæû, goüi a ( M ) / R laì gia täúc cuía âiãøm M thuäüc váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R). AÏp duûng âënh lyï håüp gia täúc : G G G G a ( M ) / R = ae ( M ) + aC ( M ) + a ( M ) / RS G våïi : ae ( M ) laì gia täúc theo cuía âiãøm M : G JJJJG G d Ω RS / R JJJJG G G G ae ( M ) = a ( P) R + × PM + Ω RS / R × (Ω RS / R × PM ) dt G aC ( M ) laì gia täúc Coriolis : 13 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông G G G G aC (M ) = 2.ΩRS / R × v (M )/ R s = 0 do v (M )/ R s = 0 G a ( M ) / RS : gia täúc cuía âiãøm M trong hãû quy chiãúu (RS) (Âiãøm M cäú âënh trong hãû quy G chiãúu (RS) : a ( M ) / RS = 0 ) G G JJJJG G G d Ω JJJJG G (2) Viãút goün laûi, ta coï : a ( M ) = a ( P) + × PM + Ω × (Ω × PM ) dt K Nhæ váûy, khi biãút gia täúc cuía mäüt âiãøm P, vectå quay tæïc thåìi Ω (coìn goüi laì vectå váûn täúc goïc tæïc G dΩ thåìi) vaì vectå gia täúc goïc tæïc thåìi cuía váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R) ⇒ coï thãø xaïc âënh dt gia täúc cuía mäüt âiãøm M báút kyì thuäüc váût ràõn (S) theo biãøu thæïc (2). 2) Caïc træåìng håüp âån giaín : a) Váût ràõn (S) chuyãøn âäüng tënh tiãún : K Nãúu váût ràõn S chuyãøn âäüng tënh tiãún trong (R) ⇒ Ω = 0 K K K v ( M ) = v ( P) = v (t ) ⇒ z (R) O Váûn täúc cuía moüi âiãøm M trãn váût ràõn taûi thåìi âiãøm t cho træåïc âãöu bàòng nhau. K G dv K K Tæång tæû cho gia täúc : a ( M ) = a ( P ) = = a (t ) dt b) Váût ràõn (S) quay xung quanh mäüt truûc Oz cäú âënh trong (R): Xeït váût ràõn (S) quay xung quanh truûc Oz cäú âënh trong G G G hãû quy chiãúu R(O; ex ; ey ; ez ) . Gàõn cæïng våïi váût ràõn mäüt y Hçnh 5 x G Ω ( R) hãû quy chiãúu RS (O; xS , yS , zS ) nhæ hçnh 6 våïi Oz = OzS. Goüi θ laì goïc quay cuía váût ràõn (S) quanh truûc Oz (goïc quay cuía hãû quy chiãúu (RS) xung quanh truûc Oz cuía hãû quy chiãúu (R)). JJK K Veïctå quay cuía váût ràõn (S) trong (R): Ω = θ(t ).ez (S ) θ Mäùi âiãøm M cuía váût ràõn vaûch nãn mäüt quyî âaûo hçnh troìn, x xS coï truûc laì Oz. Trong hãû toüa âäü truû, vë trê cuía M âæåüc xaïc âënh bàònJJJJ g :G G G (r vaì z khäng phuû thuäüc vaìo t) OM = r.er + z.ez z = zS G ez H r °M z O G eθ G er ( RS ) yS θ y Hçnh 6 @ Váûn täúc cuía âiãøm M trong (R) : JJJJG K JJJJK K JJJJK K JJJJK 2 ⎛ dOM ⎞ G K v (M ) = ⎜ ⎟ = v (O ) + Ω × OM = Ω × OM = Ω × HM ( ) ⎝ dt ⎠ / R JJK K ⇒ v ( M ) = r.θ.eθ K Vectå v ( M ) vuäng goïc våïi HM vaì hæåïng theo chiãöu chuyãøn âäüng cuía (S) trong hãû quy chiãúu R. 2 K G K JJJJK G O vaì M laì hai âiãøm thuäüc váût ràõn nãn : v ( M ) = v (O ) + Ω × OM ; Ο cäú âënh trong R nãn v (O ) = 0 14 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông @ Gia täúc cuía âiãøm M trong (R) : G G K JJK ⎛ d (r.θ.eθ ) ⎞ G de ⎛ d (v ( M )) ⎞ ⎛ θ ⎞   a(M ) = ⎜ ⎟ = r.θ .⎜ ⎟ =⎜ ⎟ + r.θ .eθ dt dt ⎝ ⎠/ R ⎝ ⎝ dt ⎠ / R ⎠/ R G G G G våïi : ⎛⎜ deθ ⎞⎟ = ⎛⎜ deθ ⎞⎟ + Ω × eGθ = Ω × eGθ = θeGz × eGθ = −θeGr (3) ⎝ dt ⎠ / R ⎝ dt ⎠ / RS K JK JK J G d (v ( M )) ⎞ 2  ⇒ a ( M ) = ⎛⎜ ⎟ = − r.θ .er + r.θ .eθ dt ⎝ ⎠/ R G @ Ghi chuï : Gia täúc a ( M ) cuía âiãøm M coï thãø phán thaình hai thaình pháön : Thaình pháön JK JJK G G an ( M ) = − r.θ 2 .er hæåïng tæì M vãö H (goüi laì gia täúc hæåïng tám) vaì thaình pháön at ( M ) = r.θ.eθ vuäng goïc våïi HM (gia täúc tiãúp tuyãún). 3) Váût ràõn quay xung quanh truûc coï phæång khäng âäøi trong (R): a) Vê duû 1 : Chuyãøn âäüng cuía thanh truyãön : Xeït cå cáúu tay quay- con træåüt nhæ hçnh 7î, duìng âãø biãún chuyãøn âäüng quay cuía kháu OA thaình chuyãøn âäüng tënh tiãún cuía con træåüt B vaì ngæåüc laûi. Haîy nghiãn cæïu chuyãøn âäüng cuía thanh truyãön AB coï khäúi tám laì G. Âãø nghiãn cæïu chuyãøn âäüng cuía thanh truyãön AB, ⊕ y G G G ta xeït thãm hãû quy chiãúu khäúi tám R * (G; ex , e y , ez ) y tæång æïng våïi hãû quy chiãúu (R). A ( R*) @ Trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), thanh truyãön ( R) AB quay xung quanh truûc Gz cäú âënh. Goüi M laì M G mäüt âiãøm báút kyì cuía thanh truyãön AB, ta coï : θ K JJJJK z K K v ( M )* = v (G ) * +Ω * ×GM : K K O våïi : v ( M ) * vaì v (G ) * laì váûn täúc cuía M vaì G B K trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), Ω * laì Hçnh 7 vectå quay tæïc thåìi cuía thanh truyãön AB JJK K trong hãû (R*) : Ω* = θ (t ).ez K JJJJK K K Do khäúi tám G cäú âënh trong hãû (R*) ⇒ v (G )* = 0 ⇒ v ( M )* = Ω * ×GM x x Sæí duûng âënh lyï håüp váûn täúc, trong hãû quy chiãúu (R), ta coï : K K K v ( M ) = ve ( M ) + v ( M ) * Hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) chuyãøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) K K ⇒ ve ( M ) = v (G ) K JJJJK K K ⇒ v ( M ) = v (G ) + Ω * ×GM (1) K @ Màûc khaïc, goüi Ω laì vectå quay tæïc thåìi cuía thanh truyãön AB trong hãû (R), ta coï : K JJJJK K K (2) v ( M ) = v (G ) + Ω × GM 3 G Chuï yï ràòng trong RS, eθ G de ⎛ θ ⎞ khäng âäøi nãn ⎜ ⎟ =0 ⎝ dt ⎠ / RS 15 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông JJK K K Ω* = Ω = θ(t ).ez Tæì (1) vaì (2), suy ra : Veïctå quay tæïc thåìi cuía váût ràõn laì nhæ nhau trong hai hãû quy chiãúu (R) vaì (R*). Måí räüng ra, veïctå quay tæïc thåìi cuía váût ràõn laì nhæ nhau trong caïc hãû quy chiãúu chuyãøn âäüng tënh tiãún tæång âäúi âäúi våïi nhau. @ Ghi chuï: Chuyãøn âäüng cuía thanh truyãön AB trong hãû quy chiãúu (R) coï thãø xem nhæ håüp cuía hai chuyãøn âäüng: • Chuyãøn âäüng tënh tiãún cuìng våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R). • Chuyãøn âäüng quay xung quanh mäüt truûc Gz âi qua khäúi tám G trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) (Truûc Gz cäú âënh trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*)). b) Vê duû 2 : Chuyãøn âäüng cuía mäüt baïnh xe : @ Xeït mäüt baïnh xe, coi nhæ mäüt âéa troìn, baïn kênh b, tám C, chuyãøn âäüng trong màût phàóng thàóng âæïng trãn màût âáút nàòm ngang cäú âënh trong hãû quy chiãúu (R) (Hçnh 8). Goüi I laì âiãøm tiãúp xuïc cuía baïnh xe vaì màût âáút taûi thåìi âiãøm t. Taûi chäù tiãúp xuïc I vaìo thåìi âiãøm t, cáön phán biãût ba âiãøm khaïc nhau: • Âiãøm IS cuía màût âáút, cäú âënh trong (R). • Âiãøm IR cuía baïnh xe. Do baïnh xe làn ⇒ taûi mäüt thåìi âiãøm sau âoï IR khäng coìn nàòm trãn màût âáút næîa. • Âiãøm hçnh hoüc I xaïc âënh vë trê tiãúp xuïc. Hçnh 8 y ⊕ G : Ω = θeG z ∆x y taûi t + ∆t ⊕ taûi t y (R) M C’ C θ (R*) : Hçnh 9 taûi t + δt x Ω.dt taûi t ( R) b JR z : O JS = J x I = IR = IS x G Ω C’ C z : O x I (∆) Taûi thåìi âiãøm t, ba âiãøm IS, IR vaì I coï váûn täúc khaïc nhau trong (R) : K v (IS ) = 0 K K v ( I ) = v (C ) , båíi vç I vaì C luän luän nàòm trãn cuìng mäüt âæåìng thàóng âæïng. K K JJK K K v ( I R ) = v (C ) + Ω × CI våïi : Ω laì veïctå quay cuía baïnh xe trong (R). K K Váûn täúc v ( I R ) = vg âæåüc goüi laì váûn täúc træåüt cuía baïnh xe trãn màût âáút (nhåï ràòng màût âáút laì cäú K âënh trong R). Ta tháúy vg nàòm theo phæång tiãúp tuyãún chung taûi I giæîa baïnh xe vaì màût dáút. K K @ Baïnh xe âæåüc goüi laì làn khäng træåüt nãúu nhæ : vg = v ( I R ) = 0 . 16 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Khi baïnh xe làn khäng træåüt trãn màût âáút, taûi thåìi âiãøm t âang xeït, âiãøm IR cuía baïnh xe tiãúp xuïc våïi màût âáút coï váûn täúc bàòng khäng ⇒ Khi baïnh xe làn khäng træåüt trãn màût âáút, giæîa hai thåìi âiãøm t vaì t + dt ráút gáön nhau baïnh xe coï thãø xem nhæ chuyãøn âäüng quay tæïc thåìi xung quanh mäüt K truûc ∆ âi I vaì song song våïi Ω . Truûc ∆ âæåüc goüi laì truûc quay tæïc thåìi cuía baïnh xe (4) (Hçnh 9). @ Chuyãøn âäüng cuía baïnh xe coï thãø xem nhæ håüp cuía hai chuyãøn âäüng : JJJG G G G G + Chuyãøn âäüng tënh tiãún cuìng våïi khäúi tám C ( OC = x.ex + b.e y ) våïi váûn täúc laì vC = x.ex JJG + Chuyãøn âäüng quay xung quanh truûc Cz âi qua khäúi tám C trong hãû quy chiãúu khäúi tám R* våïi JJK K váûn täúc goïc Ω = θ(t ).ez , trong âoï θ laì goïc giæîa truûc Cx vaì mäüt baïn kênh CM gàõn cæïng trãn baïnh xe. @ Váûn täúc cuía âiãøm IR trãn baïnh xe taûi thåìi âiãøm t: K JJK K K v ( I R ) = v (C ) + Ω × CI G G G K v ( I R ) = x.ex + θ.ez × (−b.ey ) ⇒ G G K ⇒ v ( I R ) = x.ex + θ.b.ex G K G vg = v ( I R ) = ( x + θ.b).ex G G K K @ Baïnh xe làn khäng træåüt trãn màût âáút khi: vg = v ( I R ) = 0 . Thãú maì : vg = ( x + θ.b).ex . Do âoï, khi baïnh xe làn khäng træåüt : x + θ.b = 0 Màût khaïc, nãúu goüi ∆x vaì ∆θ láön læåüt laì dëch chuyãøn cuía tám C cuía baïnh xe vaì goïc quay cuía baïnh xe trong khoaíng thåìi gian ∆t; JR vaì JS láön læåüt laì caïc âiãøm cuía baïnh xe vaì cuía màût âáút, maì taûi thåìi âiãøm t + ∆t âãún tiãúp xuïc våïi nhau taûi J, ta coï : I S J S = ∆x vaì cung I R J R = b. ∆θ Suy ra váûn täúc træåüt cuía baïnh xe trãn màût âáút : Khi baïnh xe làn khäng træåüt trãn màût âáút thç: J x + θ.b = 0 ⇒ ∆x = b. ∆θ ⇒ I J = Iq S S R R @ Ghi chuï : Chuyãøn âäüng cuía thanh truyãön (vê duû 1) vaì cuía baïnh xe (vê duû 2) coìn âæåüc goüi laì chuyãøn âäüng song phàóng. Trong chuyãøn âäüng song phàóng, mäüt âiãøm M báút kyì cuía váût ràõn chuyãøn âäüng trong cuìng mäüt màût phàóng hay trong caïc màût phàóng song song våïi mäüt màût phàóng quy chiãúu âënh træåïc. Chuyãøn âäüng song phàóng cuía mäüt váût ràõn coï thãø xem laì täøng håüp cuía hai chuyãøn âäüng: Chuyãøn âäüng tënh tiãún cuìng våïi khäúi tám G vaì chuyãøn âäüng quay xung quanh truûc Gz âi qua khäúi tám vaì vuäng goïc våïi màût phàóng quy chiãúu noïi trãn. §3. Caïc âaûi læåüng âäüng hoüc : 1) Træåìng håüp váût ràõn chuyãøn âäüng quay xung quanh mäüt truûc cäú âënh : a) Momen âäüng læåüng âäúi våïi mäüt âiãøm trãn mäüt truûc : Xeït mäüt váût ràõn (S) quay xung quanh mäüt truûc ∆ gàõn cæïng våïi (S) (truûc ∆ cäú âënh trong hãû quy K chiãúu R(O ; x, y, z)), våïi veïctå quay laì : Ω . Láúy truûc Oz cuía hãû R truìng våïi truûc quay ∆. Goüi θ laì K G G goïc quay cuía hãû quy chiãúu (RS) gàõn cæïng våïi váût ràõn so våïi hãû (R), ta coï : Ω = Ω.ez = θ.ez (Hçnh 10). Goüi M laì mäüt âiãøm báút kyì cuía váût ràõn (S), dm laì khäúi læåüng cuía mäüt phán täú thãø têch váût ràõn bao quanh âiãøm M. Khi baïnh xe chuyãøn âäüng, truûc quay tæïc thåìi ∆ dëch chuyãøn theo âiãøm tiãúp xuïc I giæîa baïnh xe vaì màût âáút K vaì luän luän song song våïi vectå Ω . 4 17 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông G Momen âäüng læåüng LA cuía váût ràõn âäúi våïi âiãøm A cäú âënh trãn truûc Oz trong hãû quy chiãúu (R) : JJJJG G G LA = ∫∫∫ AM × v ( M )dm (S ) z = zS (R) Do M vaì A laì haiJJJJ âiãø m thuäü c váû t ràõ n (S) nãn G G G G G JJJJG v ( M ) = v ( A) + Ω × AM = Ω.ez × AM (Âiãøm A cäú G (S) âënh trãn truûc Oz : v ( A) = 0 ) H yS Suy ra : JJJJG r M (RS ) G G JJJJG LA = Ω.∫∫∫ AM × (ez × AM )dm θ O (S ) y Hay : G JJJJG 2 G JJJJG G JJJJG G Ω LA = Ω.∫∫∫ ⎡⎢ AM .ez − ( AM .ez ) AM ⎤⎥dm x θ ⎣ ⎦ (S ) Hçnh 10 xS G G G G G G A G G G (Ghi chuï : A × ( B × C ) = B (C. A) − C ( A.B ) ) (∆) Goüi H laì hçnh chiãú u cuía M trãn truûc quay ∆, ta coï : JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG G G JJJJG AM = AH + HM = ( AM .ez ).ez + HM Suy ra : JJJJG G JJJJG G G JJJJG G G LA = Ω.∫∫∫ AM 2 .dm − Ω.∫∫∫ ( AM .ez ) ⎡⎣( AM .ez )ez + HM ⎤⎦ dm (S ) (S ) JJJJG G JJJJG G G G LA = Ω.∫∫∫ AM 2 .dm − Ω.∫∫∫ ⎡⎣ AH 2 .ez + ( AM .ez ).HM ⎤⎦ dm (S ) (S ) JJJJJG G JJJJG G G G LA = Ω.∫∫∫ AM 2 .dm − Ω.∫∫∫ AH 2 .dm − Ω.∫∫∫ ( AM .ez ).HM .dm (S ) Màûc khaïc : Suy ra : 2 (S ) 2 (S ) 2 HM = AM AH JJJJG G JJJJG G G LA = Ω.∫∫∫ HM 2 .dm − Ω.∫∫∫ (( AM .ez ) HM ) dm (S ) (S ) G Nhæ váûy, momen âäüng læåüng LA gäöm hai pháön : G G G • LA // = Ω.∫∫∫ HM 2 .dm song song våïi veïctå quay Ω. (S ) • JJJJG G JJJJG G G LA⊥ = −Ω.∫∫∫ (( AM .ez ) HM ) dm vuäng goïc våïi veïctå quay Ω. (S ) G Ghi chuï : Thaình pháön LA⊥ = 0 khi : @ Váût ràõn nháûn truûc ∆ laìm truûc âäúi xæïng. @ Khi váût ràõn laì váût ràõn phàóng nàòm trong màût phàóng qua A vaì vuäng goïc våïi truûc ∆. b) Momen âäüng læåüng âäúi våïi truûc ∆ - Momen quïan tênh : G • Hçnh chiãúu L∆ cuía momen âäüng læåüng LA lãn truûc quay ∆ âæåüc goüi laì momen âäüng læåüng cuía váût ràõn (S) âäúi våïi truûc ∆ : G G G G L∆ = LA .eZ = LA // .eZ = Ω ∫∫∫ HM 2 .dm (S ) L∆ khäng phuû thuäüc vaìo vë trê cuía âiãøm A trãn truûc ∆. • Momen quaïn tênh cuía váût ràõn (S) âäúi våïi truûc quay ∆ âæåüc âënh nghéa nhæ sau : 18 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông J ∆ = ∫∫∫ r 2 .dm (S ) våïi : r laì khoaíng caïch tæì âiãøm M cuía váût ràõn âãún truûc quay ∆. G G L∆ = J ∆ .Ω • Nhæ váûy : vaì : LA // = J ∆ .Ω Ghi chuï : Træåìng håüp váût ràõn (S) bao gäöìm hai pháön (S1) vaì (S2), láön læåüt coï momen quaïn tênh âäúi våïi truûc ∆ laì J∆1 vaì J∆2 . Khi âoï, momen quaïn tênh cuía (S) âäúi våïi truûc âäúi våïi truûc ∆ seî bàòng : J∆ = J∆1 + J∆2 c) Âäüng nàng : Âäüng nàng cuía váût ràõn (S) noïi trãn trong hãû quy chiãúu (R) : G JJJJG 1 G EK = ∫∫∫ .v 2 ( M ).dm våïi : v ( M ) = Ω × AM 2 (S ) G JJJJG G 1 Suy ra : EK = .∫∫∫ (Ω × AM ).v ( M ).dm 2 (S ) JJJJG G ⎤ G 1 ⎡ ⇒ EK = . ⎢ ∫∫∫ ( AM × v ( M )).dm ⎥ .Ω 2 ⎣⎢ ( S ) ⎦⎥ JJJJG G G G G G G G G G G G G JJJJG G Ta coï : (Ω × AM ).v ( M ) = ( AM × v ( M )).Ω båíi vç : A( B × C ) = B (C × A) = C ( A × B ) ) 1 G G 1 ⇒ EK = .LA .Ω = LA // .Ω 2 2 1 1 ⇒ EK = .L∆ .Ω = .J ∆ .Ω 2 2 2 2) AÏp duûng caïc âënh lyï Koenig : a) Momen âäüng læåüng vaì âäüng nàng cuía váût ràõn: z @ Âãø nghiãn cæïu chuyãøn âäüng cuía mäüt váût ràõn (S) G (R*) trong hãû quy chiãúu R(O,x,y,z), ta âæa thãm vaìo hãû Ω z quy chiãúu khäúi tám R*(G,x,y,z). Khi âoï, aïp duûng caïc G âënh lyï Koenig: (R) G JJJG G* G x Vãö momen âäüng læåüng : LA = AG × mv (G ) + LG (S) A O G y våïi : LG* laì momen âäüng læåüng cuía (S) âäúi våïi khäúi x G* G* G* Hçnh 11 tám G trong hãû quy chiãúu (R*); LG = LG // + LG⊥ våïi G G G G G G LG* // : thaình pháön cuía LG* song song våïi Ω ; LG*⊥ : thaình pháön cuía LG* vuäng goïc våïi Ω . y 1 Vãö âäüng nàng : EK = .mv 2 (G ) + EK* 2 * våïi : EK laì âäüng nàng cuía (S) trong hãû quy chiãúu (R*). K @ Træåìng håüp vectå quay Ω cuía váût ràõn (S) luän luän khäng thay âäøi phæång trong suäút quaï K trçnh chuyãøn âäüng, chàóng haûn Ω luän nàòm theo phæång truûc Oz (Hçnh 11) (5) : Trong (R*), (S) quay quanh truûc cäú âënh Gz, ta coï: 5 K Vectå quay Ω laì nhæ nhau trong hai hãû quy chiãúu (R) vaì (R*) 19 Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông G G G G G LG* = LG* // + LG*⊥ = J Gz .Ω + LG*⊥ Våïi: 1 1 EK* = .L*Gz . Ω = .J Gz .Ω 2 2 2 J Gz : momen quaïn tênh cuía váût ràõn âäúi våïi truûc Gz. L*Gz : momen âäüng læåüng cuía váût ràõn âäúi våïi truûc Gz trong hãû R. Ghi chuï : Trong biãøu thæïc cuía momen âäüng læåüng vaì âäüng nàng ta tháúy gäöm hai thaình pháön: JJJG G Thaình pháön AG × mv (G ) hay 1 .mv 2 (G) tæång æïng våïi chuyãøn âäüng tënh tiãún cuía toaìn bäü váût ràõn 2 G G G (S) cuìng våïi khäúi tám G; thaình pháön LG* = J Gz .Ω + LG* ⊥ hay E * = 1 .J Gz .Ω 2 tæång æïng våïi chuyãøn K 2 âäüng quay cuía váût ràõn (S) quanh truûc Gz trong hãû quy chiãúu khäúiï tám (R*). @ Tråí laûi baìi toaïn chuyãøn âäüng cuía baïnh xe làn trãn màût âáút nàòm ngang cäú âënh trong hãû quy chiãúu traïi âáút (R). Trong hãû quy chiãúu khäúi tám R*(C, x, y, z), baïnh xe quay quanh truûc Cz cäú G G 1 1 âënh trong R*, ta coï: LC* = J Cz Ωez våïi: J Cz = mb 2 ; E *K = J Cz Ω 2 . 2 2 AÏp duûng âënh lyï Koenig, trong hãû (R) ta coï : G JJJG G JJJG G G G G LO = OC × mv (C ) + J Gz Ωez LO = OC × mv (C ) + LC* ⇒ 1 EK = .mv 2 (G ) + EK* ⇒ 2 1 1 EK = .mv 2 (G ) + J Gz Ω 2 2 2 (Chuï yï : Âáy laì træåìng håüp váût ràõn phàóng chuyãøn âäüng trong màût phàóng qua C vaì vuäng goïc våïi truûc quay G G * * Cz, do âoï thaình pháön LC ⊥ = 0 , chè coìn laûi thaình pháön LC // ) b) Âënh lyï Huygens : z Xeït váût ràõn (S) quay xung quanh mäüt truûc cäú âënh (∆) truìng våïi truûc Oz cuía hãû quy chiãúu R âang xeït G våïi veïc tå quay Ω . Goüi G laì khäúi tám cuía váût ràõn (Hçnh 11). Trong (R*), (S) quay xunh quanh truûc cäú âënh (∆G) truìng våïi Gz vaì song song våïi truûc (∆). Theo âënh lyï Koenig : 1 (1) EK = .mv 2 (G ) + E *K 2 våïi m : khäúi læåüng cuía váût ràõn EK laì âäüng nàng cuía váût ràõn trong (R) : 1 (a) EK = .J ∆ .Ω 2 2 G Ω z (R) (R*) (S) a H G y (∆G) x x y O (∆) Hçnh 12 1 (b) E *K = .J ∆G .Ω 2 2 Màût khaïc, trong R, khäúi tám G chuyãøn âäüng trãn voìng troìn tám H baïn kênh a (H laì hçnh chiãúu cuía G trãn truûc (∆)) våïi váûn täúc goïc laì Ω , do âoï : v 2 (G ) = a 2 Ω 2 (c) EK* laì âäüng nàng cuía váût ràõn trong R* : Thay (a) (b) (c) vaìo (1), suy ra : J ∆ = ma 2 + J ∆G Âáy chênh laì âënh lyï Huygens. 20