Tài liệu 4 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tài liệu bài giảng: 04. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Thầy Đặng Việt Hùng 1. Khái niệm về dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi, số phức trên được gọi là dạng đại số của số phức Số phức z = r(cosϕ + isinϕ) được gọi là dạng lượng giác của số phức Trong đó: r: là module của số phức ϕ: là argument của số phức 2. Cách chuyển đổi một số phức từ dạng đại số sang lượng giác Để chuyển số phức z = a + bi sang dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ) ta phải tìm được module và argument của số phức.   2 2 r = a + b r = a 2 + b 2   a a Bằng việc đồng nhất biểu thức hai số phức ta có: a = r cos ϕ ⇔ cos ϕ = = , (1) 2 2 r a + b b = r sin ϕ    b b , (2) sin ϕ = = 2 r  a + b2 Hệ phương trình trên cho phép chúng ta thực hiện việc chuyển đổi dễ dàng từ đại số sang lượng giác.
Chú ý: ♦ Từ các hệ thức (1) và (2), kết hợp với kiến thức lượng giác về cung và góc lượng giác ta sẽ xác định được ϕ. ♦ Nhiều số phức cho dạng “na ná”lượng giác rất dễ làm chúng ta “lầm tưởng” đó chính là dạng lượng giác. Nhưng không, bằng việc chuyển đổi linh hoạt các công thức từ cos sang sin và ngược lại ta sẽ thu được dạng lượng giác “chính gốc” ♦ Trong các biểu thức cho phép xác định ϕ thì thường có hai giá trị ϕ chấp nhận được, tùy thuộc vào chiều quay mà ta chọn để lấy ϕ theo chiều dương hay chiều âm (ví dụ cặp giá trị ϕ = –5π/6 hoặc ϕ = 7π/6 đều chấp nhận được) Ví dụ 1. Tính modun và argument của các số phức sau a) z = 1 + i b) z = 3 + i c) z = 3 − i d) z = 1 + i 3 Hướng dẫn giải:   2 2 r = a + b  a a Áp dụng các công thức cos ϕ = = , ta có 2 2 r a + b   b b sin ϕ = = r a 2 + b2  a) z = 1 + i ⇒ r = a 2 + b2 = 1 + 1 = 2 a 1  cosϕ = r = 2 π Đồng thời  ⇒ϕ= 4 sinϕ = b = 1  r 2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95  r = 3 + 1 = 2 r = 2  3 3   b) z = 3 + i ⇒ cosϕ = = ⇒ π r 2  ϕ = 6 1 1  sin ϕ = r = 2  r = 3 + 1 = 2 r = 2  3 3   c) z = 3 − i ⇒ cosϕ = = ⇒ π r 2  ϕ = − 6 1 1  sin ϕ = − r = − 2  r = 1 + 3 = 2  r = 2 1 1   d) z = 1 + i 3 ⇒ cosϕ = = ⇒ π r 2  ϕ = 3  3 3 = sin ϕ = r 2  Ví dụ 2. Viết các số phức sau dạng lượng giác a) z = − 6 − i 2 b) z = −2 + 2 3i c) z = −1 − i 3 d) z = −5 − 5 3i Hướng dẫn giải:   r = 6 + 2 = 2 2 r = 2 2   r = 2 2  − 6 − 6 − 6 − 3   a) z = − 6 − i 2 ⇒ cosϕ = = ⇔ cosϕ = = ⇒ 7π r r 2 2 2   ϕ = 6    − 2 −1 − 2 − 2 = sin ϕ = = sin ϕ =  r 2 r 2 2  7π 7π   Từ đó z = − 6 − i 2 = 2 2  cos + i sin  6 6     r = 4 + 12 = 4  r = 4 −2 −1 2π 2π     b) z = −2 + 2 3i ⇒ cosϕ = = ⇒ + i sin  2π ⇒ z = 4  cos r 2 3 3    ϕ = 3  2 3 3 = sin ϕ =  r 2  r = 1 + 3 = 2  r = 2 −1 −1 4π 4π     c) z = −1 − i 3 ⇒ cosϕ = = ⇒ + i sin  4π ⇒ z = 2  cos r 2 3 3    ϕ = 3  − 3 − 3 = sin ϕ =  r 2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95  r = 25 + 75 = 10  r = 10 −5 −1 4π 4π     d) z = −5 − 5 3i ⇒ cosϕ = = ⇒ + i sin  4π ⇒ z = 10  cos r 2 3 3    ϕ = 3  −5 3 − 3 = sin ϕ =  r 2 ϕ Ví dụ 3. Viết số phức sau dạng lượng giác: z = sin ϕ + 2i sin 2 2 Hướng dẫn giải: φ φ φ φ φ φ φ Biến đổi số phức đã cho ta được z = sin φ + 2i sin 2 = 2sin cos + 2i sin 2 = 2 sin  cos + i sin  2 2 2 2 2 2 2 Do module của số phức luôn là số dương nên ta xét các trường hợp sau φ φ φ φ TH1: sin > 0 ⇒ z = 2sin  cos + i sin  2 2 2 2 φ φ φ  φ  TH2: sin < 0 ⇒ z = −2sin cos  + π  + i sin  + π   2 2 2  2  Ví dụ 4. Viết các số phức sau dạng lượng giác 1. z = − 3 − i 2. z = −1 + i 3 3. z = 1 − i 3 5. z = 2 − 2i 7. z = 8i 4. z = 5 − 5 3i 6. z = i 8. z = –4i 3. Nhân và chia hai số phức dạng lượng giác a) Nhân hai số phức dạng lượng giác Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) Khi đó số phức z = z1.z2 được cho bởi công thức z = z1.z 2 = r1.r2 [ cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] Từ đó ta có số phức z = z1.z2 có module và argument thỏa mãn r = r1.r2 và ϕ = ϕ1 + ϕ2 Chứng minh: Thật vậy ta có: z = z1.z 2 =  r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )  .  r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 )  = r1r2 ( cos ϕ1.cos ϕ2 − sin ϕ1.sin ϕ2 ) + i ( cos ϕ1.sin ϕ2 + sin ϕ1.cos ϕ2 )  = r1r2 [ cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] Ví dụ 1. Viết các số phức sau dạng đại số a) z = 2 ( cos180 + i sin180 )( cos 720 + i sin 720 ) b) z = 3 ( cos1200 + i sin1200 )( cos150 + i sin150 ) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức z = z1.z 2 = r1.r2 [ cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] ta có ( )( ) )( ) ( ) ( ) a) z = 2 cos180 + i sin180 cos 720 + i sin 720 = 2 cos 180 + 720 + i sin 180 + 720  = 2 ( cos900 + i sin 900 ) = i 2 ⇒ z = i 2 ( ( ) ( ) b) z = 3 cos1200 + i sin1200 cos150 + i sin150 = 3 cos 1200 + 150 + i sin 1200 + 150  1  3 3  1 = 3 cos1350 + i sin1350 = 3  − + i ⇒ z = − + i 2 2  2 2  Ví dụ 2. Viết các số phức sau dạng lượng giác a) z = (1 + i ) 3 − i b) z = 2 + i 6 1 − i 3 ( ) ( ) ( )( ) Hướng dẫn giải: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 ♦ Với bài này chúng ta hoàn toàn có thể thực hiện phép nhân ngay rồi chuyển kết quả thành lượng giác, nhưng thường thì do argument của số phức khó tìm được kết quả đẹp nên chúng ta sẽ chuyển từng biểu thức sang lượng giác rồi thực hiện phép nhân sau. ♦ Với những dạng bài toán như thế này thì khi chuyển sang lượng giác chúng ta có thể thực hiện nhanh mà không phải trình bày rườm rà thao tác chuyển như thế nào (tức là phải pro về cách chuyển rồi đó). π π −π −π    a) Ta có: 1 + i = 2  cos + i sin  ; 3 − i = 2  cos + i sin  4 4 6 6      π π    −π −π   π π  Khi đó z = (1 + i ) 3 − i =  2  cos + i sin   .  2  cos + i sin   = 2 2  cos + i sin  4 4    6 6  12 12     π π −π −π    b) Ta có: 2 + i 6 = 2 2  cos + i sin  ; 1 − i 3 = 2  cos + i sin  3 3 3 3     π π    −π −π    Khi đó z = 2 + i 6 1 − i 3 =  2 2  cos + i sin   .  2  cos + i sin  = 2 2 ( cos 0 + i sin 0 ) 3 3    3 3     b) Chia hai số phức dạng lượng giác Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) z z r Khi đó số phức z = 1 được cho bởi công thức z = 1 = 1 [ cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] z2 z 2 r2 z r Từ đó ta có số phức z = 1 có module và argument thỏa mãn r = 1 và ϕ = ϕ1 – ϕ2 z2 r2 Chứng minh: r ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )  r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )   r2 ( cos ϕ2 − i sin ϕ2 )  z Thật vậy ta có z = 1 = 1 = z 2 r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r22 ( ( = ) )( ) r1r2 ( cos ϕ1.cos ϕ2 + sin ϕ1.sin ϕ2 ) + i ( sin ϕ1.cosϕ2 − cosϕ1.sin ϕ2 )  2 2 r Ví dụ 1. Viết các số phức sau dạng đại số a) z = 0 Áp dụng công thức z = r1 [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] r2 2π 2π   2  cos + i sin  3 3   b) z = π π  2  cos + i sin  2 2  Hướng dẫn giải: cos85 + i sin 85 cos 400 + i sin 400 0 = z1 r1 = [ cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] , ta được: z 2 r2 cos850 + i sin 850 1 1 = cos 850 − 400 + i sin 850 − 400 = cos450 + i sin 450 = + i 0 0 cos 40 + i sin 40 2 2 2π 2π   2  cos + i sin  2   2π π  2 π π 6 2 3 3   2π π    b) z = = cos  −  + i sin  −  = cos + i sin = + i  π π 2   3 2 3 2  2  6 6  4 4   2  cos + i sin  2 2  Ví dụ 2. Viết các số phức sau dạng lượng giác 1− i −1 + 3i a) z = b) z = 2 + 2i 3 +i Hướng dẫn giải: −π −π  π π   a) Ta có: 1 − i = 2  cos + i sin  ; 2 + 2i = 2(1 + i) = 2 2  cos + i sin  4 4  4 4   Khi đó: a) z = ( ) ( ) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 −π −π   2  cos + i sin  1− i −π −π  1 4 4  1  π π  π π  1   z= = = cos  − −  + i sin  − −   =  cos + i sin =− i  π π 2  4 4 2 + 2i 2 2  2   4 4  2  2 2  cos + i sin  4 4  2π 2π  π π   b) Ta có: −1 + 3i = 2  cos + i sin  ; 3 + i = 2  cos + i sin  3 3  6 6   2π 2π   + i sin 2  cos  −1 + 3i π π 3 3   2π π   2π π  Khi đó z = =  = cos  −  + i sin  −  = cos + i sin ⇒ z = i π π 2 2  3 +i  3 6  3 6 2  cos + i sin  6 6  Ví dụ 3. Viết các số phức sau dạng đại số π π  π π  a) z = 5  cos + i sin  .3  cos + i sin  6 6  4 4  0 0 2(cos 45 + i sin 45 ) b) z = 3(cos150 + i sin150 ) 4. Công thức Moiver và ứng dụng dạng lượng giác của số phức a) Công thức Moiver Cho số phức z = r(cosϕ + isinϕ), khi đó zn = [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn[cos(nϕ) + isin(nϕ)] Công thức zn = rn[cos(nϕ) + isin(nϕ)] được gọi là công thức Moiver. Ví dụ: 4  π π   π  π  z = (1 + i ) =  2cos + i sin  = 2 cos  4.  + i sin  4.   = 4 ( cosπ + i sin π ) = −4 4 4   4    4 Bằng các phép tính toán đại số ta cũng dễ dàng thu được kết quả như trên!!! 4 4 ( ) b) Ứng dụng dạng lượng giác ♦ Ứng dụng 1: Tính toán các biểu thức số phức với lũy thừa lớn Ví dụ 1. Tính module và viết các số phức liên hợp của mỗi số phức sau ( a) z = −1 + i 3 ) 100  1− i  b) z =    1+ i  Hướng dẫn giải: 6 6 2π 2π    2π 2π    a) Ta có: −1 + i 3 = 2  cos + i sin  ⇒ z = −1 + i 3 =  2  cos + i sin   3 3  3 3     12π 12π   6 6 = 26  cos + i sin  = 2 ( cos4π + i sin 4π ) = 2 ⇒ z = 64 3 3   Từ đó ta có z = 64; z = 64 ( ) 6 −π −π   b) Ta có: 1 − i = 2  cos + i sin  4 4   −π −π   2  cos + i sin  π π  1− i −π −π 4 4    1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ = = cos + i sin = −i π π 4 4  1+ i 2 2   2  cos + i sin  4 4  100 100 −π −π   1− i   ⇒z= + i sin  =  cos  2 2   1+ i   Từ đó ta được z = 1; z = 1 = cos −100π −100π + i sin =1 2 2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Ví dụ 2. Tính module của mỗi số phức sau (1 + i 3 ) ( a) z = 8 3 −i (1 − i )5 ) 6 b) z = (1 + i )6 ( 3 − 3i (1 − 3i ) ) 4 5 Hướng dẫn giải: a) Ta có: 8 π π 8π 8π  2π 2π     ♦ 1 + i 3 = 2  cos + i sin  ⇒ 1 + i 3 = 28  cos + i sin  = 28  cos + i sin  3 3 3 3  3 3     6 −π −π  −6 π −6 π   6 6 ♦ 3 − i = 2  cos + i sin + i sin  ⇒ 3 − i = 2  cos  = 2  cos ( −π ) + i sin ( −π )  6 6 6 6     5 −π −π  −5π − 5π  − 5π − 5π  5    ♦ 1 − i = 2  cos + i sin + i sin + i sin  ⇒ (1 − i ) = 2  cos  = 4 2  cos  4 4  4 4  4 4     ( ) ( ) ( ) Từ đó ta có: 2π 2π   −π −π + i sin  .26 cos ( −π ) + i sin ( −π )  28  cos + i sin cos 14 2 3 3  3 3 z= =  = 5 − 5 π − 5π − 5 π − 5 π   4 2 cos (1 − i ) + i sin 4 2  cos + i sin  4 4 4 4   14 214   −π 5π  11π 11π  214  −π 5π   2  = cos + + i sin + = cos + i sin ⇒ z =        4  4   4 2  12 12  4 2  3 4 2  3 b) Ta có: 6 π π 6π 6π  3π 3π  6   ♦ 1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) = 2  cos + i sin  = 8  cos + i sin  4 4 4 4  2 2     4 4 −π −π  −6 π −6 π    ♦ 3 − 3i = 3 (1 − i ) = 6  cos + i sin + i sin  ⇒ 3 − 3i = 6  cos = 4 4  4 4    −3π −3π   = 36  cos + i sin  2 2   5 −π −π  − 5π − 5π   5 ♦ 1 − 3i = 2  cos + i sin + i sin  ⇒ 1 − 3i = 2  cos  3 3  3 3    ( 1+ i 3 )( 8 3 −i ) 6 ( ) ( ( ) ( ) ) Từ đó ta có: z= (1 + i )6 ( 3 − 3i (1 − 3i ) 5 ) 4 3π 3π   −3π −3π   8  cos + i sin  .36  cos + i sin  cos0 + i sin 0 2 2   2 2  =  = 9. − 5π − 5π − 5π − 5π   cos + i sin 25  cos + i sin  3 3 3 3   5π 5π   = 9  cos + i sin  ⇒ z = 9 3 3   ♦ Ứng dụng 2: Tìm căn bậc n của số phức - Khái niệm căn bậc n: Cho số phức z, một số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu wn = z. - Cách tìm căn bậc n của số phức z Giải sử số phức z đã cho là z = r(cosϕ + isinϕ), và số phức w là w = r’(cosϕ’ + isinϕ’) Khi đó điều kiện wn = z tương đương với:  r ' ( cosϕ '+ i sin ϕ ' )  = r ( cosϕ + i sin ϕ ) ⇔ r 'n cos ( nϕ ') + i sin ( nϕ ' )  = r ( cosϕ + i sin ϕ ) n Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 r ' = n r  r 'n = r  Từ đó ta suy ra  ⇒ ϕ + k2π , với k = 0, 1, 2…n –1. nϕ ' = ϕ + k2π ϕ ' =  n ϕ + k2π ϕ + k2π   Vậy các căn bậc n của số phức z là w = n r  cos + i sin  , k = 0, n − 1 n n   Ví dụ. Tìm các căn bậc n theo yêu cầu a) Căn bậc 3 của z = 3 − i b) Căn bậc 4 của z = i Hướng dẫn giải: −π −π   a) Ta có z = 3 − i = 2  cos + i sin  6 6   Gọi số phức w = r(cosϕ + isinϕ) là căn bậc 3 của z, khi đó w3 = z. −π −π   + k2π + k2π   Theo công thức tính căn bậc n của số phức ta có w = 3 2  cos 6 + i sin 6  , k = 0, 2 3 3     −π −π     −π −π   + i sin Với k = 0 ta được w1 = 3 2  cos 6 + i sin 6  = 3 2  cos  3 3  18 18      −π −π   + 2π + 2π   11π 11π   3 + i sin 6 + i sin Với k = 1 ta được w 2 = 3 2  cos 6  = 2  cos  3 3 18 18       −π −π   + 4π + 4π   23π 23π   3 Với k = 2 ta được w 3 = 3 2  cos 6 + i sin 6 + i sin  = 2  cos  3 3 18 18       Vậy số phức đã cho có ba căn bậc ba là w1, w2, w3 như trên. π π b) Ta có z = i = cos + i sin 2 2 Gọi số phức w = r(cosϕ + isinϕ) là căn bậc 4 của z, khi đó w4 = z. Theo công thức tính căn bậc n của số phức ta có: π π π π   + k2π + k2π  + k2π + k2π  4 2 2 2 2 w = 1  cos + i sin + i sin , k = 0,3  = cos 4 4 4 4     π π π π Với k = 0 ta được w1 = cos 2 + i sin 2 = cos + i sin 4 4 8 8 π π + 2π + 2π 5π 5π Với k = 1 ta được w 2 = cos 2 + i sin 2 = cos + i sin 4 4 8 8 π π + 4π + 4π 9π 9π + i sin 2 = cos + i sin Với k = 2 ta được w 3 = cos 2 4 4 8 8 π π + 6π + 6π 13π 13π 2 2 Với k = 3 ta được w 4 = cos + i sin = cos + i sin 4 4 8 8 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Vậy số phức đã cho có bốn căn bậc bốn là w1, w2, w3, w4 như trên. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Viết các số phức sau dạng đại số ( a) z = (1 + i ) 1 − i 3 8 ) 6 ( (3 d) z = π π  c) z =  cos − i sin  i5 .(1 + 3i)7 3 3  Bài 2. Viết các số phức sau dạng lượng giác a) z = b) z = ( ( 3 −i ) 7 (1 − i )10 b) z = (1 + i )7 3 −i ( 3 +i ( 15 4 6 6 −i 2 )( 8 3 −i ( d) z = (1 − i ) 1 + i 3 9 ) 8 Bài 3. Viết các số phức sau dạng lượng giác a) z = ) 3 − 3i ) . (1 − i ) ( 3 + i) b) z = 2 − 2 3i ) (1 − i 3 ) 7 10 ) 8 5 10 (1 + i ) 4 11 6 20  1+ i 3  c) z =    1− i  Bài 4. Tìm các căn bậc 3 của: a) z = 1 c) z = 1 – i Bài 5. Tìm các căn bậc 4 của: a) z = 3 − i 7 (1 + i )10 b) z = 1 + i d) z = 1 + 3i b) z = 2 − 2i c) z = 1 + i 3 Bài 6. Tính: z 2010 + ( 3 + i) b) z = (1 − i 3 ) ( 3 − i ) .(3i) d) z = ) d) z = −i 1 z 2010 biết z + 1 =1 z Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!