Tài liệu Toán tử tuyến tính trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Nguyễn Thị Dung TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Nguyễn Thị Dung TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Hoàng Ngọc Tuấn Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hoàng Ngọc Tuấn đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài thực tập này. Hà Nội, ngày 23 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Dung i LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Hoàng Ngọc Tuấn. Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của đề tài Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác. Hà Nội, ngày 23 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Dung Mục lục Lời mở đầu 1 1 Những khái niệm cơ bản 1 1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach . . . . . . 1 1.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert 2.1 Toán tử liên hợp và toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . 2.2 Toán tử khả nghịch, toán tử chuẩn tắc, toán tử đẳng cự 6 6 và toán tử Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 i Lời mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực tiễn. Trong đó, giải tích là một lĩnh vực đóng vai trò quan trọng và có ứng dụng trong thực tiễn. Để nắm vững hơn các kiến thức của giải tích nói riêng và toán học nói chung, em đã chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert. 2. Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về giải tích và đặc biệt là toán tử tuyến tính. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu toán tử tuyến tính. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá. Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung 5. Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm 2 chương: • Chương 1: Những khái niệm cơ bản. • Chương 2: Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert. Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS. Hoàng Ngọc Tuấn đã tận tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu. Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận này. Hà Nội, ngày 23/04/2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Dung 2 Chương 1 Những khái niệm cơ bản 1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach Định nghĩa 1.1. Một hàm x → kxk từ không gian vectơ E đến K được gọi là chuẩn nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau: 1) kxk ≥ 0 ∀x ∈ E, kxk = 0 ⇔ x = 0; 2) kλxk =| λ | kxk ∀x ∈ E, λ ∈ K ; 3) kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ E. Định nghĩa 1.2. Không gian vectơ cùng với một chuẩn được gọi là không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.3. E là không gian định chuẩn. Dãy (xn ) các phần tử của E được gọi là hội tụ đến phần tử a ∈ E nếu lim kxn − ak = 0. n→∞ Định nghĩa 1.4. Dãy (xn ) là dãy Cauchy trong không gian định chuẩn nếu lim kxm − xn k = 0. Hay tương đương ∀ > 0, ∃n0 , ∀m, n ≥ n0 : m,n→∞ kxm − xn k < . Định nghĩa 1.5. Không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung gian Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metric đầy. 1.2 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.6. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K. Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn các điều kiện: 1) ∀x, y ∈ X : A(x + y) = Ax + Ay. 2) ∀x ∈ X, ∀α ∈ K thì A(αx) = αAx. Thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi A thỏa mãn điều kiện 1) thì A được gọi là ánh xạ cộng tính. Khi A thỏa mãn điều kiện 2) thì A được gọi là ánh xạ thuần nhất. Khi Y = K thì A gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.7. Cho X và Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c ≥ 0: kAxk ≤ ckxk, ∀x ∈ X. (1.1) Định nghĩa 1.8. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Hằng số c ≥ 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.1) gọi là chuẩn của toán tử A. Kí hiệu kAk. Định lý 1.1. (Định lý 3 mệnh đề tương đương) Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó 2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung 3 mệnh đề sau tương đương: 1) A liên tục. 2) A liên tục tại điểm x0 nào đó trong X. 3) A bị chặn. Định lý 1.2. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Nếu A bị chặn thì kAk = sup kAxk. kxk≤1 1.3 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.9. (Tích vô hướng) Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường K. Tích vô hướng trong X là ánh xạ: f: X ×X →K (x, y) → hx, yi thỏa mãn các tiên đề sau: 1, hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ X hx, xi = 0 ⇔ x = 0. 2, hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X. 3, hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X. Định nghĩa 1.10. Không gian tích vô hướng là một cặp (X, h., .i), trong đó X là không gian tuyến tính. Định nghĩa 1.11. Không gian Hilbert là không gian tích vô hướng và 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung là không gian định chuẩn với chuẩn kxk = p hx, xi, ∀x ∈ X. Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H. Ví dụ 1.1. Không gian C k với tích vô hướng xác định bởi: hx, yi = k X ξj θj , j=1 ∀x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξk ), y = (θ1 , θ2 , ..., θk ) ∈ C k là không gian Hilbert với k X p 1 kxk = hx, xi = ( |ξj |2 ) 2 . j=1 Định lý 1.3. (Định lý Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng: f (x) = hx, ai, ∀x ∈ H trong đó a ∈ H được xác định duy nhất bới phiếm hàm f và ta có: kf k = kak. Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Schwarz) Cho X là không gian tích vô hướng, khi đó ∀x, y ∈ X: |hx, yi| ≤ kxkkyk. 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung Định nghĩa 1.12. (Sự hội tụ yếu) Một dãy (xn ) các vectơ trong một không gian tích vô hướng E được gọi là hội tụ yếu tới một vector x ∈ E nếu hxn , yi → hx, yi khi n → ∞, ∀y ∈ E. 5 Chương 2 Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert 2.1 Toán tử liên hợp và toán tử tự liên hợp Định nghĩa 2.1. (Toán tử liên hợp) Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H. Toán tử A∗ : H → H xác định bởi: hAx, yi = hx, A∗ yi, ∀x, y ∈ H được gọi là toán tử liên hợp của A. Các tính chất sau được suy ra từ định nghĩa (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , (αA)∗ = αA∗ , (A∗ )∗ = A, I ∗ = I, 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung (AB)∗ = B ∗ A∗ ; với A, B là các toán tử bất kỳ và vô hướng α tùy ý. Định lý 2.1. Toán tử liên hợp A∗ của toán tử bị chặn A là bị chặn. Hơn nữa, ta có kAk = kA∗ k và kA∗ Ak = kAk2 . Chứng minh. Ta chỉ ra rằng toán tử liên hợp A∗ của toán tử bị chặn A là bị chặn. Vì hAx, yi và hx, A∗ yi cùng xác định một hàm song tuyến tính. Suy ra kAk = kA∗ k. Ta có kA∗ Ak ≤ kA∗ kkAk = kAk2 . Mặt khác, với mọi x ∈ H, ta có kAxk2 = hAx, Axi = hA∗ Ax, xi ≤ kA∗ Axkkxk ≤ kA∗ Ak2 kxk2 . Do đó kA∗ Ak = kAk2 . Các toán tử A và A∗ không bằng nhau, ví dụ H = C 2 và cho A được xác định bởi A(z1 , z2 ) = (0, z1 ). Khi đó hA(x1 , x2 ), (y1 , y2 )i = x1 y2 và h(x1 , x2 ), A(y1 , y2 )i = x2 y1 . Định nghĩa 2.2. (Toán tử tự liên hợp) Nếu A = A∗ thì là toán tử tử tự liên hợp, khi đó hAx, yi = hx, Ayi với mọi x, y ∈ H. Ví dụ 2.1. Cho H = C N và e1 , e2 , ..., eN là cơ sở trực chuẩn trong H. A là một toán tử biểu diễn bằng ma trận (aij ), ở đó aij = hAej , ei i. Khi 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung đó toán tử A∗ được biểu diễn bằng ma trận bkj = hA∗ ej , ek i. Do đó bkj = hej , Aek i = hAek , ej i = ajk . Vậy toán tử A là tự liên hợp khi và chỉ khi aij = aji . Một ma trận thỏa mãn điều kiện này thường được gọi là Hermitian. Ví dụ 2.2. Cho H là không gian có số chiều vô hạn tách được và e1 , e2 , e3 , ... là dãy trực giao đầy đủ trong H. A là một toán tử bị chặn trong H biểu diễn bởi ma trận vô hạn (αij ). Đối với trường hợp hữu hạn chiều, toán tử liên hợp A∗ biểu diễn bởi một ma trận hữu hạn (αji ). A là tự liên hợp khi và chỉ khi aij = aji với mọi i, j ∈ N . Ví dụ 2.3. Cho T là một toán tử Fredholm trong L2 ([a, b]) xác định bởi Zb (T x)(s) = K(s, t)x(t)dt, a trong đó K là một hàm xác định trên [a, b] × [a, b] sao cho Zb Zb a |K(s, t)|2 ds.dt < ∞. a Chú ý rằng điều kiện được thỏa mãn nếu K liên tục, ta có: Zb Zb hT x, yi = K(s, t)x(t)y(s)dsdt a a Zb Zb hT x, yi = K(s, t)x(t)y(s)dsdt a a 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung Zb hT x, yi = Zb x(t) K(s, t)y(s)dsdt. a a Điều này chứng tỏ rằng (T ∗ x)(s) = Zb K(s, t)x(t)dt. a Do đó một toán tử Fredholm là tự liên hợp nếu hạt nhân của nó thỏa mãn đẳng thức K(s, t) = K(t, s). Ví dụ 2.4. Cho A là một toán tử trong L2 ([a, b]) được xác định bởi (Ax)(t) = tx(t). Vì Zb Zb hAx, yi = x(t)ty(t)dt = hx, Ayi. tx(t)y(t)dt = a a A là tự liên hợp. Định lý 2.2. Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H. Toán tử T1 = A∗ A và T2 = A + A∗ là tự liên hợp. Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H ta có hT1 x, yi = hA∗ Ax, yi = hAx, Ayi = hx, A∗ Ayi = hx, T1 yi hT2 x, yi = h(A + A∗ )x, yi = hx, (A + A∗ )∗ yi = hx, (A + A∗ )yi = hx, T2 yi. 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung Định lý 2.3. Tích của hai toán tử tự liên hợp là một toán tử tự liên hợp khi và chỉ khi hai toán tử đó là giao hoán. Chứng minh. Cho A và B là các toán tử tự liên hợp, khi đó (ABx, y) = (Bx, Ay) = (x, BAy). Do đó nếu AB = BA thì AB là tự liên hợp. Nếu AB là tự liên hợp thì từ trên suy ra AB = (AB)∗ = BA. Hệ quả 2.1. Nếu A là tự liên hợp thì đa thức bất kỳ nào của A với các hệ số thực αn , ...., α0 cũng là tự liên hợp αn An + ... + α1 A + α0 I. Định lý 2.4. Với mọi toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert H đều tồn tại các toán tử tự liên hợp A và B sao cho T = A + iB và T ∗ = A − iB. Chứng minh. Giả sử T là một toán tử bị chặn trong H. Đặt 1 1 A = (T + T ∗ ), B = (T − T ∗ ). 2 2i Rõ ràng, A và B là tự liên hợp và T = A + iB. Hơn nữa với mọi x, y ∈ H ta có hT x, yi = h(A + iB)x, yi = h(Ax, y) + i(Bx, y)i = hx, Ayi + ihx, Byi 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung = hx, (A − iB)yi. Do đó T ∗ = A − iB. Định lý 2.5. Cho T là một toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert H. Khi đó kT k = sup |hT x, xi|. kxk=1 Chứng minh. Cho M = sup |hT x, xi|. kxk=1 Nếu kxk = 1 thì |(T x, x) ≤ kT xkkxk = kT xk ≤ kT kkxk = kT k. Do đó M ≤ kT k. Mặt khác với mọi x, z ∈ H, ta có (T (x + z), x + z) − (T (x − z), x − z) = 2((T x, z) + (T z, x)) = 4Re(T x, z). Do đó Re(T x, z) ≤ M M (kx + zk2 + kx − zk2 ) = (kxk2 + kzk2 ). 4 2 (2.1) Bây giờ ta giả sử kxk = 1 và T x 6= 0. Nếu ta cho z = Tx kT xk , x thì Re(T x, z) = Re(T x, kTT xk ) = kT xk và từ (2.1), ta có Re(T x, z) ≤ M Tx 2 (kxk2 + k k )=M 2 kT xk Do đó kT k = M . 11 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 Nguyễn Thị Dung Toán tử khả nghịch, toán tử chuẩn tắc, toán tử đẳng cự và toán tử Unita Định nghĩa 2.3. (Toán tử khả nghịch) Cho A là một toán tử xác định trong một không gian vector con của E. Một toán tử B xác định trên R(A) (hạng của A) được gọi là nghịch đảo của A nếu ABx = x với mọi x ∈ R(A) và BAx = x với mọi x ∈ D(A) (miền xác định của A). Một toán tử mà có toán tử nghịch đảo thì được gọi là khả nghịch. Nghịch đảo của A kí hiệu là A−1 . Nếu một toán tử có nghịch đảo thì nghịch đảo đó là duy nhất. Thật vậy, giả sử B1 và B2 là các nghịch đảo của A thế thì B = B1 I = B1 AB2 = IB2 = B2 . Chú ý rằng D(A−1 ) = R(A) và R(A−1 ) = D(A). Định lý 2.6. (a) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính. (b) Một toán tử A là khả nghịch khi và chỉ khi Ax = 0 dẫn đến x = 0. (c) Nếu một toán tử A là khả nghịch và các vector x1 , x2 , ..., xn là độc lập tuyến tính thì Ax1 , Ax2 , .., Axn là độc lập tuyến tính. (d)Nếu các toán tử A, B khả nghịch thì toán tử AB cũng khả nghịch và ta có (AB)−1 = B −1 A−1 . Từ phần (c) của định lý trên suy ra nếu E là một không gian hữu hạn chiều và A là một toán tử tuyến tính khả nghịch trong E thì R(A) = E. 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Dung Ví dụ 2.5. Cho E = l2 . Xác định một toán tử A trên E A(x1 , x2 , ...) = (0, x1 , x2 , ...). Đây là toán tử khả nghịch trong l2 . Định lý 2.7. Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H sao cho R(A) = H. Nếu A có nghịch đảo bị chặn thì liên hợp A∗ là khả nghịch và (A∗ )−1 = (A−1 )∗ . Chứng minh. Ta chỉ ra rằng (A−1 )∗ A∗ x = A∗ (A−1 )∗ x = x. (2.2) với mọi x ∈ H. Thật vậy, với bất kỳ y ∈ H ta có ∗ (y, A−1 A∗ x) = (A−1 y, A∗ x) = (AA−1 y, x) = hy, xi và (y, A∗ (A−1 )∗ x) = (Ay, (A−1 )∗ x) = (A−1 Ay, x) = hy, xi. Do đó ∗ (y, A−1 A∗ x) = (y, A∗ (A−1 )∗ x) = hy, xi. với mọi x, y ∈ H. Điều này dẫn đến (2.2). Hệ quả 2.2. Nếu một toán tử bị chặn tự liên hợp A có nghịch đảo bị chặn A−1 thì A−1 là tự liên hợp. 13