1
Lêi c¶m ¬n
T«i xin tr©n träng c¶m ¬n TS. NguyÔn ThÞ Dung, ngêi thÇy trùc tiÕp
híng dÉn vµ tËn t×nh chØ b¶o, gióp ®ì t«i, t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho
t«i hoµn thµnh luËn v¨n nµy.
T«i xin tr©n träng c¶m ¬n GS. TSKH NguyÔn Tù Cêng, GS. TSKH Lª
TuÊn Hoa, PGS. TS NguyÔn Quèc Th¾ng ë ViÖn To¸n häc Hµ Néi, cïng toµn
thÓ Ban Gi¸m hiÖu trêng §¹i häc S ph¹m Th¸i Nguyªn vµ phßng §µo t¹o
sau §¹i häc, tr©n träng c¶m ¬n PGS. TS Lª Thanh Nhµn cïng c¸c thÇy c«
gi¸o khoa To¸n trêng §¹i häc S ph¹m Th¸i Nguyªn ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y
vµ gióp ®ì t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp t¹i trêng vµ thùc hiÖn ®Ò tµi nµy.
Cuèi cïng t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ®Õn cha mÑ, ngêi th©n, b¹n bÌ, ®Æc
biÖt lµ chång t«i, ®· lu«n ñng hé, ®éng viªn vµ khuyÕn khÝch t«i hoµn thµnh
kÕ ho¹ch häc tËp, còng nh thùc hiÖn thµnh c«ng ®Ò tµi cña m×nh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
2
Më ®Çu
Cho
duy nhÊt
mçi
lµ vµnh giao ho¸n, ®Þa ph¬ng, Noether víi i®ªan cùc ®¹i
(R, m)
m; M
R-m«®un
lµ
R-m«®un
h÷u h¹n sinh
AnnR M/pM = p,
h÷u h¹n sinh vµ
M,
A
lµ
R-m«®un
Artin. §èi víi
theo Bæ ®Ò Nakayama ta lu«n cã tÝnh chÊt
víi mäi i®ªan nguyªn tè
p
chøa
AnnR M .
Mét c©u hái
tù nhiªn ®îc ®Æt ra lµ liÖu r»ng cã mét tÝnh chÊt t¬ng tù nh vËy cho mäi
m«®un Artin trªn vµnh giao ho¸n bÊt kú hay kh«ng. N. T. Cêng vµ L. T.
Nhµn [5] ®· chØ ra r»ng nh×n chung c©u tr¶ lêi cho c©u hái trªn lµ phñ ®Þnh,
vµ ë ®ã, hä ®· giíi thiÖu mét líp m«®un Artin tho¶ m·n c©u tr¶ lêi kh¼ng
®Þnh cña c©u hái trªn nh sau:
A ®îc gäi lµ tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) (hay cßn
gäi lµ tÝnh chÊt linh ho¸ tö) nÕu
AnnR (0 :A p) = p, ∀p ∈ V (AnnR A).
(∗)
ý nghÜa ®Çu tiªn cña tÝnh chÊt (∗) lµ "lµm m¹nh" thªm c«ng cô nghiªn cøu
m«®un Artin b»ng lý thuyÕt chiÒu. Ta ®· biÕt r»ng mét trong nh÷ng c«ng cô
®Ó nghiªn cøu m«®un Artin lµ kh¸i niÖm chiÒu Noether ®îc ®a ra bëi R.
N. Robert [14] vµ D. Kirby [7]. Bªn c¹nh ®ã, mét c¸ch tù nhiªn, ngêi ta
còng dïng kh¸i niÖm
m«®un Artin. NÕu
R
chiÒu Krull
dimR A = dim R/ AnnR A ®Ó nghiªn cøu
lµ vµnh ®Þa ph¬ng ®Çy ®ñ th× ®èi ngÉu Matlis cho ta
mét t¬ng ®¬ng gi÷a ph¹m trï c¸c m«®un Noether vµ m«®un Artin. V× thÕ,
trªn vµnh ®Þa ph¬ng ®Çy ®ñ, tÝnh chÊt (∗) lu«n tho¶ m·n vµ lu«n cã ®¼ng thøc
N-dimRb A = dimRb A, víi mäi R-m«®un Artin A. Tuy nhiªn, trªn vµnh giao
ho¸n tuú ý ta chØ cã
Artin sao cho
N-dimR A 6 dimR A,
thËm chÝ tån t¹i nh÷ng m«®un
N-dimR A < dimR A (xem [5, VÝ dô 4.1]). Mét vÊn ®Ò ®Æt ra
lµ t×m ®iÒu kiÖn khi nµo x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. KÕt qu¶ chÝnh cña [5, MÖnh ®Ò
4.5] chØ ra r»ng nÕu
A tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) th× ta cã N-dimR A = dimR A.
KÕt qu¶ tiÕp theo vÒ tÝnh chÊt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(∗)
trong N. T. Cêng, N. T. Dung vµ
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
3
L. T. Nhµn [3] cho phÐp ta nghiªn cøu tÝnh catenary cña tËp gi¸ kh«ng
trén lÉn cña mét m«®un h÷u h¹n sinh
hiÖu
UM (0)
M.
lµ m«®un con lín nhÊt cña
Usupp M = Supp(M/UM (0))
lµ
M
Gi¶ sö r»ng
cã chiÒu nhá h¬n
gi¸ kh«ng trén lÉn
ph¸t tõ bµi to¸n nghiªn cøu tÝnh chÊt
(∗)
khi
d.
KÝ
Ta gäi tËp
cña m«®un
M.
XuÊt
cho mét líp m«®un Artin ®Æc biÖt
lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt
qu¶ kh¸ bÊt ngê, ®ã lµ gi¸ kh«ng trén lÉn
dimR M = d.
Hmd (M ), hä ®· thu ®îc kÕt
Usupp(M ) lµ catenary khi vµ chØ
Hmd (M ) tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗).
Ta ®· biÕt r»ng c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
h÷u h¹n sinh
M,
víi
i < d
Hmi (M ) cña m«®un
lµ m«®un Artin vµ líp m«®un nµy nh×n chung
còng kh«ng tho¶ m·n tÝnh chÊt
(∗), ngay c¶ khi R lµ vµnh catenary. §iÒu ®ã
chÝnh lµ ý tëng ®Ó L. T. Nhµn vµ T. N. An [13] tiÕp tôc nghiªn cøu tÝnh chÊt
(∗) cho c¸c m«®un Hmi (M ), víi i = 1, . . . , d − 1. Theo M. Brodmann vµ R.
Y. Sharp [2], tËp
gi¶ support thø
i cña M , ký hiÖu lµ PsuppiR (M ) ®îc ®Þnh
nghÜa bëi
i−dim(R/p)
{p ∈ Spec R | HpRp
(Mp ) 6= 0}.
Khi ®ã víi mçi i, hä ®a ra ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó m«®un
m·n tÝnh chÊt
(∗),
Hmi (M )
tho¶
qua ®ã thu ®îc tÝnh ®ãng cña tËp gi¶ support cña
M
vµ víi gi¶ thiÕt nµy, hä më réng c«ng thøc liªn kÕt víi béi cho c¸c m«®un
Hmi (M ) cña Brodmann - Sharp. H¬n n÷a, còng qua nghiªn cøu tÝnh chÊt (∗)
cho c¸c m«®un
R/ AnnR M
Hmi (M ),
hä thu ®îc tÝnh catenary phæ dông cña c¸c vµnh
vµ tÝnh chÊt kh«ng trén lÉn cña vµnh
R/p,
Hµng lo¹t c¸c kÕt qu¶ trªn chøng tá r»ng tÝnh chÊt
(∗)
víi
p ∈ Supp M .
kh«ng nh÷ng cã ý
nghÜa trong viÖc nghiªn cøu c¸c m«®un Artin mµ cßn th«ng qua ®ã cã thÓ
hiÓu râ h¬n cÊu tróc cña c¸c m«®un h÷u h¹n sinh.
Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy l¹i mét c¸ch chi tiÕt c¸c kÕt qu¶ vÒ
tÝnh chÊt
(∗) ®· nªu ë trªn trong bµi b¸o "On the unmixedness and universal
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
4
catenaricity of rings and local cohomology modules
" cña L. T. Nhµn vµ T.
N. An ë t¹p chÝ §¹i sè n¨m 2008 vµ mét phÇn bµi b¸o cña N. T. Cêng, N.
T. Dung vµ L. T. Nhµn "Top
local cohomology and the catenaricity of the
unmixed support of a finitely generated module
" trªn t¹p chÝ Communication
in Algebra n¨m 2007.
LuËn v¨n ®îc chia lµm hai ch¬ng. Ch¬ng I dµnh ®Ó hÖ thèng l¹i mét sè
kiÕn thøc vÒ m«®un Artin, biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether, vµnh catenary,
vµnh thí,... Ch¬ng II giíi thiÖu vÒ tÝnh chÊt
(∗)
(tÝnh chÊt linh ho¸ tö) cña
m«®un Artin vµ chøng minh ®Æc trng tÝnh catenary cña tËp gi¸ kh«ng trén
lÉn
Usupp M
th«ng qua tÝnh chÊt
(∗) cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
cÊp cao nhÊt. Néi dung chÝnh cña ch¬ng II lµ ®Æc trng cho tÝnh chÊt
cña c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
(∗)
Hmi (M ), kÕt qu¶ nµy mang l¹i tÝnh
i
®ãng cña tËp gi¶ support PsuppR (M ) vµ më réng ®îc c«ng thøc liªn kÕt víi
béi cña M. Brodmann vµ R. Y. Sharp. H¬n n÷a, còng th«ng qua tÝnh chÊt
cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa phu¬ng
phæ dông cña vµnh
víi
R/ AnnR M
Hmi (M ),
(∗)
®Æc trng tÝnh chÊt catenary
vµ tÝnh chÊt kh«ng trén lÉn cña vµnh
R/p,
p ∈ SuppR M .
PhÇn kÕt luËn cña luËn v¨n tæng kÕt l¹i toµn bé c¸c kÕt qu¶ ®· ®¹t ®îc.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
5
Ch¬ng 1
KiÕn thøc chuÈn bÞ
Trong toµn bé ch¬ng nµy, ta lu«n ký hiÖu
R lµ vµnh giao ho¸n, Noether
kh«ng nhÊt thiÕt ®Þa ph¬ng (gi¶ thiÕt ®Þa ph¬ng khi cÇn sÏ ®îc nªu trong
tõng trêng hîp cô thÓ),
M
lµ
R-m«®un h÷u h¹n sinh, A lµ R-m«®un Artin.
Ch¬ng nµy dµnh ®Ó nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n ®îc dïng phôc vô
cho c¸c chøng minh ë ch¬ng sau cña luËn v¨n: CÊu tróc cña m«®un Artin,
biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether, sè béi cña m«®un Artin, m«®un ®èi ®ång
®iÒu ®Þa ph¬ng, tÝnh catenary, catenary phæ dông vµ thí h×nh thøc cña vµnh
vµ m«®un,...
1.1
M«®un Artin
Cho
m lµ mét i®ªan cùc ®¹i cña vµnh R. Nh¾c l¹i r»ng m«®un con m-xo¾n
Γm (A) cña A ®îc ®Þnh nghÜa bëi
Γm (A) =
[
(0 :A mn ).
n≥0
Khi ®ã, ta cã kÕt qu¶ sau.
MÖnh ®Ò 1.1.1.
(i) Gi¶ sö
cùc ®¹i
[15, MÖnh ®Ò 1.4, Bæ ®Ò 1.6]
A lµ mét R-m«®un Artin kh¸c kh«ng. Khi ®ã chØ cã h÷u h¹n i®ªan
m
cña
R
sao cho
Γm (A) 6= 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
NÕu c¸c i®ªan cùc ®¹i ph©n biÖt ®ã
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
6
lµ
m1 , . . . , mr
th×
A = Γm1 (A) ⊕ . . . ⊕ Γmr (A) vµ Supp A = {m1 , . . . , mr }.
j ∈ {1, . . . , r},
(ii) Víi mçi
mét tù ®¼ng cÊu cña
Rmj -m«®un
Γmj (A).
nÕu
s ∈ R \ mj ,
Do ®ã
Γmj (A)
th× phÐp nh©n bëi
Γmj (A)
lµ mét
R-m«®un
Rmj -m«®un con. §Æc biÖt
Amj ∼
= Γmj (A),
KÝ hiÖu 1.1.2.
cho ta
cã cÊu tróc tù nhiªn cña mét
vµ víi cÊu tróc nµy, mét tËp con cña
con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ
s
víi mäi
j = 1, . . . , r.
§Ó cho thuËn tiÖn, tõ giê trë ®i ta ®Æt
A = A1 ⊕ . . . ⊕ Ar
vµ
\
JA =
m,
m∈Supp A
trong ®ã
Aj = ∪ (0 :A mnj ) (1 6 j 6 r). Chó ý r»ng khi (R, m) lµ vµnh ®Þa
ph¬ng th×
Cho
cña
R,
n>0
JA = m.
(R, m)
lµ vµnh ®Þa ph¬ng. Nh¾c l¹i r»ng
ký hiÖu bëi
b
R,
®Çy ®ñ theo t« p«
m-adic
lµ tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c d·y Cauchy theo
quan hÖ t¬ng ®¬ng x¸c ®Þnh bëi c¬ së l©n cËn cña phÇn tö 0 lµ c¸c i®ªan
b ®îc trang bÞ hai phÐp to¸n hai ng«i: phÐp céng, phÐp
mt , t = 0, 1, 2, . . .. R
b lµm thµnh mét vµnh.
nh©n c¸c d·y Cauchy vµ cïng víi hai phÐp to¸n nµy, R
Mçi phÇn tö
r∈R
cã thÓ ®ång nhÊt víi líp t¬ng ®¬ng cña d·y Cauchy
mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö trong d·y ®Òu lµ
MÖnh ®Ò 1.1.3.
r
(xem [10]).
[15, Bæ ®Ò 1.11, HÖ qu¶ 1.12]
kh«ng trªn vµnh ®Þa ph¬ng
(R, m).
Cho
Khi ®ã,
A
A lµ R-m«®un Artin kh¸c
cã cÊu tróc tù nhiªn cña
b-m«®un, trong ®ã R
b lµ vµnh ®Çy ®ñ theo t«p« m-adic cña R vµ mäi tËp con
R
b
cña A lµ R-m«®un con cña A nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R-m«®un con cña A. Do
®ã,
b-m«®un Artin.
A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
7
Cho
(R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng, ®Çy ®ñ. §Æt E = E(R/m) lµ bao néi x¹
cña trêng thÆng d
c¸c
R/m.
KÝ hiÖu
D() = HomR (, E)
tõ ph¹m trï
CR
R-m«®un vµ R-®ång cÊu vµo chÝnh nã. Víi mçi R-m«®un M , ®Æt
µM : M −→ DD(M ) = HomR (HomR (M, E), E)
lµ
R-®ång
cÊu tù nhiªn cho bëi
f ∈ Hom(M, E).
víi mäi
µM (x)(f ) = f (x),
x ∈ M,
vµ
Khi ®ã ta cã kÕt qu¶ sau cña E. Matlis ®îc tr×nh bµy
trong [9, §Þnh lý 4.2] (xem thªm [15, §Þnh lý 2.1]).
MÖnh ®Ò 1.1.4.
R-m«®un E
(i)
lµ
Artin.
Víi
mçi
f ∈ HomR (E, E),
tån
t¹i
duy
nhÊt
af ∈ R : f (x) = af x, ∀x ∈ E.
(ii) NÕu
(iii) NÕu
(iv)
th×
N
lµ
R-m«®un Noether, th× D(N ) lµ Artin .
A lµ R-m«®un Artin, th× D(A) lµ Noether.
Ann M = Ann D(M ),
vµ nÕu
M
lµ
R-m«®un
sao cho
`R (M ) < ∞,
`R (D(M )) = `R (M ).
1.2
BiÓu diÔn thø cÊp
Lý thuyÕt biÓu diÔn thø cÊp ®îc ®a ra bëi I. G. Macdonald [8] ®îc xem
nh lµ ®èi ngÉu víi lý thuyÕt ph©n tÝch nguyªn s¬ quen biÕt cho c¸c m«®un
Noether vµ ®©y lµ mét c«ng cô h÷u hiÖu ®Ó nghiªn cøu c¸c m«®un Artin.
§Þnh nghÜa 1.2.1.
nÕu víi mäi
lµ
R-m«®un M
®îc gäi lµ
x ∈ R, phÐp nh©n bëi x trªn M
trêng hîp nµy
M
(i) Mét
thø cÊp
nÕu
M 6= 0
vµ
lµ toµn cÊu hoÆc luü linh. Trong
Rad(AnnR M ) lµ i®ªan nguyªn tè, ch¼ng h¹n lµ p, vµ ta gäi
p-thø cÊp.
(ii) Cho
M
lµ
R-m«®un.
M = N1 + . . . + Nn
Mét biÓu diÔn thø cÊp
cña
M
lµ mét ph©n tÝch
thµnh tæng h÷u h¹n c¸c m«®un con pi -thø cÊp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ni . NÕu
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
8
M = 0 hoÆc M
cã mét biÓu diÔn thø cÊp th× ta nãi M lµ
diÔn thø cÊp nµy ®îc gäi lµ
tèi thiÓu
kh¸c nhau vµ kh«ng cã h¹ng tö
Ni
cÊp tèi thiÓu cña
hiÖu bëi
M
AttR M .
thø cÊp cña
nµo lµ thõa, víi mäi
®Òu cã thÓ ®a ®îc vÒ d¹ng
C¸c h¹ng tö
tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt
cña
M , kÝ
Ni , i = 1, . . . , n, ®îc gäi lµ c¸c thµnh phÇn
M.
khi vµ chØ khi
(ii) Cho
M
i = 1, . . . , n.
{p1 , . . . , pn } lµ ®éc lËp víi viÖc chän biÓu diÔn thø
vµ ®îc gäi lµ
MÖnh ®Ò 1.2.2. i) Cho
thiÓu cña
. BiÓu
nÕu c¸c i®ªan nguyªn tè pi lµ ®«i mét
DÔ thÊy r»ng mäi biÓu diÔn thø cÊp cña
tèi thiÓu. Khi ®ã tËp hîp
biÓu diÔn ®îc
M
lµ mét
R-m«®un
biÓu diÔn ®îc. Khi ®ã
M 6= 0
AttR M 6= ∅. Trong trêng hîp nµy tËp c¸c i®ªan nguyªn tè tèi
R chøa Ann(M ) chÝnh lµ tËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu cña AttR M.
0 −→ M 0 −→ M −→ M 00 −→ 0
lµ d·y khíp c¸c
R-m«®un
biÓu
diÔn ®îc. Khi ®ã ta cã
AttR M 00 ⊆ AttR M ⊆ AttR M 0 ∪ AttR M 00 .
Cho A lµ mét R-m«®un Artin. Khi ®ã,
A lµ biÓu diÔn ®îc. H¬n n÷a, theo
b-m«®un vµ víi cÊu tróc nµy mçi
MÖnh ®Ò 1.1.3, A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R
tËp con cña
cho thÊy
b-m«®un con. §iÒu nµy
A lµ R-m«®un con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R
b-m«®un lµ nh
c¸c dµn m«®un con cña A xÐt nh R-m«®un vµ R
nhau. Tõ ®ã ta cã c¸c kÕt qu¶ sau (xem [15, HÖ qu¶ 1.12, HÖ qu¶ 2.7]).
MÖnh ®Ò 1.2.3. C¸c mÖnh ®Ò sau lµ ®óng.
(i)
AttR A = {b
p∩R:b
p ∈ AttRb A}.
(ii)NÕu
R lµ vµnh ®Þa ph¬ng, ®Çy ®ñ, th× ta cã
a) NÕu
N
b) NÕu
A lµ R-m«®un Artin, th× AssR (D(A)) = AttR (A).
lµ
R-m«®un Noether, th× AttR (D(N )) = AssR (N ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
9
1.3
ChiÒu Noether vµ sè béi cña m«®un Artin
Nh¾c l¹i r»ng mét d·y c¸c i®ªan nguyªn tè
®îc gäi lµ d·y nguyªn tè
p0 ⊆ p1 ⊆ . . . ⊆ pn ,
®ã pi
6= pi+1
vµnh
R, ký hiÖu lµ dim R lµ cËn trªn cña ®é dµi cña c¸c d·y i®ªan nguyªn tè
trong
R. ChiÒu Krull cña m«®un M , ký hiÖu lµ dim M
cã ®é dµi n
. Khi ®ã
trong
chiÒu Krull
lµ cËn trªn cña c¸c sè
n sao cho cã mét d·y nguyªn tè cã ®é dµi n trong Supp M . V× M
h÷u h¹n sinh nªn ta cã
cña
lµ m«®un
Supp M = V (AnnR M ), do ®ã
dim M = dim R/ AnnR M = sup dim(R/p).
p∈Ass M
Kh¸i niÖm ®èi ngÉu víi chiÒu Krull cho mét m«®un Artin ®îc ®a ra bëi
R. N. Roberts [14] vµ sau ®ã D. Kirby [7] ®æi tªn thµnh chiÒu Noether ®Ó
tr¸nh nhÇm lÉn víi chiÒu Krull ®· ®îc ®Þnh nghÜa cho c¸c m«®un Noether.
C¸c thuËt ng÷ vÒ chiÒu Noether ®îc dïng trong luËn v¨n lµ theo [7].
§Þnh nghÜa 1.3.1. ChiÒu Noether
cña m«®un Artin A, ký hiÖu bëi N-dimR A,
®îc ®Þnh nghÜa b»ng quy n¹p nh sau:
Khi
A = 0, ®Æt N-dimR A = −1.
Víi
A 6= 0,
N-dimR A < d
con cña
A,
cho mét sè nguyªn
d ≥ 0,
lµ sai vµ víi mçi d·y t¨ng
tån t¹i sè nguyªn
n0
sao cho
ta ®Æt
N-dimR A = d
A0 ⊆ A1 ⊆ . . .
nÕu
c¸c m«®un
N-dimR (An+1 /An ) < d,
víi mäi
n > n0 .
VÝ dô 1.3.2.
Cho
M
lµ
Noether khi vµ chØ khi
R-m«®un
M
n > n0 .
víi mäi
n > n0 .
N-dimR M = 0.
Mn+1 /Mn = 0,
V×
lµ
R-m«®un
ThËt vËy, gi¶ sö
M
lµ
R-m«®un
M0 ⊆ M1 ⊆ . . . ⊆ Mn ⊆ . . .
®Òu dõng nªn tån t¹i
Do ®ã,
M
N-dimR M = 0.
Noether. V× mäi d·y t¨ng
con cña
kh¸c kh«ng. Khi ®ã
M 6= 0
nªn
n0 ∈ N
v× thÕ
sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mn = Mn+1 ,
víi mäi
N-dimR (Mn+1 /Mn ) = −1 < 0,
N-dimR M > 0
Ngîc l¹i, gi¶ sö
c¸c m«®un
vµ do ®ã theo ®Þnh nghÜa,
N-dimR M = 0.
Khi ®ã, lÊy mét d·y
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
10
t¨ng bÊt kú
N0 ⊆ N1 ⊆ . . . ⊆ Nn ⊆ . . . c¸c m«®un con cña M .
nghÜa, tån t¹i sè nguyªn d¬ng
víi mäi
k > n0 .
nghÜa lµ
M
lµ
Do ®ã,
n0
sao cho
Nk+1 = Nk ,
Theo ®Þnh
N-dimR (Nk+1 /Nk ) = −1 < 0,
víi mäi
n > n0
hay d·y trªn lµ dõng,
R-m«®un Noether.
ChiÒu Noether cho m«®un Artin cã nhiÒu tÝnh chÊt theo mét nghÜa nµo
®ã ®èi ngÉu víi chiÒu Krull cho m«®un h÷u h¹n sinh. Ta ®· biÕt r»ng ®èi
víi mçi m«®un h÷u h¹n sinh
vµ `R (M )
< ∞.
M
th×
dim M = 0
nÕu vµ chØ nÕu
M 6= 0
Tõ §Þnh nghÜa 1.3.1 ta cã mét sè tÝnh chÊt sau vÒ chiÒu
Noether.
Bæ ®Ò 1.3.3. (i)
N-dimR A = 0 nÕu vµ chØ nÕu A 6= 0 vµ `R (A) < ∞. Trong
trêng hîp nµy
AttR A = {m}. H¬n n÷a, nÕu
0 −→ A0 −→ A −→ A00 −→ 0
lµ d·y khíp c¸c
R-m«®un Artin th×
N-dimR A = max{N-dimR A0 , N-dimR A00 }.
N-dimR A 6 dim R/ AnnR A = max{dim R/p : p ∈ AttR A}
(ii)
t¹i m«®un Artin
(iii)
vµ tån
A sao cho N-dimR A < dim R/ AnnR A.
b Ann b A = max{dim R/
b b
N-dimRb A = dim R/
p: b
p ∈ AttRb A}.
R
(iv) Cho
(R, m)
lµ vµnh ®Þa ph¬ng vµ
cÊu tróc tù nhiªn cña
A
lµ
R-m«®un
Artin.
Khi ®ã
A
cã
b-m«®un Artin vµ ta cã
R
N-dimR A = N-dimRb A.
ChÝnh v× vËy, ta cã thÓ viÕt
N-dim A thay cho N-dimR A hoÆc N-dimRb A.
§· cã nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu cÊu tróc cña c¸c m«®un Artin
A th«ng qua
chiÒu Noether cña chóng vµ mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Noether cho m«®un
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
11
Artin ®îc xem lµ ®èi ngÉu víi mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Krull cho m«®un
h÷u h¹n sinh ®· ®îc ®a ra (xem [5], [7], [14],...). §Æc biÖt lµ kÕt qu¶ sau
®îc R. N. Roberts [14, §Þnh lý 6] chøng minh cho trêng hîp vµnh tùa ®Þa
ph¬ng vµ sau ®ã ®îc NguyÔn Tù Cêng vµ Lª Thanh Nhµn [4, §Þnh lý 2.6]
chøng minh cho trêng hîp vµnh giao ho¸n bÊt kú.
MÖnh ®Ò 1.3.4.
`R (0 :A JAn ) lµ mét ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû khi n 0 vµ
N-dim A = deg(`(0 :A JAn ))
= inf{t : ∃x1 , . . . , xt ∈ JA
sao cho
`(0 :A (x1 , . . . , xt )R) < ∞}.
MÖnh ®Ò 1.3.4 cho phÐp ta ®a ra kh¸i niÖm hÖ béi, sè béi, hÖ tham sè cña
mét m«®un Artin
phÇn tö trong
A
x = (x1 , . . . , xt )
c¸c
m sao cho `(0 :A (x1 , . . . , xt )R) < ∞ ®îc gäi lµ mét hÖ béi
cña A. Trêng hîp t
hÖ
(xem [4]). Nh¾c l¹i r»ng mét hÖ
= 0 th× ta hiÓu `R (A) < ∞. Vµ khi t = N-dim A = d th×
x = (x1 , . . . , xd ) ®îc gäi lµ hÖ tham sè cña A. Mét phÇn tö x ∈ m ®îc
gäi lµ
phÇn tö tham sè
cña
A nÕu vµ chØ nÕu N-dim(0 :A x) = N-dim A − 1.
§èi víi mçi m«®un Artin
A,
Hilbert-Samuel nh sau. Gi¶ sö
`R (0 :A q) < ∞.
bËc
sè béi ®îc ®Þnh nghÜa th«ng qua ®a thøc
dim R = d.
Cho
Khi ®ã hµm ®é dµi `R (0 :A
q
lµ i®ªan cña
qn+1 )
R
sao cho
lu«n lµ ®a thøc theo
n
N-dim A víi hÖ sè h÷u tû khi n 0. Theo Bæ ®Ò 1.3.3 (ii), ta cã
N-dim A 6 dim A = dim R/ AnnR A 6 dim R.
V× thÕ, ta cã thÓ biÓu diÔn ®a thøc nµy díi d¹ng
`R (0 :A q
n+1
e0 (q; A) d
)=
n +
d!
®a thøc cã bËc nhá h¬n
d, n 0,
trong ®ã e0 (q; A) lµ mét sè nguyªn kh«ng ©m. Nh vËy, nÕu
th× e0 (q; A)
N-dim A = d
> 0 vµ nÕu N-dim A < d th× e0 (q; A) = 0. Khi N-dim A = d ta
gäi e0 (q; A) lµ
sè béi cña
A øng víi i®ªan q.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
12
Trong [4], Cêng-Nhµn ®· ®Þnh nghÜa
sè béi h×nh thøc
øng víi mét hÖ béi
cña
A b»ng quy n¹p vµ hä ®· chØ ra r»ng khi i®ªan q sinh bëi mét hÖ tham sè
cña
A
vµ
N-dim A = dim R = d
th× ®Þnh nghÜa nµy t¬ng ®¬ng víi ®Þnh
nghÜa sè béi th«ng qua ®a thøc Hilbert-Samuel ë trªn. MÖnh ®Ò sau trong [4]
cho ta mét sè tÝnh chÊt cña hÖ béi vµ sè béi cho m«®un Artin.
MÖnh ®Ò 1.3.5. Cho
x = (x1 , . . . , xt ) lµ mét hÖ béi cña A vµ n1 , . . . , nt
lµ
x(n) = (xn1 1 , . . . , xnt t ). Khi ®ã ta cã c¸c tÝnh chÊt
c¸c sè nguyªn d¬ng. §Æt
sau.
(i)
`(0 :A x(n)R) 6 n1 . . . nt `(0 :A xR) vµ e0 x(n); A = n1 . . . nt e0 (x; A).
(ii) Cho d·y khíp c¸c
R-m«®un
Artin
0 −→ A0 −→ A −→ A00 −→ 0. Khi
®ã
x lµ mét hÖ béi cña A nÕu vµ chØ nÕu x lµ mét hÖ béi cña A0
cã
e0 (x; A) = e0 (x; A0 ) + e0 (x; A00 ).
(iii) Ta lu«n cã
chØ nÕu
1.4
0 6 e0 (x; A) 6 `(0 :A xR).
H¬n n÷a
vµ
A00
e0 (x; A) > 0
vµ ta
nÕu vµ
t = d = N-dim A.
M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
Tríc hÕt, ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cña mét
m«®un tuú ý.
§Þnh nghÜa 1.4.1.
R-m«®un.
ký hiÖu lµ
M«®un
Cho
I
lµ mét i®ªan cña vµnh Noether
®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng thø
i
cña
M
R
vµ
M
lµ mét
øng víi i®ªan
I,
HIi (M ) ®îc ®Þnh nghÜa bëi
HIi (M ) = Ri (ΓI (M )),
trong ®ã
øng víi
Ri (ΓI (M )) lµ m«®un dÉn suÊt ph¶i thø i cña hµm tö I -xo¾n ΓI ()
M.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
13
Cho
f
g
0 −→ L −→ M −→ N −→ 0
Khi ®ã, do tÝnh chÊt
δ -hµm
lµ mét d·y khíp c¸c
R−m«®un.
tö ®èi ®ång ®iÒu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa
ph¬ng, ta cã d·y khíp dµi
H 0 (f )
H 0 (g)
H 1 (f )
H 1 (g)
I
I
0 −→ HI0 (L) −→
HI0 (M ) −→
HI0 (N )
I
I
−→ HI1 (L) −→
HI1 (M ) −→
HI1 (N )
−→ . . .
−→
HIi (f )
i
HI (L) −→
HIi (g)
i
HI (M ) −→
HIi (N )
−→ HIi+1 (L) −→ . . .
víi mäi
i ∈ N.
§Þnh lý sau ®©y cña Grothedieck lµ mét kÕt qu¶ ®Ñp ®Ï vÒ tÝnh triÖt tiªu
vµ kh«ng triÖt tiªu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng.
§Þnh lý 1.4.2.
®ã,
[1, §Þnh lý 6.1.2, §Þnh lý 6.1.4]
(i) Cho
M
lµ
R-m«®un. Khi
HIi (M ) = 0, víi mäi i > dim M.
(ii) Gi¶ sö
(R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng vµ M
kh«ng vµ chiÒu Krull
lµ
R-m«®un h÷u h¹n sinh, kh¸c
dim M = d. Khi ®ã Hmd (M ) 6= 0.
TiÕp theo lµ tÝnh Artin cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng.
§Þnh lý 1.4.3.
M
ph¬ng,
víi mäi
lµ
[1, §Þnh lý 7.1.3, §Þnh lý 7.1.6]
(i) Cho
R-m«®un
R-m«®un Hmi (M )
h÷u h¹n sinh.
Khi ®ã,
(R, m)
lµ vµnh ®Þa
lµ Artin
i ∈ N0 .
(ii) Cho
(R, m)
R-m«®un
lµ vµnh ®Þa ph¬ng,
I
lµ mét i®ªan bÊt k× cña
h÷u h¹n sinh, kh¸c kh«ng cã chiÒu Krull
R, M
dim M = d.
lµ
Khi ®ã,
R-m«®un HId (M ) lµ Artin.
C¸c §Þnh lý ®æi c¬ së ph¼ng vµ Nguyªn lý ®Þa ph¬ng ho¸ n©ng yÕu còng
thêng ®îc dïng trong luËn v¨n.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
14
[1, §Þnh lý 4.3.2]
§Þnh lý 1.4.4.
Gi¶ sö
f : R −→ R0
lµ ®ång cÊu ph¼ng
gi÷a c¸c vµnh. Khi ®ã
HIi (M ) ⊗R R0 ∼
= HIi (M ⊗R R0 ).
§Þnh lý 1.4.5.
[1, §Þnh lý 11.3.8]
dim R/p = t.
(R, m)
NÕu víi mçi sè nguyªn
lµ vµnh ®Þa ph¬ng,
p ∈ Spec R,
i, q ∈ Spec R, q ⊆ p
mµ ta cã
i
(Mp )) th× q ∈ AttR (Hmi+t (M )).
qRp ∈ AttRp (HpR
p
KÕt qu¶ sau ®©y cña Cêng-Nhµn cho ta mét cËn trªn cña chiÒu Noether
cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng.
MÖnh ®Ò 1.4.6.
vµ
I
[5, §Þnh lý 3.1, §Þnh lý 3.5] (i) Cho t lµ mét sè nguyªn d¬ng
lµ mét i®ªan cña
R.
Gi¶ sö r»ng c¸c m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
HIi (M ) lµ Artin, víi mäi i = 1, . . . , t. Khi ®ã ta cã
N-dimR (HIi (M )) 6 i,
víi mäi
(ii) Cho
i = 0, 1, . . . , t.
M
lµ m«®un h÷u h¹n sinh víi
cho m«®un Artin
dim M = d vµ I
lµ i®ªan cña
R sao
HId (M ) lµ kh¸c 0. Khi ®ã
N-dimR (HId (M )) = d
vµ do ®ã,
HId (M ) kh«ng lµ h÷u h¹n sinh nÕu d > 0.
MÖnh ®Ò 1.4.7. Cho
(R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng, M
h÷u h¹n sinh víi chiÒu
dim M = d. Khi ®ã
AttR (Hmd (M )) = {p ∈ AssR M | dim R/p = d}.
1.5
TÝnh catenary phæ dông, tÝnh kh«ng trén lÉn vµ thí
h×nh thøc
Nh¾c l¹i r»ng vµnh
R
®îc gäi lµ
mäi i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu
®¼ng chiÒu
nÕu
q ∈ min(Ass R)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
dim R/q = dim R,
vµ m«®un
M
víi
®îc gäi
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
15
lµ
®¼ng chiÒu
nÕu
p ∈ min(Ass M ).
dim R/p = dim M
víi mäi i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu
TiÕt nµy dµnh ®Ó nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt cña líp vµnh
vµ m«®un catenary phæ dông vµ kh«ng trén lÉn. Tríc hÕt ta nh¾c l¹i mét sè
kh¸i niÖm sau (xem [10] vµ [12]).
§Þnh nghÜa 1.5.1.
i®ªan nguyªn tè
®îc gäi lµ
Cho
p⊂q
lµ c¸c i®ªan nguyªn tè cña
R.
Mét d·y c¸c
p = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = q sao cho pi 6= pi+1 , víi mäi i,
d·y nguyªn tè b·o hoµ
gi÷a
p
vµ
q
nÕu víi mäi i, kh«ng tån t¹i
mét i®ªan nguyªn tè nµo chen gi÷a pi vµ pi+1 .
§Þnh nghÜa 1.5.2.
(i) Vµnh
R
lµ
catenary
nÕu víi mçi cÆp i®ªan nguyªn tè
p, q cña R sao cho p ⊂ q, mäi d·y b·o hoµ c¸c i®ªan nguyªn tè b¾t ®Çu tõ p
vµ kÕt thóc t¹i
q ®Òu cã cïng ®é dµi.
(ii) Ta nãi r»ng
p, q ∈ Supp M
b¾t ®Çu tõ
Supp M
sao cho
lµ
p ⊂ q,
nÕu víi mçi cÆp i®ªan nguyªn tè
th× mäi d·y b·o hoµ c¸c i®ªan nguyªn tè
p vµ kÕt thóc t¹i q ®Òu cã cïng ®é dµi.
Chó ý r»ng nÕu vµnh
R
dim R/p + ht p = dim R,
r»ng
catenary
Supp M
lµ ®¼ng chiÒu th×
M
lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu
víi mäi i®ªan nguyªn tè
lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu
trong trêng hîp
R
lµ ®¼ng chiÒu th×
p
R/ AnnR M
Supp M
cña
R,
vµ râ rµng
lµ catenary. Do ®ã,
lµ catenary nÕu vµ chØ nÕu
dim R/p + dim Mp = dim M , víi mäi p ∈ Supp M.
§Þnh nghÜa 1.5.3.
Vµnh
R ®îc gäi lµ catenary phæ dông nÕu mäi R-®¹i sè
h÷u h¹n sinh ®Òu lµ catenary.
Chó ý r»ng nÕu
sao cho
S
lµ
R-®¹i sè h÷u h¹n sinh, tøc lµ tån t¹i a1 , . . . , at ∈ S
S = R[a1 , . . . , at ]
tõ vµnh ®a thøc
i = 1, . . . , t.
t
biÕn
V× thÕ,
S
th× cã toµn cÊu vµnh
R[x1 , . . . , xt ]
®Õn
S
ϕ : R[x1 , . . . , xt ] −→ S
sao cho
ϕ(xi ) = ai ,
víi mäi
®¼ng cÊu víi vµnh th¬ng cña vµnh ®a thøc. V× vµnh
th¬ng cña vµnh catenary lµ vµnh catenary nªn suy ra vµnh
dông nÕu vµ chØ nÕu mäi vµnh ®a thøc víi hÖ sè trªn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
R lµ catenary phæ
R ®Òu lµ catenary.
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
16
R ®îc gäi lµ kh«ng trén lÉn (unmixed)
b b
b vµ vµnh R
nÕu dim(R/
p) = dim R víi mäi i®ªan nguyªn tè b
p ∈ Ass R
b lµ ®¼ng chiÒu, tøc lµ
®îc gäi lµ tùa kh«ng trén lÉn (quasi-unmixed) nÕu R
§Þnh nghÜa 1.5.4.
(Xem [12]) Vµnh
b b
b víi mäi i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu b
b.
dim R/
p = dim R
p ∈ Ass R
Sau ®©y lµ mét sè kÕt qu¶ vÒ mèi liªn hÖ gi÷a tÝnh catenary phæ dông vµ
tùa kh«ng trén lÉn.
Bæ ®Ò 1.5.5.
[10, §Þnh lý 31.6]
Cho
(R, m) lµ vµnh Noether ®Þa ph¬ng tùa
kh«ng trén lÉn. Khi ®ã
(i)
Rp
lµ tùa kh«ng trén lÉn, víi mäi
I
(ii) Cho
lµ i®ªan cña
R.
Khi ®ã
p ∈ Spec R.
R/I
lµ ®¼ng chiÒu khi vµ chØ khi
R/I
lµ
tùa kh«ng trén lÉn.
(iii)
R lµ vµnh catenary phæ dông.
Bæ ®Ò 1.5.6.
(i) Vµnh
[10, §Þnh lý 31.7]
C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng
R/p lµ tùa kh«ng trén lÉn, víi mäi p ∈ Spec R, nghÜa lµ
b b
dim R/
p = dim R/p,
(ii) Vµnh
(iii) Vµnh
víi mäi
b R.
b
b
p ∈ min Ass R/p
R lµ catenary phæ dông.
R[x] lµ catenary.
§Ó ®i ®Õn kh¸i niÖm vµnh thí vµ thí h×nh thøc cña vµnh, tríc hÕt ta cÇn
nh¾c l¹i kh¸i niÖm vµ c¸c kÕt qu¶ vÒ m«®un ph¼ng nh sau.
Mét
R-m«®un N
®îc gäi lµ
ph¼ng
nÕu víi mçi d·y khíp
0 −→ L0 −→
L −→ L00 −→ 0 c¸c R-m«®un, d·y c¶m sinh
0 −→ L0 ⊗ N −→ L ⊗ N −→ L00 ⊗ N −→ 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
17
lµ khíp. Mét
R-m«®un N
®îc gäi lµ
ph¼ng hoµn toµn
nÕu d·y
0 −→
L0 −→ L −→ L00 −→ 0 c¸c R-m«®un khíp khi vµ chØ khi d·y c¶m sinh
0 −→ L0 ⊗ N −→ L ⊗ N −→ L00 ⊗ N −→ 0
lµ khíp.
Cho
ϕ : R −→ S
cÊu tróc lµ
vµ
lµ mét ®ång cÊu vµnh vµ
L
lµ
S -m«®un.
Khi ®ã
R-m«®un víi tÝch v« híng ®îc ®Þnh nghÜa nh sau:
y ∈ L, ry = ϕ(r)y.
§ång cÊu vµnh
ph¼ng (ph¼ng hoµn toµn)
nÕu vµnh
S
ϕ : R −→ S
(xÐt nh
víi
®îc gäi lµ
L
cã
r∈R
®ång cÊu
R-m«®un) lµ R-m«®un ph¼ng
(ph¼ng hoµn toµn).
Chó ý r»ng nÕu
(R, m) vµ (S, n) lµ c¸c vµnh ®Þa ph¬ng vµ ϕ : R −→ S
lµ c¸c ®ång cÊu ®Þa ph¬ng (tøc lµ
ϕ(m) ⊆ n)
th×
ϕ
lµ ®ång cÊu ph¼ng nÕu
vµ chØ nÕu nã ph¼ng hoµn toµn.
§Þnh nghÜa 1.5.7.
Cho
ϕ : R −→ S
lµ ®ång cÊu gi÷a c¸c vµnh Noether ®Þa
ph¬ng. Víi mçi
p ∈ Spec R, ta gäi vµnh S ⊗R R/p lµ vµnh thí cña ϕ øng
b
víi p. Gi¶ sö f : R −→ R lµ ®ång cÊu chÝnh t¾c. Khi ®ã víi mçi p ∈ Spec R,
b sao cho b
tån t¹i b
p ∈ Spec R
p ∩ R = p. §ång cÊu f c¶m sinh ra ®ång cÊu
bbp . Khi ®ã vµnh thí R
bbp ⊗R (Rp /pRp ) cña ψ øng víi p
ph¼ng ψ : Rp −→ R
p
®îc gäi lµ
thí h×nh thøc
MÖnh ®Ò 1.5.8.
cña
R trªn p.
[10, §Þnh lý 15.1]
ϕ : R −→ S
lµ ®ång cÊu gi÷a c¸c vµnh
P ∈ Spec S . §Æt p = ϕ−1 (P ) := P ∩ R. Khi ®ã
(i) ht P 6 ht p + dim SP ⊗R (Rp /pRp ) .
p
Noether vµ
(ii) NÕu
ϕ lµ ®ång cÊu ph¼ng th× bÊt ®¼ng thøc trªn trë thµnh ®¼ng thøc.
Chó ý r»ng víi mçi i®ªan
thÕ nÕu
p ∈ Spec R
sao cho
chÝnh lµ thí h×nh thøc cña
I
cña
R th× ®Çy ®ñ cña vµnh R/I
p⊇I
th× thí h×nh thøc cña
lµ
R/I
b R
b. V×
R/I
trªn
p
R trªn p, víi p lµ ¶nh cña p trong R/I .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
còng
18
Ch¬ng 2
TÝnh catenary phæ dông vµ tÝnh kh«ng
trén lÉn cña vµnh ®Þa ph¬ng vµ c¸c
m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
Trong toµn bé ch¬ng nµy, ta lu«n gi¶ thiÕt
ph¬ng víi i®ªan tèi ®¹i duy nhÊt lµ
h÷u h¹n sinh víi chiÒu Krull
(R, m)
m, A lµ R-m«®un Artin, M
dimR M = d.
(∗)
lµ
R-m«®un
Ch¬ng nµy nghiªn cøu ®a ra
mét ®Æc trng cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng
chÊt
lµ vµnh Noether ®Þa
Hmi (M )
tho¶ m·n tÝnh
vµ trong trêng hîp nµy, nh mét hÖ qu¶ ta cã thÓ më réng ®îc
c«ng thøc liªn kÕt víi béi cña M. Brodmann vµ R. Y. Sharp [2]. H¬n n÷a, c¸c
kÕt qu¶ thu ®îc khi nghiªn cøu tÝnh chÊt
phu¬ng
Hmi (M )
(∗)
cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa
cßn cho phÐp ta thu ®îc nh÷ng tÝnh chÊt ®Ñp nh lµ tÝnh
catenary phæ dông cña vµnh
R/ AnnR M
vµ tÝnh kh«ng trén lÉn cña vµnh
R/p, víi p ∈ SuppR M .
2.1
TÝnh chÊt linh ho¸ tö
TÝnh chÊt linh ho¸ tö (thêng ®îc gäi lµ tÝnh chÊt (∗)) ®îc giíi thiÖu bëi N.
T. Cêng vµ L. T. Nhµn [5]. Nh¾c l¹i r»ng ®èi víi mçi R-m«®un h÷u h¹n sinh
M
ta xÐt mét tÝnh chÊt c¬ b¶n sau: Gi¶ sö
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
p lµ
i®ªan nguyªn tè cña
R
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
chøa
19
AnnR M .
Khi ®ã
p ∈ SuppR M
vµ do ®ã
Mp 6= 0.
Theo Bæ ®Ò Nakayama
ta suy ra
(M/pM )p = Mp /pMp 6= 0.
Do ®ã
p ∈ Supp(M/pM ),
cã tÝnh chÊt
nghÜa lµ
p ⊇ AnnR (M/pM ).
V× vËy ta lu«n
AnnR (M/pM ) = p, víi mäi i®ªan nguyªn tè p chøa AnnR M .
Mét c©u hái tù nhiªn ®îc ®Æt ra lµ liÖu cã mét tÝnh chÊt t¬ng tù nh vËy
cho mäi m«®un Artin trªn vµnh giao ho¸n bÊt kú hay kh«ng. C©u tr¶ lêi cho
c©u hái nµy nh×n chung lµ phñ ®Þnh (xem [5, VÝ dô 4.3]), vµ ë ®ã, hä ®· giíi
thiÖu mét líp m«®un Artin tho¶ m·n c©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh cña c©u hái trªn
nh sau.
§Þnh nghÜa 2.1.1.
nguyªn tè cña
[5, §Þnh nghÜa 4.2] Ký hiÖu
V (AnnR A) lµ tËp c¸c i®ªan
R chøa AnnR A. Ta nãi r»ng A tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗) nÕu
AnnR (0 :A p) = p, ∀p ∈ V (AnnR A).
(∗)
Râ rµng r»ng, khi vµnh R lµ ®Çy ®ñ th× theo ®èi ngÉu Matlis, mäi R-m«®un
Artin
A ®Òu tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗). Líp m«®un Artin tho¶ m·n tÝnh chÊt (∗)
cã nhiÒu tÝnh chÊt "tèt", ®Æc biÖt liªn quan chÆt chÏ ®Õn chiÒu Noether cña
mét m«®un Artin.
Nh¾c l¹i r»ng chiÒu Krull cña m«®un Artin A, ký hiÖu bëi dimR A, lµ chiÒu
Krull cña vµnh
R/ AnnR A. Theo I. G. Macdonald [8], mäi m«®un Artin ®Òu
cã biÓu diÔn thø cÊp vµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu chøa
chÝnh lµ tËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu cña
cña c¸c sè
AttR A
nªn
dimR A
AnnR A còng
chÝnh lµ cËn trªn
dim R/p khi p ch¹y kh¾p tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt
dimR A = max{dim R/p | p ∈ AttR A}.
Theo Bæ ®Ò 1.3.3, (ii), ta cã
tÝnh chÊt
N-dim A 6 dim A. MÖnh ®Ò sau ®©y chØ ra r»ng
(∗) lµ ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó x¶y ra dÊu ®¼ng thøc.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
20
MÖnh ®Ò 2.1.2.
®¼ng thøc
[5, MÖnh ®Ò 4.5]
NÕu
dimR M = d.
tiÕp tôc nghiªn cøu tÝnh chÊt
(∗)
th× ta cã
N. T. Cêng, N. T. Dung vµ L. T. Nhµn [3]
(∗)
cho mét líp m«®un Artin ®Æc biÖt: m«®un
®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng cÊp cao nhÊt
vµ mét sè øng dông cña nã. V×
M
tho¶ m·n tÝnh chÊt
N-dimR A = dimR A.
Gi¶ sö r»ng
nªn
A
M
Hmd (M ) cña m«®un h÷u h¹n sinh M
lµ m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh Noether
lµ m«®un Noether, do ®ã tËp c¸c m«®un con cña
M
lu«n tho¶ m·n
®iÒu kiÖn tèi ®¹i. V× thÕ ta cã thÓ chøng minh ®îc r»ng m«®un con lín nhÊt
cña
M
cã chiÒu thùc sù nhá h¬n
lµ m«®un con lín nhÊt cña
M
cho ta c¸ch tÝnh m«®un con
cña m«®un
d lu«n tån t¹i vµ duy nhÊt. Ký hiÖu UM (0)
cã chiÒu thùc sù nhá h¬n
UM (0)
d.
KÕt qu¶ sau ®©y
th«ng qua ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän
0 cña M .
Bæ ®Ò 2.1.3. NÕu
0=
T
N (p) lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un
p∈Ass M
con
0 cña M , trong ®ã N (p) lµ p−nguyªn s¬ th×
\
UM (0) =
N (p).
p∈Ass M,dim R/p=d
Tõ bæ ®Ò trªn, ta cã thÓ tÝnh ®îc tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña m«®un
M/UM (0) th«ng qua tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña M
nh sau.
Ass(M/UM (0)) = {p ∈ Ass M : dim R/p = d}.
Râ rµng r»ng c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña m«®un M/UM (0) ®Òu cã chiÒu
nh nhau, v× thÕ
Supp(M/UM (0)) =
[
V (p).
p∈Ass M, dim R/p=d
§iÒu nµy dÉn ®Õn kh¸i niÖm sau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.Lrc-tnu.edu.vn
- Xem thêm -