MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU.......................................................................trang 02
I.
Lí do chọn đề tài............................................................trang 02
II.
Đối tượng nghiên cứu....................................................trang 03
III.
Phạm vi nghiên cứu......................................................trang 03
IV.
Phương pháp nghiên cứu...............................................trang 03
B. NỘI DUNG....................................................................trang 06
I.
Cơ sở lí luận...................................................................trang 06
II.
Cơ sở thực tiễn...............................................................trang 07
III.
Giải quyết vấn đề...........................................................trang 09
C. KẾT LUẬN.....................................................................trang 21
A- MỞ ĐẦU
I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Toán học là một môn khoa học nếu học giỏi toán thì sẽ có điều kiện để học tốt
các môn khác. Tuy nhiên toán học đặc trưng là môn học tự nhiên rất khó học vì vậy
không phải học sinh nào cũng hiểu, cũng học tốt được toán.
- Thực tế trong những năm gần đây, từ khi chính phủ ta cho triển khai đại trà
sách giáo khoa và phương pháp giảng dạy mới thì từ năm 2002 đến nay chất lượng
giáo dục nước ta từng bước được nâng lên. Tuy nhiên bên cạnh đó chúng ta không
thể chối bỏ một đều là hiện nay số lượng học sinh yếu kém của nước ta nói chung
của tỉnh ta nói riêng vẫn còn chiếm số lượng rất đông . Vậy điều đó là do đâu?
- Trong chương trình Đại số 8, dạng toán phân tích đa yhức thành nhân tử là nội
dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú đa dạng
cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức,
giải phương trình,… Qua quá trình giảng dạy, cũng như qua việc theo dõi kết quả
bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử là
không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được.
Nguyên nhân học sinh học yếu là do học sinh chưa nắm vững các phương pháp
giải, chưa vận dụng kỹ năng biến đổi một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo vào
từng bài toán cụ thể.
- Vì vậy là một giáo viên giảng dạy toán, tôi nhận thấy bên cạnh việc trang bị
vốn kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của mình thì cũng cần phải thường
xuyên nghiên cứu tìm ra phương pháp dạy học thích hợp để chất lượng giảng dạy
ngày càng được nâng cao nhằm giảm bớt số lượng học sinh yếu kém, nâng cao số
lượng học sinh khá giỏi. Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: “ Giải
pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ”.
II- ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Các giải pháp rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
III- PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
-Không gian: Học sinh lớp 8/1 Trường PTDTBT THCS Nguy?n B?nh Khim
-Thời gian: 3 giai đoạn trong năm học 2018 – 2019
Giai đoạn 1: Từ tháng 9 đến khảo sát chất lượng đầu năm
Giai đoạn 2: Từ tháng 11/ 2018 đến thi học kì I
Giai đoạn 3: Từ tháng 01/ 2019 đến giữa học kì II.
IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1. Đọc tài liệu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn có liên quan
+ Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập, vở bài tập.
+ Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổ thông.
+ Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán.
+ Đổi mới phương pháp dạy học toán.
+ Tổng hợp kiến thức Toán 8 THCS.
+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8.
Chọn lọc kiến thức phù hợp với đơn vị. Học hỏi các giải pháp hay đã áp
dụng để tích lũy kinh nghiệm.
2. Điều tra:
a.Dự giờ:
- Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ.
- Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ. Qua đó, tôi luôn chú ý đến
phương pháp giảng dạy cũng như cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đó
giúp tôi tích lũy một số kinh nghiệm và hiệu quả của việc đổi mới phương pháp dạy
học .
b.Đàm thoại:
-Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm ra các nguyên
nhân học sinh chưa có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở từng dạng
toán cụ thể. Xem học sinh hỏng kiến thức nào, phần nào học sinh chưa biết cách
trình bày để có biện pháp xử lí kịp thời.
-Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhà trường cùng bàn biện pháp
nâng cao chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân học sinh học yếu ở các lớp khác.
c.Thăm dò:
-Nắm lại tình hình chất lượng môn Toán lớp 8/1 trong năm học trước.
TSHS : 42/ 28
Trong đó: HS dân tộc : 32/ 40
TSH
S
42
GIỎI
SL TL
KHÁ
SL
TL
TR. BÌNH
SL
TL
YẾU
SL
TL
4
2
17
16
9.5
4.8
40.5
38.1
KÉM
SL
TL
3
7.1
-Tìm hiểu trong năm học này, giáo viên lập danh sách học sinh yếu, cập nhật
vào sổ kế hoạch bộ môn, tìm hiểu nguyên nhân học sinh yếu bằng phương pháp
vấn đáp, kiểm tra phân loại học sinh yếu . Từ đó tìm biện pháp khắc phục phù hợp
với từng đối tượng học sinh.
d. Thực nghiệm:
- Toán học là một môn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực hành
ngay tại lớp, để thực hiện được điều đó giáo viên phải giúp học sinh cũng cố kiến
thức ngay tại lớp qua các bài tập và các ?/SGK nhằm giúp các em nắm vững các
kiến thức cơ bản một cách sâu sắc từ đó hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh.
Đồng thời giáo viên phải chú trọng bước hướng dẫn học sinh tự học ở nhà để học
sinh củng cố lại kiến thức đã học và vận dụng giải các bài tập ở nhà tạo thói quen
tự học cho học sinh.
e.Theo dõi các bài kiểm tra:
- Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại học sinh yếu, trung bình, khá,
giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng. Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích hợp cho
từng đối tượng học sinh.
g.Giả thiết khoa học.
- Qua các nội dung chương trình Sách giáo khoa, nếu tổ chức dạy học theo
hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh và kết hợp với các tiết luyện
tập, ôn tập khắc sâu bằng bài học kinh nghiệm hợp lí có thể góp phần nâng cao
chất lượng giảng dạy bộ môn.
B- NỘI DUNG
I- CƠ SỞ LÍ LUẬN:
- Ở trường phổ thông môn toán là môn học chính, môn học cơ sở, là công cụ
cho các môn học khác và giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Các bài toán trong chương trình phổ thông là một phương tiện đem lại hiệu quả cao
và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển
tư duy, hình thành các kỹ năng và biết ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy tổ
chức có hiệu quả việc rèn cho học sinh có kỹ năng giải bài tập toán có vai trò quyết
định trong việc nâng cao chất lượng học tập của học sinh.
- Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú,
phong phú, đa dạng và không đơn giản đối với học sinh THCS. Nội dung này được
đưa vào chương trình toán 8, nhưng thật ra các em đã được đề cập đến từ trước với
dạng bài toán ngược áp dụng tích chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
trên các tập hợp số. Với lượng thời gian phân phối chỉ có 6 tiết từ tiết 9 đến tiết 14
song nội dung này là cơ sở vận dụng cho các chương sau và lớp sau trong các phần:
“ Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu số các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ,
giải phương trình,…”
- Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức
thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện
tốt điều này đòi hỏi người giáo viên phải xây dựng cho học sinh những kỹ năng
như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán và đặt biệt là kỹ năng giải toán, vận dụng
bài toán. Tuỳ theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên xây dựng cách giải cho
phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học, đồng thời phải mở rộng thêm các cách
giải khác nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ môn của học sinh.
II- CƠ SỞ THỰC TIỄN:
- Trong quá trình giảng dạy với lượng thời gian theo phân phối chương trình
chỉ có 6 tiết từ tuần 5 cho đến tuần 7 nên khi học dạng toán này đa số học sinh còn
rất lúng túng trong việc áp dụng phương pháp, đối với học sinh khá giỏi còn nhiều
vấn đề chưa được đề cập đến. Do đó kết quả qua các bài kiểm tra của học sinh còn
thấp, còn nhiều học sinh yếu, kém, số lượng học sinh giỏi thấp.
- Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy tình trạng của học sinh khi giải toán như
sau:
+ Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng
nào ? Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học.
+ Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán
khác nhau.
+ Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic.
- Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quan dẫn đến đa số học sinh
chưa có kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau :
Đối với giáo viên :
Trong tiết dạy giáo viên thường phối hợp nhiều phương pháp đễ dẫn dắt học
sinh tìm hiểu kiến thức nhưng nội dung bài học nhiều không đảm bảo được thời
lượng 45 phút nên chưa có được phương pháp giải bài tập cụ thể cho từng loại đối
tượng học sinh.
Đối với phụ huynh:
Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra,
đôn đốc việc học của học sinh. Đa số phụ huynh thường phó mặc cho nhà trường,
không kiểm tra được việc học ở nhà cũng như việc chuẩn bị bài trước khi đến lớp.
Đối với học sinh :
+ Học sinh có ý thức học tập không đồng đều, ít tập trung chú ý trong giờ học.
+ Đa số học sinh yếu về kỹ năng tính toán, quan sát nhận xét, biến đổi và thực
hành giải toán. Nguyên nhân là do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới cộng thêm
việc không chủ động trong học tập ngay từ đầu năm học dẫn đến chay lười trong
học tập.
+ Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu
nhẫn nại khi gặp bài toán khó.
+ Không có thói quen tự học ở nhà : không làm bài, học bài , soạn bài trước khi
đến lớp.
+ Bạn bè lôi kéo, rủ rê ham chơi.
- Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn toán, làm sao để học sinh có kỹ
năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, làm sao để không còn học sinh
yếu kém bộ môn. Để giải quyết các vấn đề trên trong quá trình giảng dạy tôi đã đề
ra những phương pháp cơ bản, phương pháp đặt biệt thông qua những bài tập cụ
thể giúp các em hiểu rõ và vận dụng các phương pháp này khi giải bài toán phân
tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh.
III- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
PHẦN 1: CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
1) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
2) Đối với học sinh trung bình: Vận dụng và phát triển kỹ năng
+ Phối hợp nhiều phương pháp ( các phương pháp trên)
Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.
Cũng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kỹ năng thực hành.
Tìm cách giải hay, khai thác bài toán.
3) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy
+ Phương pháp tách hạng tử
+ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I- Các phương pháp cơ bản: Củng cố kiến thức cơ bản
1) Phương pháp đặt nhân tử chung:
Dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.
A.B + A.C = A ( B + C).
Cách làm:
+ Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
+ Tìm nhân tử chung của các biến (lấy với số mũ nhỏ nhất).
+ Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.
VD1: Phân tích đa thức 14x2y – 21 xy2 + 28 x2y2 thành nhân tử.
Gv: Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên?
Hs: 7 vì ƯCLN (14, 21, 28) = 7.
Gv: Tìm nhân tử chung của các biến x2y, xy2, x2y2 ?
Hs: xy
Gv: Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là gì?
Hs: 7xy
Giải:
14x2y – 21 xy2 + 28 x2y2 = 7xy. 2x – 7xy. 3y + 7xy. 4xy
= 7xy. (2x – 3y + 4xy).
VD2: Phân tích đa thức 10x( x – y) – 8y( y – x) thành nhân tử.
Gv: Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ?
Hs: 2
Gv: Tìm nhân tử chung của x( x – y) và y( y – x)?
Hs: ( x – y) hoặc ( y – x).
Gv: Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x( x – y) hoặc – 8y( y – x) để có nhân tử
chung ( x – y) hoặc ( y – x)?
Hs: Đổi dấu tích 10x( x – y) = - 10x( y – x)
Hoặc đổi dấu tích – 8y( y – x) = 8y( x – y).
Giải:
10x( x – y) – 8y( y – x) = 10x( x – y) + 8y( x – y)
= 2( x – y).5x + 2( x – y).4y
= 2( x – y)( 5x + 4y).
VD3: Phân tích đa thức 9x( x – y) – 10( y – x)2 thành nhân tử.
Cách giải sai:
9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2
= ( x – y) [9x + 10( x – y)]
= ( x – y)(19x – 10y).
Sai lầm:
- Thực hiện đổi dấu sai: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2
- Sai lầm là do đổi dấu ba nhân tử: - 10 và ( y – x)2 của tích – 10( y – x)2
Vì – 10( y – x)2 = - 10( y – x)( y –x).
Cách giải đúng:
9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) - 10( x - y)2
= ( x – y) [9x - 10( x – y)]
= ( x – y)(10y – x).
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử.
- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích.
2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức.
* Học sinh cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ sau:
1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2
2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2
3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B )
4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2)
7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2)
VD4: Phân tích đa thức ( x + y )2 – ( x – y )2 thành nhân tử.
Gv: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
Hs: Có dạng A2 - B2
Cách giải sai:
( x + y )2 – ( x – y )2 = ( x + y + x – y ) – ( x + y – x – y ) = 2x.0 = 0.
Sai lầm: Thực hiện thiếu dấu ngoặc.
Cách giải đúng:
( x + y )2 – ( x – y )2 = [( x + y ) + ( x – y )].[( x + y ) - ( x – y )]
= ( x + y + x – y ).( x + y – x + y )
= 2x.2y = 4xy.
Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể cho bài tập
dưới dạng phức tạp hơn.
+ Phân tích đa thức ( x + y )3 – ( x – y )3 thành nhân tử.
+ Phân tích đa thức a6 – b6 thành nhân tử.
VD5: Phân tích đa thức a6 – b6 thành nhân tử.
Giải:
a6 – b6 = ( a3 )2 – ( b3 )2
= ( a3 + b 3 ) ( a 3 - b3 )
= ( a + b )( a2 + ab + b2 )( a – b )( a2 - ab + b2 ).
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Quy tắc dấu ngoặc.
- Kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán dựa vào các hạng tử, số mũ
của các hạng tử để sử dụng hằng đẳng thức thích hợp, chính xác.
3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử
chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức.
Cách làm:
+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm.
+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
+ Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
VD6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử.
Cách 1: ( x2 – xy ) + ( x – y )
Cách 2: ( x2 + x ) - ( xy + y )
Cách giải sai:
x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y )
= x( x – y ) + ( x – y )
= ( x – y )( x + 0)
Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung.
Cách giải đúng:
x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y )
= x( x – y ) + 1.( x – y )
= ( x – y )( x + 1)
VD7: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử.
Giải:
x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – ( 2y )2
= ( x – 1 )2 – ( 2y )2
= ( x – 1 + 2y ) ( x – 1 – 2y )
VD8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
Cách giải sai:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x – 4y)
= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y )
= ( x – 2y )( x + 2y – 2 )
Sai lầm: Đặt dấu sai khi nhóm hạng tử ở nhóm thứ hai.
Cách giải đúng:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x + 4y)
= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y )
= ( x + 2y )( x – 2y – 2 )
Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh:
- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử.
- Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm các hạng tử của đa thức.
II- Phối hợp các phương pháp cơ bản: Vận dụng và phát triển kỹ năng
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản:
+ Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
VD9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử.
Gv: Xét từng phương pháp
Hs: Thường mắc sai lầm là giải chưa hoàn chỉnh như sau:
° x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9 )
° x4 – 9x3 + x2 – 9x = ( x4 – 9x3 ) + ( x2 – 9x)
= x3( x – 9 ) + x( x – 9 )
= ( x – 9 )( x3 + x )
Cách giải đúng:
x4 – 9x3 + x2 – 9x = x( x3 – 9x2 + x – 9 )
= x[(x3 – 9x2 ) + ( x – 9 )]
= x[x2( x – 9 ) + 1. ( x – 9 )]
= x( x – 9 )(x2 + 1)
VD10: Phân tích đa thức A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử.
Gợi y: Ap dụng hằng đẳng thức:
( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
= A3+ B3 + 3AB( A + B)
A3+ B3 = ( A + B )3 – 3AB( A + B)
Giải:
A = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3
= [( x + y ) + z]3 – x3 – y3 – z3
= ( x + y )3 + z3 + 3z( x + y )( x + y + z ) – x3 – y3 – z3
= [( x + y )3 – x3 – y3 ] + 3z( x + y )( x + y + z )
= 3xy( x + y ) + 3( x + y)( xz + yz + z2 )
= 3( x + y )( xy + xz + yz + z2 )
= 3( x + y )( y + z )( x + z )
Khai thác bài toán:
1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên.
2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz
Hướng dẫn:
x3 + y3 = ( x + y )3 – 3xy( x + y )
x+y+z=0 x+y=-z
III- Các phương pháp đặc biệt: Phát triển tư duy
1)Phương pháp tách hạng tử:
Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản
đã học để giải.
Cách làm:
Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác một cách thích hợp rồi áp dụng
các phương pháp cơ bản để giải.
VD11: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
Gợi y: Có nhiều cách phân tích.
Giải:
- Cách 1: Tách hạng tử 3x2
f(x) = 3x2 – 8x + 4
= 4x2 – 8x + 4 – x2
= ( 2x – 2 )2 – x2
= ( 2x – 2 + x )( 2x – 2 – x )
= ( 3x – 2 )( x – 2 )
- Cách 2: Tách hạng tử - 8x
f(x) = 3x2 – 8x + 4
= 3x2 – 6x – 2x + 4
= 3x( x – 2 ) – 2( x – 2 )
= ( x – 2 )( 3x – 2 )
- Cách 3: Tách hạng tử 4
f(x) = 3x2 – 8x + 4
= 3x2 – 12 – 8x + 16
= 3( x2 – 22 ) – 8( x – 2 )
= 3( x + 2 )( x – 2 ) – 8( x – 2 )
= ( x – 2 )( 3x + 6 – 8 )
= ( x – 2 )( 3x – 2 )
* Nhận xét:
- Cách 1: Tách hạng tử 3x2 làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình
phương.
- Cách 2: Tách hạng tử - 8x làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với
nhau từ đó xuất hiện nhân tử chung ( x – 2 ).
- Cách 3: Tách hạng tử 4 làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung.
Như vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất hiện các
phương pháp đã học như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều
hạng tử là khâu quan trọng và cần thiết đối vối học sinh trong việc giải bài toán
phân tích đa thức thành nhân tử.
Khai thác cách giải: Tách hạng tử - 8x
Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 có các hệ số ở các số hạng là: 3, -6, -2, 4 tỉ lệ
với nhau
6 4
hay (-6).(-2) = 3.4 và (-6) + (-2) = -8
3 2
f(x) = 3x2 – 8x + 4
Đặt a = 3, b = -8, c = 4 và phân tích a.c = b1.b2 ( b = b1 + b2 )
Ta có: a.c = b1.b2 = 3.4 = (-6).(-2) = 12; b1 + b2 = (-6) + (-2) = -8.
Tổng quát:
+ Tìm tích ac.
+ Phân tích ac thành tích hai số nguyên.
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
VD12: Phân tích đa thức f(x) = - 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử.
Đặt a = -6, b = 7, c = -2
+ a.c = (-6).(-2) = 12;
+ a.c = 3.4 = (-3).(-4) = (-6).(-2) = 6.2 = 12.1 = (-12).(-1) ;
+b=7=3+4
Giải:
f(x) = - 6x2 + 7x – 2
= (- 6x2 + 4x ) + ( 3x – 2 )
= -2x( 3x – 2 ) + ( 3x – 2 )
= ( 3x – 2 )( -2x + 1 )
* Lưu ý:
Đối với đa thức từ bậc ba trở lên để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc
điểm của các hệ số mà vận dụng cách tách hạng tử cho phù hợp nhằm vận dụng
được các phương pháp phân tích cơ bản đã học.
VD13: Phân tích đa thức f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử.
Gợi ý:
Tách như sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
Giải:
f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30
= x4 + x – 30x2 + 30x – 30
= x( x3 + 1 ) – 30( x2 – x + 1 )
= x( x + 1 )( x2 – x + 1 ) – 30( x2 – x + 1 )
= ( x2 – x + 1 )( x2 + x – 30 )
= ( x2 – x + 1 )( x – 5 )( x + 6 ).
2)Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản
đã học để giải.
Cách làm:
Phải thêm bớt cùng một hạng tử nào đó để đa thức chuyển về dạng hiệu hai
bình phương hoặc áp dụng phương pháp nhóm.
VD14: Phân tích đa thức f(x) = x4 + 4 thành nhân tử.
Giải:
f(x) = x4 + 4
= x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= ( x2 + 2 )2 – ( 2x )2
= ( x2 + 2 + 2x ) ( x2 + 2 – 2x ).
Khai thác bài toán:
- Thay “ 4 ” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán mới: f(x) = x4 + 64y4
Hướng dẫn:
f(x) = x4 + 64y4
= (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) - 16 x2y2
= ( x2 + 8y2 )2 – ( 4xy )2
= ( x2 + 8y2 + 4xy )( x2 + 8y2 – 4xy ).
- Thay “ 4 ” thành “ 64 ”, ta có bài toán mới: f(x) = x4 + 64
Hướng dẫn:
f(x) = x4 + 64
= x4 + 16x2 + 64 – 16x2
= ( x2 + 8 )2 – ( 4x )2
= ( x2 + 8 + 4x )( x2 + 8 – 4x ).
VD15: Phân tích đa thức f(x) = x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
Giải:
f(x) = x4 + x2 + 1
= x4 – x + x2 + x + 1
= ( x4 – x ) + ( x 2 + x + 1 )
= x( x3 – 1 ) + ( x2 + x + 1 )
= x( x – 1 ) ( x2 + x + 1 ) + ( x2 + x + 1 )
= ( x2 + x + 1 ) ( x2 – x + 1 ).
PHẦN 3: BIỆN PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN
1)Biện pháp:
- Để thực hiện tốt kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử giáo
viên cần củng cố các kiến thức cơ bản sau cho học sinh :
+ Các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc ở lớp
6,7.
+ Đầu chương trình lớp 8 là phép nhân: Đơn thức với đa thức, đa thức với đa
thức, các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cần:
+ Quan sát đặc điểm của bài toán: Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong
bài toán.
+ Nhận dạng bài toán: Bài toán thuộc dạng nào? Ap dụng phương pháp nào để
giải cho phù hợp.
* Lưu ý:
° Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử.
° Trong phương pháp nhóm các hạng tử học sinh thường nhóm chưa hợp lý và đặt
sai dấu.
- Việc giải bài toán theo các định hướng trên tạo cho học sinh thói quen học
tập, biết quan sát và nhận dạng bài toán, có cách nhận xét bài theo quy trình nhất
định từ đó biết lựa chọn phương pháp giải thích hợp vận dụng cho từng bài toán, sử
dụng thành thạo kỹ năng giải tóan, rèn khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo.
2)Kết quả:
Các biện pháp trên góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh được
thống kê qua các giai đoạn như sau:
THỜI ĐIỂM
Từ tháng 9 đến KSCL đầu
năm
Từ tháng 11 đến thi HKI
Từ tháng 01- 2019 đến
giữa HKII
Học sinh có kỹ năng
giải bài toán
SL
TL
Học sinh chưa có kỹ
năng giải bài toán
SL
TL
19
45,2%
23
54,8%
25
59,5%
17
40,5%
33
78,6%
9
21,4%
Tóm lại:
Trước khi áp dụng phương pháp trên tôi nhận thấy nhiều học sinh nhìn nhận
giải quyết bài toán chưa đúng, chưa biết quan sát để thấy được đặc điểm của đề bài,
chưa nắm được phương pháp giải từng dạng toán. Cho nên nhiều học sinh làm bài
còn mơ hồ, trình bày không khoa học thiếu tính logíc, kỹ năng biến đổi còn hạn chế
và chưa biết tự kiểm tra kết quả.
Qua thực tế giảng dạy từ khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh
nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán ở dạng bài tập này. Phương pháp
này giúp cho các học sinh yếu, học sinh trung bình nắm vững chắc về cách phân
tích đa thức thành nhân tử trong chương trình đã học và rèn kỹ năng thực hành theo
hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua các
dạng bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá, giỏi có điều kiện tìm hiểu
thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn phát huy
được tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong việc học toán.
C- KẾT LUẬN
1)Bài h?c kinh nghi?m:
- Đối với học sinh yếu, kém: Là một quá trình liên tục củng cố và rèn luyện
các kỹ năng để vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải toán. Giáo
viên cần cho học sinh thực hành theo bài tập mẫu với các bài tương tự từ đơn giản
nâng dần đến phức tạp, không nên cho học sinh làm các bài tập khác với nội dung
của SGK.
- Đối với học sinh trung bình: Cần chú ý cho học sinh nắm chắc các phương
pháp cơ bản, kỹ năng biến đổi và vận dụng các phương pháp đa dạng hơn vào từng
bài tập cụ thể từ đó rèn luyện khả năng tự học, chủ động chiếm lĩnh kiến thức mới.
- Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản,
giáo viên cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác
thông qua các bài tập dạng nâng cao giúp học sinh vận dụng thành thạo kỹ năng
biến đổi, linh hoạt trong lựa chọn các phương pháp. Qua đó kích thích óc tìm tòi,
sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán nhằm phát triển tư duy một cách
toàn diện cho học sinh.
- Đối với giáo viên: Phải định hướng và vạch ra những dạng toán giúp học
sinh tìm ra các phương pháp giải hợp lý từ đó nắm vững các dạng toán, rèn kỹ năng
phân tích từng dạng bài tập. Thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng
của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trong chương
trình đại số 8 đã đề cập ở trên. Đồng thời giáo viên phải tạo ra không khí tích cực
trong khi giải bài tập đối với mọi đối tượng học sinh. Muốn vậy giáo viên cần tác
động đến từng đối tượng sao cho phù hợp. Chẳng hạn đối với học sinh yếu, kém,
trung bình nên gợi ý tỉ mỉ, học sinh khá, giỏi cần nêu nét cơ bản hướng học sinh
theo con đường cần đi đến. Nên để cho học sinh tích cực tìm tòi sáng tạo như vậy
mới phát triển tư duy trí tuệ cho học sinh.
2)Hướng phổ biến, áp dụng và nghiên cứu tiếp của đề tài:
- Sau thời gian nghiên cứu, vận dụng các phương pháp rèn kỹ năng phân tích đa
thức thành nhân tử trong chương trình đại số 8. Tôi nhận thấy kết quả bước đầu học
sinh tiến bộ đáng kể, giúp học sinh tự tin hơn khi giải các bài toán khó hơn các bài
toán cơ bản trong sách giáo khoa.
- Đề tài này có thể áp dụng thực hiện trong tổ chuyên môn, khối 8 đồng thời làm
tài liệu tham khảo ở các khối khác trong năm học tới.
- Đề tài có nội dung kiến thức tương đối rộng gần như xuyên suốt chương trình
đại số 8, được áp dụng để nâng cao chất lượng học sinh đại trà và bồi dưỡng học
- Xem thêm -
.DOC 
23 
1 
68 
