Tài liệu Skkn phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài nghiên cứu Môn Toán là một trong những môn khoa học cơ bản trong nhà trường phổ thông, bởi vì Toán học chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong lĩnh vực khoa học kĩ thuật cũng như ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày. Học tốt môn Toán sẽ giúp các em phát triển tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập. Là giáo viên dạy Toán, tôi thấy việc hướng dẫn các em biết cách giải và thấy được ứng dụng đối với từng loại toán là rất cần thiết. Trong chương trình Đại số 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng. Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán khác như tính nhanh, tính giá trị của biểu thức, giải phương trình, rút gọn biểu thức,…Qua việc giảng dạy bộ môn toán 8 tôi thấy rất nhiều học sinh lúng túng khi gặp khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt đối với học sinh trung bình và học sinh yếu, đối với học sinh khá giỏi thì bài toán phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em thích thú, say mê học tập. Vậy làm thế nào để các đối tượng học sinh đều thích thú, say mê học đối với dạng toán này. Do đó, trong phạm vi đề tài này, tôi đưa ra các phương pháp để giúp các em học sinh lớp 8 có kĩ năng thành thạo, có phương pháp giải tốt nhất đối với dạng toán này, từ đó giúp các em biết vận dụng dạng toán này để giải các bài toán khác. Trong chương trình Đại số 8, sách giáo khoa đưa ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: + Đặt nhân tử chung + Dùng hằng đẳng thức + Nhóm các hạng tử + Phối hợp nhiều phương pháp Trong thực tế có những bài toán ở dạng này rất phức tạp không thể áp dụng các phương pháp trên để giải được. Gặp các bài toán như vậy thì các em lại lúng túng không biết làm thế nào và sử dụng phương pháp nào để giải bài toán. Do đó, cần thêm các phương pháp khác như: phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử, phương pháp đổi biến, phương pháp đồng nhất hệ số. Đồng thời vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập. Nhằm giúp các em học sinh thấy được sự đa dạng và phong phú về nội dung của từng dạng toán. Đồng thời giúp các em có một cách nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau của một dạng toán, từ đó kích thích các em có sự tìm tòi sáng tạo, khám phá những điều mới lạ, say mê trong học tập, có hứng thú khi học bộ môn Toán nên tôi đã nghiên cứu đề tài “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”. 1/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” 2. Mục đích nghiên cứu Tôi thực hiện đề “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học; đồng thời trang bị cho các em học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nhằm giúp học sinh có khả năng tìm ra cách giải nhanh chóng, chính xác và biết được các ứng dụng của bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Thông qua các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử rèn luyện cho học sinh các kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử và phát huy khả năng suy luận, phán đoán của học sinh, khả năng vận dụng sáng tạo trong quá trình giải bài tập. Hơn nữa còn giúp học sinh hiểu đúng về môn học, có kiến thức vững vàng, có hứng thú say mê học tập, gợi cho học sinh tính độc lập tìm hiểu, tự nghiên cứu, đam mê môn học. 3. Nội dung nghiên cứu - Nghiên cứu chương trình trong sách giáo khoa Đại số 8, tổng hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử. - Phân loại các bài toán, các dạng bài tập theo từng dạng và đưa ra phương pháp giải cụ thể. - Từ việc nghiên cứu đề tài, rút ra bài học kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng trong giảng dạy môn Toán; đồng thời giúp học sinh rèn luyện kĩ năng về tư duy cũng như rèn luyện kĩ năng tính toán, vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và các môn khoa học khác. 4. Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu - Học sinh lớp 8 năm học 2018 - 2019 5. Thành phần tham gia nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận dụng - Đối tượng là học sinh lớp 8. 6. Phương pháp nghiên cứu. - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu từ sách giáo khoa, các tài liê ̣u và sách tham khảo có liên quan. - Phương pháp nêu vấn đề: Nêu vấn đề dưới sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh tự học và thảo luận theo nhóm học tập. - Phương pháp thực nghiệm: Thực hiện tiết dạy. - Phương pháp so sánh - Phương pháp thống kê - Phương pháp phân tích, tổng hợp. 2/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” 7. Kế hoạch nghiên cứu Thời gian nghiên cứu đề tài từ tháng 10 năm 2018 đến hết tháng 3 năm 2019. - Đầu tiên tôi nghiên cứu nội dung chương trình trong sách giáo khoa có nội dung liên quan phân tích đa thức thành nhân tử. Sau đó tôi đọc và nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo để hiểu rõ nội dung cần thể hiện vào bài giảng. - Hệ thống lại kiến thức lí thuyết theo từng tiết dạy, từng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, từ đó đưa ra các dạng bài tập và các phương pháp giải giúp học sinh có khả năng tìm ra cách giải nhanh chóng và chính xác. - Rút ra những kết luận từ việc nghiên cứu đưa vào áp dụng thực tiễn. 3/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” PHẦN 2. NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI 1. Cơ sở lý luận Ở trường phổ thông môn Toán là môn học cơ sở, là công cụ để học tốt các môn học khác và giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán trong chương trình phổ thông là một phương tiện đem lại hiệu quả cao và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kĩ năng vàn biết ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc rèn cho học sinh có kĩ năng giải bài tập toán có vai trò quyết định trong việc nâng cao chất lượng học tập của học sinh. Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, phong phú, đa dạng và không đơn giản với hoc sinh THCS. Nội dung này được đưa vào chương trình Toán 8, nhưng thật ra các em đã được đề cập đến từ trước với dạng bài toán ngược áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng trên tập hợp số. Với lượng thời gian 6 tiết (từ tiết 9 đến tiết 14) song nội dung này là cơ sở vận dụng cho các chương sau và lớp sau trong các phần: “Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu số các phân thức, giải phương trình,…” Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp, giải bài toán phân tích đa thức nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này đòi hỏi người giáo viên phải xây dựng cho học sinh kĩ năng quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán và đặc biệt là kĩ năng giải toán, vận dụng bài toán. Tùy theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học, đồng thời phải mở rộng thêm cách giải khác nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ môn của học sinh. 2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu (cơ sở thực tiễn) Trong quá trình giảng dạy với lượng thời gian theo phân phối chương trình chỉ có 6 tiết, từ tuần 5 đến tuần 7 nên khi học dạng toán này đa số học sinh còn rất lúng túng trong việc áp dụng phương pháp, đối với học sinh khá giỏi còn nhiều vấn đề chưa được đề cập đến. Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy tình trạng của học sinh khi giải toán như sau: + Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi hướng nào? Không biết liên hệ các dữ kiện đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học. + Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng dạng toán khác nhau. + Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, logic. 4/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quan dẫn đến đa số học sinh chưa có kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau: - Đối với giáo viên: Chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt để, giáo viên chưa tích cực tìm hiểu, sáng tạo để áp dụng các phương tiện dạy học mới vào giảng dạy. - Đối với phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc việc học. Đa số phụ huynh thường phó mặc cho nhà trường, không kiểm tra việc học ở nhà cũng như việc chuẩn bị bài trước khi đến lớp. - Đối với học sinh: + Học sinh có ý thức học tập không đồng đều, ít tập trung chú ý trong giờ học. + Đa số học sinh yếu về kĩ năng tính toán, quan sát, nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán. Nguyên nhân là do mất kiến thức cơ bản ở các lớp dưới cộng thêm việc không chủ động trong học tập ngay từ đầu năm học dẫn đến việc chây lười trong học tập. + Các em chưa có phương pháp học tập tốt, thường học vẹt, học máy móc, thiếu nhẫn nại khi gặp bài toán khó. + Không có thói quen tự học ở nhà, không học bài, không lam bài trước khi đến lớp. Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn Toán, làm sao để học sinh có kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, làm sao để không còn học sinh yếu kém ở bộ môn. Để giải quyết các vấn đề trên, trong quá trình giảng dạy tôi đã đưa ra các phương pháp cơ bản, phương pháp đặc biệt thông qua những bài tập cụ thể giúp các em hiểu rõ và vận dụng các phương pháp này khi giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh. 3. Mô tả, phân tích các giải pháp hoặc cải tiến mới Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chóng thì trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đã cho thành tích của những đa thức, đơn thức khác; sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và phương pháp nâng cao để phân tích, từ đó vận dụng giải một số bài toán khác như: tính nhanh, tính giá trị của biểu thức, giải phương trình, rút gọn biểu thức,… 3.1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường. Đây là các phương pháp được dùng cho các bài toán phân tích ở mức độ đơn giản. a. Phương pháp đặt nhân tử chung AB  AC  AD A  B  C  D  5/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x 2  3x b) 12x 3  6x 2  3x Giải 2 a) x  3x x  x  3   3 2 2 b) 12x  6x  3x 3x 4x  2x  1 Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 a) 5x  x  2y   15xy  x  2y  b) x  x  y   4x  4y Giải   2 2 a) 5x  x  2y   15xy  x  2y   x  2y  5x  15xy  x  2y  5x  x  3y  b) x  x  y   4x  4y x  x  y   4  x  y   x  y   x  4  Nhận xét: Ở hai ví dụ trên việc phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ đơn giản. Học sinh nhận thấy ngay được nhân tử chung. Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý tới tính chất A    A  ). Ví dụ 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 10x  x  y   8y  y  x  b) 5x  x  2000   x  2000 Giải a) 10x  x  y   8y  y  x  10x  x  y   8y  x  y   x  y   10x  8y  2  x  y   5x  4y  b) 5x  x  2000   x  2000 5x  x  2000    x  2000   x  2000   5x  1 Lỗi thường gặp của các em học sinh khi giải bài toán dạng này chính là không biết đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung nên cần hướng dẫn học sinh chi tiết để các em có thể thực hiện một cách dễ dàng. Tuy nhiên trong các ví dụ đã nêu, các em học sinh chỉ cần có một chút cố gắng thì sẽ thực hiện được bài toán; nhưng cũng là phân tích đa thức bằng cách đặt nhân tử chung thì bài toán sau đây đòi hỏi các em phải có cố gắng nhất định thì mới thực hiện được. Ví dụ 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a)  a  b  x   b  a  y  b  a 2 b)  a  b  c  x   c  a  b  x Giải a)  a  b  x   b  a  y  b  a  a  b  x   a  b  y   a  b   a  b   x  y  1 2 2 b)  a  b  c  x   c  a  b  x  a  b  c  x   a  b  c  x  a  b  c  x  x 1 6/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” Trong ví dụ 4 vừa nêu, trong ý a), học sinh có thể biết đổi dấu ở hạng tử thứ hai từ b  a thành a  b để xuất hiện nhân tử chung, đối với hạng tử thứ ba thì các em dễ bị nhầm lẫn và cho rằng không có nhân tử chung nhưng chỉ cần hướng dẫn các em đổi vị trí của a và b thì sẽ có nhân tử chung, cũng bằng nhận xét tương tự như vậy ta có cách làm tương tự đối với ý b). b. Phương pháp dùng hằng đẳng thức Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, đây là cách làm thông dụng nhất được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phương pháp này yêu cầu học sinh nắm vững bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. 2 A 2  2AB  B2  A  B  ; 2 A 2  2AB  B2  A  B  ; A 2  B2  A  B   A  B  A 3  3A 2 B  3AB2  B3  A  B  3 A 3  3A 2 B  3AB2  B3  A  B  3 A3  B3  A  B   A 2  AB  B2  A3  B3  A  B   A 2  AB  B2  Ví dụ 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x 2  6x  9 b) 1  27x 3 c) x 3  1 x3 Giải a) x 2  6x  9  x  3  2  3 2 b) 1  27x  1  3x  1  3x  9x  1  1  1   x    x 2  1  2  3 x  x  x  Trong các ví dụ trên các hằng đẳng thức được sử dụng trong bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Việc phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức, các em học sinh dễ dàng thực hiện được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức. Tuy nhiên trong các ví dụ sau đây, muốn áp dụng hằng đẳng thức thì các em phải có sự biến đổi thì mới làm xuất hiện hằng đẳng thức. Ví dụ 6. Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3 c) x  a)  x  y 2  6 x  y  9 b) 16a 2  49  b  c  2 7/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” Giải a)  x  y 2 2  6  x  y   9  x  y   2. x  y  .3  33  x  y  3  2 2 2 2 b) 16a 2  49  b  c   4a    7  b  c    4a  7b  7c   4a  7b  7c  c. Phương pháp nhóm các hạng tử Đối với phương pháp này cần lưu ý cho học sinh khi nhóm các hạng tử phải chú ý dấu trước dấu ngoặc, đặc biệt là dấu trừ ở ngoài ngoặc. Ngoài ra, đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm những hạng tử thích hợp. Ví dụ 7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x 2  x  y 2  y b) x 2  2xy  y 2  z 2 c) x 2  3x  xy  3y d) 2xy  3z  6y  xz Giải 2 2 2 2 a) x  x  y  y  x  y    x  y   x  y   x  y    x  y   x  y   x  y  1 2 2 2 2 2 2 b) x  2xy  y  z  x  2xy  y   z 2  x  y   z 2  x  y  z   x  y  z  2 2 c) x  3x  xy  3y  x  3x    xy  3y  x  x  3  y  x  3  x  3   x  y  d) 2xy  3z  6y  xz  2xy  6y    3z  xz  2y  x  3  z  x  3  x  3   2y  z  Ở ví dụ này, trong ý c ta có thể phân tích bằng cách nhóm khác: x 2  3x  xy  3y  x 2  xy    3x  3y  x  x  y   3  x  y   x  y   x  3 d. Phối hợp nhiều phương pháp Với nhiều trường hợp ta phải sử dụng phối hợp cả ba phương pháp cơ bản trên để phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ 8. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x  2y  y 2  2xy  x 2 Giải 2 2x  2y  y  2xy  x 2 8/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”  2x  2y    y 2  2xy  x 2  2  x  y    y  x  2 (Nhóm các hạng tử) (Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức) 2  x  y    x  y  2  x  y   2  x  y  (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 9. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: bc  b  c   ca  c  a   ab  a  b  Phương pháp chung để làm loại toán này khai triển hai trong số ba hạng tử, còn giữ nguyên hạng tử còn lại để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung. Trong ý a ta khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a  b . Giải bc  b  c   ca  c  a   ab  a  b  b 2c  bc 2  c2a  ca 2  ab  a  b  (Khai triển hai hạng tử đầu)  b 2c  ca 2    bc2  c 2a   ab  a  b  (Nhóm các hạng tử) c  b 2  a 2   c 2  b  a   ab  a  b  (Đặt nhân tử chung) c  b  a   b  a   c 2  b  a   ab  a  b  (Dùng hằng đẳng thức)  b  a   cb  ca  c 2  ab  (Nhóm các hạng tử)  b  a    cb  c 2    ca  ab   (Nhóm các hạng tử)  a  b   c  b  c   a  c  b   (Đặt nhân tử chung)  a  b   b  c   c  a  (Đặt nhân tử chung) Chú ý: Ta có thể khai triển hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung b  c , hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân tử chung c  a . Khi phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử cần lưu ý các bước sau: + Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể, từ đó làm đơn giản đa thức. + Xét xem đa thức có xuất hiện hằng đẳng thức không. + Nếu không có nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử để là xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học 9/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” để các bước phân tích được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích ra được nữa). Trên đây là các ví dụ về phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường đã nêu trong sách giáo khoa. Tuy nhiên với những bài tập nâng cao dành cho học sinh khá giỏi không chỉ đơn thuần sử dụng các phương pháp này, mà cần sử dụng thêm một số các phương pháp khác thì mới có thể nhanh chóng đưa ra lời giải cho bài toán. 3.2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác a. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2  7x  12 Giải Cách 1: Tách số hạng  7x thành  4x  3x 2 2 2 Ta có: x  7x  12 x  4x  3x  12  x  4x    3x  12  x  x  4   3  x  4   x  4   x  3 Cách 2: Tách số hạng 12 thành 21  9 2 2 2 Ta có: x  7x  12 x  7x  21  9  x  9    7x  21  x  3  x  3  7  x  3  x  3  x  3  7   x  3  x  4  Cách 3: Tách số 12 thành  16  28 2 2 2 Ta có: x  7x  12 x  7x  16  28  x  16    7x  28   x  4   x  4   7  x  4   x  4   x  4  7   x  4   x  3 Cách 4: Tách số hạng  7x thành  6x  x và 12 9  3 Ta có: x 2  7x  12 x 2  6x  x  9  3 2  x 2  6x  9    x  3  x  3    x  3   x  3  x  3  1  x  3  x  4  Cách 5: Tách số hạng  7x thành  8x  x và 12 16  4 Ta có: x 2  7x  12 x 2  8x  x  16  4 2  x 2  8x  16    x  4   x  4    x  4   x  4   x  4  1  x  4   x  3 Qua ví dụ trên ta thấy được có nhiều cách tách hạng tử đối với đa thức 2 dạng ax  bx  c  a 0  , nhưng trong đó có hai cách thông dụng nhất, đó là: 10/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” - Cách 1: Tách bx b1x  b 2 x sao cho b1b 2 ac . - Cách 2: Tách c c1  c 2 sao cho ax 2  bx  c tạo thành bình phương của một tổng hoặc hiệu. Đối với các đa thức có bậc ba trở lên thì tùy theo đặc điểm của các hệ số mà có cách tách riêng cho phù hợp. Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 3  5x 2  3x  9 Giải x 3  5x 2  3x  9 x 3  x 2  6x 2  6x  9x  9 x 2  x  1  6x  x  1  9  x  1  x  1  x 2  6x  9   x  1  x  3  2 b. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử thích hợp Ví dụ 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x 4  y 4 Giải 4x 4  y 4 4x 4  4x 2 y 2  y 4  4x 2 y 2 2  2x 2  y2    2xy  2  2x 2  2xy  y 2   2x 2  2xy  y 2  Trong ví dụ trên ta thêm và bớt cùng một hạng tử 4x 2 y 2 để làm xuất hiện dạng khai triển của bình phương một tổng và ta tiếp tục phân tích bằng cách áp dụng hằng đẳng thức. Như vậy mục đích của việc thêm bớt cùng một hạng tử để xuất hiện những nhóm hạng tử sao cho có thể dùng hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung. Ví dụ 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x 5  x 4  1 b) x10  x 5  1 Giải a) Thêm bớt x 3 ta được: x 5  x 4  1 x 5  x 4  x 3  x 3  1  x 5  x 4  x 3    x 3  1 x 3  x 2  x  1   x  1  x 2  x  1  x 2  x  1  x 3  x  1 b) Thêm bớt x 2  x ta được: x10  x 5  1  x10  x    x 5  x 2    x 2  x  1 3 x   x 3   1  x 2  x 3  1   x 2  x  1   11/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” x  x 3  1  x 6  x 3  1  x 2  x 3  1   x 2  x  1  x 2  x  1  x  x  1  x 6  x 3  1  x 2  x  1  1  x 2  x  1  x 8  x 7  x 5  x 4  x 3  x  1 Các đa thức này có dạng tổng quát x m  x n  1 trong đó m 3k  1 , n 3h  2 . Khi tìm cách giảm dần số mũ của lũy thừa ta cần chú ý đến các biểu thức có dạng x 6  1 ; x 3  1 là những biểu thức chia hết cho x 2  x  1 . Những đa thức này khi phân tích thành nhân tử đều chứa thừa số x 2  x  1 . c. Phương pháp đổi biến Ví dụ 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x 2 2  3x  1  12  x 2  3x  1  27 2 2 b) 4x  x  y   x  y  z   x  z   y z Giải a) x 2 2  3x  1  12  x 2  3x  1  27 Đặt x 2  3x  1 y ,ta được y 2  12y  27 y 2  3y  9y  27  y 2  3y    9y  27  y  y  3  9  y  3  y  3  y  9  Thay y x 2  3x  1 , ta được x 2  3x  1  3  x 2  3x  1  9   x 2  3x  4   x 2  3x  10   x 2  x  4x  4   x 2  2x  5x  10   x  1  x  4   x  2   x  5  Trong cách giải trên, nhờ cách đổi biến y x 2  3x  1 ta đã đưa một đa thức bậc 4 đối với x rất phức tạp trở thành một đa thức bậc 2 đối với y rất đơn giản, nhờ đó phân tích thành nhân tử được dễ dàng. 2 2 b) 4x  x  y   x  y  z   x  z   y z Nếu để nguyên đa thức trên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm. 4x  x  y   x  y  z   x  z   y 2 z 2 4x  x  y  z   x  y   x  z   y 2z 2 4  x 2  xy  xz   x 2  xy  xz  yz   y2 z 2 Đặt x 2  xy  xz m , ta được: 4m  m  yz   y 2z 2 4m 2  4myz  y 2z 2  2m  yz  Thay m x 2  xy  xz , ta được: 12/19 2 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” 4x  x  y   x  y  z   x  z   y 2z 2  2x 2  2xy  2xz  yz  2 d. Phương pháp đồng nhất hệ số (còn gọi là phương pháp hệ số bất định) Ví dụ 6. Phân tích đa thức sau thành tích của hai đa thức, một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc hai. x 3  19x  30 Giải Cách 1: Với các phương pháp phân tích đã biết, ta có thể phân tích đa thức trên thành hai đa thức theo đúng yêu cầu của đề bài. Ta có: x 3  19x  30 x 3  8  19x  38  x 3  8    19x  38   x  2   x 2  2x  4   19  x  2   x  2   x 2  2x  4  19   x  2   x 2  2x  15  Ta thấy đa thức x 2  2x  15 còn có thể phân tích được nữa nhưng do đề bài yêu cầu phân tích đa thức x 3  19x  30 thành tích của hai đa thức, một đa thức bậc 2 nhất và một đa thức bậc hai nên tích  x  2   x  2x  15  đã thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 2 Cách 2: Theo đề bài x  19x  30  x  a   x  bx  c  x 3  bx 2  cx  ax 2  abx  ac x 3   b  a  x 2   c  ab  x  ac Hai đa thức trên đồng nhất với nhau nên ta có: a  b 0  c  ab  19 ac  30  Vì a,c  và tích ac  30 nên a,c   1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 Với a 2,c  15 thì b  2 thỏa mãn hệ thức trên. 3 2 Do đó x  19x  30  x  2   x  2x  15  3.3. Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Tính nhanh Ví dụ 1: Tính hợp lí a) 75.20,9  52.20,9 b) 86.15  150.1,4 c) 93.32  14.16 d) 98,6.199  990.9,86 13/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” Giải 2 2 a) 75.20,9  5 .20,9 20,9. 75  5  20,9.100 2090 b) 86.15  150.1,4 86.15  15.14 15. 86  14  15.100 1500 c) 93.32  14.16 93.32  7.2.16 93.32  7.32 32.  93  7  32.100 3200 d) 98,6.199  990.9,86 98,6.199  99.98,6 98,6.  199  99  98,6.100 9860 Trong ví dụ trên ta phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Ví dụ 2: Tính nhanh a) 352  152 b) 482  422  64  522 2 2 c) 72  144.16  16  12 d) 2 973  833  97.83 180 Giải 2 2 a) 35  15  35  15   35  15  20.50 100 2 2 2 2 2 2 2 b) 48  42  64  52  48  52    8  42   48  52   48  52    8  42   8  42    4  .100    34  .50   4  .100    17  .100  21.100  2100 c) 722  144.16  162  122 722  2.72.16  162  122 2  72  16   122 882  122  88  12   88  12  76.100 7600 3 3 97  83  97 2  97.83  832   97  83 d)  97.83   97.83 180 180 97 2  97.83  832  97.83 97 2  2.97.83  832 2  97  83 142 196 Trong ví dụ này ta dùng hằng đẳng thức một cách hợp lí để phân tích các biểu thức đã cho thành tích rồi tính. Ví dụ 3: Tính nhanh a) 15.64  25.100  36.15  60.100 b) 47 2  482  25  94.48 Giải a) 15.64  25.100  36.15  60.100  15.64  36.15    25.100  60.100  15. 64  36   100. 25  60  14/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” 15.100  100.85 100. 15  85  100.100 10000 2 2 2 2 b) 47  48  25  94.48  47  48  2.47.48   25 2  47  48   52 952  52  95  5  . 95  5  90.100 9000 Trong ví dụ trên ta thực hiện nhóm các hạng tử một cách thích hợp sau đó áp dụng các quy tắc tính nhanh. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức a) A a  b  3  b  3  b  tại a 2003 và b 1997 5 3 2 2 b) B x  x  2y   x y  x  2y   x y  x  2y  tại x 10 và y  5 Giải Theo cách làm thông thường, các em học sinh sẽ thay ngay giá trị của biến vào biểu thức để tính giá trị. Cách làm đó phải tính toán rất vất vả mới cho kết quả. Vì vậy giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử rồi mới thay số tính giá trị của biểu thức. a) A a  b  3  b  3  b   a  b   b  3 Thay a 2003 và b 1997 vào biểu thức A, ta được A  2003  1997   1997  3  6.2000 12000 5 3 2 2 5 3 2 2 b) B x  x  2y   x y  x  2y   x y  x  2y   x  2y   x  x y  x y  Với x 10 và y  5 thì x  2y 0 . Do đó B 0 . Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức a) M 5x 2  10xy  5y 2  105z 2 tại x 5; y 7 và z 12 b) N 16x 2  y 2  4x  y tại x 1,3 và y 0,8 Giải 2 2 2 2 2 2 a) M 5x  10xy  5y  105z 5  x  2xy  y   105z 2 5  x  y   105z 2 Thay x 5; y 7 và z 12 vào biểu thức M, ta được 2 M 5  5  7   105.12 2 5.12 2  105.12 2  100.12 2  14400 1  2 2 2 b) N 16x  y  4x  y  16x  4x    4  15/19 1  2 y  y    4  “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” 2 1  1   4x     y   2  2  2  1  1   1   4x     y      4x    2  2   2   4x  y   4x  y  1 Thay x 1,3 và y 0,8 vào biểu thức N, ta được: N  4.1,3  0,8   4.1,3  0,8  1 6.5,4 32,4 Dạng 3. Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước Ví dụ 6: Tìm x, biết: a) 8x  x  2017   2x  4034 0 2 b)  x  1  x  2   2x 4 Giải a) 8x  x  2017   2x  4034 0  8x  x  2017   2  x  2017  0  2  x  2017   4x  1 0  x 2017  x  2017 0   1 x   4x  1 0  4 2 b)  x  1  x  2   2x 4   x 2  1  x  2   2x  4 0   x 2  1  x  2   2  x  2  0   x  2   x 2  3 0 2 Vì x 2  3  0, x nên  x  2   x  3 0  x  2 0  x 2 Ví dụ 7: Tìm x, biết: a)  2x  5  2 2   5  2x  0 3 b) x  27   x  3  x  9  0 Giải a) 2 2  2x  5    5  2x  0   2x  5  5  2x   2x  5  5  2x  0   10.4x 0  x 0 16/19 1    y   2   “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” 3 b) x  27   x  3  x  9  0   x  3  x 2  3x  9    x  3   x  9  0   x  3   x 2  3x  9    x  9   0   x  3  x 2  2x  0   x  3 x  x  2  0  x  3   x 0   x 2 Trong dạng toán này có thể nhận thấy đây là cách biến đổi đưa về phương trình tích với các phép biến đổi chính là phân tích một đa thức thành nhân tử, có thể hướng dẫn các em theo các bước sau: Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái, vế phải bằng 0. Bước 2: Phân tích vế trái thành nhân tử để được dạng tích, chẳng hạn A.B 0 , từ đó suy ra A 0 hoặc B 0 Bước 3: Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A 0 và B 0 rồi kết luận. Dạng 4: Chứng minh các bài toán số học Ví dụ 8: Chứng minh: a) 25n 1  25n chia hết cho 100 với mọi số tự nhiên n. 2 b) n  n  1  2n  n  1 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. a) Ta có: 25 n 1 Giải  25 25.25  25n 25n.  25  1 25n.24 n n Mà 24 4.6;25n 25.25n  1  25n 1  25n 100.6.25n 100 2 b) Ta có: n  n  1  2n  n  1 n  n  1  n  2  Vì n  2;n  1;n là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng sẽ chia hết cho 6. Ví dụ 9: Chứng minh: 2 a)  3n  1  4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n 2 b) 100   7n  3 chia hết cho 7 với n là số tự nhiên. Giải 2 a) Ta có:  3n  1  4  3n  1  2   3n  1  2  3  n  1  3n  1 2 Vì 3  n  1  3n  1 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n, nên  3n  1  4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n. 17/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” 2 b) Ta có: 100   7n  3  7  7n   13  7n  7  1  n   13  7n  chia hết cho 7 với n là số tự nhiên. PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1. Kết luận: Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng, được vận dụng nhiều trong các bài toán. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử được nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp các em học sinh trung bình, yếu nắm được các phương pháp cơ bản; có kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và vận dụng được các phương pháp phân tích thông thường, biết trình bày bài giải hợp lí, có hệ thống và logic. Các em hứng thú hơn trong học tập Các em học sinh khá giỏi hiểu sâu hơn cách phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt là các phương pháp phân tích nâng cao; biết phân loại và sử dụng các phương pháp phù hợp với bài toán; vận dụng thành thạo kĩ năng biến đổi, phân tích, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng đẳng thức. Từ đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức. Sau khi thực hiện đề tài “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”. Tôi nhận thấy học sinh có hứng thú học tập hơn, kết quả học tốt hơn, biết vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các bài toán. Tuy nhiên, còn một số bài tập ứng dụng nữa mà tôi chưa đưa ra trong đề tài này được. Bởi vậy tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu thêm vào năm học sau. 2. Khuyến nghị: Thông qua việc thực hiện đề tài, bản thân tôi có một số kiến nghị và đề nghị sau:  Đối với giáo viên: - Cần nghiên cứu kĩ nội dung bài dạy, có biện pháp sư phạm phù hợp với từng loại bài. - Phải luôn luôn tâm huyết với nghề, không ngừng tìm tòi, học hỏi nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.  Đối với nhà trường, tổ chuyên môn: - Thường xuyên tổ chức các giờ học, chuyên đề có chất lượng cao. - Những điều kiện cần thiết về cơ sở vật chất phục vụ cho việc giảng dạy. - Cung cấp đủ tài liệu tham khảo để giáo viên trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, tích lũy kinh nghiệm, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ. Hà Nội, ngày 3 tháng 4 năm 2019 18/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán” Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết. Không sao chép nội dung của người khác. NGƯỜI VIẾT PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. 2. 3. 4. 5. Một số vấn đề đổi mới PPDH ở trường THCS môn Toán - Bộ GD&ĐT Sách giáo khoa Toán 8 - Bộ GD&ĐT Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 – Bùi Văn Tuyên Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8 – Vũ Dương Thụy (Chủ biên) Củng cố và ôn luyện Toán 8 – Lê Đức Thuận (Chủ biên) 19/19