Tài liệu Skkn giúp học sinh phát hiện và khắc phục sai lầm khi giải toán về căn bậc hai, căn bậc ba

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc TÊN SÁNG KIẾN: GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Quảng Bình, tháng 11 năm 2015 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc TÊN SÁNG KIẾN: GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Họ và tên: Nguyễn Thị Hà Trang Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS An Thủy Quảng Bình, tháng 11 năm 2015 1 . PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn sáng kiến: Toán học là môn khoa học, toán học có vai trò rất quan trọng, là chìa khóa cho các ngành khoa học khác, toán học đa dạng và phong phú, mỗi nô ôi dung toán học đều có những đă ôc trưng và áp dụng của nó. Cùng với sự phát triển của đất nước, thời kì công nghiê ôp hóa hiê ôn đại hóa, phát triển và hô ôi nhâ ôp thì viê tiếp thu khoa ôc học hiện đại của thế giới. Do sự phát triển vượt bậc của khoa học kĩ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng, đòi hỏi ngay từ viê ôc học của trò phải có kiến thức vững vàng, những lâ ôp luâ ôn chă ôt chẽ. Những người hướng dẫn các em tiếp thu kiến thức là những thầy, cô giáo đang trực tiếp giảng dạy các em, nhà trường không thể luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được, điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức cần thiết cho bài học, để vâ ôn dụng vào làm bài tâ p. ô Qua nhiều năm là giáo viên giảng dạy trên lớp tôi thấy rằng viê ôc truyền thụ kiến thức cho các em mới chỉ là mô ôt chiều, là chỉ mới chỉ cho các em thấy cái đúng, lời giải đúng, mà chưa chỉ cho các em tìm cái sai trong khi làm toán mà các em hay gă ôp để các em suy nghĩ sâu sắc hơn cho học sinh, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo. Trong chương trình đại số lớp 9 THCS phần kiến thức về căn bâ ôc hai, căn bâ ôc ba, tôi thấy học sinh còn mắc rất nhiều sai sót khi trình bày mô ôt bài toán, có những lỗi sai mà lẽ ra các em không đáng mắc phải, nhưng vì sao như vâ ôy đó là mô ôt câu hỏi của tôi, làm thế nào để các em trình bày mô t bài toán được tốt mà ít mắc sai ô lầm, và ít bị bỏ quên các điều kiê ôn như vâ ôy. Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học tại trường THCS .Tôi phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn yếu, lời giải toán còn thiếu nhiều và chưa chặt chẽ theo tư duy toán học do nhiều nguyên nhân như năng lực tư duy ngôn ngữ, khả năng chuyển thể từ ngôn ngữ văn học thành các quan hệ toán học, chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai, hay có sự nhầm lẫn, hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích …Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là cần thiết, giúp các em có một sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức khi học căn bậc hai, căn bậc ba, tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này. Qua nghiên cứu tài liê ôu, thực tế giảng dạy và học hỏi đồng nghiê ôp tôi rút ra sáng kiến kinh nghiê ôm " Giúp học sinh phát hiện và khắc phục sai lầm khi giải toán về căn bâc hai, căn bậc ba" nhằm tránh những sai lầm đáng tiếc của học sinh. â 1.2. Điểm mới của sáng kiến Giúp học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập là một việc làm mà có lẽ rất nhiều giáo viên trong quá trình giảng dạy đã trăn trở nghiên cứu và áp dụng vào bài dạy của mình. Hơn nữa vấn đề này cũng đã được đề cập trong nhiều tài liệu nghiên cứu nhằm phát huy được tính tích cực của học sinh, góp phần đổi mới nội dung và phương pháp dạy học. Tuy nhiên khi áp dụng vào thực tế bài dạy của mình không phải giáo viên nào cũng biết vận dụng một cách hiệu quả để có thể dễ dàng nâng cao chất lượng dạy và học bởi vì thực tế chưa có những biện pháp cụ thể mang tính hệ thống áp dụng cho từng bài dạy do vậy ít nhiều giáo viên còn có sự lúng túng. Là một giáo viên trực tiếp đứng lớp giảng dạy bộ môn Toán Trung học cơ sở, mỗi lần lên lớp, bản thân tôi luôn băn khoăn trước việc học của các em. Một số em thường mắc phải những sai lầm đáng tiếc khi giải các bài toán. Đặc biệt, trong các bài toán về căn bậc hai, căn bậc ba các em thường gặp những thiếu sót trong lời giải hoặc thậm chí ngộ nhận trong việc tìm hướng giải các bài toán dẫn đến việc không tìm được lời giải đúng cho bài toán. Vậy làm thế nào để học sinh có thể tự tìm ra sai lầm của mình, để từ đó khắc phục sai lầm và lĩnh hội kiến thức một cách sâu sắc? Từ những trăn trở đó, tôi đã nghiên cứu đề tài " Giúp học sinh phát hiện và khắc phục sai lầm khi giải toán về căn bâc hai, căn bậc ba". Đề tài không đưa ra ngay â lời giải đúng cho các bài toán mà xuất phát từ những lời giải sai của học sinh, tôi phân tích những sai lầm mắc phải, để từ đó các em có thể tự nhận ra sai lầm của mình và tự giải quyết để khắc phục sai lầm đó. Như vậy các em đã chủ động phát hiện ra kiến thức và tự khắc sâu hơn kiến thức cho chính mình. Đây chính là điểm mới của sáng kiến này. 1.3. Phạm vi áp dụng sáng kiến: Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “Nhóm sai lầm” mà học sinh thường mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chương I –Đại số 9 của học sinh khối 9. Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lập luận sai, hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác. Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải toán về căn bậc hai, căn bậc ba. 2. PHẦN NỘI DUNG 2.1. Thực trạng của sáng kiến Khi dạy học sinh về căn thức bâ ôc hai, căn bậc ba tôi thấy học sinh còn lúng túng khi trình bày bài toán về căn bâ ôc hai, tôi rất băn khoăn làm thế nào để học sinh làm tốt được bài tâ ôp, không sai sót . Trước thời gian đó nhiều em học sinh đi thi về cho rằng mình làm tốt bài, song điểm chưa được cao, chưa tối đa, lỗi vì đâu. Khi kiểm tra 15 phút của 38 em học sinh lớp 9 4 của trường THCS trong nô i dung ô đầu năm học về căn thức bâ ôc hai tôi thấy học sinh còn mắc khá nhiều lỗi sai mà lẽ ra các em không mắc phải, khi điều tra và thống kê tôi thấy kết quả không như mong muốn. Nô ôi dung kiểm tra Bài 1. Tìm các căn bâ ôc hai của các số sau. a) 49 b) 64 Bài 2. Tìm điều kiê ôn để các căn thức sau có nghĩa. b)  x  2   2 x  1 a) 2 x  3 Bài 3. Tính. a)  3 5  2 b) 6  2 5 Kết quả kiểm tra Bài Bài 1 Bài 2(a) Bài 2(b) Bài 3 (a) Bài 3 (b) 2.2. Các giải pháp: Số học sinh làm được SL % 32 84,2 25 65,8 22 57,9 20 52,6 17 44,7 2.2.1 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề Qua nhiều năm dạy học tôi thấy viê ôc tiếp thu kiến thức theo hướng đưa bài tâ ôp, học sinh làm thì viê c tư duy, tìm tòi, khắc sâu kiến thức của học sinh không cao, ô còn khi gă ôp bài toán ngược như tìm chỗ sai trong lời giải cho trước thì học sinh rất hứng thú bàn luâ ôn, cho ra nhiều hướng, nhiều kết quả ( có thể chưa đúng) song hiê ôu quả tốt hơn trong quá trình học tâ p của các em. ô Từ bài tâ ôp 16(SGK-t12 đại số lớp 9 tâ p 1).Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép ô chứng minh"Con muỗi nă ng bằng con voi" dưới đây. ô Lời giải. Giả sử con muỗi nă ng m (gam), còn con voi nă ông V (gam).Ta có ô m2 +V2 =V2 +m2 Cô ng cả hai vế với -2mV, ta có ô m2 -2mV +V2 =V2 -2mV +m2 (m-V)2 =(V-m)2 hay Lấy căn bâ ôc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được  m V  Do đó 2   V  m 2 m-V=V–m Từ đó ta có 2m =2V, suy ra m=V. Vâ ôy con muỗi nă ng bằng con voi (!) ô Từ bài toán đó tôi thấy học sinh bàn luâ n hứng thú hơn và cũng từ đó tôi đã ô đưa các bài toán kiểu như vâ ôy cho học sinh làm, nhằm gây hứng thú, đồng thời chỉ ra mô t số sai lầm khi làm bài của học sinh. ô Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh học trong chương I đại số lớp 9 thường mắc mô ôt số lỗi sau. Sau đây tôi đưa ra mô ôt số nô ôi dung lỗi mà học sinh hay mắc phải đồng thời đưa ra cách khắc phục cho học sinh. Dạng 1: Sai lầm trong tính toán. Khi làm bài tâ ôp học sinh hay sai trong viê ôc tính toán, như nhầm dấu, nhân sai... các nô i dung này giáo viên khắc phục thường xuyên ở các lớp trước. Trong ô nô i dung này ta đề câ p đến viê ôc học sinh hay mắc phải lỗi sai khi sử dụng hằng ô ô đẳng thức A2  A Bài toán 1.(SGK/tr10, ĐS 9) Rút gọn biểu thức: a)  3 11  2 b) 3  a  2  2 với a <2 Lời giải sai. a)  3  11  = 3  11 2 b) 3.  a  2   3.(a  2) 2 Phân tích sai lầm. Ở đây học sinh đã sử dụng hằng đẳng thức trên nhưng không xét đến biểu thức A, và không vâ ôn dụng tốt hằng đẳng thức A2  A . Khắc phục sai lầm. Chỉ ra sai cho học sinh và đồng thời lưu ý hằng đẳng thức A2  A . Có nghĩa là: A2  A nếu A  0 ( tức là A lấy giá trị không âm). A2   A nếu A  0 ( tức là A lấy giá trị âm). Khi vâ ôn dụng cần chú ý tới biểu thức trong dấu căn để biến đổi. Lời giải đúng. a)  3 11  2  3  11  11  3 ( vì 3< 11 ) b) 3.  a  2   3. a  2  3  2  a  ( vì a<2) 2 Bài 2: ( Bài tâ ôp 41 SBT toán 9/tr9 tâ ôp I) Rút gọn các biểu thức. a) x  2 x 1 (x 0) x  2 x 1 b) x 1 y  2 y 1 4 y 1  x  1 ( x  1, y  1 và y >0) Lời giải sai: a) Vì x  0 nên ta có x   x  , từ đó ta có 2 x  2 x 1   x  2 x 1 = x  2 x 1  x 1   2 và x  2 x  1   x  1  x  1 x 1 2 2 =   x 1  x  1 2 2  2 x 1 x 1 b)Với y >0, ta có y  2 y  1   y  1 x 1 y  2 y 1 = x 1 4 y 1  x  1 y 1   y 1  x  1 4 2  2 y 1 x 1 1 .  2 x 1 y  1  x  1 Phân tích sai lầm. Viê ôc biến đổi của các em cơ bản là tốt, nhưng khi sử dụng A2  A . Thì các em vẫn hay mắc phải, ở bài toán trên, đối với câu hằng đẳng thức  a) Học sinh sai ở bước x 1  x  1  2 2 x 1 x 1  Đối với câu b) học sinh sai ở bước x  1 y 1   y 1  x  1 4 2  y 1 x 1 . 2 y  1  x  1 Khắc phục sai lầm. Phân tích sai như bài 1 và sửa lại cho học sinh Lời giải đúng. a) Vì x  0 nên ta có x   x  , từ đó ta có 2 x  2 x 1  A  x  2 x 1 = x  2 x 1  x 1    x  1 x 1 và x  2 x  1   x  1 2 2 2 =   x 1  x  1 Nếu x  1 thì A  x 1  2 x 1 x 1 x 1 Nếu 0  x  1 thì A  2 2 1 x x 1 b)Với y >0, ta có y  2 y  1   y  1 x 1 y  2 y 1 B = x 1 4 y 1 x  1  y 1 Nếu y<1 thì B    y 1  x  1 4 2  2 y 1 x 1 . 2 y  1  x  1 1 1 x Nếu y>1 thì B  1 x 1 Dạng 2: Sai lầm trong giải phương trình. Bai 1. Tìm x, biết: x 2  2 x  1  3 (1) Lời giải sai. Biểu thức x2-2x+1  0x (1)   x  1 2  3  x 1  3  x  4 Phân tích sai lầm. Sai ở chỗ học sinh mới chỉ lấy mô ôt trường hợp, mà khi giải loại bài tâ ôp này cần sử dụng A2  A . Lời giải đúng. (1)   x  1 2 3 x 1  3 *Trường hợp 1: x-1=3  x=4 *Trường hợp 2: x-1=-3  x=-2 Bài 2: Giải phương trình : x +4 = x +2 Lời giải sai: x  4  0  x  4  x  4   2   2  x( x  3)  0  x  4  x  4x  4  x  3x  0 Ta có x  4  x  2    x  4    x  0; x  3 Vâ ôy phương trình đã cho có hai nghiê ôm là x=0; x2=-3 1 Phân tích sai lầm. Sai ở chỗ với điều kiê ôn x 4 thì vế phải chưa chắc đã không âm, vì vâ ôy viê ôc bình phương hai vế đã không đúng vì x=-3 là bị loại. 2 Khắc phục sai lầm. Khi giải dạng toán A  B cần lưu ý B  0 AB  2 A B Lời giải đúng. x  2  0  x  2  x  2  x  2   2     x4  x2   2  x( x  3)  0  x  0; x  3  x  4  x  4x  4  x  3x  0 So sánh điều kiê ôn x=-3 (bị loại) , x=0 (TM) Vâ ôy phương trình đã cho có mô ôt nghiê ôm x=0 Bài 3: Giải phương trình. x( x  1)  x ( x  2)  2 x( x  3) (1) Lời giải sai: + Khi x  3 Ta có (1)  x. x 1  x . x  2  2 x. x  3  Với điều kiê n x  3 khi đó ta có ô x 1  x  2  2 x  3  x 1  x  3    x 2  x 3  x 1  x  2  2 x  3 Phương trình đã cho vô nghiê ôm trong khoảng x  3 . + Khi x<0 (1)   x. 1  x   x. 2  x  2  x . 3  x  1 x  2  x  2 3  x Với điều kiê ôn x<0 khi đó ta có  1 x  3  x    2 x  3 x  1 x  2  x  2 3  x Phương trình đã cho vô nghiê ôm trong khoảng x<0 Vâ ôy phương trình đã cho vô nghiê ôm. Phân tích sai lầm. Sai ở đây là khi x=0 phương trình đã cho vẫn tồn tại, như vâ ôy học sinh đã vô tình chia cả hai vế cho biểu thức chứa ẩn và làm mất nghiê ôm của phương trình. Khắc phục sai lầm.Không được chia hai vế phương trình cho mô ôt biểu thức chứa ẩn khi chưa kiểm tra biểu thức đó bằng 0 có là nghiê ôm phương trình không. Cần lưu ý AB  A. B Khi A  0 ;B  0 AB   A.  B khi A  0 ;B  0 Lời giải đúng. + Khi x=0 thỏa mãn phương trình , vâ ôy x=0 là mô ôt nghiê ôm của phương trình + Khi x>0 (1)  x. x 1  x. x  2  2 x. x  3  x 1  x  2  2 x  3 Điều kiê n x  3 khi đó ta có ô  x 1  x  3    x 2  x 3  x 1  x  2  2 x  3 Phương trình đã cho vô nghiê ôm trong khoảng x>0. + Khi x<0 (1)   x. 1  x   x. 2  x  2  x . 3  x  Với điều kiê ôn x<0 khi đó ta có 1 x  2  x  2 3  x  1 x  3  x    2 x  3 x  1 x  2  x  2 3  x Phương trình đã cho vô nghiê ôm trong khoảng x<0 Vâ ôy phương trình đã cho có mô ôt nghiê ôm là x=0 Bài 4. Giải phương trình x  1  5x  1  3x  2 Lời giải sai: Điều kiê ôn xác định của phương trình là x  1 . x  1  5x  1  3x  2  x  1  5 x  1  2  6x  2  2  x  1  5 x  1  x  1  5 x  1  3x  2  3x  4  2  3x  2  x  1  5 x  1  9 x 2  24 x  16  4  5 x 2  6 x  1  9 x 2  24 x  16  20 x 2  24 x  4  11x 2  12  x   12 11 So với điều kiê n x  1 thì x= ô 12 là nghiê m phương trình ô 11 Phân tích sai lầm. Sai ở chỗ các em đã bình phương hai vế phương trình mà chưa chú ý đến điều kiê ôn là hai vế phương trình phải cùng dấu .viê ôc sử dụng kiến thức a  b  a 2  b 2 ( khi a,b cùng dấu ) Khắc phục sai lầm. Khi bình phương hai vế của mô ôt phương trình học sinh cần chú ý đến hai vế phải cùng dấu nghĩa là a  b  a 2  b 2 ( khi a,b cùng dấu ) Lời giải đúng. Điều kiê ôn xác định của phương trình là x  1 .(1) Chuyển vế, ta có x  1  5 x  1  3x  2  x  1  5x  1  3x  2 Bình phương hai vế của phương trình được x  1  5 x  1  3 x  2  2 15 x 2  13 x  2 Rút gọn thành 2-7x= 2 15 x 2  13 x  2 ( *) Đến đây có hai cách giải. 7 �  Cách 1: Với điều kiê ôn 2  x 0 x 2 (2) 7  4  28 x  49 x 2  4(15 x 2  13 x  2) 2 Thì (*)  11x  24 x  4  0   11x  2   x  2   0  Giá trị x1  2 ; x2  2 11 x1  2 không thỏa mãn điều kiê ôn (1), loại. 11 Giá trị x2  2 không thỏa mãn điều kiê ôn (2), loại. Vâ ôy phương trình vô nghiê ôm. Cách 2: Ta xét 2 � 7 x 0 � x 2 2 tức là x  trái với điều kiê ôn (1) . Vâ ôy 7 7 phương trình đã cho vô nghiê ôm. Tuy nhiên nếu điều kiên bài toán khó xác định có thể học sinh làm sau đó thử lại để kết luâ ôn về nghiê ôm phương trình. Bài 5. Giải phương trình.  x  2  x  2  4  x  2 x2  3 (1) x2 Lời giải sai. x  2  0 x  2  0  x  2 hoă ôc  � x  2  0 x  2  0 Điều kiê n: ô (1)   x  2   x  2   4   x  2  x  2 x2  x  2  x  2  4  x  2  x  2 x 2 2  3  3 (2) Đă ôt:  x  2   x  2   y với y  0 (2)  y 2  4 y  3  0  ( y 2  y )  (3 y  3)  0  y ( y  1)  3( y  1)  0  ( y  1)( y  3)  0 y1=-1 (loại) , y2=-3 (loại) Vâ ôy phương trình đã cho vô nghiê ôm. Phân tích sai lầm. Tuy bài làm tưởng như là đúng, nhưng sai ở đây là học sinh đã cho vào trong dấu căn biểu thức 4  x  2  x2 4 x2  x  2   x  2  , biểu thức 2 x2 (x-2) chưa thể khẳng định là biểu thức dương, nên kết quả bài toán là không đúng. Khắc phục sai lầm. Khi đưa mô ôt thừa số vào trong dấu căn phải vâ ôn dụng Với A  0 và B  0 ta có A B  A2 .B . Với A  0 và B  0 ta có A B   A2 .B . Lời giải đúng. x  2  0 x  2  0  x  2 hoă ôc  � x  2  0 x  2  0 Điều kiê ôn: Đă ôt:  x  2  x 2 x2  y (2) x2 Thì y2=(x-2)(x+2). (3) Ta có y2+4y+3=0 nên y1=-1, y2 =-3. Do y<0 nên từ (2) suy ra x<2 Với y=-1, thay vào (3) đượcx2-4=1. Do x<2 nên x=  5 Với y=-3, thay vào (3) đượcx2-4=9. Do x<2 nên x=  13 Vâ ôy phương trình có hai nghiê ôm là 5 ;  13 Bài 6. Giải phương trình. 3 2 x  1  3 x  1 (1) Lời giải sai. Lâ p phương hai vế, ta được 2 x  1  x  3 3 x(2 x  1).  3 2 x  1  3 x   1 (2) ô Thay 3 2 x  1  3 x  1 Vào (2) ta có 3x+1+3 3 x(2 x  1)  1  3 (3) x(2 x  1)   x  x(2 x  1)   x 3  x(2 x  1  x 2 )  x ( x  1) 2  0  x1  0; x2  1 Phân tích sai lầm. Các phương trình (1) và (2) tương đương, nhưng các phương trình (2) và (3) không tương đương. Từ (2) suy ra được (3), nhưng từ (3) không suy ra được (2). Khắc phục sai lầm. Khi tìm được nghiê ôm của phương trình (3) là 0 và -1, phải thử lại các giá trị đó vào (1) để chọn ra nghiê m của (1) ô Lời giải đúng. Lâ p phương hai vế, ta được 2 x  1  x  3 3 x(2 x  1).  3 2 x  1  3 x   1 (2) ô Thay 3 2 x  1  3 x  1 Vào (2) ta có 3x+1+3 3 x(2 x  1)  1  3 x(2 x  1)   x  x(2 x  1)   x 3  x(2 x  1  x 2 ) (3)  x ( x  1) 2  0  x1  0; x2  1 Thử lại x1=0 thỏa mãn (1) x2=-1 không thỏa mãn (1), loại. Phương trình (1) có mô ôt nghiê ôm duy nhất là x=0. Dạng 3: Sai lầm trong giải bất phương trình. Bài 1. Tìm x để biểu thức x 2  1 có nghĩa : Lời giải sai. 2 1 0 x 2  1 có nghĩa khi x  x2 1 x 1 Phân tích sai lầm. Tuy học sinh đã vâ ôn dụng đúng kiến thức A có nghĩa khi A  0, nhưng viê ôc giải bất phương trình, kết hợp nghiê ôm của bất phương trình lại sai. Khắc phục sai lầm. khi dạy nô i dung này cần chú ý hướng dẫn cho học sinh ô và phân tích kĩ nô i dung giải bất phương trình và kết hợp nghiê ôm. ô Lời giải đúng. 2 1 x 2  1 có nghĩa khi x ۳0 Cũng có thể làm như sau x2 1 x 1 hoă ôc x < -1 2 x 2  1 có nghĩa khi x  1  0   x  1  x  1  0   x 1  0   x 1  0  x 1  0 sau đó giải tiếp và tìm được x>1 hoă ôc x <-1  x 1  0 hoă ôc Bài 2. Tìm x để biểu thức sau  x  1  x  3 có nghĩa. Lời giải sai.  x 1  0 x 3  0 biểu thức  x  1  x  3 có nghĩa khi(x-1)(x+3)  0 ۳  x 1 Phân tích sai lầm. Trong trường hợp này học sinh khi làm bài đã chỉ nghĩ đến trường hợp tích hai thừa số dương là mô ôt số dương, mà không nghĩ đến hai thừa số cùng âm thì tích cũng là mô ôt số dương. Khắc phục sai lầm. Khi dạy nô ôi dung này cần chú ý đến A.B 0 khi và chỉ khi A;B cùng dấu, có hai trường hợp A;B cùng dương hoă ôc cùng âm. Lời giải đúng. Biểu thức  x 1  0   � x 3  0 x  x  1  x  3 có nghĩa khi(x-1)(x+3)  0 ۳  x 1  0  x 3  0 x 1 hoă ôc 3 . Vâ ôy biểu thức có nghĩa khi x 1 hoă ôc x -3 Đôi khi trong bài tâ p này còn có học sinh đã xét hai trường hợp như trên nhưng lại ô kết hợp nghiê ôm sai, vì vâ ôy giáo viên phải lưu ý cho học sinh viê ôc kết hợp nghiê ôm hê ô bất phương trình. Bài 3. Tìm x, biết. x 1  0 Lời giải sai. Điều kiê ôn : x  0 x 1  0  x 1 x 1 Phân tích sai lầm. Sai ở đây là x<1 có thể x<0, vi phạm điều kiê ôn vừa tìm. Khắc phục sai lầm. Vì vâ ôy khi dạy nô i dung này cần lưu ý đến đối chiếu với ô điều kiê ôn của bài toán đã cho hoă ôc điều kiê ôn đã tìm, khi đã tìm được giá trị x rồi mới kết luâ ôn. Lời giải đúng. Điều kiê ôn: x  0 x 1  0  x  1  x  1 .Kết hợp điều kiê ôn 0  x  1 Bài 4. Giải bất phương trình . 7 x  13  3 x  19  5 x  27 (1) Lời giải sai : Điều kiê ôn của bất phương trình là:x  19 3 (1) 7 x  13  3x  19  2  7 x  13  3x  19   5 x  27  10 x  32  5 x  27  2  7 x  13  3x  19   5 x  5  2 21x 2  133x  39 x  247  25 x 2  50 x  25  4(21x 2  172 x  247)  25 x 2  50 x  25  81x 2  688 x  988  59  x  9   x  1,8   0 19  x  3   x 9  0   x  1,8  0   19  x  3  x  9  x  9  x  1,8   19  x  3  Hoă ôc  x  9  0   x  1,8  0   19  x  3  x  9  x  1,8   bị loại Vâ ôy bất phương trình có nghiê ôm x>9 Phân tích sai lầm. Cũng giống như bài 4 phần (sai lầm khi giải phương trình), học sinh sau khi đă ôt điều kiê ôn cho bất phương trình sau đó bình phương hai về, chưa xét xem hai vế không âm. Khắc phục sai lầm. Khi đă t xong điều kiê ôn cho bất phương trình có nghĩa, ô trước khi bình phương cần xét đến hai vế của phương trình, khi hai vế không âm, sau đó bình phương hai vế không âm của bất phương trình. Lời giải đúng. Điều kiê ôn của bất phương trình là:x  (1)  19 3 7 x  13  3x  19  5 x  27 . Bình phương hai vế không âm ta được 33  x  2  3x  19   5x  27   33  x  0   Bất phương trình có nghiê ôm khi  (3x  19)(5x  27)  0  2   33  x   4(3 x  19)(5 x  27) 19  x9 3 Giải hê ô bất phương trình ta được 19 3 Vâ ôy nghiê ôm của bất phương trình là  x  9 Dạng 4: Sai lầm thường gă ôp trong giải bài toán cực trị . Bài1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A 1 x 2  6 x  17 Lời giải sai. Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Ta có x 2  6 x  17   x  3 2 8  2 2 min x 2  6 x  17   x  3  8  2 2  x  3 2 Vâ ôy max A = 1 2 2  2  x3 4 Phân tích sai lầm. Tuy đáp số không sai nhưng lâ ôp luâ n sai khi khẳng định ô (A có tử số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất) mà chưa nhâ ôn xét tử và mẫu là các số dương. Chẳng hạn, xét biểu thức B= 1 . Với lâ ôp luâ ôn (phân thức B có tử không đổi nên x 4 2 có giá trị nhỏ nhất khi mẫu lớn nhất), do mẫu nhỏ nhất bằng -4 khi x=0, ta sẽ đi đến 1 4 max B=   x  0 . Điều này không đúng vì 1 5 1 không phải là giá trị lớn nhất của B, 4 1 4 chẳng hạn với x=3 thì B=   . Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức, đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu nguyên. Khắc phục sai lầm. Khi giải loại toán này cần lưu ý đến phân thức cả tử và mẫu phải là số dương. Lời giải đúng. Bổ sung thêm nhâ n xét x 2  6 x  17   x  3  8  2 2 nên tử và ô 2 mẫu A là các số dương; hoă ôc từ nhâ n xét trên suy ra A>0. Ta xét biểu thức ô B 1  x 2  6 x  17 A Ta có : B  x 2  6 x  17   x  3 2 8  2 2 min B= 2 2 khi x=3 Vâ ôy max A = 1 2 2  2  x3 4 Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A x x Lời giải sai. 2 1 1  1 1 1  A  x  x  x  x     x      4 4  2 4 4  Vâ ôy min A= 1 4 1 4 Phân tích sai lầm. Sau khi chứng minh f(x)   , chưa chỉ ra trường hợp xảy 1 4 1 x   , vô lí. 2 ra f(x)=  . Xảy ra khi và chỉ khi Lời giải đúng. Để tồn tại x phải có x  0 . Do đó A  x  x  0 . minA=0 khi và chỉ khi x=0 Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất. P  x  2 xy  3 y  2 x  1 Lời giải sai. Điều kiê ôn: x  0 ; xy  0 P  x  2 xy  3 y  2 x  1     x y  2 1 1 x  y 1  2 y  2 y    2 2   2 1 2   x  y  2 y  2y  2 x  y 1  1 2 Từ đó đánh giá được min p=   y    2 1 1 2 y 1  2 2 1 9 ;x  4 4 Phân tích sai lầm. Sai ngay từ khi đă ôt điều kiê ôn nên tâ ôp xác định được mở rô ng dẫn đến kết quả sai. Thâ ôt vâ ôy nếu x=0 thì y tùy ý khi đó P=3y+1 không đạt ô giá trị nhỏ nhất vì y nhỏ tùy ý suy ra P nhỏ tùy ý. Do đă ôt sai điều kiê ôn nên lời giải bài toán đã thiếu mô ôt trường hợp. Lời giải đúng. Điều kiê ôn: x  0 ; xy  0 Xét hai trường hợp. Trường hợp 1: Điều kiê ôn: x  0 ; y  0 P  x  2 xy  3 y  2 x  1     x y  2 1 1 x  y 1  2 y  2 y    2 2 1 2   2 1 2   x  y  2 y  2y  2 x  y 1  Từ đó đánh giá được min p=   y    2 1 1 2 y 1  2 2 1 9 ;x  4 4 Trường hợp 2: x=0 ;y tùy ý suy ra P =3y+1 không có giá trị nhỏ nhất vì y nhỏ tùy ý suy ra P nhỏ tùy ý. Kết luâ ôn chung : Biểu thức P không đạt giá trị nhỏ nhất. MÔ âT SỐ BÀI TÂ âP CÙNG LOẠI. Sau khi áp dụng chuyên đề tôi cho mô ôt số bài tâ ôp cùng loại cho học sinh làm và kiểm tra mô t số bài trong đó. ô Bài 1. Tính giá trị biểu thức. 2 2  5 2 6   52 6  a)A=   3  2   3  2         b) B   72 6  72 6  2 c) C  40 2  57  40 2  57 Bài 2.Rút gọn các biểu thức. a) A  x2  4  4 x  x2 ( Với x  2 2 ) x 1 b) B  x 2  8 x  16  25  10 x  x 2 (với 4 - Xem thêm -