Tài liệu Một số tính chất cơ bản của hàm điều hòa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Bùi Bá Thiệu MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HÒA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Bùi Bá Thiệu MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN ANH TÚ Hà Nội – Năm 2017 Mục lục Lời mở đầu 1 1 Một số kiến thức về hàm điều hòa 3 1.1 Định nghĩa và ví dụ về hàm điều hòa . . . . . . . . . . 1.2 Tính bất biến của lớp hàm điều hòa đối với phép tịnh 1.3 tiến, phép vị tự và phép quay . . . . . . . . . . . . . . 5 Phép biến đổi Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Một số tính chất của hàm điều hòa 2.1 3 12 Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa . . . . . . . . . 15 2.1.1 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Nguyên lý cực đại mạnh . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 Nguyên lý cực tiểu mạnh . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Bất đẳng thức Harnack . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Định lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Các định lý về sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Bài toán biên đối với phương trình Laplace 34 3.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace . . . . 34 3.2 Hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.1 3.3 BÙI BÁ THIỆU Cách xây dựng hàm Green . . . . . . . . . . . . Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu 3.4 36 . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.1 Hàm Green cho hình cầu . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.2 Công thức Poisson cho hình cầu . . . . . . . . 41 Hàm Green cho nửa không gian . . . . . . . . . . . . . 45 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 ii Danh mục các kí hiệu Trong toàn bộ khóa luận, ta sử dụng các kí hiệu sau đây. • Rn là không gian Euclide thực n chiều (n ∈ N, n > 1). • Rn+ = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn |xn > 0} là nửa không gian. • Cho x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn , ta kí hiệu chuẩn của x, tích vô hướng và khoảng cách của x và y lần lượt là q |x| = x21 + x22 + · · · + x2n , x · y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn , q |x − y| = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 . • Cho x ∈ Rn , các tập hợp A, B ⊂ Rn . Khi đó ta kí hiệu d (x, A) = inf |x − y|, y∈A là khoảng cách từ điểm x đến tập A. iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU d (A, B) = inf x∈A, y∈B |x − y|, là khoảng cách giữa hai tập A và B. D= sup |x − y|, x∈A, y∈A là đường kính của tập A. • B (x, R) = {y ∈ Rn | |y − x| < R} là hình cầu mở trong Rn với tâm x và bán kính R > 0. • B (x, R) = {y ∈ Rn | |y − x| 6 R} là hình cầu đóng trong Rn với tâm x và bán kính R > 0. • ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn . • Ω là một tập mở trong Rn , ∂Ω là biên của Ω, Ω = Ω ∪ ∂Ω là bao đóng của Ω. • A ⊂⊂ Ω là A ⊂ A ⊂ Ω và A là tập compact. • µ = (µ1 , µ2 , . . . , µn ) là vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài đối với ∂Ω. iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU • Nếu u : Ω → R, ta viết u (x) = u (x1 , x2 , . . . , xn ) (x ∈ Ω) . Ta thường viết ∂u , ∂xi ∂ 2u = 2, ∂xj ∂ 2u = , ∂xi ∂xj ∂ 3u = , ∂xi ∂xj ∂xk uxi = uxj xj uxi xj uxi xj xk v.v. Một vectơ có dạng α = (α1 , α2 , . . . , αn ), trong đó mỗi thành phần αi là một số nguyên không âm (i ∈ {1, 2, . . . , n}), được gọi là một đa chỉ số bậc |α| = α1 + α2 + · · · + αn . Cho trước một đa chỉ số α, kí hiệu ∂ |α| u . ∂xα1 1 ∂xα2 2 · · · ∂xαnn   ∂u ∂u ∂u , ,..., ∇u = ∂x1 ∂x2 ∂xn Dα u = là gradient của u. ∆u = n X ∂ 2u i=1 là toán tử Laplace của u. v ∂x2i Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU ∂u là đạo hàm của u theo hướng vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài ∂µ µ đối với ∂Ω.  1 nωn Rn−1 udS ∂B(ξ,R) là giá trị trung bình của u trên ∂B (ξ, R).  1 ωn R n u (x) dx B(ξ,R) là giá trị trung bình của u trên B (ξ, R). • C(Ω) là không gian tất cả các hàm liên tục trên Ω. • C k (Ω) (k ∈ N, k > 1) là không gian tất cả các hàm có đạo hàm riêng đến cấp k thuộc C(Ω). • C ∞ (Ω) là không gian tất cả các hàm thuộc C k (Ω) với mọi k ∈ N. • Cho A ⊂ Rn bất kì, ta kí hiệu C(A) là không gian tất cả các hàm thuộc C(A0 ) có thác triển liên tục trên A, với A0 là phần trong của tập A. C k (A) (k ∈ N, k > 1) là không gian tất cả các hàm có đạo hàm riêng đến cấp k thuộc C(A). vi Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU  o n  • L (Ω) = u : Ω → R u là đo được Lebesgue , kukLp (Ω) < ∞ , p trong đó   1/p |u|p dx kukLp (Ω) =  (1 6 p < ∞). Ω  o n  • L (Ω) = u : Ω → R u là đo được Lebesgue , kukL∞ (Ω) < ∞ , ∞ trong đó kukL∞ (Ω) = ess sup |u| . Ω vii Lời mở đầu Hàm điều hòa là một khái niệm cơ bản của giải tích hiện đại. Việc hiểu rõ các tính chất của hàm điều hòa là không thể thiếu được khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng. Cùng với đó các nghiên cứu về bài toán biên đối với phương trình Laplace cho ta những kết quả thú vị. Vì vậy với lí do trên cùng với sự đam mê của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo – TS. Nguyễn Anh Tú ở Viện Toán học em xin mạnh dạn thực hiện khóa luận với đề tài: " Một số tính chất cơ bản của hàm điều hòa ". Nội dung chính của khóa luận được chia làm ba chương. Chương 1 "Một số kiến thức về hàm điều hòa" trình bày định nghĩa và ví dụ về hàm điều hòa, tính bất biến của lớp hàm điều hòa đối với phép tịnh tiến, phép vị tự và phép quay, phép biến đổi Kelvin. Chương 2 "Một số tính chất của hàm điều hòa" nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hòa. Đó là định lý giá trị trung bình, nguyên 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU lý cực đại mạnh, nguyên lý cực tiểu mạnh, bất đẳng thức Harnack, định lý Liouville và các định lý về sự hội tụ. Chương 3 "Bài toán biên đối với phương trình Laplace" trình bày về bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace, hàm Green, cách xây dựng hàm Green, sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu, hàm Green cho nửa không gian. Tài liệu tham khảo chính của khóa luận là Chương 3, Chương 4 của tài liệu [1], Chương 2 của tài liệu [2], Chương 3 của tài liệu [3], Chương 1, Chương 4 của tài liệu [4]. Kết quả của khóa luận là đã trình bày được một số cách chứng minh mới ngắn gọn cho Định lý 2.13, Định lý 2.14 của Chương 2 và có Định lý 1.2 của Chương 1 là mới. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình thực hiện bản khóa luận này. Hà Nội, tháng 5 năm 2017 Sinh viên thực hiện Bùi Bá Thiệu 2 Chương 1 Một số kiến thức về hàm điều hòa 1.1 Định nghĩa và ví dụ về hàm điều hòa Định nghĩa 1.1. Hàm u ∈ C 2 (Ω) được gọi là hàm điều hòa trong Ω nếu thỏa mãn phương trình Laplace ∆u(x) = 0, ∀x ∈ Ω. Hàm u được gọi là hàm điều hòa trong tập A ⊂ Rn (không nhất thiết mở) nếu u có thể thác triển thành một hàm điều hòa trong một tập mở chứa A. Ví dụ 1.1.1. (i) Hàm u (x, y) = x + y + 1 là hàm điều hòa trong R2 . x là hàm điều hòa trong R2 \(0, 0). (ii) Hàm u (x, y) = 2 2 x +y (iii) Hàm u (x, y, z) = x2 + 2y 2 − 3z 2 là hàm điều hòa trong R3 . (iv) Các hàm tọa độ u (x) = xi (i ∈ {1, 2, . . . , n}) là hàm điều hòa trong Rn . (v) Với mỗi ξ ∈ Rn , hàm Γ (x − ξ) xác định bởi 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU 1 |x − ξ|2−n n (2 − n) ωn Γ (x − ξ) =   1 ln |x − ξ| 2π    , nếu n > 2, , nếu n = 2, là hàm điều hòa trong Rn \ {ξ} và được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace. Chứng minh. Với mọi n ∈ N, n > 2 và x 6= ξ, ta có ∂Γ 1 = (xi − ξi )|x − ξ|−n , ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} , ∂xi nωn 2 1 ∂ Γ 1 −n |x − ξ| − (xi − ξi )2 |x − ξ|−n−2 , ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} . = 2 ∂xi nωn ωn Suy ra ∆Γ(x) = n X ∂ 2Γ i=1 ∂x2i = 1 1 |x − ξ|−n − |x − ξ|−n = 0. ωn ωn Vậy Γ là hàm điều hòa trong Rn \ {ξ}. Ngoài ra, trong ví dụ (v) ta có các đánh giá sau đối với đạo hàm của hàm Γ như sau    ∂Γ    6 1 |x − ξ|1−n , ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} ,  ∂xi  nωn  2   ∂ Γ    6 1 |x − ξ|−n , ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n} .  ∂xi ∂xj  ωn Thật vậy, với mọi i ∈ {1, 2, . . . , n} thì 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU    ∂Γ    = 1 |xi − ξi | |x − ξ|−n 6 1 |x − ξ| |x − ξ|−n = 1 |x − ξ|1−n .  ∂xi  nωn nωn nωn Với mọi i, j ∈ {1, 2, . . . , n} thì  2     ∂ Γ  1   −n−2 2  = , |x − ξ| δ − n(x − ξ )(x − ξ )  |x − ξ|  ij i i j j  ∂xi ∂xj  nωn trong đó δij =   1 , nếu i = j,  0 , nếu i 6= j. Nếu i = j thì  2   2     ∂ Γ  ∂ Γ  =  = 1 |x − ξ|2 − n(xi − ξi )2  |x − ξ|−n−2  ∂xi ∂xj   ∂x2  nωn i 1 1 6 n|x − ξ|2 |x − ξ|−n−2 = |x − ξ|−n . nωn ωn Nếu i 6= j thì  2   ∂ Γ    = 1 |(xi − ξi )(xj − ξj )| |x − ξ|−n−2  ∂xi ∂xj  ωn 1 1 6 |x − ξ|2 |x − ξ|−n−2 = |x − ξ|−n . ωn ωn 1.2 Tính bất biến của lớp hàm điều hòa đối với phép tịnh tiến, phép vị tự và phép quay Định lý 1.1. Giả sử u (x) là hàm điều hòa trong Rn . Khi đó các hàm sau đây cũng là hàm điều hòa (i) u(x + h), với h = (h1 , h2 , . . . , hn ) ∈ Rn là vectơ bất kì, (ii) u(λx), với λ ∈ R, 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU (iii) u(Cx), với C là ma trận trực giao bất kì. Chứng minh. (i) Đặt y = x + h thì ∀j ∈ {1, 2, . . . , n} . yj = xj + hj , Ta có ∂u (x) = ∂xj ∂ 2u (x) = ∂x2j ∂u ∂yj ∂u (y) (x) = (y), ∀j ∈ {1, 2, . . . , n} , ∂yj ∂xj ∂yj ∂ 2 u ∂yj ∂ 2u (y) (x) = 2 (y), ∀j ∈ {1, 2, . . . , n} . ∂yj2 ∂xj ∂yj Do đó ∆u(x) = n X ∂ 2u 2 (x) ∂x j j=1 = n X ∂ 2u 2 (y) ∂y j j=1 = 0, ∀x ∈ Rn . Vậy u (x + h) là hàm điều hòa trong Rn . (ii) Đặt y = λx thì yj = λxj , ∀j ∈ {1, 2, . . . , n} . Ta có ∂u ∂u ∂yj ∂u (x) = (y) (x) = λ (y), ∀j ∈ {1, 2, . . . , n} , ∂xj ∂yj ∂xj ∂yj 2 ∂ 2u ∂ 2 u ∂yj 2 ∂ u (x) = λ 2 (y) (x) = λ (y), ∀j ∈ {1, 2, . . . , n} . ∂x2j ∂yj ∂xj ∂yj2 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU Do đó ∆u(x) = n X ∂ 2u 2 (x) ∂x j j=1 2 =λ n X ∂ 2u 2 (y) ∂y j j=1 = 0, ∀x ∈ Rn . Vậy u(λx) là hàm điều hòa trong Rn . (iii) Đặt y = Cx thì yi = n X cij xj , ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} . j=1 Ta có n n X ∂u X ∂u ∂u ∂yi (x) = (y) (x) = cik (y), ∂xk ∂y ∂x ∂y i k i i=1 i=1 n ∀k ∈ {1, 2, . . . , n} , n XX ∂ 2u ∂ 2u cik cmk (x) = (y), ∂x2k ∂y ∂y i m i=1 m=1 ∀k ∈ {1, 2, . . . , n} . Vì C là ma trận trực giao nên ta có n X cik cmk = δim , k=1 trong đó δim =   1 , nếu i = m,  0 , nếu i 6= m. Suy ra 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ∆u (x) = = = = n X ∂ 2u ∂x2k BÙI BÁ THIỆU (x) = k=1 n X n X n X i=1 m=1 k=1 n X n  X k=1 i=1 2 i=1 ∂ 2u cik cmk (y) ∂y ∂y i m m=1 ∂ u (y) ∂yi ∂ym  ∂ 2u (y) ∂yi ∂ym cik cmk δim i=1 m=1 n 2 X n X n n X X ∂ u (y) = 0, ∂yi2 ∀x ∈ Rn . Vậy u(Cx) là hàm điều hòa trong Rn . 1.3 Phép biến đổi Kelvin Để thuận tiện cho việc nghiên cứu hàm điều hòa trên tập mở không bị chặn ta thường thêm điểm ∞ vào Rn . Tôpô trên Rn ∪ {∞} được xây dựng một cách tự nhiên như sau. Tập ω ⊂ Rn ∪ {∞} là tập mở nếu nó là tập con mở của Rn theo nghĩa thông thường hoặc nếu ω = {∞} ∪ (Rn \A), trong đó A là tập compact của Rn . Không gian tôpô thu được là compact và được gọi là sự compact hóa một điểm của Rn . Qua phép chiếu nổi thông thường, Rn ∪ {∞} đồng phôi với mặt cầu đơn vị trong Rn+1 . Ánh xạ x 7→ x∗ , trong đó    x/|x|2 , nếu x 6= {0, ∞} ,    ∗ x = 0 , nếu x = ∞,     ∞ , nếu x = 0, 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU được gọi là phép nghịch đảo của Rn ∪ {∞} qua mặt cầu đơn vị. Chú ý rằng nếu x ∈ / {0, ∞} thì x∗ nằm trên tia từ gốc tới x, với |x∗ | = 1/ |x| . Ta có thể thử lại rằng phép nghich đảo qua mặt cầu là liên tục, là nghịch đảo của chính nó, biến một lân cận của ∞ thành một lân cận của 0. Với A ⊂ Rn ∪ {∞} bất kì, ta định nghĩa A∗ = {x∗ |x ∈ A}. Định nghĩa 1.2. Cho hàm u xác định trên tập A ⊂ Rn \ {0}, phép biến đổi Kelvin của u là hàm K[u] trên A∗ xác định bởi K [u] (x) = |x|2−n u (x∗ ) . Ta dễ thấy rằng K [K [u]] = u, với mọi hàm u như trên. Nói cách khác phép biến đổi Kelvin có biến đổi ngược là chính nó. Hơn nữa, phép biến đổi Kelvin có tính chất tuyến tính, bởi vì nếu u, v là các hàm trên A và a, b là hằng số thì K [au + bv] = aK [u] + bK [v] . Định lý 1.2. Nếu Ω ⊂ Rn \ {0}, u ∈ C 2 (Ω) thì u là hàm điều hòa trong Ω khi và chỉ khi K [u] là hàm điều hòa trong Ω∗ . Chứng minh. Với mọi x ∈ Ω∗ , ta có 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU ∂K [u] ∂u (x) = (2 − n) |x|−n xi u (x∗ ) + |x|−n ∗ (x∗ ) ∂xi ∂x ! i n X ∂u −n−2 − 2xi |x| xj ∗ (x∗ ) , ∂xj j=1 ở đây x∗ = (x∗1 , x∗2 , . . . , x∗n ) ∈ Ω. Đặt f (x) = (2 − n) |x|−n xi u (x∗ ) , ∂u ∗ (x ) , ∂x∗i ! n X ∂u xj ∗ (x∗ ) . h (x) = 2xi |x|−n−2 ∂xj j=1 g (x) = |x|−n Ta có ∂f (x) = (2 − n) |x|−n u (x∗ ) − n (2 − n) x2i |x|−n−2 u (x∗ ) ∂xi ! n 2 X ∂u ∂u 2 (2 − n) x i xj ∗ (x∗ ) , + (2 − n) |x|−n−2 xi ∗ (x∗ ) − n+4 ∂xi ∂xj |x| j=1   2 ∂g ∂u ∗ −n−2 −n−2 ∂ u (x) = −n|x| xi ∗ (x ) + |x| (x∗ ) ∗2 ∂xi ∂xi ∂xi n X ∂ 2u −n−4 − 2xi |x| xj ∗ ∗ (x∗ ), ∂xi ∂xj j=1 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI BÁ THIỆU ! n X ∂u ∂h (x) = 2|x|−n−2 xj ∗ (x∗ ) ∂xi ∂xj j=1 ! n X ∂u − 2 (n + 2) x2i |x|−n−4 xj ∗ (x∗ ) ∂xj j=1 ! n 2 X ∂u ∂ u + 2|x|−n−2 xi ∗ (x∗ ) + 2|x|−n−4 xi xj ∗ ∗ (x∗ ) ∂xi ∂xi ∂xj j=1 ! n X n 2 X ∂ u − 4|x|−n−6 x2i xj xk ∗ ∗ (x∗ ) . ∂xj ∂xk j=1 k=1 Do đó ∆K [u] (x) = n X ∂ 2 K [u] i=1 ∂x2i (x) = n  X ∂f i=1  ∂g ∂h (x) + (x) − (x) ∂xi ∂xi ∂xi n X ∂ 2u ∗ −n−2 = |x| (x ) = |x|−n−2 ∆u (x∗ ) . ∗2 ∂xi i=1 Từ đó, ta thấy ∆u = 0 trong Ω khi và chỉ khi ∆K [u] = 0 trong Ω∗ . Vậy u là hàm điều hòa trong Ω khi và chỉ khi K [u] là hàm điều hòa trong Ω∗ . 11