Bài tập Toán 9
Học kì 2
Phần 1. Đại số
Chương 3
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A - Phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng ax + by = c trong đó a, b và c
là các số đã biết (a 0 hoặc b 0).
2. Cặp số (x0 ; y0) gọi là nghiệm của phương trình ax + by = c khi:
ax0 + by0 = c là một đẳng thức đúng.
3. Công thức nghiệm: Phương trình ax + by = c có vô số nghiệm.
b
c
x R
x y
a) Nếu a 0 và b 0 thì:
hoặc
a
a
a
c
y b x b
y R
Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ, tập nghiệm của phương trình
y c
ax + by = c là đường thẳng cắt cả hai trục tọa độ.
c
y
b
x R
b
b) Nếu a = 0 và b 0 thì:
c
y b
x
O
Biểu diễn tập nghiệm của phương trình 0x + by = c là đường thẳng song
c
c
song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại (0 ; ). y
x
b
a
c
x
x
c) Nếu a 0 và b = 0 thì:
a
c
y R
O
a
Biểu diễn tập nghiệm của phương trình ax + 0y = c là đường thẳng song
c
song hoặc trùng với trục tung và cắt trục hoành tại ( ; 0).
a
d) Trường hợp đặt biệt
Nếu a = b = c = 0 thì phương trình 0x + 0y = 0 có vô số nghiệm.
Nếu a = b = 0 và c 0 thì phương trình 0x + 0y = c vô nghiệm.
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 1
Bài tập Toán 9
3.1
Học kì 2
Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng
tọa độ:
a) x – 2y = 5
b) 3x + 5y = 6
c) 2x – 0,5y – 1 = 0
d) 6x – 2y + 10 = 0
e) 4x + 0y = 8
f) 0x – 2y = 6
g) 0x + 0y = 0
h) 0x + 0y = –2
i) 3x + 2y = 5
j) 3x – 2y = 0
k) 0x + 2y = 0
l) x + 4y = 4
m) 5x + 0y = 3
o)
3.2
n) ( 2 1 )x + 0y = 1
p) 3x + 0y = 0.
3 x + 2y = 1
Cho các cặp số sau: (0;–1), ( 3 ;2– 3 ), (1;
3 –3), ( 3 +1;1). Cặp số nào
là nghiệm của phương trình: ( 3 –1)x – y = 1 ?
3.3
Đường thẳng – 3x + y = 1 đi qua điểm nào sau đây:
A(1 ; 4), B(0,25 ; 0), C(–3 ; –8), D( 2 ; –1), E(– 3 ; 1–3 3 ).
3.4
Tìm giá trị của m để:
a) Điểm M(1 ; 0)
b) Điểm N(0 ; –3)
c) Điểm P(5 ; –3)
d) Điểm P(5 ; –3)
e) Điểm Q(0,5;–3)
f) Điểm S(4 ; 0,3)
g) Điểm A(2 ; –3)
thuộc đường thẳng mx – 5y = 7 ;
thuộc đường thẳng 2,5x + my = –21 ;
thuộc đường thẳng mx + 2y = –1 ;
thuộc đường thẳng 3x – my = 6 ;
thuộc đường thẳng mx + 0y = 17,5 ;
thuộc đường thẳng 0x + my = 1,5 ;
thuộc đường thẳng (m – 1)x + (m + 1)y = 2m + 1)
3.5
Phải chọn các hệ số a và b như thế nào để phương trình ax + by = c xác
định một hàm số bậc nhất của biến x ?
Áp dụng: Phương trình nào sau đây xác định một hàm số dạng y = ax + b?
a) 5x – y = 7
b) 3x + 5y = 10
c) 0x + 3y = – 1
d) 6x – 0y = 18
e) 2x – y = 3
f) 0x – 0y = 3.
3.6
Vẽ mỗi cặp đường thẳng sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ rồi tìm tọa độ
giao điểm của hai đường thẳng đó.
a) 2x + y = 1
và
4x – 2y = –10
1
1
3
b) 0,5x + 0,25y = 0,15
và
x y
2
6
2
c) 4x + 5y = 20
và
0,8x + y = 4
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 2
Bài tập Toán 9
Học kì 2
d) 4x + 5y = 20
và
2x + 2,5y = 5.
3.7
Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:
a) 2x + y = 0
b) 5y – x = 0
c) 3x – 2y = 1
d) 4x + 11y = 47.
3.8
Chứng minh hai đường thẳng (d) : ax + by = c (a, b 0) và
(d) : ax + by = c (a , b 0):
a b
a) Cắt nhau khi
a ' b'
a b c
b) Song song nhau khi
a ' b' c'
a b c
c) Trùng nhau khi
a ' b' c'
ax by c
Từ đó suy ra điều kiện để hệ phương trình
:
a ' x b ' y c '
a) Có nghiệm duy nhất.
b) Vô nghiệm
c) Có vô số nghiệm
Áp dụng: Hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy
nhất.
a) Có nghiệm duy nhất.
b) Vô nghiệm
c) Có vô số nghiệm
Ba chú heo con
Cô giáo đang đọc truyện "Ba chú heo con" cho các bé
nghe đến đoạn một chú heo gặp bác nông dân và xin
rơm:
- Bác ơi, cho cháu xin ít rơm nhé!
Cô giáo ngừng lại hỏi:
- Các con có biết bác nông dân nói gì không?
Tèo giơ tay:
- Thưa cô, bác ấy bảo: “Trời ơi! Một con heo biết nói!”.
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 3
Bài tập Toán 9
Học kì 2
B - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
ax by c
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng:
a' x b' y c'
2. Hai hệ phương trình gọi là tương đương với nhau khi chúng có cùng tập
nghiệm.
Chú ý: Hai hệ cùng vô nghiệm là tương đương.
Hai hệ cùng vô số nghiệm không tương đương với nhau.
3. Giải hệ phương trình:
a) Bằng đồ thị:
Vẽ các đường thẳng (d) : ax + by = c và (d) : a x + b y = c trên cùng
một mặt phẳng tọa độ.
Tọa độ giao điểm của (d) và (d ) là nghiệm của hệ phương trình.
Chú ý: (d) (d ) hệ có vô số nghiệm
(d) // (d ) hệ vô nghiệm
(d) cắt (d ) hệ có một nghiệm duy nhất
b) Bằng đại số:
Phương pháp thế:
Định lý: Nếu từ một phương trình của hệ đã cho ta có thể biểu thị một ẩn
số theo ẩn số kia, rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương
trình mới có một ẳn số, thì hệ phương trình lập bởi phương trình mới này
với phương trình thứ nhất của hệ tương đương với hệ đã cho.
x 3 y 5
Ví dụ : Giải hệ phương trình
4 x 5 y 3
Giải
x 3y 5
x 3y 5
x 3 y 5
x 2
4 x 5 y 3
4( 3 y 5 ) 5 y 3
17 y 17
y 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2 ; –1)
Phương pháp cộng:
Định lý 1: Nếu nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số
khác 0 thì hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho.
Định lý 2: Nếu cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho ta
được một phương trình mới, thì hệ phương trình lập bởi phương trình
mới này với một trong hai phương trình của hệ là tương đương với nhau.
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 4
Bài tập Toán 9
Học kì 2
x 3 y 5
Ví duï : Giaûi heä phöông trình
4 x 5 y 3
Giaûi
x 3 y 5
4 x 12 y 20 x 3 y 5
x 2
Ta coù:
4 x 5 y 3
4 x 5 y 3
17 y 17
y 1
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm duy nhaát laø (2 ; –1)
3.9
Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau
đây và giải thích ?
y 3 2x
2y x 6
3x 2y 0
a)
b)
c)
y 3x 1
x 2y 2
3y 2x
3x 3 y
4x 9y 3
3x y 1
d)
e)
f)
3x 3 y
5x 3y 1
6x 2y 5
3.10 Minh họa hình học tập nghiệm của mỗi hệ phương trình sau:
4x 4y 2
3x 2y 13
x y 1
a)
b)
c)
2x 2y 1
2x y 3
3x 0y 12
x 2y 6
d)
0x 5y 10
x y 2
e)
3x 3y 2
3x 2y 1
f)
6x 4y 0
3.11 Hãy giải thích tại sao các hệ phương trình sau là tương đương:
x y 1
x y 1
a)
và
x y 3
y x 3
x y 2
b)
2x 2y 1
2x y 0
c)
3x y 1 0
và
x y 1
x y 0
và
x 1
3x y 1 0
và
2x y 0
x 1
3.12 Tìm giá trị của a để hai hệ phương trình sau tương đương:
x y 2
ax y 1
a)
và
3x y 1
x ay 2
x y a
2x y a 1
b)
và
x y a 2
2x y a 1
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 5
Bài tập Toán 9
Học kì 2
x 0y 2
3.13 Cho hệ phương trình:
5x y 9
a) Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình đã cho. Từ đó xác
định nghiệm của hệ.
b) Nghiệm của hệ này có phải là nghiệm của phương trình 3x – 7y = 1 hay
không ?
3.14 Cho hai đường thẳng (d1) : x + y = 2 và (d2) : 2x + 3y = 0.
a) Vẽ hai đường thẳng đó trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Đường thẳng (d3) : 3x + 2y = 10 có đi qua giao điểm của (d1) và (d2) hay
không ?
3.15 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
x 5y 3
y 4 x
9x 6y 4
a)
b)
c)
14x 51y 15
x y 4
15x 10y 7
4x 5y 3
d)
x 3y 5
x y
1
e) 2 2
x y 3
7x 2y 1
f)
3x y 6
1,7x 2y 3,8
g)
2,1x 5y 0,4
1,3x 4, 2y 12
h)
0,5x 2,5y 5,5
( 5 2)x y 3 5
i)
x 2y 6 2 5
5x y 5( 3 1)
j)
2 3x 3 5y 21
2x 3
1
k) 3y 2
3(3y 2) 4(x 2y) 0
3x
2 2y 0
l)
x y 2y 5
2
3 2
( 3 2)x y 2
m)
x ( 3 2)y 6
n)
x 2y 4(x 1)
o)
5x 3y (x y) 8
(x 3)(2y 5) (2x 7)(y 1)
p)
(4x 1)(3y 6) (6x 1)(2y 3)
2(2 x 3y) 3(2 x 3y) 10
4x 3y 4(6y 2 x) 3
3ax (b 1)y 93
3.16 Cho hệ phương trình:
(với a, b R).
bx 4ay 3
Tìm giá trị của a và b để hệ có nghiệm là (x ; y) = (1 ; –5).
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 6
Bài tập Toán 9
Học kì 2
(a 2)x 5by 25
3.17 Cho hệ phương trình:
(với a, b R).
2ax (b 2)y 5
Tìm giá trị của a và b để hệ có nghiệm là (x ; y) = (3 ; –1).
2x ay b 4
3.18 Cho hệ phương trình:
(với a, b R).
ax by 8 9a
Tìm giá trị của a và b để hệ có nghiệm là (x ; y) = (3 ; –1).
3.19 Tìm giá trị của a và b để đường thẳng (d1): (3a – 1)x + 2by = 56 và đường
thẳng (d2): 0,5ax – (3b + 2)y = 3 cắt nhau tại điểm M(2; –5).
3.20 Tìm a và b để:
a) Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(–5; 3) và B(1,5; –1) ;
b) Đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9 ; – 6) và đi qua giao điểm của
hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17 và (d2) : 4x – 10y = 14.
3.21 Tìm giá trị của a để:
a) Hai đường thẳng (d1) : 5x – 2y = 3 và (d2) : x + y = a cắt nhau tại một
điểm trên trục Oy. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng
tọa độ ứng với giá trị a vừa tìm được)
b) Hai đường thẳng (d1) : ax + 3y = 10 và (d2) : x – 2y = 4 cắt nhau tại một
điểm trên trục Ox. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng
tọa độ.
3.22 Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
a) (d1) : 5x – 2y = c và (d2) : x + by = 2, biết rằng (d1) đi qua điểm
A(5 ; –1) và (d2) đi qua điểm B(–7 ; 3).
b) (d1) : ax + 2y = –3 và (d2) : 3x – by = 5, biết rằng (d1) đi qua điểm M(3 ;
9) và (d2) đi qua điểm N(–1 ; 2).
c) Giải các hệ phương trình sau:
1 x
2y 1
2
a) 2y 1
1 x
x y 1
x 1
y
2
x 1
b) y
x y 2
3.23 Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B
sau:
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 7
Bài tập Toán 9
Học kì 2
a) A(2 ; –2) và B(–1 ; 3)
c) A(3 ; –1) và B(–3 ; 2)
b) A(– 4 ; –2) và B(2 ; 1)
d) A(1 ; 0) và B(3 ; 1)
3.24 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
2x 2 3y 1
a) 2
3x 2y 2
3x 2 y2 5
b) 2
2
x 3y 1
5
10
12x 3 4y 1 1
c)
7
8
1
12x 3
4y 1
1 1
x y 1
d)
3 4 5
x y
1
x 2
e)
2
x 2
1
2
y 1
3
1
y 1
1
2
x y x y 3
f)
1 3 1
x y x y
3
1
4
x 2y x 2y 1
h)
20 3 1
x 2y x 2y
g)
4
x
6
x
y
10
y
13
36
1
3 x 2 y 2
i)
2 x y 1
2 x 1 y 1 1
j)
x 1 y 1 2
(x 1)2 2y 2
k)
2
3(x 1) 3y 1
3 4x 2y 5 2x y 2
l)
7 4x 2y 2 2x y 32
x y 1
3.25 Cho hệ phương trình:
(với a R).
ax 2y a
Với giá trị nào của a thì hệ có một nghiệm ? Có vô số nghiệm ?
x ay a
3.26 Cho hệ phương trình:
(với a là một số thực bất kì).
ax y 1
a) Giải hệ phương trình với a =
2 – 1.
b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a)
c) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa x > 0 và y > 0.
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 8
Bài tập Toán 9
Học kì 2
3.27 Cho hai đường thẳng có phương trình: (d): mx – (n + 1)y – 1 = 0 và
(d): nx + 2my + 2 = 0. Xác định các giá trị của ma và n sao cho (d) và (d)
cắt nhau tại điểm P(–1; 3).
3.28 Cho phương trình: 2ax + (a – b – 2)y = a + 3b – 6 (1). Định a và b sao cho
phương trình (1) có nghiệm là (1 ; – 3) và (2 : 1).
3.29 Giải các hệ phương trình sau:
x 2 y 3
a)
7x 5y 2
3 x 2y 9 0
b)
2x y 7 0
x 1 y 1 5
x y 2y 1
d)
e)
y 1 2x
x 1 4y 4 0
x 1 y 5 1
c)
x 1 3y 3
x 1 y 5 1
f)
x 1 y 5 0
3.30 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng:
3x 2y 1
c)
2x 3y 3
3x 2y 8
a)
4x 3y 12
3x 2y 2
b)
9x 6y 15 0
2x 3y 1
d)
x 3y 2
x 2 2y 5
( 2 1)x y 2
e)
f)
2x y 1 10
x ( 2 1)y 1
2x 2 3y 5
2x 11y 7
g)
h)
10x 11y 31
3 2x 3y 4,5
4x 7y 16
i)
4x 3y 24
0,35x 4y 2,6
10x 9y 8
j)
k)
0,75x 6y 9
15x 21y 0,5
3,3x 4, 2y 1
l)
9x 14y 4
y
x
m) 5
3
x y 12
x
2
3y
o) 2
2
2x 12y 2 2
8x 7y 5
n)
12x 13y 8
x y 2(x 1)
p)
7x 3y x y 4
3 5x 4y 15 2 7
q)
2 5x 8 7y 18
3(x 1) 2y x
r)
5(x y) 3x y 5
5(x 2y) 3x 1
s)
2x 4 3(x 5y) 12
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 9
Bài tập Toán 9
3x 2y 5x 3t
x 1
3
t) 5
2x 3y 4x 3y y 1
3
2
2x 1 y 2 1
4 3 12
v)
x 5 y 7 4
2
3
Học kì 2
x 1 y 2 2(x y)
4
5
u) 3
x 3 y 3 2y x
4
3
2x 3y x y 1
2x y 1
4
5
w)
x y 1 4x y 2 2x y 3
3
4
6
3.31 Giải các hệ phương trình sau hai cách:
2(x y) 3(x y) 4
a)
(x y) 2(x y) 5
2(x 2) 3(1 y) 2
b)
3(x 2) 2(1 y) 3
3.32 Giải các hệ phương trình sau:
1
1 1
1
x y 1
x 2 y 1 2
a)
b)
3 4 5
2 3 1
x y
x 2 y 1
7
5
x y 2 x y 1 4,5
c)
3
2
4
x y 2 x y 1
3.33 Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình
x 1 y 2 2(x y)
3 4
5
x3 y3
2y x
4
3
cũng là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1.
(a 1)x y 3
3.34 Cho hệ phương trình:
(với a R).
ax y a
a) Giải hệ phương trình với a = – 2 .
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa x + y > 0.
x ay 1
3.35 Cho hệ phương trình:
(với a R).
ax y a
a) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi a)
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa x < 1 và y < 1.
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 10
Bài tập Toán 9
Học kì 2
(a 1)x ay 5
3.36 Cho hệ phương trình:
(với a R).
2
x ay a 4a
Tìm giá trị của a Z để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y Z.
3.37 Xác định các hệ số a, b của hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó đi qua :
a) A(2 ; 1), B(1 ; 2)
b) A(1 ; 3), B(3 ; 2)
c) A(1 ; 2), B(2 ; 0).
3.38 Cho đa thức f(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n.
Hãy xác định m và n sao cho đa thức đã cho chia hết cho x + 1 và x – 3.
3.39 Tìm giá trị của m đường thẳng (d) : y = (2m – 5)x – 5m đi qua giao điểm
của hai đường thẳng (d1) : 2x + 3y = 7 và (d2) : 3x + 2y = 13.
3.40 Cho 4 đường thẳng (d1) : 3x + 2y = 13 ; (d2) : 2x + 3y = 7 ; (d3) : x – y = 6
(d4) : 5x + 0y = 25. Hỏi bốn đường thẳng trên có đồng quy không ?
3.41 Tìm m để ba đường thẳng sau đồng qui:
a) (d1): y = 2x – 1
b) (d1): y = –x + 1
(d2): 3x + 5y = 8
(d2): y = x – 1
(d3): (m + 8)x – 2my = 3m
(d3): (m + 1)x – (m – 1)y = m + 1
c) (d1) : y = 2x – m
(d2) : y = –x + 2m
(d3) : mx – (m – 1)y = 2m – 1
3.42 Giải các hệ phương trình sau:
x y z 6
a) 2x 3y 5z 19
b)
4x 9y 25z 97
d) (d1) : 5x + 11y = 8
(d2) : 10x – 7y = 74
(d3) : 4mx + (2m – 1)y = m + 2.
x y z 2
x 2y 2z 3
x 3y 3z 4
x 2y 3z 0
c) x y 5z 4
x 8y z 6
Giờ sinh vật, thầy giáo hỏi một em học sinh:
- Trong các loại cây mà bố em trồng, em thấy cây nào cho hiệu quả kinh tế cao nhất?
- Dạ, "cây xăng" ạ!
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 11
Bài tập Toán 9
Học kì 2
C - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
1. Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1: Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình.
Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm của hệ phương trình có thỏa mãn điều kiện của
ẩn không
Bước 4: Kết luận.
2. Một số kiến thức cần lưu ý
a) Loại toán cấu tạo số:
Số có hai, chữ số được ký hiệu là ab
Giá trị của số: ab = 10a + b; (Đk: 1 a 9 và 0 b 9, a,b N)
Số có ba, chữ số được ký hiệu là abc
abc = 100a +10b + c, (Đk: 1 a 9 và 0 b, c 9; a, b, c N)
b) Loại toán chuyển động:
Có 3 đại lượng là quãng đường (s), vận tốc (v) và thời gian (t) liên
hệ bởi công thức: s = v.t
Chuyển động trên dòng nước chảy:
Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng.
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước
Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước
c) Loại toán “làm chung – làm riêng” một công việc hoặc “vòi nước
chảy chung – chảy riêng” đầy bể:
Có 3 đại lượng:
- Khối lượng công việc
- Phần việc làm (chảy) trong một đơn vị thời gian (năng suất)
- Thời gian
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 12
Bài tập Toán 9
Học kì 2
Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta xem toàn bộ
công việc là 1.
- Nếu đội nào làm xong công việc trong x (ngày) thì trong 1 ngày
1
đội đó làm được (công việc).
x
- Nếu vòi nào chảy riêng một mình đầy bể trong x (giờ) thì trong
1
1 giờ vòi đó chảy được (bể).
x
3.43 Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 2005 và nếu lấy số lớn
chia cho số nhỏ thì được thương là 7 và dư là 5.
3.44 Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa) Nếu xe chạy với vận tốc
35 km/h thì sẽ đến B chậm hơn 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận
tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng
đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A.
3.45 Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km, một đoạn xuống dốc dài
5 km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút, và đi từ B về A hết 41
phút (vận tốc lên dốc và xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc
lên dốc và lúc xuống dốc.
3.46 Hai người ở hai địa điểm cách nhau 3,6km và khởi hành cùng lúc, đi ngược
chiều nhau, gặp nhau ở vị trí cách một trong hai điểm khởi hành 2km. Nếu
vận tốc vẫn không đổi, nhưng người đi chậm xuất phát trước người kia 6
phút thì họ gặp nhau ở giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.
3.47 Hai địa điểm A và B cách nhau 200km. Cùng một lúc, một xe máy đi từ A
và một ôtô đi từ B. Xe máy và ôtô gặp nhau tại địa điểm C cách A 120km.
Nếu xe máy khởi hành sau ôtô một giờ thì sẽ gặp nhau tại địa điểm D cách
C 24km. Tính vận tốc của ôtô và xe máy.
3.48 Một ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng
thêm 20km/h thì thời gian đi sẽ giảm một giờ, nếu vận tốc giảm bớt 10km/h
thì thời gian đi sẽ tăng thêm một giờ. Tính vận tốc và thời gian đi của ôtô.
3.49 Một canô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng
63km. Một lần khác, canô cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81km và
ngược dòng 84km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc thật của canô
(vận tốc thật của canô không đổi).
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 13
Bài tập Toán 9
Học kì 2
3.50 Một ca nô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Nếu vận tốc
ca nô tăng 3 km/h thì đến nơi sớm hơn 2 giờ. Nếu vận tốc ca nô giảm đi 3
km/h thì đến nơi chậm 3giờ. Tính chiều dài khúc sông AB.
3.51 Tổng của hai số là 115. Hai lần số lớn lớn hơn ba lần số bé là 30. Tìm hai
số đó.
3.52 Tám năm trước tuổi mẹ bằng 2 lần tuổi con cộng thêm 8. Năm nay tuổi mẹ
vừa đúng gấp 2 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi ?
3.53 Tuổi hai anh em cộng lại bằng 21. Tuổi anh hiện nay gấp đôi tuổi em lúc
anh bằng em hiện nay. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.
3.54 Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số
bé hơn số đã cho là 27. Tổng của số dã cho và số mới tạo thành bằng 99.
3.55 Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng
mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36cm2, và nếu một
cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi
26cm2.
3.56 Diện tích một hình thang bằng 140cm2, chiều cao bằng 8cm. Xác định
chiều dài của các cạnh đáy, biết rằng các cạnh đáy hơn kém nhau 15cm.
3.57 Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều rộng thêm 3m và tăng chiều
dài thêm 2m thì diện tích tăng thêm 100m2. Nếu giảm cả chiều dài lẫn
chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2. Tính diện tích thửa ruộng đó.
3.58 Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 540m. Ba lần chiều rộng hơn hai
lần chiều dài là 60m. Tính diện tích sân trường đó.
3.59 Hôm qua mẹ Mai đi chợ mua năm quả trứng gà và năm quả trứng vịt hết
12000 đồng. Hôm nay mẹ Mai mua ba quả trứng gà và bảy quả trứng vịt
chỉ hết 11600 đồng mà giá trứng thì vẫn không thay đổi. Hỏi giá một quả
trứng mỗi loại là bao nhiêu ?
3.60 Một tam giác có chiều cao bằng ¾ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm
và cạnh đáy giảm đi 2dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2. Tính chiều
cao và cạnh đáy.
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 14
Bài tập Toán 9
3.61 Một hình chữ nhật có chu vi là 450m. Nếu giảm chiều dài đi
Học kì 2
1
chiều dài
5
1
chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật không
4
đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của vườn.
cũ, tăng chiều rộng thêm
4
giờ thì
5
đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ
6
hai thì sau
giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai
5
thì sau bao lâu mới đầy bể ?
3.62 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau 4
3.63 Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít. Nếu đổ đầy nước vào bình
thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nước, còn bình thứ
1
hai chỉ được tới
thể tích của nó; hoặc bình thứ hai đầy nước còn bình thứ
2
1
ba chỉ được tới thể tích của nó. Hãy xác định thể tích của mỗi bình.
3
3.64 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau 1 giờ 20
phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và mở vòi thứ hai trong
1
12 phút thì chỉ được
bể. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi
15
vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?
3.65 Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong
12 ngày. Họ cùng làm chung với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều
động làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất tăng
gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi nếu
mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong việc trên (với năng suất
bình thường) ?
3.66 Hai bình A và B chứa lần lượt 56 lít và 44 lít nước. Nếu rót nước từ bình A
sang đầy bình B thì lượng nước còn lại trong bình A là nửa bình. Nếu rót
1
nước từ bình B sang đầy bình A thì lượng nước trong bình B còn lại là
3
bình. Tính dung tích mỗi bình.
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 15
Bài tập Toán 9
Học kì 2
3.67 Hai giá sách có 450 quyển, nếu chuyển 50 quyển từ giá thứ nhất sang giá
4
thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng
số sách ở giá thứ nhất. Tính số
5
sách ở mỗi giá.
3.68 Hai công nhân cùng sơn của cho một công trình trong bốn ngày thì xong
việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi người thứ hai
đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm
một mình thì trong bao lâu xong việc ?
1
cánh
6
đồng trong 15 giờ. Nếu máy thứ nhất làm một mình trong 12 giờ, máy thứ
hai trong 20 giờ thì cả hai sẽ cày được 20 cánh đồng. Hỏi nếu mỗi máy
làm một mình thì cày xong cánh đồng trong bao lâu ?
3.69 Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc đã cày xong
3.70 Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong (vôi
vữa và gạch có công nhân khã vận chuyển). Nếu người thứ nhất làm trong
5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây được ¾ bức tường.
Hỏi mỗi người làm một mình thì trong bao lâu họ xây xong bức tường ?
3.71 Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế ba học sinh thì sáu
học sinh không có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế bốn học sinh thì thừa một ghế.
Hỏi lớp học có bao nhiêu học sinh và bao nhiêu ghế ?
3.72 Bài toán cổ:
Một đàn em nhỏ đứng bên sông
To nhỏ bàn nhau chuyện chia bòng
Mỗi người năm quả thừa năm quả
Mỗi người sáu quả một người không
Hỏi người bạn trẻ đang dừng bước:
Có mấy em thơ, mấy quả bòng ?
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 16
Bài tập Toán 9
Học kì 2
D - Ôn tập chương 3
2x y m
3.73 Cho hệ phương trình:
2
4x m y 2 2
Giải hệ phương trình khi:
a) m = – 2
b) m =
3.74 Giải các hệ phương trình sau:
4x y 5
a)
3x 2y 12
2(x 3) 2(y 1) 1
3(x y 1) 2(x 2) 3
c)
3x 2 2y 7
e)
2x 3 3y 2 6
2
c) m = 1.
x 3y 4y x 5
2x y 3x 2(y 1)
b)
x 5 (1 3)y 1
d)
(1 3)x y 5 1
( 2 1)x (2 3)y 2
f)
(2 3)x ( 2 1)y 2
3.75 Giải các hệ phương trình sau:
y 2x xy
2x 3y 2xy
(x 1)( y 2) (x 3)(y 4)
b)
(x 2)(y 1) (x 1)(y 3)
3(x y) 9 2(x y)
2(x y) 3(x y) 11
1 1 1 1 2
2
3 9
x 2y x 2y
d)
2
1 1
1 1
6
3
x 2y
x 2y
a)
c)
3.76 Cho hai hệ phương trình :
ax by 3
(I)
2ax 3by 36
và
(a 1)x 2by 3
(II) a
( 2 3)x (b 1)y 1
Tìm a và b, biết:
a) Hệ (I) có nghiệm là (3 ; –2)
b) Hệ (II) có nghiệm (–2 ;1))
3.77 Với giá trị nào của k thì:
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 17
Bài tập Toán 9
Học kì 2
kx y 1 0
a. Hệ phương trình
nhận cặp số (x = –1 ; y = 0) làm
x y 1 0
nghiệm ?
x y 1
b. Hệ phương trình
có nghiệm duy nhất ?
kx 2y 0
2kx k 2 y 3
c. Hệ phương trình
vô nghiệm ? Vô số nghiệm ?
2x ky 3
mx y n
3.78 Xác định các giá trị của m và n để hệ phương trình:
mx ny 2
a) Có nghiệm x = 2 và y =
3.
b) Có nghiệm duy nhất.
ax y 2
3.79 Cho hệ phương trình:
x ay 3
a) Giải hệ khi a = 3 – 1.
b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a)
c) Tìm a để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa điều kiện x 2 y = 0.
3x my 2
3.80 Cho hệ phương trình:
9x 6y 1
a) Giải hệ phương trình khi m = – 6.
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x > 0 và y > 0.
mx y 3
3.81 Cho hệ phương trình:
x my 3
a) Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm.
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x < 0 và y < 0.
3.82 Xác định a để các hệ phương trình sau đây có nghiệm:
3x y z 1
x 3y 1
2x y 2z 5
a) 2x ay a
b)
x 2y 3z 9
x 2y 3
(a 1)x 2y az 7
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 18
Bài tập Toán 9
Học kì 2
3.83 Giải các phương trình sau:
a) (3x + 2y – 1)2 + (5x + 3y + 4)2 = 0
b) (4x – 3y – 20)2 + (2x – y – 21)2 = 0
c) (3x – 2y – 2)2 + (– 5x + 3y – 3)2 = 0
d) (4x – 2y – 10)2 + (3x – 4y – 12)2 = 0.
3.84 Giải các phương trình sau:
a) 2x + y + 3x + 2y + 2= 0
b) 3x + y – 1 + 2x – y= 0
c) 2x + 5y – 2 + 0,4x + y – 1= 0
d) 0,2x + 0,1y – 0,3 + 3x + y – 5= 0.
3.85 Hai đoàn tàu khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750km và đi ngược
chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu đoàn tàu thứ nhất khởi hành
trước đoàn tàu thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi đoàn tàu thứ hai đi được 8
giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi đoàn tàu.
3.86 Hai bình A và B chứa lần lượt là 56 lít và 44 lít nước. Nếu rót nước từ bình
A sang đầy bình B thì lượng nước còn lại trong bình A là nửa bình. Nếu rót
nước từ bình B sang đầy bình A thì lượng nước trong bình B còn lại 1
3
bình. Tính dung tích mỗi bình.
3.87 Hai người cùng làm chung công việc trong 20 ngày sẽ hoàn thành. Sau khi
làm chung được 12 ngày thì một trong hai người đi làm việc khác trong khi
đó người kia vẫn tiếp tục làm. Đi được 12 ngày, người thứ nhất trở về làm
tiếp 6 ngày nữa (trong 6 ngày đó người thứ hai nghỉ) và công việc được
hoàn thành. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu ngày
để hoàn thành công việc.
3.88 Tìm một số có hai chữ số biết rằng 3 lần chữ số hàng chục bét hơn 5 lần
chữ số hàng đơn vị là 5 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị
được thương là 1 và dư cũng là 1.
3.89 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 50m. Nếu tăng chiều rộng thêm
10m đồng thời giảm chiều dài đi 5m thì diện tích tăng thêm 50m2. Tính
kích thước của khu vườn.
3.90 Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong
12 ngày xong việc. Nhưng hai đội chỉ cùng làm trong 8 ngày. Sau đó đội
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 19
Bài tập Toán 9
Học kì 2
thứ nhất làm tiếp một mình trong 7 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội
làm một mình thì trong bao lâu xong việc.
3.91 Trong diệp tổng kết năm học vừa qua. Công ti A có tài trợ một số tập để
trao tặng cho một số học sinh đạt loại giỏi của trường THCS Cây Sung.
Biết rằng nếu mỗi học sinh nhận được 5 cuốn tập thì còn thừa 24 cuốn; còn
nếu mỗi học sinh nhận được 6 cuốn tập thì lại có 10 học sinh không có. Hỏi
có công ti A đã tài trợ bao nhiêu cuốn tập và trường THCS Cây Sung có
bao nhiêu học sinh giỏi trong năm học qua.
Toán học là cánh cửa và là chìa khóa để đi vào các ngành
khoa học khác.
Roger Bacon
Giá trị của một bài toán không phải là nó được giải như thế
nào mà là nó đã thúc đẩy việc tìm ra lời giải như thế nào.
I.N.Herstein
Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm và biên soạn)
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
102 
318 
144 
