giáo trình toán tài chính
Lêi nãi ®Çu
To¸n Tµi chÝnh lµ mét m«n to¸n øng dông, sö dông c«ng cô to¸n häc nh»m gi¶i
quyÕt nh÷ng vÊn ®Ò cña tµi chÝnh vµ ng©n hµng. To¸n Tµi chÝnh x©y dùng mét c¸ch cã
hÖ thèng c¸c c«ng thøc, ph¬ng tr×nh ®Ó xö lý chÝnh x¸c c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn tµi
chÝnh: tÝnh tiÒn l·i, hiÖn t¹i hãa, t b¶n hãa mét nguån vèn, chiÕt khÊu th¬ng phiÕu,...
To¸n tµi chÝnh còng cßn ®îc ¸p dông trong c¸c lÜnh vùc cña qu¶n lý: thÈm ®Þnh dù ¸n
®Çu t, ®¸nh gi¸ t×nh h×nh tµi chÝnh cña mét c«ng ty,... vµ vµo viÖc thanh t o¸n c¸c kho¶n
nî th«ng thêng, nî tr¸i phiÕu, ®Æc biÖt ®îc ¸p dông trªn thÞ trêng chøng kho¸n.
To¸n Tµi chÝnh rÊt cã Ých lîi cho sinh viªn c¸c ngµnh Tµi chÝnh, Ng©n hµng,
Qu¶n trÞ kinh doanh….
Cuèn s¸ch nµy bíc ®Çu cung cÊp mét c¬ së lý thuyÕt vÒ To¸n tµi chÝnh. Cã mét
sè vÊn ®Ò nªu trong cuèn s¸ch hiÖn nay cßn cha ®îc ¸p dông trong c¸c ng©n hµng ë
ViÖt Nam, nhng trong t¬ng lai kh«ng xa, sÏ ®îc dïng phæ biÕn theo tËp qu¸n cña c¸c
ng©n hµng trªn thÕ giíi.
Nh÷ng vÇn ®Ò liªn quan ®Õn cæ phiÕu vµ thÞ t rêng chøng kho¸n cha ®îc ®Ò
cËp ®Õn. Tuy nhiªn, cuèn s¸ch nµy ®· trang bÞ mét c¬ së kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ To¸n tµi
chÝnh, ®ñ gióp cho sinh viªn thùc hiÖn nh÷ng nghiªn cøu s©u h¬n cña m×nh sau nµy.
Cuèn s¸ch nµy ®îc dïng lµm tµi liÖu gi¶ng d¹y vµ häc tËp cho c¸c gi¶ng viªn vµ
sinh viªn trêng §¹i häc Kinh doanh vµ C«ng nghÖ Hµ Néi. Hy väng cuèn s¸ch ®¸p øng
®îc yªu cÇu ®µo t¹o cña Nhµ trêng.
Sö dông kÌm theo cuèn s¸ch lµ B¶ng tµi chÝnh. §ã lµ c¸c b¶ng cho s½n c¸c gi¸ trÞ
víi 6 hoặc 7 ch÷ sè thËp ph©n cña 5 hµm sè thêng dïng trong To¸n tµi chÝnh, gióp cho
viÖc tÝnh to¸n dÔ dµng h¬n.
Khi biªn so¹n, cuèn s¸ch kh«ng tr¸nh khái thiÕu sãt. RÊt mong nhËn ®îc sù
®ãng gãp quý b¸u cña tÊt c¶c c¸c b¹n ®äc.
Ngêi biªn so¹n
3
Môc lôc
Ch¬ng I. L·i ®¬n............................................................................................. 9
§1. §¹i c¬ng................................................................................................... 9
1. §Þnh nghÜa............................................................................................. 9
2. L·i ®¬n .................................................................................................. 9
3. Gi¸ trÞ thu ®îc ................................................................................... 10
4. L·i suÊt trung b×nh .............................................................................. 10
5. L·i suÊt hiÖu dông ............................................................................... 11
§2. Ph¬ng ph¸p thùc hµnh tÝnh l·i ®¬n ....................................... 11
1. Ph¬ng ph¸p sè vµ íc sè cè ®Þnh ...................................................... 11
2. Trêng hîp n¨m d©n sù ....................................................................... 12
Ch¬ng II. ChiÕt khÊu theo l·i ®¬n .................................................. 14
§1. ChiÕt khÊu............................................................................................... 14
1. Th¬ng phiÕu ...................................................................................... 14
2. ChiÕt khÊu ........................................................................................... 14
3. ChiÕt khÊu th¬ng m¹i theo l·i ®¬n .................................................... 14
4. ChiÕt khÊu hîp lý theo l·i ®¬n ............................................................ 15
5. C¸c mèi quan hÖ gi÷a chiÕt khÊu th¬ng m¹i vµ chiÕt khÊu hîp lý .... 16
§2. Thùc hµnh chiÕt khÊ u ..................................................................... 17
1. Chi phÝ chiÕt khÊu (agio) ..................................................................... 17
2. Gi¸ trÞ rßng cña th¬ng phiÕu ............................................................. 18
3. L·i suÊt thùc tÕ chiÕt khÊu vµ l·i suÊt gi¸ thµnh chiÕt khÊu ................ 18
§3. Sù t¬ng ®¬ng cña c¸c th¬ng phiÕu theo l·i ®¬ n ...... 20
1. C¸c ®Þnh nghÜa ................................................................................... 20
2. §Þnh lý vÒ sù t¬ng ®¬ng .................................................................. 21
4
§4. Mét sè bµi to¸n øng dông ............................................................. 23
1. Bµi to¸n vÒ thêi h¹n tr¶ chung ............................................................. 23
2. Bµi to¸n vÒ thêi h¹n tr¶ trung b×nh ...................................................... 23
Ch¬ng III. L·i gép ....................................................................................... 25
§1. §¹i c¬ng................................................................................................. 25
§2. C«ng thøc tÝnh l·i gép .................................................................... 25
1. Gi¸ trÞ thu ®îc ................................................................................... 25
2. ¸p dông............................................................................................... 25
3. Trêng hîp kho¶ng thêi gian kh«ng ph¶i lµ mét sè nguyªn ............... 26
4. L·i suÊt tØ lÖ vµ l·i suÊt t¬ng ®¬ng .................................................. 29
§3. HiÖn t¹i ho¸ vµ chiÕt khÊu theo l·i gép ................................ 30
1. HiÖn t¹i ho¸ ........................................................................................ 30
2. TÝnh gi¸ trÞ cña mét kho¶n vèn t¹i mét thêi kú tuú ý .......................... 30
3. ChiÕt khÊu theo l·i gép ....................................................................... 31
§4. Sù t¬ng ®¬ng cña c¸c th¬ng phiÕu theo l·i gép ....... 32
1. §Þnh nghÜa........................................................................................... 32
2. §Þnh lý c¬ b¶n vÒ sù t¬ng ®¬ng cña c¸c th¬ng phiÕu .................... 33
3. Thêi h¹n tr¶ chung vµ thêi h¹n tr¶ trung b×nh ..................................... 34
4. C¸c vÝ dô ¸p dông................................................................................ 34
§5. So s¸nh c¸c lo¹i chiÕt khÊu ......................................................... 37
1. C¸c c«ng thøc ®· cã vÒ chiÕt khÊu theo l· i ®¬n vµ l·i gép ................. 37
2. So s¸nh E c vµ Er ................................................................................... 37
3. So s¸nh E c vµ e .................................................................................... 37
4. So s¸nh E r vµ e..................................................................................... 38
5. Tãm t¾t ................................................................................................ 38
5
§ 6. T b¶n ho¸ vµ hiÖn t¹i ho¸ liªn tôc ........................................ 38
1. T b¶n ho¸ liªn tôc .............................................................................. 38
2. HiÖn t¹i ho¸ liªn tôc ............................................................................ 39
Ch¬ng IV. D·y niªn kim ........................................................................... 40
§1. §¹i c¬ng................................................................................................. 40
1. §Þnh nghÜa........................................................................................... 40
2. C¸c lo¹i d·y niªn kim ......................................................................... 40
§2. D·y niªn kim cè ®Þnh cuèi kú ....................................................... 40
1. Sè tiÒn thu ®îc cña d·y niªn kim cè ®Þnh cuèi kú ............................ 40
2. C¸c vÝ dô ¸p dông................................................................................ 41
3. Gi¸ trÞ hiÖn t¹i cña d·y niªn kim cè ®Þnh cuèi kú ............................... 44
§3. D·y niªn kim cè ®Þnh ®Çu kú ........................................................ 45
1. Sè tiÒn thu ®îc................................................................................... 45
2. Gi¸ trÞ hiÖn t¹i ..................................................................................... 45
§4. Gi¸ trÞ cña mét d·y niªn kim t¹i mét thêi ®iÓm bÊt kú ........46
1. Gi¸ trÞ cña d·y niªn kim t¹i thêi ®iÓm p .............................................. 46
2. Thêi h¹n tr¶ trung b×nh ....................................................................... 47
3. Sù t¬ng ®¬ng cña c¸c d·y niªn kim ................................................. 48
§5. D·y niªn kim bÊt kú ........................................................................... 48
1. Tæng qu¸t ............................................................................................ 48
2. D·y niªn kim lËp thµnh mét cÊp sè céng ............................................ 49
3. D·y niªn kim lËp thµnh mét cÊp sè nh©n ............................................ 49
§6. ¸p dông cña d·y niªn kim: thÈm ®Þnh dù ¸n ®Çu t ......... 51
1. Mét sè tiªu chuÈn thÈm ®Þnh dù ¸n ®Çu t: NPV vµ IRR ................... 51
2. VÝ dô ................................................................................................... 53
6
Ch¬ng V. Thanh to¸n nî th«ng thêng ..................................... 55
§1. §¹i c¬ng................................................................................................. 55
1. Ph¬ng thøc vay vèn ........................................................................... 55
2. Ph¬ng thøc vµ c«ng thøc thanh to¸n nî th«ng thêng ...................... 55
3. B¶ng thanh to¸n nî ............................................................................. 56
§2. Thanh to¸n nî th«ng thêng ..................................................... 56
1. Quan hÖ gi÷a niªn kim vµ phÇn thanh to¸n nî gèc ............................. 56
2. C¸c quy t¾c c¬ b¶n .............................................................................. 58
3. VÝ dô .................................................................................................. 60
4. Thanh to¸n nî b»ng c¸c niªn kim cè ®Þnh (a k = a = const) ................. 61
5. Thanh to¸n nî víi c¸c kho¶n thanh to¸n nî gèc cè ®Þnh (m k = m = const) .............63
§3. Mét vµi ph¬ng thøc thanh to¸n ®Æc biÖt ........................... 64
1. Vay nî víi tiÒn l·i tr¶ tríc ................................................................ 64
2. Thanh to¸n nî gèc mét lÇn.................................................................. 66
Ch¬ng VI . Thanh to¸n nî tr¸i phiÕu ............................................. 67
§1. §¹i c¬ng................................................................................................. 67
§2. Lý thuyÕt chung vÒ thanh to¸n nî tr¸i phiÕu .................. 67
1. C¬ së d÷ liÖu ....................................................................................... 67
2. C¸c c«ng thøc ...................................................................................... 68
3. Mét sè trêng hîp thanh to¸n ®Æc biÖt ................................................ 70
4. B¶ng thanh to¸n nî ............................................................................. 71
5. T×nh h×nh thanh to¸n tr ¸i phiÕu ........................................................... 73
§3. Mét sè ®Æc trng vÒ thêi h¹n cña tr¸i phiÕu ..................... 74
1. Median cña tr¸i phiÕu ......................................................................... 74
2. Thêi h¹n trung b×nh cña tr¸i phiÕu ...................................................... 75
7
§4. L·i suÊt ®Çu t vµ l·i suÊt gi¸ thµnh ..................................... 76
1. Kh¸i niÖm............................................................................................ 76
2. Trêng hîp niªn kim cè ®Þnh .............................................................. 77
3. Trêng hîp sè tr¸i phiÕu thanh to¸n cè ®Þnh ...................................... 77
4. VÝ dô ................................................................................................... 78
5. L·i suÊt ®Çu t cña ngêi mua tr¸i phiÕu ............................................ 79
Ch¬ng VII. §Þnh gi¸ c¸c kho¶n nî .................................................. 81
§1. §Þnh gi¸ kho¶n nî th«ng thêng .............................................. 81
1. §Þnh gi¸................................................................................................... 81
2. QuyÒn thu lîi toµn phÇn vµ quyÒn së h÷u danh nghÜa toµn phÇn ............ 81
3. QuyÒn thu lîi ®¬n vÞ vµ quyÒn së h÷u danh nghÜa ®¬n vÞ ....................... 82
4. Quan hÖ cña quyÒn thu lîi ®¬n vÞ vµ ®Þnh gi¸ ®èi víi quyÒn
së h÷u danh nghÜa ®¬n vÞ ........................................................................ 82
5. QuyÒn së h÷u danh nghÜa ®¬n vÞ trong mét sè trêng hîp ®Æc biÖt ....... 84
§2. §Þnh gi¸ kho¶n nî tr¸i phiÕu ....................................................... 87
1. Tr¸i phiÕu víi gi¸ thanh to¸n ngang mÖnh gi¸ .................................... 87
2. Tr¸i phiÕu víi gi¸ thanh to¸n cao h¬n mÖnh gi¸ ................................. 89
3. C¸c vÝ dô ............................................................................................. 89
Bµi tËp ........................................................................................................................ 92
8
Ch¬ng I
L·i ®¬n
§1. §¹i c¬ng
1. §Þnh nghÜa
TiÒn l·i lµ sè tiÒn mµ ngêi ®i vay ph¶i tr¶ thªm cho ngêi cho vay, sau mét kho¶ng thêi
gian nµo ®ã, ngoµi sè tiÒn ®· vay ban ®Çu. §ã chÝnh lµ sè tiÒn thuª kho¶n vèn ban ®Çu.
L·i suÊt theo mét ®¬n vÞ thêi gian (®.v.t.g.) lµ tØ sè gi÷a sè tiÒn l·i ph¶i tr¶ trong ®.v.t.g.
®ang xÐt vµ sè tiÒn ®i vay. VÒ mÆt gi¸ trÞ, l·i suÊt b»ng sè tiÒn l·i ph¶i tr¶ trong mét
®.v.t.g cho mét ®¬n vÞ vèn vay. L·i suÊt kh«ng cã ®¬n vÞ ®o (thø nguyªn) vµ thêng
®îc tÝnh b»ng %.
Gi¸ trÞ gèc cña mét kho¶n vèn lµ gi¸ trÞ ®îc x¸c ®Þnh t¹i thêi ®iÓm 0, thêi ®iÓm gèc b¾t
®Çu tÝnh l·i.
Gi¸ trÞ thu ®îc (Sè tiÒn thu ®îc) cña mét kho¶n vèn t¹i mét thêi ®iÓm nµo ®ã b»ng gi¸
trÞ gèc céng víi tiÒn l·i ph¸t sinh trong kho¶ng thêi gian tõ thêi ®iÓm 0 ®Õn thêi ®iÓm
®ang xÐt (thêi h¹n cho vay).
2. L·i ®¬n
L·i ®¬n lµ tiÒn l·i ®îc tÝnh trªn sè vèn vay ban ®Çu trong suèt thêi gian vay víi l·i suÊt
cè ®Þnh. L·i ®¬n tØ lÖ thuËn víi sè vèn ban ®Çu, l·i suÊt vµ thêi h¹n cho vay.
Gäi I lµ l·i ®¬n, C - sè vèn ban ®Çu, a - kho¶ng thêi gian cho vay tÝnh theo n¨m, i - l·i
suÊt mét n¨m. Khi ®ã
I = C.i.a
Th«ng thêng, ®Æt t lµ l·i suÊt cho 100 ®¬n vÞ tiÒn tÖ (ch¼ng h¹n i = 9% = 0,09 th× t = 9).
Khi ®ã
C.t.a
(1)
I
100
NÕu m lµ kho¶ng thêi gian tÝnh theo th¸ng, ta cã
C.t.m
(2)
I
1200
NÕu n lµ kho¶ng thêi gian tÝnh theo ngµy, ta cã
C.t.n
(3)
I
36000
9
3. Gi¸ trÞ thu ®îc
Gäi C’ lµ gi¸ trÞ (sè tiÒn) thu ®îc cña kho¶n vèn ban ®Çu C
C.t.n
sau n ngµy, ta cã C' C I C
(4a)
36000
C.t.m
sau m th¸ng, ta cã C’ = C + I = C +
(4b)
1200
C.t.a
sau a n¨m, ta cã C’ = C + I = C +
(4c)
100
VÝ dô:
Mét kho¶n vèn 100.000.000 ®ång cho vay h«m 1/10. TÝnh sè tiÒn thu ®îc vµo ngµy
31/12, biÕt l·i suÊt lµ 9% n¨m.
Gi¶i:
Tõ 1/10 ®Õn 31/12 cã 91 ngµy. Sè tiÒn thu ®îc tÝnh theo c«ng thøc (4a) lµ
100.000.000x9x91
C' 100.000.000
102.275.000 ®
36000
4. L·i suÊt trung b×nh
L·i suÊt trung b×nh cña nhiÒu kho¶n vèn cã l·i suÊt vµ kho¶ng thêi gian cho vay kh¸c
nhau lµ l·i suÊt khi nã thay thÕ c¸c l·i suÊt kh¸c nhau sÏ cho tæng sè l·i kh«ng ®æi.
Gi¶ sö cã p kho¶n vèn Ci cho vay víi lµ l·i suÊt t i vµ thêi h¹n cho vay n i t¬ng øng. Gäi
T lµ l·i suÊt trung b×nh, ta cã:
p
C i .T.n i
C i .t i .n i
i 1 36000
i 1 36000
p
Tõ ®ã, ta t×m ®îc
p
T
C t n
i 1
p
i i
C n
i 1
i
i
(5)
i
VÝ dô:
Mét ngêi cho vay 3 kho¶n vèn nh sau
Vèn
L·i suÊt
3800 USD
7,5%
6420USD
8,2%
780 USD
8,5%
TÝnh l·i suÊt trung b×nh.
Thêi h¹n cho vay
Tõ 25/5 ®Õn 15/7
Tõ 25/5 ®Õn 31/7
Tõ 25/5 ®Õn 31/8
10
Gi¶i:
T¬ng øng víi 3 kho¶n vèn trªn, thêi h¹n cho vay lµ 51, 67, 98 ngµy. L·i s uÊt trung b×nh
tÝnh theo c«ng thøc (5) lµ
(3800x7,5x51) (6420x8,2x67) (780x8,5x98)
T
8,04
(3800x51) (6420x67) (780x98)
L·i suÊt trung b×nh lµ 8,04%
5. L·i suÊt hiÖu dông
Trêng hîp ngêi cho vay ®îc tr¶ l·i tríc, ngay t¹i thêi ®iÓm 0, th× l·i suÊt hiÖu dông
sÏ cao h¬n l·i suÊt quy ®Þnh t ®· tho¶ thuËn.
Víi sè vèn C sau n ngµy, ngêi cho vay thu ®îc mét kho¶n l·i I. Do I ®îc tr¶ tríc,
nªn thùc tÕ vµo thêi ®iÓm 0, ngêi ®ã chØ cho vay kho¶n tiÒn lµ (C -I). Sè vèn (C-I) ban
®Çu ®· t¹o nªn sè tiÒn l·i I. Gäi t’ lµ l·i suÊt hiÖu dông, khi ®ã:
(C I).t'.n
C.t.n
I
36000
36000
C
Tõ ®ã suy ra
(6)
t'
t
CI
Ta thÊy ngay t’> t.
VÝ dô:
Mét ngêi cho vay 20.000 USD tr¶ l·i tríc víi l·i suÊt tho¶ thuËn 9%. Thêi h¹n cho
vay lµ 20 th¸ng. TÝnh l·i suÊt hiÖu dông.
Gi¶i:
Sè tiÒn l·i thu ®îc
C.t.m 20000x9x20
I=
3000 (USD)
1200
1200
VËy l·i suÊt hiÖu dông lµ:
20000
t'
x 9 10,58
20000 3000
L·i suÊt hiÖu dông xÊp xØ 10,58%
§2. Ph¬ng ph¸p thùc hµnh tÝnh l·i ®¬n
1. Ph¬ng ph¸p sè vµ íc sè cè ®Þnh
Trong c«ng thøc
Ctn
I=
36000
11
ta chia c¶ tö vµ mÉu cho t vµ ®îc
I=
Cn
36000
t
36000
, ta sÏ cã
t
N
I=
(7)
D
§¹i lîng N ®îc gäi lµ sè. §¹i lîng D ®îc gäi lµ íc sè cè ®Þnh. Gi¸ trÞ D sÏ æn ®Þnh
khi l·i suÊt cha thay ®æi vµ ®îc dïng chung cho c¸c trêng hîp vèn vµ thêi h¹n kh¸c
nhau.
Ph¬ng ph¸p tÝnh I qua c«ng thøc (7) gäi lµ ph¬ng ph¸p sè vµ íc sè cè ®Þnh
VÝ dô:
Sö dông ph¬ng ph¸p sè vµ íc sè cè ®Þnh, t×m tæng l·i do ®Çu t c¸c nguån vèn sau víi
l·i suÊt 9%:
5500 euro
tõ 1/3 ®Õn 31/7
2625 euro
tõ 1/3 ®Õn 31/8
870 euro
tõ 1/3 ®Õn 30/9
Gi¶i:
Thêi h¹n ®Çu t tõng nguån vèn lÇn lît lµ n 1 = 152, n 2 = 183, n 3 = 213 (ngµy)
36000
¦íc sè cè ®Þnh D =
4000
9
Tæng l·i thu ®îc:
1
1
I I1 I 2 I 3 (N 1 N 2 N 3 ) (C1 n 1 C 2 n 2 C 3 n 3 )
D
D
1
(5500x52 2625x183 5500 x213) 621,97 euro
4000
KÝ hiÖu N = Cn vµ D =
2. Trêng hîp n¨m d©n sù
Mét n¨m d©n sù cã 365 ngµy. Do ®ã khi sö dông c«ng thøc tÝnh l·i th¬ng m¹i (mét
n¨m cã 360 ngµy) ®Ó tÝnh l·i trong trêng hîp n¨m d©n sù ta ph¶i ®iÒu chØnh nh sau:
36500
N
§Æt D’ =
th× sè tiÒn l·i d©n sù lµ I’ =
t
D'
VÝ dô:
Sù chªnh lÖch gi÷a l·i th¬ng m¹i vµ l·i d©n sù cña mét nguån vèn C ®Çu t víi l·i suÊt
9,5% trong thêi h¹n 72 ngµy lµ 1,14 triÖu ®ång. T×m nguån vèn C.
12
Gi¶i:
Tõ
Cx9,5x72 Cx9,5x72
1,14
36000
36500
ta cã
Cx9,5x72x( 36500 36000)
1,14
36000x3650 0
vµ t×m ®îc nguån vèn
C=
36000x3650 0x1,14
4.380 triÖu ®ång
9,5x72x500
13
Ch¬ng II
ChiÕt khÊu theo l·i ®¬n
§1. ChiÕt khÊu
1. Th¬ng phiÕu
Th¬ng phiÕu lµ chøng tõ biÓu thÞ mét quan hÖ tÝn dông, mét nghÜa vô tr¶ tiÒn, ®îc lËp
ra trªn c¬ së c¸c giao dÞch th¬ng m¹i.
Th«ng thêng, th¬ng phiÕu cã hèi phiÕu, lÖnh phiÕu.
Hèi phiÕu lµ mét tê lÖnh tr¶ tiÒn v« ®iÒu kiÖn cña mét ngêi (ngêi ký ph¸t) göi cho mét
ngêi kh¸c (ngêi bÞ ký ph¸t) ®Ó yªu cÇu ngêi nµy ph¶i tr¶, vµo mét ngµy x¸c ®Þnh, sè
tiÒn ghi trªn hèi phiÕu cho chÝnh ngêi ký ph¸t hoÆc cho mét ngêi x¸c ®Þnh (ngêi
®îc hëng)
LÖnh phiÕu lµ mét giÊy cam kÕt v« ®iÒu kiÖn do mét ngêi lËp vµ ký tªn, göi cho mét
ngêi kh¸c, cam kÕt m×nh sÏ tr¶, vµo mét ngµy x¸c ®Þnh, mét kho¶n ti Òn cho ngêi ®ã
hoÆc cho ngêi ®îc hëng.
Sè tiÒn ghi trªn th¬ng phiÕu ®îc gäi lµ mÖnh gi¸ cña th¬ng phiÕu.
Ngµy mµ ngêi bÞ ký ph¸t ph¶i tr¶ tiÒn ®îc gäi lµ ngµy ®¸o h¹n cña th¬ng phiÕu.
Mét th¬ng phiÕu cã thÓ ®îc chuyÓn nhîng dÔ dµng.
2. ChiÕt khÊu
Khi cha ®Õn ngµy ®¸o h¹n, ngêi ®îc hëng ®em th¬ng phiÕu ®Õn ng©n hµng yªu
cÇu chiÕt khÊu. ChiÕt khÊu th¬ng phiÕu lµ mét nghiÖp vô tµi chÝnh thùc hiÖn b»ng viÖc
b¸n l¹i th¬ng phiÕu cha ®Õn h¹n cho ng©n hµng: ng©n hµng tr¶ mét sè tiÒn ghi trªn
th¬ng phiÕu sau khi ®· trõ bít mét kho¶n tiÒn.
Kho¶n tiÒn bÞ trõ bít ®îc gäi lµ tiÒn chiÕt khÊu.
Gi¸ trÞ hiÖn t¹i cña th¬ng phiÕu chÝnh b»ng mÖnh gi¸ trõ ®i tiÒn chiÕt khÊu.
Ký hiÖu mÖnh gi¸ lµ C, tiÒn chiÕt khÊu lµ E, gi¸ trÞ hiÖn t¹i lµ V, ta cã
V=C-E
(1)
3. ChiÕt khÊu th¬ng m¹i theo l·i ®¬n
Sè tiÒn chiÕt khÊu th¬ng m¹i lµ sè tiÒn l·i tÝnh trªn mÖnh gi¸ C cña th¬ng phiÕu,
thêng ®îc kÝ hiÖu lµ E c.
14
Ngµy mµ ng©n hµng lµm chiÕt khÊu ®îc gäi lµ ngµy tháa thuËn. Gäi t lµ l·i suÊt chiÕt
khÊu tháa thuËn, n lµ sè ngµy tÝnh tõ ngµy tho¶ thuËn ®Õn ngµy ®¸o h¹n. Sè tiÒn chiÕt
khÊu th¬ng m¹i E c ®îc tÝnh nh c«ng thøc l·i ®¬n:
Ctn
Cn
(2)
Ec
36000 D
Khi ®ã gi¸ trÞ hiÖn t¹i th¬ng m¹i sÏ lµ
Vc = C - Ec.
VËy
Ctn
C(36000 tn)
(3)
Vc C
36000
36000
hay
Cn C(D n)
(3’)
Vc C
D
D
VÝ dô:
Gi¸ trÞ hiÖn t¹i th¬ng m¹i vµo ngµy 25/8 cña mét th¬ng phiÕu chiÕt khÊu víi l·i suÊt
9% lµ 7.868 USD. NÕu th¬ng phiÕu nµy ®îc chiÕt khÊu 30 ngµy tríc ngµy ®¸o h¹n,
th× sè tiÒn chiÕt khÊu sÏ Ýt h¬n 72 USD so víi tiÒn chiÕt khÊu vµo ngµy 25/8. T×m mÖnh
gi¸ vµ ngµy ®¸o h¹n cña th¬ng phiÕu.
Gi¶i:
Khi chiÕt khÊu 30 ngµy tríc ngµy ®¸o h¹n, sè tiÒn chiÕt khÊu Ýt h¬n 72 USD hay gi¸ trÞ
hiÖn t¹i sÏ lín h¬n 72 USD so víi gi¸ trÞ hiÖn t¹i vµo ngµy 25/8.
VËy gi¸ trÞ hiÖn t¹i vµo ngµy ®ã lµ
7.868 + 72 = 7.940 (USD)
Theo c«ng thøc (3) ta cã:
C(36000 9x30)
7940
36000
suy ra
C = 8.000 (USD)
Gäi n lµ sè ngµy tÝnh tõ 25/8 ®Õn ngµy ®¸o h¹n, theo c«ng thøc (2), ta cã
8000x9xn
hay n = 66 (ngµy)
8000 7868
36000
Ngµy ®¸o h¹n lµ 66 ngµy sau 25/8. §ã lµ ngµy 30/10
4. ChiÕt khÊu hîp lý theo l·i ®¬n
Sè tiÒn chiÕt khÊu hîp lý lµ sè tiÒn l·i tÝnh trªn gi¸ trÞ hiÖn t¹i (hîp lý) cña th¬ng phiÕu,
thêng ®îc ký hiÖu lµ E r. Gi¸ trÞ hiÖn t¹i (hîp lý) ®îc ký hiÖu V r
15
VËy
Vr n
D
V n V (D n)
Tõ C Vr E r Vr r r
, ta t×m ®îc
D
D
D
Vr = C
(4)
Dn
MÆt kh¸c
CD
Cn
E r = C - Vr = C
Dn Dn
ta cã
Cn
N
(5)
Er
Dn Dn
VÝ dô:
Mét th¬ng phiÕu cã mÖnh gi¸ 1.260 euro ®îc chiÕt khÊu 45 n gµy tríc ngµy ®¸o h¹n
(thêng gäi: cã thêi h¹n 45 ngµy). Gi¶ sö l·i suÊt chiÕt khÊu lµ 6%, t×m
sè tiÒn chiÕt khÊu th¬ng m¹i vµ hîp lý,
gi¸ trÞ hiÖn t¹i th¬ng m¹i vµ hîp lý cña th¬ng phiÕu.
Gi¶i:
36000
¦íc sè cè ®Þnh
D=
6000
6
Cn 1260x45
ChiÕt khÊu th¬ng m¹i:
Ec =
9,45 (euro)
D
6000
Er =
Cn
1260 x 45
9,38 (euro)
D n 6000 45
ChiÕt khÊu hîp lý:
Er =
Gi¸ trÞ hiÖn t¹i th¬ng m¹i:
Vc = C - Ec = 1.260 - 9,45 = 1.250,55 (euro)
Gi¸ trÞ hiÖn t¹i hîp lý:
Vr = C - Er = 1.260 - 9,38 = 1.250,62 (euro)
5. C¸c mèi quan hÖ gi÷a chiÕt khÊu th¬ng m¹i vµ chiÕt khÊu hîp lý
a) So s¸nh:
Tõ E c =
N
N
vµ E r
, ta cã E c Er
D
Dn
ChiÕt khÊu th¬ng m¹i lu«n lu«n lín h¬n chiÕt khÊu hîp lý.
16
Chó thÝch:
Khi tÝnh theo l·i ®¬n, ®¹i bé phËn c¸c Ng©n h µng sö dông chiÕt khÊu th¬ng m¹i, v× ®iÒu
®ã cã lîi cho Ng©n hµng.
b) Chªnh lÖch:
Ta tÝnh E c - Er
Ec - E r
VËy
N
N
Nn
D D n D(D n)
N
n
E n
Dn
Ec - Er =
r
D
D
(6)
N
n
E n
D
hay
Ec - Er = c
(7)
Dn Dn
Sù chªnh lÖch gi÷a chiÕt khÊu th¬ng m ¹i vµ chiÕt khÊu hîp lý b»ng chiÕt khÊu th¬ng
m¹i cña chiÕt khÊu hîp lý, hoÆc b»ng chiÕt khÊu hîp lý cña chiÕt khÊu th¬ng m¹i
c) TØ sè
N
Ec
Dn
Ta tÝnh
(8)
D
N
Er
D
Dn
d) Quan hÖ gi÷a C, E c vµ Er
1
1
Dn D n
n
Ta xÐt
Er Ec
N
N N Cn
VËy
1
1
1
Er Ec C
(9)
§2. Thùc hµnh chiÕt khÊu
1. Chi phÝ chiÕt khÊu (agio)
Khi mét th¬ng phiÕu ®îc ®em chiÕt khÊu, Ng©n hµng gi÷ l¹i ch¼ng nh÷ng tiÒn chiÕt
khÊu, mµ cßn c¸c kho¶n tiÒn kh¸c, nh c¸c lo¹i tiÒn hoa hång, tiÒn thuÕ ®¸nh vµo c¸c
ho¹t ®éng tµi chÝnh. TÊt c¶ c¸c kho¶n tiÒn ®ã ®îc gäi lµ tiÒn chi phÝ chiÕt khÊu (agio ).
Nh vËy chi phÝ chiÕt khÊu gåm c¸c kho¶n tiÒn sau:
TiÒn chiÕt khÊu
C¸c lo¹i hoa hång
17
ThuÕ ®¸nh vµo c¸c ho¹t ®éng tµi chÝnh
Cã rÊt nhiÒu c¸c lo¹i kho¶n tiÒn hoa hång. Chóng ®îc ph©n thµnh c¸c lo¹i sau:
TiÒn hoa hång ®îc tÝnh tØ lÖ thuËn theo thêi h¹n . C«ng thøc tÝnh c¸c lo¹i
hoa hång nµy (ch¼ng h¹n hoa hång chuyÓn nhîng) t¬ng tù nh tÝnh chiÕt
khÊu nhng víi l·i suÊt kh¸c,
TiÒn hoa hång ®îc tÝnh kh«ng phô thuéc vµo thêi h¹n,
TiÒn hoa hång cè ®Þnh. §ã lµ c¸c lÖ phÝ tÝnh theo tõng th¬ng phiÕu nh lÖ
phÝ phôc vô, lÖ phÝ chuyÓn tiÒn kh¸c ®Þa ®iÓm, lÖ phÝ b¸o cã, lÖ phÝ chÊp
thuËn chiÕt khÊu,…
2. Gi¸ trÞ rßng cña th¬ng phiÕu
Gi¸ trÞ rßng cña th¬ng phiÕu lµ sè t iÒn mµ ngêi ®îc hëng thùc sù nhËn ®îc sau khi
®· khÊu trõ agio. VËy:
Gi¸ trÞ rßng = MÖnh gi¸ - agio
Gi¸ trÞ hiÖn t¹i = MÖnh gi¸ - TiÒn chiÕt khÊu
3. L·i suÊt thùc tÕ chiÕt khÊu vµ l·i suÊt gi¸ thµnh chiÕt khÊu
C¸c kho¶n tiÒn hoa hång vµ thuÕ ®· lµm t¨ ng l·i suÊt mµ ngêi ®îc hëng ph¶i g¸nh
chÞu.
L·i suÊt chiÕt khÊu t tho¶ thuËn ®îc rót ra tõ c«ng thøc:
Ctn
Ec =
.
36000
VËy
E . 36000
t= c
Cn
Trªn thùc tÕ, ng©n hµng ®· khÊu trõ agio (chø kh«ng ph¶i E c), v× vËy l·i suÊt thùc tÕ
chiÕt khÊu T sÏ ®îc tÝnh bëi c«ng thøc:
agio . 36000
T=
(10)
Cn
Khi thay mÖnh gi¸ bëi gi¸ trÞ rßng, ta thu ®îc c«ng thøc tÝnh l·i suÊt gi¸ thµnh chiÕt
khÊu T’
agio . 36000
T’ =
(11)
(Giá tri ròng) . n
Chó thÝch:
t < T < T’
1 1
n
T T' 36000
(12)
18
Chøng minh c¸c hÖ thøc trªn dÔ dµng.
VÝ dô 1:
Mét th¬ng phiÕu 1.000 euro cã ngµy ®¸o h¹n 30/11 ®îc ®em chiÕt khÊu ngµy 1/10.
Ngêi ®îc hëng chÊp nhËn c¸c ®iÒu kiÖn sau:
L·i suÊt chiÕt khÊu:
8,60%
L·i suÊt hoa hång chuyÓn nhîng:
0,40% (tØ lÖ thuËn theo thêi h¹n)
LÖ phÝ phôc vô:
1 euro/1 th¬ng phiÕu
LÖ phÝ b¸o cã:
2,5 euro/1 th¬ng phiÕu
ThuÕ ®¸nh vµo c¸c ho¹t ®éng tµi chÝnh : 17,60%
TÝnh agio, gi¸ trÞ rßng, l·i suÊt thùc tÕ chiÕt khÊu , l·i suÊt gi¸ thµnh chiÕt khÊu.
Gi¶i:
a) TÝnh agio
Tõ 1/10 ®Õn 30/11 cã 60 ngµy.
1000 x 8,60 x 60
TiÒn chiÕt khÊu E c:
14,333
36000
1000 x 0,40 x 60
Hoa hång chuyÓn nhîng:
0,666
36000
Hoa hång cè ®Þnh: 1+2,5 =
3,500
ThuÕ 17,60% cña 3,5 = 3,5 x 17,60% =
0,616
VËy agio:
19,12 (euro)
b) Gi¸ trÞ rßng:
1000 - 19,12 =
980,88 (euro)
c) L·i suÊt chiÕt khÊu thùc tÕ:
19,12 x 36000
T=
11, 47 (%)
1000 x 60
d) L·i suÊt gi¸ thµnh:
19,12 x 36000
T’ =
11, 71 (%)
980,88 x 60
VÝ dô 2:
Ngµy 1/10 mét doanh nghiÖp ®a ®Õn Ng©n hµng mét th¬ng phiÕu ®Ó chiÕt khÊu. Ngµy
®¸o h¹n cña th¬ng phiÕu lµ 31/12. BiÕt l·i suÊt thùc tÕ chiÕt khÊu lµ 9,60%, t×m l·i suÊt
gi¸ thµnh chiÕt khÊu.
Gi¶i:
Tõ 1/10 ®Õn 31/12 cã 91 ngµy.
1 1
n
Tõ c«ng thøc
, ta cã
T T' 3600
1 1
n
36.000 T.n
T' T 36.000
36000.T
19
VËy
T’ =
36000.T
36000 x 9,6
9,84 ( % )
36000 - T.n 36000 9,6 x 91
§3. Sù t¬ng ®¬ng cña c¸c th¬ng phiÕu theo l·i ®¬n
1. C¸c ®Þnh nghÜa
a) Sù t¬ng ®¬ng cña hai th¬ng phiÕu
Hai th¬ng phiÕu ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng t¹i mét ngµy nµo ®ã, nÕu c¶ hai th¬ng phiÕu
®Òu cã gi¸ trÞ hiÖn t¹i b»ng nhau vµo ngµy ®ã, khi chóng ®îc chiÕt khÊu cïng l·i suÊt
vµ cïng ph¬ng thøc.
Ngµy mµ hai th¬ng phiÕu t¬ng ®¬ng ®îc gäi lµ thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng. Thêi ®iÓm
nµy ph¶i xÈy ra tríc ngµy ®¸o h¹n cña hai th¬ng phiÕu.
Gäi C 1, C2 lµ mÖnh gi¸ cña hai th¬ng phiÕu, V 1, V2 lµ gi¸ trÞ hiÖn t¹i cña hai th¬ng
phiÕu. T¹i thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng, ta cã
V 1 = V2
C1 - E1 = C 2 - E2
Th«ng thêng trong tÝnh to¸n t¬ng ®¬ng cña c¸c th¬ng phiÕu, ta dïng chiÕt khÊu
th¬ng m¹i.
Gäi n1 vµ n2 lµ thêi h¹n cña hai th¬ng phiÕu. Ta cã s¬ ®å sau:
Thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng
V 1 = V2
T¹i thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng:
C1
n1
n2
C1
C2
C1 n 1
C n
C2 2 2
D
D
(13)
hay
C1 (D n 1 ) C 2 (D - n 2 )
D
D
VËy
C1 D n 2
C 2 D n1
(14)
20
Chó thÝch:
n1 < n 2 C 1 < C 2
Hai th¬ng phiÕu cïng mÖnh gi¸ nhng thêi h¹n kh¸c nhau, kh«ng thÓ t¬ng ®¬ng
nhau (t¬ng tù, khi chóng kh¸c mÖnh gi¸ nhng cïng thêi h¹n th× còng kh«ng thÓ t¬ng
®¬ng nhau)
b) Sù t¬ng ®¬ng cña mét th¬ng phiÕu víi nhãm nhiÒu th¬ng phiÕu kh¸c.
Mét th¬ng phiÕu ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng víi mét nhãm nhiÒu th¬ng phiÕu kh¸c vµo
mét ngµy nµo ®ã, nÕu gi¸ trÞ hiÖn t¹i cña t h¬ng phiÕu b»ng tæng c¸c gi¸ trÞ hiÖn t¹i cña
c¶ nhãm th¬ng phiÕu vµo ngµy ®ã, khi chóng ®îc ®em chiÕt khÊu cïng l·i suÊt vµ
cïng ph¬ng thøc.
Gäi C lµ mÖnh gi¸ cña th¬ng phiÕu ®ang xÐt vµ {Ck, k=1,..,p} lµ c¸c mÖnh gi¸ cña
nhãm c¸c th¬ng phiÕu. Gäi t hêi h¹n t¬ng øng cña chóng lµ n vµ {nk, k=1,..,p}.
T¹i thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng, ta cã
p
C .n
Cn
(15)
(C k k k )
D
D
k 1
c) Sù t¬ng ®¬ng cña hai nhãm th¬ng phiÕu
Hai nhãm th¬ng phiÕu ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng nhau vµo mét ngµy nµo ®ã, nÕu tæng
c¸c gi¸ trÞ hiÖn t¹i cña hai nhãm th¬ng phiÕu b»ng nhau vµo ngµy ®ã, khi chóng ®îc
®em chiÕt khÊu cïng l·i suÊt vµ cïng ph¬ng thøc.
XÐt 2 nhãm: {Ck, nk, k = 1,.., p} vµ {Bj, mj, j = 1,.., q}
Vµo thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng, ta cã
q
p
B j .m j
C k .n k
=
(16)
(B j
)
(C
)
k
D
D
j1
k 1
C-
Chó thÝch:
C¸c c«ng thøc (13), (14), (15) ®îc thiÕt lËp theo ph¬ng thøc chiÕt khÊu th¬ng m¹i
2. §Þnh lý vÒ sù t¬ng ®¬ng
§Þnh lý 1
Thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng cña hai th¬ng phiÕu kh¸c nhau lµ duy nhÊt.
Chøng minh:
Vµo thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng, ta cã
C1 D n 2
(*)
C 2 D n1
Gi¶ sö cã mét thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng kh¸c, c¸ch thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng ban ®Çu lµ p
ngµy. NÕu p > 0 th× thêi ®iÓm thø 2 x¶y ra sau thêi ®iÓm thø nhÊt, nÕu p < 0 th× thêi
®iÓm thø 2 x¶y ra tríc thêi ®iÓm thø nhÊt.
21
Chó ý r»ng c¸c thêi ®iÓm nµy (nÕu cã) ®Òu xÈy ra tríc ngµy ®¸o h¹n cña c¶ hai th¬ng
phiÕu.
T¹i thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng thø 2, gäi n’ 1 vµ n’2 lµ thêi h¹n cña hai th¬ng phiÕu.
Khi ®ã n’ 1 = n1 - p , n’ 2 = n2 - p vµ
C1 D n' 2
D - (n 2 - p)
(**)
C 2 D n'1 D (n 1 p)
So s¸nh (*) vµ (**):
D n 2 (D - n 2 ) p
D n 1 (D n 1 ) p
(D - n 2 )p (D - n 1 )p
(n1-n2) p = 0
V× hai th¬ng phiÕu kh¸c nhau nªn n1 n2 , vËy p = 0 .
§ã lµ ®iÒu ph¶i chøng minh.
§Þnh lý 2
Thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng cña mét th¬ng phiÕu víi mét nhãm c ¸c th¬ng phiÕu
kh¸c lµ duy nhÊt, trõ trêng hîp mÖnh gi¸ cña th¬ng phiÕu ®ã b»ng tæng c¸c
mÖnh gi¸ cña c¸c th¬ng phiÕu trong nhãm. Trong trêng hîp nµy, nÕu sù t¬ng
®¬ng ®· xÈy ra t¹i mét thêi ®iÓm nµo ®ã th× sù t¬ng ®¬ng lu«n lu«n xÈy ra t¹i
mäi thêi ®iÓm (tríc tÊt c¶ c¸c ngµy ®¸o h¹n cña mäi th¬ng phiÕu).
Chøng minh:
Vµo thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng, ta cã
C
Cn
=
D
p
(C
k 1
k
C k .n k
)
D
(*)
NÕu cã mét thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng thø 2 c¸ch thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng ban ®Çu s ngµy,
th× t¹i thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng nµy, ta cã:
C
C(n s)
D
C-
p
C
k 1
Cn Cs
D D
p
Cs s
Ck
D D k 1
k
C k (n k s)
D
C n
Ck k k +
D
Cs s C k
p
k 1
Ck s
k 1 D
p
p
k 1
C - C k . s 0
k 1
p
(**)
p
NÕu C C k th× s = 0, hay thêi ®iÓm t¬ng ®¬ng lµ duy nhÊt.
k=1
p
NÕu C C k th× (**) ®îc tho¶ m·n víi mäi s.
k=1
§ã lµ ®iÒu ph¶i chøng minh.
22
- Xem thêm -
.PDF 
109 
324 
75 
