Trường: THCS Phương trung
GV: Lê thị Thu Hoàn
Ngày dạy: ……………………..
CĂN BẬC HAI. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2 A
A./ Kiến thức cơ bản:
1. Căn bậc hai
- Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho x2 = a
- Chú ý:
+ Mỗi số thực a > 0, có đúng 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau: số dương: a , số âm: a
+ Số 0 có căn bậc hai là chính nó: 0 0
+ Số thực a < 0 không có căn bậc hai (tức a không có nghĩa khi a < 0)
2. Căn bậc hai số học
- Định nghĩa: Với a �0 thì số x a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được
gọi là căn bậc hai số học của 0
- Chú ý: Việc tìm căn bậc hai số học của 1 số không âm được gọi là phép khai phương
- Định lý: Với a, b > 0, ta có:
+ Nếu a < b � a b
+ Nếu a b � a < b
3. Căn thức bậc hai
- Cho A là 1 biểu thức thì biểu thức A được gọi là căn thức bậc hai của A ; A được gọi là
biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
- A có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) ۳ A 0
4. Hằng đẳng thức A2 A
- Định lý : Với mọi số thực a, ta có : a 2 a
- Tổng quát : Với A là biểu thức, ta có :
�A nêu A �0
A2 A �
-A nêu A<0
�
B./ Bài tập áp dụng
Dạng 1 : Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học
* Phương pháp :
- Viết số đã cho dưới dạng bình phương của một số
- Tìm căn bậc hai số học của số đã cho
- Xác định căn bậc hai của số đã cho
Bài 1 : Tìm căn bậc hai của các số sau : 121 ; 144 ; 324 ;
1
; 3 2 2
64
LG
+ Ta có CBHSH của 121 là : 121 112 11 nên CBH của 121 là 11 và -11
+ CBHSH của 144 là : 144 122 12 nên CBH của 121 là 12 và -12
+ CBHSH của 324 là : 324 182 18 nên CBH của 324 là 18 và -18
1
+ CBHSH của
là :
64
2
1
1
1
1
�1 � 1
� � nên CBH của
là và
64
8
8
64
�8 � 8
+ Ta có : 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1(vi 2 1 0) nên CBH của 3 2 2 là
2
2 1
và 2 1
Dạng 2 : So sánh các căn bậc hai số học
* Phương pháp :
- Xác định bình phương của hai số
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
1
Trường: THCS Phương trung
GV: Lê thị Thu Hoàn
- So sánh các bình phương của hai số
- So sánh giá trị các CBHSH của các bình phương của hai số
Bài 2 : So sánh
a) 2 và 3
b) 7 và 47
c) 2 33 và 10
d) 1 và 3 1
e) 3 và 5- 8
g) 2 11 và 3 5
LG
a) Vì 4 > 3 nên 4 3 � 2 3
b) Vì 49 > 47 nên 49 47 � 7 47
c) Vì 33 > 25 nên 33 25 � 33 5 � 2 33 10
d) Vì 4 > 3 nên 4 3 � 2 3 � 2 1 3 1 � 1 3 1
3 2�
�
�� 3 8 5 � 3 5 8
8 3�
e) * Cách 1: Ta có:
* Cách 2: giả sử
3 5 8 � 3 8 5 �
3 8
2
52 � 3 2 24 8 25
� 2 24 14 � 24 7 � 24 49
Bất đẳng thức cuối cùng đúng do đó bất đẳng thức đầu tiên đúng
g) Ta có:
2 3�
�
�� 2 11 3 5
11 5 �
Dạng 3: Tìm điều kiện để căn thức xác định:
Bài 3: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định
a)
2
1
x
3
5
b) x 2 2
c)
A xác định ۳ A 0
1 x
2x 3
d ) 3x 5
2
x4
LG
Để các căn thức trên có nghĩa thì
a)
2
1
x �۳۳0
3
5
2
x
3
1
5
x
3
10
b) Ta có: x 2 2 0, x � x 2 2 xác định với mọi x
1 x �0
1 x �0
�
�
1 x
�0 � �
hoặc �
2x 3
�2 x 3 0
�2 x 3 0
�x �1
1 x �0
�
3
�
�� 3 �x
+ Với �
2x 3 0
2
x
�
�
� 2
c)
�x �1
1 x �0
�
�
� 3
�
+ Với �
x
�2 x 3 0
�
� 2
x
1
3
hoặc x �1
2
3 x 5 �0
�
� 5
3 x 5 �0
�
�
�x �
��
�� 3� x4
d) � 2
�0
�x 4 0
�
�
�x 4
�x 4
Vậy căn thức xác định nếu x
Dạng 4 : Rút gọn biểu thức
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A 4 2 3 4 2 3
c) C 9 x 2 2 x ( x 0)
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
2
Trường: THCS Phương trung
GV: Lê thị Thu Hoàn
b) B 6 2 5 6 2 5
a) Cách 1 : A
Cách 2 :
b) B
d) D x 4 16 8 x x ( x 4)
LG
2
2
3 1
3 1
2
3 1 3 1 2 3
A2 4 2 3 4 2 3 2 (4 2 3).(4 2 3) 8 2 16 12 8 2.2 12
� A2 3
2
5 1
5 1
2
5 1 5 1 2 5
c) C 3x 2 x 3x 2 x 3x 2 x 5 x (vi x 0)
2
d) D x 4 16 8 x x 2 x 4 (4 x) 2 x 4 4 x x 4 x 4 2( x 4) (vi x 4)
Dạng 5 : Tìm Min, Max
Bài 5 : Tìm Min
a) y x 2 x 5
x2 x
1
4 6
b) y
2
LG
a) Ta có : x 2 2 x 5 ( x 1)2 4 �4 � x 2 2 x 5 � 4 2
vậy Miny = 2. dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 => x = 1
2
x2 x
�x 1 � 35 35
1 � �
� �y
b) Ta có :
4 6
�2 6 � 36 36
vậy Miny =
x2 x
35
35
1 �
4 6
36
6
x 1
x 1
1
35
. Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi 0 � � x
2 6
2 6
3
6
**************************************************
Ngày dạy: ……………………..
VẬN DỤNG CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A./ Kiến thức cơ bản
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có :
AH h, BC a, AB c, AC b, BH c ' , CH b ' khi đó :
1) b 2 a.b ' ;
c 2 a.c '
A
b
2) h 2 b' .c '
3) b.c a.h
1
1 1
4) 2 2 2
h
b c
2
5) a b 2 c 2 ( Pitago)
c
B
h
c'
b'
C
H
a
B./ Bài tập áp dụng
Bài 1 : Tìm x, y trong các hình vẽ sau
a)
+ ta có :
BC AB 2 AC 2 ( Pitago)
A
6
4
B
x
� BC 42 62 52 �7, 21
y
H
C
+ Áp dụng định lý 1 :
AB 2 BC
�.BH
42
52.x
x
2, 22
AC 2 BC
�.CH
62
52. y
y
4,99
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
3
Trường: THCS Phương trung
GV: Lê thị Thu Hoàn
Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99
- Xét tam giác ABC vuông tại A. áp dụng định lý 1 ta có :
b)
AC 2 BC.CH � 122 18. y � y 8
� x BC y 18 8 10
A
12
x
B
y
C
H
18
c)
* Cách 1 :
AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = 6
Theo Pitago cho các tam giác vuông AHB; AHC ta có:
A
y
x
4
B
x BH 2 AH 2 42 62 52
9
C
H
y CH 2 AH 2 62 92 117
* Cách 2: Áp dụng định lý 1 ta có:
AB 2 BC.BH ( BH CH ).BH (4 9).4 52
� AB 52 � x 52
AC 2 BC.CH ( BH CH ).CH (4 9).9 117 � AC 117 � y 117
d)
Áp dụng định lý 2, ta có:
AH 2 BH .CH � x 2 3.7 21 � x 21
A
Áp dụng định lý 1. ta có :
y
x
AC 2 BC.CH ( BH CH ).CH
3
B
7
� y 2 (3 7).7 70 � y 70
C
H
( y x 2 CH 2 21 49 70)
e)
Theo Pitago, ta có :
A
13
BC AB 2 AC 2 � y 132 17 2 458
B
Áp dụng định lý 3, ta có :
17
x
AB. AC BC. AH � 13.17 458.x � x
C
H
y
g)
458
�10,33
Áp dụng định lý 2, ta có : AH 2 BH .CH � 52 4.x � x
A
52
6, 25
4
Theo Pitago cho tam giác AHC vuông tại H, ta có :
y
y AH 2 CH 2 52 6, 252 �8
5
B
221
x
4
H
( DL
1: y 2 BC.x
C
(4 6, 25).6, 25
y 8)
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có các cạnh góc vuông AB = 15cm, AC = 20cm.
Từ C kẻ đường vuông góc với cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D. Tính AD
và CD
LG
D
x
y
A
15
20
B
C
� 90 , CA BD .
BCD, C
0
định
lý
3,
Theo
ta có :
CA2 AB. AD � 202 15. AD � AD
80
3
Theo Pitago trong tgiác ACD
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
4
Trường: THCS Phương trung
vuông
tại
A,
ta
GV: Lê thị Thu Hoàn
có :
2
100
�80 �
CD AD 2 CA2 � � 202
3
�3 �
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm. Từ D kẻ đường thẳng vuông
góc với đường chéo AC, đường thẳng này cắt AC tại E và AB tại F. Tính độ dài EA, EC,
ED, FB, FD
LG
Xét tam giác ADC vuông tại D, ta có: AC AD 2 CD 2 322 602 68
Theo định lý 1: AD 2 AC.AE � AE
F
A
60
B
E
AD 2 322 256
AC
68
17
Theo định lý 1, ta có:
CD 2 AC.CE � CE
32
CD 2 602 900
AC
68
17
Theo định lý 2, ta có:
480
17
AD 2
544
2
AD
DF
.
DE
�
DF
...
Xét tam giác DAF, theo định lý 1:
DE
15
256
256
644
� FB AB AF 60
Theo Pitago: AF DF 2 AD 2 ....
15
15
15
C
D
DE AE.EC ...
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và tia CB cắt
nhau ở F. Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng này cắt đường thẳng BC
tại G. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DEG cân
1
1
không đổi khi E chuyển động trên AB
2
DE
DF 2
b) Tổng
F
A
1
D
E
2
3
B
C
G
LG
� D
� (cùng phụ với D
� )
a) Ta có: D
1
3
2
ADE
v
à
CDG
xét
ta có :
AD DC ( gt )
�
�
�D1 �D3 cmt �� ADE CDG g .c.g
�
�A �C 900 �
� DE DG � DEG cân tại D
1
1
1
1
1
1
b) vì DE = DG � 2
2 ta có :
2
2
2
DE
DG
DE
DF
DG
DF 2
1
1
1
xét tam giác DGF vuông tại D, ta có : 2
(đl4)
2
CD
DG
DF 2
1
Vì
không đổi khi E chuyển động trên AB, suy ra tổng
CD 2
1
1
1
1
không đổi khi E thay đổi trên AB
2
2
2
DE
DF
DG
DF 2
*******************************************************
Ngày day: …………………..
CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN BẬC HAI
A./ Kiến thức cơ bản :
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
5
Trường: THCS Phương trung
GV: Lê thị Thu Hoàn
1. khai phương một tích. Nhân các căn bậc hai
a) Định lý : a; b �0, ta có: a.b = a. b
b) Quy tắc khai phương một tích : Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có thể
khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau ( a; b �0, ta có: a.b = a. b )
c) Quy tắc nhân các căn bậc hai : Muốn nhân các CBH của các số không âm, ta có thể
nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó ( a; b �0: a. b = a.b )
d) Chú ý :
- Với A > 0 ta có :
A
2
A2 A
- Nếu A, B là các biểu thức : A; B �0 ta có: A.B A . B
- Mở rộng : A.B.C A. B . C ( A, B, C �0)
2. Khai phương một thương. Chia các căn bậc hai
a) Định lý : a �0, b 0 ta có:
a
a
=
.
b
b
b) Quy tắc khai phương một thương : Muốn khai phương một thương
a
, trong đó số a
b
không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ
nhất chia cho kết quả thứ hai ( a �0, b 0 ta có:
a
a
=
.)
b
b
c) Quy tắc chia hai CBH : Muốn chia CBH của số a không âm cho số b dương, ta có thể
chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó ( a �0, b 0 :
d) Chú ý : Nếu A, B là biểu thức : A �0, B 0 :
a
a
=
)
b
b
A
A
=
B
B
B./ Bài tập áp dụng :
Dạng 1 : Tính
Bài 1 : Thực hiện phép tính
2
a) 1
2
2
24 1
49 81 1
63
�7 � �9 � �1 � 7 9 1
.5 .0, 01
. .
� �. � �. � � . .
25 16
25 16 100
10 � 5 4 10 200
�5 � �4 � �
b) 2, 25.1, 46 2, 25.0, 02 2, 25(1, 46 0, 02) 2, 25.1, 44 (1,5.1, 2) 2 1,5.1, 2 1,8
c ) 2,5.16,9
25 169
(5.13) 2 5.13 13
.
10 10
102
10
2
d ) 117,52 26,52 1440 (117,5 26,5).(117,5 26,5) 1440 144.91 144.10
144(91 10) 144.81 (12.9) 2 108
Dạng 2 : Rút gọn các biểu thức
Bài 2 : Tính giá trị các biểu thức
a ) A 0,1 0,9 6, 4 0, 4 44,1
1
9
64
4
441
10
10
10
10
10
1
3
8
2
2
35 35 10 7 10
10
2
10
10
10
10
10
10
b) B
2 3 7
2 3 7
6 14
2
2
2 3 28
2 32 7
2( 3 7)
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
6
Trường: THCS Phương trung
3 5 4 3 3 5 4 3
3 5 3 5
c) C
4 3 4 3
4 3 4 3
GV: Lê thị Thu Hoàn
12 3 3 4 5 15 12 3 3 4 5 15 24 2 15
16 3
13
Bài 3 : Rút gọn các biểu thức
a) 9 x 5 x �5 3 x 5 3 x 5
2
b) x 2 . x 2 x 0 x . x 2 x 2 x x x 2
2
108 x 3
12 x
c)
x 0
13 x 4 y 6
d)
108 x 3
9 x 2 3 x 3x
12 x
x 0; y �0
208 x 6 y 6
13 x 4 y 6
1
1
1
1
6 6
2
208 x y
16 x
4 x 4 x 4 x
Dạng 3 : Chứng minh
Bài 4 : Chứng minh các biểu thức sau
a ) 6 35 . 6 35 1
VT (6 35).(6 35) 36 35 1 VP
b) 9 17 . 9 17 8
VT (9 17).(9 17) 81 17 64 8 VP
c)
2
2 1 9 8
VT 2 2 2 1 3 2 2 �
�
�� VT VP
VP 3 22.2 3 2 2 �
d)
4 3
2
49 48
VT 4 2 12 3 7 2 2 2.3 7 4 3 �
�
�� VT VP
2
VP 7 4 .3 7 4 3
�
�
e) 2 2 2 3 3 1 2 2
2
6 6 9
VT 4 2 6 6 1 4 2 8 6 6 9 VP
g ) 8 2 15 8 2 15 2 3
VT
5 2.
5 2. 5. 3 3 5 3
3 5 3 5 3 2 3 VP
2
5. 3 3
5 3
5
5 3
2
Dạng 4 : Giải phương trình
Bài 5 : Giải các phương trình sau
a) 2 2 x 5 8 x 7 18 x 28
1 � 2
1
dk : x �0
2 x 5.2. 2 x 7.3. 2 x 28 � 13 2 x 28 � 2 x
28
784
392
� 2x
� x
tm
13
169
169
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
7
Trường: THCS Phương trung
GV: Lê thị Thu Hoàn
1
b) 4 x 20 x 5
9 x 45 4 2
3
1
4( x 5)�۳ x 5
9( x 5) 4
dk : x 5
2 �
3
1
� 2 x 5 x 5 .3 x 5 4 � 2 x 5 4 �
3
0
x
5
x 5 2 � x 5 4 � x 9 tm
�
� 2
�x �
�
�
3 x 2 �0
�
� 3
�
�
�
� 2
�
x�
�
3x 2
�x 1 0
�x 1 �
3x 2
�
�0 �
��
�
3
c)
3
(3) đk :
�
�
x 1
3 x 2 �0
x 1
�
� 2
�
x 1
�
�x �
�
�
�
3
x
1
0
�
�
�
�
�
�
�x 1
�
3x 2
11
9 � ... � 6 x 11 � x
Ta có (3) �
thỏa mãn
x 1
6
� 4
5 x 4 �0
�
4
�x �
5x 4
�۳� 5
x
d)
2 (4) đk : �
5
x2
�x 2 0
�
�x 2
(4) � 5 x 4 2 x 2 � 5 x 4 4 x 2 � ..... � x 12 thỏa mãn
Bài tập : (bất đẳng thức Cauchy) : Cho 2 số a và b không âm. Chứng minh rằng
ab
� ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
2
LG
* Cách 1 :
+ vì a �0; b �0 � a ; b xác định
+ ta có :
2
a ��
b 0��a�۳
2 ab b 0
a b 2 ab
ab
2
ab
+ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
* Cách 2 : ta có
a b
2
�0 � a 2 2ab b 2 �0 � a 2 b 2 �2ab � a 2 2ab b 2 �4ab
� ��
a b
�۳4ab
2
a b
2 ab
ab
2
ab
*******************************************************
Ngày dạy: …………………..
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa : Cho �ABC (00 900 ) ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC,
CA của tam giác ABC vuông tại A như sau :
AC
;
BC
AC
tg
;
AB
sin
AB
BC
AB
cot g
AC
C
cos
A
* Nhận xét : từ định nghĩa ta thấy :
+ 0 < sin, cos < 1
Huyền
Đối
Kề
B
+ tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn luôn dương
1
+ cot g tg ; tg .cot g 1
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
8
Trường: THCS Phương trung
GV: Lê thị Thu Hoàn
2. Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau
- Định lý : nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tg góc này bằng cotg
sin cos ;
�
tg cot g ;
�
3. Bảng các tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt
300
góc kia. Tức : nếu 900 thì ta có : �
cos sin
cot g tg
450
600
Tỉ số lượng giác
Sin
1
2
2
2
3
2
1
3
Cos
tg
Cotg
3
2
1
2
2
2
3
1
3
1
1
3
* Nhận xét :
- Dựa vào bảng trên ta thấy :
sin 1 sin 2 ; tan 1 tan 2
�
.
cos 1 cos 2 ; cot 1 cot 2
�
0
0
với 0 1 ; 2 90 và 1 2 � �
Tức là :
+ góc lớn hơn thì có sin lớn hơn, nhưng lại có cosin nhỏ hơn
+ góc lớn hơn thì có tan lớn hơn, nhưng lại có cot nhỏ hơn
Hay ta có thể phát biểu : 00 900 thì :
+ sin và tan đồng biến với góc
+ cos và cot nghịch biến với góc
4. Các hệ thức cơ bản
sin
cos
; 2 cot
; 3 tan .cot 1;
1 tan
4 sin 2 cos 2
cos
sin
1
B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho biết sin = 0,6. Tính cos , tan và cot
+ ta có: sin 2 cos2 1 � cos 1 sin 2 1 0, 62 0,8
sin
0, 6
3
+ tan cos 0,8 4 ;
Bài 2:
1. Chứng minh rằng:
cot
cos 0,8 4
sin 0, 6 3
1
1
; b) cot 2 1
; c) cos 4 sin 4 2cos 2 1
2
2
cos
sin
2. Áp dụng: tính sin , cos , cot , biết tan = 2
a) tan 2 1
LG
1. a) ta có:
tan
sin
sin 2
sin 2
sin 2 cos 2
1
2
2
� tan 2
�
tan
1
1
�
tan
1
2
2
2
cos
cos
cos
cos
cos 2
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
9
Trường: THCS Phương trung
cos 2
cos 2 sin 2
1
VP
b) VT cot 2 1 2 1
2
sin
sin
sin 2
c)
GV: Lê thị Thu Hoàn
VT cos 4 sin 4 cos 2 sin 2 . cos 2 sin 2 cos 2 sin 2
cos 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 2cos 2 1 VP
2. Ta có:
tan 2 nên a � 2 2 1
1
1
1
� cos 2 � cos
;
2
5
5
cos
1
;
2
2
1
1
5
4
2 5
�1 �
b � � � 1
�
� sin 2 � sin
2
2
5
5
sin
sin 4
�2 �
Bài 3: Biết tan = 4/3. Tính sin , cos , cot
tan 2 � cot
LG
+ ta có: tan = 4/3 nên cot = ¾
+ mà tan 2 1
1
9
3
� cos 2
� cos ;
2
25
5
cos
2
3� 4
+ mặt khác: sin cos 1 � sin 1 co s 1 �
� �
�5 � 5
Bài 4: Dựng góc trong các trường hợp sau:
1
2
a) sin ;
b) cos ;
c) tan 3;
2
3
2
2
2
d ) cot 4
LG
a)* Cách dựng
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
- vẽ cung tròn tâm B, bán kính bằng 2, cung này cắt Ox tại A
- nối A với B � �BAO cần dựng
OB 1
* Chứng minh: - ta có: sin sin �BAO
đpcm
AB 2
y
B
2
1
b)* Cách dựng
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 2
- vẽ cung tròn tâm A, bán kính bằng 3, cung này cắt Oy tại B
- nối A với B � �BAO cần dựng
y
B
3
OA 2
* Chứng minh:- ta có: cos cos �BAO
đpcm
AB 3
c) * Cách dựng
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 3
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
� �OBA cần dựng
* C minh: - thật vậy, ta có: tan tan �OBA
OA 3
3 đpcm
OB 1
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
x
A
O
O
2
x
A
y
B
1
O
3
A
x
10
Trường: THCS Phương trung
GV: Lê thị Thu Hoàn
d) * Cách dựng
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm đơn vị
- trên Ox lấy điểm A sao cho OA = 4
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
� �OAB cần dựng
y
B
1
OA 4
4 đpcm
* Cminh: - thật vậy, ta có: cot cot �OAB
OB 1
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5; BC = 12; AC = 13
a) CMR tam giác ABC vuông
b) Tìm tỉ số lượng giác của góc A và góc C
LG
2
2
2
2
2
2
a) Ta có: AB BC 12 5 169 13 AC � AB2 BC 2 AC 2
theo định lý Pytago đảo, suy ra tam giác ABC vuông tại B
b)
- vì �A �C 900 � �A; �C là 2 góc phụ nhau
- do đó:
12
;
13
12
tgA cot gC ;
5
5
13
5
cot gA tgC
12
sin A cos C
O
4
A
x
A
13
5
cos A sin C
C
B
12
*********************************************************
Ngày dạy: ……………………….
BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A. Kiến thức cơ bản
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
�
�A B ( A �0; B �0)
A2 B A B �
A B ( A 0; B �0)
�
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
A �0; B �0 : A B A2 B
A 0; B �0 : A B A2 B
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn : A.B �0; B �0 :
A
B
A.B
B
4. Trục căn thức ở mẫu
a) B 0 :
A
A B
B
B
b) A �0; A �B 2 :
c) A, B �0; A �B :
C A mB
C
A B2
A �B
C
C
A� B
Am B
A B
* Chú ý:
- các căn bậc hai đồng dạng là các căn bậc hai có cùng biểu thức dưới dấu căn
- biểu thức liên hợp: 2 biểu thức chứa căn thức được gọi là liên hợp với nhau nếu tích của
chúng không chứa căn thức
- quy tắc trục căn thức ở mẫu: muốn trục căn thức ở mẫu của 1 biểu thức ta nhân tử và
mẫu của biểu thức đó với biểu thức liên hợp của mẫu
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
11
Trường: THCS Phương trung
GV: Lê thị Thu Hoàn
B. Bài tập áp dụng
Dạng 1: Đưa nhân tử ra ngoài, vào trong dấu căn
Bài 1: Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn
a ) 125 x x 0
4y
2 2
b) 80 y 4
c) 5 1 2
2
d ) 27 2 5
e)
g)
2
3
3 10
5 1
4
5x
2
2
.5 x 5 x 5 x
.5 4 y 2 5
1 2 . 5
2
2
2 1
2
3 10
5 1 3
2
20
2 5 0
2 10 3
2 10 3
2
2
10 9
10 3 10 3 . 10 3
2 5 . 3.32
5
1
5
5 2 .3. 3
3 1
1
2
30
10 3
Bài 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn và so sánh
a) 3 5 và 5 3
3 5 32.5 45 �
�
�do 75 45 � 75 45 � 5 3 3 5
ta có:
5 3 52.3 75 �
�
b) 4 3 và 3 5
4 3 42.3 48 �
�
ta có:
�do 48 45 � 48 45 � 4 3 3 5
3 5 32.5 45 �
�
c) 7 2 và 72
ta có: 7 2 7 2.2 98 do 98 72 � 98 72 � 7 2 72
d) 5 7 và 4 8
ta có:
5 7 52.7 175 �
�
�do 175 128 � 175 128 � 5 7 4 8
2
�
4 8 4 .8 128 �
Bài 3: Đưa nhân tử vào trong dấu căn và rút gọn
a) 2 a
2a a 2
2a
2a a 2
a 2
a2
a2
b) x 5
x
0 x 5
25 x 2
c) a b
3a a b
3a
0 a b
2
2
b a
b2 a 2
2
x 5 x
2
5 x . 5 x
2
2 a 0
x 5 x
x 5 0
5 x
3a b a
2
b a . b a
3a b a
b a
a b 0
Dạng 2: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức
Bài 4: Thực hiện phép tính
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
12
Trường: THCS Phương trung
a ) 125 4 45 3 20 80 ... 5 5 12 5 6 5 4 5 5 5
GV: Lê thị Thu Hoàn
b) 2
27
48 2 75
3
4
2 5
7
... 2.
3
3 .
3 ...
3
4
9 5 16
2
3
5 4
6
c) 2
9
49
25
3 1
1 5 1
7 1
7 2
... 2. .
7.
.
...
.
8
2
18
2 2
3
6
2 3 2
2
1
4 27
5
d ) 5 20 3 12 15
52 4 2 5.2 5 3.2 3 15.
10 5 6 3 3 5 12 3
5 4 . 5 4
9 13 5 18 3 3 13 5 17 3
2 3
e) 7 4 3 28 10 3
1
5 4.3 3
5
2
5 3
2
2 3 5 3 7
Bài 5: Rút gọn biểu thức với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa
a)
x xy y
b)
c)
x y
x 0; y 0
xy
x y . x xy y
x y
a ab
b ab
x
a; b �0
yy x .
b
a
a b
a
x y
xy x xy y xy x 2 xy y
b
xy .
x y .
x y
2
a
b
x 0; y 0
xy
x y
xy
x y .
x y x y
2 ��
2 x 2 2
- nếu x �
x 4
� A x2 2 x2 2 2 x2
- nếu x 2 2 � x 2 2 � x 4
� A x2 2 x2 2 2 2
Dạng 3: Trục căn thức ở mẫu
Bài 6: Trục căn thức ở mẫu
a)
12. 3 3
12. 3 3
12
2. 3 3
93
3 3
3 3 . 3 3
8.
b)
8
52
c)
14
10 3
5 2
52 .
14.
5 2
10 3
10 3 .
8.
5 2
54
10 3
2 . 2
2 . 2
8.
14.
52
10 3
10 3
2.
10 3
d)
7 3 5 11 . 8 3 7 11 168 49 33 40 33 385 9 33 217
7 3 5 11
192 539
337
8 3 7 11
8 3 7 11 . 8 3 7 11
e)
3 5 2
3 5 2 2
2 5 3 2
2 5 3
30 9
2
5 3 2
5 3
10 4 10 12 18 5 10
20 18
2
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
13
Trường: THCS Phương trung
GV: Lê thị Thu Hoàn
Bài 7: Trục căn thức ở mẫu và thực hiện phép tính
5
a)
1
16 11
5. 4 11
7 5
3 7
2
4 11 . 4 11
3 7 . 3 7
7 6. 7 2
7 5 5. 4 11 3
4 11 3 7
5. 4 11
6
3
7 2
7 6.
7 2
97
74
2
5
2
3
3 7 7 5
4 11
2 7 2 4 11 4 7 2 7 4 4 11 3 7
2
4
b)
5 2
4
8
5 2
52
3
52
2
32
3 1
6
3 .
52
5 2 12.
5 2 18.
54
2.
32
3 4
4
5 2
5 2 .
3 1 4
6
3 2 3 1
6
26 5 8 2 13 3 59
6
5
3
7 2
7 2 .
7 2
7 5
2
7 5
2
2.
32
5 2 . 5 2 3 2 . 3 2
2
3 1
3. 5 2 2. 3 2
6
5 2
3 . 52
6.
3 1
6
8 5 8 2 18 5 36 12 3 24 3 1
6
***********************************************************
Ngày dạy: ………………………..
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI.
ÔN TẬP ĐẠI SỐ - CHƯƠNG I
A. Kiến thức cơ bản
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần vận dụng thích hợp các phép
biến đổi đã biết
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Tính
a) 3 2 2 6 4 2
b)
5 3 29 12 5
5 62 5
5
2 2
2
2 1
5 3
5 1
2
2
2
2 1 2 2 2 2 1
5 3
2
5 3 2 5 3
5 5 1 1
c ) 6 2 5 29 12 5 6 2 5 2 5 3 9 3
d ) 2 5 13 48 2 5 13 4 3 2 5
2 42 3 2
3 1
2
2
3 1
2
2 5 2 3 1
2 3 1 1 3
Bài 2: Thực hiện phép tính, rút gọn kết quả
a) 2 20 45 3 18 3 32 50 4 5 3 5 9 2 12 2 5 2 5 16 2
b) 32 0,5 2
1
1
1
2
1
17
10
48 4 2
2
3
2 4 3 ...
2
3
3
8
2
3
4
4
3
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
14
Trường: THCS Phương trung
GV: Lê thị Thu Hoàn
1
1
1
9
25 1
9
49
4,5 12,5 0,5 200 242 6 1 24,5
2
10 2.2 112.2 6
2
8
2
2
2 2
8
2
1
3
5
3
7
2
2
2 5 2 11 2 6. 2
2
2
2
2
4
2
3 7�
13
�1 3 5
� 5 11 6. � 2
2
4 2�
2
�2 2 2
c)
�3
� �3
2
3 �� 2
2
1
�
d) �
6
2
4
.
3
12
6
6
6
2
6
.
6
2
3
6
6. 2 3 3
�
�
�
�
�
�2
�� 3
� �2
3
2
3
6
�
�
��
�
Bài 3: Chứng minh đẳng thức
a)
a b
a b
2b
2 b
2 a 2 b 2 a 2 b ba
a b
Biến đổi vế trái ta được:
a b
a b
2b
a b
a b
2 a 2 b 2 a 2 b ba 2 a b
2 a b
VT
a b
2
2
a b
4 b
2
a b
2
a b
a b
a b
a b
4b
a 2 ab b a 2 ab b 4b
2
a b
2b
a b
a b .
2
a b
4 ab 4b
a b
a b
2 b
VP
a b
�2 3 6
216 � 1
3
b) �
.
� 8 2 3 �
�
2
�
� 6
Biến đổi vế trái ta được:
�
�
�2 3 6
216 � 1 � 6 2 1 6 6 � 1
VT �
.
.
�
� 82
3 �
3 � 6
2 2 1
�
� 6 �
�
�
�6
�1
3
1
3
�
2
6
.
6.
VP
�
�2
�
2
2
6
6
�
�
Bài 4: Cho biểu thức A
a b
2
4 ab
a b
a b b a
ab
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Chửng tỏ rằng giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào a
LG
a) đk: a > 0; b > 0; a khác b
b) ta có:
A
a b
2
4 ab
a b
a 2 ab b
a b
ab
a b b a a 2 ab b 4 ab
ab
a b
a b
a b
a b
a b
ab
2
a b a b a b 2 b
�2 x x
1 � x 1
:
�
�
x
x
1
x
1
�
�x x 1
Bài 5: Cho biểu thức B �
�
a) Tìm đk xác định
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
15
Trường: THCS Phương trung
GV: Lê thị Thu Hoàn
b) Rút gọn biểu thức B
LG
a) đk: x �0; x �1
b) Ta có:
�
�
�2 x x
1 � x 1
2 xx
1 � x 1
�
B�
:
:
�
�x x 1
�x x 1 � x 1 x x 1
�
x
1
x
1
x x 1
�
�
�
�
2 x x x x 1 x x 1
.
x 1
x 1 x x 1
x 1 1
1
.
x 1 x 1 x 1
� x 3 x �� x 3
x 2
�
9 x
1
:
��
�
Bài 6: Cho biểu thức C �
�
��
�
� x 9 ��2 x 3 x x x 6 �
a) Tìm đk để C có nghĩa
b) Rút gọn C
c) Tìm x để C = 4
LG
a) đk: x �0; x �4; x �9
b) Ta có:
� x 3 x �� x 3
x 2
9 x �
C �
1
:
��
� x 9 ��2 x 3 x x x 6 �
�
�
��
�
�
��
�
x x 3
3 x
x 2
9 x
��
�
�
1
:
�
��
x 2
x 3
x 3
x 3
x 2
x 3 �
�
��
�
2
2
�
��3 x 3 x x 2 9 x �
9
x
x
2
9 x
x
x
3
x
�
�: �
�
1
:
�
�
x 3
x 3 ��
x 2
x 3
x 2
x 3
�
�
��
�
�
x 2
3
.
x 3
x 3
x 2
2
3
x 2
3
3
11
121
4 � x 2 � x � x
4
4
16
x 2
� x
x 9 ��3 x 1 1 �
:
�
Bài 7: Cho biểu thức D �
�3 x 9 x ��
��
x�
�
��x 3 x
�
c) C = 4 �
a) Tìm đk
b) Rút gọn
c) Tìm x sao cho D < -1
LG
a) đk: x > 0; x khác 9
b) Ta có:
�
��
�
� x
x 9 ��3 x 1 1 � � x
x 9
3 x 1
1 �
��
D�
:
:
�
�3 x 9 x ��
��x 3 x
x�
3 x
x�
3 x 3 x �� x x 3
�
��
��
�
��
�
x 3 x x 9 3 x 1 x 3
2 x 2
3 x 9
:
:
3 x 3 x
x x 3
3 x 3 x
x x 3
3
x 3
.
x
3 x 3 x 2
x 3
x 2
3 x
2 x 4
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
16
Trường: THCS Phương trung
3 x
1 � 3 x 2 x 4 � x 4 � x 16
c) D 1 �
2 x 4
GV: Lê thị Thu Hoàn
2
x 40
********************************************************
Ngày dạy: ……………………..
HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. Kiến thức cơ bản
1. Các hệ thức
* Định lý: Trong 1 tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
- Cạnh huyền nhân Sin góc đối hoặc Cosin góc kề
- Cạnh góc vuông kia nhân Tang góc đối hoặc Cotg góc kề
(trong tam giác ABC vuông tại A, BC = a; AB = c; AC = b, ta có:
C
a
b
A
B
c
1
b a.sin B a.cos C
�
�
c a.sin C a.cos B
�
2
b c.tgB c.cot gC
�
�
c b.tgC b.cot gB
�
2. Áp dụng giải tam giác vuông
* Giải tam giác vuông: là tìm tất cả các yếu tố của một tam giác vuông (các cạnh, các góc)
nếu biết trước 2 yếu tố trong đó có ít nhất 1 yếu tố về cạnh và không kể góc vuông
* Một số trường hợp giải tam giác vuông thường gặp
a) Biết 2 cạnh góc vuông
- Tính cạnh huyền (theo Pi-ta-go)
- Tính một góc nhọn (tan hoặc cot)
- Tính góc nhọn còn lại (2 góc phụ nhau)
b) Biết cạnh huyền và 1 góc nhọn
- Tính góc nhọn còn lại (2 góc phụ nhau)
- Tính các cạnh góc vuông (hệ thức về cạnh và góc – hệ thức (1))
c) Biết cạnh góc vuông và góc nhọn kề
- Tính góc nhọn còn lại
- Tính cạnh góc vuông còn lại và cạnh huyền (hệ thức về cạnh và góc – hệ thức (1); (2))
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết tgB
4
3
B
- tgB �л
10
4
và BC = 10. Tính AB; AC
3
B 530 07'
- theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
AB BC cos B 10.cos 53007 ' 6
C
A
AC BC.sin B 10.sin 530 07 ' 8
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A; AB = AC = 17; BC = 16. Tính đường cao AH và góc
A, góc B của tam giác ABC
A
1 2
17
17
B
C
16
+ tam giác ABC
cân,
có
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
17
Trường: THCS Phương trung
�A �A2
�
� 1
AH BC � �
BC
BH CH
8
�
2
�
GV: Lê thị Thu Hoàn
+ xét tam giác
AHC, vuông tại H
ta
có:
AH AC 2 CH 2 17 2 82 15
-
mặt
sin A2
khác:
CH 8
� �A2 �A1 28004' � �A 2�A2 56008'
AC 17
+ xét tam giác
AHB vuông tại H,
ta có:
�B 900 �A1 900 280 04' 61056'
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 11, �ABC 380 ; �ACB 300 . Gọi N là chân đường
vuông góc kẻ từ A đến BC. Tính AN; AC
- xét tam giác ANB vuông tại N, theo hệ thức về cạnh và góc
A
trong tam giác vuông ta có:
AN AB.sin B 11.sin 380 �6, 77
11
C
300
380
B
N
- xét tam giác ANC vuông tại N, theo hệ thức về cạnh và góc
trong tam giác vuông ta có:
AN AC.sin C � AC
AN
6, 77
�13,54
sin C sin 300
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9; HC = 16. Tính góc B,
góc C?
- xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức về cạnh và
đường cao trong tam giác vuông , ta có:
A
AH 2 BH .CH 9.16 144 � AH 12
- xét tam giác AHB, vuông tại H, ta có:
AH 12
� �B 5307 '
BH
9
- mà �B �C 900 � �C 36053'
Bài 5: Cho tam giác ABC có �B 600 , các hình chiếu vuông góc của AB và AC lên BC
9
B
H
16
C
tgB
theo thứ tự bằng 12 và 18. Tính các góc và đường cao của tam giác ABC
A
- xét tam giác AHB vuông tại H
1 2
�B 600 � �A 300 � BH
1
AB � AB 2 BH 2.12 24
2
� AH AB 2 BH 2 242 122 20,8
600
B
12
H
18
C
- xét tam giác AHC, theo hệ thức lượng…
tgC
AH 20,8
� �C 490 06' � �A 1800 �B �C 700 54'
HC
18
- theo hệ thức về cạnh và góc, ta có:
HC AC.cos C � AC
HC
18
�27,5
cos C cos 49006'
Bài 6: Cho hình thang ABCD, có �A �D 900 , đáy nhỏ AB = 4, đáy lớn CD = 8,
AD = 3. Tính BC, �B, �C ?
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
18
Trường: THCS Phương trung
A
GV: Lê thị Thu Hoàn
- kẻ BH vuông góc với CD, suy ra AD = BH = 3;
AB = DH = 4, do đó: CH = 8 – 4 = 4
- xét tam giác BHC vuông tại H, ta có:
B
4
3
H
D
BC BH 2 CH 2 32 42 5
BH 3
sin C �л
C 37 0
BC 5
C
8
- vì ABCD là hình thang nên:
�B �C 1800 � �B 1800 �C 1800 370 1430
Bài 7: Giải các tam giác vuông sau, tam giác ABC vuông tại A biết:
B
a) a = 18; b = 8
0
b) b = 20; �C 38
a
3
4
c
c) tgB ; c 4
C
b
A
LG: a) a = 18; b= 8
AC 8
� �B 230 23' � �C 900 230 23' 63037'
BC 18
AB BC.sin C 18.sin 63037 ' �16,1
b) b = 20; �C 380
sin B
�C 380 � �B 520 ;
AB AC.tgC 20.tg 380 �15, 6;
BC
AC
20
�25, 4
sin B sin 520
3
4
c) tgB ; c 4
3
AC ABtgB 4. 3;
4
c 4
sin C �л�л
0,8
C
a 5
BC
53008'
AB 2 AC 2 32 42 5
B 36052'
*********************************************************
Ngày dạy: …………
ÔN TẬP HÌNH HỌC – CHƯƠNG I
A. Kiến thức cơ bản
1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có :
AH h, BC a, AB c, AC b, BH c ' , CH b ' khi đó :
1) b 2 a.b ' ;
c 2 a.c '
A
2) h 2 b ' .c '
3) b.c a.h
1
1
1
4) 2 2 2
h
b
c
2
2
5) a b c 2 ( Pitago)
b
c
B
h
c'
b'
C
H
a
2. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn
Cho �ABC (00 900 ) ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC, CA của tam
giác ABC vuông tại A như sau :
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
19
Trường: THCS Phương trung
AC
AB
sin
;
cos
BC
BC
AC
AB
tg
;
cot g
AB
AC
GV: Lê thị Thu Hoàn
C
Huyền
Đối
A
3. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác
sin cos ;
�
tg cot g ;
�
- Nếu 900 thì ta có : �
Kề
B
cos sin
cot g tg
- Cho 00 900 . Khi đó
+ 0 < sin, cos < 1
+ sin 2 cos 2 1
sin
cos
1
+ tg cos ;cot g sin ;cot g tg ; tg .cot g 1
4. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
C
a
b
A
B
c
- Cho tam giác ABC vuông
tại A, BC = a; AB = c; AC
= b, ta có:
1
b a.sin B a.cos C
�
�
c a.sin C a.cos B
�
b c.tgB c.cot gC
�
�
c b.tgC b.cot gB
�
2
B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Chứng minh rằng : với là góc nhọn tương ứng trong tam giác ABC, �A 900 thì:
a ) cos 4 sin 4 2 cos 2 1
b) sin sin .cos 2 sin 3
c) tg 2 sin 2 .tg 2 sin 2
d ) cos 2 tg 2 .cos 2 1
sin .sin
LG
a) VT cos sin . cos sin cos sin 2 cos 2 1 cos 2 2 cos2 1 VP
2
2
b) VT sin . 1 cos 2
2
2
2
2
sin 3 VP
sin 2
c) VT tg .(1 sin ) tg .cos
.cos 2 sin 2 VP
2
cos
� sin 2 �
cos 2 sin 2
2
d ) VT cos 2 . 1 tg 2 cos 2 . �
1
cos
.
1 VP
�
2
cos 2
� cos �
2
2
2
2
Bài 2 : Cho tam giác ABC, biết AB = 21 ; AC = 28 ; BC = 35
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
b) Tính sinB, sinC, góc B, góc C và đường cao AH vủa tam giác ABC
LG
AB AC 212 282 1225�
�
2
2
2
a) ta có:
�� BC AB AC do đó theo
2
2
BC 35 1225
�
2
2
định lý đảo của định lý Pi-ta-go tam giác ABC vuông tại A
GIÁO ÁN DẠY BUỔI CHIỀU
20
- Xem thêm -