CHỦ ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y f (x ) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một
đoạn.
Hàm số y
f (x ) đồng biến (tăng) trên K nếu
Hàm số y
f (x ) nghịch biến (giảm) trên K nếu
x 1, x 2
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f (x )
K , x1
x 1, x 2
K , x1
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y
f (x1 )
x2
f (x 2 ) .
f (x1 )
K.
0, x
K.
f (x ) có đạo hàm trên khoảng K .
Nếu f (x )
0, x
K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
Nếu f (x )
0, x
K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
Nếu f (x )
0, x
K thì hàm số không đổi trên khoảng K .
Chú ý.
Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “Hàm số y
đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y
f (x ) liên tục trên
f (x ) liên tục trên đoạn a; b và có đạo
hàm f (x )
0, x
K trên khoảng (a; b) thì hàm số đồng biến trên đoạn a; b .
Nếu f (x )
0, x
K (hoặc f (x )
0, x
f (x 2 ) .
f (x ) có đạo hàm trên khoảng K .
0, x
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f (x )
x2
K ) và f (x )
0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của
K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ).
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x )
Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P(x ) , hoặc giá trị của x làm biểu thức P(x ) không xác định.
Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x ) trên từng khoảng của bảng xét dấu.
2. Xét tính đơn điệu của hàm số y f (x ) trên tập xác định
Bước 1. Tìm tập xác định D.
Bước 2. Tính đạo hàm y
f (x ) .
Bước 3. Tìm nghiệm của f (x ) hoặc những giá trị x làm cho f (x ) không xác định.
Bước 4. Lập bảng biến thiên.
Bước 5. Kết luận.
3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y f (x ) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a;b) cho
trước.
Cho hàm số y f (x, m) có tập xác định D, khoảng (a;b)
Hàm số nghịch biến trên (a;b) y ' 0, x (a;b) .
Hàm số đồng biến trên (a;b) y ' 0, x (a;b) .
a1x
Chú ý: Riêng hàm số y
b1
cx d
Hàm số nghịch biến trên (a;b)
Hàm số đồng biến trên (a;b)
thì :
y'
y'
0, x
0, x
(a;b) .
(a;b) .
* Nhắc lại một số kiến thức liên quan: Cho tam thức g(x )
a). g(x )
0, x
a
0
0
.
D:
ax 2
bx
c (a
b). g(x )
0, x
0)
a
0
0
.
Trang 1 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
c). g(x )
0, x
a
0
0
d). g(x )
.
0, x
a
0
0
.
Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a;b) :
Bước 1: Đưa bất phương trình f (x )
(hoặc g(x )
h(m) ),
x
0 (hoặc f (x )
0 ),
x
(a;b) về dạng g(x )
h(m)
(a;b) .
Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x ) trên (a;b) .
Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.
4. Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình:
Đưa phương trình, hoặc bất phương trình về dạng f (x ) m hoặc f (x ) g(m) , lập bảng biến thiên
của f (x ) , dựa vào BBT suy ra kết luận.
Trang 2 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
Câu 1.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
x 1
Cho hàm số y
. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?
1 x
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 1; .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 1; .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1; .
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1; .
Câu 2.
Câu 3.
Cho hàm số y x3 3x 2 3x 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên .
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1; .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và nghịch biến trên khoảng 1; .
D. Hàm số luôn đồng biến trên .
Cho hàm số y x4 4 x2 10 và các khoảng sau:
(I):
Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.
; 2 ;
2;0 ;
(III):
0; 2 ;
Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A. Chỉ (I).
B. (I) và (II).
C. (II) và (III).
D. (I) và (III).
3x 1
Cho hàm số y
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
4 2 x
A. Hàm số luôn nghịch biến trên .
B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 2; .
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 2; .
Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên ?
A. h( x) x4 4 x2 4 .
B. g ( x) x3 3x2 10 x 1.
4
4
C. f ( x) x5 x3 x .
D. k ( x) x3 10 x cos2 x .
5
3
2
x 3x 5
Hỏi hàm số y
nghịch biến trên các khoảng nào ?
x 1
A. (; 4) và (2; ) .
B. 4; 2 .
C. ; 1 và 1; .
Câu 7.
(II):
Hỏi hàm số y
A. (5; )
D. 4; 1 và 1; 2 .
x3
3x 2 5 x 2 nghịch biến trên khoảng nào?
3
B. 2;3
C. ;1
D. 1;5
3 5
x 3x 4 4 x3 2 đồng biến trên khoảng nào?
5
B. .
C. (0; 2) .
Câu 8.
Hỏi hàm số y
Câu 9.
A. (;0) .
D. (2; ) .
3
2
Cho hàm số y ax bx cx d . Hỏi hàm số luôn đồng biến trên khi nào?
a b 0, c 0
a b 0, c 0
A.
.
B.
.
2
2
a 0; b 3ac 0
a 0; b 3ac 0
a b 0, c 0
a b c 0
C.
.
D.
.
2
2
a
0;
b
3
ac
0
a
0;
b
3
ac
0
3
2
Câu 10. Cho hàm số y x 3x 9 x 15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Trang 3 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1 .
B. Hàm số đồng biến trên .
C. Hàm số đồng biến trên 9; 5 .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng 5; .
Câu 11. Cho hàm số y 3x 2 x 3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 ; 2;3 .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 ; 2;3 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;3 .
Câu 12. Cho hàm số y
7
A. 0;
12
7
C. 0;
12
Câu 13.
Câu 14.
Câu 15.
Câu 16.
x
sin 2 x, x 0; . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
2
11
; .
và
12
7 11
;
và
.
12 12
7 11
B.
;
.
12 12
7 11 11
D.
;
; .
và
12 12 12
2
Cho hàm số y x cos x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn đồng biến trên .
B. Hàm số đồng biến trên k ; và nghịch biến trên khoảng ; k .
4
4
C. Hàm số nghịch biến trên k ; và đồng biến trên khoảng ; k .
4
4
D. Hàm số luôn nghịch biến trên .
Cho các hàm số sau:
1
x 1
(III) : y x 2 4
;
(I) : y x3 x 2 3x 4 ;
(II) : y
3
x 1
(IV) : y x3 4 x sin x ;
(V) : y x4 x2 2 .
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. 5.
Cho các hàm số sau:
(I) : y x3 3x 2 3x 1 ;
(II) : y sin x 2 x ;
x2
(IV) : y
(III) : y x3 2 ;
1 x
Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?
A. (I), (II).
B. (I), (II) và (III).
C. (I), (II) và (IV).
D. (II), (III).
Xét các mệnh đề sau:
(I). Hàm số y ( x 1)3 nghịch biến trên .
x
(II). Hàm số y ln( x 1)
đồng biến trên tập xác định của nó.
x 1
x
(III). Hàm số y
đồng biến trên .
2
x 1
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 0.
Câu 17. Cho hàm số y x 1 x 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Trang 4 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
1
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; .
2
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 1) .
1
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1) và ; .
2
1
1
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; và đồng biến trên khoảng ; .
2
2
Câu 18. Cho hàm số y x 3 2 2 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 và đồng biến trên khoảng 2; 2 .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 và nghịch biến trên khoảng 2; 2 .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và nghịch biến trên khoảng 1; 2 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 và đồng biến trên khoảng 1; 2 .
Câu 19. Cho hàm số y cos 2 x sin 2 x.tan x, x ; . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
2 2
đúng?
A. Hàm số luôn giảm trên ; .
2 2
B. Hàm số luôn tăng trên ; .
2 2
C. Hàm số không đổi trên ; .
2 2
æ p ö
D. Hàm số luôn giảm trên ç - ;0÷
è 2 ø
Câu 20. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y
xm2
giảm trên các khoảng
x 1
mà nó xác định ?
A. m 3 .
B. m 3 .
C. m 1 .
D. m 1 .
Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn nghịch biến trên
1
y x3 mx 2 (2m 3) x m 2
3
A. 3 m 1 .
B. m 1 .
C. 3 m 1 .
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y
?
D. m 3; m 1 .
x (m 1) 2m 1
tăng trên
xm
2
từng khoảng xác định của nó?
A. m 1 .
B. m 1 .
C. m 1 .
D. m 1 .
Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y f ( x) x m cos x luôn đồng
biến trên ?
3
1
.
C. m 1 .
D. m .
2
2
Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y (m 3) x (2m 1) cos x luôn
A. m 1 .
nghịch biến trên
B. m
?
m 3
2
.
B. m 2 .
C.
.
D. m 2 .
3
m 1
Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn đồng biến trên
A. 4 m
?
Trang 5 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
y 2 x3 3(m 2) x2 6(m 1) x 3m 5
A. 0.
B. –1 .
C. 2.
Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m sao cho hàm số y
?
A. m 5 .
D. 1.
3
x
mx 2 mx m luôn đồng biến trên
3
C. m 1 .
D. m 6 .
(m 3) x 2
Câu 27. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y
luôn nghịch biến trên các khoảng
xm
xác định của nó?
A. m 1 .
B. m 2 .
C. m 0 .
D. Không có m .
mx 4
Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y
giảm trên khoảng
xm
;1 ?
B. m 0 .
A. 2 m 2 .
B. 2 m 1 .
C. 2 m 1 .
D. 2 m 2 .
3
Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x 6 x 2 mx 1 đồng biến trên
khoảng 0; ?
A. m 0 .
B. m 12 .
C. m 0 .
D. m 12 .
4
Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x 2(m 1) x 2 m 2 đồng biến
trên khoảng (1;3) ?
A. m 5; 2 .
B. m ; 2 .
C. m 2, .
D. m ; 5 .
1
1
Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x 3 mx 2 2mx 3m 4
3
2
nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3?
A. m 1; m 9 .
B. m 1 .
C. m 9 .
D. m 1; m 9 .
tan x 2
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y
đồng biến trên khoảng
tan x m
0; 4 ?
A. 1 m 2 .
B. m 0;1 m 2 . C. m 2 .
D. m 0 .
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y f ( x)
mx3
7mx 2 14 x m 2
3
giảm trên nửa khoảng [1; ) ?
14
14
14
14
A. ; .
B. ; .
C. 2; .
D. ; .
15
15
15
15
4
2
Câu 34. Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x (2m 3) x m nghịch biến
p
p
trên khoảng 1; 2 là ; , trong đó phân số
tối giản và q 0 . Hỏi tổng p q là?
q
q
A. 5.
B. 9.
C. 7.
D. 3.
x 2 2mx m 2
Câu 35. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y
đồng
xm
biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. Hai.
B. Bốn.
C. Vô số.
D. Không có.
Trang 6 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
Câu 36. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
m
sao cho hàm số
2 x (1 m) x 1 m
đồng biến trên khoảng (1; ) ?
xm
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số và sao
2
y
x3 1
3
y f ( x)
(sin cos )x 2 x sin cos 2 luôn giảm trên
3
2
2
k
cho
hàm
số
?
k , k và 2 .
4
5
B.
k
k , k và 2 .
12
12
A.
12
k , k và 2 .
4
5
D.
k , k và 2 .
12
Câu 38. Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y f ( x) 2 x a sin x bcosx luôn
tăng trên ?
C.
1 1
1 2
B. a 2b 2 3 .
C. a 2 b2 4 .
D. a 2b
.
1.
3
a b
Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x3 3x2 9 x m 0 có đúng 1
nghiệm?
A. 27 m 5 .
B. m 5 hoặc m 27 .
C. m 27 hoặc m 5 .
D. 5 m 27 .
Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2 x 1 x m có nghiệm
thực?
A. m 2 .
B. m 2 .
C. m 3 .
D. m 3 .
A.
Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình
đúng 2 nghiệm dương?
x2 4 x 5 m 4 x x 2 có
A. 1 m 3 .
B. 3 m 5 .
C. 5 m 3 .
D. 3 m 3 .
Câu 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình:
x2 3x 2 0 cũng là nghiệm của bất phương trình mx2 m 1 x m 1 0 ?
A. m 1 .
Câu 43. Tìm
tất
cả
các
4
B. m .
7
giá trị thực
4
C. m .
7
của tham số
D. m 1 .
m
sao
cho
phương
trình:
log32 x log32 x 1 2m 1 0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn 1;3 3 ?
A. 1 m 3 .
B. 0 m 2 .
C. 0 m 3 .
D. 1 m 2 .
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2 mx 2 2 x 1 có hai
nghiệm thực?
7
3
9
A. m .
B. m .
C. m .
D. m .
2
2
2
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 3 x 1 m x 1 2 4 x 2 1 có
hai nghiệm thực?
1
1
1
1
A. m 1 .
B. 1 m .
C. 2 m .
D. 0 m .
3
4
3
3
Trang 7 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
1
(1 2 x)(3 x) m 2 x 2 5x 3 nghiệm đúng với mọi x ;3 ?
2
A. m 1 .
B. m 0 .
C. m 1 .
D. m 0 .
Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
3
1 x 3 x 2 (1 x)(3 x) m nghiệm đúng với mọi x [ 1;3] ?
A. m 6 .
Câu 48. Tìm tất cả
B. m 6 .
giá trị thực
các
của
C. m 6 2 4 .
D. m 6 2 4 .
tham số m sao cho bất phương
trình
3 x 6 x 18 3x x 2 m 2 m 1 nghiệm đúng x 3,6 ?
A. m 1 .
B. 1 m 0 .
C. 0 m 2 .
D. m 1 hoặc m 2 .
Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho
m.4 x m 1.2 x 2 m 1 0 nghiệm đúng x ?
A. m 3 .
C. 1 m 4 .
B. m 1 .
bất
phương
trình
D. m 0 .
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình: x 3 3mx 2
1
x3
nghiệm đúng x 1 ?
1
3
2
2
3
A. m .
B. m .
C. m .
D. m .
3
2
3
3
2
2
2
2
Câu 51. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho bất phương trình 2cos x 3sin x m.3cos x có
nghiệm?
A. m 4 .
B. m 8 .
C. m 12 .
D. m 16 .
Câu 52. Bất phương trình
2 x3 3x2 6 x 16 4 x 2 3 có tập nghiệm là a; b . Hỏi tổng a b
có giá trị là bao nhiêu?
A. 2 .
B. 4.
Câu 53. Bất phương trình
C. 5.
D. 3.
x 2 x 3 x 6 x 11 3 x x 1 có tập nghiệm a; b . Hỏi hiệu
2
b a có giá trị là bao nhiêu?
A. 1.
B. 2.
2
C. 3.
D. 1 .
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D A D B C D D B A B B A A C A A B C C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A B A A A C D C D B A B B C C D B C C B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53
B C B C D D D D B A A C A
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn D.
2
TXĐ: D \ 1 . Ta có y '
0, x 1
(1 x)2
Hàm số đồng biến trên các khoảng (;1) và (1; )
Câu 2. Chọn A.
TXĐ: D . Ta có y ' 3x2 6 x 3 3( x 1)2 0 , x
Trang 8 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
Câu 3.
Chọn D.
TXĐ: D
x 0
. y ' 4 x3 8x 4 x(2 x 2 ) . Giải y ' 0
x 2
Trên các khoảng ; 2 và 0; 2 , y ' 0 nên hàm số đồng biến.
Câu 4.
Chọn B.
TXĐ: D
\ 2 . Ta có y '
10
0, x D .
(4 2 x)2
Câu 5.
Chọn C.
Câu 6.
Ta có: f '( x) 4 x4 4 x2 1 (2 x2 1)2 0, x
Chọn D.
.
x 2
x2 2x 8
. Giải y ' 0 x 2 2 x 8 0
2
( x 1)
x 4
y ' không xác định khi x 1 . Bảng biến thiên:
x
4
1
2
–
–
0
0
y
11
y
TXĐ: D
Câu 7.
\ 1 . y '
1
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 4; 1 và 1; 2
Chọn D.
x 1
TXĐ: D . y ' x 2 6 x 5 0
x 5
Trên khoảng 1;5 , y ' 0 nên hàm số nghịch biến
Câu 8. Chọn B.
TXĐ: D . y ' 3x4 12 x3 12 x2 3x2 ( x 2)2 0 , x
Câu 9. Chọn A.
a b 0, c 0
y ' 3ax 2 2bx c 0, x
2
a 0; b 3ac 0
Câu 10. Chọn B.
TXĐ: D
Câu 11. Chọn B.
. Do y ' 3x2 6 x 9 3( x 1)( x 3) nên hàm số không đồng biến trên
HSXĐ: 3x2 x3 0 x 3 suy ra D (;3] . y '
x 0
Giải y ' 0
. y ' không xác định khi
x 2
Bảng biến thiên:
x
0
||
y
y
0
6 x 3x 2
2 3x 2 x3
.
, x ;3 .
x 0
.
x 3
2
0
2
3
||
0
Hàm số nghịch biến (;0) và (2;3) . Hàm số đồng biến (0; 2)
Câu 12. Chọn A.
Trang 9 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
x k
1
1
12
TXĐ: D . y ' sin 2 x . Giải y ' 0 sin 2 x
, k
7
2
2
x
k
12
11
7
Vì x 0; nên có 2 giá trị x
và x
thỏa mãn điều kiện.
12
12
Bảng biến thiên:
7
11
x 0
12
12
0
0
y ||
||
y
7 11
Hàm số đồng biến 0;
;
và
12 12
Câu 13. Chọn A.
TXĐ: D ; y 1 sin 2x 0 x suy ra hàm số luôn đồng biến trên
Câu 14. Chọn C .
(I): y x2 2 x 3 x 1 2 0, x .
2
x
2
x 1
(II): y
(III): y x 2 4
0, x 1
2
2
x 1 ( x 1)
x 4
2
3
(IV): y 3x 4 cos x 0, x
(V): y 4 x 2 x 2 x(2 x 2 1)
Câu 15. Chọn A.
(I): y ' ( x3 3x2 3x 1) ' 3x2 6 x 3 3( x 1)2 0, x ;
(II): y ' (sin x 2 x)' cos x 2 0, x ;
(III) y
x3 2
3x 2
2 x 2
1
x 2 x 2
(IV) y '
0, x 1
(1 x)2
1 x x 1
Câu 16. Chọn A.
0, x 3 2; ;
3
(I) y ( x 1)3 3( x 1)2 0, x
x
x
(II) y ln( x 1)
0, x 1
x 1 x 12
1. x 1 x.
2
(III) y
Câu 17. Chọn B.
2 x 1 khi
y
2 x 1 khi
x 1
2
x 1
2
x
x 2 1 x.
2
1
x 1
0, x
2
x 1
x2 1 x2 1
x 1
1
; y 0 x
x 1
2
Trang 10 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
x
1
y
||
1
2
0
y
Câu 18. Chọn C.
2 x 1
, x ; 2 .
2 x
Giải y 0 2 x 1 x 1 ; y ' không xác định khi x 2
Bảng biến thiên:
x
1
y
0
6
y
TXĐ: D ; 2 . Ta có y
2
||
5
Câu 19. Chọn C.
Xét trên khoảng ; .
2 2
Ta có: y cos 2 x sin 2 x.tan x
cos 2 x.cos x sin 2 x.sin x
1 y 0
cos x
Hàm số không đổi trên ; .
2 2
Câu 20. Chọn D
Tập xác định: D
\ 1 . Ta có y
m 1
x 12
Để hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định y 0, x 1 m 1
Câu 21. Chọn A
. Ta có y x2 2mx 2m 3 . Để hàm số nghịch biến trên
a y 0
1 0 (hn)
2
3 m 1
0
m 2m 3 0
Tập xác định: D
y 0, x
thì
Câu 22. Chọn B.
x 2 2mx m2 m 1
( x m)2
Để hàm số tăng trên từng khoảng xác định của nó
Tập xác định: D
\ m . Ta có y
1 0(hn)
m 1
y 0, x D x2 2mx m2 m 1 0, x D
m 1 0
Câu 23. Chọn A.
Tập xác định: D . Ta có y 1 m sin x .
Hàm số đồng biến trên y ' 0, x m sin x 1, x
Trường hợp 1: m 0 ta có 0 1, x . Vậy hàm số luôn đồng biến trên
1
1
Trường hợp 2: m 0 ta có sin x , x 1 m 1
m
m
1
1
Trường hợp 3: m 0 ta có sin x , x 1 m 1
m
m
Trang 11 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
Vậy m 1
Câu 24. Chọn A.
Tập xác định: D . Ta có: y ' m 3 (2m 1)sin x
Hàm số nghịch biến trên y ' 0, x (2m 1)sin x 3 m, x
7
1
Trường hợp 1: m ta có 0 £ ,"x Î . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên .
2
2
1
3 m
3 m
Trường hợp 2: m ta có sin x
, x
1
2
2m 1
2m 1
3 m 2m 1 m 4
1
Trường hợp 3: m ta có:
2
2
3 m
3 m
2
sin x
, x
1 3 m 2m 1 m . Vậy m 4;
3
2m 1
2m 1
3
Câu 25. Chọn A.
x 1
Tính nhanh, ta có f ( x) 0 6 x 2 6 m 2 x 6 m 1 0
x m 1
Phương trình f ( x) 0 có nghiệm kép khi m 0 , suy ra hàm số luôn đồng biến trên .
Trường hợp m 0 , phương trình f ( x) 0 có hai nghiệm phân biệt (không thỏa yêu cầu bài
toán).
Câu 26. Chọn C.
Tập xác định: D
. Ta có y x2 2mx m
1 0(hn)
2
1 m 0
m
m
0
Vậy giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đồng biến trên
là m 1
Câu 27. Chọn D.
Hàm số đồng biến trên
Tập xác định: D
y 0, x
\ m . Ta có y
m2 3m 2
x m 2
Yêu cầu đề bài y 0, x D m2 3m 2 0 2 m 1
Vậy không có số nguyên m nào thuộc khoảng 2; 1 .
Câu 28. Chọn C
Tập xác định D
\ m . Ta có y
m2 4
x m 2
. Để hàm số giảm trên khoảng ;1
m2 4 0
y 0, x ;1
2 m 1
1 m
Câu 29. Chọn D.
Cách 1:Tập xác định: D
Trường hợp 1:
. Ta có y 3x2 12 x m
3 0 (hn)
m 12
36 3m 0
Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên 0; y 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa
Hàm số đồng biến trên
y 0, x
x1 x2 0 (*)
Trường hợp 2.1: y 0 có nghiệm x 0 suy ra m 0 . Nghiệm còn lại của y 0 là
x 4 (không thỏa (*))
Trang 12 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
Trường hợp 2.2: y 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa
36 3m 0
0
x1 x2 0 S 0 4 0(vl ) không có m .Vậy m 12
m
P 0
0
3
Cách 2:Hàm số đồng biến trên 0; m 12 x 3x 2 g ( x), x (0; ) .
Lập bảng biến thiên của g ( x) trên 0; .
2
x 0
+
g
0
+∞
–
12
g
–∞
0
Câu 30. Chọn B.
Tập xác định D
. Ta có y ' 4 x3 4(m 1) x .
Hàm số đồng biến trên (1;3) y ' 0, x (1;3) g ( x) x2 1 m, x (1;3) .
Lập bảng biến thiên của g ( x) trên (1;3) .
x 1
3
+
0
g
10
g
2
Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m min g ( x) m 2 .
Câu 31. Chọn A.
Tập xác định: D . Ta có y x2 mx 2m
Ta không xét trường hợp y 0, x vì a 1 0
Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 y 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa
2
m 1
0 m 8m 0
m 8 hay m 0
x1 x2 3
m 9
2
2
2
m
8
m
9
x
x
9
S
4
P
9
1
2
Câu 32. Chọn B.
æ pö
+) Điều kiện tan x ¹ m. Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên ç 0; ÷ là mÏ 0;1
è 4ø
( )
+) y' =
2- m
.
cos x(tan x - m)2
2
æ pö
1
> 0"x Îç 0; ÷ ;mÏ( 0;1)
2
è 4ø
cos x(tan x - m)
ìy' > 0
ì-m+ 2 > 0
æ pö
+) Để hs đồng biến trên ç 0; ÷ Û í
Ûí
Û m£ 0 hoặc 1 m 2
è 4ø
mÏ(0;1)
m£
0;m³
1
î
î
Câu 33. Chọn B.
Tập xác định D , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình
+) Ta thấy:
2
Trang 13 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
mx2 14mx 14 0, x 1 , tương đương với g ( x)
14
m (1)
x 14 x
2
Dễ dàng có được g ( x) là hàm tăng x 1; , suy ra min g ( x) g (1)
x1
Kết luận: (1) min g ( x) m
x1
14
15
14
m
15
Câu 34. Chọn C.
Tập xác định D
. Ta có y 4 x3 2(2m 3) x .
3
g ( x), x (1; 2) .
2
Lập bảng biến thiên của g ( x) trên (1; 2) . g ( x) 2 x 0 x 0
Bảng biến thiên
x 1
2
+
0
g
11
5
2
g
2
Hàm số nghịch biến trên (1; 2) y 0, x (1; 2) m x 2
Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m min g ( x) m
5
. Vậy p q 5 2 7 .
2
Câu 35. Chọn C.
x 2 2mx 2m2 m 2
g ( x)
.
2
( x m)
( x m)2
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi g ( x) 0, x D .
m 1
Điều kiện tương đương là g ( x ) m2 m 2 0
m 2
Kết luận: Có vô số giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 36. Chọn D.
Tập xác định D
\ m . Ta có y
2 x 2 4mx m2 2m 1
g ( x)
2
( x m)
( x m)2
Hàm số đồng biến trên (1; ) khi và chỉ khi g ( x) 0, x 1 và m 1 (1)
Tập xác định D
\ m . Ta có y
Vì g 2(m 1)2 0, m nên (1) g ( x) 0 có hai nghiệm thỏa x1 x2 1
2 g (1) 2(m2 6m 1) 0
m 3 2 2 0, 2 .
Điều kiện tương đương là S
m 1
2
Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 37. Chọn B.
Điều kiện xác định: 2
1
Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình sin 2 1
2
5
k
k , k và 2 .
Kết luận:
12
12
Câu 38. Chọn C.
Tập xác định D . Ta có: y 2 acosx b sin x
Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có 2 a 2 b2 y 2 a 2 b2
Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình
Trang 14 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
y 0, x 2 a 2 b2 0 a 2 b2 4 .
Câu 39. Chọn C.
(1) m x3 3x2 9 x f ( x) . Bảng biến thiên của
x
1
0
y
5
y
Từ đó suy ra pt có đúng 1 nghiệm khi m 27 hoặc
Câu 40. Chọn B.
f ( x) trên .
3
0
27
m5
Đặt t x 1, t 0 . Phương trình thành: 2t t 2 1 m m t 2 2t 1
Xét hàm số f (t ) t 2 2t 1, t 0; f (t ) 2t 2
Bảng biến thiên của f t :
t
f t
0
f t
1
0
2
1
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi m 2 .
Câu 41. Chọn B
x2
Đặt t f ( x) x 2 4 x 5 . Ta có f ( x)
. f ( x) 0 x 2
x2 4 x 5
Xét x 0 ta có bảng biến thiên
x
0
2
0
f x
5
f x
1
Khi đó phương trình đã cho trở thành m t 2 t 5 t 2 t 5 m 0 (1).
Nếu phương trình (1) có nghiệm t1 , t2 thì t1 t2 1 . (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t 1 .
Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1
nghiệm t 1; 5 . Đặt g (t ) t 2 t 5 . Ta đi tìm m để phương trình g (t ) m có đúng 1
nghiệm t 1; 5 . Ta có g (t ) 2t 1 0, t 1; 5 .
Bảng biến thiên:
t
1
g t
5
5
g t
3
Từ bảng biến thiên suy ra 3 m 5 là các giá trị cần tìm.
Câu 42. Chọn C.
Bất phương trình x2 3x 2 0 1 x 2 .
Bất phương trình mx2 m 1 x m 1 0 m( x 2 x 1) x 2 m
x 2
x x 1
2
Trang 15 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
x 2
x 2 4x 1
Xét hàm số f ( x) 2
với 1 x 2 . Có f ( x) 2
0, x [1;2]
x x 1
( x x 1)2
4
Yêu cầu bài toán m max f ( x) m
[1;2]
7
Câu 43. Chọn B.
Đặt t log32 x 1 . Điều kiện: t 1 .
Phương trình thành: t 2 t 2m 2 0 (*) . Khi x 1;3 3 t [1; 2]
2
t t 2
(*) f (t )
m . Bảng biến thiên :
2
t
2
1
f t
2
f t
0
Từ bảng biến thiên ta có : 0 m 2
Câu 44. Chọn C
1
Điều kiện: x
2
Phương trình
x2 mx 2 2 x 1 3x2 4 x 1 mx (*)
3x 2 4 x 1
x
2
2
3x 1
3x 4 x 1
1
Xét f ( x)
. Ta có f ( x)
0 x ; x 0
2
x
x
2
Bảng biến thiên
x
1
0
2
+
+
f x
Vì x 0 không là nghiệm nên (*) m
f x
9
2
Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì m
9
.
2
Câu 45. Chọn D.
Điều kiện : x 1
Pt 3
4 2
x 1
x 1
x 1
x 1
3
m 24
m2
4
x 1
x 1
x 1
( x 1)2
x 1
với x 1 ta có 0 t 1 . Thay vào phương trình ta được m 2t 3t 2 f (t )
x 1
1
Ta có: f (t ) 2 6t ta có: f (t ) 0 t
3
Bảng biến thiên:
t
4
Trang 16 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
t
1
3
0
1
3
0
f t
f t
0
1
1
Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm khi 0 m
1
3
Câu 46. Chọn D.
7 2
1
Đặt t (1 2 x)(3 x) khi x ;3 t 0;
4
2
Thay vào bất phương trình ta được f (t ) t 2 t m
Bảng biến thiên
t
7 2
4
0
f t
49 14 2
8
f t
0
Từ bảng biến thiên ta có : m 0
Câu 47. Chọn D.
Đặt t 1 x 3 x t 2 4 2 (1 x)(3 x) 2 (1 x)(3 x) t 2 4
Với x [ 1;3] t [2; 2 2] . Thay vào bất phương trình ta được: m t 2 3t 4
3
Xét hàm số f (t ) t 2 3t 4; f (t ) 2t 3 ; f (t ) 0 t 2
2
t
2
2 2
f t
6
f t
6 2 4
Từ bảng biến thiên ta có m 6 2 4 thỏa đề bài
Câu 48. Chọn D.
Đặt t 3 x 6 x 0 t 2 3 x 6 x 9 2 3 x 6 x
2
9 t 2 9 2 3 x 6 x 9 3 x 6 x 18
18 3x x 2 3 x 6 x 1 t 2 9 ; t 3;3 2
2
Xét f t 1 t 2 t 9 ; f t 1 t 0; t 3;3 2 max f t f 3 3
3;3 2
2
2
ycbt max f t 3 m 2 m 1 m 2 m 2 0 m 1 hoặc m 2
3;3 2
Câu 49. Chọn B
Đặt t 2 x 0 thì m.4 x m 1 .2 x2 m 1 0 , đúng x
m.t 2 4 m 1 .t m 1 0, t 0 m t 2 4t 1 4t 1, t 0
Trang 17 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
4t 1 m, t 0 .
t 2 4t 1
2
Ta có g t 4t 2t 2 0 nên g t nghịch biến trên 0;
t 2 4t 1
ycbt max g t g 0 1 m
g t
t 0
Câu 50. Chọn A.
Bpt 3mx x 3 13 2, x 1 3m x 2 14 2 f x , x 1 .
x
x
x
x
Ta có f x 2 x 45 22 2 2 x 45 22 4 22 2 0 suy ra f x tăng.
x
x
x
x
Ycbt f x 3m, x 1 min f x f 1 2 3m 2 m
3
x 1
Câu 51. Chọn A.
2
(1)
3
cos2 x
1
3
9
t
cos2 x
m . Đặt t cos2 x,0 t 1
t
t
t
2
1
2
1
(1) trở thành 3 m (2). Đặt f (t ) 3 .
3
9
3
9
Ta có (1) có nghiệm (2) có nghiệm t [0;1] m Max f (t ) m 4
t[0;1]
Câu 52. Chọn C
Điều kiện: 2 x 4 . Xét f ( x) 2 x3 3x 2 6 x 16 4 x trên đoạn 2; 4 .
Có f ( x)
3 x 2 x 1
1
0, x 2; 4 .
2 4 x
2 x 3x 6 x 16
Do đó hàm số đồng biến trên 2; 4 , bpt f ( x) f (1) 2 3 x 1 .
3
2
So với điều kiện, tập nghiệm của bpt là S [1;4] a b 5.
Câu 53. Chọn A.
Điều kiện: 1 x 3 ; bpt
x 1
2
2 x 1
Xét f (t ) t 2 2 t với t 0 . Có f '(t )
t
3 x
2 3 x
1
0, t 0 .
2 t 2 2 t
Do đó hàm số đồng biến trên [0; ) . (1) f ( x 1) f (3 x) x 1 3 x 2
So với điều kiện, bpt có tập nghiệm là S (2;3] .
2
2
Trang 18 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
CHỦ ĐỀ 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y
+ Nếu tồn tại số h
f (x ) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x 0
(a; b) .
0 sao cho f (x )
f (x 0 ) với mọi x
(x 0
h; x 0
h ) và x
x 0 thì ta nói hàm số f (x )
0 sao cho f (x )
f (x 0 ) với mọi x
(x 0
h; x 0
h ) và x
x 0 thì ta nói hàm số f (x )
đạt cực đại tại x 0 .
+ Nếu tồn tại số h
đạt cực tiểu tại x 0 .
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y
hàm trên K hoặc trên K \ {x 0 } , với h
+ Nếu f '(x )
0 trên khoảng (x 0
f (x ) liên tục trên K
(x 0
h ) và có đạo
h; x 0
0.
h; x 0 ) và f '(x )
0 trên (x 0 ; x 0
h ) thì x 0 là một điểm cực đại của hàm
số f (x ) .
+ Nếu f '(x )
0 trên khoảng (x 0
h; x 0 ) và f (x )
0 trên (x 0 ; x 0
h ) thì x 0 là một điểm cực tiểu của
hàm số f (x ) .
x
f ( x)
Minh họa bằng bảng biến thiến
x0 h
x0 h
x0
x
f ( x)
fCÑ
f ( x)
x0 h
f ( x)
x0 h
x0
fCT
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f (x ) . Tìm các điểm tại đó f (x ) bằng 0 hoặc f (x ) không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính f (x ) . Giải phương trình f (x ) và ký hiệu x i (i 1, 2, 3,...) là các nghiệm.
Bước 3. Tính f (x ) và f (x i ) .
Bước 4. Dựa vào dấu của f (x i ) suy ra tính chất cực trị của điểm x i .
2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y
Ta có y
3ax 2
2bx
ax 3
bx 2
cx
d (a
0 ).
c
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y
0 có hai nghiệm phân biệt
Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị liên quan tới: y
b2
3ac
0.
y .y
(CASIO hỗ trợ).
18a
3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.
Cho hàm số: y ax 4 bx 2 c ( a 0 ) có đồ thị là (C ) .
x
Ta có y
4ax 3
2bx ; y
(C ) có ba điểm cực trị y
0
x2
0
b
2a
0 có 3 nghiệm phân biệt
b
2a
0
Trang 1 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
Hàm số có 3 cực trị là: A(0; c), B
b
;
2a
Độ dài các đoạn thẳng: AB
b4
16a 2
AC
4a
,C
b
, BC
2a
b
;
2a
4a
.
b
.
2a
2
CÔNG THỨC TÍNH NHANH
Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện
Dữ kiện
STT
Công thức thỏa ab
Tam
giác
vuông
cân
tại
ABC
A
1
8a b 3 0
Tam giác ABC đều
2
24a b 3 0
tan
3
Tam giác ABC có góc BAC
4
Tam giác ABC có diện tích S
5
Tam giác ABC có diện tích max (S 0 )
ABC
b5
b2
r0
7
Tam giác ABC có độ dài cạnh BC
8
Tam giác ABC có độ dài AB
AC
9
Tam giác ABC có cực trị B,C
Ox
10
11
12
Tam giác ABC có 3 góc nhọn
Tam giác ABC có trọng tâm O
Tam giác ABC có trực tâm O
13
Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R
14
15
16
17
Tam giác
Tam giác
Tam giác
Tam giác
18
Trục hoành chia ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau
19
Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành
20
Phương trình đường tròn ngoại tiếp
r0
ABC
a 1
16a 2n02
n0
b
b
R
R0
ABC
ABC cùng điểm O tạo hình thoi
ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp
ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp
3
b )
0
0
0
6ac 0
8a 4ac 0
b3
8a
8ab
b 2 2ac 0
b 3 8a 4abc 0
b 3 8a 8abc 0
3 2
b .k
8a(k 2 4) 0
k.AC
ABC là: x 2
3
0
8ab
4ac
b(8a
2
2b
b4
b2
b3
a
1
a.m02
m0
0
b5
32a 3
S0
Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r
k.AB
2
32a (S 0 )2
6
ABC có cạnh BC
8a
b3
3
S0
0
y2
2
b
4a
b2
c y
4 2 ac
b 2 8ac 0
2
c
0
b 4a
Trang 2 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file word
- Xem thêm -
.PDF 
941 
77 
128 
