Tài liệu Chuyên đề phép chia hết, phép chia có dư

 Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ PHÉP CHIA HẾT, PHÉP CHIA CÓ DƯ Thanh Hóa, tháng 9 năm 2019 1 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH THỪA SỐ ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN CHIA HẾT A. LÝ THUYẾT 1. Phép chia hết Với a, b là số TN và b khác 0. Ta nói a chia hết b nếu tồn tại số TN q sao cho a = b.q 2. Tính chất chung a ⋮ b và b ⋮ c thì a ⋮ c a ⋮ a với mọi a khác 0 0 ⋮ b với mọi b khác 0 Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1 3. Tính chất chia hết của tổng , hiệu - Nếu a, b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m và a - b chia hết cho m - Tổng của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m - Nếu 1 trong 2 số a, b chia hết cho m số kia không chia hết cho m thì tổng , hiệu của chúng không chia hết cho m 4. Tính chất chia hết của 1 tích - Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n - Nếu a chia hết cho b thì: an ⋮ bn *) Chú ý +) a  b (a  b)n  2 n +) a  b (a  b)n chẵn n n n B. BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh rằng b. B = abcabc(a  0) 7,11,13 a. A= 2727 + 377 chia hết cho 82 Lời giải: a. A= (3 )  3  3  3  3 (3  1)  82.3 3 27 77 81 77 77 4 77 82 b. abcabc  abc000  abc  1000.abc  abc  1001.abc  7.11.13.abc(dpcm) Bài 2: Chứng minh rằng a. 5  5  5 7 5 4 b. 10  5 59 3 6 d. 10  10  10 555va222 9 Sưu tầm 8 7 n2 e. 3 7  2n2  3n  2n 10 c. 81  27  9 7 9 f. 16  2 5 15 13 45 33 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2 Website:tailieumontoan.com Lời giải: a. 5  5  5  5 (5  5  1)  5 .21 7 5 4 3 3 2 b. 10  5  (2.5)  5  5 (2  5)  59.5 59 3 6 7 6 c. 81  27  9  3 3  3  3 (3  3  1)  5.3 7 9 13 28 27 26 26 2 26 7 6 6 6 5.32 d. 109  108  107  107 (102  10  1)  111.107  111.(2.5)7  222.26.57 222( 555.27.56 555) n2 n2 n n n 2 n 2 n n e. 3  2  3  2  3 (3  1)  2 (2  1)  10.3  5.2 10 f. 16  2  2  2  2 (2  1)  33.2 5 15 20 15 15 5 15 Bài 3: Cho A = 1  2  2  2  ...  2 2 3 99 10 33 hoặc = 2100 – 1. Chứng minh rằng: A chia hết cho 3, 15, 31 Lời giải: A có 100 số hạng a. A= (1  2)  (22  23 )  ...  (298  299 )  3  22 (1  2)  ...  298 (1  2)  3.(1  22  24  ...  298 ) 3 b. A = (1  2  2  2 )  (2  2  2  2 )  ...(2  ...  2 )  15(1  2  ...  2 ) 15 2 3 4 5 6 7 Bài 4: Cho M  1  3  3  3  ...  3 2 3 118 96 99 4 96  3119.CMR : M 13 Lời giải: Ta có: M  (1  3  32 )  (33  34  35 )  ...  (3117  3118  3119 )  (1  3  32 )  33 (1  3  32 )  ...  3117 (1  3  32 )  13  33.13  ...  13.3117  13.(1  33  ...  3117 ) 13 Bài 5: a. Chứng minh rằng: Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 còn tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 b. Tổng của 5 số chẵn liên tiếp chia hết cho 10 , tổng của 5 số lẻ liên tiếp chia 10 dư 5 Lời giải: n  n  1  n  2  (3n  3) 3n  N 4n  6 / 4n  N a.  b. 2k  2k  2  2k  4  2k  6  2k  8  10k  20 10k  N Bài 6 : Cho S = 3  3  ...3 2 Sưu tầm 4 998  31000 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 3 Website:tailieumontoan.com a. Tính S b. Chứng minh rằng : S chia cho 7 dư 6 Lời giải: a. S= 3  3  ...3 2 4 998  31000 (100sohang ) 32.S  34  36  ...3998  31000  31002  (32  1).S  31002  32  S  31002  32 32  1 b. Nhóm 3 hạng tử với nhau vậy dư 2 hạng tử S= (3  3 )  (3  3  3 )  ...  (3  3  3 2 4 6 8 90 7 du 6 10 96 98 7 100 ) 7 c. A = (1  2  2  2  2 )  ...  (2  .....  22 )  31(1  2  2  ...  2 ) 31 2 3 4 95 Bài 7: Cho B = 3  3  3  ...  3 2 3 100 99 5 9 95 ( có 100 số hạng ) a. Chứng minh rằng B chia hết cho 120 b. Tìm số dư khi chi B cho 82. Lời giải: a. B = (3  3  3  3 )  ...  (3  3  3  3 2 3 4 97 120 98 99 100 ) 120 b. Nhận xét: 30 + 34 = 82 Tổng hai lũy thừa cách nhau 4 số hạng chia hết cho 82  Ta nhóm 8 số hạng một nhóm  dư 4 số hạng Lời Giải: B = (3  3  3  3 )  (3  ...3 )  ...  (3  ...  3 ) 2 3 4 5 k 1 Ta đi chứng minh: 3  3 k 12 93 100  ...  3k 7 82 Thật vậy: (3k  3k 4 )  (3k 1  3k 5 )  (3k 3  3k 27 )  (3k  3k 1  3k 2  3k 3 )(1  34 ) 82(dung ) Vậy số dưu khi chia B cho 82 là số dư của 4 hạng tử còn lại là: 3  3  3  3 cho 82. 2 3 4 Kết luận: số dư là 38 Bài 8 : Chứng minh rằng : a. Nếu ab  cd  eg chia hết cho 11 thì abc deg cũng chia hết cho 11, điều ngược lại có đúng không? b. Nếu abc  deg 7 thì abc deg cũng chia hết cho 7 Lời giải: Ta có: abc deg  10000.ab  100.cd  eg  9999.ab  99.cd  ab  cd  eg  abc deg 11 11 Sưu tầm 11 11 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 4 Website:tailieumontoan.com Điều ngược lại cũng đúng b. abc deg  1000abc  deg  1001abc  abc  deg  1001abc  (abc  deg)  abc deg 7 7 7 Điều ngược lại cũng đúng. Bài 9: Cho n là STN khác 0, CMR: n  (n  1) (n  2) 9 3 3 3 Lời giải: A  3n(n  1)(n  1)  9n 2  18n  9 (dpcm) 9 3 9 Bài 10 : Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khi viết tiếp số đó vào 2015 ta được một số chia hết cho 113 Lời giải: Giả sử n có k chữ số Theo bài ra ta có : 2015n 113 Có : 2015n  2015. 10  n  (17.13  94).10k  n  2015n 13  94.10k  n 113(1) k kchuso 0 +) Nếu k = 1  (1)  94.10  n 113  8.113  36  n 113  36  n 113 Mà 0 < n ≤ 9  36  n /113(loai) +) Nếu k = 2  (1)  94.10  n 113  8.113  21  n 113  21  n 113 2 Mà 10 ≤ n ≤ 99  21  n  113  n  92 Vậy n = 92. Bài 11: Cho C = 1  3  3  3  ...  3 , CMR : 2 3 11 a. C chia hết cho 13 b. C chia hết cho 40 Lời giải: a. C  (1  3  3 )  (3  3  3 )  ...  (3  3  3 )  13(1  3  ...  3 ) 13 2 3 4 5 9 10 11 3 9 b. Nhóm 4 số hạng = 40 ( 1 + 34 + 38 ) chia hết cho 40 ( đpcm) Bài 12: Chứng minh rằng, nếu: abc 37 thì bca; cab đều chia hết cho 37 Lời giải: A= abc  (a.102  b.10  c) 37  10 A  (a.103  b.102  10.c) 37  10 A  1000a  102 b  10.c Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 5 Website:tailieumontoan.com 10 A  102 b  10c  a  999a  bca  999a 37.27.a bca 10 A 37  bca 37 Tương tự: 10bca 37;999b 37  cab 37 Bài 13: a. Chứng tỏ rằng: 2  2  2  ...  2 1 2 3 100 b. Tìm số dư khi chia tổng 2  2  2  ...  2 1 c. S= 3  3  3  ...  3 1 2 3 1997 2 3 100 3 cho 7  31998 26 Lời giải: a. 21  22  23  ...  2100  (21  22 )  ...(299  2100 )  21 (1  2)  ...  299 (1  2)  3(21  23  ...  2999 ) 3 b.  2  (2  2  2 )  (2  2  2 )  ...(2  2  2 1 2 3 4 5 6 7 98 99 100 )  2  7.(22  25  ...  298 ) chia 7 dư 2. c. Ta có: 26 = 13 . 2 , ta đi chứng minh S chia hết cho 13 và 2 Ta có : S có 1998 số hạng, chia ra làm 666 nhóm S= S  (3  3  3 )  ...  (3 1 2 3 1996  31997  31998 )  13.(31  34  ....  31996 )  S 13.2  26 666 sohanglachan 2 Bài 14: Chứng minh rằng : A = 10n + 72n -1 chia hết cho 81 Lời giải: A  10n  1  72n  (10  1)(10n1  10n2  ...  10  1)  9(10n1  10n2  ...  10  1)  9n  81n  9(10n1  ...  10  1  n)  81n  9[(10n1  1)  (10n2  1)  ...  (1  1)]+81n Ta có: 10k  1  (10  1)(10k 1  ...  10  1) 9  9[(10n1  1)  (10n2  1)  ...(1  1)] 81  9[(10n1  1)  (10n2  1)  ...  (1  1)]+81n 81  A 81 Bài 15: Chứng minh rằng A  1  2  3  ...  100 chia hết cho B  1  2  ...100 3 3 3 3 Lời giải: Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101 A  (13  1003 )  (23  993 )  ...(503  513 )  (1  100)(12  100  1002 )  (2  99)(22  2.99  992 )  ...  (50  51)(502  50.51  512 )  101(12  100  1002  22  2.99  992  ...  502  50.51  512 ) 101(1) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 6 Website:tailieumontoan.com Lại có: A  (1  99 )  (2  98 )  ...  (50  100 )  A 50(2) 3 3 50 3 3 3 50 3 50 Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 50. 101 = B. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3. Hướng dẫn Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2. Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một tổng). Bài 2: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ? Hướng dẫn Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3. Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là: a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6). Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên (4a + 6) không chia hết cho 4.  Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4. Kết luận: Vậy không phải lúc nào tổng n số tự nhiên liên tiếp cũng chia hết cho n Bài 3: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với mọi a , b là số tự nhiên. Hướng dẫn Vì 495 chia hết cho 9 nên 1980.a chia hết cho 9 với mọi a. Vì 1035 chia hết cho 9 nên 1035.b chia hết cho 9 với mọi b. Nên: (495a + 1035b) chia hết cho 9. Chứng minh tương tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với mọi a, b. Mà (9, 5) = 1.  (495a + 1035b) chia hết cho 45. Bài 4: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8. Hướng dẫn Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2. Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1). Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho 2. Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 7 Website:tailieumontoan.com  4n.(n + 1) chia hết cho 8.  2n.(2n + 2) chia hết cho 8. Bài 5: Chứng minh rằng: a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3. b) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4. Hướng dẫn a. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2). Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0; 1; 2. - Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3  n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3. - Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k là số tự nhiên).  n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) chia hết cho 3.  n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3. - Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên).  n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hết cho 3.  n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3. Tóm lại: n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên. b. Chứng minh tương tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên. Kết luận: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n. Bài 6: Chứng minh rằng a) ab  ba chia hết cho 11 b) ab  ba chia hết cho 9 với a > b Hướng dẫn a) ab  ba  (10a  b)  (10b  a)  11a  11b , chia hết cho 11. b) ab  ba (10a  b)  (10b  a)  9a  9b , chia hết cho 9. Bài 7: Chứng minh nếu ab  cd 11 thì abcd 11 Hướng dẫn abcd  100.ab  cd  99.ab  (ab  cd ) 11 Bài 8: Biết abc 27 chứng minh bca 27 Hướng dẫn abc 27 => abc0 27 => 1000a  bc0 27 => 999a  a  bc0 27 => 27.37a  bca 27 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 8 Website:tailieumontoan.com Vì 27.37a 27 nên bca 27 Bài 9: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211. Hướng dẫn Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là: a0b ; ab0 ; ba0 ; b0a . Tổng của các số đó là: a0b  ab0  ba0  b0a = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a = 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211. Bài 10: Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2). Hướng dẫn Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4. Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2). Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2)  4 chia hết cho (n + 2)  (n + 2) là ước của 4.  (n +2)  1 ; 2 ; 4  n  0 ; 2. Vậy với n 0; 2 thì (5n + 14) chia hết cho (n +2). Bài 11: Chứng minh 21132000 – 20112000 chia hết cho cả 2 và 5 Hướng dẫn Để số vừa chia hết cho cả 2 và 5 thì số phải có chữ số tận cùng là 0 => Cần chứng minh số bị trừ và số trừ đều có chữ số tận cùng là 1 Chú ý: Số tự nhiên a có chữ số tận cùng là 1 thì an cũng có chữ số tận cùng là 1 21132000 = (21134)500 = ....1 500 => 21132000 có chữ số tận cùng là 1 20112000 luôn có chữ số tận cùng là 1 => 21132000 – 20112000 có chữ số tận cùng là 0 => 21132000 – 20112000 chia hết cho cả 2 và 5 Bài 12. a) Chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau một số TN có 2 chữ số gồm chính 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được 1 số chia hết cho 11 b) cũng chứng minh như trên đối với số TN có 3 chữ số Hướng dẫn a) Gọi số TN có 3 chữ số là abc khi viết thêm ta được số abccba Ta có abccba =100000a+10000b+1000c+100c+10b+a =100001.a+10010.b+1100c chia hết cho 11 (Phần b chữ số làm tương tự ) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 9 Website:tailieumontoan.com Bài 13: Chứng minh nếu ab  2cd thì abcd 67 Hướng dẫn abcd  100ab  cd  100.(2cd )  cd  201.cd Vì 201 ⋮ 67 => abcd 67 Bài 14: Chứng minh rằng n5 – n 30 Hướng dẫn Bài toán luôn đúng với n = 0 và n =1 Xét n  2: Đặt A = n5 – n = n (n2 +1)(n+1)(n-1) Ta có A A 10 ( Vì n5 và n có chữ số tận cùng giống nhau) 3 (Vì trong A có tích của 3 số tự nhiên liên tiếp (n-1)n(n+1) ) => A chia hết cho cả 3 và 10. Mà ƯCLN(3, 10) = 1 nên A chia hết cho 3.10 Vậy A 30 Bài 15: Chứng minh abcabc chia hết cho 7, 11, 13. Hướng dẫn Xét số abcabc  abc000  abc  1000.abc  abc  1001abc = 7.11.13. abc => abcabc  7, 11 và 13.   Bài 16: Cho 1 số có 3 chữ số có dạng abc . Chứng minh rằng: abc  bca  cab a  b  c  Hướng dẫn abc + bca  cab = 100a + 100b + 100c + 10a + 10b + 10c + a + b + c = 111a + 111b + 111c = 111(a + b + c) => ( abc + bca  cab )  (a + b + c) Bài 17: Chứng minh rằng abc deg chia hết cho 23 và 29, biết rằng abc  2.deg Hướng dẫn abcdeg  1000abc  deg mà abc  2deg => abcdeg  2001deg  23.29.3.deg => abc deg chia hết cho 23 và 29 Bài 18: Chứng minh rằng ab  cd  eg chia hết cho 11 thì abc deg chia hết cho 11. Hướng dẫn  abcdeg  10000ab  100cd  eg  9999ab  99cd  ab  cd  eg Sưu tầm  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com Mà 10000ab  100cd  eg ⋮ 11 ; 9999 ⋮ 11 và 99 ⋮ 11 => abc deg chia hết cho 11 Bài 19: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5. Hướng dẫn Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2 (n ∈ N) => Tổng = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 ⋮ 3 (Tính chất chia hết của một tổng) Gọi năm số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4 (n ∈ N) => Tổng = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 = 5n + 10 ⋮ 5 (Tính chất chia hết của một tổng) Bài 20: Chứng minh rằng : a) Tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6, b) Tổng ba số lẻ liên tiếp không chia hết cho 6 c) Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c d) P  a  a 2  a3  ....  a 2n a  1; a, n  N e) Nếu a và b chia cho 7 có cùng số dư thì hiệu a – b chia hết cho 7 Hướng dẫn a) Gọi ba số chẵn liên tiếp là 2k, 2k + 2, 2k + 4 (k ∈ N) => Tổng 2k + 2k + 2 + 2k + 4 = 6k + 6 ⋮ 6 (Tính chất chia hết của một tổng) b) Gọi ba số lẻ liên tiếp là 2k + 1, 2k + 3, 2k + 5 (k ∈ N) => Tổng 2k + 1 + 2k + 3 + 2k + 5 = 6k + 9 không chia hết cho 6 vì số hạng 9 không chia hết cho 6 c) Giả sử a ⋮ b được thương là k => a = b.k (k ∈ N, k < a) b ⋮ c được thương là m => b = m.c (m ∈ N, m < b) Khi đó a = m.c.k (với m, k, c < a) => a ⋮ c d) Ta có P = a + a2 + a3 + < + a2n => a.P = a2 + a3 + <+ a2n + 1 => a.P – P = a2n + 1 – a => P(a – 1) = a2n + 1 – a = a.(a2n – 1) Xét a = - 1 thì P(-1) .(-1 – 1) = - 1.(1 – 1) = 0 => P(-1) = 0 => Biểu thức P = (a + 1).f(a) ⋮ (a + 1) Trong đó f(a) là một đa thức. e) Giả sử a : 7 được thương là m và b : 7 được thương là m, đông thời có cùng số dư là k => a = 7m + k và b = 7n + k => a – b = 7m – 7n ⋮ 7 (Tính chất chia hết của một hiệu) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 11 Website:tailieumontoan.com BÀI 2: DÙNG CÁC DẤU HIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BÀI TOÁN CHIA HẾT 1. Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 2. Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11 3. Dấu hiệu chia hết cho 4 hoặc 25: Hai chữ số tận cùng hợp thành một số chia hết cho 4 hoặc 25 4. Dấu hiệu chia hết cho 8 hoặc 125: Ba chữ số tận cùng hợp thành một số chia hết cho 8 hoặc 125 5. Dấu hiệu chia hết cho 6: Chia hết cho 2 và 3 6. Dấu hiệu chia hết cho 15: Chia hết cho 3 và 5 7. Dấu hiệu chia hết cho 18: Chia hết cho 2 và 9 ( Có thể bịa ra được các dấu hiệu chia hết ) *) Chú ý: Số dư 1 số tự nhiên cho 9 bằng số dư tổng các chữ số của nó cho 9 VD: 3245 chia cho 9 dư 5 ( 3 + 2 + 4 + 5 = 14 chia 9 dư 5 ) +) Tổng các chữ số của một số tự nhiên, ký hiệu: S(a) +) Số tự nhên lẻ chia cho 4 dư 1 hoặc 3 Bài 1: Tìm tất cả các cặp (x, y) sao cho: a. 34 x5 y 36 b. 423x7 y 45 c. 1x8 y 2 36  4,9 d. 21xy 60 Lời giải a. Tìm tất cả các cặp (x, y) sao cho: 34 x5 y 36 Ta có: 34 x5 y 36  4,9  5 y 4  y 2;6  x 4;0;9 Vậy ( x ; y ) = ( 4; 2 ) ; ( 0 ; 6 ) ; ( 9 ; 6 ) b. 423x7 y 45  5,9  y 0;5  x 2;6 c. 1x8 y 2 36  4,9  y 2 4  y 1;3;5;7;9  x 6;4;2;0;9;7  6dapso d. 21xy 60 hay 2100  xy 60  xy  00; xy  60 Bài 2: Cho n thuộc N , n > 2 , CMR: a. 10  2 9 n b. 10  26 18 3 n c. 9 2 n1  1 10 Lời giải: a. 10  2 9 có tổng các chữ số = 9 nên chia hết cho 9 n 3 b. 10  26  100....026 n có tổng các chữ số = 9 nên chia hết cho 9 và là số chẵn nên chia n  2 chuso 0 hết cho 2. Vậy chia hết cho 18 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 12 Website:tailieumontoan.com c. 9 2 n1  1 có tận cùng là 0 suy ra chia hết cho 10. Vì 92 n1 tận cùng là 9 do 2n + 1lẻ. Bài 3: Cho n  N , chứng minh rằng: * a. n  n  1 không chia hết cho 4, không chia hết cho 5 2 b. A  26n  111...1 9 nchuso1 Lời giải: a. Ta có: n  n  1  n(n  1)  1 là số lẻ nên không chia hết cho 4 2 láochan Lại có : n . ( n + 1 ) không có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9 suy ra n  n  1 / 5 2 b. A  26n  111...1 9  27n  (11.1  n) nchuso1 nchuso1 Có : 111...1 có cùng số dư với n khi chia cho 9  (111..1) 9  B 9(dpcm) nchuso1 nchuso1 Bài 4: Chứng minh rằng a. A  (2  1) 10 11 b. B  39 1001 25  211000 10 Lời giải a. A  (2  1)  1025 10 11 11 25 1001  211001 ) 10 b. B  (39 t / c9 t / c1 Bài 5: Giả sử S(a) là tổng các chữ số của số tự nhiên a. Chứng minh rằng a. a  S (a) 9 b. Nếu S(a) = S(2a) thì a chia hết cho 9, điều ngược lại có đúng không? Lời giải a. Đặt a  an an1...a1a0  an .10  ....  a1 .10  a0  S (a)  an  an1  an 2  ...  a1  a0 n  a  S (a)  an .(10n  1)  an1.(10n1  1)  ...  9a1  a  S (a) 9 (10 1) (10 1) 9 b. S (a)  S (2a)  a   2a  S (2a)   a  S (a)   a 9 9 9 Ví dụ: a  18  S (a)  9  a  S (a)  9 9;2a  36  S (2a)  9 Bài 6: Số tự nhiên a có 26 chữ số, người ta đổi chỗ các chữ số của A để được 1 số B lớn gấp 3 lần số A. Chứng minh rằng: B 27 Lời giải Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13 Website:tailieumontoan.com Nhận xét: Ta dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 B  3 A  B 3  S ( A) 3  S ( A) 3  A 3 Mà B  3 A   B 9  S ( B) 9  S ( A) 9  A 9 A3  Mà B  3 A   B 27  dpcm A9  Bài 7: Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta được số A. Số A có chia hết cho 99 không? Lời giải Ta có 90 số thảo mãn bài toán: 10,11,.....;99 Tổng các chữ số hàng đơn vị là: (0  1  2  ...  9).9  45.9  405 Tổng các chữ số hàng chục là: 1  2  ...  9).10  45.10  450 Tổng các chữ số của A là: 405  450  855 / 9  A / 9 Bài 8: Chứng minh với mọi n là STN lẻ thì số A  n2  4n  5 / 8 Lời giải Vì n lẻ, ta đặt n  2k  1(k  N )  A  (2k  1)2  4(2k  1)  5  4k (k  1)  8(k  1)  2 - Ta có k và k + 1 là hai số TN liên tiếp có một số chẵn nên 4k (k  1) 8 Lại có 8(k  1) 8;2 / 8  A chia 8 dư 2 Bài 9: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp trong đó có một số chia hết cho 9, biết rằng tổng của hai số đó thỏa mãn các điều kiện sau a. Là số có ba chữ số b. Là số chia hết cho 5 c. Tổng của chư x số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là số chia hết cho 9 d. Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng chữ số hàng chục là số chia hết cho 4 Lời giải Tổng của hai số tự nhiên chia hết cho 5 nên tận cùng là 5 Mà tổng của chữ số hàng trăm và hàng đơn vị bằng 9 nên chữ số hàng trăm phải bằng 4 Vậy tổng hai số tự nhiên có dạng: 4a5 Mà a  4 4  a 0;4;8 Tổng của hai số đó là: 405  202  203;445  222  333;485  242  243 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 Website:tailieumontoan.com BÀI 3: DÙNG CÁC TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG ĐỂ CHỨNG MINH BÀI TOÁN CHIA HẾT A. Các tính chất 3. a b; b c  a c 1. 0 : a(a  0) 2. a a; a 1 4. a m; b m  pa  qb m 5. Nếu a : (m.n)  a m; a n 6. a m; b n  ab mn  HQ : a m  a k mk 7. a m; a n;(m, n)  1  a mn 8. ab m;(b, m)  1  a m 9. ab p ( p là số nguyên tố ) thì hoặc a chia hết p hoặc b chia hết cho p B. Các tính chất suy luận được - Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ - Tổng hai số tự nhiên là một số lẻ - Tích hai số tự nhiên là một số chẵn - Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 - Tổng của hai số tự nhiên bất kỳ là một số lẻ thì có một số tự nhiên là số chẵn C. Bài tập Bài 1: Chứng minh rằng a. A  1028  8 72 b. B  817  279  913 45 Lời giải a. Cách 1: 1028  228.828  23.225.528 8 và 8 8  A 8 Lại có 1028  8 có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 9. Vậy A chia hết cho 72 Cách 2: 1028  8 có ba chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8 1028  8  1028  1  9  A 9  A 72 9 9 b. Cách 1: 817 có tận cùng là 1; 279 có tận cùng là 7; 913 có tận cùng là 9 nên B có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5, (5;9)  1  B 45 Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n chẵn thì A  20n  16n  3n 1 323 Lời giải Ta có: 323  17.19;20n  3n 17;16n 1n 17(do.n.chan)  B 17 Lại có:     B 19  B 17.19  323 16  3 19(n.chan)   20n  1 19 n n Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì a. A  n(2n  1)(7n  1) 6 Sưu tầm b. C  n(n2  1)(n2  4) 5 c. B  n3  13n 6 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com Lời giải  n : chan a. Ta có: n  7n  1  8n  1: le    2 7n  1: chan - Đặt n  3k  n(2n  1)(7n  1) 3; n  3k  1  n(2n  1)(7n  1) 3(do : 2n  1 3); n  3k  2  3(do : 7n  1 3) b. Nhận xét: Số chính phương chia cho 5 có số dư là: 0, 1, 4 Nếu n 2 chia 5 dư 1 thì n2  4 5 Nếu n 2 chia 5 dư 4 thì n2  1 5  n(n2  1)(n2  4) 5n Hoặc đặt n  5k  1; n  5k  2; n  5k  3; n  5k  4 c. B  n3  13n  n3  n  12n  n(n  1)(n  1)  12n 6 6 Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên x, y thì a. 2 x  3 y 17  9 x  5 y 17 b. 7 x  4 y 29  9 x  y 29 c. 7 x  9 y 13  x  5 y 13 d. x  4 y 19  13x  14 y 19 e. 20 x  7 y 31  x  5 y 31 Lời giải Gợi ý: A C  B C; pA  qB C  p, q ? a. Tìm p, q sao cho 2 p  9q 17 p(2 x  3 y)  q(9 x  5 y) 17x, y  (2 p  9q) x  (3 p  5q) y 17x, y   3 p  5q 17 Chọn p  4; q  1  4(2 x  3 y)  (9 x  5 y) 17x, y - Nếu 2 x  3 y 17  9 x  5 y 17 - Nếu 9 x  5 y 17  4(2 x  3 y) 17;(4,17)  1  2 x  3 y 17 b. Chọn p, q sao cho 7 p  9q 17 p(7 x  4 y)  q(9 x  y) 29x, y  (7 p  9q) x  (4 p  q) y 29x, y    chon. p  4; q  1... 3 p  5q 17 7 p  q 13  chon. p  1; q  6 c.  9 p  5q 13 p  6 d.  q  13 p  3 e.  q  1 Bài 5: Cho a, b là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: (a  1)(b 1) 192 Lời giải Ta có: 192  3.8.8;(3,8)  1 Nhận xét: Nếu n lẻ thì n 2 1 8( phải chứng minh ) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 16 Website:tailieumontoan.com Thật vậy: n 2 1  (n  1)(n  1) mà n + 1 và n – 1 là hai số chẵn liên tiếp nên (n  1)(n  1) 8 Từ đó  a  1 8; b 1 8  (a 1)(b 1) 8.8  64(1) +) a, b là các số chính phương nên a, b chia 3 dư 1 hoặc 0 a / 3 a  1 3   (a  1)(b  1) 3(2) Vì a, b là các số chính phương lẻ liên tiếp   b / 3 b  1 3 Mà (3,64)  1  (a 1)(b 1) 4.3  192  dpcm Bài 6: Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn: a2  b2  c2 .CMR : a. Trong hai số a, b có ít nhất một số chia hết cho 2 b. Trong hai số a, b có ít nhất một số chia hết cho 3 c. Trong hai số a, b có ít nhất một số chia hết cho 4 Lời giải a. Giả sử a lẻ, b lẻ  a 2  b2 chia 4 dư 2  c 2 chia 4 dư 2 ( mâu thuẫn)  có ít nhất một số chẵn b. Giả sử a 3  VT .chia.3.du.2   loai  có ít nhất một số chia hết cho 3 b 3  VP.chia.3.du.1  c. - Nếu b lẻ  c lẻ Đặt b  2b1  1; c  2c1  1; a2  b2  c2  (2a1 )2  (2b1  1)2  (2c1  1)2  a12  b12  b1  c12  c1  a12  c12  b 21 c1  b1  1  2c1  1 là số lẻ nên 1 trong hai số là số chẵn  a12 2  a1 2  a 4 - Nếu b chẵn  c chẵn Đặt b  2b1; c  2c1  a12  b12  c12  a1 4 Theo câu a  hoặc a1 chẵn hoặc b1 chẵn   b1 4 Bài 7: Cho số tự nhiên ab  3 lần tích các chữ số của nó. Chứng minh rằng: a. b a b. Đặt b  ka.CMR :10 k c. Tìm số tự nhiên ab Lời giải a. ab  3ab  10a  b  3ab  10a  b a  b a b. b  ka  10a  ka  3a.ka( k  10)  10  k  3ak  10  k k  10 k  k 1;2;5 +) k  1  11  3a(loai) +) k  2  a  2  b  4  24  2.3.4 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com +) k  5  a  1  b  15  15  3.1.5 Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì a. S  (n  1)(n  2)....2n 2n ( tích 2n số nguyên dương đầu ) b. P  (n  1)(n  2)....3n 3n ( tích 3n số nguyên dương đầu ) Lời giải a. Có 1.2.....n.S  1.2.3...n(n  1)(n  2).....(2n)  2.4.6...(2n).1.3.5...(2n 1)  2n (1.2.3......n).1.3.5.7....(2n 1)  S  2 n.1.3.5....(2n  1) 2n  dpcm le b. 1.2.3....n. p  1.2.3....n(n  1)(n  2).....(3n)  3.6....(3n).1.2.4.5.....(3n  1) 3 Q  3.1.3.2.3.3....3.n  P  3n.Q 3n  dpcm 3n.(1.2.3....n ) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 Website:tailieumontoan.com BÀI 4: TÌM CHỮ SỐ CHƯA BIẾT ĐỂ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN ĐỂ CHIA HẾT. Vận dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) và các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9 để xét. Với bài toán điền chữ số vào * (tìm chữa số trong số đã cho) để thỏa mãn chia hết: + Thì ta phân tích số đó theo tổng các chữ số để lập luận chia hết cho 3 và 9 + Dùng chữ số tận cùng để lập luận chia hết cho 2 và 5 Bài 1: Cho 1số có 4 chữ số: *26* . Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho tất cả 4 số : 2; 3 ; 5 ; 9. Lời giải Số đó đảm bảo chia hết cho 2 nên số đó là số chẳn. Số đó chia hết cho 5 nên số đó phải có chữ số tận cùng là số 0 hoặc 5. Số đó vừa chia hết cho 3 và 9 nên số đó phải có tổng các chữ số chia hết cho 9. Vậy: Chữ số tận cùng của số đó là 0  *260 . Chữ số đầu là số 1 Do đó số đã cho là 1260 Bài 2: Thay (*) bằng các số thích hợp để: a) 510* ; 61*16 chia hết cho 3 b) 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 Lời giải a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho 3 thì: 5 + 1 + 0 + * chia hết cho 3; từ đó tìm được * = 0; 3; 6; 9 b) Để 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 thì: * chẵn và 2 + 6 + 1 + * chia 3 dư 1; từ đó tìm được * = 4 Bài 3: Tìm các chữ số a,b, sao cho b) a – b = 6 và 4a7  1b5 9 a) a – b = 4 và 7a5b1 3 Lời giải a) số 7a5b1 3 nên 7+a+5+b 3 13+a+b 3 nên a+b chia cho 3 dư 2 (1) 4  a  9 0  b  5 Ta có a-b =4 nên  Suy ra 4  a  b  14 (2) Mặt khác a-b là số chẵn nên a+b là số chẵn (3) Từ 1,2,3 suy ra a+b = 8 hoặc 14 Với a+b=8, a-b=4 ta được a=6,b=2 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 Website:tailieumontoan.com Với a+b=14,a-b=4 tađược a=9,b=5 b) 4a7  1b5 9 nên 512 +10(a+b) 9 504 +8+9(a+b)+a+b 9 nên a+b chia 9 dư 1 a  b  a  b =6 nên a+b=10 Từ đó ta tìm được a = 8, b = 2 Bài 4: Tìm tất cả các số x, y để có số 34 x5 y chia hết cho 36. 1. Lời giải Vì (4, 9) = 1 nên 34 x5 y chia hết cho 36  34 x5 y chia hết cho 9 và 34 x5 y chia hết cho 4. Ta có: 34 x5 y chia hết cho 4  5y chia hết cho 4  y  2 ; 6 . 34 x5 y chia hết cho 9  (3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9.  (9 + 13 + x + y) chia hết cho 9.  (3 + x + y) chia hết cho 9 Vì x, y  N và 0  x; y  9 Nên x + y thuộc 6 ; 15 Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 ( > 9 - Loại ). Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9. Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956. Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để được số chia hết cho 5; 7; 9. Lời giải Giả sử ba số viết thêm là abc . Ta có: 579abc  5 ; 7 ; 9  579abc chia hết cho 5.7.9 = 315. Mặt khác: 579abc = 579000 + abc = (315.1838 + 30 + abc ) chia hết cho 315. Mà 315.1838 chia hết cho 315  (30 + abc ) chia hết cho 315  30 + abc  (315). Do 100  abc  999  130  30 + abc  1029  30 + abc  315; 630; 945.  abc  285 ; 600 ; 915. Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 600; 915. Bài 6: Cho số aaaaaaa48 . Tìm a để số đã cho chia hết cho 24 Lời giải Để A  24 <=> A  3 và 8 Vì 48  8 => a phải lấy giá trị chẵn. Mặt khác 4 + 8 = 12  3 nên 7a  3. => a phải lấy giá trị chẵn và chia hết cho 3. Vì a < 10 => a = 6 => 666666648. Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC