Tài liệu Chuyên đề hình học không gian cổ điển – bùi trần duy tuấn

Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna “Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.” Tài liệu gồm 301 trang bao gồm các chủ đề sau: Chủ đề 1. Khối đa diện. Phép biến hình trong không gian Chủ đề 2. Góc trong không gian Chủ đề 3. Khoảng cách trong không gian Chủ đề 4. Thể tích khối đa diện Chủ đề 5. Nón - Trụ - Cầu Bố cục của các chủ đề gồm các phần sau: 1. Kiến thức cơ bản cần nắm 2. Các dạng toán và phương pháp giải (kèm theo các bài toán minh họa) 3. Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có đáp án và lời giải chi tiết) Tài liệu được tôi sưu tầm, tổng hợp và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn. Trong quá trình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông cảm và đóng góp ý kiến để những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp và liên hệ về tài liệu xin gửi về: Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna. Gmail: [email protected]. Truy cập Website: https://toanhocplus.blogspot.com/ để xem thêm các chuyên đề luyện thi đại học khác của tôi tổng hợp và biên soạn. Thầy cô nào cần “Cần file Word” liên hệ tôi. Xin chân thành cảm ơn!!! Quảng Nam – 15.09.2018 Tác giả: Bùi Trần Duy Tuấn  https://toanhocplus.blogspot.com Lời nói đầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna MỤC LỤC MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG........................ 8 I. MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC PHẲNG ....................................................................... 8 1. Các đường trong tam giác ................................................................................................................ 8 2. Tam giác ABC vuông tại A .............................................................................................................. 8 3. Các hệ thức lượng trong tam giác thường ........................................................................................ 9 4. Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet........................................................................................... 9 5. Các công thức tính diện tích .......................................................................................................... 10 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ..... 10 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ..................................................................... 10 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ....................................................................................... 10 3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc .......................................................................................... 11 4. Hai định lí về quan hệ vuông góc ................................................................................................... 11 5. Định lí ba đường vuông góc, công thức diện tích hình chiếu .......................................................... 11 CHỦ ĐỀ 1: KHỐI ĐA DIỆN. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN .. 12 A. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN ......................................................................................... 12 I. KHỐI ĐA DIỆN. KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ.............................................................12 1. Khái niệm về hình đa diện .............................................................................................................. 12 2. Khái niệm về khối đa diện............................................................................................................... 12 3. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện ........................................................................................... 14 Một số kết quả quan trọng ................................................................................................................. 14 B. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN . HAI HÌNH BẰNG NHAU ....................... 15 I. PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHÔNG GIAN ..............................................................................15  1. Phép tịnh tiến theo vectơ v ............................................................................................................ 15 2. Phép đối xứng qua tâm O ............................................................................................................. 15 3. Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  ) .......................................................... 15 4. Phép đối xứng qua mặt phẳng  P  ............................................................................................... 15 Mặt phẳng đối xứng của một số hình thường gặp.............................................................................. 15 II. HAI HÌNH BẰNG NHAU .......................................................................................................18 III. PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN ..........................................18 1. Phép vị tự trong không gian .......................................................................................................... 18 2. Hai hình đồng dạng ....................................................................................................................... 18  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học không gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna C. KHỐI ĐA DIỆN LỒI. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU ....................................................................................... 19 I. KHỐI ĐA DIỆN LỒI ................................................................................................................19 II. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU .............................................................................................................19 Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi .......................................................................................... 20 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................. 21 I. ĐỀ BÀI................................................................................................................................................ 21 1. Khái niệm khối đa diện ................................................................................................................... 21 2. Khối đa diện lồi. Khối đa diện đều .................................................................................................. 24 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT .............................................................................. 26 1. Khái niệm khối đa diện ................................................................................................................... 26 2. Khối đa diện lồi. Khối đa diện đều .................................................................................................. 29 CHỦ ĐỀ 2: GÓC TRONG KHÔNG GIAN ....................................................................... 31 A. GÓC TRONG KHÔNG GIAN............................................................................................... 31 I. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG ..........................................................................................31 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 31 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 31 II. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ..................................................................37 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 37 2. Một số loại góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thường gặp đối với hình chóp ............................. 38 3. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 38 III. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG .............................................................................................43 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 43 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 44 B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .............................................................................................................. 49 I. ĐỀ BÀI................................................................................................................................................ 49 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ............................................................................... 54 CHỦ ĐỀ 3: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN ........................................... 69 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM....................................................................................... 69 B. GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH ...................................................................................... 70 DẠNG 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG ...............................70 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 70 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 71  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học không gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna DẠNG 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG .....................................76 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 76 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 78 DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG .........................................................................87 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 87 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 87 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU .................................91 1. Phương pháp ................................................................................................................................. 91 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................... 92 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIÊM ............................................................................................................ 100 I. ĐỀ BÀI.............................................................................................................................................. 100 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ............................................................................. 108 CHỦ ĐỀ 4: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN .......................................................................... 130 A. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ............................................................. 130 I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ......................................................................................................... 130 II. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI HỘP CHỮ NHẬT................................................. 130 III. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KỸ THUẬT CẦN NẮM ............................................................. 131 1. Một số khái niệm và tính chất ...................................................................................................... 131 2. Kỹ thuật tìm đường cao bằng cách đưa về bài toán tìm khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng ........................................................................................................................................................ 131 B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ DẠNG TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN .............. 132 I. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN TRỰC TIẾP ........................................................................... 132 1. Phương pháp ............................................................................................................................... 132 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 132 II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH GIÁN TIẾP BẰNG CÁCH PHÂN CHIA LẮP GHÉP CÁC KHỐI CHÓP .............................................................................................................................. 144 1. Phương pháp ............................................................................................................................... 144 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 144 III. PHƯƠNG PHÁP TỶ SỐ THỂ TÍCH ..................................................................................... 151 1. Phương pháp ............................................................................................................................... 151 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 151 IV. BÀI TOÁN MIN MAX THỂ TÍCH........................................................................................ 163 1. Phương pháp ............................................................................................................................... 163 2. Một số bài toán minh họa ............................................................................................................. 163  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học không gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ............................................................................................................ 172 I. ĐỀ BÀI.............................................................................................................................................. 172 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ............................................................................. 183 PHẦN MỞ RỘNG: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN ........................................................... 212 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ...................................................................................... 212 1. Hệ trục tọa độ trong không gian ................................................................................................. 212 2. Tọa độ vectơ ............................................................................................................................. 212 3. Tọa độ của điểm ........................................................................................................................ 212 4. Tích có hướng của hai vectơ ....................................................................................................... 213 5. Vấn đề về góc ........................................................................................................................... 213 6. Vấn đề về khoảng cách ............................................................................................................... 214 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ỨNG DỤNG HÌNH GIẢI TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN .......................................................................................................... 215 CHỦ ĐỀ 5: NÓN - TRỤ - CẦU .............................................................................................. 224 A. MẶT NÓN.............................................................................................................................. 224 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ......................................................................................... 224 1. Mặt nón tròn xoay ....................................................................................................................... 224 2. Hình nón tròn xoay ..................................................................................................................... 224 3. Công thức diện tích và thể tích của hình nón ............................................................................... 224 4. Giao tuyến của mặt tròn xoay và mặt phẳng ................................................................................ 225 II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ..................................................................................................... 225 1. ĐỀ BÀI........................................................................................................................................ 225 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ........................................................................... 232 B. MẶT TRỤ ................................................................................................................................ 247 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ......................................................................................... 247 1. Mặt trụ tròn xoay ........................................................................................................................ 247 2. Hình trụ tròn xoay....................................................................................................................... 247 3. Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ ......................................................................... 247 4. Tính chất ..................................................................................................................................... 247 II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ..................................................................................................... 248 1. ĐỀ BÀI........................................................................................................................................ 248  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học không gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ........................................................................... 257 C. MẶT CẦU ........................................................................................................................................ 271 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM ......................................................................................... 271 1. Định nghĩa................................................................................................................................... 271 2. Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu ............................................................................. 271 3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu .................................................................................. 271 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu .............................................................................. 271 5. Diện tích và thể tích mặt cầu........................................................................................................ 272 6. Một số khái niệm về mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện .................................................................... 272 II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ..................................................................................................... 273 1. ĐỀ BÀI........................................................................................................................................ 273 2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ........................................................................... 280  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Hình học không gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC HÌNH HỌC PHẲNG 1. Các đường trong tam giác A A ha b c N K G H hb B B C M Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba đường trung tuyến, và AG  hc 2 AM . 3 C a Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm ba đường cao. A A R b c O I r C B B Tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực. a C Tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác trong. 2. Tam giác vuông ABC vuông tại A A α B  Các tỉ số lượng giác: AC BC AC + tan   AB + sin   AB BC AB + cot   AC + cos   H C M  Độ dài đường trung tuyến AM   Hệ thức lượng:  AH.BC  AB. AC  AB2  BH.BC , AC 2  CH.CB  Định lí Pitago: BC 2  AB2  AC 2  Diện tích: S   AH 2  BH.HC 1 AB.AC 2  https://toanhocplus.blogspot.com 1 BC 2  Trang 8 1 1 1   , AH 2  HB.HC 2 2 AH AB AC 2 Hình học không gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 3. Các hệ thức lượng trong tam giác thường Cho tam giác ABC có: + Độ dài các cạnh tương ứng là a , b , c + Chiều cao tương ứng kẻ từ các đỉnh A , B , C lần lượt là ha , hb , hc + r , R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ABC + p abc (nửa chu vi ABC ) 2 A a) Định lý cosin: b) Định lý sin: A b c b c B R O C a b2  c 2  a2 2bc 2 a  c 2  b2  b2  a 2  c 2  2ac cos B  cos B  2ac 2 a  b2  c 2  c 2  a 2  b2  2ab cos C  cos C  2ab  a 2  b2  c 2  2bc cos A  cos A  B  C a a b c    2R sin A sin B sin C c) Công thức tính độ dài đường trung tuyến: d) Công thức tính A diện tích tam giác: A ha b c H N K hb G hc a B B Gọi S là diện tích ABC : C M C 1 1 1 a.ha  b.hb  c.hc 2 2 2 1 1 1  ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 2 2 abc  ; SABC  p.r 4R  AM 2  AB2  AC 2 BC 2  2 4  SABC   BN 2  BA2  BC 2 AC 2  2 4  SABC  CK 2  CA 2  CB2 AB2  2 4  SABC  SABC  p  p  a  p  b  p  c  4. Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet A B M N A C M P  ABC ∽ MNP nếu chúng có 2 góc tương ứng bằng nhau B MN / / BC  AB MN   Nếu ABC ∽ MNP thì AC MP  https://toanhocplus.blogspot.com N Trang 9 C AM AN MN   AB AC BC Hình học không gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 5. Các công thức tính diện tích  Diện tích tam giác đều  Diện tích tam giác vuông A B SABC  A Diện tích  đều: S  1 AB. AC 2 h C B a B SHVuong  a C H 2 A B S Đường chéo h/vuông: a 2 O  AB  CD  .AH 2 SHCN  AB. AD D a 3 2  Diện tích hình thang  Diện tích hình vuông và hình chữ nhật A Chiều cao  đều: a2 3 4 D C C H  Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc B o Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông 1 góc nhau bằng tích hai đường chéo. 2 o Hình thoi có hai đường chéo vuông góc A C S 1 AC.BD 2 D nhau tại trung điểm của mỗi đường. II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng  vuông góc mp( P) ta chứng minh  vuông góc với hai đường thẳng a , b cắt nhau nằm trong mp( P ). Trình bày bài   a  ( P) Ta có:    b  ( P)    P a A b P 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d ta chứng minh  vuông góc với mp( P) chứa d. Trình bày bài  Ta có:    P   d    d d P  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 10 Hình học không gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Phương pháp: Để chứng minh mp(Q)  mp( P ) ta chứng minh mp(Q) chứa một đường thẳng  vuông góc mp( P). Trình bày bài Q    ( P)  Q    P  Ta có:    (Q) P 4. Hai định lí về quan hệ vuông góc Định lí 1: Nếu mp( P) và mp(Q) cùng vuông góc với Định lí 2: Cho mp( P ) vuông góc mp(Q) . Một đường mp   thì giao tuyến (nếu có) của chúng vuông thẳng d nằm trong mp  P  vuông góc với góc mp   . giao tuyến  của  P  và  Q  thì d vuông  P góc mp(Q). Q P d  Q 5. Định lí ba đường vuông góc, công thức diện tích hình chiếu d A S d' C H  A'  Gọi d ' là hình chiếu của d trên   .  B  S  S.cos  Ta có:   d '    d  https://toanhocplus.blogspot.com S' Trang 11 Hình học không gian cổ điển Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Chuû ñeà 1 KHOÁI ÑA DIEÄN. PHEÙP BIEÁN HÌNH TRONG KHOÂNG GIAN  A. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN I. KHỐI ĐA DIỆN. KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ 1. Khái niệm về hình đa diện B' C' S D' A' F' E' M B A C D A F E B O D C o Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất: + Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung. + Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. o Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện. Cạnh Mặt Đỉnh 2. Khái niệm về khối đa diện o Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. o Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng d nào đấy.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 12 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna o Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó. C' d B' D' A' E' N Điểm ngoài M Điểm trong C B D A E o Khối đa diện được gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn bởi một hình lăng trụ. Khối đa diện được gọi là khối chóp nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp. Khối đa diện được gọi là khối nón cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình nón cụt. Tương tự ta có đinh nghĩa về khối chóp n -giác; khối chóp cụt n -giác; khối chóp đều; khối hộp;... Ví dụ: - Các hình dưới đây là những khối đa diện: - Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện: Giải thích: Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt; Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong hình, điểm đó không phải là đỉnh chung của hai đa giác; Hình c không phải là hình đa diện vì tồn tại một cạnh là cạnh chung của bốn đa giác.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 13 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna 3. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện Nếu khối đa diện  H  là hợp của hai khối đa diện H  ,  H  1 2 sao cho  H 1  và  H 2  không có chung H  1 điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện  H  thành hai khối đa diện  H 1  và  H 2  , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện  H1  và  H 2  với nhau để được khối đa diện  H  . H H  2 MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG  Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.  Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.  Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.  Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh.  Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.  Cho  H  là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số mặt của  H  là lẻ thì p phải là số chẵn. Chứng minh: Gọi M là số các mặt của khối đa diện  H  . Vì mỗi mặt của  H  có p cạnh nên M mặt sẽ có p.M cạnh. Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác nên số cạnh của  H  bằng C  pM . Vì M lẻ nên p phải là số chẵn. 2  (Suy ra từ chứng minh kết quả 6): Cho  H  là đa diện có M mặt, mà các mặt của nó là pM . 2  Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn. những đa giác có p cạnh. Khi đó số cạnh của  H  là C  Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là C và M. Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa 3 M C   M chẵn. 2  Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện. diện là C   Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn. (Tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn).  Không tồn tại một hình đa diện có: + Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh; + Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 14 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna B. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN . HAI HÌNH BẰNG NHAU I. PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHÔNG GIAN o Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ' xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian. o Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý. Nhận xét: + Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình. + Phép dời hình biến một đa diện thành  H  một đa diện  H '  , biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện  H '  . MỘT SỐ PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHÔNG GIAN  1. Phép tịnh tiến theo vectơ v  v   o Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M ' sao cho MM '  v 2. Phép đối xứng qua tâm O M' M o Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M ' sao cho O là trung điểm MM ' o Nếu phép đối xứng tâm O biến hình  H  thành chính nó thì O M M' O được gọi là tâm đối xứng của  H  3. Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  ) o Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng  thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc  thành điểm M ' sao M cho  là đường trung trực của MM ' . M' O o Nếu phép đối xứng trục  biến hình  H  thành chính nó thì    được gọi là trục đối xứng của H . 4. Phép đối xứng qua mặt phẳng  P  : M o Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc  P  thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc  P  thành điểm M ' sao cho  P  là mặt phẳng trung trực của MM ' . I o Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng  P  biến hình  H  thành chính P nó thì  P  được gọi là mặt phẳng đối xứng của  H  . M'  Mặt phẳng đối xứng của một số hình thường gặp Hình hộp chữ nhật có 3 kích thước khác nhau: có 3 mặt phẳng đối xứng.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 15 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Hình lăng trụ tam giác đều: có 4 mặt phẳng đối xứng. Hình chóp tam giác đều (cạnh bên và cạnh đáy không bằng): có 3 mặt phẳng đối xứng. Tứ diện đều: có 6 mặt phẳng đối xứng. A A D C D C H D C H B H B A D A B A C B D A C B D C B Hình chóp tứ giác đều: có 4 mặt phẳng đối xứng.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 16 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Hình bát diện đều: có 9 mặt phẳng đối xứng. Hình lập phương: có 9 mặt phẳng đối xứng.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 17 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna II. HAI HÌNH BẰNG NHAU Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Nhận xét:  Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình đa diện này thành hình đa diện kia.  Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.  Ví dụ: Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình: phép tịnh tiến theo vectơ v và phép đối xứng tâm O hình  H  biến thành hình  H ''  . Ta có: hình  H  bằng hình  H ''  . D'  v D C'' A' A B B' C' O (H') A'' B'' (H'') (H) C D'' III. PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN 1. Phép vị tự trong không gian Định nghĩa: Cho số k không đổi khác 0 và một điểm O cố định. Phép biến hình trong không gian   biến mỗi điểm M thành điểm M sao cho OM  kOM gọi là phép vị tự. Điểm O gọi là tâm vị tự, số k được gọi là tỉ số vị tự. S S' O A' A C' C B' B Các tính chất của phép vị tự:   o Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M , N thành hai điểm M , N  thì MN   kMN và do đó M N   k MN . o Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng. 2. Hai hình đồng dạng Định nghĩa: Hình  H H   được gọi là đồng dạng với hình  H   nếu có một phép vị tự biến hình thành hình  H 1  mà hình  H 1  bằng hình  H   .  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 18 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna C. KHỐI ĐA DIỆN LỒI . KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU I. KHỐI ĐA DIỆN LỒI Định nghĩa: Khối đa diện ( H ) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của ( H ) luôn luôn thuộc ( H ). S B' A' B A D C' B A C C Lưu ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với môi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. (Hình 2.2) Công thức ƠLE: Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt Đ – C + M = 2 II. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây: o Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh. o Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại { p; q}. Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3} và {3; 5}. Tứ diện đều Lập phương  https://toanhocplus.blogspot.com Bát diện đều Trang 19 12 mặt đều 20 mặt đều Khối đa diện. Phép biến hình trong KG Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Đa diện đều cạnh a https://facebook.com/duytuan.qna Thể tích V Đỉnh Cạnh Mặt Tứ diện đều {3; 3} 4 6 4 Lập phương {4; 3} 8 12 6 Bát diện đều {3; 4} 6 12 8 Mười hai mặt đều {5; 3} 20 30 12 Hai mươi mặt đều {3; 5} 12 30 20 V BK mặt cầu ngoại tiếp 2 a3 12 V  a3 V 2 a3 3 R a 6 4 R a 3 2 R a 2 2 V 15  7 5 3 a 4 R 3  15 a 4 V 15  5 5 3 a 12 R 10  20 a 4 Giả sử khối đa diện đều loại { p; q} có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt thì ta luôn có: q.§  2C  p.M MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG VỀ KHỐI ĐA DIỆN LỒI  Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:  Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;  Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều).  Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.  Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.  Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:  Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường  Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau  Ba đường chéo bằng nhau.  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 20 Khối đa diện. Phép biến hình trong KG