Tài liệu Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 9 cực hay, muốn giải cao phải có tài liệu này

GIÁO ÁN DẠY BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 9 1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 2. BÀI GIẢNG HÌNH HỌC PHẦN 1, ĐƯỜNG TRÕN 3. GÓC 4. TỨ GIÁC NỘI TIẾP CHUẨN 5. CHÙM BÀI TẬP CÁT TUYẾN, TIẾP TUYẾN 6. NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG 7. BÀI TẬP HÌNH CHỌN LỌC 8. ĐỀ THI HSG 9. QUY TICH 10. CỰC TRỊ HÌNH HỌC 11. BAI TAP REN LUYEN THEO CHU DE 12. HUONG DAN GIAI BAI TAP THEO CHU DE 13. BÀI TẬP RÈN LUYEN NANG CAO 14. LỜI GIAI BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Hệ thức về cạnh và đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau: Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , ta có: 1) a 2 b2 2) b 2 a.b ';c 2 3) h 2 b '.c ' 4) a.h b.c . 1 5) 2 h 1 b2 6) b' a c2 . A a.c ' b c B h c' b' H C a 1 . c2 b2 . a2 Chú ý: Diện tích tam giác vuông: S 1 ab 2 Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AB : AC 3 : 4 và AB AC 21cm . a) Tính các cạnh của tam giác ABC . b) Tính độ dài các đoạn AH , BH ,CH . http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,.. A Giải: a). Theo giả thiết: AB : AC 3 : 4, H B suy ra AB 3 AC 4 AC 3.4 12 cm . AB 3 AC 4 3 . Do đó AB 3.3 C 9 cm ; Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pythagore ta có: BC 2 AB 2 AC 2 92 122 225 , suy ra BC b) Tam giác ABC vuông tại A , ta có AH .BC AB.AC BC AH AH 2 7,2 9.12 15 x x 15 5, 4 x Vậy BH x 9, 6 AB.AC , suy ra 7,2 cm . BH .HC . Đặt BH 2 15cm . x2 0 x 0 15x x 5,4cm . Từ đó HC 9 thì HC x 51, 84 x x 0 5, 4 hoặc x BC BH 15 5, 4 x , ta có: 9, 6 x 5, 4 9,6 (loại) 9, 6 cm . Chú ý: Có thể tính BH như sau: AB 2 BH .BC suy ra BH AB 2 BC 92 15 5, 4 cm . http://topdoc.vn – Cung cấp, chia sẽ đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word 0 Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC b b 2a , cạnh bên bằng a . a) Tính diện tích tam giác ABC AK . AC AC . Tính tỷ số b) Dựng BK Giải: a). Gọi H là trung điểm của BC . Theo định lý Pitago ta có: AH 2 AC 2 HC 2 b2 b). Ta có 1 BC .AH 2 AK b2 BK 2 2a 2 b 1 a b2 2 a2 K 1 BK .AC 2 BC .AH AC giác vuông AKB ta có: AB 2 A a2 2a 2 b b Suy ra BK AK 2 a2 1 BC .AH 2 Suy ra SABC AH b2 b2 AK do đó AC SABC C a 2 . Áp dụng định lý Pitago trong tam 4a 2 2 b b2 b2 H B b2 a2 2a 2 b2 2 . Suy ra 2a 2 b2 . http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,.. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B,C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a,b, c . a) Tính diện tích tam giác ABC theo a b) Chứng minh: a 2 b2 c2 4 3S Giải: A a). Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác ABC B,C là các góc nhọn. Suy ra chân đường cao hạ từ A lên BC là điểm Ta có: BC BH H B H thuộc cạnh BC . C HC . Áp dụng định lý Pi ta go cho các tam giác vuông AHB, AHC ta có: AB 2 AH 2 HB 2, AC 2 AH 2 HC 2 Trừ hai đẳng thức trên ta có: c2 b2 HB HB HB 2 c2 HC HC HC 2 HB b2 a a BH 2 2 HC HB HC a. HB HC ta cũng có: a2 c2 2a b2 . Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHB AH c a2 c2 2a b2 2 c a2 c2 2a b2 c a2 c2 2a http://topdoc.vn – Cung cấp, chia sẽ đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word b2 a c 2 b2 2a Đặt 2p a a a b a p b p c AH 1 BC .AH 2 b). Từ câu a ) ta có: S a p p3 p. 27 p2 3 a2 b 3 3 c b2 12 3 2 c2 p p p p Cô si ta có: p được: a c b b a c b c a 4a 2 4a 2 ra S c a 2a Từ đó tính được S S 2 c c thì b 16p p AH 2 . b2 b p a p . Hay S 3 a2 a2 b2 b2 p p a a p b p b p c c . Áp dụng bất đẳng thức p b p c 3 3 a b c c . a a p b p p c 2 p3 . Suy 27 2 . Mặt khác ta dễ chứng minh 12 3 c 2 suy ra c2 4 3S Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác ABC đều. Ví dụ 4. Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên CK sao cho AMB 900 . S , S1, S2 theo thứ tự là diện tích các tam giác AMB, ABC và ABH . Chứng minh rằng S S1.S2 . Giải: A Tam giác AMB vuông tại M có M D MK AB nên MK 2 AK .BK (1). H http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,.. B K C CBK vì có AHK AKH 900 ; KAH CKB (cùng phụ với ABC ). Suy ra Từ (1) và (2) suy ra MK 2 SAMB 1 .AB.MK 2 Vậy S S1.S2 . KCB AK CK HK , do đó AK.KB BK CK .HK nên MK 1 AB. CK .HK 2 CK.KH CK .HK ; 1 1 AB.CK . AB.HK 2 2 S1S 2 . Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD có A D 900, B 600,CD 30cm,CA CB . Tính diện tích của hình thang. Giải: Ta có CAD ABC 600 (cùng phụ với CAB ), vì thế trong tam giác vuông ACD ta có AC 2AD . http://topdoc. vn – File word sách tha m khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,.. Theo định lý Pythagore thì: AC 2 2AD 2 AD 2 Suy ra 3AD2 AD2 DC 2 hay 302 900 AD 2 300 nên AD (2) 10 3 cm . http://topdoc.vn – Cung cấp, chia sẽ đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word AB . Tứ giác AHCD là hình chữ nhật vì có A Kẻ CH suy ra AH CD 30cm;CH AD CH 2 HA AB AH 300 30 30 30 1 CH AB 2 SABCD , suy ra HAHB . 2 10 3 HB 900 , H 10 3 cm . Tam giác ACB vuông tại C , ta có: CH 2 HB D CD 10 cm , do đó 40 cm . 10 1 .10 3. 40 2 350 3 cm 2 . 30 Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 350 3cm 2 . Tỉ số lượng giác của góc nhọn KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn AB ; cos BC sin AB ; cot AC B AC AB là một góc nhọn thì + Nếu 0 AC ; tan BC (hình) được định nghĩa như sau: sin tan 1;0 0;cot 1; 0 2. Với hai góc , ta có: sin cos Cạnh đối A Nếu hai góc nhọn và α Cạnh kề 900 , mà cos ;cos Cạnh huyền sin ; tan có sin sin cot ;cot tan . hoặc cos cos thì . http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,.. C 3. sin2 cos2 1; tg .cot g 1. 4. Với một số góc đặc biệt ta có: sin 300 cos 600 cos 300 sin 600 0 1 ; sin 450 2 3 ; cot 600 2 0 tan 45 cot 45 0 1;cot 30 2 2 cos 450 tan 300 0 tan 60 3 3. 5 . Tính cos , tan 13 Ví dụ 1. Biết sin 1 và cot . Giải: C ABC vuông tại A . Cách 1. Xét AC suy ra 5 BC 13 AC 5k, BC AB 2 BC 2 AC AB 5 13 α A k , do đó 13k . Tam giác ABC vuông tại A nên: AC 2 AB BC Vậy cos tan AC BC . Ta có: sin Đặt B 5k 12k 13k 12k 13k 2 5k 2 144k 2 , suy ra AB 12k . 12 ; 13 5 ; cot 12 AB AC 12k 5k 12 5 http://topdoc.vn – Cung cấp, chia sẽ đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word B Cách 2. Ta có sin do đó cos2 tan cot 25 , mà sin2 169 cos2 25 169 144 , suy ra cos 169 12 . 13 sin2 1 sin cos cos sin 5 suy ra sin2 13 5 12 : 13 13 12 5 : 13 13 1 5 13 . 13 12 12 13 . 13 5 1, 5 ; 12 12 . 5 Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác ABC theo đại lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính cos , tan , cot . Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin tính sin2 rồi tính cos từ sin2 cot qua sin và cos . cos2 5 để 13 1 . Sau đó ta tính tan và Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Biết HD : HA 1 : 2 . Chứng minh rằng tgB.tgC 3 . Giải: A Ta có: tgB AD ; tgC BD Suy ra tan B. tanC E AD . CD AD 2 BD.CD H (1) B HBD CAD (cùng phụ với ACB ); HDB Do đó BDH BD.DC DH DC DH .AD (2). Từ (1) và (2) suy ra ADC (g.g), suy ra C D ADC 900 . BD , do đó AD http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,.. AD 2 DH .AD tan B. tanC HD AH HD 1 2 1 hay HD AD (3). Theo giả thiết AH DH HD AD 3HD DH được: tan B. tanC 1 , suy ra AD 3 1 suy ra 2 3HD . Thay vào (3) ta 3. 12 . Tính sin , cos . 25 Ví dụ 3. Biết sin .cos Giải: 12 . Để tính sin , cos ta cần tính sin 25 giải phương trình với ẩn là sin hoặc cos . Biết sin .cos cos rồi Ta có: sin ra sin cos 2 cos cos 7 5 cos sin2 cos2 7 5 7 nên sin 5 12 25 2 sin .cos 7 cos 5 cos2 12 25 5 cos 5 cos 35 cos 12 0 5 cos 4 5 cos 3 0 . Suy ra cos + Nếu cos 4 thì sin 5 3 thì sin 5 12 : 25 12 : 25 4 5 3 5 2. 12 25 49 . Suy 25 cos . Từ đó ta có: 25 cos2 + Nếu cos 1 4 3 5 cos 4 hoặc cos 5 4 3 . 5 3 . 5 4 . 5 http://topdoc.vn – Cung cấp, chia sẽ đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word 0 Vậy sin 4 hoặc sin 5 3 , cos 5 4 , cos 5 3 . 5 Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề. b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cot của góc kề. b a.sin B a cosC ;c a.sinC a.cos B;b c.tgB c.cot gC ; c b.tgC b.cot gC 2. Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác vuông đó. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB 16, AC 14 và B 600 . a) Tính độ dài cạnh BC b) Tính diện tích tam giác ABC . Giải: A a). Kẻ đường cao AH . Xét tam giác vuông ABH , ta có: BH AB.cos B AB.cos 600 16. 1 2 8 B 600 H 3 8 3 . Áp dụng định lý 2 Pythagore vào tam giác vuông AHC ta có: AH AB.sin B AB.sin 600 16. http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,.. C HC 2 AC 2 Vậy BC AH 2 CH b) Cách 1. SABC 142 HB 8 3 2 8 1 BC .AH 2 2 196 192 4 . Suy ra HC 2. 10 . 1 .10.8 3 2 40 3 (đvdt) 1 1 3 BC .BA.sin B .10.16. 40 3 (đvdt) 2 2 2 http://topdoc .vn – File wo rd sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,.. Cách 2. SABC Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết ABC 450, ACB 600 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R . Giải: Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng tam A giác ABC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam giác vuông bằng cách. Dựng các đường thẳng qua C , B lần lượt vuông góc với C 600 450 H AC , AB . Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng trên. Khi đó tam giác ABD và ACD là các tam giác D vuông và 4 điểm A, B,C , D cùng nằm trên đường tròn đường kính AD 2R . 3 R 3 . Kẻ đường cao AH suy ra 2 http://topdoc.vn – Cung cấp, chia sẽ đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word Ta có: AB AD.sin 600 AD. B BC .Tức là: BC H AH BH CH . Tam giác AHB vuông góc tại H nên BH AB 2 2 AB.sin 450 giác ACH vuông tại H nên AC 2 R 1 BC 2 2 AD 3 2 . 2 2 AH 2 CH 2 . Từ đó tính được diện tích S R 6 . Mặt khác tam 2 R CH 2 R2 3 3 4 . Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B,C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a,b, c . Chứng minh rằng: a) a 2 b2 c2 2bc cos A b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Chứng minh: 2bc.cos AD b A 2 c Giải: B a). Dựng đường cao BH của tam giác c ABC ta có: a Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh AC . Ta có: AC AH A HC . H b C Áp dụng định lý Pi ta go cho các tam giác vuông AHB, BHC ta có: AB 2 AH 2 HB 2, BC 2 BH 2 HC 2 Trừ hai đẳng thức trên ta có: http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,.. c2 a2 HA2 HA HA HC 2 c2 HC HC HC HA HC b. HA HC ta cũng có: b2 AH b2 AH AB cos A a2 b b HA c2 2b c2 a 2 2bc a2 a2 . Xét tam giác vuông AHB ta có: b2 c2 2bc cos A . Cách 2: Xét tam giác vuông CHB ta có: BC 2 BH 2 Ta có: AH BC 2 BH 2 AC AH 2 BH 2 AH 2 AC 2 c2 2bc cos A 2AC .AH CB.cos A suy ra BH BC 2 HC 2 2 AH 2 BA2 AC 2 AC 2 2AC .CB.cos A hay 2AC .CB.cos A a2 b2 b). Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau: + sin2 +S 2 sin .cos 1 ab sinC 2 *) Thật vậy xét tam giác vuông ABC , A BC , dựng đường cao AH . Đặt ACB 900 , gọi M là trung điểm của AMB 2 . A Ta có sin sinC AH AC h b b h cos cosC AC BC b a B H 2α M α http://topdoc.vn – Cung cấp, chia sẽ đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word C sin 2 sin AMH AH AM Từ đó ta suy ra: sin2 h a 2 2h . a 2 sin .cos . *) Xét tam giác ABC . Dựng đường cao BE ta có: SABC 1 BE .AC 2 A 1 BE .b (1) 2 E Mặt khác trong tam giác vuông AEB ta có: sin A BE AB BE c.sin A B C thay vào (1) 1 ab sinC 2 Ta có: S Trở lại bài toán: Ta có SABD 1 AD.AB sin A1 2 1 A AD.c.sin 2 2 A 1 2 b c SACD 1 AD.AC sin A2 2 Suy ra SABC SACD SABD 1 A AD.b.sin 2 2 B D http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,.. C 1 A AD sin c 2 2 A AD sin c 2 1 bc sin A 2 b . Mặt khác SABC b bc sin A 2bc cos bc sin A AD b c sin c A 2 A 2 b Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau: cos2 2 cos2 1 2 sin2 1 . 900 , gọi M là trung điểm của Thật vậy xét tam giác vuông ABC , A BC , dựng đường cao AH . Đặt ACB cosC Ta có : cos sinC sin cos 2 a 4 AB BC 2 AC BC c , a AM cos AMH 2 AMB 2 . A b a c b 2α a B 2 MB AB 2AM .MB 2 α M 2 a c2 4 a a 2 . 2 2 a2 2c 2 a2 đó suy ra cos2 2 cos2 Áp dụng a 2 c2 b2 1 1 2bc cos A A b2 c2 a 2 2 cos2 2 2bc thức đường phân giác ta có: 1 c 2 a 1 2 1 2. b2 c2 a2 b2 a2 b 2 a 2 1 . Từ 2 sin2 a2 A cos2 2 b 2bc 2 cos2 c 2 4bc a2 A 2 1 . . Thay vào công http://topdoc.vn – Cung cấp, chia sẽ đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word C 2 b c a2 A 2bc 2bc cos 4bc 2 AD c b b c Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: bc 2p b c 2 a b b AD c a b bc b c a b b c a 2 c a . c p(p a ) với c. http://topdoc.v n – File word sách tha m khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,.. Áp dụng công thức: a 2 b 2 c 2 2bc cos A . Ta cũng chứng minh được hệ thức rất quan trọng trong hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là: ‘’Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC khi đó ta có: AB 2 .CD AC 2 .BD BC AB 2 BD.DC ’’ A + Thật vậy :Ta giả kẻ AH BC không mất tính tổng quát, ta giả sử D nằm trong đoạn B H D C HC . Khi đó ta có: AB 2 AD 2 BD 2 2AD.BD.cos ADB AD 2 BD 2 2DB.DH (1) Tương tự ta có: AC 2 AD 2 DC 2 2DH .DC (2). Nhân đẳng thức (1) với DC đẳng thức (2) với BD rồi cộng lại theo vế ta có: AB 2 .CD AC 2 .BD BC AB 2 BD.DC http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,.. Ví dụ 3. Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng 6 sin 750 2 4 . Giải: A Vẽ tam giác ABC vuông tại A với BC 2a ( a là một độ dài tùy ý) B 750 . 150 , suy ra B ,C H C I Gọi I là trung điểm của BC , ta có IA IB a . Vì AIB là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác cân IC IAC nên AIB IH AI .cos 300 CH CI IH 300 . Kẻ AH 2C a 3 ; AH 2 a AI .cos 300 a 2 a 3 2 BC thì a ; 2 3 . 2 Tam giác AHC vuông tại H , theo định lý Pythagore, ta có: AC 2 CH 4a 2 2 2 AH 3 4 sin 750 sin B 2 a2 2 AC BC a2 2 2 a2 4 a2 4 3 , suy ra AC a 2 3. 3 4 3 4 a 2 2a 3 4 3 3 1 4 2 2 2 3 2 2 http://topdoc.vn – Cung cấp, chia sẽ đề thi, giáo án, sknn, chuyên đề, sách tham khảo,…file word 3 1 2 3 2 2 Vậy sin 750 1 2 2 6 2 4 2 3 2 2. 2 1 6 2 4 . . http://topdoc.vn – File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm, đề thi,..