GIÁO ÁN DẠY BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI
ĐẠI SỐ - LỚP 9
1. BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
2. HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC 2
3. HỆ BẬC NHẤT HAI ẨN
4. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH ẬP PHƯƠNG TRÌNH
5. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO, PT PHÂN THỨC
6. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
7. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
8. BẤT ĐẲNG THỨC
9. 10 ĐỀ ÔN TẬP MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 CHUẨN
Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Chương 1: Căn thức
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:
Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x 2 a .
Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là
một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a :
x 0
a 0
2
x a
ax
Với hai số thực không âm a, b ta có:
Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
A0
A
+ A2 A
nếu
A0
A
+
a là
a b a b.
A2 B A B A B với A, B 0 ;
A2 B A B A B với
A 0; B 0
+
+
A
B
A.B
B2
A.B
với AB 0, B 0
B
M
M. A
với A 0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
A
A
M A
B
M
với A, B 0, A B (Đây gọi là phép
A B
A B
trục căn thức ở mẫu)
+
1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ:
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word 1
Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là
Cho a R; 3 a x x3
Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.
Nếu a 0 thì
3
a 0.
Nếu a 0 thì
3
a 0.
Nếu a 0 thì
3
a 0.
a
3
3
a 3a
với mọi b 0 .
b 3b
3
ab 3 a . 3 b với mọi a, b .
ab 3 a 3 b .
A 3 B 3 A3 B .
3
3
A
B
A
B
3
3
3
3
a là số x sao cho x3 a
a
AB 2
với B 0
B
A
B3
3
1
A2 3 AB 3 B 2
với A B .
3
A B
A3 B
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word
1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
Cho số a R, n N ; n 2 . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy
thừa bậc n của nó bằng a.
Trường hợp n là số lẻ: n 2k 1, k N
Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
2 k 1
a x x2 k 1 a , nếu a 0 thì
2 k 1
a 0 , nếu a 0 thì
a 0 , nếu a 0 thì 2 k 1 a 0
Trường hợp n là số chẵn: n 2k , k N .
2 k 1
Mọi số thực a 0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn
dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k số học của a ). Căn bậc
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word
chẵn âm kí hiệu là 2k a ,
2k
a x x 0 và x 2k a ;
2k a x x 0 và x 2k a .
Mọi số thực a 0 đều không có căn bậc chẵn.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:
a) P x4 4
b) P 8x3 3 3
c) P x4 x2 1
Lời giải:
3 4 x
a) P x 2 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 .
b) P 2 x
3
3 2x
3
2
2 3x 3 .
c) P x 2 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 .
2
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:
a) A x x x
1
khi x 0 .
4
b) B 4 x 2 4 x 1 4 x 2 4 x 1 khi x
1
.
4
c) C 9 5 3 5 8 10 7 4 3
Lời giải:
2
1
1
a) A x x x x x x
4
2
x
1
2
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word 3
+ Nếu
x
1
1
x thì
2
4
+ Nếu
x
1
1
0 x thì
2
4
x
1
1
1
x A .
2
2
2
x
1
1
1
x A2 x
2
2
2
b)
B 4 x 2 4 x 1 4 x 2 4 x 1 4 x 1 2 4 x 1 1 4 x 1 2 4 x 1 1
Hay B
2
4x 1 1
2
4x 1 1
4x 1 1
4x 1 1
4x 1 1 4x 1 1
+ Nếu
4x 1 1 0 4x 1 1 x
1
thì
2
4 x 1 1 4 x 1 1 suy
ra B 2 4 x 1 .
+ Nếu
4x 1 1 0 4x 1 1
1
1
x thì
4
2
4 x 1 1 4 x 1 1 suy ra B 2 .
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word
c) Để ý rằng: 7 4 3 2 3
2
74 3 2 3
Suy ra
C 9 5 3 5 8 10(2 3) 9 5 3 5 28 10 3
9 5 3 5
5 3
2
.Hay
C 9 5 3 5(5 3) 9 25 9 5 4 2
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word
Ví dụ 3) Chứng minh:
a) A 7 2 6 7 2 6 là số nguyên.
84 3
84
là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp
1
9
9
10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).
b) B 3 1
c) Chứng minh rằng: x 3 a
a
a 1 8a 1 3
a 1 8a 1
a
với
3
3
3
3
1
là số tự nhiên.
8
d) Tính x y biết x x 2 2015
y
y 2 2015 2015 .
Lời giải:
a) Dễ thấy A 0,
Tacó
A2
72 6 72 6
7 2 6 7 2 6 2 7 2 6. 7 2 6
2
14 2.5 4
Suy ra A 2 .
b) Áp dụng hằng đẳng thức: u v u 3 v3 3uv u v . Ta có:
3
3
84 3
84
84
84
84 3
84
1
B3 3 1
1
1
3 3 1
. 1
9
9
9
9
9
9
84 3
84
3 1
. Hay
1
9
9
84
84
84
3
3 1
B3 2 3 3 1
1
.
B
B
2
3
B B3 2 B B3 B 2
9
9
81
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word 5
2
1 7
B 1 B B 2 0 mà B B 2 B 0 suy ra B 1 .
2 4
Vậy B là số nguyên.
2
2
c) Áp dụng hằng đẳng thức: u v u 3 v3 3uv u v
3
Ta có
x3 2a 1 2a x x3 2a 1 x 2a 0 x 1 x 2 x 2a 0
Xét đa thức bậc hai x2 x 2a với 1 8a 0
+ Khi a
1
1
1
ta có x 3 3 1 .
8
8
8
1
+ Khi a , ta có 1 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x 1
8
Vậy với mọi a
a 1 8a 1 3
a 1 8a 1
1
a
1 là
ta có: x 3 a
3
3
3
3
8
số tự nhiên.
d) Nhận xét:
x 2 2015 x
x 2 2015 x x 2 2015 x 2 2015 .
Kết hợp với giả thiết ta suy ra
x 2 2015 x y 2 2015 y
y 2 2015 y x2 2015 x x2 2015 x y 2 2015 y x y 0
Ví dụ 4)
a) Cho x 4 10 2 5 4 10 2 5 . Tính giá trị biểu thức:
x 4 4 x3 x 2 6 x 12
P
.
x 2 2 x 12
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word
b) Cho x 1 3 2 . Tính giá trị của biểu thức
B x4 2 x4 x3 3x2 1942 .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC
Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016).
c) Cho x 1 3 2 3 4 . Tính giá trị biểu thức:
P x5 4 x4 x3 x2 2 x 2015
Giải:
a) Ta có:
2
x 2 4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 4 10 2 5 . 4 10 2 5
x2 8 2 6 2 5 8 2
5 1
2
82
5 1 6 2 5
5 1
2
x 5 1 . Từ đó ta suy ra x 1 5 x 2 2 x 4 .
2
x
Ta biến đổi: P
2
2 x 2 x 2 2 x 12
2
x 2 2 x 12
42 3.4 12
1.
4 12
b) Ta có x 1 3 2 x 1 2 x3 3x 2 3x 3 0 . Ta biến đổi
3
biểu thức P thành:
P x2 ( x3 3x2 3x 3) x x3 3x 2 3x 3 x3 3x 2 3x 3 1945 1945
c) Để ý rằng: x 3 22 3 2 1 ta nhân thêm 2 vế với
3
2 1 để tận
dụng hằng đẳng thức: a b a b a ab b . Khi đó ta có:
3
3
2 1 2 2 1
2 1 x 1 2 x x 1 2 x
3
2 1 x
3
3
3
3
2
2
2
3
3
x 1 x3 3x 2 3x 1 0 .
3
Ta biến đổi:
P x5 4 x4 x3 x2 2 x 2015 x2 x 1 x3 3x2 3x 1 2016 2016
Ví dụ 5) Cho x, y, z 0 và xy yz zx 1 .
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word 7
a) Tính giá trị biểu thức:
1 y 1 z y 1 z 1 x z 1 x 1 y
2
Px
2
2
1 x2
b) Chứng minh rằng:
2
2
1 y2
2
1 z2
x
y
z
2
2
1 x 1 y 1 z2
2 xy
1 x 1 y 1 z
2
2
2
Lời giải:
a) Để ý rằng: 1 x2 x2 xy yz zx ( x y)( x z )
Tương tự đối với 1 y 2 ;1 z 2 ta có:
1 y 1 z x y x y z z x z y x y z
2
x
2
1 x2
x y x z
Suy ra P x y z y z x z x y 2 xy yz zx 2 .
b) Tương tự như câu a)
Ta có:
x
y
z
x
y
z
2
2
2
1 x 1 y 1 z
x y x z x y y z z y z x
x y z y z x z x y
2 xy
x y y z z x
x y y z z x
2 xy
1 x 1 y 1 z
2
Ví dụ 6)
a) Tìm x1 , x2 ,..., xn thỏa mãn:
x12 12 2 x2 2 22 .. n xn 2 n2
1 2
x1 x22 ... xn2
2
4n 4n 2 1
với n nguyên dương. Tính
2n 1 2n 1
f (1) f (2) .. f (40) .
b) Cho f (n)
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word
2
2
Lời giải:
a) Đẳng thức tương đương với:
2
x12 12 1
2
x2 2 22 2 ...
xn 2 n 2 n
2
0
Hay x1 2, x2 2.22 ,..., xn 2.n2
x 2 y 2 4n
b) Đặt x 2n 1, y 2n 1 xy 4n 2 1 .
x2 y 2 2
Suy ra
x 2 xy y 2 x3 y 3 1 3
1
3
f ( n)
2
x y3
2n 1
2
x y
x y
2
2
Áp dụng vào bài toán ta có:
1
f 1 f 2 .. f 40 33 13 53 33 ..
2
1
813 13 364
2
2n 1
3
.
813 793
Ví dụ 7)
1
1
1
....
4 . Đề thi
1 2
3 4
79 80
a) Chứng minh rằng:
chuyên ĐHSP 2011
b) Chứng minh rằng:
1
1
1
1
1
...
2 1
.
1 2 2 3 3 4
n n 1
n 1
1
1
1
1
1
...
2 n 1 với
1
2
3
4
n
mọi số nguyên dương n 2 .
c) Chứng minh: 2 n 2
Lời giải:
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word 9
1
1
1
,
....
1 2
3 4
79 80
1
1
1
B
..
2 3
4 5
80 81
a) Xét A
Dễ thấy A B .
1
1
1
1
1
....
1 2
2 3
3 4
79 80
80 81
Ta có A B
1
Mặt khác ta có:
Suy ra A B
k k 1
2 1
k 1 k
k 1 k
3 2 ...
k 1 k
k 1 k
81 80 81 1 8 . Do
A B suy ra 2 A A B 8 A 4 .
b) Để ý rằng:
1
1
1
1
với
k
k 1
2k k 1
k (k 1) k 1 k
mọi k nguyên dương.
Suy ra
1 1
1
1
1
1
VT 2 1
.. 2
2 1
.
2
2 2
3
n 1
n 1
n
c) Đặt P
Ta có:
1
1
1
1
1
...
1
2
3
4
n
2
n n 1
1
2
2
với mọi số tự nhiên n 2 .
n 2 n
n n 1
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word
Từ đó suy ra
2
2
2
2
2
2
n 1 n 2 n
n n 1
2
n 1 n
2 n n 1
n
n 1 n
T 1 2
Do đó: 2
n n 1 hay
3 2 ... n 1 n T và
2 1 3 2 .... n n 1 .
2 1
Hay 2 n 2 T 2 n 1.
Ví dụ 8)
a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
a 1 b2 b 1 c 2 c 1 a 2
3
.Chứng minh rằng:
2
3
.
2
a) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
a 2 b2 c 2
x 1 y 2 y 2 z 2 z 3 x 2 3 . (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp
10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014)
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có
a 1 b2 b 1 c 2 c 1 a 2
a 2 1 b2 b2 1 c 2 c 2 1 a 2 3
.
2
2
2
2
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word 11
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a 1 b 2
a 2 1 b 2
2
3
2
2
2
2
2
b 1 c b 1 c a b c (đpcm).
2
c 2 1 a 2
2
c 1 a
b) Ta viết lại giả thiết thành: 2 x 1 y 2 2 y 2 z 2 2 z 3 x 2 6 .
Áp dụng bất đẳng thức : 2ab a 2 b2 ta có:
2x 1 y 2 2 y 2 z 2 2z 3 x2 x2 1 y 2 y 2 2 z 2 z 2 3 x2 6
. Suy ra VT VP . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ
khi:
x 2 y 2 z 2 3; x, y, z 0
x, y , z 0
x 1 y2
2
2
2
2
x y 1
x y 1
2
2
x 1; y 0; z 2
y 2 z 2
y z2 2
y z2 2
2
2
z 3 x
2
z 2 x2 3
z x 3
Ví dụ 9) Cho A
x
x4 x4 x4 x4
x 2 8 x 16
với x 4
a) Rút gọn A .Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x 4 .
x
A
x
x4 2
2
x 4
x4 2
x4 2
2
2
x4 2 x
x4 2
x4
x4 2
x4
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word
+ Nếu 4 x 8 thì
A
x
x 4 2 0 nên
x4 22 x4
x4
4x
16
4
x4
x4
Do 4 x 8 nên 0 x 4 4 A 8 .
+ Nếu x 8 thì
x 4 2 0 nên
x4 2 x4 2
2x
x4
2x
8
2 x4
2 16 8
x4
x4
x4
x4
(Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
8
2 x4
x4 4 x 8.
x4
A
x
Vậy GTNN của A bằng 8 khi x 8 .
b) Xét 4 x 8 thì A 4
16
, ta thấy A Z khi và chỉ khi
x4
16
Z x 4 là ước số nguyên dương của 16 . Hay
x4
x 4 1;2;4;8;16 x 5;6;8;12;20 đối chiếu điều kiện suy ra x 5
hoặc x 6 .
+ Xét x 8 ta có: A
A
2 m2 4
m
2m
2x
, đặt
x4
x m2 4
x4 m
khi đó ta có:
m
2
8
suy ra m 2;4;8 x 8;20;68 .
m
Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x 5;6;8;20;68 .
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word 13
Với x 0 , cho hai biểu thức A
2 x
và B
x
x 1 2 x 1
.
x
x x
1) Tính giá trị biểu thức A khi x 64 .
2) Rút gọn biểu thức B .
A 3
3) Tính x để .
B 2
Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)
1) Cho biểu thức A
x 4
. Tính giá trị của biểu thức A .
x 2
x
4 x 16
2) Rút gọn biểu thức B
(với
:
x
4
x
4
x
2
x 0, x 16 )
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của
x để giá trị của biểu thức B A 1 là số nguyên.
Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội).
Cho A
x
10 x
5
, với x 0, x 25 .
x 5 x 25
x 5
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của A khi x 9 .
1
3) Tìm x để A .
3
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word
4)
Câu 4. (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội).
x
2 x 3x 9
, với x 0, x 9 .
x 3
x 3 x 9
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word
Cho P
1) Rút gọn P .
1
2) Tìm giá trị của x để P .
3
3) Tìm giá trị lớn nhất của P .
Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh)
Thu gọn các biểu thức sau:
A
5 5
5
3 5
52
5 1 3 5
x
1
2
6
B
: 1
x 3
x x3 x
x3 x
x 0 .
Câu 6. (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM)
Thu gọn các biểu thức sau:
x
3 x 3
với x 0, x 9 .
A
.
x 3 x 9
x 3
B 21
2 3 3 5
2
6
2 3 3 5
15 15 .
2
Câu 7. (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)
Rút gọn biểu thức P
x 2
2x 2
, với x 0, x 2 .
x2
2 xx 2
Câu 8. (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định)
Cho A
1
1
1
1
...
và
1 2
2 3
3 4
120 121
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word 15
B 1
1
1
.
...
2
35
Chứng minh rằng B A .
Câu 9. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)
Cho biểu thức P
x3 y 3
x y
. 2
,x y.
2
2
x xy y x y 2
1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tính giá trị của P khi x 7 4 3 và y 4 2 3 .
Câu 10. (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN)
Cho các số thực dương a, b ; a b .
Chứng minh rằng:
a b
3
a b
3
b b 2a a
a a b b
3a 3 ab
0.
ba
Câu 11. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ)
A
x x 6 x 7 x 19 x 5 x
; x 0, x 9 .
x 9
x x 12 x 4 x
Câu 12. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh)
Cho biểu thức A
1
1
2 x
2 x 2 x 4 x
x 0, x 4 .
1
Rút gọn A và tìm x để A .
3
Câu 13. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi).
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word
3
3
x xx
. Tìm tất cả
x 3 x
x 3 x
x 1
các giá trị của x để P 2 .
1) Cho biểu thức P
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho P : y x 2 và đường thẳng
d : y mx 1 ( m là tham số). chứng minh rằng với mọi giá trị của
m , đường thẳng d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt có hoành
độ x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 2 .
Câu 14. (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)
Cho biểu thức C
a
2
2
.
a 16
a 4
a 4
1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C .
2) Tính giá trị của biểu thức C khi a 9 4 5 .
Câu 15. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)
2
3
5 x 7 2 x 3
Cho biểu thức A
:
x 2 2 x 1 2 x 3 x 2 5 x 10 x
x 0, x 4 .
1) Rút gọn biểu thức A .
2) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.
Câu 16. (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội)
1) Tính giá trị của biểu thức A
x 1
, khi x 9 .
x 1
1 x 1
x2
2) Cho biểu thức P
với x 0 và x 1 .
.
x 2 x 1
x2 x
x 1
.
x
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word 17
a) Chứng minh rằng P
b) Tìm các giá trị của x để 2P 2 x 5 .
Câu 17) Cho a 3 5 2 3 3 5 2 3 . Chứng minh rằng
a 2 2a 2 0 .
Câu 18) Cho a 4 10 2 5 4 10 2 5 .
a 2 4 a 3 a 2 6a 4
.
a 2 2a 12
Tính giá trị của biểu thức: T
Câu 19) Giả thiết x, y, z 0 và xy yz zx a .
Chứng minh rằng:
a y a z y a z a x
2
x
a x2
2
2
a x a y 2a .
2
a y2
2
z
2
a z2
Câu 20. Cho a 2 7 3 61 46 5 1 .
a) Chứng minh rằng: a 4 14a 2 9 0 .
b) Giả sử f x x5 2 x4 14 x3 28x 2 9 x 19 . Tính f a .
Câu 21. Cho a 3 38 17 5 3 38 17 5 .
Giả sử có đa thức f x x3 3x 1940
Câu 22. Cho biểu thức f n
2016
. Hãy tính f a .
2n 1 n n 1
n n 1
.
Tính tổng S f 1 f 2 f 3 ... f 2016 .
Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word
1
1 1 1
1 5
2 2 ... 2 .
2
1 2 3
n
3
Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 , ta có
1 1 1
1 65
3 3 ... 3
.
3
1 2 3
n 54
Câu 25) Chứng minh rằng:
43
1
1
1
44
...
44 2 1 1 2 3 2 2 3
2002 2001 2001 2002 45
(Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002)
Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có:
1
1
1
1
...
1
.
2 2 1 1 3 3 2 2
n 1
n 1 n 1 n n
Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2 , ta có:
1 4 7 10 3n 2 3n 1
1
. . . ....
.
.
3 6 9 12
3n 3n 3 3 n 1
LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1
1). Lời giải:
1) Với x 64 ta có A
B
2 64 2 8 5
.
8
4
64
x 1 . x x 2 x 1 . x
x. x x
Với x 0 , ta có:
x x 2x
1
1
x xx
x 1
A 3
2 x 2 x 3
:
B 2
x
x 1 2
x 2
x 1
x 1 3
2
x
http://topdoc.vn – File sách tham khảo, giáo án dạy thêm,...file word 19
- Xem thêm -
.PDF 
532 
79 
60 
