Tài liệu Bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 9

Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 1 C©u 1 : a) TÝnh A = 2  2 3  1 2 2 3 2008 2009  vµ 2009 2008 b) So s¸nh : C©u 2 : a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2 + x + 12 x 1 = 2008  2009 36 b) T×m c¸c sè nguyªn x , y sao cho : y= x 2  4x  5 C©u 3 : a) BiÕt a , b , c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh ph¬ng tr×nh : x2 + ( a - b - c )x + bc = 0 v« nghiÖm b) Cho M = x2 + y2 + 2z2 + t2 ; víi x , y , z , t lµ sè tù nhiªn . H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M vµ c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng cña x,y,z,t biÕt r»ng:  x 2  y 2  t 2 21 2 2 2  x  3 y  4 z 101 C©u 4 : Cho ®o¹n th¼ng AB=2a , trªn AB lÊy mét ®iÓm C tuú ý . VÏ ®êng trßn t©m I ®êng kÝnh AC vµ vÏ ®êng trßn t©m K ®êng kÝnh BC . MN lµ tiÕp chung ngoµi cña hai ®êng trßn (M ( I ), N  ( K ) ) ; Cx lµ tiÕp tuyÕn chung trong cña hai ®êng trßn . a) Chøng minh c¸c ®êng th¼ng AM,BN,Cx ®ång quy t¹i mét ®iÓm D . b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm C trªn AB sao cho tø gi¸c DMCN cã diÖn tÝch lín nhÊt . C©u 5 : Chøng minh r»ng nÕu a  b > 2 th× ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm 2ax2 + bx +1 - a = 0 Híng dÉn tr¶ lêi C©u 1 : Gi¸o viªn võa híng dÉn võa yªu cÇu häc sinh lµm theo gi¸o viªn. a) A= 2 2 42 3 2  2 4 2 3 GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật ( Nh©n tö vµ mÉu víi 2 ) 1 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG = 2 2  ( 3  1) = 2 (3   Bộ Đề 2 2  ( 3  1)  2 3 3  2 3 3 3  3  3)  2 9 3 b)Hái: Em nµo lµm ®îc bµi nµy? 2008 2009 2009  1 2008  1   = = 2009 2008 2009 2008 Ta cã = 2009 1 2008 1    = 2009 2009 2008 2008 = ( 2008  2009 )+ ( 1 1  2008 2009 Ta thÊy 2008  2009 � Do ®ã 1 1  >0 ; 2008 2009 suy ra ( 2008  2009 )+ ( VËy 1 1  ) 2008 2009 2008 2009  > 2009 2008 1 1  )> 2008 2009 2008  2009 2008  2009 C©u 2 : a) Gîi ý: Dïng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô ®Ó lµm. x2 + x + 12 x  1 = 36 x(x+1)+ 12 x  1 = 36 ĐKXĐ : x  1 §Æt x  1 = t 0 ; ph¬ng tr×nh trë thµnh : ( t2 - 1 )t2 + 12t = 36 t4 - ( t - 6 )2 = 0 ; suy ra (t2 - t + 6)(t2 + t - 6) = 0 Ph¬ng tr×nh t2 - t + 6 = 0 v« nghiÖm Ph¬ng tr×nh t2 + t - 6 = 0 cã nghiÖm lµ t 1 = -3< 0 (lo¹i) t2 = 2 > 0 Víi t = 2 th× x=3 x  1 =2 ; tõ ®ã t×m ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 2 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề b) x2 + 4x + 5 = (x+2)2 +1 > 0 víi mäi x , nªn y x¸c ®Þnh víi mäi x ; tõ ®ã ta còng cã y > 0 . B×nh ph¬ng 2 vÕ y= x 2  4 x  5 ta ®îc : y2 = (x+2)2 +1 (y + x + 2)(y - x - 2 ) = 1 V× x,y lµ sè nguyªn nªn (y + x + 2) vµ (y - x - 2 ) còng nhËn gi¸ trÞ nguyªn . Ta thÊy tæng vµ tÝch cña 2 biÓu thøc nµy lµ d¬ng nªn ta cã :  y  x  2 1   y  x  2 1 ; tõ ®ã ta t×m ®îc (x=-2;y=1) C©u 3 : a) (1®)  = (a-b-c)2 - 4bc = a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac + 2bc - 4bc = a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac - 2bc = = a2 - a(b+c) + b2 - b(a+c) + c2 - c(a+b) V× a,b,c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn : 0 0 GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 4 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Tõ ®ã ta cã 0 0, x 1, biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn:  x  x 1 x x 1  x 2  x  .   x x x x    x  x x 1 x . Gi¶i ph¬ng tr×nh: (2x + 1)2(x + 1)x = 105 §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 Baøi 1 Cho hai soá nguyeân döông a vaø b  a �b  ñeàu khoâng chia heát cho 5 . Chöùng minh raèng a4 – b4 M5. Baøi 2 : a) Ruùt goïn : x  2 x 1 :   x 1 1 b) Tính :  4  15  .  10  6  . 4  15 Baøi 3 : GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 5 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Cho a > 2 ; b > 2 . Chöùng minh raèng : ab > a + b Baøi 4 : Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc sau : A = x  2 x 1  x  2 x 1 Baøi 5 : Cho ñieåm M naèm trong tam giaùc ABC nhoïn . Chöùng minh raèng : 4 SABC � AM.BC + BM.CA + CM.AB ---*--- HÖÔÙNG DAÃN Baøi 1 : Gi¸o viªn: C¸c em muèn lµm ®îc bµi to¸n nµy chóng ta ph¶i vËn dông tÝnh chÊt chia hÕt mµ c¸c em ®· häc ë líp 6. Hái: Em nµo lµm ®îc bµi nµy? Häc sinh: Suy nghÜ lµm.  5 Chöùng minh raèng : n4 – 1 M Ta coù baøi toaùn phuï sau : n � ; n M 5 Do : n4 – 1 = ( n2 – 1 ).( n2 + 1 )  5 � n chia 5 dö �1 hoaëc �2 n M  Neáu n chia 5 dö �1 � n2 chia 5 dö 1 GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 6 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề � n2 – 1 M5 Do ñoù : n4 – 1 M5  Neáu n chia 5 dö �2 � n2 chia 5 dö 4 � n2 + 1 M5 Do ñoù : n4 – 1 M5 AÙp duïng cho baøi toaùn treân : Do : a4 – 1 M5 vaø b4 – 1 M5 Hái: Em h·y cho biÕt b¹n ®· dïng nh÷ng kiÕn thøc nµo ®Ó lµm bµi tËp trªn? Baøi 2 : Gi¸o viªn gäi hai em lªn b¶ng lµm. Häc sinh lªn b¶ng lµm. a) Ruùt goïn : x  2 x 1 : ÑK : x �2; x �1   x  1  1 :  x 1 1 2   x 1 1 :   x 1 1  x  1  1 x  2 x 1 :    x 1 1 � � 1 Neáu x  1  1 0 1 Neáu x  1  1 � � � � 1 Neáu x  1  1  0 1 Neáu x  1  1 � � 1 Neáu x  1 1 1 Neáu x  2 � � � � 1 Neáu x  1  1 1 Neáu 1 �x  2 � �  b) Tính : 4  15  10  6 GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật  4  15 7 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG  4 4 4 4 4 4 Bộ Đề   5  3  . 2. 4  15 15  . 5  3  . 2.  4  15  15  . 5  3  . 8  2 15 15  . 5  3  .  5  3  15  . 5  3  .  5  3  15  . 5  3    4  15  .  8  2 15  15  . 4  15  .2   4  15  .2  2  4  15 . 2 2 2 2 Baøi 3 : Do a  2 ; b  0 neân a.b  2.b vaø b  2 ; a  0 neân a.b  2.a Töø  1 vaø  2   1  2 Ta ñöôïc : a.b  a.b  2.a  2.b � 2a.b  2.  a  b   ÑPCM  � a.b  a  b Baøi 4 : Gi¸o viªn híng dÉn C¸c em dïng bÊt ®¼ng thøc sau ®Ó lµm bµi nµy. a  b �a  b A x  2 x 1  x  2 x 1 ÑK : x � 1 A x 1 2 x 1 1  A A   x 1 1 x 1 1  2   x 1 2 x 1 1  x 1 1 2 x 1 1 AÙp duïng baát ñaúng thöùc a  b �a  b tacoù A x 1 1  1 GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật x 1 � x 1  1 1 x 1  2  2 8 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG  Bộ Đề   � � x  1  1 1  x  1 �0 A� 2� � �x �1 Vaäy Mim A  2 khi 1 �x �2 Baøi 5 : raèng : 1 x 2 Cho ñieåm M naèm trong tam giaùc ABC nhoïn Chöùng minh 4.SABC �AM . BC + BM . CA + CM . AB A M  E B A' C F Keùo daøi AM caét caïnh BC taïi A’ Veõ BE  AM taïi E ( E �AM ) CF  AM taïi F ( F �AM ) Ta coù : BE. AM �BA’. AM (1) CF. AM �CA’. AM (2) Laáy (1) + (2) veá theo veá Ta ñöôïc : BE. AM + CF. AM �BA’. AM + CA’. AM Hay : ( BE + CF ). AM �AM ( BA’ + CA’) Neân : ( BE + CF ). AM �AM . BC Do ñoù ta coù toång dieän tích : 1 2 ( SABM + SACM ) �BC. AM � SABM + SACM � BC. AM 2 GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật (*) 9 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề 1 Töông töï ta chöùng minh ñöôïc : � SABM + SCBM � AC. BM (**) 2 1 � SACM + SCBM � AB. CM (***) 2 Coäng veá theo veá (*) , (**), (***) cho ta 1 2(SABM + SACM + SCBM) � ( BC. AM + AC. BM + AB. CM ) 2 1 � 2 . S ABC � ( BC. AM + AC. BM + AB. CM ) 2 � 4 . S ABC � BC. AM + AC. BM + AB. CM ( ÑPCM) D. Bµi tËp vÒ nhµ. Bµi 1: 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y  x 23x  5 . x 1 Bµi 2. Cho a, b ≥ 0 tho¶ m·n : a  DÊu b»ng x¶y ra khi nµo ? Bàµi3: Cho biÓu thøc. P= b 1 . Chøng minh r»ng: ab(a + b)2 ≤ 1 64 . 1 1 a2  2   2 1  a 2 1  a 1  a3     a) Rót gän P. b) Tìm Min P. Bài 2: Cho x, y lµ hai sè kh¸c nhau tháa m·n: x2 + y = y2 + x Tính gi¸ trÞ cña biÓu thøc : P = x 2  y 2  xy xy - 1 §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái Bµi 1: Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh bËc hai a.x 2  b.x  c  0 cã hai nghiÖm d¬ng x1 ; x2 th× ph¬ng tr×nh cx 2  bx  a  0 còng cã hai nghiÖm x3 ; x4 ®ång thêi: x1  x2  x3  x4 �4 . Bµi 2: 1. Cho a; b; c lµ c¸c sè thùc ®«i mét kh¸c nhau. Rót gän biÓu thøc sau: A Bµi 3: a  b  c  a  b  a  c  b  c  b  a   c  a   c  b  2. Cho c¸c sè thùc d¬ng x; y; z tho¶ m·n: x3  y 3  z 3  3xyz  0 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: B   x  y  27   y  x  6   z  x  2008 1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 10 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề � 2 x 2  3x  y  0 � �2 2 �x  1  x  4 x  5  y  x  3 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh:  x  1 4   x  3 4  34 Bµi 4: Cho ®êng trßn (O; R) vµ mét ®êng th¼ng d ®i qua O. LÊy A vµ B lµ hai ®iÓm thuéc d sao cho OA = OB < R; M lµ ®iÓm tuú ý trªn (O; R) tho¶ m·n OM kh«ng vu«ng gãc víi d ®ång thêi M kh«ng thuéc d. C¸c ®êng th¼ng MA, Mo, MB C¾t (O; R) lÇn lît t¹i Q, R, P (kh¸c M). §êng th¼ng PQ c¾t d t¹i S. 1. Chøng minh: MA2  MB 2  AB 2 2. Chøng minh SR lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O; R). Bµi 5: 1. Cho a; b lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n: a + b =1. Chøng minh r»ng: 1 1  2 �6 a.b a  b 2 2. T×m tÊt c¶ c¸c bé sè nguyªn d¬ng x; y; z sao cho:  x  y  z  2  2 x  2 y lµ sè chÝnh ph¬ng. Híng dÉn gi¶i GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 11 bµi Bµi 1 ®¸p ¸n Hái: H·y nªu c¸ch lµm cña bµi tËp nµy? 1 1 2 Tài Liệu Bồi Dưỡng x0 > 0 ta cã : ax0  bx0  c  0 � a  b  c 2  0 Víi HSG x0 x0 Bộ Đề Do ®ã nÕu x1 ; x2 lµ nghiÖm d¬ng cña PT: a.x 2  b.x  c  0 th× : x3  1 1 ; x4  lµ nghiÖm cña PT: cx 2  bx  a  0 x1 x2 Ta cã: x1  x2  x3  x4  x1  Theo B§T c«si: x1  Bµi 2 1 1  x2  . x1 x2 1 1 �2; x2  �2 (V× x1 ; x2 d¬ng) x1 x2 VËy: x1  x2  x3  x4 �4 . A 1. = a.(b  c) b(c  a) c (a  b )   (a  b)( a  c)(b  c) (b  c)(b  a)(c  a) (c  a)(c  b)(a  b) a (b  c)  b(c  a)  c(a  b) (a  b)(a  c)(b  c) Ta cã:a(b-c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0 VËy A = 0 2.Ph©n tÝch x 3  y 3  z 3  3xyz  ( x  y  z )( x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx . Do x; y; z d¬ng nªn x + y + z > 0 � x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  0 MÆt kh¸c: � x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  1 1 1 2 2 2  x  y    y  z    z  x 2 2 2 �x yz VËy: B   x  y  27   y  x  6   z  x  2008 Hái: Em ®· dïng kiÕn thøc nµo ®Ó lµm bµi nµy? Bµi 3 � 2 x 2  3x  y  0 � 1. �2 2 �x  1  x  4 x  5  y  x  3 (1) (2 ) NÕu hÖ cã nghiÖm (x; y) tõ (1) � y  2 x 2  3x thay vµo (2)  � x2 1  2x2  4x  3   x  2 2  1 �2 x 2  4 x  3 (3) Do 2x 2 - 4x + 3 > 0 vµ  x  2  2  1 �1x  � 2x2  4x  3   x  2 2  1 �2 x 2  4 x  3 VËy tõ (3) � x 2  1 �2 x 2  4 x  3 �  x  2  2 �0 � x  2 Víi x = 2 thay vµo hÖ ta ®îc y = 2 VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt x = y = 2 2. §Æt Minh x - 2 =Nhật t, ta ®îc ph¬ng tr×nh  t  1 4   t  1 4  34 GV biên soạn: Nguyễn � 2t  12t  2  34 � t  6t  16  0(*) 4 2 4 2 K I A Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) ta ®îc t 2  2 � t  � 2 E 12 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề D. Bµi tËp vÒ nhµ. Cho biÓu thøc P=     a 1   1 2   :  a  1 a  a   a  1 a  1  a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi a = 3 + 2 2 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho P < 0. §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 Bµi 1: 1) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n tho¶ m·n: n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng. 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2  x 2  2  = 5 x  1 3 Bµi 2: Cho c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau: x  1 + x2 = y x 5 + y 5 + Chøng minh r»ng: x = y 2 2  1 + y2 Bµi 3: Gäi a lµ tham sè thùc sao cho ph¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 vµ x2 . 3ax2  x12  3a a2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =  3ax1  x 22  3a a2 Bµi 4: Gäi O lµ t©m ®êng trßn tiÕp xóc víi c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA cña tø gi¸c ABCD. Qua A, B, C, D lÇn lît vÏ c¸c ®êng th¼ng dA, dB, dC, dD sao cho dA  OA, dB  OB, dC  OC, dD  OD. C¸c cÆp ®êng th¼ng dA vµ dB, dB vµ dC, dC vµ dD, dD vµ dA t¬ng øng c¾t nhau t¹i c¸c ®iÓm K, L, M, N. 1) Chøng minh r»ng ba ®iÓm K, O, M th¼ng hµng. 2) §Æt OK = k, OL = l, OM = m. TÝnh ®é dµi ON theo k, l, m. GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 13 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Híng dÉn gi¶i Bµi 1.1 Hái: Khi nµo ®ù¬c gäi lµ sè chÝnh ph¬ng? Häc sinh: Sè chÝnh ph¬ng lµ b×nh ph¬ng cña sè tù nhiªn. Häc sinh len b¶ng lµm. Gi¶ sö tån t¹i sè tù nhiªn n tho¶ m·n n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng th× n2 + 2006 = m2 víi m lµ sè tù nhiªn => (m-n)(m+n) = 2006 (*). Khi ®ã: - nÕu m vµ n kh¸c tÝnh ch½n lÏ th× (m-n)(m+n) lÎ . M©u thuÉn víi (*) - nÕu m vµ n cïng tÝnh ch½n lÏ th× (m-n)(m+n) chia hÕt cho 4, nhng 2006 kh«ng chia hÕt cho 4. Còng m©u thuÉn víi (*) Tãm l¹i gi¶ sö trªn kh«ng ®óng. VËy kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n tho¶ m·n n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng. Bµi 1.2 Hái: H·y nªu ®iªï kiÖn x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh? Häc sinh: §K: x3 + 1  0 (*). BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®· cho (1) <=>  2 x2  2  = 5 ( x  1)( x 2  x  1) Hái: Em h·y ®Æt Èn phô ®Ó gi¶i ph¬ng tr×nh nµy? Häc sinh: §Æt ( x  1) = u; ( x 2  x  1) = v (1) => u2 + v2 = x2 + 2. Khi ®ã (1) trë thµnh: 2(u2 + v2) = 5u.v => u = 2v ; u = v/2 Thay vµo (1); gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh; t×m ®îc: x = 5  37 2 vµ x = 5 37 2 Thö vµ thÊy c¸c gi¸ trÞ trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm: x = 5  37 2 vµ x = 5 37 2 Bµi 2 Gi¸o viªn híng dÉn: BiÕn ®æi ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch. GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 14 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề Gi¶ sö cã x, y tho¶ m·n + x2  5 x  1 + x2 = y2  5 + y  1 + y2 => x  1; y  1 - NÕu x=1=y th× x = y (®pcm !) - NÕu x, y kh«ng ®ång thêi = 1 th× b»ng c¸ch nh©n víi BT liªn hîp, ®îc: x  1 + x2 = y  1 + y2 <=> x 5 + y 5 + 2 <=> ( 2 x2  5 <=>(x2- y2)/( - y2  5 x2  5 + )+( x  1 - y2  5 ) +(x - y)/( y  1 ) + (x2 - y2) = 0 x  1 + y  1 )+(x2-y2) = 0 <=> (x - y).((x+y)/( x  5 + y  5 ) +1/( x  1 + y  1 ) +x+y)= 0 <=> x - y = 0 <=> x = y (v× : (x+y)/( x  5 + y  5 ) + 1/( x  1 + y  1 ) + x + y > 0) VËy nÕu x, y tho¶ m·n ®¼ng thøc trªn th× x = y Chó ý: Cã thÓ ch/m x = y b»ng c¸ch lo¹i trõ c¸c kh¶ n¨ng x < y; x > y Bµi 3 Gi¸o viªn: Trong bµi nµy ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c« si ®Ó lµm. Do ph¬ng tr×nh x2 - 3ax - a = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x1 vµ x2 nªn ta cã : 9a2 + 4a > 0 (1) ; x12 - 3ax1 - a = x22 - 3ax2 - a = 0 ; x1 + x2 = 3a => x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a (2) 2 2 Khi ®ã: A = 2 2 3ax 2  x12  3a a2 a2 9a 2  4a   = 9a 2  4a a2 3ax1  x 22  3a a2 Theo (1) th× 9a2 + 4a > 0 nªn ¸p dông B§T C«si, ta ®îc A  2. A = 2 <=> 9a2 + 4a = a2 <=> a = -1/2. DÔ kiÓm tra thÊy víi a = -1/2 th× x1 = -1 vµ x2 = -1/2 VËy Anhá nhÊt = 2, ®¹t ®îc khi a = -1/2 ; x1 = -1 vµ x2 = -1/2 4. 1) Häc sinh lªn b¶ng vÏ h×nh Gi¸o viªn gäi ý ®Ó häc sinh tr¶ lêi tõng ý mét. Hái: Muèn chøng minh 3 ®iÓm th¼ng hµng ta cÇn chøng minh ®iÒu g×? Häc sinh: ®Ó chøng minh 3 ®iÓm th¼ng hµng ta ®i chøng minh gãc t¹o bëi 3 ®iÓm ®ã b»ng gãc bÑt. Hái: Em nµo chøng minh ®îc ®iÒu nµy? Häc sinh: Lªn b¶ng lµm: GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 15 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề DÔ thÊy AKBO, BLCO, CMDO vµ DNAO lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp. vµ c¸c ®o¹n th¼ng OA, OB, OC, OD t¬ng øng lµ ph©n gi¸c c¸c gãc A, B, C, D cña tø gi¸c ABCD. Cã KOL + LOM =  - OKB - OLB +  - OLC - OMC =  - BAO - BCO +  - CBO - CDO = 2 - ( A + B + C + D )/2 = 2 -  =  Tõ ®ã suy ra c¸c ®iÓm K, O, M th¼ng hµng 4. 2 Gi¸o viªn: Chøng minh t¬ng tù nh trªn ta ®îc ba ®iÓm naof th¼ng hµng? Häc sinh: Chøng minh t¬ng tù ta ®îc ba ®iÓm N, O, L th¼ng hµng. Gi¸o viªn cho häc sinh lªn b¶ng lµm. Häc sinh lªn b¶ng lµm. Chøng minh t¬ng tù nh trªn, ta ®îc N, O, L th¼ng hµng. Ta chøng minh tø gi¸c KLMN néi tiÕp. ThËt vËy, cã: NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC = (1/2).( A + B + C + D ) = 2 Tõ ®ã chøng minh ®îc OK.OM = ON.OL Do ®ã ON = (OK.OM)/OL hay ON = k.m/l Gi¸o viªn chét l¹i: H·y nªi nh÷ng kiÕn thøc ®· dïng trong bµi h«m nay? D. Bµi tËp vÒ nhµ. Gi¸o viªn chÐp lªn b¶ng bµi tËp vÒ nhµ cho häc sinh chÐp vµo vë ghi. Ba× 1: Cho a > b > 0 tháa m·n: 3a2 +3b2 = 10ab. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P= a b a b Bµi 2: Cho x > y > 0 vµ 2x2 +2y2 = 5xy x y TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc E = x y Bµi 3: 1) Cho a + b + c = 0 CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = 0 vµ xyz � 0 TÝnh gi¸ trÞ cñ biÓu thøc: M= yz xz xy   x2 y 2 z 2 GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 16 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề §Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 Bµi 1 Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011. Víi gi¸ trÞ nµo cña x,y th× M ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã? Bµi 2 Chøng minh r»ng 1 2 1  1 3 1  ...  1  2 víi mäi n �N* ( n  1) n Bµi 3 Gi¶i ph¬ng tr×nh a/ x 2  6 x  10 + x 2  6 x  18 = 6x -5-x2 Bµi 4 Chøng minh r»ng x, y, z, x + b/ 2( x 2  2)  5 x3  1 y + z ®Òu lµ c¸c sè h÷u tØ th× x , y , còng lµ c¸c sè h÷u tØ. Bµi 5 1/ Chøng minh r»ng nÕu mét ®ëng th¼ng kh«ng ®i qua gèc to¹ ®é, c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng a, c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng b th× ®êng th¼ng ®ã z cã d¹ng x y   1. a b 2/Cho ®êng th¼ng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 a/ Chøng minh r»ng ®êng th¼ng lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh víi mäi m. c/ TÝnh gi¸ trÞ cña m ®Ó kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é O ®Õn ®êng th¼ng lµ lín nhÊt. Bµi 6 Cho tam gi¸c OAB (OA = OB). VÏ ®êng cao OH, AK biÕt OA = a, � AOH   . a/ TÝnh c¸c c¹nh tam gi¸c AKB theo a vµ  . GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 17 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề b/ TÝnh c¸c c¹nh cña c¸c tam gi¸c OKA vµ AKB theo a vµ 2  . Tõ ®ã biÓu diÔn sin2  , cos2  theo sin  , cos  . Bµi 7 : Cho h×nh vu«ng ABCD. O lµ mét ®iÓm thuäc miÒn trong h×nh vu«ng sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3. TÝnh sè ®o gãc AOB ? Híng dÉn tr¶ lêi Hái : H·y nªu c¸ch t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ? Häc sinh : Ta ph¶i chøng minh biÓu thøc ®ã lín h¬n hoÆc b»ng mét h»ng sè. Häc sinh lªn b¶ng lµm. Bµi 1 Ta cã: M = (x2 – 2x + 1) + (y2 + xy + 1) + xy – x – y + 1 + 2008 = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) + 2008 = (x – 1)2 + ( y  1) 2 y 1 3  2( x  1).  ( y  1) 2  2008 4 2 4 = 2  y  1 3 2  ( x  1)  ( 2)   4 ( y  1)  2008 2008   y 1   x  1 0 M cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2008 khi  2  y  1 0 VËy x  y 1.  Bµi 2 Gi¸o viªn híng dÉn häc sinh c«ng htøc sau. §Ó ý r»ng: <  1 k   k  1 ( k  1) k  k 1  1  k   k ( k  1)  k k 1 1  2  1 . 2  k 1  k  k  1 k    k = 1  1 1     k  1  k k 1  1   k 1 Gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh lªn b¶ng lµm. Häc sinh lªn b¶ng lµm. Do ®ã : 1 1   1  2   2 1 2  1 ; Céng c¸c b®t trªn, ta cã: 1  1 1   2   ... 3 2 3  2 1 2 1  1 3 1  ...  1 ; 1  1  2  ( n  1) n  1   21  ( n  1) n  1    2 n 1  1   n 1  (®pcm) Bµi 3 : Gi¸o viªn gîi ý häc sinh lµm bµi. Dïng tÝnh chÊt ®èi nghÞch ®Ó lµm bµi nµy. Ta chøng minh mét vÕ kh«ng lín h¬n 4 mét vÕ kh«ng nhá h¬n 4 a) Ta cã VT Kh«ng lín h¬n 4, VP kh«ng nhá h¬n 4 , vËy pt tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi hai vÕ cïng b»ng 4. Tõ ®ã ta t×m ®îc x = 3 . GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 18 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG b) Ta cã Bộ Đề 2( x 2  2) 5 x 3  1  2 x  1  x 2  x  1 5  x  1  x 2  x  1 H·y dïng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô ®Ó lµm ! Häc sinh lªn b¶ng lµm. §Æt x 1 a ; x 2  x  1 b víi a, b 0  §a pt vÒ d¹ng  2 2 a 2  b 2 5 ab  4 a  b  25ab   2a  b  a  2b  0 Gi¶i pt ta t×m ®îc x = 5  37 2 vµ x = 5 37 2 Bµi 4: Gi¸o viªn võa ch÷a võa hìng dÉn cho häc sinh. §Æt t = x + y + z  Q, Ta cã: x + y = 2t -t  x+y+2 z xy = z + t2 – z 2 xy = - x – y + z + t2 - 2t  4xy = (x + y + z – t2)2 + 4t2 + 4t (x + y – z z – t2) z  (x + y + z – t2)2 + 4zt2 – 4xy = 4t (t2 – x –y – z)  NÕu t = 0 : Q x + y + z =0  x=y=z=0   NÕu t2 – x – y + z = 0, t  0: th× 2   xy 0   z 0   x 0     y 0   z 0   x 0; z 0;   y 0; z 0;  * NÕu t ( t – x –y + z) 0 2 z z xy y t x t = - 2t  x x z  , y = , y = z xy +t z Q =0 z =0 (t 2  x  y  z ) 2  4 zt 2  4 xy = Q 4t (t 2  x  y  z ) LËp luËn t¬ng tù, ta suy ra: x , y  Q Bµi 5 Gi¸o viªn: H·y nªu c¸ch lµm bµi nµy? 1) Gäi ®êng th¼ng cÇn x¸c ®Þnh lµ y = mx + n. §êng th¼ng ®i qua ®iÓm (0 ; b) nªn : b = m.0 + n  n = b. §êng th¼ng ®i qua ®iÓm (a ; 0) nªn: 0 = m.a + b  m = §êng th¼ng cÇn x¸c ®Þnh cã d¹ng: y = - b x  b hay y a GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật b   b a (chó ý r»ng a 0). x x y  1 tøc lµ  1. a a b 19 Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề 2a) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (1) ®i qua ®iÓm cè ®Þnh N(xo,yo) lµ: (m – 2)xo + (m – 1)yo = 1 víi mäi m  mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0 víi mäi m  (xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 víi mäi m  xo  yo 0 xo  1   2xo  yo 10  yo 1 VËy c¸c ®êng th¼ng (1) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh N (-1; 1). b) Gäi A lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (1) víi trôc tung. Ta cã: x = 0  y = 1 m 1 do ®ã OA = . Gäi B lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng (1) víi trôc hoµnh. Ta cã: y = 0  x = OB = 1 m 2 1 , m 1 1 m 2 , do ®ã . Gäi h lµ kho¶ng c¸ch Tõ O ®Õn ®êng th¼ng (1). Ta cã: 1 1 1 3 1 1  2 (m  1) 2  (m  2) 2 2m 2  6m  5 2(m  ) 2   . 2 2 2 2 2 h OA OB Suy ra h2  2. max h = 2 khi vµ chØ khi m = 3 2 . O Bµi 6 O a) Ta cã BAK = AOH = α. Tõ tam gi¸c vu«ng OHA, ta cã AH = OAsinα = K asinα vËy AB = 2asinα , mÆt kh¸c trong tam gi¸c vu«ng AKB th× AK = AB. 2 cosα suy ra AK = 2a.sinα.cosα vµ BK = AB.sinα nªn BK B = 2a.sin α. A b) Víi tam gi¸c OKA : AK = OA sinHAOK nªn AK = asin2α . OK = OAcos AOK nªn OK = acos2α -GV Víi tamsoạn: gi¸cNguyễn AKB taMinh cã : Nhật AK = asin2α mµ BK = OB – OK= a – acos2α biên hay BK = a(1 – cos2α) 20