Ts t« v¨n ban
Bµi gi¶ng
X¸c suÊt thèng kª
Vµ
Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn
(Dành cho các lớp cao học kỹ thuật - HVKTQS)
PHIªn B¶N 09/05 - 12/05 - 08/06 - 11/06 - 20/03/07 - 15/05/07 - 10/7/2007 - 05/09/07
(Ch−a hoµn thiÖn)
Hµ néi - 2005 - 2006 - 2007
http://www.ebook.edu.vn
M ỤC L ỤC
PhÇn –Ch−¬ng
Néi dung
trang
Môc lôc
2
Lêi nãi ®Çu
5
C¸c ký hiÖu hay sö dông
7
PhÇn I
X¸c suÊt Thèng kª
9
Ch−¬ng I
KiÕn thøc bæ sung vÒ x¸c suÊt
9
§1.1. C¸c biÕn ngÉu nhiªn quan träng
9
§1.1. BiÕn nhÉu nhiªn chuÈn
8
§1.2. VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn
11
§1.3. Më réng kh¸i niÖm mËt ®é ®èi víi BNN rêi r¹c
17
C©u hái vµ bµi tËp Ch−¬ng I
20
Ch−¬ng II
Ch−¬ng III
§3.5.Sù héi tô cña d·y c¸c BNN
23
3.5.1. C¸c d¹ng héi tô
23
3.5.2. C¸c ®Þnh lý giíi h¹n
25
Ch−¬ng IV
Lý thuyÕt −íc l−îng
PhÇn II
Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn
32
Ch−¬ng V
Nh÷ng kh¸i niÖm tæng qu¸t
32
§5.1. Më ®Çu
32
5.1.1. C¸c ®Þnh nghÜa
32
5.1.2. Ph©n lo¹i s¬ bé
33
5.1.3. VÝ dô vÒ QTNN
34
5.1.4. Hä c¸c ph©n bè h÷u h¹n chiÒu
35
§5.2. Mét sè líp c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn
36
5.2.1. Qu¸ tr×nh cÊp II
36
5.2.2. Qu¸ tr×nh sè gia ®éc lËp
38
5.2.3. Qu¸ tr×nh dõng (QT dõng theo nghÜa hÑp, dõng
39
theo nghÜa réng, dõng ®ång thêi)
5.2.4. Qu¸ tr×nh Gauss
§5.3.TÝnh chÊt ergodic vµ trung b×nh thêi gian
2
http://www.ebook.edu.vn
45
46
5.3.1. Giíi thiÖu
46
5.3.2. Ergodic kú väng
47
5.3.3. Ergodic ph−¬ng sai, tù hiÖp ph−¬ngsai, PS chÐo
50
5.3.4. C¸c lo¹i ergodic kh¸c
54
5.3.5. §o hµm t−¬ng quan
55
§5.4.Liªn tôc, ®¹o hµm, tÝch ph©n
57
5.4.1. Liªn tôc (theo x¸c suÊt, theo trung b×nh)
57
5.4.2. §¹o hµm (theo b×nh ph−¬ng trung b×nh)
59
5.4.3. TÝch ph©n (theo b×nh ph−¬ng trung b×nh)
61
§5.5.Hai QTNN quan träng
5.5.1. QT Poisson (®Þnh nghÜa, x¸c suÊt ®ång thêi n
65
65
chiÒu, hµm tù t−¬ng quan, d·y thêi ®iÓm ®Õn, x¸c
®Þnh c−êng ®é dßng ®Õn, c¸c biÕn thÓ, nhiÔu b¾n,
sinh c¸c quü ®¹o)
75
5.5.2. QT Wiener (®. nghÜa, c¸c tÝnh chÊt, sinh quü ®¹o)
74
5.5.3. Giíi thiÖu vÒ c¸c QTNN kh¸c
77
§5.6. Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn phøc
C©u hái lý thuyÕt vµ bµi tËp ch−¬ng V
Ch−¬ng VI
77
79
Xö lý c¸c QTNN
86
§6.1.MËt ®é phæ c«ng suÊt
86
6.1.1. VÊn ®Ò nghiªn cøu QTNN trong miÒn tÇn sè
86
6.1.2. MËt ®é phæ c«ng suÊt
89
6.1.3. MËt ®é phæ c«ng suÊt chÐo
93
6.1.4. MËt ®é phæ c«ng suÊt cho QT thùc kh«ng dõng
95
6.1.5. MËt ®é phæ c«ng suÊt cho d·y ngÉu nhiªn
97
6.1.6. Mét sè m« h×nh nhiÔu (nhiÔu tr¾ng, nhiÔu nhiÖt,
99
nhiÔu tr¾ng th«ng d¶i, nhiÔu mµu, nhiÔu b¾n)
6.1.7. Phæ c«ng suÊt cña QTNN phøc
103
(VÝ dô: Phæ v¹ch, hiÖu øng Doppler)
§6.2.C¨n b¶n vÒ hÖ tuyÕn tÝnh
107
6.2.1. HÖ tuyÕn tÝnh tæng qu¸t
107
6.2.2. HÖ tuyÕn tÝnh bÊt biÕn theo thêi gian
109
6.2.3. HÖ nh©n qu¶ vµ hÖ æn ®Þnh
112
3
http://www.ebook.edu.vn
6.2.4. Tr−êng hîp hÖ rêi r¹c
§6.3. HÖ tuyÕn tÝnh víi ®Çu vµo ngÉu nhiªn
113
115
6.3.1. VÊn ®Ò ®Çu ra
115
6.3.2. C¸c ®Æc tr−ng x¸c suÊt cña QT ®Çu ra
117
6.3.3. §¸p øng hÖ LTI rêi r¹c víi ®Çu vµo ngÉu nhiªn
120
6.3.4. C¸c vÝ dô (HÖ lý tưëng, Läc bËc nhÊt, Trung b×nh
122
trưît, Phæ cña QT ®¹o hµm)
§6.4. Qu¸ tr×nh tù håi quy – trung b×nh ®éng
6.4.1. Qu¸ tr×nh tù håi quy AR
124
4.4.2. Qu¸ tr×nh trung b×nh ®éng MA
128
6.4.3. Qu¸ tr×nh ARMA
130
§6.5. Qu¸ tr×nh th«ng d¶i vµ ®iÒu chÕ
133
6.5.1. Qu¸ tr×nh th«ng d¶i
133
6.5.2. NhiÔu trong hÖ th«ng tin ®iÒu biªn AM
138
6.5.3. NhiÔu trong hÖ th«ng tin ®iÒu tÇn FM
142
147
§6.6. Läc phèi hîp
6.6.1. Tr−êng hîp tæng qu¸t
147
6.6.2. Läc phèi hîp cho nhiÔu mµu
148
6.6.3. Läc phèi hîp cho nhiÔu tr¾ng
149
§6.7. ¦íc l−îng tuyÕn tÝnh tèi −u
Chư¬ng VII
151
6.7.2. Bµi to¸n lµ tr¬n – Läc Wiener bÊt kh¶ thi
153
6.7.3. Läc Wiener kh¶ thi
155
C©u hái lý thuyÕt vµ bµi tËp Ch−¬ng VI
159
Qu¸ tr×nh Markov
•
XÝch Markov
⎩
•
Qu¸ tr×nh Markov víi thêi gian liªn tôc
PhÇn III
151
6.7.1. §Æt bµi to¸n
⎧
(dù tr÷) ⎨
124
Phô lôc A - Các bảng thống kê
Phô lôc B - PhÐp biÕn ®æi Fourier
171
B¶ng B-1 TÝnh chÊt cña phÐp biÕn ®æi Fourier
171
B¶ng B-2. CÆp phÐp biÕn ®æi Fourier
172
Tµi liÖu tham kh¶o
4
http://www.ebook.edu.vn
173
Ch−¬ng 1. kiÕn thøc bæ Sung vÒ x¸c suÊt
§1.1.C¸c biÕn ngÉu nhiªn quan träng
1.1.1.BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c
Tªn
KÝ hiÖu
X¸c suÊt P {X = k}
K× väng
Ph−¬ng sai
NhÞ thøc
B(n,p)
Ckn p k (1 − p) n −k ; k = 0,1,..., n
np
np(1-p)
Poisson
P( λ )
λ k e −λ
; k = 0,1,...
k!
λ
λ
G(p)
p(1-p)
1− p
p
1− p
H×nh häc
........
.........
Siªu h×nh
häc
k
; k=0,1,2,...
CkNp CnN−−kNp
H(N,n,p)
CnN
; k = 0,1,..., n
p2
C¸c luËt ph©n bè rêi r¹c kh¸c: ®Òu rêi r¹c, nhÞ thøc ©m,...
1.1.2BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc
Tªn
KÝ hiÖu
MËt ®é
K× väng
Ph−¬ng sai
§Òu
U([a;b])
1
; a≤x≤b
b−a
a+b
2
(b − a) 2
12
Mò
E( λ )
λ e − xλ ; λ ,x>0
1/ λ
1/ λ 2
Cauchy
C (α, β)
β /[π(β2 + (x − α ) 2 )]
Kh«ng tån t¹i
Kh«ng tån
t¹i
ChuÈn
N(m, σ 2 )
⎧⎪ (x − m) 2 ⎫⎪
exp ⎨−
⎬ (σ > 0)
2σ2 ⎭⎪
2πσ2
⎩⎪
m
σ2
Gamma
Γ(r, λ)
λ
(λx) r −1 e −λx ; λ, r, x > 0
Γ(r)
r
λ
r
λ2
Khi b×nh
ph−¬ng
χ 2 (n)
n
2n
Student
T(n)
Γ((n + 1) / 2))
x2
(1 + ) −(n +1) / 2
n
nπΓ(n / 2)
0
n
n−2
FisherSnecdecor
F(n,m)
n −2
n+m
−
2
Bx
(m + nx) 2 ; m, n, x > 0
..........
..........
1
λ Γ(1 + 1/ λ )
..........
Weibul
L«ga chuÈn
Rayleigh
1
n
x
−1 −
2
x
e 2
W( α, λ )
LN(m, σ2 )
n
/(2 2 Γ(n / 2);
αλx
λ−1 −αx λ
e
x > 0, n = 1, 2,...
; α, λ , x > 0
2
⎪⎧ (ln x − m) ⎪⎫
x −1 exp ⎨−
⎬ ; σ, x > 0
2
2
σ
2
⎪
⎪
2πσ
⎩
⎭
2
2
(x − a)e− (x −a) / b , x ≥ a
b
1
http://www.ebook.edu.vn
α
−
⎧⎪
exp ⎨m +
⎩⎪
a+
σ2 ⎫⎪
⎬
2 ⎭⎪
πb
4
……
b
4−π
4
∞
L−u ý: Γ(u) = ∫o t u −1e− t dt víi u>0 – hµm Gamma.
TÝnh chÊt: Γ(u + 1) = uΓ(u) ; Γ(n) = (n − 1)! ; Γ(1/ 2) = π .
C¸c luËt ph©n bè liªn tôc kh¸c: Bª ta, tam gi¸c,...
BiÕn ngÉu nhiªn chuÈn rÊt quan träng ta dµnh ra 1 phÇn riªng.
§.1.2. BiÕn ngÉu nhiªn chuÈn
2
⎪⎧ (x − m) ⎪⎫
exp ⎨ −
(σ > 0)
2 ⎬
2
2
σ
⎪
⎪
2πσ
⎩
⎭
1
1.2.1.TÝnh chÊt hµm mËt ®é . f(x) =
+Hµm mËt ®é x¸c ®Þnh trªn ¡ ;
+f(x) > 0: §å thÞ n»m trªn trôc hoµnh;
+Trôc Ox lµ tiÖm cËn ngang;
1
, ®¹t ®−îc t¹i x = m;
+Gi¸ trÞ cùc ®¹i
2
2πσ
+§å thÞ ®èi xøng qua ®−êng th¼ng x=m, cã d¹ng h×nh chu«ng (H×nh 1.1).
1
2πσ2
O
x
m
H×nh 1.1. §å thÞ hµm mËt ®é cña ph©n bè chuÈn.
⎧⎪E[X] = m;
1.2.2.C¸c tham sè ®Æc tr−ng
(1.1)
⎨
2
D[X]
.
=
σ
⎪⎩
Nh− vËy nhËn thÊy r»ng, chØ cÇn biÕt k× väng vµ ph−¬ng sai lµ cã thÓ biÕt
mËt ®é f(x) vµ do ®ã hoµn toµn biÕt vÒ ph©n bè chuÈn. Cßn cã thÓ tÝnh ®−îc
+§é chÖch
+§é nhän
Skew(X) =
Kurt(X) =
E[(X − EX)3 ]
σ3
E[(X − EX) 4 ]
σ4
= 0;
- 3 = 0.
(1.2)
1.2. 3.Bnn chuÈn ho¸ (chuÈn t¾c).
X ®−îc gäi lµ biÕn nn chuÈn t¾c nÕu X ∼ N(0,1).Hµm mËt ®é cña nã cho bëi
http://www.ebook.edu.vn
8
−
x2
2
1
e
.
2π
§Æc ®iÓm : -Gi¸ trÞ cña ϕ(x) ®−îc lËp b¶ng víi x∈ {0;4];
-§å thÞ ®èi xøng qua trôc tung;
ϕ(x) =
(1.3)
-Hµm ph©n bè t−¬ng øng
x
−
t2
2 dt
1
(1,4)
∫e
2π −∞
còng ®−îc lËp b¶ng. Tuy nhiªn, ®Ó tiÕt kiÖm b¶ng, thay cho F(x), ng−êi ta lËp
b¶ng gi¸ trÞ cña hµm Laplace:
F(x) =
2
x −t
e 2 dt,
1
∫
2π 0
Φ (x) =
Víi x > 3, coi Φ (x) ≈
x∈ [0; 3].
(1.5)
1
.
2
H×nh 1.2. §å thÞ hµm mËt ®é chuÈn ho¸ (a) vµ ®å thÞ hµm Laplace (b).
Khi cÇn tÝnh F(x) qua Φ (x) hay ng−îc l¹i, dïng c«ng thøc :
1
(1,6)
F(x) = + Φ (x).
2
C«ng thøc sau rÊt cã Ých ®Ó tÝnh x¸c suÊt X n»m trªn ®o¹n nµo ®ã:
P {X ∈ [ a;b ]} = Φ (b) − Φ (a).
(1,7)
1.2.4.BiÕn ®æi tuyÕn tÝnh bnn chuÈn.
+Cho X ∼ N(m, σ2 ) ⇒ ∀a, b ∈ ¡ , Y= a X+b cã ph©n bè chuÈn.
Tõ ®ã dÔ thÊy aX+b ∼ N(am+b, a 2 σ2 ).
X−m
+HÖ qu¶. X∼ N(m, σ2 ) ⇒ U =
∼ N(0,1).
σ
http://www.ebook.edu.vn
9
(1.8)
HÖ qu¶ nµy cho ta ph−¬ng ph¸p thuËn lîi ®Ó tÝnh P {X ∈[a;b]} :
b−m
a−m
⎧a − m X − m b − m ⎫
≤
≤
) − Φ(
). (1.9)
P {X ∈ [ a;b ]} =P ⎨
⎬ = Φ(
σ
σ
σ
σ ⎭
⎩ σ
1.2.5.Ph©n vÞ .Ph©n vÞ chuÈn møc α , kÝ hiÖu U α , lµ gi¸ trÞ x¸c ®Þnh bëi
2
+∞ − t
e 2 dt
1
∫
2π U
P {U > U α } = α , víi U ∼ N(0,1) ⇔
= α . (1.10)
α
H×nh 1.3. Ph©n vÞ chuÈn møc α .
TÝnh chÊt:
U1−α = − U α .
U 0,025 = 1,960;
⎧⎪ U 0,10 = 1,280;
⎨
Mét sè gi¸ trÞ ®Æc biÖt: ⎪ U 0,05 = 1,645;
U 0,01 = 2,326.
⎩
(1.11)
(1.12)
L−u ý: NhiÒu tµi liÖu kh«ng lËp b¶ng cña U α mµ lËp b¶ng cña pα hoÆc u α
víi
{
}
P U < pα = α ;
{
}
P U < uα = α .
1.2. 6. Sai sè trung gian, d¹ng mËt ®é chuÈn dïng trong ph¸o binh.
(
)
Cho X ∼ N m , σ2 , Uα lµ ph©n vÞ chuÈn møc α, ®Æt
L = σ U 0,25 = 0,6745 σ ;
ρ = U 0,25 / 2 = 0,4769 .
(1.13)
Chóng ta cã thÓ viÕt l¹i hµm mËt ®é cña X d−íi d¹ng
f (x) =
ρ
πL
e −ρ
2 (x − m)2 / L2
.
(1.14)
Râ rµng lµ , nÕu m = 0 th×
P {− L < X < L } = 0,5 .
http://www.ebook.edu.vn
10
(1.15)
Nh− vËy nÕu quan s¸t BNN chuÈn quy t©m nhiÒu lÇn th× cã kho¶ng 50% sè
lÇn BNN ®ã r¬i vµo kho¶ng (-L;L). ChÝnh v× thÕ, L ®−îc gäi lµ sai sè trung gian,
nã tØ lÖ víi ®é lÖch chuÈn. D¹ng mËt ®é (1.14) cña ph©n bè chuÈn hay ®−îc dïng
trong ph¸o binh.
1.2.7.Quy t¾c 2σ, 3 σ .
Cho X ∼ N(m, σ2 ), theo c«ng thøc (1.9) ta cã
ε
⎧ ε X−m ε⎫
< ⎬ =2 Φ ( ) .
P { X − m < ε} = P ⎨− <
σ
σ
σ⎭
⎩ σ
Thay ε = 1σ,2σ,3σ ta ®−îc
P { X − m < 1σ} = 2Φ (1) = 0,68268 ;
(1.16)
P { X − m < 2σ} = 2Φ (1) = 0,95450 ;
P { X − m < 3σ} = 2Φ (1) = 0,9973.
(1.17)
C¸c x¸c suÊt 0,9545; 0,9973 lµ c¸c x¸c suÊt rÊt lín. Theo nguyªn lÝ x¸c suÊt
lín ta cã quy t¾c 2 σ,(3σ) sau ®©y:
Quy t¾c.NÕu BNN cã ph©n bè chuÈn th× hÇu nh− ch¾c ch¾n (®é tin cËy trªn
95%(trªn 99%)), BNN chØ sai lÖch víi gi¸ trÞ trung b×nh cu¶ nã mét l−îng kh«ng
qu¸ 2 σ(3σ) ).
1.2.8.TÝnh phæ cËp cña ph©n bè chuÈn. Thùc tÕ chóng ta rÊt hay gÆp ph©n bè
chuÈn. Së dÜ nh− vËy v× x¶y ra §Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m sau ®©y (xem môc
3.5.2d):
NÕu bnn X lµ kÕt qu¶ cña rÊt nhiÒu nguyªn nh©n, mçi nguyªn nh©n chØ cã
vai trß kh«ng ®¸ng kÓ ®Õn kÕt qu¶ cuèi cïng th× X cã ph©n bè rÊt gÇn ph©n bè
chuÈn.
§1.3.VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn.
1.3.1.VÐc t¬ k× väng, ma trËn t−¬ng quan, ma trËn hÖ sè t−¬ng quan
a)Tr−êng hîp 2 biÕn. XÐt 2 BNN X, Y b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch. M« men t−¬ng
quan (gèc) cña X vµ Y, kÝ hiÖu R XY , x¸c ®Þnh theo c«ng thøc
R XY = E[XY].
HiÖp ph−¬ng sai cña X vµ Y, kÝ hiÖu Cov(X,Y) x¸c ®Þnh bëi
Cov(X,Y) = E[(X − EX)(Y − EY)] .
Hai BNN X vµ Y ®−îc gäi lµ kh«ng t−¬ng quan nÕu
Cov(X,Y) = E[(X − EX)(Y − EY)] = 0 .
§iÒu nµy t−¬ng ®−¬ng víi
E[XY] = E[X] E[Y] .
Tr¸i l¹i, nÕu ®¼ng thøc kh«ng x¶y ra, X vµ Y ®−îc gäi lµ kh«ng t−¬ng quan.
http://www.ebook.edu.vn
11
NÕu X vµ Y ®éc lËp th× chóng kh«ng t−¬ng quan. Ng−îc l¹i kh«ng ®óng:
Tån t¹i nh÷ng BNN X vµ Y kh«ng t−¬ng quan, song chóng kh«ng ®éc lËp.
§èi víi 2 BNN chuÈn X, Yth× X vµ Y ®éc lËp ⇔ X vµ Y kh«ng t−¬ng quan.
b) Tr−êng hîp t«ng qu¸t.
⎛ X1 ⎞
⎜
⎟
Cho X = ⎜ ... ⎟ = (X1 ,...,X n )T lµ VTNN víi c¸c thµnh phÇn lµ nh÷ng BNN
⎜X ⎟
⎝ n⎠
b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch. §Æt
⎛ E[X1] ⎞ ⎛ m1 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
=
m = E[X] = ⎜ ...
...
⎟ ⎜
⎟ - vÐc t¬ k× väng;
⎜ E[X ] ⎟ ⎜ m ⎟
n ⎠ ⎝ n⎠
⎝
Ma trËn t−¬ng quan cña X cho bëi
R = (R ij ) = E[X i X j ] .
(
)
Râ rµng R ii = E[Xi2 ] .
Ma trËn hiÖp ph−¬ng sai cña X cho bëi
Σ = (Σij ) = Cov(X) = E[(X-m) (X − m)T ] .
(1.18)
L−u ý:
σi2 = D[Xi ] = E[(Xi − mi ) 2 ] = Σii - ph−¬ng sai cña Xi .
Σij = E[Xi − mi )(X j − m j )] = Cov(Xi ,X j ) - hiÖp ph−¬ng sai cña Xi ,X j .
ρij =
Cov(Xi ,X j )
D[Xi ]D[X j ]
=
E[(Xi − mi )(X j − m j )]
D[Xi ]D[X j ]
- hÖ sè t−¬ng quan cña Xi ,X j .
R = (ρij ) -ma trËn c¸c hÖ sè t−¬ng quan.
c)TÝnh chÊt 1)
ρij ≤ 1, ∀i, j.
(1.19)
2) NÕu c¸c thµnh phÇn X 1 ,...,X n ®éc lËp th× Xi ,X j kh«ng t−¬ng
quan vµ R= (R ij ) –ma trËn chÐo, (ρij ) -ma trËn ®¬n vÞ . Ng−îc l¹i kh«ng ®óng.
3) Σ vµ R ®èi xøng , x¸c ®Þnh kh«ng ©m.
1.3.2. VTNN chuÈn, c¸c tÝnh chÊt quan träng.
VTNN X= (X1 ,...,X n )T ®−îc gäi lµ VTNN chuÈn ( X gäi lµ cã ph©n bè
chuÈn trong ¡
chuÈn.
n
) nÕu tæ hîp tuyÕn tÝnh bÊt k× c¸c thµnh phÇn cña nã cã ph©n bè
http://www.ebook.edu.vn
12
Nãi c¸ch kh¸c, ∀ u1,...,un, BNN Y= u1X1 + ... + u n X n cã ph©n bè chuÈn.
HÖ qu¶. Tõng thµnh phÇn cña VTNN chuÈn lµ BNN chuÈn.
L−u ý: §iÒu ng−îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng: Tõng thµnh phÇn cña VTNN
X = (X1,...,X n )T lµ chuÈn ⇏ X = (X1,...,X n )T chuÈn.
B©y giê gäi m = E[X] lµ vÐc t¬ k× väng vµ Σ = Cov(X) lµ ma trËn hiÖp
ph−¬ng sai cña X (dÔ thÊy tån t¹i ), ph©n bè chuÈn ®−îc kÝ hiÖu bëi N(m, Σ ).
VTNN chuÈn X cã vÐc t¬ k× väng m vµ ma trËn hiÖp ph−¬ng sai Σ ®−îc kÝ hiÖu
bëi
X ∼ N(m, Σ ).
+ NÕu ®Þnh thøc cña Σ b»ng 0 th× VTNN chuÈn X ®−îc gäi lµ suy biÕn. §Æt
k = Rang(Σ) (h¹nh cña Σ ), tån t¹i kh«ng gian con k chiÒu cña ¡ n ®Ó chiÕu cña
X trªn kh«ng gian nµy lµ VTNN chuÈn kh«ng suy biÕn.
MÖnh ®Ò- ®Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ VTNN chuÈn víi ma trËn t−¬ng quan Σ .
NÕu det( Σ ) ≠ 0 th× X ®−îc gäi lµ VTNN chuÈn kh«ng suy biÕn vµ mËt ®é cña nã
cho bëi
1
⎧ 1
⎫
n
T −1
exp
(x
m)
(x
m)
(1.20)
f(x)=
−
−
Σ
−
⎨
⎬ ,x∈¡ .
n/2
1/ 2
2
⎩
⎭
(2π) (det Σ)
Nh− vËy, vÐc t¬ gi¸ trÞ trung b×nh m vµ ma trËn hiÖp ph−¬ng sai Σ hoµn toµn
x¸c ®Þnh ph©n bè chuÈn; c¸c th«ng tin vÒ m« men cÊp cao h¬n lµ kh«ng cÇn thiÕt.
⎛ σ1
⎞
⎜
⎟
G =⎜
.
§Æt
⎟
⎜
⎟
σn ⎠
⎝
⎛1/ σ1
⎞
⎜
⎟
.
G −1 = ⎜
DÔ thÊy
⎟ , víi σi = D[Xi ]
⎜
1/ σn ⎠⎟
⎝
R = G −1ΣG −1 ;
L¹i ®Æt
DÔ thÊy Σ = GRG ; Σ −1 = G −1R −1G −1 ;
⎛ D11 ....D1n ⎞
1
⎜
⎟
R −1 =
.............. ⎟
⎜
det(R) ⎜
⎟
⎝ D n1....D nn ⎠
trong ®ã Dij lµ phÇn phô ®¹i sè cña R ij trong ma trËn R. Thay vµo (1.20) ta ®−îc
http://www.ebook.edu.vn
13
⎧⎪ 1 n
x i − mi x j − m j ⎫⎪
f(x) =
exp ⎨− ∑ Dij
⎬. (1.21)
σi
σ j ⎭⎪
σ1...σn (2π) n / 2 (det R)1/ 2
⎪⎩ 2 i, j=1
MÖnh ®Ò . Cho X = (X1 ,...,X n )T : N(m, Σ) . Khi ®ã X1 ,...,X n lµ c¸c BNN
®éc lËp khi vµ chØ khi X1 ,...,X n kh«ng t−¬ng quan
1
( ⇔ Σ lµ ma trËn chÐo:
⎛ σ12
⎞
⎜
⎟
.
Σ=⎜
⎟ )
⎜⎜
2 ⎟⎟
σ
n⎠
⎝
1.3.3.BiÕn ®æi tuyÕn tÝnh VTNN chuÈn.
MÖnh ®Ò. Cho X ∼ N(m, Σ ), A- ma trËn cÊp k × n tuú ý cßn b ∈ ¡ k bÊt k×.
⎧⎪E[Y] = Am + b;
Khi ®ã VTNN Y=AX+b cã ph©n bè chuÈn trªn ¡ k víi ⎨
T
⎪⎩Cov(Y) = AΣA .
HÖ qu¶. Gi¶ sö X∼N(m, Σ ) lµ VTNN chuÈn trong ¡ n . Khi ®ã tån t¹i ma
trËn trùc giao A sao cho
U = A(X-m) : N(0, D)
trong ®ã D lµ ma trËn chÐo, c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo chÝnh cña nã kh«ng ©m.
NÕu X kh«ng suy biÕn (det Σ ≠ 0 ) th× c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo chÝnh cña
D d−¬ng.
Chøng minh. Ta chøng minh cho tr−êng hîp det Σ ≠ 0 . Khi ®ã, Σ ®èi xøng,
x¸c ®Þnh d−¬ng, vËy tån t¹i ma trËn trùc giao F cã c¸c vÐc t¬ cét ei lµ c¸c vÐc t¬
riªng cña Σ víi c¸c gi¸ trÞ riªng λi t−¬ng øng sao cho
⎛ λ1
⎞
⎜
⎟
.
(1.22)
D = F−1ΣF−T = ⎜
⎟
⎜
λ n ⎠⎟
⎝
lµ ma trËn chÐo. V× Σ x¸c ®Þnh d−¬ng nªn c¸c gi¸ trÞ riªng λi > 0 . §Æt A = F−1 th×
(1.23)
E[U] = 0 ; Cov(U) = E [FT (X − m)(X − m)T F] = FTΣF = D .
Khi ®ã U lµ VTNN chuÈn, quy t©m, c¸c thµnh phÇn ®éc lËp.
Bëi v× mçi phÐp biÕn ®æi trùc giao chÝnh lµ mét phÐp quay trong ¡ n nªn ta cã
thÓ ph¸t biÓu hÖ qu¶ trªn b»ng lêi nh− sau:
§èi víi mçi VTNN chuÈn, ta cã thÓ dïng mét phÐp quay thÝch hîp ®Ó biÕn
nã thµnh VTNN chuÈn víi c¸c thµnh phÇn ®éc lËp.
http://www.ebook.edu.vn
14
y
O
x
H×nh 1.4.§−êng ®ång møc cña mËt ®é chuÇn 2 chiÒu.
1.3.4. Mét sè BNN liªn quan ®Õn VTNN chuÈn.
MÖnh ®Ò. X1 ,...,X n ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(0,1) th×
Y = X12 + ... + X n2 : χ 2 (n) .
(1.24)
MÖnh ®Ò. U : N(0,1) , V : χ 2 (n) , U, V ®éc lËp th×
U
(1.25)
: T(n) .
V/n
MÖnh ®Ò (Fisher). NÕu X = (X1 ,...,X n )T lµ VTNN n chiÒu sao cho c¸c
T=
thµnh phÇn lµ nh÷ng BNN ®éc lËp, cïng ph©n bè chuÈn N(m, σ2 ) th× :
1 n
1 n
a) X = ∑ Xi vµ S2 = ∑ Xi − X 2 lµ hai BNN ®éc lËp;
n i =1
n i =1
(
)
⎧
σ2
⎪X : N(m, );
n
⎪
b) ⎨
2
2
n ⎛X −X⎞
⎪ nS
2
i
=
χ
(n − 1).
:
∑
⎜
⎟
⎪ σ2
σ
i =1⎝
⎠
⎩
(1.26)
HÖ qu¶. X1 ,...,X n ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(m, σ2 ) th×
X−m
(1.27)
n : T(n-1).
1 n
∑ (Xi − X)2
n − 1 i =1
1.3.5.Mét sè ph©n vÞ kh¸c.
a) χα2 (n) . Ph©n vÞ møc α cña ph©n bè “Khi b×nh ph−¬ng” víi n bËc tù do, kÝ
T=
hiÖu lµ χα2 (n) , lµ gi¸ trÞ x¸c ®Þnh tõ biÓu thøc:
http://www.ebook.edu.vn
15
{
}
P X > χα2 (n) = α ,
0 < α <1
trong ®ã X : χ 2 (n) .
b) t α (n) . Ph©n vÞ Student møc α víi n bËc tù do, kÝ hiÖu lµ t α (n) , lµ gi¸ trÞ
x¸c ®Þnh tõ biÓu thøc:
P {T > t α (n)} = α , 0 < α < 1
trong ®ã T : T(n) .
TÝnh chÊt:
* t1−α (n) = − t α (n) ;
* t α (n) ≈ U α
víi n > 30.
Ng−êi ta lËp b¶ng gi¸ trÞ cña χα2 (n) vµ t α (n) víi nh÷ng gi¸ trÞ kh¸c nhau
cña α vµ n.
χα2 (n)
t α (n)
H×nh 1.5. Ph©n vÞ cña ph©n bè “Khi b×nh ph−¬ng”(a) vµ cña ph©n bè Student (b).
1.3.5.VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn 2 chiÒu.
Cho Z = (X,Y) lµ VTNN chuÈn 2 chiÒu (kh«ng suy biÕn) víi vÐc t¬ k× väng
T
⎛1 ρ ⎞
m = m1, m 2 vµ ma trËn hÖ sè t−¬ng quan R = ⎜
⎟ . Theo c«ng thøc (1.21),
ρ
1
⎝
⎠
mËt ®é ®ång thêi cña Z cho bëi
f(x,y) =
(
)
1
2πσ1σ2
2
⎧
⎡⎛ x − m ⎞ 2
⎛ x − m 2 ⎞ ⎤ ⎫⎪
1
x
−
m
x
−
m
⎪
1
1
2
⎢
exp ⎨−
+⎜
⎟ − 2ρ
⎟ ⎥ ⎬ .(1.28)
2 ⎢⎜ σ
2
σ
σ
σ
⎥⎪
2(1
)
−
ρ
⎝
⎠
⎝
⎠
1
1
2
2
⎪⎩
1− ρ
⎣
⎦⎭
DÔ dµng tÝnh ®−îc
E[X1] = m;
D[X] = σ12 ;
D[X] = σ22 ; ρXY = ρ.
(1.29)
E[X2 ]= m;
§Æc biÖt, nÕu X vµ Y ®éc lËp ⇔ ρ = 0 (⇔ X vµ Y kh«ng t−¬ng quan), mËt ®é
®ång thêi cho bëi
http://www.ebook.edu.vn
16
2 ⎫
⎧ ⎡⎛ ⎞ 2 ⎛
1
y − m 2 ⎞ ⎤⎥ ⎪
⎪ 1⎢ x
exp ⎨ − ⎜ ⎟ + ⎜
f(x,y) =
(1.30)
⎟ ⎬.
2πσ1σ2
2
σ
σ
⎢
⎥
2 ⎠ ⎦⎪
⎪⎩ ⎣⎝ 1 ⎠ ⎝
⎭
§èi víi m« men bËc cao chóng ta cã kÕt qu¶ quan träng sau ®©y:
NÕu (X, Y) lµ VTNN chuÈn quy t©m th×
E[X 2 Y 2 ] = E[X 2 ]E[Y 2 ] + 2E 2 [XY] .
(1.31)
B©y giê chän X = Y : N(0, σ2 ) th× E[X 4 ] = 3σ4 vµ chóng ta nhËn ®−îc c«ng
thøc tÝnh ®é nhän (1.2).
1.3.6. MËt ®é chuÈn 2 chiÒu dïng trong ph¸o binh - ElÝp t¶n m¸t.
§Ó nghiªn cøu møc ®é t¶n m¸t cña ®¹n r¬i trªn mÆt ph¼ng n»m ngang, ng−êi
ta lËp hÖ trôc Oxy víi gèc O trïng víi môc tiªu (®iÓm ng¾m b¾n), trôc Ox lµ
h−íng b¾n. T−¬ng tù nh− (1.13) ®Æt
⎧⎪L D = σ1U 0,25 = 0,6745σ1;
(1.32)
⎨
⎪⎩L H = σ1U 0,25 = 0,6745σ2 .
§Þnh luËt t¶n m¸t kh¼ng ®Þnh r»ng, to¹ ®é ®iÓm ®¹n r¬i (X, Y) tu©n theo luËt
chuÈn víi hµm mËt ®é (1.30), m1 = m2 = 0. Cã thÓ viÕt l¹i mËt ®é nµy d−íi d¹ng
⎧⎪ 2 ⎛ x 2
ρ2
y 2 ⎞ ⎫⎪
f (x, y) =
exp ⎨−ρ ⎜ 2 + 2 ⎟ ⎬
(1.33)
⎜L
⎟
πL D L H
L
⎪⎩
⎪
⎝ D
H ⎠⎭
trong ®ã LD - sai sè trung gian vÒ tÇm, LH - sai sè trung gian vÒ h−íng .
§èi víi hÇu hÕt c¸c ph¸o th«ng dông, LD lín gÊp 10 ÷15 lÇn LH.
Elip t¶n m¸t (E) lµ elÝp cã c¸c b¸n trôc 4LD, 4LH (cã tµi liÖu ghi lµ LD, LH).
X¸c suÊt ®Ó ®iÓm ®¹n r¬i (X,Y) n»m ngoµi elip t¶n m¸t rÊt nhá, cã thÓ bá qua:
⎧⎛ X ⎞2 ⎛ Y ⎞ 2
2⎫
⎪
⎪
P {( X, Y ) ∉ ( E )} = P ⎨⎜
⎟ +⎜
⎟ ≥ 4U 0,25 ⎬ ≈ 0,025 . (1.34)
⎪⎩⎝ σX ⎠ ⎝ σY ⎠
⎪⎭
Ng−êi ta chia (E) thµnh c¸c vïng víi tØ lÖ % xÊp xØ ®¹n r¬i vµo (H×nh 1.5);
nhê ®ã cã thÓ tÝnh dÔ dµng x¸c suÊt ®¹n r¬i vµo miÒn G cho tr−íc nµo ®ã.
(
)
y
2
7
16
25
LH
25
16
LD
7
2
http://www.ebook.edu.vn
17
x
H×nh 1.6 . Elip t¶n m¸t víi thang chia ®é.
⇓1.4. Më réng kh¸i niÖm mËt ®é ®èi víi BNN rêi r¹c.
+Chóng ta biÕt r»ng, nÕu X lµ BNN liªn tôc víi hµm ph©n bè F(x) vµ hµm
mËt ®é f(x) th×:
dF(x)
(1.35)
, x∈¡ ;
* f (x) =
dx
* f (x) ≥ 0;
∞
∫ f (x)dx = 1 ;
(1.36)
−∞
b
* P {a ≤ X < b} = ∫ f (x)dx .
(1.37)
a
+§Ó më réng kh¸i niÖm hµm mËt ®é cho BNN rêi r¹c tr−íc hÕt ta ®−a ra
hµm b−íc nh¶y ®¬n vÞ, ®ã lµ hµm:
khi x ≥ 0;
⎧1
(1.38)
u(x) = ⎨
khi x < 0.
⎩0
+Hµm delta. Hµm delta (cßn goÞ lµ hµm delta-Dirac) t¹i ®iÓm x 0 , kÝ hiÖu
δ(x − x 0 ) , lµ hµm suy réng, b»ng kh«ng víi x ≠ x 0 vµ b»ng v« h¹n t¹i x = x 0 :
khi x ≠ x 0 ;
⎧0
δ ( x − x0 ) = ⎨
⎩+∞ khi x = x 0 ,
vµ tho¶ m·n quan hÖ : Víi a < b,
b
⎧1
khi a ≤ x 0 < b;
a
⎩
khi x 0 < a
∫ δ(x − x 0 )dx = ⎨0
y
(a)
1
O
(1.39)
y
(b)
y
(1.40)
(c)
1
1
x
hay x o ≥ b.
O
x
O
x0
H×nh 1.7. Hµm b−íc nh¶y ®¬n vÞ(a), hµm delta (b) vµ hµm delta t¹i x 0 (c).
Mét ®Þnh nghÜa kh¸c cho hµm delta lµ
http://www.ebook.edu.vn
18
x
δ(x) =
1 ∞ − jωx
dω .
∫e
2π −∞
(1.41)
Hµm delta ®−îc thÓ hiÖn b»ng vÐc t¬ ®¬n vÞ //Oy (H×nh 1.7.). Nã cã thÓ coi
lµ ®¹o hµm cña hµm b−íc nh¶y ®¬n vÞ:
du(x)
u(h) − u(k)
=
(1.42)
δ(x) =
lim
k <0< h;h,k →0
h−k
dx
Khi ®ã, nÕu X lµ BNN rêi r¹c tËp trung t¹i {x i ,i = 1, 2,...} víi
pi = P {X = x i } , ∑ pi = 1, th× cã thÓ coi X cã mËt ®é
i ≥1
f (x) = ∑ pi δ(x − x i ) .
(1.43)
i ≥1
MËt ®é nµy tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt (1.36) - (1.37) cña hµm mËt ®é th«ng
th−êng. Ngoµi ra, cã thÓ coi nã lµ ®¹o hµm cña hµm ph©n bè: f (x) =
dF(x)
.
dx
§Æc biÖt, hµm delta t¹i a chÝnh lµ hµm mËt ®é cña BNN h»ng sè X = a; së dÜ
nh− vËy lµ v× :
∞
du(x − a)
; δ(x − a) ≥ 0; ∫ δ(x − a)dx = 1 .
δ(x − a) =
dx
−∞
(1.44)
Ng−êi ta còng hay xÐt hµm khèi l−îng x¸c suÊt cña BNN X
p(x) = P {X = x} , x ∈ ¡ .
VÝ dô. Cho X lµ BNN víi b¶ng x¸c suÊt
X
P
1
0,5
2
0,3
4
0,2
⎧0,5
⎪0,3
⎪
p(x) = ⎨
⎪0, 2
⎪⎩0
khi x = 1
khi x = 2
khi x = 4
trai lai
Hµm mËt ®é (suy réng) vµ hµm khèi l−îng x¸c suÊt thÓ hiÖn ë H×nh 1.8.
y
y
0,5
0,5
O
1
2
4
x
O
1
2
4
x
H×nh 1.8. Hµm mËt ®é (a) vµ hµm khèi l−îng x¸c suÊt (b) cña BNN rêi r¹c.
http://www.ebook.edu.vn
19
Câu hỏi Chương I
1.1 Nêu một số hiểu biết về biến ngẫu nhiên rời rạc.
1.2 Nêu một số hiểu biết về BNN liên tục, 4 luật phân bố liên tục.
1.3 BNN chuẩn: định nghĩa, tính chất hàm mật độ, các tham số đặc trưng, BNN
chuẩn tắc, biến đổi tuyến tính, phân vị U α .
1.4 BNN chuẩn: định nghĩa, sai số trung gian, dạng mật độ BNN chuẩn dùng
cho pháo binh, qui tắc 2 σ ,3 σ .
1.5 Véc tơ kỳ vọng, ma trận tương quan, ma trận hiệp phương sai của véc tơ
ngẫu nhiên n chiều; vài tính chất.
1.6 Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn: định nghĩa, tính chất.
1.7 Biến đổi tuyến tính VTNN chuẩn.
1.8 Một số biến ngẫu nhiên liên quan đến VTNN chuẩn.
1.9 Phân vị χα2 (n); t α (n) , véc tơ ngẫu nhiên chuẩn 2 chiều.
1.10 Mật độ chuẩn 2 chiều dùng trong pháo binh, elip tản mát.
1.11 Khái niệm mật độ với BNN rời rạc.
Bµi tËp ch−¬ng I.
1.1. Chøng tá r»ng nÕu
a) X : B(n, p) th× E[X] = np; D[X] =np(1-p).
b) X : P(λ )
th× E[X] = λ; D[X] = λ ;
c) X : G(P) th× E[X] =(1-p)/p .
1.2. Chøng tá r»ng nÕu X : U [ a; b] th× E[X] =
a+b
(b − a) 2
; D[X] =
.
2
12
1.3. Cho X : N(m, σ2 ) ; chøng tá r»ng E[X] =m.
1.4. Cho X : N(2, 9) . ViÕt ra hµm mËt ®é cña X vµ tÝnh c¸c s¸c suÊt
b)P {1 ≤ X ≤ 4} .
a) P {0 < X ≤ 1} ;
1.5. Cho X : N(0,1) . T×m mËt ®é cña Y = 2X – 3. TÝnh E[Y], D[Y].
1.6. Cho X : N(0,1) .TÝnh P {X > 1, 645} ; P {X > 1,960} ; P { X > 1,960}.
1.7. ViÕt mËt ®é cña ph©n bè chuÈn, biÕt r»ng nã cã k× väng 0 vµ sai sè trung
P {0 ≤ X ≤ 2} .
gian 2. TÝnh P {−2 ≤ X ≤ 2} ;
1.8. §−êng kÝnh cña viªn bi cã ph©n bè chuÈn víi trung b×nh 20 vµ ®é lÖch
chuÈn 0,5. Quy t¾c 2σ; 3σ kh¼ng ®Þnh cho ta ®iÒu g×?
1.9. Cho (X,Y) : N(0, ∑ ) .
⎛1
a) Gi¶ sö ∑ = ⎜
⎝0
b)Gi¶ sö
⎛4
∑=⎜
⎝1
0⎞
⎟ , kÕt luËn g× vÒ tÝnh ®éc lËp gi÷a X vµ Y?
3⎠
1⎞
⎟ , t×m hÖ sè t−¬ng quan gi÷a X vµ Y.
9⎠
http://www.ebook.edu.vn
20
1.10. Ma trËn nµo sau ®©y lµ ma trËn hiÖp ph−¬ng sai?
⎛2
⎝0
a) ⎜
0⎞
⎟;
1⎠
⎛2
b) ⎜
⎝1
1⎞
⎟;
1⎠
⎛2
⎝0
c) ⎜
⎛ −1
1⎞
⎟;
1⎠
d) ⎜
⎝1
1⎞
⎟.
1⎠
1.11. Cho U=(X,Y,Z) : N(m, ∑ ) ,trong ®ã m = (0,1, 2)T ;
0,5
⎛1
⎜
∑ = ⎜ 0,5 1
⎜ 0,5
0
⎝
0,5 ⎞
⎟
0 ⎟.
4 ⎟⎠
T×m ph©n bè cña T = X – 2Y + 3Z .
⎛X⎞
⎛1
1.12. Cho U = ⎜ ⎟ : N(0, ∑) , trong ®ã ∑ = ⎜
⎝Y⎠
⎝ 0,5
0,5 ⎞
⎟.
1⎠
⎛ aX + bY ⎞
V=⎜
⎟ sao cho 2 thµnh phÇn cña V, tøc lµ
⎝ cX + dY ⎠
T×m VTNN d¹ng
aX+bY vµ cX+dY lµ 2 BNN ®éc lËp.
1.13. Cho X1 ,..., X10 lµ nh÷ng BNN ®éc lËp cïng ph©n bè chuÈn N(0,1).§Æt
X = X12 + ... + X52 ;
2
Y = X12 + ... + X10
. T×m a, b ®Ó
P {X > a} = 0, 05;
P {Y < b} = 0, 05 .
1.14. Gi¶ sö ®iÓm ®¹n r¬i (X,Y) cã ph©n bè chuÈn, trong ®ã ®é lÖch h−íng
X vµ ®é lÖch tÇm Y kh«ng cã sai sè hÖ thèng (tøc lµ k× väng 0), ®éc lËp, vµ cïng
®é lÖch chuÈn 4 mÐt. TÝnh x¸c suÊt ®Ó ®¹n r¬i vµo vßng trßn t©m O b¸n kÝnh 3
mÐt.
1.15. Gi¶ sö ®iÓm ®¹n r¬i (X,Y) cã ph©n bè chuÈn, trong ®ã ®é lÖch h−íng
X : N(0, 4) , ®é lÖch tÇm Y : N(0, 5) , X vµ Y ®éc lËp. TÝnh x¸c suÊt ®Ó ®¹n r¬i vµo
vßng trßn b¸n kÝnh 3 mÐt, t©m t¹i ®iÓm ng¾m b¾n..
1.16. ø¬c l−îng x¸c suÊt ®¹n tróng vµo xe t¨ng, biÕt r»ng ta ng¾m b¾n vµo
®iÓm gi÷a cña phÇn d−íi cña xÝch vµ sau khi vÏ xe lªn hÖ trôc víi elÝp t¶n m¸t th×
thu ®−îc h×nh vÏ sau ®©y.
y
2
7
16
25
LH
25
16
7
2
LD
x
H×nh 1.9 . Xe t¨ng trong hÖ thèng elip t¶n m¸t .
http://www.ebook.edu.vn
21
1.17. Cho
X : U[a; b] ,
tính
P{ X − EX < 2σ} ,
P{ X − EX < 3σ}
với
σ = DX ; so sánh với công thức (1.17).
1.18. Giả sử X : E(λ ) . Chứng tỏ rằng X là BNN “không có trí nhớ” theo
nghĩa
P{X > s + t | X > t} = P{X > s}, ∀t,s ≥ 0 .
1.19. Cho X : E(λ), Y : E( γ ) , X và Y độc lập. Chứng minh rằng X + Y
: E(λ + γ ) . Mở rộng kết quả sang trường hợp có nhiều biến ngẫu nhiên.
1.20. Biết rằng mật độ của BNN X có dạng
⎧⎪kxe − x khi x ≥ 0
f (x) = ⎨
x < 0.
⎪⎩0
a)Tìm hằng số k, Mod(X).
b)Tính E[X], E[X 2 ], D[X].
c)Tìm mật độ của BNN
ĐS.
X.
k = 1; Mod(X) = 1; E[X] = 2; E[X 2 ] = 6 ; f
2
X
( x) = 2x 3e − x .
1.21. VTNN (X, Y) có mật độ
⎧⎪e− (x + y) khi x ≥ 0, y ≥ 0
f (x, y) = ⎨
trai lai
⎪⎩0
a) Tìm mật độ biên f X (x), f Y (y) . Suy ra rằng X, Y là hai BNN độc lập.
b) Tìm mật độ của Z = X + Y.
c) Tìm mật độ của BNN X 2 .
ĐS. f X (x) = e − x , (x ≥ 0) ; f Z (x) = xe − x , (x ≥ 0) f
http://www.ebook.edu.vn
22
(x)
X2
=
1
2 x
e−
x
, (x ≥ 0) .
- Xem thêm -
.PDF 
83 
228 
66 
