Tài liệu Xấp xỉ nghiệm của một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian banach

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN HỌC TOÀN XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 10/2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TRẦN HỌC TOÀN XẤP XỈ NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 10/2018 iii Mục lục Bảng ký hiệu 1 Mở đầu 2 1 Bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan 4 1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Điểm bất động và phép chiếu mêtric . . . . . . . . . 4 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 15 1.2.1 Toán tử chiếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . 15 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 Một số bài toán mô tả được dưới dạng bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 1.3 Nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . 18 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 20 1.3.1 Ánh xạ j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . . 23 2 Xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn 2.1 25 Nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Định nghĩa. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 iv 2.2 Xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . 30 2.2.2 Phương pháp lặp và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 1 Bảng ký hiệu H không gian Hilbert thực E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu của E SE mặt cầu đơn vị của E R tập các số thực R+ tập các số thực không âm ∀x với mọi x D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất C[a, b] không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b] lp , 1 ≤ p < ∞ không gian các dãy số khả tổng bậc p Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞ không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b] d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C lim supn→∞ xn giới hạn trên của dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dưới của dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T 2 Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều được nhà toán học người Italia là G. Stampacchia và các đồng sự đưa ra lần đầu tiên vào những năm đầu của thập niên 60 thế kỉ XX trong khi nghiên cứu về bài toán biên tự do (xem [7], [9], [10] và [11]). Bài toán bất đẳng thức biến phân có vai trò quan trọng trong nghiên cứu toán học lý thuyết về bài toán tối ưu, bài toán điều khiển, bài toán cân bằng, bài toán bù, bài toán giá trị biên v.v... Bên cạnh đó, bài toán bất đẳng thức biến phân còn có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế như mô hình cân bằng trong kinh tế, giao thông, bài toán khôi phục tín hiệu, bài toán công nghệ lọc không gian, bài toán phân phối băng thông v.v... Do đó, việc nghiên cứu các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đang là một trong những đề tài thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước và nhiều kết quả sâu sắc đã được thiết lập. Đề tài luận văn giới thiệu và trình bày lại hai phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ không giãn trong trong không gian Banach trong bài báo [6] công bố năm 2017. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều, không gian Hilbert và không gian Banach, trình bày mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân với một số bài toán liên quan. Chương 2 trình bày hai phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn trong không gian Banach, trình bày sự hội tụ mạnh của các phương pháp và đưa ra ví 3 dụ minh họa. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy cô trong khoa Toán–Tin và các thầy cô trong trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trung tâm GDNN – GDTX Đan Phượng và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học. Xin cảm ơn các anh chị học viên lớp Cao học Toán K10 và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018 Tác giả luận văn Trần Học Toàn 4 Chương 1 Bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan Chương này giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều cùng một số bài toán liên quan đến bất đẳng thức biến phân. Nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1], [2], [3], [5] và [8]. 1.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều 1.1.1 Điểm bất động và phép chiếu mêtric Ký hiệu RN là không gian Euclid N chiều có tích vô hướng và chuẩn tương ứng ký hiệu là h., .i và k.k. Định nghĩa 1.1.1 Cho C là một tập hợp khác rỗng, F là một ánh xạ từ C vào C. Một điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ F nếu F (x) = x. Tập tất cả các điểm bất động của F được ký hiệu là Fix(F ), nghĩa là  Fix(F ) = x ∈ C : F (x) = x . Nhận xét 1.1.2 Điểm bất động của ánh xạ F là nghiệm của phương trình toán tử F (x) − x = 0. 5 Định nghĩa 1.1.3 Cho X là một không gian mêtric với khoảng cách d. Ánh xạ F : X → X được gọi là một ánh xạ co nếu d(F (x), F (y)) ≤ θd(x, y) x, y ∈ X, (1.1) ở đây θ là hằng số thỏa mãn 0 ≤ θ < 1. Nếu θ = 1, F được gọi là ánh xạ không giãn. 1 x (hoặc 2 F (x) = cos x) là ánh xạ co (tương ứng, là ánh xạ không giãn). Ví dụ 1.1.4 (a) Ánh xạ F : R → R xác định bởi F (x) = 1 1 (b) Ánh xạ F : R2 → R2 xác định bởi F (x) = Ax (hoặc F (x) = √ Ax) 3 2 ! ! 1 1 x1 với A = và x = là ánh xạ co (tương ứng, là ánh xạ −1 1 x2 không giãn). Định lý 1.1.5 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) (xem [2]) Nếu X là không gian mêtric đầy đủ và nếu F : X → X là ánh xạ co, thì tồn tại duy nhất một điểm bất động của ánh xạ F . Nhận xét 1.1.6 (a) Định lý 1.1.5 nói chung không đúng khi F là ánh xạ không giãn. Chẳng hạn F : RN → RN xác định bởi F (x) = x, là ánh xạ không giãn và Fix(F ) = RN . (b) Điều kiện ánh xạ co chỉ là điều kiện cần, chẳng hạn F : R → R xác định bởi F (x) = sin x là ánh xạ không giãn và F có duy nhất điểm bất động Fix(F ) = {0}. Định lý 1.1.7 (Định lý điểm bất động Brouwer) (xem [3]) Nếu F là ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng B ⊂ RN vào chính nó thì F có ít nhất một điểm bất động. Chú ý 1.1.8 (a) Nếu F không liên tục thì F vẫn có thể có điểm bất động. Chẳng hạn F : [0, 1] → [0, 1] xác định bởi F (x) = 0 nếu −1 ≤ x < 1 và F (x) = 1 nếu x = 1 là ánh xạ không liên tục trên [0, 1] và Fix(F ) = {0, 1}. 6 (b) Trong Định lý 1.1.7 ta có thể thay hình cầu đóng B bởi một tập con lồi compact của RN . Sau đây ta nhắc lại một số khái niệm về tập lồi và hàm lồi. Cho hai điểm a, b ∈ RN . Tập tất cả các điểm x = (1 − λ)a + λb với 0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a và b, và được ký hiệu là [a, b]. Định nghĩa 1.1.9 Tập C ⊆ RN được gọi là tập hợp lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ C. Nói cách khác, tập C ⊆ RN là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó. Ví dụ 1.1.10 Trong không gian RN , các tập hợp sau đây là các tập lồi: (a) hình cầu đóng tâm x0 bán kính r: B(x0 , r) = {x = (x1 , x2 , . . . , xN ) ∈ RN : kx − x0 k ≤ r}; (b) nửa không gian đóng Hα = {x = (x1 , x2 , . . . , xN ) ∈ RN : ha, xi ≤ α}; (c) hình đa diện ∆ = {x = (x1 , x2 , . . . , xN ) ∈ RN : hA, xi ≤ b}, trong đó x0 ∈ RN , r là số thực dương, a ∈ RN , α ∈ R, A là ma trận thực cỡ M × N , b ∈ RM . Định nghĩa 1.1.11 Cho C là tập con của không gian RN , f : C → [−∞, +∞] là hàm tùy ý. (a) Miền hữu hiệu của hàm f , ký hiệu và định nghĩa bởi:  domf = x ∈ C : f (x) < +∞ . (1.2) (b) Tập trên đồ thị của hàm f ký hiệu và định nghĩa bởi:  epif := (x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ α (1.3) (c) Nếu domf khác rỗng và f (x) > −∞ với mọi x ∈ C thì ta nói rằng hàm f là chính thường. 7 Định nghĩa 1.1.12 Cho C ⊆ RN là một tập con lồi và khác rỗng. Hàm f : C → R được gọi là (a) hàm lồi trên C nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y); (b) hàm lồi chặt trên C nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] ta có f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x 6= y. Định nghĩa 1.1.12(a) có thể phát biểu tương đương, thể hiện ý nghĩa hình học của hàm lồi như sau. Định nghĩa 1.1.13 Cho C là tập lồi khác rỗng trong không gian RN , hàm f : C → R là hàm lồi nếu tập trên đồ thị epif của f là tập lồi trong C × RN . Ví dụ 1.1.14 (a) Xét C = RN , hàm số f : RN → R xác định bởi f (x) = kxk là một hàm lồi. (b) Xét C = R, hàm số f : R → R xác định bởi f (x) = x2 là một hàm lồi và cũng là hàm lồi chặt. (c) Xét C = R, hàm số  0 nếu x < 0, f (x) = x nếu x ≥ 0 là một hàm lồi nhưng không là hàm lồi chặt. Định nghĩa 1.1.15 Cho C là một tập con lồi, khác rỗng trong không gian RN . Với mỗi x ∈ RN , ánh xạ PC : RN → C thỏa mãn kx − PC (x)k = inf kx − uk u∈C được gọi là phép chiếu mêtric chiếu RN lên C và y = PC (x) được gọi là hình chiếu của x lên C. Nếu x ∈ C thì PC (x) = x. 8 Bổ đề 1.1.16 (xem [3]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian RN . Khi đó, với mỗi x ∈ RN , tồn tại duy nhất phần tử y ∈ C sao cho kx − yk = inf kx − uk. u∈C (1.4) Chứng minh. (a) Chứng minh tồn tại y ∈ C để kx − yk = inf u∈C kx − uk. Giả sử {uk } là một dãy cực tiểu thuộc C, nghĩa là lim kuk − xk = d = inf ku − xk. (1.5) kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 . (1.6) u∈C k→∞ Ta có đẳng thức: Áp dụng đẳng thức này, với {uk }, {uh } ∈ C, ta tính được kuk − uh k2 : kuk − uh k2 = k(uk − x) − (x − uh )k2 (1.7) 1 = 2kuk − xk2 + 2kx − uh k2 − 4kx − (uk + uh )k2 . 2 1 1 Vì tập C lồi, {uk }, {uh } ∈ C nên (uk +uh ) ∈ C và d2 ≤ kx− (uk −uh )k2 . 2 2 Do đó, kuk − uh k2 ≤ 2kx − uk k2 + 2kx − uh k2 − 4d2 . Kết hợp với (1.5) suy ra lim kuk − uh k = 0. k,h→∞ (1.8) Vì RN là không gian đủ nên tồn tại phần tử y ∈ C sao cho lim uk = y ∈ C. (1.9) k→∞ Hơn nữa kx − yk = lim kx − uk k = d = inf ku − xk. k→∞ u∈C (b) Chứng minh y duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại y, y 0 ∈ C thỏa mãn (1.4). Như (1.7) ta có 1 ky − y 0 k2 = 2kx − yk2 + 2kx − y 0 k2 − 4kx − (y + y 0 )k2 2 2 2 2 ≤ 2d + 2d − 4d = 0. Suy ra y = y 0 .  9 Định lý 1.1.17 (Đặc trưng của phép chiếu) (xem [3]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian RN . Khi đó y = PC (x), hình chiếu của x trên C, khi và chỉ khi y∈C: hy, u − yi ≥ hx, u − yi ∀u ∈ C. (1.10) Bất đẳng thức (1.10) có thể viết là y∈C: hy − x, u − yi ≥ 0 ∀u ∈ C. (1.11) Chứng minh. (a) Giả sử x ∈ RN và y = PC (x) ∈ C, ta chứng minh bất đẳng thức (1.10). Thật vậy, vì C là tập lồi, y ∈ C nên (1 − t)y + tu = y + t(u − y) ∈ C ∀u ∈ C, 0 ≤ t ≤ 1. Vì y = PC (x), từ (1.4) hàm Φ(t) = kx − y − t(u − y)k2 = kx − yk2 − 2thx − y, u − yi + t2 ku − yk2 đạt cực tiểu tại t = 0. Do đó, Φ0 (0) ≥ 0, nghĩa là hy − x, u − yi ≥ 0 ∀u ∈ C, ta có (1.11) hay (1.10). (b) Giả sử có (1.10), ta chứng minh y = PC (x). Thật vậy từ (1.10) suy ra 0 ≤ hy − x, (u − x) + (x − y)i = −ky − xk2 + hy − x, u − xi. Do đó, ky − xk2 ≤ hy − x, u − xi ≤ ky − xkku − xk, nên ky − xk ≤ ku − xk u ∈ C, hay y = PC (x).  Hệ quả 1.1.18 (xem [3]) Nếu C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian RN thì toán tử chiếu PC là toán tử không giãn, nghĩa là kPC (x) − PC (x0 )k ≤ kx − x0 k x, x0 ∈ RN . (1.12) 10 Chứng minh. Lấy x, x0 ∈ RN . Giả sử y = PC (x) và y 0 = PC (x0 ). Khi đó theo Định lý 1.1.17, y∈C: hy, u − yi ≥ hx, u − yi u ∈ C y0 ∈ C : hy 0 , u − y 0 i ≥ hx0 , u − y 0 i u ∈ C. Cho u = y 0 trong bất đẳng thức thứ nhất, u = y trong bất đẳng thức thứ hai, rồi cộng hai bất đẳng thức ta được ky − y 0 k2 = hy − y 0 , y − y 0 i ≤ hx − x0 , y − y 0 i ≤ kx − x0 kky − y 0 k. Hay ky − y 0 k ≤ kx − x0 k.  Định lý 1.1.19 (xem [3]) Cho C ⊂ RN là tập compact và lồi và F : C → C là ánh xạ liên tục. Khi đó, F có điểm bất động. Chứng minh. Giả sử B là một hình cầu đóng trong RN sao cho C ⊂ B. Từ Hệ quả 1.1.18, PC là ánh xạ không giãn, do đó liên tục, suy ra ánh xạ: F ◦ PC : B → C ⊂ B cũng là ánh xạ liên tục từ B vào B. Theo Định lý 1.1.7, ánh xạ này có điểm bất động, nghĩa là F ◦ PC (x) = x ∈ C. Đặc biệt PC (x) = x nên F (x) = x. 1.1.2  Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian RN Trong mục này ta luôn giả thiết RN là không gian Euclid với tích vô hướng và chuẩn lần lượt được ký hiệu bởi h., .i và k.k. Định nghĩa 1.1.20 Cho C là tập con lồi đóng trong RN và F : C → RN là một ánh xạ đơn trị, còn gọi là ánh xạ giá. Bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá F trong không gian RN , ký hiệu là VI(F, C), được phát biểu như sau: Tìm p∗ ∈ C sao cho hF (p∗ ), p − p∗ i ≥ 0 ∀p ∈ C. (1.13) 11 Tập hợp những điểm p∗ ∈ C thỏa mãn (1.13) được gọi là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu là S. Ví dụ 1.1.21 Cho hàm một biến thực f khả vi trên [a, b] ⊂ R. Tìm phần tử x∗ ∈ [a, b] thỏa mãn f (x∗ ) = min f (x). x∈[a,b] Ba tình huống sau đây có thể xảy ra: (i) Nếu x∗ ∈ (a, b) thì f 0 (x∗ ) = 0. (ii) Nếu x∗ = a thì f 0 (x∗ ) ≥ 0. (iii) Nếu x∗ = b thì f 0 (x∗ ) ≤ 0. Những phát biểu trên được tổng hợp thành f 0 (x∗ )(x − x∗ ) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], đây là một bài toán bất đẳng thức biến phân. Ví dụ 1.1.22 Cho f là một hàm số thực khả vi trên một tập con lồi đóng C của không gian Euclid N chiều RN . Tìm phần tử x∗ ∈ C thỏa mãn f (x∗ ) = min f (x). x∈C Giả sử x∗ là điểm cực tiểu cần tìm và x là phần tử tùy ý thuộc C. Vì C là tập hợp lồi nên (1 − t)x∗ + tx = x∗ + t(x − x∗ ) ∈ C, 0 ≤ t ≤ 1. Hàm Φ(t) = f (x∗ + t(x − x∗ )), 0≤t≤1 đạt cực tiểu tại t = 0. Do đó, từ Ví dụ 1.1.21, Φ0 (0) = h5f (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. Như vậy điểm x∗ thỏa mãn bài toán bất đẳng thức biến phân x∗ ∈ C : h5f (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. Nếu tập C bị chặn thì điểm x∗ tồn tại duy nhất. 12 Bài toán bất đẳng thức biến phân không phải luôn có nghiệm. Chẳng hạn, nếu C = R, f (x)(y − x) ≥ 0 với mọi y ∈ R không có nghiệm nếu f (x) = ex . Định lý sau đây cho ta điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Định lý 1.1.23 (xem [8]) Giả sử C là tập con lồi và compact của không gian RN và F : C → RN là một ánh xạ liên tục trên C. Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.13). Chứng minh. Xét ánh xạ PC (I−F ) : C → C, ở đây I là ánh xạ đơn vị trên C, tức là I(x) = x. Vì PC (I −F ) : C → C là ánh xạ liên tục, nên theo Định lý 1.1.19 nó tồn tại điểm bất động x∗ ∈ C, nghĩa là x∗ = PC (I − F )(x∗ ). Theo Định lý 1.1.17 về đặc trưng của phép chiếu, hx∗ , x − x∗ i ≥ hx∗ − F (x∗ ), x − x∗ i ∀x ∈ C, tức là ta nhận được bài toán bất đẳng thức biến phân (1.13).  Nhận xét 1.1.24 Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng trong RN . Đặt Cr = C ∩ B(0, r), trong đó B(0, r) := {u ∈ RN : kuk ≤ r} là hình cầu đóng tâm 0 ∈ RN , bán kính r > 0 trong RN . Tập Cr là compact. Nếu Cr 6= ∅ và F : Cr → RN là ánh xạ liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một phần tử xr ∈ Cr thỏa mãn hF (xr ), x − xr i ≥ 0 ∀x ∈ Cr , (1.14) hay xr ∈ S. Từ nhận xét trên, ta có các định lý sau đây về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) trong trường hợp tập C không compact. Định lý 1.1.25 (xem [8]) Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Euclid RN và F : C → RN là một ánh xạ liên tục trên C. Điều kiện cần và đủ để bài toán bất đẳng thức biến phân (1.13) có nghiệm là tồn tại một 13 số thực r > 0 và một nghiệm xr ∈ Cr của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.14) thỏa mãn điều kiện kxr k < r. Chứng minh. (a) Điều kiện cần: Giả sử p∗ ∈ S, tức là p∗ thỏa mãn (1.13) với mọi p ∈ C. Lấy một số r > 0 sao cho kp∗ k < r. Khi đó, hF (p∗ ), p − p∗ i ≥ 0 ∀p ∈ Cr , tức là p∗ thỏa mãn (1.14). (b) Điều kiện đủ: Giả sử xr ∈ Cr thỏa mãn kxr k < r và (1.14). Ta sẽ chứng minh xr là nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C). Thật vậy, lấy bất kỳ p ∈ C, ta có y = xr + ε(p − xr ) ∈ CR với mọi ε > 0 đủ bé vì kyk ≤ kxr k + εkp − xr k ≤ r do kxr k < r. Khi đó, từ (1.14) suy ra 0 ≤ hF (xr ), [xr + ε(p − xr )] − xr i = ε hF (xr ), p − xr i ∀p ∈ C, tức là hF (xr ), p − xr i ≥ 0 ∀p ∈ C. Vậy xr ∈ S với xr ∈ Cr ⊂ C.  Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân còn dựa trên tính đơn điệu của ánh xạ F . Định nghĩa 1.1.26 Cho C là một tập con lồi trong không gian RN và F là một ánh xạ từ C vào RN . Ánh xạ F được gọi là (i) η-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số η > 0 sao cho hF (u) − F (v), u − vi ≥ ηku − vk2 ∀u, v ∈ C; (ii) đơn điệu chặt trên C nếu hF (u) − F (v), u − vi > 0 ∀u, v ∈ C, u 6= v; 14 (iii) đơn điệu trên C nếu hF (u) − F (v), u − vi ≥ 0 ∀u, v ∈ C. Bổ đề 1.1.27 (xem [8]) Cho C là một tập con lồi đóng trong không gian RN và F : C → RN là ánh xạ đơn điệu, liên tục trên C. Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán VI(F, C) khi và chỉ khi hF (x), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.15) Chứng minh. (a) Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán VI(F, C). Do ánh xạ F đơn điệu nên hF (x) − F (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. Từ đó suy ra hF (x), x − x∗ i ≥ hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. (b) Ngược lại, giả sử ta có (1.15). Vì C là tập lồi nên với mọi x ∈ C, t ∈ [0, 1] ta có zt = x∗ + t(x − x∗ ) ∈ C. Do đó, 0 ≤ hF (zt ), zt − x∗ i = thF (x∗ + t(x − x∗ )), x − x∗ i. Từ đây suy ra hF (x∗ + t(x − x∗ )), x − x∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C, t ∈ [0, 1]. Cho t → 0 và kết hợp với tính liên tục của ánh xạ F ta nhận được hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C.  Tính chất của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân cho trong mệnh đề dưới đây. Mệnh đề 1.1.28 (xem [8]) Cho C là một tập con lồi đóng trong không gian RN và F : C → RN là ánh xạ xác định trên C. Khi đó, nếu F là ánh xạ đơn điệu và liên tục trên C thì tập nghiệm S của bất đẳng thức biến phân VI(F, C) là tập lồi, đóng (có thể là tập rỗng). Nghiệm của bất đẳng thức biến phân nói chung không duy nhất nếu không có thêm các điều kiện đặt lên ánh xạ F . Tính duy nhất nghiệm của 15 bất đẳng thức biến phân phụ thuộc vào tính chất đơn điệu chặt của ánh xạ F . Định lý 1.1.29 (xem [8]) Nghiệm của bất đẳng thức biến phân VI(F, C) là duy nhất nếu F : C → RN là ánh xạ đơn điệu chặt. Chứng minh. Thật vậy, giả sử x1 ∈ C và x2 ∈ C là hai nghiệm khác nhau của VI(F, C). Khi đó, hF (x1 ), x − x1 i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.16) hF (x2 ), x − x2 i ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.17) và Lần lượt thay x = x2 trong (1.16) và x = x1 trong (1.17), sau đó cộng hai vế tương ứng của hai bất đẳng thức thu được ta có: hF (x1 ) − F (x2 ), x1 − x2 i ≤ 0. Điều này vô lý vì giả thiết F là đơn điệu chặt. Suy ra x1 = x2 . 1.2  Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 1.2.1 Toán tử chiếu trong không gian Hilbert Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng và chuẩn được ký hiệu lần lượt là h., .i và k.k. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, ta xét hình chiếu của một phần tử x ∈ H trên C. Định lý 1.2.1 (xem [3]) Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất y ∈ C sao cho kx − yk = min kx − zk. z∈C Điểm y ∈ C được gọi là hình chiếu của x trên C và được ký hiệu là PC (x). 16 Định nghĩa 1.2.2 Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, ánh xạ PC : H → C xác định bởi kx − PC (x)k = min kx − zk z∈C được gọi là toán tử chiếu trên C. Sau đây là một số tính chất của toán tử chiếu lên tập lồi đóng khác rỗng C trong không gian Hilbert thực H. Bổ đề 1.2.3 (xem [3]) Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Cho x ∈ H và y ∈ C. Khi đó, (i) y = PC (x) khi và chỉ khi hx − y, z − yi ≤ 0 với mọi z ∈ C. (ii) kPC (x) − PC (y)k2 ≤ hPC (x) − PC (y), x − yi với mọi x, y ∈ H. Do đó PC (.) là ánh xạ không giãn, nghĩa là kPC (x) − PC (y)k ≤ kx − yk 1.2.2 ∀x, y ∈ H. Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và A : C → H là một ánh xạ. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert H được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho hA(x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.18) Ký hiệu bài toán bất đẳng thức biến phân (1.18) là CVI(A, C). Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân CVI(A, C) trong không gian Hilbert H được ký hiệu là S H . Nếu ánh xạ A có dạng A(x) = x − x0 ∀x ∈ C, x0 ∈ H (1.19) thì từ Bổ đề 1.2.3 và (1.19), hA(x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C ⇔ hx∗ − x0 , x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C ⇔ x∗ = PC (x0 ). Do đó S H = {PC (x0 )}.