Tài liệu Xấp xỉ nghiệm của bài toán không điểm chung tách trong không gian banach

.. „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC NGUY™N QUANG KHU– X‡P XŸ NGHI›M CÕA B€I TON KHÆNG IšM CHUNG TCH TRONG KHÆNG GIAN BANACH LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Chuy¶n ng nh: To¡n ùng döng M¢ sè: 8 46 01 12 NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC TS. Tr÷ìng Minh Tuy¶n Th¡i Nguy¶n  2018 ii Líi c£m ìn Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n TS. Tr÷ìng Minh Tuy¶n, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp nghi¶n cùu º ho n th nh luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o trong khoa To¡n  Tin tr÷íng ¤i håc Khoa håc¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i Tr÷íng. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Sð Gi¡o döc v   o t¤o t¿nh H  Giang, Ban Gi¡m èc Trung t¥m Gi¡o döc th÷íng xuy¶n - H÷îng nghi»p t¿nh H  Giang, công nh÷ to n thº c¡c çng nghi»p, ¢ quan t¥m v  t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi thüc hi»n óng k¸ ho¤ch håc tªp v  nghi¶n cùu. iii Möc löc Líi c£m ìn ii Mët sè kþ hi»u v  vi¸t t­t iv Mð ¦u 1 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 3 1.1. Mët sè v§n · v· h¼nh håc c¡c khæng gian Banach . . . . . . . . . 3 1.2. nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Ph²p chi¸u m¶tric v  ph²p chi¸u têng qu¡t . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1. Ph²p chi¸u m¶tric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2. Ph²p chi¸u têng qu¡t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 To¡n tû ìn i»u trong khæng gian Banach . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Ch÷ìng 2 X§p x¿ nghi»m cõa b i to¡n khæng iºm chung t¡ch 2.1. 2.2. 22 X§p x¿ nghi»m cõa b i to¡n khæng iºm chung t¡ch . . . . . . . . 22 2.1.1. Ph÷ìng ph¡p chi¸u co hµp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.2. Ph÷ìng ph¡p lai chi¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Ùng döng 2.2.1. B i to¡n iºm cüc tiºu t¡ch . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2. B i to¡n ch§p nhªn t¡ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 K¸t luªn 35 T i li»u tham kh£o 36 iv Mët sè kþ hi»u v  vi¸t t­t E khæng gian Banach E∗ khæng gian èi ng¨u cõa R tªp hñp c¡c sè thüc R+ tªp c¡c sè thüc khæng ¥m ∩ ph²p giao inf M cªn d÷îi óng cõa tªp hñp sè M sup M cªn tr¶n óng cõa tªp hñp sè M max M sè lîn nh§t trong tªp hñp sè min M sè nhä nh§t trong tªp hñp sè argminx∈X F (x) tªp c¡c iºm cüc tiºu cõa h m ∅ tªp réng ∀x vîi måi D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A−1 to¡n tû ng÷ñc cõa to¡n tû I to¡n tû çng nh§t Lp (Ω) khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc lp khæng gian c¡c d¢y sè kh£ têng bªc E M tr¶n X A A A {xn } lim inf xn giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn } xn −→ x0 d¢y {xn } hëi tö m¤nh v· xn * x0 d¢y {xn } hëi tö y¸u v· n→∞ n→∞ F x giîi h¤n tr¶n cõa d¢y sè lim sup xn M x0 x0 p tr¶n p Ω v JE ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c tr¶n jE ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ìn trà tr¶n δE (ε) mæ un lçi cõa khæng gian Banach ρE (τ ) mæ un trìn cõa khæng gian Banach F ix(T ) ho°c F (T ) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ ∂f d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi M bao âng cõa tªp hñp PC ph²p m¶tric l¶n ΠC ph²p chi¸u têng qu¡t l¶n iC h m ch¿ cõa tªp lçi f M C C C E T E E E 1 Mð ¦u Cho H1 v  C H2 , v  Q l  c¡c tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa c¡c khæng gian Hilbert t÷ìng ùng. Cho T ∗ : H2 −→ H1 T : H1 −→ H2 l  to¡n tû li¶n hñp cõa l  mët to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n v  T. B i to¡n ch§p nhªn t¡ch (SFP) câ d¤ng nh÷ sau: T¼m mët ph¦n tû x∗ ∈ S = C ∩ T −1 (Q) 6= ∅. (SFP) Mæ h¼nh b i to¡n (SFP) l¦n ¦u ti¶n ÷ñc giîi thi»u v  nghi¶n cùu bði Y. Censor v  T. Elfving [4] cho mæ h¼nh c¡c b i to¡n ng÷ñc. B i to¡n n y âng vai trá quan trång trong khæi phöc h¼nh £nh trong Y håc, i·u khiºn c÷íng ë x¤ trà trong i·u trà b»nh ung th÷, khæi phöc t½n hi»u (xem [2], [3]) hay câ thº ¡p döng cho vi»c gi£i c¡c b i to¡n c¥n b¬ng trong kinh t¸, lþ thuy¸t trá chìi (xem [13]). Gi£ sû C l  mët tªp con lçi v  âng cõa khæng gian Hilbert H1 . Ta bi¸t r¬ng tªp iºm cüc tiºu cõa h m ch¿ iC (x) =   0, n¸u  ∞, l  arg minH1 iC (x) vi ph¥n cõa iC ¤i). Ngo i ra, A = I − PC . = C. x ∈ C, n¸u x∈ /C Do â, ta nhªn ÷ñc (Rockafellar [11] ¢ ch¿ ra r¬ng C C = (∂iC )−1 (0), ∂iC vîi ∂iC l  d÷îi l  mët to¡n tû ìn i»u cüc công l  tªp khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u A x¡c ành bði Do â, ta câ thº xem b i to¡n ch§p nhªn t¡ch (SFP) l  tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n khæng iºm chung t¡ch. B i to¡n khæng iºm chung t¡ch ÷ñc ph¡t biºu ð d¤ng sau: Cho v  B : H2 −→ 2H2 l  c¡c to¡n tû ìn i»u cüc ¤i v  cho A : H1 −→ 2H1 T : H1 −→ H2 l  mët to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n. T¼m mët ph¦n tû
x∗ ∈ S = A−1 (0) ∩ T −1 B −1 (0) 6= ∅. (SCNPP) Cho ¸n nay B i to¡n (SCNPP) ¢ v  ang l  chõ · thu hót nhi·u ng÷íi l m to¡n trong v  ngo i n÷îc quan t¥m nghi¶n cùu. Möc ½ch cõa luªn v«n n y l  2 tr¼nh b y l¤i c¡c k¸t qu£ cõa Takahashi trong c¡c t i li»u [14] v  [15] v· ph÷ìng ph¡p chi¸u co hµp v  ph÷ìng ph¡p chi¸u lai gh²p cho B i to¡n (SCNPP) trong khæng gian Banach. Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc chia l m hai ch÷ìng ch½nh: Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, luªn v«n · cªp ¸n mët sè v§n · v· c§u tróc h¼nh håc cõa c¡c khæng gian Banach nh÷ khæng gian Banach lçi ·u, khæng gian Banach trìn ·u, ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c; ph²p chi¸u m¶tric v  ph²p chi¸u têng qu¡t; to¡n tû ìn i»u trong khæng gian Banach, to¡n tû gi£i m¶tric v  to¡n tû gi£i têng qu¡t. Ch÷ìng 2. X§p x¿ nghi»m cõa b i to¡n khæng iºm chung t¡ch Trong ch÷ìng n y luªn v«n tªp trung tr¼nh b y l¤i mët c¡ch chi ti¸t c¡c k¸t qu£ cõa Takahashi [14], [15] v· c¡c ph÷ìng ph¡p chi¸u co hµp v  ph÷ìng ph¡p chi¸u lai gh²p cho b i to¡n khæng iºm chung t¡ch trong khæng gian Banach. Ngo i ra, trong ch÷ìng n y luªn v«n công · cªp ¸n hai ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p chi¸u lai gh²p (ành lþ 2.2) cho b i to¡n iºm cüc tiºu t¡ch v  b i to¡n ch§p nhªn t¡ch. 3 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng n y bao bçm 4 möc. Möc 1.1 tr¼nh b y mët sè v§n · v· mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa khæng gian ph£n x¤, khæng gian Banach lçi ·u, trìn ·u. Möc 1.2 giîi thi»u v· ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c. Möc 1.3 tr¼nh b y v· ph²p chi¸u m¶tric v  ph²p chi¸u têng qu¡t còng vîi mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa chóng. Möc 1.4 tr¼nh b y v· to¡n tû ìn i»u trong khæng gian Banach, to¡n tû gi£i têng qu¡t v  to¡n tû gi£i m¶tric. Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [1, 5, 6, 8, 9, 10]. 1.1. Mët sè v§n · v· h¼nh håc c¡c khæng gian Banach Cho E l  mët khæng gian Banach v  E∗ l  khæng gian èi ng¨u cõa nâ. º cho ìn gi£n v  thuªn ti»n hìn, chóng tæi thèng nh§t sû döng k½ hi»u chu©n tr¶n E v  E ∗; Sü hëi tö m¤nh v  y¸u cõa d¢y l¦n l÷ñt ÷ñc k½ hi»u l  xn → x v  xn * x {xn } v· ph¦n tû k.k x º ch¿ trong E trong to n bë luªn v«n. Trong luªn v«n n y, chóng tæi th÷íng xuy¶n sû döng t½nh ch§t d÷îi ¥y cõa khæng gian Banach ph£n x¤. M»nh · 1.1. (xem [1] trang 41) Cho E l  mët khæng gian Banach. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l  t÷ìng ÷ìng: i) ii) E l  khæng gian ph£n x¤. Måi d¢y bà ch°n trong E , ·u câ mët d¢y con hëi tö y¸u. M»nh · d÷îi ¥y cho ta mèi li¶n h» giúa tªp âng v  tªp âng y¸u trong khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n. 4 M»nh · 1.2. N¸u C l  tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gian khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n X , th¼ C l  tªp âng y¸u. Chùng minh. cho xn * x, ng°t x v  C, Ta chùng minh b¬ng ph£n chùng. Gi£ sû tçn t¤i d¢y nh÷ng x∈ / C. tùc l  tçn t¤i Theo ành lþ t¡ch c¡c tªp lçi, tçn t¤i ε>0 {xn } ⊂ C x∗ ∈ X ∗ sao t¡ch sao cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, vîi måi y ∈ C. °c bi»t, ta câ hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, vîi måi n ≥ 1. Ngo i ra, v¼ ¯ng thùc tr¶n, cho n → ∞, xn * x , n¶n hxn , x∗ i → hx, x∗ i. Do â, trong b§t ta nhªn ÷ñc hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, i·u n y l  væ lþ. Do â, i·u gi£ sû l  sai, hay C l  tªp âng y¸u. M»nh · ÷ñc chùng minh. Chó þ 1.1. N¸u C l  tªp âng y¸u, th¼ hiºn nhi¶n C l  tªp âng. M»nh · d÷îi ¥y cho ta mët i·u ki»n v· sü tçn t¤i iºm cüc tiºu cõa mët phi¸m h m lçi, ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi trong khæng gian Banach ph£n x¤. M»nh · 1.3. Cho C l  tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gian Banach ph£n x¤ E v  f : C −→ (−∞, ∞] l  mët h m lçi, ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi tr¶n C , sao cho f (xn ) → ∞ khi kxn k → ∞. Khi â, tçn t¤i x0 ∈ dom(f ) sao cho f (x0 ) = inf{f (x) : x ∈ C}. Chùng minh. cho f (xn ) → m {xnk } vîi °t cõa {xn } m = inf{f (x) : x ∈ C}. khi n → ∞. sao cho N¸u {xn } kxnk k → ∞. Khi â, tçn t¤i d¢y {xn } ⊂ C sao khæng bà ch°n, th¼ tçn t¤i mët d¢y con Theo gi£ thi¸t, f (xnk ) → ∞, m¥u thu¨n m 6= ∞. Do â, {xn } bà ch°n. Theo M»nh · 1.1 v  M»nh · 1.2, tçn t¤i d¢y 5 con {xnj } {xn } cõa sao cho x nj * x 0 ∈ C . V¼ f l  nûa li¶n töc d÷îi trong tæpæ y¸u, n¶n ta câ m ≤ f (x0 ) ≤ lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m. n→∞ j→∞ Do â, m = f (x0 ). M»nh · ÷ñc chùng minh. Ti¸p theo, trong möc n y chóng tæi · cªp ¸n mët sè v§n · cì b£n v· c§u tróc h¼nh håc c¡c khæng gian Banach, nh÷: t½nh lçi, t½nh trìn, mæ un lçi, mæ un trìn ... ành ngh¾a 1.1. Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  lçi ch°t n¸u vîi måi x, y ∈ E, x 6= y m  kxk = 1, kyk = 1 ta câ x + y 2 < 1. Chó þ 1.2. ành ngh¾a 1.1 cán câ thº ph¡t biºu d÷îi c¡c d¤ng t÷ìng ÷ìng E ÷ñc gåi l  lçi ch°t n¸u vîi måi x, y ∈ SE thäa m¢n kx + yk = 1, suy ra x = y ho°c vîi måi x, y ∈ SE v  x 6= y ta câ ktx+(1−t)yk < 1 2 vîi måi t ∈ (0, 1), trong â sau: Khæng gian Banach SE = {x ∈ E : kxk = 1}. M»nh · 1.4. Cho E l  mët khæng gian Banach lçi ch°t. Khi â, vîi méi f ∈ E ∗ \ {0}, tçn t¤i duy nh§t ph¦n tû x ∈ E sao cho kxk = 1 v  hx, f i = kf k. Chùng minh. Gi£ sû tçn t¤i x, y ∈ E thäa m¢n kxk = kyk = 1 v  x 6= y sao cho hx, f i = hy, f i = kf k. Khi â, vîi t ∈ (0, 1), tø t½nh lçi ch°t cõa E, ta câ kf k = thx, f i + (1 − t)hy, f i = htx + (1 − t)y, f i ≤ ktx + (1 − t)ykkf k < kf k. Suy ra m¥u thu¨n. Vªy tçn t¤i duy nh§t ph¦n tû hx, f i = kf k. x ∈ E sao cho kxk = 1 v  6 ành ngh¾a 1.2. tçn t¤i δ(ε) > 0 Khæng gian Banach sao cho vîi måi luæn câ E ÷ñc gåi l  lçi ·u n¸u vîi måi x, y ∈ E m  ε > 0, kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta x + y 2 ≤ 1 − δ(ε). D¹ th§y r¬ng n¸u E l  mët khæng gian Banach lçi ·u th¼ nâ l  khæng gian Banach lçi ch°t. Tuy nhi¶n i·u ng÷ñc l¤i khæng óng, v½ dö d÷îi ¥y ch¿ ra i·u â. V½ dö 1.1. (xem [1] trang 54) X²t khæng) vîi chu©n k.kβ E = c0 x¡c ành bði kxkβ = kxkc0 + β X ∞ i=1 Khi â, (khæng gian c¡c d¢y sè hëi tö v· (E, k.kβ ), β > 0 |xi |2 i2 1/2 , x = (xi ) ∈ c0 . l  mët khæng gian lçi ch°t nh÷ng khæng l  khæng gian lçi ·u. º o t½nh lçi cõa khæng gian Banach E , ng÷íi ta ÷a v o kh¡i ni»m sau: Mæ E l  h m sè   x + y δE (ε) = inf 1 − 2 : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε . un lçi cõa khæng gian Banach Nhªn x²t 1.1. Mæ un lçi cõa khæng gian Banach v  t«ng tr¶n o¤n [0; 2]. Khæng gian Banach E E lçi ch°t khi v  ch¿ khi (xem [1] trang 59). Ngo i ra, khæng gian Banach δE (ε) > 0, ∀ε > 0 M»nh · 1.5. l  h m sè x¡c ành, li¶n töc E δE (2) = 1 l  lçi ·u khi v  ch¿ khi (xem [1] trang 60). (xem [1] trang 56) Måi khæng gian Banach lçi ·u b§t k¼ l  khæng gian ph£n x¤. ành ngh¾a 1.3. n¸u måi d¢y V½ dö 1.2. Khæng gian Banach {xn } ⊂ E xn * x Måi khæng gian Hilbert Thªt vªy, gi£ sû kxn k → x. thäa m¢n {xn } E H ÷ñc gåi l  câ t½nh ch§t Kadec-Klee v  kxn k → x, th¼ xn → x. ·u câ t½nh ch§t Kadec-Klee. l  mët d¢y b§t ký trong Khi â, ta câ kxn − xk2 = hxn − x, xn − xi H thäa m¢n xn * x v  7 = kxn k2 − 2hxn , xi + kxk2 → kxk2 − 2kxk2 + kxk2 = 0. Do â xn → x. M»nh · d÷îi ¥y cho ta bi¸t v· lîp khæng gian rëng hìn câ t½nh ch§t KadecKlee. M»nh · 1.6. Måi khæng gian Banach lçi ·u câ t½nh ch§t Kadec-Klee. Chùng minh. b§t ký trong Gi£ sû H E l  mët khæng gian Banach lçi ·u v  thäa m¢n xn * x v  {xn } l  mët d¢y kxn k → x. N¸u x = 0, th¼ hiºn nhi¶n xn → 0. Gi£ sû x 6= 0 v  xn 9 x. Khi â, xn x 9 . Do â, tçn t¤i ε > 0 v  d¢y con {xnk } cõa {xn } sao cho kxn k kxk    xnk x    kxn k − kxk  ≥ ε, k vîi måi Tø k ≥ 1. xn * x v  E δ > 0 sao   x  1  xnk + ≤ 1 − δ. 2  kxnk k kxk  x xn * . Suy ra kxn k → x ta câ kxn k kxk    xnk  x x 1 ≤ lim inf   ≤ 1 − δ, + 1= kxk k→∞ 2  kxnk k kxk  V¼ l  khæng gian lçi ·u n¶n tçn t¤i suy ra m¥u thu¨n. Vªy ành ngh¾a 1.4. x ∈ SE , hay E Cho E fx ∈ E ∗ cho câ t½nh ch§t Kadec-Klee. Khæng gian Banach tçn t¤i duy nh§t ành ngh¾a 1.5. E xn → x ta câ sao cho E ÷ñc gåi l  trìn n¸u vîi méi hx, fx i = kxk v  kfx k = 1. l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n. Chu©n tr¶n ÷ñc gåi l  kh£ vi G¥teaux t¤i iºm x ∈ SE n¸u vîi méi y ∈ SE , tçn t¤i giîi h¤n ành ngh¾a 1.6. a) Chu©n tr¶n x ∈ SE . d kx + tyk − kxk (kx + tyk)t=0 = lim . t→0 dt t Cho E E (1.1) l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n. Khi â: ÷ñc gåi l  kh£ vi G¥teaux n¸u nâ kh£ vi G¥teaux t¤i måi 8 b) Chu©n tr¶n E ÷ñc gåi l  kh£ vi G¥teaux ·u n¸u vîi måi (1.1) tçn t¤i ·u vîi måi c) Chu©n tr¶n E d) Chu©n tr¶n vîi måi E giîi h¤n x ∈ SE . ÷ñc gåi l  kh£ vi Fr²chet n¸u vîi måi tçn t¤i ·u vîi måi y ∈ SE x ∈ SE , giîi h¤n (1.1) y ∈ SE . ÷ñc gåi l  kh£ vi Fr²chet ·u n¸u giîi h¤n (1.1) tçn t¤i ·u x, y ∈ SE . ành lþ 1.1. (xem [1] trang 92) Cho E l  mët khæng gian Banach. Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: a) N¸u E ∗ l  khæng gian lçi ch°t th¼ E l  khæng gian trìn. b) N¸u E ∗ l  khæng gian trìn th¼ E l  khæng gian lçi ch°t. ành ngh¾a 1.7. Mæ un trìn cõa khæng gian Banach E l  h m sè x¡c ành bði
ρE (τ ) = sup{2−1 kx + yk + kx − yk − 1 : kxk = 1, kyk = τ }. Nhªn x²t 1.2. Mæ un trìn cõa khæng gian Banach töc v  t«ng tr¶n kho£ng V½ dö 1.3. [10] N¸u E [0; +∞) E l  h m sè x¡c ành, li¶n (xem [1] trang 95). l  khæng gian lp ho°c Lp (Ω), th¼ ta câ  1  (1 + τ p )1/p − 1 < τ p , 1 < p < 2, p ρE (τ ) = p − 1 p−1 2   τ 2 + o(τ 2 ) < τ , p ≥ 2. 2 2 ành l½ d÷îi ¥y cho ta bi¸t v· mèi li¶n h» giúa mæ un trìn cõa khæng gian Banach E vîi mæ un lçi cõa ành lþ 1.2. a) b) E∗ (xem [6] trang 70) v  ng÷ñc l¤i. Cho E l  mët khæng gian Banach. Khi â ta câ τε − δE (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0. 2 τε ρE (τ ) = sup{ − δE ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > 0. 2 ρE ∗ (τ ) = sup{ Nhªn x²t 1.3. Tø ành l½ 1.2, suy ra trong â ε0 (E ∗ ) 2 ε0 (E) , 2 ρE (τ ) ε0 (E) = sup{ε : δE (ε) = 0}, ρ0 (E) = limτ →0 . τ ρ0 (E) = v  ρ0 (E ∗ ) = ành ngh¾a 1.8. 9 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  trìn ·u n¸u ρE (τ ) = 0. τ →0 τ lim Tø Nhªn x²t 1.3, ta câ ành lþ d÷îi ¥y: ành lþ 1.3. Cho E l  mët khæng gian Banach. Khi â ta (xem [6] trang 70) câ c¡c kh¯ng ành sau: a) N¸u E l  khæng gian trìn ·u th¼ E ∗ l  khæng gian lçi ·u; b) N¸u E l  khæng gian lçi ·u th¼ E ∗ l  khæng gian trìn ·u. V½ dö 1.4. Måi 1 < p < +∞ ·u l  khæng gian Banach lçi ·u v  trìn ·u (xem [5] trang khæng gian Hilbert, khæng lp gian Lp (Ω) hay vîi 54). Cuèi còng trong möc n y luªn v«n giîi thi»u v· giîi h¤n cõa d¢y tªp hñp trong khæng gian Banach theo ngh¾a cõa Mosco [9]. {Cn } Cho l  mët d¢y c¡c tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gian Banach ph£n x¤ x∈ s-Lin Cn khi v  ch¿ khi tçn t¤i d¢y vîi måi d¢y E . Ta x¡c ành c¡c tªp con s-Lin Cn n ≥ 1; x ∈ {yk } ⊂ E w-Lsn Cn = C0 , E nh÷ sau: x v  x n ∈ Cn hëi tö m¤nh v· w-Lsn Cn khi v  ch¿ khi tçn t¤i d¢y con sao cho th¼ {xn } ⊂ E v  w-Lsn Cn cõa C0 yk * x v  yk ∈ Cnk vîi måi ÷ñc gåi l  giîi h¤n cõa d¢y {Cnk } k ≥ 1. {Cn } cõa{Cn } v  N¸u s-Lin Cn = theo ngh¾a cõa Mosco [9] v  giîi h¤n n y ÷ñc kþ hi»u bði C0 = M- limn→∞ Cn . Chó þ 1.3. l  mët d¢y gi£m c¡c tªp con lçi, âng cõa Ta bi¸t r¬ng, n¸u khæng gian Banach ph£n x¤ Thªt vªy, rã r ng n¸u vîi xn = x vîi måi n≥1 E {Cn } C 0 = ∩∞ n=1 Cn 6= ∅, v  x ∈ C0 th¼ x∈ hëi tö m¤nh v· th¼ s-Lin Cn v  x. C0 = M- limn→∞ Cn . x∈ Do â, ta câ w-Lsn Cn , v¼ d¢y {xn } C0 ⊂ C0 ⊂ s-Lin Cn v  w-Lsn Cn . B¥y gií ta s³ ch¿ ra r¬ng C0 ⊇ s-Lin Cn v  tø ành ngh¾a cõa s-Lin Cn , tçn t¤i d¢y xn → x, v  måi khi n → ∞. k ≥ 0. vîi måi V¼ Do â, cho n ≥ 1. Suy ra {Cn } w-Lsn Cn . L§y {xn } ⊂ E , xn ∈ Cn l  mët d¢y gi£m, n¶n k→∞ x ∈ C0 C0 ⊇ v  tø t½nh âng cõa v  do vªy C0 ⊇ vîi måi xn+k ∈ Cn Cn , x∈ s-Lin Cn , n ≥ 1 sao cho vîi måi ta nhªn ÷ñc n≥1 x ∈ Cn s-Lin Cn . Ti¸p theo, l§y b§t ký 10 y∈ w-Lsn Cn , tø ành ngh¾a cõa w-Lsn Cn , tçn t¤i mët d¢y con v  d¢y d¢y {yk } ⊂ E {Cn }, yk * x sao cho yk ∈ C n k v  vîi måi k ≥ 1. {Cnk } cõa Tø t½nh gi£m cõa ta câ yk+p ∈ Cnk vîi måi k ≥ 1. k≥1 p ≥ 0. v  V¼ Cnk Do â, trong (1.2), cho Ck ⊇ Cnk , n¶n y ∈ Ck vîi måi p → ∞, k ≥ 1. = C nk ta nhªn ÷ñc Suy ra y ∈ C0 v  w-Lsn Cn y ∈ C nk v  do â = C0 . E l  âng y¸u Vªy vîi måi C0 ⊇ vîi måi k ≥ 1. V¼ w-Lsn Cn . C0 = M- limn→∞ Cn . nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ành ngh¾a 1.9. trà (1.2) l  lçi v  âng, n¶n Tâm l¤i, ta thu ÷ñc s-Lin Cn 1.2. {Cn } J : X −→ 2X ∗ Cho X l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n, ¡nh x¤ a x¡c ành bði J(x) = {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 , kxk = kf k} ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa Chó þ 1.4. a)Trong khæng gian Hilbert, ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c tròng vîi ¡nh x¤ çng nh§t I. b) nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c J x¤ ìn trà th¼ ta kþ ki»u nâ bði Nhªn x²t 1.4. J(x) 6= ∅ X. nâi chung l  mët ¡nh x¤ a trà. Khi x ∈ X, l  ¡nh j. Trong khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n b§t k¼ vîi måi J X, ta luæn câ i·u n y suy ra trüc ti¸p tø h» qu£ cõa ành lþ Hahn - Banach. M»nh · d÷îi ¥y · cªp ¸n mët sè t½nh ch§t ìn gi£n cõa ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c J cõa khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n M»nh · 1.7. (xem [1] trang 69) X. Cho X l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n v  J l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa nâ. Khi â, i) ii) J l  mët ¡nh x¤ l´, tùc l  J(−x) = −J(x), ∀x ∈ X ; J l  thu¦n nh§t d÷ìng, tùc l  J(λx) = λJ(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ X ; 11 iii) J bà ch°n, tùc l  n¸u D l  mët tªp con bà ch°n cõa X th¼ J(D) l  mët tªp hñp bà ch°n trong X ∗ ; iv) v) N¸u X ∗ l  lçi ch°t th¼ J l  ìn trà; J l  ìn trà v  li¶n töc ·u tr¶n méi tªp con bà ch°n cõa X khi v  ch¿ khi X l  khæng gian Banach trìn ·u. V½ dö 1.5. gian lp X²t khæng gian lp , vîi p > 1. V¼ khæng gian èi ng¨u l  lçi ·u, n¶n ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c J cõa lp lq cõa khæng l  ìn trà v  d¹ th§y nâ ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: J(x) =   θ n¸u x=θ  {ηn } ∈ lq trong â ηk = |ξk |p−1 sgn(ξk )kxk2−p n¸u vîi måi x = {ξn } = 6 θ, k ≥ 1. M»nh · 1.8. Gi£ sû X l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n. Khi â, ta câ a) kx + yk2 ≤ kyk2 + 2hx, j(x + y)i, vîi måi j(x + y) ∈ J(x + y), b) kx + yk2 ≥ kxk2 + 2hy, j(x)i, vîi måi j(x) ∈ J(x), vîi måi x, y ∈ E Chùng minh. Tr÷îc h¸t, ta ch¿ ra kyk2 − kxk2 ≥ 2hy − x, j(x)i, vîi måi x, y ∈ E . Thªt vªy, ta câ kyk2 − kxk2 − 2hy − x, j(x)i = kxk2 + kyk2 − 2hy, j(x)i ≥ kxk2 + kyk2 − 2kxkkyk = (kxk − kyk)2 ≥ 0. Suy ra, (1.3) óng. a) Trong (1.3) thay x bði x + y, ta nhªn ÷ñc i·u ph£i chùng minh. b) Trong (1.3) thay y bði x + y, ta nhªn ÷ñc i·u ph£i chùng minh. (1.3) 12 M»nh · 1.9. Cho E l  mët khæng gian Banach trìn. Khi â, hx − y, j(x) − j(y)i ≥ 0 vîi måi x, y ∈ E . Hìn núa, n¸u E l  khæng gian lçi ch°t v  hx − y, j(x) − j(y)i = 0, th¼ x = y . Chùng minh. Vîi måi x, y ∈ E , ta câ hx − y, j(x) − j(y)i = kxk2 − hx, j(y)i − hy, j(x)i + kyk2 ≥ kxk2 − 2kxkkyk + kyk2 = (kxk − kyk)2 ≥ 0. Do â, ta nhªn ÷ñc hx − y, j(x) − j(y)i ≥ 0 vîi måi x, y ∈ E . Gi£ sû E l  khæng gian Banach lçi ch°t v  hx − y, j(x) − j(y)i = 0. Khi â, tø c¡c ¡nh gi¡ tr¶n, ta nhªn ÷ñc hx, j(y)i = hy, j(x)i = kxk2 = kyk2 . Do â, n¸u x = 0, th¼ y=0 v  ng÷ñc l¤i. Gi£ sû kxk = kyk = d > 0. Khi â, ta câ Theo M»nh · 1.4, ta x y h , j(x)i = h , j(x)i = kj(x)k. d d x y nhªn ÷ñc = hay x = y . d d M»nh · 1.10. Cho s > 0 v  cho E l  mët khæng gian Banach. Khi â, E l  lçi ·u khi v  ch¿ khi tçn t¤i mët h m lçi, li¶n töc, t«ng ng°t g : [0, ∞) −→ [0, ∞), g(0) = 0 sao cho kx + yk2 ≥ kxk2 + 2hy, j(x)i + g(kyk) vîi måi x, y ∈ {z ∈ E : kzk ≤ s} v  måi j(x) ∈ J(x). ành ngh¾a 1.10. Cho â, d÷îi vi ph¥n cõa g g : X −→ (−∞, ∞] t¤i x0 kþ hi»u l  l  mët h m lçi, ∂g(x0 ) x0 ∈ dom(g). v  ÷ñc x¡c ành bði ∂g(x0 ) = {f ∈ X ∗ : g(x) − g(x0 ) ≥ hx − x0 , f i}. Ta nâi g l  kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i x0 n¸u ∂g(x0 ) 6= ∅. Khi 13 V½ dö 1.6. måi x ∈ X. Cho X l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n, 1 g(x) = kxk2 2 vîi Khi â,   0, x = 0, ∂g(x) =  {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 = kf k2 }, x 6= 0. Thªt vªy, f ∈ ∂g(0) khi v  ch¿ khi 1 kyk2 ≥ hy, f i, ∀y ∈ X. 2 Thay y λy bði vîi λ > 0, ta nhªn ÷ñc λ kyk2 ≥ hy, f i, ∀y ∈ X. 2 Cho λ → 0, hy, f i ≥ 0. Gi£ sû ta nhªn ÷ñc Suy ra, x 6= 0, hy, f i ≤ 0 hy, f i = 0 vîi måi y ∈ X. Thay y ∈ X. Do â, f = 0. vîi måi y bði Vªy −y ta thu ÷ñc ∂g(0) = {0}. d¹ d ng kiºm tra ÷ñc r¬ng {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 = kf k2 } ⊂ ∂g(x). Thªt vªy, gi£ sû f ∈ X∗ thäa m¢n kxk2 = kf k2 . Khi â, vîi måi y ∈ X, ta câ hy − x, f i = hy, f i − kxk2 ≤ kyk.kxk − kxk2 1 ≤ (kyk2 + kxk2 ) − kxk2 = g(y) − g(x). 2 Ng÷ñc l¤i, gi£ sû f ∈ ∂g(x). Khi â, ta câ 1 hy − x, f i ≤ (kyk2 − kxk2 ) 2 vîi måi y ∈ X. Thay y = x + λz vîi λ∈R v  z ∈ X, theo M»nh · 1.8 a), ta nhªn ÷ñc 1 1 λhz, f i ≤ (kx + λzk2 − kxk2 ) ≤ (λ2 kzk2 + 2|λ|kxkkzk). 2 2 Khi λ > 0, tø (1.4), ta nhªn ÷ñc 1 hz, f i ≤ (λkxzk2 + 2kxkkzk). 2 (1.4) 14 λ → 0+ , Cho kxkkzk ta thu ÷ñc vîi måi z ∈ X. Vîi hz, f i ≤ kxkkzk z = x, vîi måi z ∈ X. Suy ra, |hz, f i| ≤ ta nhªn ÷ñc |hx, f i| ≤ kxk2 , kf k ≤ kxk. Trong b§t ¯ng thùc ¦u ti¶n cõa (1.4), vîi hx, f i ≥ λ → 0− , Cho x=z v  (1.5) λ < 0, ta nhªn ÷ñc λ+2 kxk2 . 2 ta ÷ñc hx, f i ≥ kxk2 . (1.6) Tø (1.5) v  (1.6), ta nhªn ÷ñc hx, f i = kxk2 = kf k2 . Tø V½ dö 1.6 v  ành ngh¾a 1.9, ta câ m»nh · d÷îi ¥y. M»nh · 1.11. Cho X l  mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n, g(x) = 12 kxk2 vîi måi x ∈ X . Khi â, J(x) = ∂g(x). Chó þ 1.5. Tø M»nh · 1.11, n¸u 1 5g(x), vîi g(x) = kxk2 vîi 2 ng¨u chu©n t­c J l  ìn trà. 1.3. måi E l  mët khæng gian Banach trìn, th¼ x ∈ E J(x) = v  trong tr÷íng hñp n y ¡nh x¤ èi Ph²p chi¸u m¶tric v  ph²p chi¸u têng qu¡t 1.3.1. Ph²p chi¸u m¶tric M»nh · 1.12. Gi£ sû C l  mët tªp con lçi, ângv  kh¡c réng cõa khæng gian Banach lçi ch°t v  ph£n x¤ E . Khi â, tªp C 0 = x ∈ C : kxk = inf{kyk : y ∈ C} l  gçm duy nh§t mët ph¦n tû. Chùng minh. kxn k → d, con ra °t khi n → ∞. {xnk } ⊂ {xn } x ∈ C. d = inf{kyk : y ∈ C}. Khi â, tçn t¤i d¢y Tø t½nh bà ch°n cõa sao cho xnk * x. {xn } {xn } ⊂ C v  M»nh · 1.1, tçn t¤i d¢y Tø t½nh âng y¸u cõa C (M»nh · 1.2), suy Do â, tø t½nh nûa li¶n töc d÷îi y¸u cõa chu©n, ta câ kxk ≤ lim kxn k = d. n→∞ sao cho 15 Suy ra kxk = d = inf{kyk : y ∈ C} hay x ∈ C 0. Ta chùng minh t½nh duy nh§t. Gi£ sû tçn t¤i C, ch°t cõa ta câ ktx + (1 − t)yk < d vîi måi y 6= x t ∈ (0, 1), v  y ∈ C 0. Tø t½nh lçi i·u n y m¥u thu¨n vîi d = inf{kyk : y ∈ C}. H» qu£ 1.1. Gi£ sû C l  mët tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gian Banach lçi ch°t v  ph£n x¤ E . Khi â, vîi méi x ∈ E tçn t¤i duy nh§t ph¦n tû PC x ∈ C sao cho kx − PC xk = inf kx − yk. y∈C Chùng minh. p döng M»nh · 1.12 cho tªp x−C ta nhªn ÷ñc i·u ph£i chùng minh. Tø H» qu£ 1.1, n¸u C Banach ph£n x¤, lçi ch°t l  mët tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa khæng gian E, th¼ ta câ ¡nh x¤ PC : E −→ C x¡c ành bði kx − PC xk = inf kx − yk, y∈C vîi måi x ∈ E. nh x¤ PC n y ÷ñc gåi l  ph²p chi¸u m¶tric tø °c tr÷ng cõa ph²p chi¸u m¶tric PC E l¶n C. ÷ñc cho bði m»nh · d÷îi ¥y. M»nh · 1.13. Cho E l  mët khæng gian Banach ph£n x¤, lçi ch°t v  trìn. Cho C l  mët tªp con lçi, âng v  kh¡c réng cõa E , x ∈ E v  z ∈ C . Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l  t÷ìng ÷ìng: a) z = PC x; b) hy − z, j(x − z)i ≤ 0 vîi måi y ∈ C . Chùng minh. Gi£ sû b) óng, khi â ta câ h(y − x) − (x − z), j(x − z)i ≤ 0. Suy ra kx − zk2 ≤ hy − x, j(x − z)i ≤ ky − xkkx − zk, vîi måi y ∈ C. z = PC x. Do â, ta nhªn ÷ñc kx − zk ≤ kx − yk vîi måi y ∈ C hay