Tài liệu Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân với họ vô hạn các ánh xạ không giãn

.. „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M NGUY™N SONG H€ X‡P XŸ NGHI›M CHO B‡T NG THÙC BI˜N PH…N VÎI HÅ VÆ H„N CC NH X„ KHÆNG GI‚N To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 9460102 Ng nh: LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC GS.TS. Nguy¹n B÷íng THI NGUY–N - 2018 ii LÍI CAM OAN C¡c k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn ¡n l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi, ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TS. Nguy¹n B÷íng. C¡c k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn ¡n l  mîi v  ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong c¡c cæng tr¼nh cõa ng÷íi kh¡c. Tæi xin chàu tr¡ch nhi»m v· nhúng líi cam oan cõa m¼nh. Th¡i Nguy¶n, ng y ... th¡ng 8 n«m 2018 T¡c gi£ Nguy¹n Song H  iii LÍI CƒM ÌN Luªn ¡n n y ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m, ¤i håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa GS.TS. Nguy¹n B÷íng. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn væ còng s¥u s­c tîi Th¦y gi¡o h÷îng d¨n. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu, thæng qua c¡c b i gi£ng, c¡c buêi sinh ho¤t chuy¶n mæn, seminar v  c¡c hëi th£o khoa håc trong n÷îc t¡c gi£ luæn nhªn ÷ñc sü quan t¥m gióp ï v  nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u cõa GS.TSKH. Ph¤m Ký Anh, GS.TSKH. L¶ Dông M÷u, GS.TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n, GS.TSKH. Nguy¹n æng Y¶n, PGS.TS. Cung Th¸ Anh, PGS.TS. Ph¤m Hi¸n B¬ng, PGS.TS. é V«n L÷u, PGS.TS. H  Tr¦n Ph÷ìng, PGS.TS. T¤ Duy Ph÷ñng, PGS.TS. Nguy¹n Thà Thu Thõy, TS. L¥m Thòy D÷ìng, TS. Nguy¹n Cæng i·u, TS. Bòi Th¸ Hòng, TS.  o Thà Li¶n, TS. Trành Thà Di»p Linh, TS. Nguy¹n Thà Ng¥n, TS. Nguy¹n Thanh Sìn, TS. Tr÷ìng Minh Tuy¶n v  TS. Vô M¤nh Xu¥n. Tø ¡y láng m¼nh t¡c gi£ công xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n c¡c Th¦y, Cæ. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõ nhi»m Khoa To¡n, Pháng  o t¤o, Ban gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m v  Ban chõ nhi»m Khoa To¡n-Tin, Pháng H nh ch½nh tê chùc, Ban gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ câ thº ho n th nh luªn ¡n cõa m¼nh. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o trong Bë mæn Gi£i t½ch, Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m v  c¡c th¦y cæ gi¡o trong Khoa To¡nTin, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n còng to n thº c¡c nghi¶n cùu sinh chuy¶n ng nh To¡n Gi£i t½ch, b¤n b± çng nghi»p ¢ luæn quan t¥m, ëng vi¶n, trao êi v  âng gâp nhúng þ ki¸n x¡c ¡ng cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu, seminar v  ho n th nh luªn ¡n. T¡c gi£ xin k½nh t°ng gia ¼nh ni·m vinh h¤nh to lîn n y. T¡c gi£ Nguy¹n Song H  iv Möc löc Trang b¼a phö Líi cam oan Möc löc Danh möc kþ hi»u v  chú vi¸t t­t Danh s¡ch b£ng Mð ¦u Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1.1. Khæng gian Banach v  giîi h¤n Banach . . . . . . . . . . . . . i ii iv vi viii 1 8 8 1.2. nh x¤ li¶n töc Lipschitz v  ¡nh x¤ j -ìn i»u . . . . . . . . . 17 1.3. Mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n . . . . . . . . . . . 20 1.3.1 Mæ h¼nh b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.2 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t . . . . . . . . . 21 K¸t luªn ch÷ìng 1 32 Ch÷ìng 2. C¡c ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ nghi»m cho mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 33 2.1. Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t dòng ¡nh x¤ S̃k . . . . 33 2.1.1 Nëi dung ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2 Sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . 35 2.1.3 Mët sè h» qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2. Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t dòng ¡nh x¤ Ŝk . . . . 51 2.2.1 Nëi dung ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.2 Sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . 52 2.2.3 Mët sè h» qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3. Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t dòng ¡nh x¤ S k . . . . 59 2.3.1 Nëi dung ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3.2 Sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . 60 2.3.3 Mët sè h» qu£ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 K¸t luªn ch÷ìng 2 Ch÷ìng 3. Mët b i to¡n thüc t¸ v  k¸t qu£ t½nh to¡n sè 3.1. B i to¡n ph¥n phèi b«ng thæng . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. V½ dö sè minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K¸t luªn ch÷ìng 3 K¸t luªn chung v  · nghà Danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan ¸n luªn ¡n T i li»u tham kh£o 73 74 74 80 91 92 93 94 vi Danh möc kþ hi»u v  chú vi¸t t­t H khæng gian Hilbert thüc E khæng gian Banach thüc E∗ khæng gian èi ng¨u cõa E SE m°t c¦u ìn và cõa E E ∗∗ khæng gian èi ng¨u thù hai cõa E l∞ khæng gian c¡c d¢y sè bà ch°n lp (1 ≤ p < ∞) khæng gian c¡c d¢y sè kh£ têng bªc p c khæng gian c¡c d¢y sè hëi tö c0 khæng gian c¡c d¢y sè hëi tö v· 0 Lp [a, b] (1 ≤ p < ∞) khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p tr¶n [a, b] C[a, b] khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n [a, b] R tªp hñp c¡c sè thüc R+ tªp hñp c¡c sè thüc khæng ¥m Rn khæng gian Euclide thüc n chi·u N tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n ∅ tªp hñp réng vîi måi ∀ ∩ ho°c \ ph²p giao d(x, C) kho£ng c¡ch tø ph¦n tû x ¸n tªp hñp C PC ph²p chi¸u m¶tric tø E (ho°c H ) l¶n C I ¡nh x¤ ìn và hx, x∗ i gi¡ trà cõa x∗ ∈ E ∗ t¤i iºm x ∈ E hx, yi t½ch væ h÷îng cõa x ∈ H v  y ∈ H xT chuyºn và cõa v²ctì x J ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c j ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ìn trà sgn h m d§u µ giîi h¤n Banach ∇ϕ(x) gradient cõa h m ϕ(x) R(F ) mi·n £nh cõa ¡nh x¤ F D(F ) mi·n x¡c ành cõa ¡nh x¤ F Fix(T ) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T VIP∗ (F, C) b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n ∞ \ C := Fix(Ti ) vîi F : E → E i=1 ∗ Sol(VIP (F, C)) tªp nghi»m cõa b i to¡n VIP∗ (F, C) A−1 ¡nh x¤ ng÷ñc cõa ¡nh x¤ A JrA to¡n tû gi£i cõa ¡nh x¤ A vîi JrA := (I + rA)−1 JA to¡n tû gi£i cõa ¡nh x¤ A t÷ìng ùng vîi r = 1 Zer(A) tªp c¡c khæng iºm cõa ¡nh x¤ A lim supxk giîi h¤n tr¶n cõa d¢y {xk } k→∞ lim inf xk giîi h¤n d÷îi cõa d¢y {xk } xk → x0 {xk } hëi tö m¤nh tîi x0 o(λk ) væ còng b² bªc cao hìn λk k→∞ viii Danh s¡ch b£ng 3.1 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (2.1) . . . . . . . . . . . . 82 3.2 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (1.7) vîi ρ = 1/20 . . . . 84 3.3 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (1.7) vîi ρ = 1/3 . . . . . 84 3.4 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (1.8) vîi γk = 1/100 . . . 85 3.5 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (1.8) vîi γk = 1/1000 . . 85 3.6 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (2.25) . . . . . . . . . . . 88 3.7 K¸t qu£ t½nh to¡n cho ph÷ìng ph¡p (2.31) . . . . . . . . . . . 90 1 Mð ¦u B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ¢ ÷ñc · xu§t v o nhúng n«m ¦u cõa thªp ni¶n 60 th¸ k¿ XX, g­n li·n vîi nhúng nghi¶n cùu cõa Lions, Stampacchia v  cëng sü [42], [66], [67]. Tø â ¸n nay, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n luæn l  mët chõ · nghi¶n cùu mang t½nh thíi sü v  thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  khoa håc trong v  ngo i n÷îc. Nhi·u b i to¡n nh÷: b i to¡n cüc trà [59], [100]; b i to¡n iºm b§t ëng [1], [59]; b i to¡n c¥n b¬ng [36], [37], [60]; b i to¡n bò [35], [59]; ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû ìn i»u [2]; b i to¡n bi¶n câ d¤ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng [15], [59] . . . câ thº quy v· mæ h¼nh b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n d÷îi c¡c gi£ thi¸t th½ch hñp. V¼ th¸ b i to¡n n y l  mët cæng cö m¤nh v  thèng nh§t trong nghi¶n cùu nhi·u mæ h¼nh b i to¡n l½ thuy¸t v  ùng döng thüc t¸. Ð Vi»t Nam, theo nhi·u con ÷íng ti¸p cªn kh¡c nhau, c¡c nh  khoa håc câ nhúng âng gâp quan trång cho b i to¡n n y câ thº kº ¸n nh÷ c¡c nhâm nghi¶n cùu cõa GS.TSKH. Ph¤m Ký Anh v  TS. °ng V«n Hi¸u [4], [5]; GS.TSKH. Phan Quèc Kh¡nh v  TS. Tr÷ìng Quèc B£o [16], [17]; GS.TSKH. inh Th¸ Löc [33], [54], [69]; GS.TSKH. L¶ Dông M÷u v  PGS.TS. Ph¤m Ngåc Anh [6], [7], [8], [9], [10], [11]; GS.TSKH. Ph¤m Húu S¡ch v  TS. L¶ Anh Tu§n [78], [90]; GS.TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n [13], [83]; GS.TSKH. Nguy¹n æng Y¶n v  PGS.TS. Nguy¹n N«ng T¥m [62], [84]; GS.TS. Nguy¹n B÷íng [22], [23], [25], [26]; PGS.TS. Nguy¹n Quang Huy [45]; PGS.TS. Nguy¹n Thà Thu Thõy [88] v  TS. Bòi Trång Ki¶n [56], [57] . . . B¶n c¤nh â, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v  mët sè b i to¡n li¶n quan công ¢ v  ang l  · t i nghi¶n cùu cõa nhi·u t¡c gi£ l  ti¸n s¾ v  nghi¶n cùu sinh trong n÷îc nh÷ Ph¤m Thanh Hi¸u [43]; Nguy¹n Thà Thu H÷ìng [44]; Ph¤m Duy Kh¡nh [53]; Nguy¹n Thà Hçng Ph÷ìng [24]; D÷ìng Vi»t Thæng [87]; L¶ Quang Thõy [12], [89] v  Tr÷ìng Minh Tuy¶n [58], [91], [92]. 2 Mæ h¼nh b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n cê iºn câ d¤ng: T¼m x∗ ∈ C sao cho: hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C, (0.1) trong â C l  tªp con lçi âng kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert H v  F : H → H l  ¡nh x¤ x¡c ành tr¶n H . Trong tr÷íng hñp tªp C cõa b i to¡n (0.1) ÷ñc cho d÷îi d¤ng ©n l  tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n hay væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n th¼ b i to¡n (0.1) câ li¶n h» vîi nhi·u b i to¡n thüc ti¹n nh÷ b i to¡n khæi phöc t½n hi»u [32], b i to¡n ph¥n phèi b«ng thæng [47], [49], [50], kiºm so¡t n«ng l÷ñng cho h» thèng m¤ng vi¹n thæng CDMA [48] v  k¾ thuªt xû l½ t½n hi»u b«ng t¦n [79]. º câ thº ùng döng b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v o thüc ti¹n, ái häi ph£i câ nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i sè hi»u qu£ cho b i to¡n n y. V¼ l³ â, mët trong nhúng h÷îng nghi¶n cùu quan trång hi»n nay d nh ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc trong v  ngo i n÷îc â l  vi»c · xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p mîi t¼m nghi»m cõa b i to¡n (0.1) ho°c c£i ti¸n hi»u qu£ cõa nhi·u ph÷ìng ph¡p ¢ câ. Cho ¸n nay ng÷íi ta ¢ thi¸t lªp ÷ñc nhi·u k¾ thuªt gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n düa tr¶n ph÷ìng ph¡p chi¸u cõa Goldstein [39], Polyak [40], [64], [74], ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· cõa Martinet [70], Rokaffellar [76], nguy¶n lþ b i to¡n phö cõa Cohen [29], ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh d¤ng Browder-Tikhonov [20], [86], ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· hi»u ch¿nh cõa Lehdili v  Moudafi [63], Ryazantseva [77] v  ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh do Alvarez v  Attouch [3] · xu§t ho°c düa tr¶n mët sè k¾ thuªt t¼m iºm b§t ëng nh÷ ph÷ìng ph¡p l°p Krasnosel'skii-Mann [61], [71], ph÷ìng ph¡p l°p Halpern [41] v  ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m·m [72]. Ph÷ìng ph¡p l°p iºn h¼nh º gi£i b i to¡n (0.1) l  ph÷ìng ph¡p chi¸u gradient [39], [100] ÷ñc mæ t£ nh÷ sau:  x ∈ C, 0 x = P (I − ρF )(x ), k+1 C k k = 0, 1, 2, . . . (0.2) trong â PC l  ph²p chi¸u m¶tric tø H l¶n C , I l  ¡nh x¤ ìn và tr¶n H v  ρ l  mët h¬ng sè d÷ìng cè ành. Sü hëi tö cõa thuªt to¡n ÷ñc ph¡t biºu trong ành l½ d÷îi ¥y. 3 ành l½ 0.1. (ành l½ 46C, trang 369, [100]) Cho C l  tªp con lçi âng kh¡c réng cõa H v  F : H → H l  ¡nh x¤ x¡c ành tr¶n H . Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n: i) F l  ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v  η -ìn i»u m¤nh, ii) ρ ∈ (0, 2η/L2 ). Khi â, d¢y l°p (0.2) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1) v  câ ÷îc l÷ñng sai sè kxk − x∗ k ≤ β k (1 − β)−1 kx1 − x0 k, ð ¥y β = p 1 − 2ηρ − L2 ρ2 . Ph÷ìng ph¡p (0.2) câ c§u tróc ìn gi£n n¶n vi»c vªn döng trong nhúng t¼nh huèng cö thº kh¡ thuªn ti»n. Ph÷ìng ph¡p n y l  sü k¸t hñp giúa vi»c sû döng trüc ti¸p d¤ng âng cõa ph²p chi¸u PC v  ph÷ìng ph¡p kiºu ÷íng dèc nh§t. Nhí câ nhúng ti¸n bë ¡ng kº trong l½ thuy¸t iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n ([1], [38] v  c¡c t i li»u d¨n) ð th¸ k¿ XX, ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t ÷ñc Yamada v  cëng sü [34], [96] · xu§t nh÷ l  mët bi¸n thº cõa ph÷ìng ph¡p ÷íng dèc nh§t º t¼m cüc tiºu cõa mët h m lçi tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. °c iºm ch½nh cõa ph÷ìng ph¡p n y l  dòng d¤ng âng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n b§t k¼ m  tªp iºm b§t ëng chung cõa nâ l  tªp r ng buëc cõa b i to¡n. M°t kh¡c, nhi·u b i to¡n thüc t¸ nh÷ b i to¡n xû l½ t½n hi»u [46], kiºm so¡t n«ng l÷ñng cho h» thèng m¤ng vi¹n thæng CDMA [48] ho°c ph¥n phèi b«ng thæng [50] . . . câ thº ÷a v· b i to¡n t¼m nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa mët ho°c mët hå c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. Hìn núa, chóng ta bi¸t r¬ng, måi tªp con lçi âng ·u câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng giao ¸m ÷ñc cõa c¡c nûa khæng gian, do â l  giao ¸m ÷ñc cõa tªp iºm b§t ëng c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n l  c¡c to¡n tû chi¸u l¶n nhúng nûa khæng gian n y. V¼ th¸ b i to¡n t¼m nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (0.1) tr¶n mët tªp con lçi âng câ thº quy v· vi»c t¼m nghi»m b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. Khi â, mët v§n · °t ra l  x¡c ành ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n b§t ¯ng 4 thùc bi¸n ph¥n (0.1) nh÷ th¸ n o n¸u chóng ta câ d¤ng hi»n cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti ? (i ∈ I vîi I l  tªp ch¿ sè n o â). Xu§t ph¡t tø þ t÷ðng n y, n«m 2001, Yamada [97] ¢ x¥y düng ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t m  ph÷ìng ph¡p n y hëi tö m¤nh v· mët th nh ph¦n n¬m trong tªp iºm b§t ëng chung cõa hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n çng thíi l  nghi»m cõa b i to¡n (0.1). Cö thº, khi C := Fix(T ) l  tªp iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ khæng gi¢n, Yamada ¢ thi¸t lªp ÷ñc ành l½ hëi tö m¤nh sau. ành l½ 0.2. [97] Cho F : H → H l  ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v  η -ìn i»u m¤nh tr¶n H . Cho T : H → H l  ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H vîi Fix(T ) 6= ∅. Gi£ sû ρ ∈ (0, 2η/L2 ) v  d¢y λk ∈ (0, 1] thäa m¢n c¡c i·u ki»n: (L1) lim λk = 0, (L2) k→∞ ∞ X λk = ∞, k=1 (L3) lim (λk − λk+1 )λ−2 k+1 = 0. k→∞ Khi â, vîi iºm ban ¦u tòy þ x0 ∈ H , d¢y l°p x¡c ành bði xk+1 = T (xk ) − λk+1 ρF (T (xk )), k = 0, 1, 2, . . . (0.3) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1). Trong tr÷íng hñp C := N \ Fix(Ti ) l  tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå i=1 húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti : H → H , d¢y l°p xoay váng x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n (0.1) ÷ñc Yamada x¥y düng câ d¤ng  x ∈ H, 0 x k = 0, 1, 2, . . . k+1 = T[k+1] (xk ) − λk+1 ρF (T[k+1] (xk )), (0.4) ð ¥y [k] := k mod N l  h m modulo l§y gi¡ trà trong tªp {1, 2, 3, . . . , N }. Khi N = 1, ph÷ìng ph¡p (0.4) s³ câ d¤ng (0.3). Sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p (0.4) ÷ñc b£o £m d÷îi c¡c gi£ thi¸t th½ch hñp. ành l½ 0.3. [97] Cho F : H → H l  ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v  η -ìn i»u m¤nh tr¶n H . Cho Ti : H → H(i = 1, 2, 3, ..., N ) l  hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H 5 vîi C := N \ Fix(Ti ) 6= ∅ v  i=1 C = Fix(T1 T2 . . . TN ) = Fix(T2 T3 . . . TN T1 ) = · · · = Fix(TN T1 . . . TN −1 ). Gi£ sû ρ ∈ (0, 2η/L2 ) v  d¢y λk ∈ (0, 1] thäa m¢n c¡c i·u ki»n: (L1) lim λk = 0, (L2) k→∞ ∞ X (L3)∗ λk = ∞, k=1 ∞ X |λk − λk+N | < ∞. k=1 Khi â, vîi iºm ban ¦u tòy þ x0 ∈ H , d¢y {xk } x¡c ành bði (0.4) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1). Tø â ¸n nay, ¢ câ nhi·u cæng tr¼nh nghi¶n cùu nh¬m mð rëng ho°c c£i ti¸n ph÷ìng ph¡p cõa Yamada theo nhi·u h÷îng kh¡c nhau. Ch¯ng h¤n, theo h÷îng l m gi£m nhµ i·u ki»n °t l¶n d¢y tham sè {λk } vîi vi»c giú nguy¶n l÷ñc ç l°p cõa Xu v  Kim [94] n«m 2003, x¥y düng l÷ñc ç c£i bi¶n vîi h¬ng sè cè ành ρ ÷ñc thay th¸ bði d¢y tham sè ρk trong cæng thùc (0.4) cõa Zeng v  cëng sü [101] n«m 2007 ho°c sû döng ¡nh x¤ Ṽk º thi¸t lªp l÷ñc ç l°p mîi cõa Nguy¹n B÷íng v  L¥m Thòy D÷ìng [22] n«m 2011 m  ð â khæng c¦n gi£ thi¸t v· t½nh giao ho¡n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti . Ho°c, x²t b i to¡n (0.1) trong tr÷íng hñp têng qu¡t hìn vîi C l  tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. Mët sè ph÷ìng ph¡p dòng ¡nh x¤ Wk x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n (0.1) ¢ ÷ñc · xu§t v  chùng minh chi ti¸t trong c¡c nghi¶n cùu cõa Iemoto v  Takahashi [52] n«m 2008, Yao v  c¡c cëng sü [99] n«m 2010 v  Wang [93] n«m 2011. Tuy vªy, ¡nh x¤ Wk câ c§u tróc phùc t¤p. Ngo i ra, c¡c k¸t qu£ nâi tr¶n ·u ÷ñc thi¸t lªp trong khæng gian Hilbert H v  ·u ÷ñc thüc hi»n lu¥n phi¶n xoay váng n¶n â l  c¡c ph÷ìng ph¡p tu¦n tü. Chóng ta công bi¸t r¬ng, trong c¡c khæng gian Banach, khæng gian Hilbert H câ nhúng t½nh ch§t °c thò, ch¯ng h¤n nh÷ chu©n thäa m¢n ¯ng thùc h¼nh b¼nh h nh ho°c sü tçn t¤i duy nh§t cõa ph²p chi¸u m¶tric PC . Nhúng t½nh ch§t n y l m cho vi»c nghi¶n cùu c¡c b i to¡n trong khæng gian Hilbert trð 6 n¶n ìn gi£n hìn so vîi vi»c nghi¶n cùu b i to¡n â trong khæng gian Banach têng qu¡t. Công c¦n nâi th¶m r¬ng, mët sè v§n · cõa to¡n håc ÷ñc thi¸t lªp v  nghi¶n cùu trong khæng gian Banach câ li¶n quan ¸n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ch¯ng h¤n nh÷ b i to¡n iºm b§t ëng, b i to¡n x¡c ành khæng iºm cõa to¡n tû ìn i»u, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Hammerstein, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng [2], [3], [19], [30] ... l  mët trong nhúng v§n · nghi¶n cùu trung t¥m cõa to¡n håc. V¼ th¸, vi»c nghi¶n cùu · xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach ho°c mð rëng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tø khæng gian Hilbert sang khæng gian Banach l  mët chõ · c¦n ÷ñc quan t¥m s¥u s­c. N«m 2008, Ceng v  cëng sü [27] ¢ nghi¶n cùu cho tr÷íng hñp C l  tªp iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n khæng gian Banach ph£n x¤ thüc. Mët i·u ki»n quan trång £m b£o sü hëi tö èi vîi ph÷ìng ph¡p mîi cõa c¡c t¡c gi£ l  gi£ thi¸t v· t½nh li¶n töc y¸u theo d¢y cõa ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c. Tuy nhi¶n, trong c¡c khæng gian Banach quen thuëc, t½nh ch§t n y thäa m¢n trong khæng gian lp (1 ≤ p < ∞) (M»nh · 4.14, trang 73, [28]) nh÷ng l¤i khæng thäa m¢n trong c¡c khæng gian Lp [a, b] (1 ≤ p < ∞) (Nhªn x²t 4.15, trang 74, [28]). Do â ph¤m vi ùng döng bà h¤n ch¸. N«m 2011, Chidume v  cëng sü [31] ¢ mð rëng k¸t qu£ cõa Xu v  Kim tîi lîp khæng gian Banach q -trìn ·u vîi h¬ng sè dq , q > 1 d÷îi c¡c i·u ki»n t÷ìng tü °t l¶n c¡c d¢y tham sè l°p. G¦n ¥y, nghi¶n cùu tr¶n lîp khæng gian Banach ph£n x¤ thüc, lçi ch°t v  câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u, thay cho vi»c sû döng ¡nh x¤ phùc t¤p Wk , ta câ thº sû döng c¡c ¡nh x¤ Vk ho°c Sk ìn gi£n hìn. Trong [23] v  [24], Nguy¹n B÷íng còng cëng sü t÷ìng ùng ¢ thi¸t lªp c¡c ph÷ìng ph¡p l°p d¤ng ©n v  d¤ng hi»n mîi. iºm nêi bªt cõa hai ph÷ìng ph¡p l°p hi»n dòng ¡nh x¤ Sk l  nâ câ c§u tróc ìn gi£n v  câ thº t½nh to¡n song song ÷ñc. Câ thº kh¯ng ành r¬ng, vi»c x¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach l  mët v§n · ÷ñc n£y sinh mët c¡ch tü nhi¶n v  c¦n thi¸t º l m phong phó v  ho n thi»n th¶m cho lþ thuy¸t v· b i to¡n quan trång n y. V¼ nhúng l½ do ¢ ph¥n t½ch ð tr¶n, chóng tæi lüa chån · t i nghi¶n cùu cho luªn ¡n l  "X§p x¿ nghi»m cho b§t ¯ng thùc bi¸n 7 ph¥n vîi hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n". Möc ½ch ch½nh cõa luªn ¡n n y l  nghi¶n cùu · xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p l°p d¤ng hi»n x§p x¿ nghi»m cho mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. Cö thº, lîp b i to¡n â l  "B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n khæng gian Banach ph£n x¤ thüc, lçi ch°t v  câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u". Luªn ¡n gi£i quy¸t c¡c v§n · sau: 1. X¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p l°p d¤ng hi»n x§p x¿ nghi»m cho lîp b i to¡n nghi¶n cùu thæng qua · xu§t v  sû döng c¡c ¡nh x¤ mîi S̃k , Ŝk v  S k . çng thíi, thi¸t lªp c¡c v½ dö minh håa cö thº v  t÷ìng quan vîi mët sè ph÷ìng ph¡p ¢ câ. 2. p döng ph÷ìng ph¡p mîi cho mët lîp b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. 3. p döng ph÷ìng ph¡p mîi cho mët lîp b i to¡n x¡c ành khæng iºm chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ j -ìn i»u cüc ¤i. Luªn ¡n gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng, k¸t luªn v  t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1 giîi thi»u sì l÷ñc v· mët sè v§n · li¶n quan ¸n c§u tróc h¼nh håc cõa c¡c khæng gian Banach, lîp b i to¡n nghi¶n cùu, mët sè m»nh · v  bê · c¦n sû döng cho vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu ¤t ÷ñc ð c¡c ch÷ìng sau cõa luªn ¡n. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y ba k¸t qu£ nghi¶n cùu mîi cõa chóng tæi v· c¡c v§n · n¶u tr¶n. Ch÷ìng 3 · cªp ¸n mët b i to¡n thüc t¸ còng c¡c v½ dö cö thº nh¬m minh håa th¶m cho c¡c k¸t qu£ ch½nh ¤t ÷ñc. C¡c k¸t qu£ cõa ch½nh cõa luªn ¡n ¢ ÷ñc cæng bè trong c¡c b i b¡o (1), (2) v  (3) trong danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè li¶n quan ¸n luªn ¡n v  ÷ñc b¡o c¡o t¤i: • Seminar cõa Bë mæn Gi£i t½ch, Khoa To¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m, ¤i håc Th¡i Nguy¶n c¡c n«m 2015, 2016 v  2017. • Hëi th£o Tèi ÷u v  T½nh to¡n Khoa håc l¦n thù 14, 21-23/04/2016 v  l¦n thù 15, 22-24/04/2017, Ba V¼, H  Nëi. • Hëi nghà To¡n ùng döng v  tin håc, tr÷íng ¤i håc B¡ch khoa H  Nëi, 12-13/11/2016. 8 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tæi giîi thi»u sì l÷ñc mët sè k¸t qu£ bê trñ cèt y¸u ÷ñc sû döng º tr¼nh b y nëi dung ð c¡c ch÷ìng ti¸p theo. C§u tróc cõa ch÷ìng ÷ñc chia th nh ba möc. Trong Möc 1.1, chóng tæi h» thèng l¤i mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n v· c§u tróc h¼nh håc khæng gian Banach v  giîi h¤n Banach. Nhúng kh¡i ni»m v  t½nh ch§t c¦n thi¸t v· ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v  ¡nh x¤ j -ìn i»u ÷ñc cö thº hâa ð Möc 1.2. Ph¦n cuèi ch÷ìng, Möc 1.3 dòng º giîi thi»u lîp b i to¡n nghi¶n cùu còng mët sè nghi¶n cùu c£i bi¶n ho°c mð rëng cõa ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t. 1.1. Khæng gian Banach v  giîi h¤n Banach Cho E l  khæng gian Banach thüc, E ∗ v  E ∗∗ t÷ìng ùng l  khæng gian èi ng¨u v  khæng gian èi ng¨u thù hai cõa E . ành ngh¾a 1.1. D¢y {xk } ⊂ E ÷ñc gåi l  i) hëi tö m¤nh tîi x0 ∈ E n¸u lim kxk − x0 k = 0, k→∞ ii) hëi tö y¸u tîi x0 ∈ E n¸u lim hxk , x∗ i = hx0 , x∗ i ∀x∗ ∈ E ∗ . k→∞ Nhªn x²t 1.1. N¸u d¢y {xk } ⊂ E hëi tö m¤nh tîi x0 ∈ E th¼ nâ hëi tö y¸u tîi x0 ∈ E . Kh¯ng ành ng÷ñc l¤i l  óng n¸u E l  khæng gian húu h¤n chi·u. ành ngh¾a 1.2. Tªp C ⊆ E ÷ñc gåi l  i) lçi n¸u vîi måi x, y ∈ C v  vîi måi λ ∈ [0, 1] ta câ λx + (1 − λ)y ∈ C. ii) âng n¸u vîi måi d¢y {xk } trong C m  xk → x0 th¼ x0 ∈ C . 9 ành ngh¾a 1.3. Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  ph£n x¤ n¸u vîi måi ph¦n tû x∗∗ ∈ E ∗∗ ·u tçn t¤i ph¦n tû x ∈ E sao cho hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i ∀x∗ ∈ E ∗ . V½ dö 1.1. (trang 35, [1]) Khæng gian ành chu©n húu h¤n chi·u, khæng gian Hilbert, Lp [a, b] vîi 1 < p < ∞ l  c¡c khæng gian Banach ph£n x¤. Mët sè khæng gian Banach khæng ph£n x¤ l  l1 , L1 [a, b], l∞ , c v  c0 . M»nh · 1.1. (ành l½ 1.9.26, trang 42, [1]) Cho E l  mët khæng gian Banach thüc. Khi â, E l  khæng gian ph£n x¤ khi v  ch¿ khi måi d¢y bà ch°n trong E ·u câ d¢y con hëi tö y¸u. ành ngh¾a 1.4. Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  lçi ·u n¸u vîi måi 0 <  ≤ 2 v  c¡c b§t ¯ng thùc kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥  thäa m¢n th¼ tçn t¤i mët sè δ = δ() > 0 sao cho k(x + y)/2k ≤ 1 − δ. V½ dö 1.2. Khæng gian Hilbert H l  khæng gian lçi ·u. Thªt vªy, tø quy t­c h¼nh b¼nh h nh tr¶n khæng gian Hilbert, ta câ kx + yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) − kx − yk2 ∀x, y ∈ H. Gi£ sû vîi måi 0 <  ≤ 2 v  c¡c b§t ¯ng thùc kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥  thäa m¢n. Khi â, ta nhªn ÷ñc kx + yk2 ≤ 4 − ε2 . i·u n y suy ra k(x + y)/2k ≤ 1 − δ(ε), trong â δ(ε) = 1 − p 1 − ε2 /4. ành ngh¾a 1.5. Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  lçi ch°t n¸u vîi måi iºm x, y ∈ SE , x 6= y th¼ k(1 − λ)x + λyk < 1 ∀λ ∈ (0, 1), trong â SE = {x ∈ E : kxk = 1} l  m°t c¦u ìn và cõa E . 10 M»nh · 1.2. (ành l½ 1.6, trang 3, [30]) Måi khæng gian Banach lçi ·u l  lçi ch°t. Nhªn x²t 1.2. Mët khæng gian Banach lçi ch°t nâi chung khæng l  khæng gian Banach lçi ·u. Thªt vªy, vîi β > 0 cè ành v  x²t E = C[0, 1] vîi chu©n k.kβ x¡c ành bði kxkβ = kxk0 + β Z 1 2 x (t)dt 1/2 x = x(t) ∈ C[0, 1], 0 trong â kxk0 = sup |x(t)|. Khi â, (C[0, 1], k.k0 ) khæng lçi ch°t. Tuy nhi¶n, t∈[0,1] (C[0, 1], k.kβ ) l  khæng gian lçi ch°t nh÷ng khæng lçi ·u (V½ dö 1.7, trang 3, [30] ho°c V½ dö 5.1, trang 51, [38]). M»nh · 1.3. (ành l½ 2.2.8, trang 56, [1] ho°c ành l½ 1.17, trang 8, [30]) Måi khæng gian Banach lçi ·u l  khæng gian ph£n x¤. Nhªn x²t 1.3. Mët khæng gian Banach ph£n x¤ nâi chung khæng l  khæng gian Banach lçi ·u. Thªt vªy, khæng gian E = Rn vîi chu©n x¡c ành bði kxk = n X |xi | x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , i=1 l  khæng gian ph£n x¤ nh÷ng khæng lçi ·u. M»nh · 1.4. (H» qu£ 2.10.3 v  ành l½ 2.10.4, trang 116, [1]) Cho C l  tªp con lçi âng kh¡c réng cõa khæng gian Banach ph£n x¤ v  lçi ch°t E . Khi â, vîi méi x ∈ E tçn t¤i duy nh§t mët iºm y ∈ C thäa m¢n kx − yk = d(x, C), vîi d(x, C) = inf kx − zk. z∈C Chó þ 1.1. iºm y ∈ C trong M»nh · 1.4 cán ÷ñc gåi l  x§p x¿ tèt nh§t cõa x ∈ E bði C . ành ngh¾a 1.6. Cho C l  tªp con lçi âng kh¡c réng cõa khæng gian Banach ph£n x¤ E . nh x¤ PC : E → 2C x¡c ành bði  PC (x) = y ∈ C : kx − yk = d(x, C) ÷ñc gåi l  ph²p chi¸u m¶tric tø E l¶n C .  ∀x ∈ E 11 ành ngh¾a 1.7. Tªp con C cõa khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  tªp Chebyshev trong E n¸u méi iºm x ∈ E câ duy nh§t mët iºm y ∈ C l  x§p x¿ tèt nh§t cõa x. Nhªn x²t 1.4. i) Tø M»nh · 1.4 suy ra måi tªp con lçi âng kh¡c réng cõa mët khæng gian Banach ph£n x¤ v  lçi ch°t ·u l  tªp Chebyshev. ii) Vîi måi tªp Chebyshev C ⊂ E , ta câ PC (x) l  tªp ch¿ gçm mët ph¦n tû. Hìn núa, kx − PC (x)k = d(x, C) vîi måi x ∈ E . Nhªn x²t 1.5. Cho C l  tªp con lçi âng kh¡c réng trong khæng gian Hilbert H . Khi â, C l  tªp Chebyshev (ành l½ 3.14, trang 46, [18]) v  PC l  ¡nh x¤ khæng gi¢n (M»nh · 4.8, trang 61, [18]). V½ dö 1.3. (V½ dö 28.16, trang 419, [18]) Gi£ sû C := {x ∈ Rn : hx, ui ≤ ζ} l  nûa khæng gian âng trong Rn vîi ζ ∈ R v  u ∈ Rn l  ph¦n tû cè ành. Khi §y, ta câ i) N¸u u = 0 v  ζ ≥ 0 th¼ C = Rn v  PC = I . ii) N¸u u = 0 v  ζ < 0 th¼ C = ∅. iii) N¸u u 6= 0 th¼ C 6= ∅ v  vîi måi x ∈ Rn ta câ   x n¸u hx, ui ≤ ζ, PC (x) = ζ − hx, ui  u n¸u hx, ui > ζ. x + kuk2 V½ dö 1.4. (M»nh · 28.10, trang 417, [18]) Cho C := {x ∈ Rn : kx − x0 k ≤ r} l  h¼nh c¦u âng t¥m x0 ∈ Rn v  b¡n k½nh r > 0. Khi §y, vîi måi x ∈ Rn ta câ   x PC (x) = x − x0  x0 + r kx − x0 k ành ngh¾a 1.8. Mët ¡nh x¤ J : E → 2E n¸u kx − x0 k ≤ r, n¸u kx − x0 k > r. ∗ (nâi chung l  a trà) thäa m¢n i·u ki»n J(x) = {x∗ ∈ E ∗ : hx, x∗ i = kxkkx∗ k v  kx∗ k = kxk}, ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa E . 12 Chó þ 1.2. nh x¤ J tçn t¤i tr¶n måi khæng gian Banach. Kh¯ng ành n y ÷ñc suy ra nh÷ mët h» qu£ trüc ti¸p cõa ành l½ Hahn-Banach (Nhªn x²t 4.2, trang 25, [28] ho°c Bê · 3.4, trang 20, [30]). Trong tr÷íng hñp ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c l  ìn trà ta s³ k½ hi»u l  j . V½ dö 1.5. Trong khæng gian Hilbert H ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c J cõa H l  ¡nh x¤ ìn và I. Thªt vªy, tr÷îc h¸t º þ r¬ng H = H ∗ v  vîi måi x ∈ H ta câ hx, xi = kxkkxk. Do â, x ∈ J(x). Ng÷ñc l¤i, vîi måi y ∈ J(x), tø ành ngh¾a cõa J ta th§y hx, yi = kxkkyk v  kyk = kxk. K¸t hñp i·u n y vîi t½nh ch§t kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2hx, yi, suy ra x = y . V¼ vªy, J(x) = {x}. V½ dö 1.6. (H» qu£ 4.10, trang 72, [28]) Vîi méi sè thüc x, ta ành ngh¾a h m    −1   sgn(x) = 0    1 d§u cõa x nh÷ sau n¸u x < 0, n¸u x = 0, n¸u x > 0. Trong khæng gian Lp [0, 1] (1 < p < ∞), ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: |x|p−1 sgn(x) ∀x ∈ Lp [0, 1]. J(x) = p−1 kxk Mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c ÷ñc tr¼nh b y trong m»nh · d÷îi ¥y. M»nh · 1.5. (M»nh · 2.4.5, trang 69, [1]) ∗ Cho E l  khæng gian Banach thüc v  J : E → 2E l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa E . Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: i) J(0) = {0}.