Tài liệu Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm green đa cực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM VŨ KHẮC NGHỊ XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM VŨ KHẮC NGHỊ XẤP XỈ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI BỞI HÀM GREEN ĐA CỰC Ngành: Toán giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nêu trong Luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 11 tháng 4 năm 2018 Tác giả Vũ Khắc Nghị i LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin trân trọng kính gửi đến PGS.TS. Phạm Hiến Bằng, người thầy hết lòng vì học trò, tấm lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Thầy là người động viên, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình trong quá trình giảng dạy cũng như trong quá trình hướng dẫn để em có thể hoàn thành tốt luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô của khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; các thầy, cô của khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội và các thầy, cô của Viện Toán học Việt Nam đã tận tình giảng dạy để em có được những kiến thức quý báu làm hành trang trong quá trình học tập và nghiên cứu sau này. Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô thuộc phòng Đào tạo trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho em về các thủ tục hành chính trong suốt quá trình học tập tại trường. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, đặc biệt là các thầy, cô trong tổ Toán, trường THPT Phú Bình, tỉnh Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em yên tâm hoàn thành tốt luận văn này. Lời cuối cùng, tôi cũng không quên gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi và lời tri ân đến tất cả bạn bè tôi, những người đã luôn ở bên tôi động viên và giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá trình thực hiện luận văn này. Vũ Khắc Nghị ii MỤC LỤC Lời cam đoan ..................................................................................... i Lời cảm ơn ........................................................................................ ii Mục lục .............................................................................................. iii Mở đầu ............................................................................................. 1 Chƣơng 1. Các kiến thức chuẩn bị ................................................ 3 1.1. Hàm đa điều hòa dưới .......................................................... 3 1.2. Hàm đa điều hòa dưới cực đại ............................................. 4 1.3. Hàm cực trị tương đối .......................................................... 5 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức ............................................. 7 1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor ................................. 9 1.6. Hàm Green đa phức ............................................................. 12 Chƣơng 2. Xấp xỉ hàm đa điều hòa dƣới bởi hàm Green đa cực 19 2.1. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm chỉnh hình .................... 19 2.2. Xấp xỉ các condenser bởi các hàm Green ........................... 27 2.3. Xấp xỉ của các hàm đa điều hòa dưới bởi các hàm Green đa cực ................................................................................................ 34 Kết luận ............................................................................................ 38 Tài liệu tham khảo .......................................................................... 39 iii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết đa thế vị dùng để nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới đối với giải tích phức nhiều biến có nhiều ứng dụng quan trọng hơn lý thuyết thế vị đối với giải tích phức một biến, nhưng trong lý thuyết nhiều biến vẫn thiếu nhiều phương pháp có thể sử dụng được trong trường hợp cổ điển. Tuy nhiên, nhiều kết quả đẹp đẽ của lý thuyết thế vị vẫn chưa được chứng minh hoặc không đúng trong lý thuyết đa thế vị. Chẳng hạn, định lý biểu diễn Riesz phát biểu rằng, thứ nhất, một hàm điều hòa dưới trên một miền tốt D là tổng của một hàm điều hòa dưới với giá trị biên bằng 0 và một hàm điều hòa. Thứ hai, một hàm điều hòa dưới u với giá trị biên bằng 0 là giới hạn của một tổ hợp tuyến tính với các hệ số dương của các hàm Green trong L1(D) . Do đó, định lý quan trọng này cho một mô tả đầy đủ về các hàm như vậy. Phát biểu thứ nhất không xảy ra đối với các hàm đa điều hòa dưới nếu các hàm điều hòa được thay thế bởi các hàm đa điều hòa. Đối với phát biểu thứ hai ta gặp một số trở ngại. Đầu tiên, trong lý thuyết thế vị tổ hợp tuyến tính của các hàm Green với hệ số dương là điều hòa ngoài các cực của nó. Trong lý thuyết đa thế vị có sự tương tự của các hàm Green đã được giới thiệu bởi V. P. Zahariuta trong [8] và được gọi là các hàm Green đa cực. Chúng là các hàm cực đại, tức là, (dd cg )n 0 ngoài các cực, nhưng tổng u của các hàm Green đa cực (dd cu )n , nói chung, không bằng 0 ngoài các cực. Trong [6], Poletsky đã chứng minh rằng trong L1(D) , các hàm Green đa cực là trù mật trong nón các hàm đa điều hòa dưới với giá trị biên bằng 0. Trường hợp đặc biệt của định lý này là xấp xỉ của hàm cực trị tương đối của một tập compact đa chính qui K . Zahariuta [8] đã chỉ ra rằng tồn tại các xấp xỉ với sự hội tụ đều ngoài K . Trong [9] Zahariuta và Skiba đã chỉ ra sự tồn tại xấp xỉ khi n 1. Vấn đề tồn tại của các xấp xỉ nhiều biến đã được đặt ra bởi Zahariuta (xem 1 [8]). Gần đây, Aytuna, Rashkovskii và Zahariuta đã chứng minh điều đó cho cặp miền Reinhardt (xem [2]). Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn: “Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm Green đa cực” là đề tài nghiên cứu. Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bài toán xấp xỉ của các hàm đa điều hòa dưới bởi các hàm Green đa cực. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu + Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết đa thế vị. + Trình bày một số kết quả về xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm Green đa cực. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 39 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, được viết chủ yếu dựa vào các tài liệu [1] và [6]. Chương 1: Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết đa thế vị: hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor, hàm Green đa phức. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại chi tiết một số kết quả của Poletsky về xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm Green đa cực. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 2 CHƢƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hòa dƣới Định nghĩa 1.1.1. Cho n là một tập con mở của một hàm nửa liên tục trên và không trùng với liên thông nào của a và b n và u : , là trên bất kỳ thành phần . Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới nếu với mỗi u(a , hàm b) là điều hòa dưới hoặc trùng :a mỗi thành phần của tập hợp b trên . Kí hiệu PSH ( ) là lớp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trong . Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hòa dưới: Mệnh đề 1.1.2. Nếu u, v u PSH ( ) và u v hầu khắp nơi trong , thì v. Mệnh đề 1.1.3. Hàm đa điều hòa dưới thỏa mãn nguyên lý cực trị trong miền bị chặn, tức là nếu u là một tập con mở liên thông bị chặn của PSH ( ) , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z u(z ) Định lý 1.1.4. Cho PSH ( ) , thì v , y y n là một tập con mở trong u và sup lim sup u(y ) . i ) Họ PSH ( ) là nón lồi, tức là nếu u, v n PSH ( ) . 3 , . Khi đó là các số không âm và ii ) Nếu là liên thông và u j u lim u j j iii ) Nếu u : PSH ( ) hoặc u , và nếu u j con compact của , thì u Định lý 1.1.5. Cho PSH ( ) là dãy giảm, thì j . PSH ( ) hội tụ đều tới u trên các tập j PSH ( ) . n là một tập con mở của i ) Cho u, v là các hàm đa điều hòa trong . và v lồi, thì v (u / v) là đa điều hòa dưới trong . ii ) Cho u 0 trong PSH ( ) , v PSH ( ) , và v 0 . Nếu : là . Nếu : là lồi và tăng dần, thì v (u / v) là đa điều hòa dưới trong iii ) Cho u, v : [0, ) PSH ( ) , u [0, , và v 0 trong 0 , thì v (u / v) PSH ( ) . 0 trong ) là lồi và (0) . . Nếu 1.2. Hàm đa điều hòa dƣới cực đại n Định nghĩa 1.2.1. Cho là tập mở và u PSH ( ) . Ta nói u là hàm đa điều hòa dưới cực đại trên và viết u mở, compact tương đối G và mọi hàm v nửa liên tục trên trên G , v PSH (G ) và v u trên G thì v MPSH ( ) nếu với mọi tập con u trên G . Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hòa dưới cực đại: Mệnh đề 1.2.2. Cho n là tập mở và u PSH ( ) . Khi đó các khẳng định sau là tương đương: i ) Với mọi tập con mở compact tương đối G 4 và mọi hàm v PSH ( ) , nếu lim inf(u(z ) v(z )) ii ) Nếu v cho u iii ) Nếu v \ K , thì u trong iv ) Nếu v v trong sao . PSH ( ) , G là một tập con mở compact tương đối của v trên G thì u u v trong G ; 0 tồn tại một tập compact K PSH ( ) và với mỗi v G , thì u 0, với mọi z , và v trong G ; PSH ( ) , G là một tập con mở compact tương đối của lim inf(u(z ) v(z )) z G , thì u 0, với mỗi , và v trong G ; v ) u là hàm cực đại. 1.3. Hàm cực trị tƣơng đối Định nghĩa 1.3.1. Giả sử là một tập con mở của . Hàm cực trị tương đối đối với E trong uE , (z ) sup v(z ) : v PSH ( ), v n và E là tập con của được định nghĩa là : 1, v E (z 0 ). Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối: Mệnh đề 1.3.2. Nếu E1 E2 1 2 n Định nghĩa 1.3.3. Miền bị chặn hàm : ( 1 uE , 1 2 1 uE , . 2 2 gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một , 0) đa điều hòa dưới âm, liên tục sao cho với c z Mệnh đề 1.3.4. Nếu đối của thì uE , , thì tại điểm : (z ) c 0 . là miền siêu lồi và E là một tập con compact tương bất kỳ ta có lim uE , (z ) z 5 0. n Mệnh đề 1.3.5. Cho là tập mở liên thông, và E . Khi đó các điều kiện sau tương đương : i ) uE* , 0; ii ) Tồn tại hàm v PSH ( ) âm sao cho E Mệnh đề 1.3.6. Cho E j 1,2,... . Nếu uE* , với j . Giả sử 0 với mỗi j , j sao cho j j 1 và K 1 Chứng minh. Lấy điểm z 0 rằng K {z 0 } 1 PSH ( j0 (( ) sao cho u và K là một tập con } là một dãy tăng những tập con mở của . Khi đó lim uK , (z ) j uK , (z ), z j . . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 0 là một hàm vét cạn đối với (0,1) sao cho 1 v(z ) j . Giả sử 1 trên K . Lấy sao cho tập mở n là tập con siêu lồi của . Giả thiết rằng { compact của , (z 0 ) sao cho . Khi đó tồn tại j0 )) là tập compact tương đối trong 0 trên j0 và u z z . Lấy K \ 1 và v uK , (z 0 ) . Vì u là một phần tử tùy ý của họ uK , 6 j0 1 trên K . Khi đó max {u(z ) , (z )}, (z ), xác định một hàm đa điều hòa dưới; hơn nữa v v(z 0 ) n 0. Mệnh đề 1.3.7. Cho u : v(z ) là tập con mở liên thông của E j , trong đó E j thì uE* , z j0 0 . Như vậy , nên ta có uK , (z 0 ) uK , (z 0 ) j0 Do đó, ta có uK , (z 0 ) uK , (z 0 ) j uK , (z 0 ) với mọi j j0 và j nhỏ tùy ý, suy ra điều phải chứng minh. 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức Cho là một miền trong c n và u 2 n dd u u dz z j zk j 2i j ,k 1 , dc trong đó d c n ) , dd c i( c c (dd u ) : (dd u ) ... (dd u ) 2i dzk , . Toán tử: 2 n 4 n ! det n với dV là yếu tố thể tích trong C 2( ) khi đó PSH ( ) . Giả sử u n u z j zk dV , 1 j ,k n được gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên (dd cu)n . C 0( ) Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hòa dưới bị chặn địa phương trên um thì tồn tại dãy {um }m PSH ( ) C 1 u và {(dd cum )n } hội tụ yếu tới độ đo Radon lim m Hơn nữa (dd cum )n d , trên sao cho tức là: C 0( ) . không phụ thuộc vào việc chọn dãy {um } như trên, ta ký hiệu: 7 (dd cu)n và gọi là toán tử Monge-Ampère của u . C p, p là (p, p) Mệnh đề 1.4.1. Giả sử n và T là (q, q ) dòng với p (dd cT )n dd c q trên tập mở 1 . Khi đó n T dạng lớp C d cT d( dc T). Mệnh đề 1.4.2. Giả sử { j } là dãy các độ đo Radon trên tập mở tụ yếu tới độ đo Radon là tập mở thì (G ) b ) Nếu K là tập compact thì (K ) lim inf j c ) Nếu E compact tương đối trong (E ) n Mệnh đề 1.4.3. Giả sử 0 trên dương, đóng trên (G ) . lim sup j j (K ) . sao cho ( E ) lim j j 0 thì (E ) . là miền bị chặn và u, v và lim u(z ) PSH ( ) Lloc ( ) 0 . Giả sử T là (n z vdd cu T z j . Khi đó Đặc biệt, nếu lim v(z ) hội . Khi đó a ) Nếu G sao cho u, v n 0 thì udd cv T . vdd cu T 8 udd cv T . 1, n 1) dòng 1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor n Định lý 1.5.1. Giả sử sao cho lim inf(u(z ) z v(z )) là miền bị chặn và u, v 0 . Khi đó (dd cv )n u v (dd cu )n . v(z )) z thay u bởi u sao cho z \ K thì u(z ) , >0 , thì {u đẳng thức (1.1) đúng trên {u v} v} . Vì vậy có thể giả sử {u v} {u và u v trên lim inf(u(z ) 0 . Nếu bất v(z )) z v(z ) v trên {u 0 , đặt u . Với z suy ra u(z ) v(z ) với z gần biên 0 . Vậy v(z ) . Vậy u v nên (dd cu )n (dd cu )n (dd cu )n , hay (dd cu )n (dd cu )n . u v (dd cv)n . Vậy ta có 9 v} là tập mở, u, v liên max{u . Theo công thức Stokes ta có u v Vì u v} khi . Từ giả thiết lim inf(u(z ) v(z )) và u . Hơn nữa khi 0 suy ra (1.1) đúng trên a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó u(z ) 0 , nghĩa là với mọi v(z ) v} thì cho {u tục trên (1.1) u v Chứng minh. Theo giả thiết ta có lim inf(u(z ) 0 tồn tại K PSH ( ) L ( ) , v} . hay u(z ) gần biên (dd cv )n (dd cu )n lim inf 0 u v b ) Giả sử u, v tùy ý và (dd cu)n . u v u v là miền sao cho u v /2 . Tồn tại hai dãy u j và vk các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của u và v sao cho u j vk trên 0 và giả sử G Lấy là tập mở sao cho C n (G, ) \G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên cho v với mọi i, k . Có thể coi trên F u v v} j } G và vì {u j (dd cv )n uj v sao } là tập mở nên (dd cv )n G uj (dd cvk )n lim k , uj v và (dd cvk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n . vì C n (G, ) } {u j v} G và {u j (dd cvk )n uj liên tục trên (dd cv)n . lim v} (dd cvk )n {u j vk } suy ra (dd cvk )n G uj v (dd cvk )n u j vk Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và vk ta thu được (dd cvk )n u j vk (dd cu j )n . u j vk 10 0. , u, v là các hàm uj v {u j (dd cv )n Từ {u j u j , vk \ G . Ta có (dd cv)n Nhưng {u j 1 giảm tới . Do đó (dd cv)n (dd cu j )n lim inf lim inf j u v k 2 uj vj (dd cu j )n lim sup j 2 . uj v Hơn nữa (dd cu j )n (dd cu j )n uj v và do {u uj v v} F là tập compact và {u j v} (dd cu j )n lim sup j uj v Do F {u v} nên ta có (dd cu)n u v F (dd cu)n . F u v 0 tùy ý nên ta được (dd cv )n u v u v 0 ta có Từ đó với mọi (dd cv )n u (dd cu )n . v (dd c (u u ))n v (dd cu)n . u v Nhưng {u khi v} {u v} và {u 0 . Do đó (dd cv )n u v (dd cu )n . u v 11 v} {u v} Hệ quả 1.5.2. Giả sử n sao cho lim inf(u(z ) v(z )) z trên là miền bị chặn và u, v 0 , (dd cu)n PSH ( ) L ( ) (dd cv )n trên . Khi đó u v . n Hệ quả 1.5.3. Giả sử cho lim inf(u(z ) z v(z )) là miền bị chặn và u, v (dd cu )n 0 và PSH ( ) L ( ) sao 0 . Khi đó u v trên . u v 1.6. Hàm Green đa phức n Định nghĩa 1.6.1. Giả sử ,a (z ) . Hàm Green đa với cực tại a được xác định bởi phức của g là một miền và a g (z, a ) sup{u(z ) : u PSH ( ), u(z ) g (z, a ) Chứng minh. Có thể coi a log 0, R log || z || . Giả sử v(t ) g (t , 0) || z a || R 1 || a} . 1. Từ định nghĩa, rõ ràng ta có (0,1) \ {0} . Xét hàm log | t ||| ||, t Hàm v(t ) là hàm điều hòa dưới trên (0, a || C (u) khi z (a, R) thì Mệnh đề 1.6.2. Nếu g (a, 0) log || z ) ta có lim sup v(t ) || t (0, (0, 1 || 1 || ). || ) \ {0} và với mỗi || 0 . Từ định nghĩa hàm Green đa phức 12 0 . Do đó, dùng định lí khử kì dị có thể thấy v bị chặn trong lân cận của t (0, suy ra v điều hòa dưới trên g (z, 0) log || và 1) Nếu thì g (z, a ) 2) Nếu và \ g (z, a ) r log ) . Ta được g ( , 0) || là các miền trong log || || . Vậy || z a || R n và a , z . Khi đó g (z, a ). là tập cực thì g (z, a ), z 0 và (a, r ) bị chặn thì z 4) Nếu || || . Mệnh đề 1.6.3. Giả sử 3) Nếu R 1 . (a, R) thì g (z, a ) log || z a || r . g (z, a ) là hàm điều hòa dưới âm có cực logarit tại a . 5) Nếu f : là một ánh xạ chỉnh hình thì g (f (z ), f (a)) 6) Nếu là bị chặn thì z g (z, a), z . g (z, a ) là cực đại trong (dd cg (z, a ))n 0, z \ {a} , nghĩa là \ {a} Chứng minh. 1) Suy từ định nghĩa. 2) Dùng định nghĩa và định lí khử kì dị đối với hàm đa điều hòa dưới. 13 3) Từ Mệnh đề 1.6.2 và tính chất 1) ta có g (z, a ) g (z, a) (a,R) g (z, a) (a,r ) và được điều phải chứng minh. 4) Do là bị chặn và từ tính chất 3) suy ra hàm (g (, a )) là hàm đa điều hòa dưới âm, có cực logarit tại a . Vậy (g (, a )) g (, a) . Từ đó hàm g (, a ) là hàm đa điều hòa dưới âm có cực logarit tại a . 5) Giả sử a và u là hàm đa điều hòa dưới âm trên f (a ) . Khi đó u f u(f (z )) log || z u(f (z )) khi z PSH ( ,[ a . Vậy u có cực logarit tại , 0)) và a || log f (z ) f (a ) log log || f (z ) f (a) || || z a || f có cực logarit tại a . Do đó u g (f (z ), f (a)) g (z, a), z 6) Giả sử a , G \ {a} và v u(z ) max(v(z ), g (z, a)), g (z, a ), z f (z ) o(1) , g (z, a ). Từ đó . PSH ( \ {a}) sao cho v g (, a ) trên G . Đặt Hàm u thuộc lớp xác định g (, a ) . Do đó v z g (z, a ) là cực đại trên \ {a} . 14 z G \G g (, a ) trên G . Vậy hàm Mệnh đề 1.6.4. Nếu { n } j j là dãy tăng và j 1 Chứng minh. Lấy a và có thể coi a g (z, a ) với mọi z g (z, a ) j PSH ( dãy {g (, a )}j giảm và g(z )=lim j thì kết quả g (z, a ) với mọi z j . 0 và do tính chất 3) của Mệnh đề 1.6.3, g có cực logarit tại a . g (z, a ) với mọi z Mệnh đề 1.6.5. Giả sử r, R log Kí hiệu: g . ) với mọi j . Từ Mệnh đề 1.6.3 1) g (z, a ) j với mọi 0 j j . Ta chứng minh j j Vậy g(z ) 1 thì g . Nếu có j mà g (, a ) là hiển nhiên. Giả sử g (, a ) Mặt khác g j R u ( , ), r và z PSH ( ;a ) C 0 ( ;a ) . 0 sao cho ( , r ) (z ) g (z, ) ( , R) . Khi đó r log u ( , ), (z ) \ ( , ). PSH ( ) Lloc ( \ {a}) và { C 0 : sup p (d ) \ {a}} ; ta có Bổ đề 1.6.6. Không gian C 0 ( ;a ) là trù mật trong C 0( ) . Chứng minh. Giả sử a nên có Giả sử 0 và 0 sao cho với mọi z, và có thể coi 0 (z ) C 0( ), 0. Do , || z || d(supp , (0), z ((1 || z || 1)z ), z 15 liên tục đều trên thì | (z ) ) . Đặt (0, ) \ (0, ) ( )| .