Tài liệu Về xấp xỉ hạng thấp động lực

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ THU HÀ VỀ XẤP XỈ HẠNG THẤP ĐỘNG LỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ THU HÀ VỀ XẤP XỈ HẠNG THẤP ĐỘNG LỰC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Nguyễn Thanh Sơn THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Phân tích SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Sơ lược về đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Đa tạp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . 14 Một số đa tạp cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Đa tạp Stiefel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Đa tạp các ma trận có hạng cố định 17 1.2 1.3 2 . . . . . . . . . . . . . . Xấp xỉ hạng thấp động lực 22 2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Phân tích kiểu SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Phương trình vi phân xác định các nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Phép chiếu lên không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Một số ước lượng sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.1 Sai số tối ưu địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.2 Sai số trên một khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 i 2.5.3 2.6 2.7 2.8 Sai số trong trường hợp hay ước lượng quá cao. . . . . . . . . 32 Ứng dụng trong xấp xỉ hạng thấp nghiệm của phương trình vi phân ma trận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tích phân phương trình vi phân ma trận dựa trên lược đồ tách. . . . . 38 2.7.1 Tích phân phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.7.2 Một trường hợp nghiệm đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 ii Bảng ký hiệu Mm×n tập các ma trận thực cỡ m × n có hạng k . k Vm,r đa tạp Stiefel. Vn,k tập các ma trận thực cỡ n × k . TY (t) Mm×n không gian tiếp xúc của Mm×n tại Y (t). r r Ẏ (t) đạo hàm của Y theo t. SO(r) không gian các ma trận phản đối xứng cỡ r × r. U T chuyển vị của ma trận U . U ⊥ ma trận trực giao với U . 1 Mở đầu 1. Giới thiệu Phân tích giá trị kì dị của ma trận A ∈ Rm×n dạng A = U ΣV T , (1) trong đó U ∈ Rm×m , V ∈ Rn×n là các ma trận trực giao và Σ = diag(σ1 , ..., σr ) ∈ Rm×n , r ≤ min{m, n}, đã là một công cụ xấp xỉ ma trận rất hữu hiệu. Ta biết rằng xấp xỉ tốt nhất A theo Frobenius trên tập các ma trận cùng cỡ với A, có hạng không quá k ≤ min{m, n} là ma trận Ak = u1 σ1 v1T + . . . + uk σk vkT , (2) trong đó ui , vi lần lượt là các vecto cột thứ i của U và V . Tình huống sẽ phức tạp hơn nếu A phụ thuộc vào một tham số t ∈ Rn×p ∗ . Khi đó để có xấp xỉ hạng k của A với mỗi t, ta cần phải tính phân tích SVD của nó tại mỗi t: A(t) = U (t)Σ(t)V (t)T , rồi tính xấp xỉ tương ứng theo công thức (2). Cách tiếp cận cũ là không thích hợp đối với những ma trận có kích thước lớn. Trong nhiều tình huống thực tế, đạo hàm của A(t) theo t kí hiệu là Ȧ(t), lại có hạng thấp. Điều đó dẫn đến ý tưởng rằng thay vì xấp xỉ A(t) bởi Y (t), ta hãy xấp xỉ Ȧ(t) bởi Ẏ (t) rồi khôi phục Y (t) bằng một phương pháp tích phân số phương trình vi phân ma trận. 2 2. Mục đích Trình bày chi tiết phương pháp xấp xỉ hạng thấp động lực (dynamical low-rank approximation) để xấp xỉ một ma trận phụ thuộc một tham số mà đạo hàm của nó có hạng thấp. Để góp phần làm sáng tỏ những vấn đề này, chúng tôi đã chọn đề tài "Về xấp xỉ hạng thấp động lực" để làm đề tài luận văn thạc sĩ. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất của phân tích giá trị kì dị của ma trận. Đồng thời trình bày phương pháp SVD để giải phương trình vi phân ma trận. Đây là một phương pháp giải số cho hệ phương trình vi phân ma trận tương đối kinh điển, áp dụng được cho nhiều loại phương trình. Đối tượng chính của luận văn là một số tập các ma trận có cấu trúc. Những đối tượng này lại lập thành các đa tạp. Do đó chúng tôi sẽ trình bày vắn tắt những kiến thức liên quan đến đa tạp. Chương 2. Xấp xỉ hạng thấp động lực Chương này trình bày phân tích hạng thấp của ma trận, phân tích trên các ma trận tiếp xúc, phương trình vi phân xác định các nhân tử cùng một số ví dụ và phương pháp tích phân hiện dựa trên lược đồ tách. Luận văn kết thúc với phần kết luận và tài liệu tham khảo. Mặc dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Kính mong sự góp ý của các thầy cô để luận văn này được hoàn chỉnh và ý nghĩa hơn. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thanh Sơn. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn này. 3 Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K11C; Nhà trường và các phòng chức năng của Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, ủng hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thu Hà 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày hai mảng kiến thức tách biệt là đối tượng chính nghiên cứu của luận văn. Thứ nhất, chúng tôi trình bày khái niệm phân tích giá trị kỳ dị (SVD). Đây là một phân tích quan trọng, hầu như phơi bày tất cả các thông tin của ma trận, thậm chí còn là căn cứ để tính một số phân tích khác. Sau đó ở phần hai, chúng tôi trình bày khái niệm cơ bản về đa tạp khả vi và không gian tiếp xúc. Sau đó, chúng tôi trình bày hai đa tạp các ma trận với tính chất đặc biệt. 1.1 Phân tích SVD Phần này trình bày những khái niệm và những tính chất quan trọng của phân tích giá trị kì dị của ma trận. Tài liệu [8] sẽ là nguồn tham khảo chính. Luận văn [5] cũng có thể là một tài liệu tham khảo tốt bằng tiếng Việt. 1.1.1 Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Rm×n với m ≥ n, không nhất thiết có đầy đủ hạng, một phân tích giá trị kỳ dị của ma trận A là một phân tích A = U ΣV T , trong đó U ∈ Rm×m , V ∈ Rn×n là các ma trận trực chuẩn, Σ ∈ Rm×n là ma trận đường chéo. 5 1.1.2 Phân tích Các cột u1 , u2 , . . . , un của U được gọi là vectơ kỳ dị trái. Các cột v1 , v2 , . . . , vn của V được gọi là vectơ kỳ dị phải và các σi được gọi là giá trị kỳ dị. Khi đó Avj = σj uj , 1 ≤ j ≤ n. Phương trình vectơ này được biểu thị dưới dạng ma trận sau  σ1  h ih i h i σ2  =  A v1 |v2 | . . . |vn u1 |u2 | . . . |un ...     σn     ,    hoặc AV = Û Σ̂. Trong phương trình ma trận trên, Σ̂ là ma trận đường chéo kích thước n × n, Û là ma trận kích thước n × n với các cột trực chuẩn, và V là ma trận kích thước n × n với các cột trực chuẩn. Do V là ma trận trực chuẩn, nhân bên phải hệ thức trên với V T để đạt được A = Û Σ̂V T . Phân tích trên được gọi là phân tích giá trị kỳ dị thu gọn của ma trận A. Đây là dạng thường được sử dụng nhiều hơn phân tích tiêu chuẩn. Để cho tiện, ta bỏ qua dấu ˆ· khi đề cập đến phân tích thu gọn. Định lý sau đây sẽ thiết lập một số tính chất của phân tích giá trị kỳ dị. Định lí 1.1.1. Cho A = U ΣV T là một phân tích SVD của ma trận A cỡ m × n với m ≥ n. 1. Giả sử A đối xứng, với giá trị riêng λi ứng với vectơ riêng trực chuẩn ui . Nói cách khác A = U ΛU T là phân tích giá trị riêng của A, trong đó: Λ = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ), 6 U = [u1 , u2 , . . . , un ], U U T = I . Khi đó, SVD của A là A = U ΣV T , ta có σi = |λi | và vi = sign(λi )ui , sign(0) = 1. 2. Các giá trị riêng của ma trận đối xứng AT A là σi2 , các vectơ kỳ dị phải vi tương ứng với các vectơ riêng trực chuẩn. 3. Các giá trị riêng của ma trận đối xứng AAT là σi2 và m − n phần tử không. Các véc tơ kỳ dị trái ui là tương ứng của các vectơ riêng trực chuẩn với các giá trị riêng σi2 . Ta có thể lấy bất kỳ m − n vectơ trực giao khác nhau như là vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng bằng không. 4. Cho  H= 0 AT A 0  , trong đó A là ma trận vuông và A = U ΣV T là khai triển SVD của A. Cho Σ = diag(σ1 , σ2 , . . . , σn ), U = [u1 , u2 , . . . , un ], V = [v1 , v2 , . . . , vn ]. Khi đó, 2n giá  trị riêng của H là ±σi , ứng với vectơ riêng đơn vị tương ứng là √1 2 v1   . ±ui 5. kAk2 = σi . Nếu A là ma trận vuông và không kỳ dị, thì kA−1 k−1 = σn và 2 kAk2 kA−1 k2 = σ1 σn ; giá trị này được gọi là số điều kiện của ma trận. 6. Giả sử σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σr ≥ σr+1 = . . . = σn = 0 thì hạng của A là r. Hạt nhân của A là không gian con sinh bởi cột từ r + 1 đến n của V : span(vr+1 , . . . , vn ). Ảnh của A là không gian con sinh bởi cột thứ nhất đến cột thứ r của U : span(u1 , u2 , . . . , ur ). A = U ΣV T = n X σi ui viT . i=1 Khi đó ma trận hạng k < n gần A nhất là Ak = k X i=1 σi ui viT , 7 và kA − Ak k2 = σk+1 , ta cũng có thể viết Ak = U Σk V T , trong đó Σk = diag(σ1 , . . . , σk , 0, . . . , 0). 7. Với mọi ma trận B có hạng cao nhất, khi đó kA − Ak kF ≤ kA − BkF . Chứng minh. 1. Suy ra từ định nghĩa của phân tích SVD. 2. Ta có AT A = V ΣU T U ΣV T = V Σ2 V T đây là phân tích giá trị riêng của AT A, với các cột của V là vectơ riêng và các đường chéo của Σ2 là các giá trị riêng. h i e cỡ m × (m − n) sao cho U, U e là vuông và trực chuẩn. Ta viết: 3. Chọn ma trận U   i Σ2 0 h iT e  e .  U, U AAT = U ΣV T V ΣU T = U Σ2 U T = U, U h 0 0 Đây chính là phân tích giá trị riêng của AAT . 4. Ta có kAx − bk22 = kU ΣV T x − bk22 . h i e Do A hạng đầy nên Σ cũng thế và do đó nó khả nghịch. Cho U, U là vuông và trực giao như trên,   2 T U   (U ΣV T x − b) kU ΣV T x − bk22 = T e U 2 8   2 T T ΣV x − U b   = T e −U b 2 e T bk22 . = kΣV T x − U T bk22 + kU Đại lượng được cực tiểu hóa bằng cách cho số hạng thứ nhất bằng không, tức là x = V Σ−1 U T b. 5. Theo Định nghĩa của 1.1.1 chuẩn giá trị tuyệt đối lớn nhất trên đường chéo của một ma trận chéo chính là chuẩn k · k2 của nó. Do đó kAk2 = kU T AV k2 = kΣk2 = σ1 , và kA−1 k2 = kV T A−1 U k2 = kΣ−1 k2 = σn−1 . h i e cỡ m × (m − n) sao cho ma trận U b = U, U e cỡ m × m là trực 6. Cho ma trận U b và V là không suy biến. Ma trận A và ma trận giao. Do U  Σn×n  b b T AV =   ≡ Σ, U 0m−n × n có cùng hạng r. b = Ta lại có v thuộc hạt nhân của A khi và chỉ khi V T v thuộc hạt nhân của Σ b T AV (AT v) = 0. Nhưng hạt nhân của Σ b rõ ràng được sinh bởi các cột r + 1 đến U n của ma trận đồng nhất In cỡ n × n, nên hạt nhân của A sinh bởi V nhân với b những cột này. Tức là, từ vr+1 đến vn . Lập luận tương tự ta suy ra ảnh của A là U b T AV = Σ b . Tức là, U b nhân với V cột đầu tiên của Im hàng từ nhân với ảnh của U u1 đến ur . 9 7. Do cách xây dựng, Ak có hạng k và   0     n   σk+1 X  T  T σi ui vi = U  kA − Ak k2 =  V = σk+1 . ...   i=k+1     σn 2 Ta chỉ cần phải chỉ ra không có ma trận hạng k nào gần A hơn. Cho B là ma trận bất kỳ bậc k , vậy hạt nhân của nó có số chiều n − k . Không gian sinh bởi v1 , v2 , . . . , vk+1 có số chiều k + 1. Do tổng số chiều là (n − k) + (k + 1) > n, hai không gian này phải giao nhau. Cho h là vectơ đơn vị trong phần giao. Khi đó 2 2 kA − Bk22 ≥ k(A − B)hk22 = kAhk22 = U ΣV T h 2 = Σ(V T h) 2 2 2 2 V T h = σk+1 . ≥ σk+1 2 Phép chứng minh định lí được hoàn thành. 1.2 Sơ lược về đa tạp Trong mục này, trước tiên, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về đa tạp. Sau đó, chúng tôi trình bày hai đa tạp, đối tượng chính của Chương II: Đa tạp Stiefel và Đa tạp ma trận hạng cố định. Kiến thức chung về đa tạp có thể tham khảo trong quyển sách [1] và luận văn [4], trong khi hai đa tạp ma trận được tham khảo trong quyển sách chuyên khảo [6]. 1.2.1 Đa tạp khả vi Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (M, τ ) là không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được. Khi đó M được gọi là một đa tạp tô pô m− chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian Rm , nghĩa là với mỗi điểm x ∈ M, tồn tại một lân cận U của x, có một tập con mở V ⊂ Rm và một phép đồng phôi ϕ : U → V . 10 Cặp (U, ϕ) được gọi là một bản đồ địa phương hay gọi tắt là bản đồ trong M. Ta viết Mm để thể hiện đa tạp M có m chiều. Với U là một tập mở bất kỳ của Rn , ta nhắc lại các kí hiệu C k (U, Rm ), C ∞ (U, Rm ), và C ω (U, Rm ) lần lượt là tập tất cả các ánh xạ khả vi liên tục tới cấp k , tập tất cả các ánh xạ trơn và tập tất cả các ánh xạ giải tích từ U vào Rm . Định nghĩa 1.2.2. Xét đa tạp tô pô Mm . Họ A = {(Ui , ϕi ) : i ∈ I} các bản đồ trên M được gọi là một atlas lớp C k (k ≥ 1) hay C k − atlas nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Họ {Ui } là một phủ mở của M; (ii) Với hai bản đồ (Ui , ϕi ) và (Uj , ϕj ) mà Ui ∩ Uj 6= ∅ thì ánh xạ chuyển tiếp ϕj ◦ ϕ−1 i xác định trên ϕi (Ui ∩ Uj ) là ánh xạ khả vi lớp C k từ ϕi (Ui ∩ Uj ) lên ϕj (Ui ∩ Uj ). Một bản đồ (U, ϕ) được gọi là tương thích với C k − atlas A nếu hợp A ∪ {(U, ϕ)} là một C k − atlas. Atlas  được gọi là atlas cực đại nếu nó chứa tất cả các bản đồ tương thích với nó. Khi đó  cũng được gọi là một C k − cấu trúc trên Mm . Cặp (M, Â) được gọi là một C k − đa tạp hay đa tạp khả vi lớp C k . 11 Nhận xét 1.2.3. Một C k − atlas A trên một đa tạp tô pô M xác định duy nhất một C k − cấu trúc trên M. Ví dụ 1.2.4. 1. Xét M = Rm với tô pô Euclide. Ta có một C ω − cấu trúc tầm thường A = {(Rm , ϕ) : ϕ : x 7→ x}. 2. Xét không gian vectơ Rn×p các ma trận thực cỡ n × p. Ta xây dựng tích vô hướng hX1 , X2 i := tr X1> X2 ,
ở đây tr(X) là tổng các phần tử trên đường chéo chính của X . Chuẩn tương ứng được gọi là chuẩn Frobenius kXkF = q
tr X > X , tức là kXk2F là tổng bình phương các phần tử của X . Khi đó Rn×p là một không gian tô pô Haussdorff với cơ sở đếm được. Xét ánh xạ vec : Rn×p → Rnp X 7→ vec(X), ở đây vec(X) là vectơ được tạo thành bằng cách xếp chồng theo thứ tự các cột của X . Ánh xạ này cho ta một C k − cấu trúc trên Rn×p . 3. Ký hiệu S m là mặt cầu đơn vị trong Rm+1 được trang bị tô pô Euclide. Ký hiệu N = (0, 0, ..., 0, 1), S = (0, 0, ..., 0, −1) lần lượt là cực bắc và cực nam của S m . Đặt UN = S m \{N }, US = S m \{S} 12 và định nghĩa ϕ N : U N → Rm  (x1 , ..., xm+1 ) 7→ x1 xm , ..., 1 − xm+1 1 − xm+1  , ϕ S : U S → Rm  (x1 , ..., xm+1 ) 7→ x1 xm , ..., 1 + xm+1 1 + xm+1  . −1 Do vậy, hai ánh xạ chuyển tiếp ϕ−1 S ϕN và ϕN ϕS được cho bởi công thức Rm \ {0} → Rm \ {0} x 7→ x kxk2 . Khi đó A = {(UN , ϕN ), (US , ϕS )} là một C ω − Atlas trên S m . Đa tạp lớp C ∞ (S m , Â) được gọi là mặt cầu tiêu chuẩn m chiều. Phát biểu sau đây xây dựng tích Descartes của hai đa tạp. Mệnh đề 1.2.5. Cho (M1 , Â1 ) và (M2 , Â2 ) là hai đa tạp khả vi lớp C k . Cho M = M1 × M2 là tích Descartes của hai không gian tô pô. Khi đó, tồn tại một atlas A trên M sao cho (M, Â) là một đa tạp khả vi lớp C k có số chiều dim M = dim M1 + dim M2 . Đa tạp (M, Â) được gọi là đa tạp tích Descartes của hai đa tạp (M1 , Â1 ) và (M2 , Â2 ). 1.2.2 Đa tạp con Định nghĩa 1.2.6. Cho m ≤ n là các số nguyên dương và (N n , ÂN ) là một đa tạp khả vi lớp C k . Một tập con M của N được gọi là một đa tạp con của N nếu với mỗi điểm x ∈ M, tồn tại một bản đồ (Ux , ϕx ) ∈ ÂN sao cho x ∈ Ux và ϕx : Ux ⊂ N → Rm × Rn−m thỏa mãn ϕx (Ux ∩ M ) = ϕx (Ux ) ∩ (Rm × {0}), 13 số n − m được gọi là đối chiều của M trong N . Phát biểu sau đây cung cấp chi tiết hơn về cấu trúc khả vi trên đa tạp con. Mệnh đề 1.2.7. Cho m ≤ n là các số nguyên dương và (N n , ÂN ) là một đa tạp khả vi lớp C k . Cho M là một đa tạp con của N và được trang bị tô pô con. Ký hiệu π : Rm × Rn−m → Rm , là phép chiếu lên thành phần thứ nhất. Khi đó AM := {(Ux ∩ M, (π ◦ ϕx ) |Ux ∩M ) : x ∈ M} , là một atlas lớp C k trên M. Vì thế (M, ÂM ) là một đa tạp khả vi m chiều lớp C k . Cấu trúc khả vi ÂM trên M xác định trong mệnh đề trên được gọi là cấu trúc cảm sinh từ ÂN . Ta nhắc lại rằng một ma trận A cỡ m × n được gọi là hạng đủ nếu rankA = min{m, n}, một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian hữu hạn chiều đều có thể coi tương đương như một ma trận. Định lý sau đây cho ta một nguồn dồi dào những ví dụ về đa tạp con. Định lí 1.2.8. Cho m ≤ n là các số nguyên dương và f : U → Rm là một ánh xạ lớp C k từ một tập mở U ⊂ Rn . Nếu x ∈ U, f (x) = y và Jacobian của nó df |x : Rn → Rm , là hạng đủ thì f −1 ({y}) là một đa tạp con khả vi lớp C k của Rn có số chiều n − m. Ví dụ 1.2.9. Cho f : Rm+1 → R x 7→ m+1 P i=1 x2i . 14 Dễ thấy f thuộc lớp C ω . Khi đó, đạo hàm của f được tính bằng dfx = 2x. Có thể thấy ngay 1 ∈ R là giá trị thỏa mãn điều kiện của định lý ánh xạ ẩn và vì thế S m := x ∈ Rn+1 : kxk2 = 1 = f −1 ({1}),  là một đa tạp lớp C ω và có số chiều m. Đây chính là mặt cầu tiêu chuẩn đã được nêu ở Ví dụ 1.2.4. 1.2.3 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc Trước tiên, ta định nghĩa khái niệm này trong không gian Rn quen thuộc. Định nghĩa 1.2.10. Cho x là một điểm trong Rm và ký hiệu Tx Rm là tập các toán tử vi phân tuyến tính tại x triệt tiêu hằng số. Tức là Tx Rm gồm các ánh xạ α : ε(x) → R thỏa mãn (i) α(λf + µg) = λα(f ) + µα(g), (ii) α(f g) = α(f ) · g(x) + f (x)α(g), với mọi α, µ ∈ R và f, g ∈ ε(x). Dễ dàng nhận thấy tập Tx Rm có cấu trúc của một không gian vectơ thực với hai phép toán (α + µ)(f ) := α(f ) + β(f ), (λα)(f ) := λα(f ). Định lí 1.2.11. Cho x ∈ Rm . Khi đó, ánh xạ φ : Rm → Tx Rm v 7→ ∂v là một đẳng cấu giữa các không gian vectơ. 15 Bây giờ ta xét các khái niệm đó đối với đa tạp. Định nghĩa 1.2.12. Cho M là một đa tạp khả vi, x ∈ M và ε(x) là tập các hàm thực định nghĩa trên một lân cận mở của x. Một vectơ tiếp xúc ξx tại x là một ánh xạ ξx : ε(x) → R thỏa mãn (i) ξx (λf + µg) = λξx (f ) + µξx (g), (ii) ξx (f g) = ξx (f )g(x) + f (x)ξx (g), với mọi λ, µ ∈ R và f, g ∈ ε(x). Tập các vectơ tiếp xúc của M tại x được gọi là không gian tiếp xúc tại x và ký hiệu Tx M. Phép cộng và phép nhân với vô hướng trong Tx M được định nghĩa như sau (ξx + ζx )(f ) = ξx (f ) + ζx (f ), (λξx )(f ) = λξx (f ), với mọi ξx , ζx ∈ Tx M, f ∈ ε(x) và λ ∈ R. Ví dụ 1.2.13. Cho γ : I → S m là một cung trên mặt cầu đơn vị trong Rm+1 sao cho γ̇(0) = ξ . Do γ(t) nằm trên S m nên γ(t)> γ(t) = 1, ∀ t ∈ I. Đạo hàm hai vế cho ta γ̇(t)> γ(t) = γ(t)> γ̇(t)> = 0, hay γ̇(t)> γ(t) = 0. Từ đó, ta suy ra rằng với x ∈ S m , ξ là vectơ tiếp xúc x thì ξ > x = 0 hay ∀ ξ ∈ Tx S m , ξ⊥x. Do vậy, ta viết Tx S m = ξ ∈ Rm+1 : ξ > x = 0 .