Tài liệu Về triển vọng của phương pháp tuyến tính hoá chính xác để điều khiển động cơ không đồng bộ rotor lồng sóc

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr-êng ®¹i häc b¸ch khoa hµ néi khoa sau ®¹i häc ******************* luËn v¨n th¹c sü Chuyªn ngµnh Tù ®éng hãa §Ò tµi: vÒ triÓn väng cña ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c ®Ó ®iÒukhiÓn §CK§B rotor lång sãc gvhd hvth líp : : : Tskh. nguyÔn phïng quang d-¬ng hoµi nam cao häc t®h k2002-2004 Hµ Néi - 2004 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr-êng ®¹i häc b¸ch khoa hµ néi ---***--- D-¬ng Hoµi Nam vÒ triÓn väng cña ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c ®Ó ®iÒu khiÓn ®éng c¬ kh«ng ®ång bé rotor lång sãc Chuyªn ngµnh: Tù ®éng hãa LuËn v¨n th¹c sÜ ngµnh ®iÖn Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TSKH. NguyÔn Phïng Quang Hµ Néi - 2004 Môc lôc Môc lôc Danh môc c¸c ký hiÖu, c¸c ch÷ viÕt t¾t ............................................ .i Lêi nãi ®Çu .................................................................................................... 1 Ch-¬ng I: Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c ............................................................................................... 3 1.1. phi tuyÕn ................................................................................................. 3 1.2. Môc ®Ých tuyÕn tÝnh hãa hÖ phi tuyÕn. ................................................... 4 1.3. TuyÕn tÝnh hãa ®èi t-îng phi tuyÕn. ....................................................... 4 1.4. TuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c hÖ phi tuyÕn SISO.......................................... 6 1.4.1. BËc t-¬ng ®èi .................................................................................. .6 1.4.2.TuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c quan hÖ vµo-ra hÖ phi tuyÕn SISO. ......... 8 1.5.TuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c hÖ phi tuyÕn MIMO ....................................... 11 1.5. 1. Vector bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu........................................................ 11 1.5.2.TuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c quan hÖ vµo-ra hÖ phi tuyÕn MIMO. ...... 14 1.6. VÝ dô minh häa ....................................................................................... 18 1.6.1.TuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c quan hÖ vµo-ra hÖ phi tuyÕn SISO .......... 18 1.6.2.TuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c quan hÖ vµo-ra hÖ phi tuyÕn MIMO. ...... 19 Ch-¬ng II : TuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c m« h×nh dßng §CDB. .......... 23 2.1. §Æt vÊn ®Ò ............................................................................................... 23 2.2. BiÓu diÔn c¸c ®¹i l-îng ba pha §CDB d-íi d¹ng vector ....................... 23 2.3. M« h×nh tr¹ng th¸i liªn tôc §CDB trªn hÖ d-q. ...................................... 28 2.4. §Æc ®iÓm phi tuyÕn cña m« h×nh dßng. ................................................. 33 2.5. Kh¶ n¨ng tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c m« h×nh dßng §CDB ..................... 34 2.6. KiÓm tra ®iÒu kiÖn tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c .......................................... 36 2.7. Thùc hiÖn tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c........................................................ 38 D-¬ng Hoµi Nam iii Môc lôc Ch-¬ngIII : §Ò xuÊt cÊu tróc ®iÒu khiÓn ............................................ 42 3.1. §Ò xuÊt cÊu tróc ®iÒu khiÓn. ................................................................... 42 3.2. ThiÕt kÕ c¸c bé ®iÒu chØnh. ..................................................................... 44 3.2.1. ThiÕt kÕ bé ®iÒu chØnh dßng isd. ..................................................... 44 3.2.2.ThiÕt kÕ bé ®iÒu chØnh dßng isq. ...................................................... 45 3.2.3. ThiÕt kÕ bé ®iÒu chØnh tõ th«ng. ..................................................... 46 3.2.4. ThiÕt kÕ bé ®iÒu chØnh tèc ®é. ......................................................... 47 Ch-¬ng IV: Thùc hiÖn m« pháng. ............................................................ 50 4.1. Th«ng sè ®éng c¬ dïng trong m« pháng. ............................................... 51 4.2. M« pháng quan hÖ phi tuyÕn cña m« h×nh dßng. ................................... 51 4.3. M« pháng quan hÖ tuyÕn tÝnh vµ t¸ch kªnh. ........................................... 56 4.3.1. KiÓm tra tÝnh tuyÕn tÝnh khi ®· tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c m« h×nh dßng. ................................................................................. 56 4.3.2. KiÓm tra tÝnh t¸ch kªnh khi ®· tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c m« h×nh dßng. ................................................................................. 60 4.4. M« pháng c¸c ®¸p øng khi ®· thiÕt kÕ bé ®iÒu khiÓn ............................. 67 4.4.1. C¸c ®¸p øng khi ®éng c¬ ho¹t ®éng ë tõ th«ng danh ®Þnh, tèc ®é ®Æt =100rad/s vµ sau 5[s] ®ãng t¶i. .............................................. 68 4.4.2. C¸c ®¸p øng khi ®éng c¬ ho¹t ®éng ë tõ th«ng danh ®Þnh, tèc ®é ®Æt =300rad/s vµ sau 5[s] ®ãng t¶i ............................................... 71 Ch-¬ng V: KÕt luËn .................................................................................... 75 Tµi liÖu tham kh¶o..................................................................................... 76 D-¬ng Hoµi Nam iv Lêi c¶m ¬n T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ®Õn khoa sau ®¹i häc tr-êng ®¹i häc B¸ch Khoa Hµ Néi ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn ®Ó t«i hoµn thµnh khãa häc. §Ó hoµn thµnh b¶n luËn v¨n nµy, t«i ®· ®-îc sù h-íng dÉn tËn t×nh cña thÇy gi¸o TSKH. NguyÔn Phïng Quang thuéc bé m«n §iÒu khiÓn tù ®éng - Tr-êng ®¹i häc B¸ch Khoa Hµ Néi. Víi sù gióp ®ì cña thÇy, t«i ®· hoµn thµnh b¶n luËn v¨n ®óng tiÕn ®é vµ ®-a ra c¸c kÕt qu¶ nh- mong muèn ®Ò ra ban ®Çu cña ®Ò tµi. T«i còng xin ch©n thµnh c¶m ¬n ®Õn c¸c thÇy, c« ë Bé m«n Tù ®éng hãa XNCN - Tr-êng ®¹i häc B¸ch Khoa Hµ Néi ®· th¸o gì c¸c v-íng m¾c, gióp ®ì t«i trong thêi gian hoµn thµnh luËn v¨n. T«i còng lÊy lµm c¶m kÝch tr-íc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp quý b¸u cña cña c¸c thÇy, c« còng nh- c¸c ®ång nghiÖp ®Ó b¶n luËn v¨n nµy ®-îc hoµn thiÖn h¬n. Hµ Néi, Ngµy 21 th¸ng 10 n¨m 2004 Ng-êi thùc hiÖn: D-¬ng Hoµi Nam Lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan nh÷ng kÕt qu¶ thu ®-îc tõ b¶n luËn v¨n nµy ®-îc thùc hiÖn do tù chÝnh b¶n th©n d-íi sù h-íng dÉn cña TSKH. NguyÔn Phïng Quang thuéc bé m«n §iÒu khiÓn tù ®éng - Tr-êng ®¹i häc B¸ch Khoa Hµ Néi cïng víi c¸c tµi liÖu ®· ®-îc trÝch dÉn trong phÇn tµi liÖu tham kh¶o ë phÇn cuèi b¶n luËn v¨n. Lêi nãi ®Çu Lêi nãi ®Çu Trong qu¸ tr×nh s¶n xuÊt hÖ truyÒn ®éng lu«n ®ãng mét phÇn quan träng, lµ ®éng lùc chÝnh thóc ®Èy n¨ng suÊt, chÊt l-îng cña thµnh phÈm. HiÖn nay trong c¸c hÖ truyÒn ®éng cña d©y chuyÒn c«ng nghÖ hiÖn ®¹i, §CDB ®ang ®-îc øng dông rÊt réng r·i bëi nã ph¸t huy nhiÒu -u ®iÓm: CÊu t¹o ®¬n gi¶n, dÔ chÕ t¹o, gi¸ thµnh rÎ, vËn hµnh tin cËy vµ an toµn ®iÒu nµy cã ý nghÜa ®Æc biÖt trong c¸c hÖ truyÒn ®éng c«ng suÊt lín.Víi sù ph¸t triÓn cña lý thuyÕt ®iÒu khiÓn vµ c¸c nghµnh liªn quan lµm cho §CDB ®ang dÇn chiÕm -u thÕ trong c¸c hÖ truyÒn ®éng. Tõ tr-íc tíi nay cã rÊt nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu kh¸c nhau vÒ ®iÒu khiÓn §CDB. Ph-¬ng ph¸p phæ biÕn ®Ó ®iÒu khiÓn §CDB lµ sö dông biÕn tÇn ho¹t ®éng trªn nguyªn t¾c ®iÒu chÕ vector kh«ng gian. ViÖc thùc hiÖn ®iÒu khiÓn §CDB lµ mét vÊn ®Ò phøc t¹p bëi v× §CDB lµ mét ®èi t-îng phi tuyÕn. X©y dùng bé ®iÒu chØnh cho ®èi t-îng phi tuyÕn th-êng ®Ò cËp ®Õn ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa t¹i l©n cËn ®iÓm lµm viÖc cña m« h×nh ®èi t-îng hay tuyÕn tÝnh hãa gÇn ®óng trong mét chu kú trÝch mÉu cho m« h×nh gi¸n ®o¹n, c¸c ph-¬ng ph¸p nµy chØ ®¸p øng ®-îc ë mét sè ®iÓm tr¹ng th¸i h÷u h¹n. Víi tinh thÇn thùc hiÖn tuyÕn tÝnh hãa ®èi t-îng phi tuyÕn trªn toµn bé kh«ng gian tr¹ng th¸i, ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c ®-îc ®Ò cËp, cho phÐp chóng ta thùc hiÖn chuyÓn täa ®é cho m« h×nh tr¹ng th¸i ®èi t-îng phi tuyÕn, cô thÓ trong b¶n luËn v¨n nµy lµ m« h×nh dßng cña §CDB, trë thµnh mét ®èi t-îng tuyÕn tÝnh trong toµn bé kh«ng gian tr¹ng th¸i míi. Theo tinh thÇn cña ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c, ®Ò tµi luËn v¨n vÒ ®iÒu khiÓn §CDB: “ VÒ triÓn väng cña ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c trong ®iÒu khiÓn §CDB, nu«i b»ng nghÞch l-u nguån ¸p” nh»m môc ®Ých mong muèn t×m ®-îc mét ph-¬ng ph¸p míi ®Ó ®iÒu khiÓn §CDB. LuËn v¨n bao gåm c¸c phÇn chÝnh nh- sau: Ch-¬ng I. Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c. Trong ch-¬ng nµy, ®Ò cËp vÒ kh¸i niÖm tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c, kh¸i niÖm bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu cña ®èi t-îng phi tuyÕn mét ®Çu vµo-mét ®Çu ra SISO, kh¸i niÖm vector bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu cña ®èi t-îng phi tuyÕn nhiÒu ®Çu vµonhiÒu ®Çu ra MIMO. Qua ®ã thùc hiÖn viÖc tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c quan hÖ vµo-ra cho ®èi t-îng phi tuyÕn SISO vµ ®èi t-îng phi tuyÕn MIMO. §-a ra c¸c nhËn xÐt nh÷ng thuËn lîi, -u ®iÓm sau khi tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c. D-¬ng Hoµi Nam 1 Lêi nãi ®Çu Ch-¬ng II. TuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c m« h×nh dßng §CDB. Trong ch-¬ng nµy, ®Ò cËp c¸c vÊn ®Ò sau: ▪ §Æt vÊn ®Ò cho ph-¬ng h-íng triÓn khai ®Ó ®Ò tµi gÇn víi møc thùc tÕ h¬n. ▪ X©y dùng m« h×nh tr¹ng th¸i cña ®éng c¬ kh«ng ®ång bé rotor lång sãc trªn hÖ täa ®é d-q. NhËn xÐt sù phi tuyÕn cña m« h×nh dßng. ▪ KiÓm tra kh¶ n¨ng tån t¹i phÐp tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c cho m« h×nh dßng, tõ ®ã thùc hiÖn tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c m« h×nh dßng. ▪ §-a ra s¬ ®å cÊu tróc bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i vµ cÊu tróc m« h×nh hÖ tuyÕn tÝnh khi kÕt hîp bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i víi m« h×nh dßng. Ch-¬ng III. §Ò xuÊt cÊu tróc ®iÒu khiÓn §CDB khi ®· tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c m« h×nh dßng. ▪ §Ò xuÊt cÊu tróc ®iÒu khiÓn §CDB sau khi ®· tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c m« h×nh dßng. ▪ X©y dùng c¸c bé ®iÒu chØnh vßng trong (bé ®iÒu chØnh dßng ®iÖn) vµ c¸c bé ®iÒu chØnh vßng ngoµi (bé ®iÒu chØnh tõ th«ng, bé ®iÒu chØnh tèc ®é) dùa trªn c¸c ph-¬ng ph¸p tæng hîp ®èi víi ®èi t-îng phi tuyÕn. Ch-¬ng IV. KÕt qu¶ m« pháng. Sö dông c«ng cô Matlab\Simulink ®Ó m« pháng. ▪ M« pháng quan hÖ phi tuyÕn cña m« h×nh dßng §CDB. ▪ M« pháng quan hÖ tuyÕn tÝnh vµ t¸ch kªnh cña m« h×nh tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c m« h×nh dßng. ▪ M« pháng c¸c ®¸p øng (dßng, tõ th«ng, tèc ®é) khi ®· thiÕt kÕ bé ®iÒu khiÓn cho cÊu tróc ®-îc ®Ò xuÊt trong ch-¬ng III. ▪ §¸nh gi¸ kÕt qu¶ m« pháng. Ch-¬ng V. KÕt luËn. C¸c kÕt qu¶ thu ®-îc cña luËn v¨n vµ c¸c kiÕn nghÞ ®Ó hoµn thiÖn ®Ò tµi. Sau ®©y lµ néi dung chi tiÕt cña b¶n luËn v¨n. D-¬ng Hoµi Nam 2 Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c Ch-¬ng I: Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c 1.1. HÖ phi tuyÕn. PhÇn lín c¸c ®èi t-îng ®iÒu khiÓn trong tù nhiªn mang tÝnh phi tuyÕn. VÝ dô nh- r¬-le, nh÷ng hÖ sinh häc, hÖ thuû khÝ, hÖ vËt lý cã cÊu tróc hçn hîp, hay c¸c hÖ thèng nhiÖt ®éng häc...§Æc ®iÓm chÝnh cña mét hÖ phi tuyÕn lµ kh«ng tháa m·n nguyªn lý xÕp chång. u(t) y( t ) HÖ phi tuyÕn H×nh 1.1. M« t¶ hÖ phi tuyÕn. Cã nhiÒu d¹ng m« h×nh to¸n häc cho ®èi t-îng, song mét trong nh÷ng m« h×nh hiÖn ®-îc dïng vµ mang l¹i nhiÒu thµnh c«ng trong §KPT lµ m« h×nh tr¹ng th¸i. Tõ m« h×nh tr¹ng th¸i ta cã thÓ x©y dùng bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i cho ®èi t-îng phi tuyÕn (bé §KPHTT). Do viÖc x©y dùng bé §KPHTT nh»m ®¶m b¶o chÊt l-îng hÖ thèng lµ rÊt khã kh¨n. V× vËy bao giê trong ®iÒu khiÓn ®èi t-îng phi tuyÕn vÊn ®Ò æn ®Þnh hÖ ®-îc ®Æt lªn hµng ®Çu. Theo [3], khi tæng hîp bé §KPHTT cho hÖ phi tuyÕn tèi thiÓu ph¶i quan t©m ®Õn c¸c vÊn ®Ò sau: • Sù ph©n bè c¸c ®iÓm c©n b»ng cña hÖ thèng. • TÝnh æn ®Þnh cña hÖ thèng t¹i mét ®iÓm c©n b»ng cho tr-íc. • TÝnh ®iÒu khiÓn ®-îc cña hÖ thèng t¹i mét ®iÓm tr¹ng th¸i cho tr-íc. • TÝnh quan s¸t ®-îc cña hÖ thèng t¹i mét thêi ®iÓm. • Kh¶ n¨ng tån t¹i dao ®éng heternom hoÆc autonom trong hÖ. • Kh¶ n¨ng cã hay kh«ng hiÖn t-îng hçn lo¹n trong hÖ. • Kh¶ n¨ng ph©n nh¸nh trong hÖ. D-¬ng Hoµi Nam 3 Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c 1.2. Môc ®Ých tuyÕn tÝnh ho¸ hÖ phi tuyÕn. Do tÝnh phi tuyÕn cña hÖ phi tuyÕn nªn viÖc x©y dùng bé ®iÒu khiÓn cho hÖ phi tuyÕn rÊt khã vµ liªn quan ®Õn nhiÒu vÊn ®Ò kh¸c nhau khã cã thÓ gi¶i quyÕt ®-îc. ChÝnh v× vËy víi ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ nh»m ®-a hÖ phi tuyÕn thµnh hÖ tuyÕn tÝnh (tháa m·n nguyªn lý xÕp chång). Dùa vµo ph-¬ng ph¸p kh¶o s¸t, ph©n tÝch, tæng hîp ®èi víi hÖ tuyÕn tÝnh ta cã thÓ x©y dùng ®-îc c¸c bé ®iÒu chØnh tuyÕn tÝnh phï hîp víi yªu cÇu chÊt l-îng cña hÖ thèng. Gåm cã c¸c ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ sau: Ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa xung quanh ®iÓm lµm viÖc, ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa x¸c trong ph¹m vi mét chu kú trÝch mÉu vµ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c. >>Ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa xung quanh ®iÓm lµm viÖc: Ph-¬ng ph¸p nµy nh»m ®-a m« h×nh phi tuyÕn thµnh mét m« h×nh tuyÕn tÝnh xÊp xØ t-¬ng ®-¬ng t¹i l©n cËn ®iÓm lµm viÖc. >>Ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa trong ph¹m vi mét chu kú trÝch mÉu: Ph-¬ng ph¸p nµy nh»m x©y dùng ®èi t-îng phi tuyÕn thµnh m« h×nh gi¸n ®o¹n tuyÕn tÝnh cã hÖ sè hµm. >>Ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c: Víi ý t-ëng chÝnh lµ thùc hiÖn viÖc chuyÓn täa ®é cho m« h×nh tr¹ng th¸i cña ®èi t-îng phi tuyÕn th«ng qua kh¶ n¨ng thiÕt kÕ bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i hoÆc ph¶n håi tÝn hiÖu ra cña ®èi t-îng phi tuyÕn sao cho hÖ kÝn trë thµnh tuyÕn tÝnh. Kh¸c víi ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa xung quanh ®iÓm lµm viÖc vµ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa trong mét ph¹m vi chu kú trÝch mÉu, ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c ®¶m b¶o hÖ tuyÕn tÝnh trong toµn bé kh«ng gian tr¹ng th¸i vµ chØ cã thÓ ¸p dông ®-îc víi mét líp ®èi t-îng phi tuyÕn nhÊt ®Þnh. 1.3. TuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c ®èi t-îng phi tuyÕn. Theo tinh thÇn cña ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c lµ cÇn ph¶i thùc hiÖn viÖc chuyÓn täa ®é cho m« h×nh tr¹ng th¸i th«ng qua kh¶ n¨ng thiÕt kÕ bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i (§KPHTT) sao cho hÖ kÝn thu ®-îc trë thµnh tuyÕn tÝnh trong toµn bé kh«ng gian tr¹ng th¸i míi. S¬ ®å cÊu tróc cña hÖ phi tuyÕn sau khi ®· tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c nh- sau: D-¬ng Hoµi Nam 4 Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c HÖ vµo-ra tuyÕn tÝnh y w x §KPHTT u §TPT x H×nh 1.2.S¬ ®å nguyªn lý tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c hÖ phi tuyÕn. Ta nhËn thÊy r»ng víi bé §KPHTT, §TPT cã ®Çu vµo cò u t-¬ng øng víi hÖ phi tuyÕn sÏ trë thµnh hÖ tuyÕn tÝnh trong toµn bé kh«ng gian tr¹ng th¸i míi víi ®Çu vµo míi w . ViÖc thiÕt kÕ bé §KPHTT ®-îc thùc hiÖn nhê phÐp ®æi trôc to¹ ®é cho mét ®èi t-îng phi tuyÕn ph¼ng (x¸c ®Þnh bé ®iÒu khiÓn thùc hiÖn phÐp ®æi trôc ®ã) nh»m ®-a toµn bé hÖ thèng trë thµnh tuyÕn tÝnh. Theo tµi liÖu [3]: §iÒu kiÖn tån t¹i phÐp tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c lµ hÖ phi tuyÕn ®ã ®iÒu khiÓn ®-îc vµ cã bËc t-¬ng ®èi b»ng sè biÕn tr¹ng th¸i. Kh¸i niÖm bËc t-¬ng ®èi ®· quen biÕt trong hÖ tuyÕn tÝnh tõ ®ã x©y dùng, x¸c ®Þnh bËc t-¬ng ®èi cho hÖ phi tuyÕn. §Ó cô thÓ ho¸ néi dung cña ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c ta ®-a ra c¸c quy -íc, ký hiÖu (cho c¸c ®Çu vµo-ra, tr¹ng th¸i) cho hÖ phi tuyÕn: HÖ phi tuyÕn SISO vµ hÖ phi tuyÕn MIMO. >>§èi t-îng phi tuyÕn ®-îc tr×nh bµy theo m« h×nh tr¹ng th¸i. HÖ phi tuyÕn MIMO. m • x  f x   H(x)u  f (x)   hi (x)ui  i 1  y  g(x) (1.1) Trong ®ã: HÖ cã m tÝn hiÖu vµo: u1 ( x ) , u 2 (x) ... u m ( x ) cã r tÝn hiÖu ra y1 ( x ) , y 2 ( x) ... y r ( x ) vµ n biÕn tr¹ng th¸i: x1, x2 ... xn. ThÓ hiÖn d-íi d¹ng vector nh- sau: D-¬ng Hoµi Nam 5 Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c  x1  x  x  2    x n   u1   g1 (x)  u  g (x) 2 , u    , y  g( x )   2            u m  g r (x)  (1.2) Ma trËn hÖ thèng f ( x ) vµ ma trËn ®Çu vµo H( x ) :  f1 (x)  f ( x )  f (x)   2       f n (x) ; H(x)  h 1 (x), h 2 (x),, h m (x) (1.3) HÖ phi tuyÕn SISO. Tõ hÖ MIMO (1.1) nÕu thay m = 1 vµ r = 1 (hÖ chØ cã 1 ®Çu vµo-1 ®Çu ra) ta thu ®-îc m« h×nh tr¹ng th¸i cho hÖ phi tuyÕn SISO nh- sau:  • x  f x   h(x)u   y  g(x) (1.4) Tõ (1.1) vµ (1.4). M« h×nh tr¹ng th¸i cho hÖ phi tuyÕn thÓ hiÖn c¶ tÝn hiÖu vµo vµ tÝn hiÖu ra. Khi sö dông ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c ®-îc gäi lµ tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c quan hÖ vµo - ra. Ngoµi ra cßn cã ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c quan hÖ vµo tr¹ng th¸i ®èi t-îng phi tuyÕn. Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ tuyÕn tÝnh ho¸ §CDB nªn ta chØ xÐt tr-êng hîp tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c quan hÖ vµo - ra. 1.4. TuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c hÖ phi tuyÕn SISO. 1.4.1.BËc t-¬ng ®èi. §Ó tiÕp cËn tíi kh¸i niÖm bËc t-¬ng ®èi cña hÖ phi tuyÕn SISO, ta xÐt ®Õn kh¸i niÖm bËc t-¬ng ®èi cña hÖ tuyÕn tÝnh SISO. ë ®©y gi¶ sö ®èi t-îng tuyÕn tÝnh ®-îc m« t¶ b»ng hµm truyÒn ®¹t hîp thøc chÆt: b 0  b1s    b m s m G(s)  a 0  a 1s    a n s n trong ®ã m < n. (1.5) Cã m« h×nh kh«ng gian tr¹ng th¸i lµ: D-¬ng Hoµi Nam 6 Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c  • x  A x  bu  y  c T x x  R n , A  R nn , b  R n1 , c  R1n (1.6) BËc t-¬ng ®èi cña hÖ tuyÕn tÝnh SISO ®-îc hiÓu lµ hiÖu: r = (n – m)  1. Do G(s)  c (sI  A)1 b ta cã: T lim sr G(s)  s  bm an  lim sr [c (sI  A)1 b]  T s   T bm an k (1.7) c A b bm  k 1 r s  an k 0 s  lim  lim s 1 s k1r  0 khi k > r – 1 nªn chuçi bªn vÕ tr¸i trë thµnh tæng cña h÷u h¹n r phÇn tö ®Çu tiªn. Do ®ã: r 1 T c Ak b bm lim  k 1 r  s  an k 0 s (1.8) Tõ ®©y, ®Ó vÕ tr¸i b»ng gi¸ trÞ h÷u h¹n  0 T c Ak b    0 khi khi bm th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ: an 0  k  r2 k  r 1 (1.9) Nh- vËy bËc t-¬ng ®èi r = n – m cßn cã thÓ x¸c ®Þnh trùc tiÕp tõ m« h×nh tr¹ng th¸i (1.5) b»ng c«ng thøc (1.9). Tõ viÖc x¸c ®Þnh bËc t-¬ng ®èi cho hÖ tuyÕn tÝnh (1.5) ta liªn hÖ sang hÖ phi tuyÕn (1.4). BËc t-¬ng ®èi cña hÖ phi tuyÕn (1.4) ®-îc x¸c ®Þnh nh- sau: Theo tµi liÖu [3], bËc t-¬ng ®èi cña (1.4) t¹i ®iÓm tr¹ng th¸i x cña hÖ lµ sè tù nhiªn r mµ trong l©n cËn x tháa m·n:   0 khi 0  k  r  2 Lh Lkf g(x)    0 khi k  r  1 Cã thÓ thÊy ngay ®-îc r»ng tõ (1.4) vµ (1.5): (1.10) T NÕu f (x)  Ax , h(x)  b , g(x)  c x hai c«ng thøc (1.9) vµ (1.10) sÏ ®ång nhÊt. V×: Lkf g(x)  c Ak x T D-¬ng Hoµi Nam  Lh Lkf g(x)  c A k b T 7 Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c Theo c«ng thøc (1.10) ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®-îc bËc t-¬ng ®èi cña hÖ phi tuyÕn SISO. Tuy nhiªn,theo [3] còng cÇn ph¶i ®Ó ý r»ng hÖ phi tuyÕn (1.4) cã thÓ cã bËc t-¬ng ®èi kh¸c nhau ë nh÷ng ®iÓm tr¹ng th¸i kh¸c nhau. Ngoµi ra, kh¸c víi hÖ tuyÕn tÝnh, kh«ng ph¶i bÊt cø mét ®iÓm tr¹ng th¸i x nµo trong kh«ng gian tr¹ng th¸i, hÖ phi tuyÕn ph¼ng còng cã bËc t-¬ng ®èi. Ch¼ng h¹n, hÖ sÏ kh«ng cã bËc t-¬ng ®èi t¹i ®iÓm tr¹ng th¸i x0 mµ trong l©n cËn cña nã cã: Lhg(x)  0, LhLf g(x)  0,  , LhLkf g(x)  0  Song l¹i cã: Lhg(x0 )  Lh Lf g(x0 )    Lh Lkhg(x0 )    0 1.4.2 TuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c quan hÖ vµo - ra hÖ SISO. Trong môc nµy sÏ bµn vÒ kh¶ n¨ng thiÕt kÕ bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i (§KPHTT) sao cho hÖ kÝn gåm ®èi t-îng phi tuyÕn ph¼ng (1.4) vµ bé §KPHTT sÏ trë thµnh tuyÕn tÝnh trong toµn bé kh«ng gian tr¹ng th¸i míi. Theo tµi liÖu [3] cã thÓ xem viÖc thiÕt kÕ bé §KPHTT t-¬ng ®-¬ng víi viÖc thùc hiÖn phÐp ®æi trôc to¹ ®é vi ph«i z = m(x) ®-a ®èi t-îng phi tuyÕn (1.4) bËc n vÒ d¹ng tuyÕn tÝnh nh- sau:   z2   z2   0  •          z     u     zn   0  zn         a (z)  b(z)u  a (z) b(z)   y  g(x)  z1 (1.11) VÊn ®Ò ®Æt ra lµ ph¶i x¸c ®Þnh phÐp ®æi trôc täa ®é vi ph«i thÝch hîp. Theo tµi liÖu [3], nÕu nh- ®èi t-îng phi tuyÕn cã bËc t-¬ng ®èi r = n trong toµn bé kh«ng gian tr¹ng th¸i hoÆc Ýt nhÊt lµ trong tËp trï mËt víi kh«ng gian tr¹ng th¸i, th× gi÷a biÕn tr¹ng th¸i cña ®èi t-îng phi tuyÕn (1.4) vµ biÕn tr¹ng th¸i míi z cña hÖ tuyÕn tÝnh (1.11) cã quan hÖ sau: D-¬ng Hoµi Nam 8 Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c  z1   g(x)   z   L g( x )   z  m(x)   2    f        n 1  z n  L f g ( x )  (1.12) §Ó cã (1.11) ta lÊy ®¹o hµm ph-¬ng tr×nh biÕn ®æi (1.12), tõ ®ã ta cã: m(x)  • m(x) • m(x) x f (x)  h ( x )u z   x  x  x (1.13)  y  z  1 0  0z 1  Sau ®ã thÕ vector x vµo phÐp biÕn ®æi ng-îc x  1(z) sÏ thu ®-îc (1.11) tõ (1.13) nÕu ta ®Æt ®Çu vµo míi: (1.14) w = a(z) + b(z)u Khi ®ã ®èi t-îng (1.4) ®-îc tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c nhê bé §KPHTT víi ®Çu vµo theo c«ng thøc (1.14) thµnh m« h×nh tr¹ng th¸i:  0 1 •  z      0 0    0 0  y  z1  1     0 0      z w  Az  bw 1 0    0 1 (1.15 ) 0  0z  c z T Víi bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i:  u  b 1 (z) a(z)  w  L h Lnf1g(x) 1 Lnf g(x) Lh Lnf1g(x)1w  p(x)  q(x)w (1.16 ) Nh- vËy, b»ng phÐp ®æi trôc to¹ ®é(1.14) ®· ®-a hÖ phi tuyÕn (1.4) (Víi biÕn ®Çu vµo u) trë thµnh hÖ tuyÕn tÝnh trong toµn bé kh«ng gian tr¹ng th¸i (Víi biÕn ®Çu vµo míi w). Hay nãi c¸ch kh¸c bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i (1.16) lµm nhiÖm vô tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c ®-îc ®èi t-îng (1.4). S¬ ®å ®iÒu khiÓn tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c quan hÖ vµo – ra SISO ®-îc m« t¶ nh- (h×nh 1.3): D-¬ng Hoµi Nam 9 Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c  • z  A z  Bw   y  Cz HÖ vµo-ra tuyÕn tÝnh ®èi t-îng phi tuyÕn w x L1 ( x )p( x )  L1 ( x ) w dx  f ( x )  H( x )u dt x y g( x ) H×nh 1.3.TuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c vµo – ra hÖ phi tuyÕn SISO. Theo [3] , mäi ®èi t-îng SISO, khi cã bËc t-¬ng ®èi r = n ®Òu chuyÓn ®-îc vÒ d¹ng tuyÕn tÝnh (1.15) nhê bé §KPHTT (1.16). §iÒu ®Æc biÖt ë ®©y lµ d¹ng tuyÕn tÝnh (1.15) cña hÖ kÝn víi c¸c ma trËn tr¹ng th¸i vµ ma trËn ®Çu vµo nhsau: 0 1  0 0          A , b  0 0 0 1 0     0 0 0 0 1  §èi t-îng ®-îc tuyÕn tÝnh ho¸ lµ ®iÒu khiÓn ®-îc v×: 0   n  1 rank(b, Ab,, A b)  rank 0  1 0  1    0 n 1 0 0  0 0 0 (1.17) (1.18) Trong khi ®ã ta ®· xÐt vÒ kh¶ n¨ng tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c mµ ch-a cã yªu cÇu g× vÒ tÝnh ®iÒu khiÓn ®-îc cña ®èi t-îng. NhËn thÊy cã sù liªn quan gi÷a tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c vµ tÝnh ®iÒu khiÓn ®-îc tøc lµ khi r = n th× hÖ võa cã thÓ tuyÕn tÝnh ho¸ ®-îc võa cã thÓ ®iÒu khiÓn ®-îc. Tãm l¹i: >>§iÒu kiÖn tån t¹i phÐp tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c quan hÖ vµo - ra hÖ phi tuyÕn SISO lµ: D-¬ng Hoµi Nam 10 Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c Kh«ng gian tr¹ng th¸i cña ®èi t-îng cã bËc t-¬ng ®èi lµ r = n, tøc lµ:  L h Lkf g(x)  0 víi x thuéc l©n cËn x0 vµ 0  k < r - 1 (1.19)  k L h L f g(x 0 )  0 >>§Ó tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c quan hÖ vµo - ra cña hÖ phi tuyÕn SISO, ta thùc hiÖn theo c¸c b-íc sau: 1. KiÓm tra ®iÒu kiÖn tån t¹i phÐp tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c theo (1.19). 2. X¸c ®Þnh phÐp ®æi trôc täa ®é theo (1.12). 3. X¸c ®Þnh bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i theo (1.16). §Ó minh häa cho ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c ®èi t-îng phi tuyÕn SISO ta thùc hiÖn vÝ dô ë môc (1.6.1). 1.5. TuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c hÖ phi tuyÕn MIMO. 1.5.1. Vector bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu cña hÖ phi tuyÕn MIMO. T-¬ng tù nh- hÖ phi tuyÕn SISO, ®Ó x¸c ®Þnh vector bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu cho hÖ phi tuyÕn MIMO ta còng xuÊt ph¸t ®Þnh nghÜa vector bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu cho hÖ tuyÕn tÝnh MIMO. Tr-íc tiªn ta xÐt tr-êng hîp cho hÖ tuyÕn tÝnh MISO sau ®ã tæng qu¸t lªn cho hÖ tuyÕn tÝnh MIMO. >>HÖ tuyÕn tÝnh MISO. HÖ tuyÕn tÝnh MISO cã m ®Çu vµo - mét ®Çu ra: •  x  Ax  Bu (1.20)  T   yc x Trong ®ã: x  Rn , u  Rm , A  Rnxn , B  Rnxm , c  Rn. Hµm truyÒn ®¹t (biÓu diÔn quan hÖ gi÷a tÝn hiÖu ra y(t) víi tÝn hiÖu vµo ui(t)): 1 G i (s)  c (sI  A) bi  T b 0  b1s    b mi s mi a 0  a1s    a ni s ni , i  1,2,, m (1.21) Lóc nµy, hiÖu gi÷a bËc cña ®a thøc mÉu sè vµ ®a thøc bËc tö sè trong ®a thøc Gi(s) lµ : ri = ni – mi ®-îc gäi lµ bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu cña kªnh thø i (kªnh gi÷a tÝn hiÖu vµo ui vµ tÝn hiÖu ra y). T-¬ng tù nh- ®· xÐt víi ®èi t-îng tuyÕn tÝnh SISO ë môc (1.4.1), ë ®©y bËc t-¬ng ®èi bËc t-¬ng ®èi m« h×nh tuyÕn tÝnh MISO (1.20) ®-îc x¸c ®Þnh lµ c¸c sè tù nhiªn ri tho¶ m·n:  0 T c A k bi    0 D-¬ng Hoµi Nam khi 0  k  ri  2 khi k  ri 1 (1.22) 11 Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c Khi ®ã, sè nguyªn r  min ri ®-îc gäi lµ bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu cña ®èi t-îng i tuyÕn tÝnh MISO (1.20) sÏ tháa m·n:   0T c A B T  0 T k khi 0  k  ri  2 khi k  ri  1 (1.23) Dùa vµo kÕt qu¶ trªn ta chuyÓn qua ®èi t-îng tuyÕn tÝnh MIMO cã cïng sè tÝn hiÖu vµo, ra (sè tÝn hiÖu vµo = sè tÝn hiÖu ra = m) vµ n biÕn tr¹ng th¸i, ®-îc m« t¶ bëi hÖ:  • x  Ax  Bu   y  Cx (1.24) Trong ®ã: x  Rn , u  Rm , y  Rm, A  Rnxn , B  Rnxm , C  Rmxn.  c1T    C     th× ®èi Víi c¸c vector c1, c2, ... , cm lµ c¸c vector hµng cña C, tøc lµ: cT   m t-îng tuyÕn tÝnh MIMO (1.24) ®-îc chuyÓn vÒ thµnh m ®èi t-îng MISO d¹ng (1.20) nh- sau: • • •   x  Ax  Bu x  Ax  Bu x  Ax  Bu  (1.25) ,  , .... ,   T T T    y  c x y  c x y  c x m 2 1    Theo kÕt qu¶ ®· xÐt (1.22) th× mçi ®èi t-îng MISO trong (1.25) cã mét bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu lµ rj, j = 1, 2, ..., m. Lóc nµy, tËp c¸c gi¸ trÞ rj, j = 1, 2, ..., m ®-îc gäi lµ vector bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu (r1, r2, ..., rm) vµ chóng ®-îc x¸c ®Þnh tõ viÖc t×m sè tù nhiªn rj nhá nhÊt tháa m·n:   0 T c A B T  0 T j k khi 0  k  r j  2 khi k  r j  1 (1.26) Ngoµi ra, theo tµi liÖu [4] ta cßn rót ra ®-îc mét kÕt luËn quan träng, ®ã lµ: nÕu ma trËn:  c1T Ar1 1B   c1T Ar1 1 b  c1T Ar1 1 bm      L         T T T r  1 r  1 r  1 c A m B c A m b  c A m b  m m m  m   m D-¬ng Hoµi Nam (1.27) 12 Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c mµ kh«ng suy biÕn th× ta sÏ lu«n t×m ®-îc bé ®iÒu khiÓn tiÒn xö lý M vµ mét bé ®iÒu khiÓn ph¶n håi tr¹ng th¸i R (h×nh 1.4a) ®Ó ®-a ®èi t-îng MIMO ban ®Çu cã m« h×nh tr¹ng th¸i (1.20) vÒ d¹ng t¸ch thµnh m kªnh riªng biÖt (h×nh 1.4b). Tøc lµ, tÝn hiÖu ra thø j lóc nµy chØ cßn phô thuéc duy nhÊt vµo tÝn hiÖu vµo t-¬ng øng thø j. HÖ TT MIMO w1 wm  M u   y1  y1 w1 ym wm   ym x R (H1.4a) (H1.4b) H×nh 1.4. §iÒu khiÓn t¸ch kªnh cho ®èi t-îng tuyÕn tÝnh MIMO. §Õn ®©y ta chuyÓn c¸c ®iÒu kiÖn (1.26) vµ (1.27) sang cho ®èi t-îng phi tuyÕn MIMO (1.1) th×: Vector bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu (r1, r2, ..., rm) t¹i ®iÓm tr¹ng th¸i x cña ®èi t-îng lµ m sè tù nhiªn rj víi j = 1, 2, ..., m trong l©n cËn x nÕu tháa m·n ®ång thêi c¶ hai ®iÒu kiÖn sau: + Lh i Lf g j (x)  0 khi k  rj – 2, i = 1, 2, ..., m. k (1.28) + Ma trËn  L h1 Lrf1 1g1 (x) L h 2 Lrf1 1g1 (x)  L h1 Lrf2 1g 2 (x) L h 2 Lrf2 1g 2 (x)  L(x)      rm 1 rm 1 L h1 L f g m (x) L h 2 L f g m (x)  L h m Lrf1 1g1 (x)    L h m Lrf2 1g 2 (x)  (1.29)      L h m Lrfm 1g m (x) lµ kh«ng suy biÕn. Víi nh÷ng ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh vector bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu (1.28) vµ (1.29) sÏ lµ c¬ së cho phÐp ta cã thÓ tiÕn hµnh tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c cho ®èi t-îng phi tuyÕn MIMO (1.1). D-¬ng Hoµi Nam 13 Tæng quan vÒ ph-¬ng ph¸p tuyÕn tÝnh hãa chÝnh x¸c 1.5.2 .TuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c quan hÖ vµo-ra ®èi t-îng phi tuyÕn MIMO. T-¬ng tù nh- tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c ®èi t-îng phi tuyÕn SISO, môc ®Ých ta t×m bé §KPHTT sao cho hÖ kÝn trë thµnh tuyÕn tÝnh trong toµn bé kh«ng gian tr¹ng th¸i míi. Tr-íc tiªn ta ph¶i kiÓm tra ®iÒu kiÖn tån t¹i phÐp tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c. NÕu hÖ phi tuyÕn MIMO (1.1) cã vector bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu lµ (r1, r2, ..., rm) th× nã ph¶i tháa m·n: (1.30) r = r1 + r2 + ... + rm = rn VÊn ®Ò ®Æt ra tiÕp theo lµ x¸c ®Þnh phÐp ®æi trôc to¹ ®é vi ph«i z = m(x) thÝch hîp ®Ó ®-a ®èi t-îng phi tuyÕn MIMO (1.1) vÒ d¹ng tuyÕn tÝnh m« t¶ bëi (1.24). Theo [3] ®èi t-îng phi tuyÕn MIMO (1.1) víi vector bËc t-¬ng ®èi tèi thiÓu (r1, r2, ..., rm) tháa m·n c¶ ®iÒu kiÖn (1.28) vµ (1.29) ®ång thêi tháa m·n ®iÒu kiÖn cÇn (1.30) th× tån t¹i phÐp tuyÕn tÝnh ho¸ chÝnh x¸c vµ gi÷a biÕn tr¹ng th¸i cò x cña ®èi t-îng víi biÕn tr¹ng th¸i míi z cña hÖ tuyÕn tÝnh cã quan hÖ:  m11 ( x )   g1 ( x )             m1r (x )   Lrf1 1g1 ( x )   z1   1      z      m( x )         m    g (x)  z n  m (x)  1   m        mm ( x ) Lrm 1g ( x )  rm   f m  (1.31) LÊy ®¹o hµm (1.31): m(x) m(x) m z f ( x)   h i ( x )u i x  x i 1 • KÕt hîp c«ng thøc (1.28), ta cã: D-¬ng Hoµi Nam 14