Tài liệu Về tính thụ động của mạng nơ ron phân thứ

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- ĐỖ THỊ QUỲNH NGỌC VỀ TÍNH THỤ ĐỘNG CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Mai Viết Thuận TS. Nguyễn Hữu Sáu THÁI NGUYÊN - 2020 1 Mục lục Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 7 1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Bài toán nghiên cứu tính thụ động cho hệ phương trình mạng nơ ron thần kinh với bậc nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2 Tính thụ động của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ 21 2.1. Tính thụ động của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ . . . 21 2.2. Một ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 3 Tính thụ động của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ 28 3.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2. Tính thụ động của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ 30 2 LỜI NÓI ĐẦU Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988 [7, 8]. Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [8, 17]. Năm 2008, trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [3] lần đầu tiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tính chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [3, 17]. Do đó hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ đã được công bố trong những năm gần đây. Như chúng ta đã biết, tính thụ động là một trong những tính chất cơ bản và quan trọng của mọi hệ động lực và hệ phương trình vi phân phân thứ cũng không là ngoại lệ. Bài toán nghiên cứu tính thụ động của một số lớp hệ nơ ron thần kinh với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học và đã có một số kết quả thú vị và sâu sắc được công bố trên các tạp chí quốc tế có uy tín trong những năm gần đây [13, 18, 20]. Gần đây, Z. Ding cùng các cộng sự [9] nghiên cứu tính thụ động của một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ. Bằng cách tiếp cận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phân thứ và bất đẳng thức ma trận tuyến tính, các tác giả trong [9] đưa ra một vài tiêu chuẩn cho tính thụ động cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân 3 thứ. Luận văn tập trung trình bày tính thụ động cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ dựa trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp các bài báo đã được công bố trong những năm gần đây (xem [6, 9]). Ngoài ra, chúng tôi đưa ra một số tiêu chuẩn mới cho tính thụ động của lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Caputo có trễ biến thiên. Luận văn gồm có 3 chương gồm những nội dung chính như sau: Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo. Bài toán nghiên cứu tính thụ động cho một số lớp hệ phương trình mạng nơ ron có trễ với bậc nguyên cũng được chúng tôi giới thiệu trong chương này. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [10, 11, 12, 14, 19]. Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho tính thụ động của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [9]. Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa ra một ví dụ minh họa cho kết quả lý thuyết. Chương 3 là kết quả mới của luận văn. Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận và tính thụ động cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Caputo có trễ biến thiên. Điều kiện được đưa ra trong chương này không những mở rộng các kết quả đã có mà còn ít bảo thủ hơn các kết quả đã có. Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Mai Viết Thuận và TS. Nguyễn Hữu Sáu. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học của mình. Những người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng các giảng viên đã 4 tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin chân thành cảm ơn. 5 6 Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị của ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk chuẩn phổ của ma trận A, kAk = A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa là A − B ≥ 0 A>0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0 LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn )> ∈ Rn Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn AC m [a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t0 It toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe p λmax (A> A) số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α   l1 0 0    L = diag{l1 , l2 , l3 } L =  0 l2 0    0 0 l3 7 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [10, 11, 12]. 1.1. 1.1.1. Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1. ([12]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi Z t 1 α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0. 0 Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước α t0 It := I với I là toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau Định lý 1.1. ([12]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi 8 đó, tích phân α t0 It x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, α t0 It x cũng là một hàm khả tích. Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản. Ví dụ 1.1. ([12]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a. (ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có α t0 It x(t) −α =λ +∞ X j=0 1.1.2. (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > 0. Đạo hàm phân thứ Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.2. ([12]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi RL α t0 Dt x(t)  dn  n−α 1 dn := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dn dtn là đạo hàm thông thường cấp n. Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, nếu t ≥ 0 f (t) =   0, nếu t < 0. Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f (t) là RL α 0 Dt f (t) = t−α . Γ(1 − α) 9 Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau. Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b]. Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:   d }. D= dt AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b]. Mệnh đề 1.1. ([12]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và Z t 1 α (t − s)n−1 ϕ(s)ds. t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, . . . , n − 1). ck = k! Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lý 1.2. ([12]) Cho α ≥ 0, n = dαe. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) 1 (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2 Z t t0 f (n) (s)ds . (t − s)α−n+1 10 Hệ quả 1.1. ([12]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì   Z t 0 1 f (t ) f (s)ds 0 RL α + . t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.2. ([11]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] Z dn t 1 (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = Γ(n − α) dtn t0 Z Z dn t dn t λ µ n−α−1 = (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds n n Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t). Định nghĩa 1.3. ([11]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dn dxn là đạo hàm thông thường cấp n. T Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau: C α t0 Dt x(t) :=
T C α C α C α t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t) . Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ cấp α. 11 Định lý 1.3. ([12]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo α hàm phân thứ Caputo C t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có α (i) Nếu α 6∈ N thì C t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau: Z t f (n) (s)ds 1 C α D f (t) = . t0 t Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t 0 f (s)ds 1 C α . t0 Dt f (t) = Γ(1 − α) t0 (t − s)α n (ii) Nếu α = n ∈ N thì C t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t). Đặc biệt, C 0 t0 Dt f (t) = f (t). Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.3. ([11]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là C α t0 Dt [λf (t) α C α + µg(t)] = λ C t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2. Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo. Mệnh đề 1.4. ([11]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì C α t0 Dt ξ = 0. Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ. Định lý 1.4. ([12]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có C α α t0 Dt ( t0 It f (t)) = f (t). 12 Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây Định lý 1.5. ([12]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t)
= f (t) − n−1 (k) X f (t0 ) k=0 k! (t − t0 )k . Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t)
= f (t) − f (t0 ). Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville. Định lý 1.6. [12] Cho α > 0 và đặt n = dαe . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có: C α t0 Dt x(t) = RL α t0 Dt x(t) − n−1 X (t − t0 )j j=0 j! ! x(j) (t0 ) , với hầu hết t ∈ [a, b]. Định lý dưới đây có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính thụ động cho một số mạng nơ ron phân thứ. Định lý 1.7. (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas và các đồng tác giả [12]) Cho các số dương α > 0, β > 0. Giả sử rằng f (t) là một hàm liên tục. Khi đó ta có đẳng thức sau đây   β β α+β α α f (t), ∀t ≥ t0 ≥ 0. t0 It t0 It f (t) = t0 It ( t0 It f (t)) = t0 It 1.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Trong mục này chúng tôi trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo. Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ. Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. 13 Định nghĩa 1.4. [11] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi Eα (z) = +∞ X zk , Γ(αk + 1) k=0 được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số. Nhận xét 1.1. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có E1 (z) = +∞ X k=0 +∞ X zk zk = = ez . Γ(k + 1) k! k=0 Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5. [11] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi Eα,β (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + β) được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là Eα,β (A) = +∞ X k=0 Ak , ∀A ∈ Rn×n . Γ(αk + β) Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas [12]. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo sau đây    C Dα x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 , t0 t (1.1)   x(t0 ) = x0 ∈ Rn , T trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là thời điểm ban dầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x. Định nghĩa 1.6. ([22]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0. Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có thể 14 chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ (1.1) trở thành C α t0 Dt y(t) = C α t0 Dt (x(t) − x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)), (1.2) trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t). Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định tính của điểm gốc 0 của hệ. Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có điểm cân bằng là 0. Định nghĩa 1.7. ([22]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1) có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.1) được gọi là ổn định Mittag–Leffler nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn b kx(t)k ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )] , ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≤ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 . Nhận xét 1.2. ([22]) Nếu hệ (1.1) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm cận, tức là lim kx(t)k = 0. t−→+∞ Định lý dưới đây được đưa ra bởi các tác giả Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny. Định lý cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.1). Đây được xem là phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo. Định lý 1.8. ([15]) Hệ (1.1) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện: (i) (ii) α1 kx(t)ka ≤ V (t, x(t)) ≤ α2 kx(t)kab , C α t0 Dt V (t, x(t)) ≤ −α3 kx(t)kab , trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa 15 mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0 trong Rn . Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.1) là Mittag–Leffler ổn định toàn cục. Tiếp theo, chúng tôi trình bày định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ. Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ, S. Liu cùng các cộng sự [16] đã đưa ra một phiên bản mới của Định lý Razumikhin cho hệ phân thứ có trễ. Theo như sự hiểu biết của chúng tôi, đây là một trong những phương pháp quan trọng để nghiên cứu tính ổn định và một số tính chất liên quan của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ. α Định lý 1.9. [16] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ C t0 Dt x(t) = f (t, xt ), ở đó xt = x(t + θ) ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn ), −τ ≤ θ ≤ 0, f : [t0 , +∞) × C([t0 − τ, t0 ], Rn ) → Rn là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương trên [t0 , +∞), xt0 = φ ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn ) là điều kiện ban đầu. Giả sử tồn tại ba hằng số dương a1 , a2 , a3 và một hàm khả vi V : R × Rn −→ R thỏa mãn (i) a1 kxk2 ≤ V (x) ≤ a2 kxk2 , và đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V (.) thỏa mãn α 2 (ii) C t0 Dt V (x(t)) ≤ −a3 kxk khi mà V (x(t + s)) ≤ γV (x(t)), s ∈ [−τ, 0], với γ > 1 nào đó. Khi đó hệ ổn định tiệm cận. 1.3. Bài toán nghiên cứu tính thụ động cho hệ phương trình mạng nơ ron thần kinh với bậc nguyên Tính thụ động là một trong những tính chất cơ bản và quan trọng của mọi hệ động lực và hệ phương trình vi phân phân thứ cũng không là ngoại lệ. Bài toán nghiên cứu tính thụ động của một số lớp hệ nơ ron thần kinh với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học và đã có một số kết quả thú vị và sâu sắc được công bố trên các tạp chí quốc tế có uy tín trong những năm gần đây [18, 20, 13]. Trong mục này, chúng tôi chỉ 16 nhắc lại một số kết quả nghiên cứu mở đầu và quan trọng về tính thụ động của mạng nơ ron bậc nguyên. Xét hệ phương trình mạng nơ ron thần kinh có trễ:    ẋ(t) = −Ax(t) + W g(x(t)) + W1 g(x(t − τ (t))) + u(t), t ≥ 0,    y(t) = g(x(t)), t ≥ 0,      x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], (1.3) T trong đó x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ∈ Rn là véc tơ trạng thái của mạng nơ ron, A = diag{a1 , a2 , . . . , an } ∈ Rn×n là ma trận đường chéo chính, xác định dương, tức là ai > 0, (i = 1, . . . , n), W, W1 ∈ Rn×n là các ma trận hằng số, u(t) ∈ Rn là véc tơ đầu vào (input vector), y(t) ∈ Rn là véc tơ đầu ra (output vector); g(x(t)) = (g1 (x1 (t)), . . . , gn (xn (t))) ∈ Rn là hàm kích hoạt của mạng nơ ron, φ(.) ∈ C([a, b], Rn ) là điều kiện ban đầu. Hàm τ (t) là độ trễ của mạng nơ ron. Ta giả thiết độ trễ là hàm khả vi liên tục và thỏa mãn điều kiện 0 ≤ τ (t) ≤ τ, τ̇ (t) ≤ d < 1, ở đó τ là một hằng số đã biết. Các hàm kích hoạt gj (xj (t)) thỏa mãn điều kiện dưới đây gj (xj ) (gj (xj ) − kxj ) ≤ 0, j = 1, 2, . . . , n. (1.4) Định nghĩa 1.8. Hệ (1.3) được gọi là thụ động (passive) nếu tồn tại một số γ > 0 sao cho với điều kiện ban đầu bằng 0, tức là φ(t) ≡ 0, bất đẳng thức dưới đây được thỏa mãn Z tf Z T 2 y (s)u(s)ds ≥ −γ 0 tf uT (s)u(s)ds, ∀tf > 0. 0 Bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii và bất đẳng thức ma trận tuyến tính, C. Li và X. Liao [14] đưa ra một điều kiện đủ cho tính thụ động của hệ (1.3). Định lý 1.10. ([14]) Hệ (1.3) là thụ động nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương P, Q ∈ Rn×n , một ma trận đường chéo chính xác định dương D = diag{d1 , d2 , . . . , dn } và một số dương γ sao cho bất đẳng thức ma trận 17 tuyến tính dưới đây được thỏa mãn   −AP − P A P W P W1 P     ∗ M DW D − I 22 1    < 0,    ∗ ∗ −(1 − d)Q 0   ∗ ∗ ∗ −γI trong đó 1 M22 = − (DA + AD) + DW + W T D + Q. k Năm 2009, S. Xu, W.X. Zheng, Y. Zou [19] mở rộng kết quả của C. Li và X. Liao [14] cho mạng nơ ron thần kinh không chắc chắn có trễ biến thiên trong cả hai trường hợp độ trễ hoặc là hàm khả vi hoặc là hàm liên tục nhưng không khả vi.     ẋ(t) = −[A + ∆A(t)]x(t) + [W + ∆W (t)]g(x(t))       +[W1 + ∆W1 (t)]g(x(t − τ (t))) + u(t), t ≥ 0, (1.5)   y(t) = g(x(t)), t ≥ 0,        x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], T trong đó x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ∈ Rn là véc tơ trạng thái của mạng nơ ron, A = diag{a1 , a2 , . . . , an } ∈ Rn×n là ma trận đường chéo chính, xác định dương, tức là ai > 0, (i = 1, . . . , n), W, W1 ∈ Rn×n là các ma trận hằng số, u(t) ∈ Rn là véc tơ đầu vào (input vector), y(t) ∈ Rn là véc tơ đầu ra (output vector); g(x(t)) = (g1 (x1 (t)), . . . , gn (xn (t))) ∈ Rn là hàm kích hoạt của mạng nơ ron, φ(.) ∈ C([a, b], Rn ) là điều kiện ban đầu. Hàm τ (t) là độ trễ của mạng nơ ron. Để nghiên cứu tính thụ động cho hệ (1.5), S. Xu, W.X. Zheng, Y. Zou [19] cần các giả thiết sau đây: Giả thiết 1. ∆A(t) = H1 F1 (t)E1 , ∆W (t) = H2 F2 (t)E2 , ∆W1 (t) = H3 F3 (t)E3 , trong đó H1 , H2 , H3 , E1 , E2 , E3 là các ma trận hằng số cho trước có số chiều thích hợp, Fi (t) (i = 1, 2, 3) là ma trận hàm không biết nhưng thỏa mãn FiT (t)Fi (t) ≤ I, (i = 1, 2, 3). Giả thiết 2. Độ trễ τ (t) thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây: 18 Trường hợp 1: τ (t) là hàm khả vi liên tục và thỏa mãn điều kiện 0 < τ (t) ≤ τ, τ̇ (t) ≤ µ, (1.6) trong đó τ, µ là các số cho trước. Trường hợp 2: τ (t) là hàm liên tục nhưng không nhất thiết khả vi và thỏa mãn điều kiện sau đây 0 < τ (t) ≤ τ̄ , (1.7) trong đó τ̄ là hằng số dương cho trước. Giả thiết 3. Hàm kích hoạt g(.) là hàm bị chặn và thỏa mãn điều kiện dưới đây 0≤ gi (ξ1 ) − gi (ξ2 ) ≤ ki , i = 1, 2, . . . , n, ξ1 − ξ2 (1.8) với mọi ξ1 , ξ2 ∈ R, trong đó ki > 0, ∀i = 1, 2, . . . , n. Trong trường hợp độ trễ là một hàm khả vi liên tục, S. Xu, W.X. Zheng, Y. Zou [19] đưa ra một điều kiện đủ sau cho tính thụ động của hệ (1.5). Định lý 1.11. ([19]) Giả sử các Giả thiết 1, Giả thiết 3 và (1.6) được thỏa mãn. Hệ (1.5) với độ trễ τ (t) thỏa mãn điều kiện (1.6) là thụ động nếu tồn tại bốn ma trận đối xứng, xác định dương có số chiều thích hợp P, Q, R, Z, hai ma trận đường chéo chính xác định dương L, D, các ma trận đối xứng, xác định dương Yi , (i = 1, 2, 3) và các hằng số γ > 0, j > 0 (j = 1, 2, 3) sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới đây được thỏa mãn   T Φ + 1 E1 E1 P W + Y2 K P W1 Z P −τ AZ P H  1    T T ∗ Φ +  E E DW 0 D − I τ W Z DH   2 2 2 2 1     T ∗ ∗ Φ +  E E Y K 0 τ W Z 0 3 3 3 3 1   3    ∗ ∗ ∗ Φ4 0 0 0    < 0,     ∗ ∗ ∗ ∗ −γI τ Z 0       ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Z τ ZH   ∗ ∗ ∗ ∗ trong đó Φ1 = −P A − AP + R − Z + K 2 L, ∗ ∗ −Φ5 19 Φ2 = DW + W T D + Q − 2DAK −1 − 2Y2 − L, Φ3 = (1 − µ)(L − Q) − Y1 K −2 − 2Y3 , Φ4 = Y1 − (1 − µ)(R + K 2 L) − Z, Φ5 = diag{1 I, 2 I, 3 I}, h i H = H1 H2 H2 , K = diag{k1 , k2 , . . . , kn }. Trong trường hợp độ trễ là một hàm liên tục nhưng không khả vi, S. Xu, W.X. Zheng, Y. Zou [19] đưa ra tiêu chuẩn sau cho tính thụ động của hệ (1.5). Định lý 1.12. Giả sử các Giả thiết 1, Giả thiết 3 và (1.7) được thỏa mãn. Hệ (1.5) với độ trễ τ (t) thỏa mãn điều kiện (1.7) là thụ động nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P, Z, Yi (i = 1, 2, 3), một ma trận đường chéo chính xác định dương D và các số γ > 0 và i > 0, i = 1, 2, 3 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới đây được thỏa mãn  M P W + Y2 K P W1 Z P −τ̄ AZ P H  11  ∗ Φ̂ +  E T E DW1 0 D − I τ̄ W T Z DH  2 2 2 2   ∗ ∗ Φ̂3 + 3 E3T E3 Y3 K 0 τ̄ W1T Z 0    ∗ ∗ ∗ Φ̂4 0 0 0    ∗ ∗ ∗ ∗ −γI τ̄ Z 0    ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Z τ̄ ZH  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −Z ∗  −Φ5        <0        trong đó H, K và Φ5 được cho như trong Định lý 1.11 và M11 = −P A − AP − Z + 1 E1T E1 , Φ̂2 = DW + W T D − 2DAK −1 − 2Y2 , Φ̂3 = −Y1 K −2 − 2Y3 , Φ̂4 = Y1 − Z. Sau đó bài toán nghiên cứu tính thụ động cho mạng nơ ron thần kinh với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều khoa học. Nhiều kết quả về tính thụ động cho nhiều lớp hệ nơ ron thần kinh với bậc nguyên đã