Tài liệu Về tính ổn định và ổn định hóa của hệ phân thứ caputo lồi đa diện

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGÔ THỊ LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA HỆ PHÂN THỨ CAPUTO LỒI ĐA DIỆN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Mai Viết Thuận TS. Li Chenglin THÁI NGUYÊN - 2019 1 Mục lục Lời nói đầu 2 Một số ký hiệu và viết tắt 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2 Tính ổn định và ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ 16 2.1. Tính ổn định của lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 2 LỜI NÓI ĐẦU Trong vòng ba thế kỷ, lý thuyết về đạo hàm phân thứ được phát triển chủ yếu như là một lĩnh vực lý thuyết thuần tuý của toán học và chỉ hữu ích cho các nhà toán học. Tuy nhiên, một vài thập kỷ gần đây, nhiều nhà khoa học đã chỉ ra rằng đạo hàm và tích phân cấp không nguyên rất phù hợp cho sự mô tả tính chất của các vật liệu thực khác nhau và nhiều mô hình kỹ thuật khác nhau. Ngoài ra, chúng còn được tìm thấy trong kỹ thuật vật liệu, hệ thống kinh tế, hệ thống nhớt, hệ thống tài chính, phân cực điện cực [9]. Do nhiều lý do như quá trình xấp xỉ tuyến tính, mô hình không chính xác, lỗi đo lường nên các yếu tố không chắc chắn thường xuất hiện trong các hệ động lực trong thực tế. Hệ phương trình vi phân và điều khiển lồi đa diện là một trong những lớp hệ động lực thuộc lớp này. Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình vi phân lồi đa diện với bậc nguyên đã được nghiên cứu trong [17, 18, 19] bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov. Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ, đã có một số công trình quan trọng được công bố trên các tạp chí quốc tế có uy tín (xem [3, 5, 8, 10, 11, 12, 15]). Luận văn tập trung trình bày một số kết quả về tính ổn định và ổn định hóa cho một lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo lồi đa diện dựa trên việc tổng hợp và trình bày một cách có hệ thống một số bài báo được xuất bản trong những năm gần đây trên các tạp chí quốc tế có uy tín. Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung sau đây: Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung 3 chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [20, 21, 22]. Trong Chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn định và ổn định hóa của một lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ. Nội dung của chương này được dự kiến viết bằng cách tham khảo các tài liệu [3, 10]. Ngoài ra, trong chương này chúng tôi cũng trình bày 03 ví dụ số để minh họa cho các kết quả lý thuyết. Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình. Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ sự cảm ơn tới các thầy cô trong Ban giám hiệu và anh, chị, em đồng nghiệp Trường THPT Chuyên Thái Nguyên đã luôn ủng hộ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin chân thành cảm ơn. 4 Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị của ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk chuẩn phổ của ma trận A, kAk = A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa là A − B ≥ 0 A>0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0 LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn )> ∈ Rn Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r) p λmax (A> A) C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn AC m [a, b] không gian các hàm tuyệt đối liên tục cấp m trên[a, b] α t 0 It toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α 5 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [7, 20, 21, 22]. 1.1. 1.1.1. Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1. ([22]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi Z t 1 α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0. 0 Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước α t0 It := I với I là toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lý sau Định lý 1.1. ([22]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi 6 đó, tích phân α t0 It x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, α t0 It x cũng là một hàm khả tích. Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản. Ví dụ 1.1. ([22]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a. (ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có α t0 It x(t) −α =λ +∞ X j=0 1.1.2. (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > 0. Đạo hàm phân thứ Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.2. ([22]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi RL α t0 Dt x(t)  dn  n−α 1 dn := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dn dtn là đạo hàm thông thường cấp n. Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, nếu t ≥ 0 f (t) =   0, nếu t < 0. Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f (t) là RL α 0 Dt f (t) = t−α . Γ(1 − α) 7 Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau. Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b]. Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:   d }. D= dt AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b]. Mệnh đề 1.1. ([22]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và Z t 1 α (t − s)n−1 ϕ(s)ds. t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, . . . , n − 1). ck = k! Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lý 1.2. ([22]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) 1 (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2 Z t t0 f (n) (s)ds . (t − s)α−n+1 8 Hệ quả 1.1. ([22]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì   Z t 0 1 f (t ) f (s)ds 0 RL α + . t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.2. ([21]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] Z dn t 1 (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = Γ(n − α) dtn t0 Z Z dn t dn t λ µ n−α−1 = (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds n n Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t). Định nghĩa 1.3. ([21]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dn dxn là đạo hàm thông thường cấp n. T Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau: C α t0 Dt x(t) :=
T C α C α C α t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t) . Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đạo hàm Caputo phân thứ cấp α. 9 Định lý 1.3. ([22]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo α hàm phân thứ Caputo C t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có α (i) Nếu α 6∈ N thì C t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau: Z t f (n) (s)ds 1 C α D f (t) = . t0 t Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t 0 f (s)ds 1 C α . t0 Dt f (t) = Γ(1 − α) t0 (t − s)α n (ii) Nếu α = n ∈ N thì C t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t). Đặc biệt, C 0 t0 Dt f (t) = f (t). Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.3. ([21]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là C α t0 Dt [λf (t) α C α + µg(t)] = λ C t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2. Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo. Mệnh đề 1.4. ([21]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì C α t0 Dt ξ = 0. Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ. Định lý 1.4. ([22]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có C α α t0 Dt ( t0 It f (t)) = f (t). 10 Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây Định lý 1.5. ([22]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t)
= f (t) − n−1 (k) X f (t0 ) k=0 k! (t − t0 )k . Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t)
= f (t) − f (t0 ). Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau Định lý 1.6. [22] Cho α > 0 và đặt n = dαe . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có: C α t0 Dt x(t) α =RL x(t) − t0 Dt n−1 X (t − t0 )j j=0 j! ! x(j) (t0 ) , với hầu hết t ∈ [a, b]. 1.2. Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn k.k∞ được định nghĩa như sau kxk∞ := max kx(t)k, t∈[0,T ] ( trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian Rn ). Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo C α 0 Dt x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1) 11 với điều kiện ban đầu x(0) = x0 ∈ Rn , (1.2) trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn . Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và (1.2). Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân. Mệnh đề 1.5. [7] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn [0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân Z t 1 (t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ]. ϕ(t, x0 ) = x0 + Γ(α) 0 (1.3) Nhận xét 1.1. [2] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời điểm hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được ϕ(t, x0 ) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trên đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ. Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo được đảm bảo bởi các định lý sau đây: Định lý 1.7. ([7] Định lý tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và K > 0 tùy ý. Đặt G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], kx − x0 k ≤ K} và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho: kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk, ∀(t, x), (t, y) ∈ G. 12 Đặt M = sup kf (t, x)k và (t,x)∈G T∗ =    T, nếu M = 0,   min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α }, trong trường hợp còn lại. Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của bài toán (1.1) với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2). Định lý 1.8. ([2] Định lý tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L(t)kx − yk, ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý x0 ∈ Rn , bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞). 1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. Định nghĩa 1.4. [21] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi Eα (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + 1) được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số. Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có E1 (z) = +∞ X k=0 +∞ X zk zk = = ez . Γ(k + 1) k! k=0 Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5. [21] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi Eα,β (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + β) 13 được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là Eα,β (A) = +∞ X k=0 Ak , ∀A ∈ Rn×n . Γ(αk + β) Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [22]. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệ phương trình tuyến tính phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến Caputo. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo    C Dα x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 , t0 t (1.4)   x(t0 ) = x0 ∈ Rn , T trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là thời điểm ban đầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x. Định nghĩa 1.6. ([24]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0. Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thể chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ (1.4) trở thành C α t0 Dt y(t) = C α t0 Dt (x(t) − x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)), (1.5) trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t). Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định tính của điểm gốc 0 của hệ. Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có điểm cân bằng là 0. 14 Định nghĩa 1.7. ([24]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.4) được gọi là ổn định Mittag–Leffler nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn b kx(t)k ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )] , t ≥ t0 ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≥ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 . Nhận xét 1.3. ([24]) Nếu hệ (1.4) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm cận, tức là lim kx(t)k = 0. t−→+∞ Như ta đã biết, phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến. Đối với lớp hệ phân thứ Caputo không có trễ, Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny đã đưa ra phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ. Định lý 1.9. ([13]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện: α1 kx(t)ka ≤ V (t, x(t)) ≤ α2 kx(t)kab , (i) (ii) C α t0 Dt V (t, x(t)) ≤ −α3 kx(t)kab , trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0 trong Rn . Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục. Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ, S. Liu cùng các cộng sự [14] đã đưa ra một phiên bản mới của Định lý Razumikhin cho hệ phân thứ có trễ. Định lý 1.10. [14] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ C α t0 Dt x(t) = f (t, xt ), ở đó xt = x(t + θ) ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn ), −τ ≤ θ ≤ 0, f : [t0 , +∞)×C([t0 −τ, t0 ], Rn ) → Rn là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương trên [t0 , +∞), xt0 = φ ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn ) 15 là điều kiện ban đầu. Giả sử tồn tại ba hằng số dương a1 , a2 , a3 và một hàm khả vi V : R × Rn −→ R thỏa mãn (i) a1 kxk2 ≤ V (x) ≤ a2 kxk2 , và đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V (.) thỏa mãn α 2 (ii) C t0 Dt V (x(t)) ≤ −a3 kxk khi mà V (x(t + s)) ≤ γV (x(t)), s ∈ [−τ, 0], với γ > 1 nào đó. Khi đó hệ ổn định tiệm cận. 1.4. Một số bổ đề bổ trợ Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn. Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [4]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau: ±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y. Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0 nếu và chỉ nếu   X Z T Z −Y   < 0. Bổ đề 1.3. [20] Cho x(t) ∈ Rn là một hàm véc tơ khả vi liên tục, P ∈ Rn×n là ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó
1 α T Dt x (t)P x(t) ≤xT (t)P Dtα x(t), ∀α ∈ (0, 1), ∀t ≥ 0. 2 Bổ đề 1.4. ([16]) Cho Q là một ma trận đối xứng, xác định dương, một số τ > 0 và một hàm véc tơ ω : [0, τ ] −→ Rn . Khi đó ta có đánh giá sau đây Z τ T Z τ  Z τ ω(s)ds Q ω(s)ds ≤ τ ω T (s)Qω(s)ds. 0 0 0 16 Chương 2 Tính ổn định và ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ 2.1. Tính ổn định của lớp hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ Xét hệ tuyến tính phân thứ Caputo lồi đa diện có trễ hỗn hợp dưới đây  R   C Dα x(t) = A(ξ)x(t) + D(ξ)x(t − h) + W (ξ) t x(s)ds, t ≥ 0 t 0 t−τ (2.1)   x(t) = φ(t), t ∈ [−κ, 0], κ = max{h, τ }, trong đó α ∈ (0, 1], x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, các hằng số h, τ là độ trễ, φ(t) ∈ C([−κ, 0], Rn ) là hàm điều kiện ban đầu với chuẩn xác định bởi kφk = maxt∈[−κ,0] kφ(t)k. Hệ các ma trận {A(ξ), D(ξ), W (ξ)} là không biết nhưng thuộc vào đa diện Ω xác định bởi Ω = {[A, D, W ](ξ) := p X ξi [Ai , Di , Wi ], i=1 p X ξi = 1, ξi ≥ 0}, i=1 với {Ai , Di , Wi } là tập đỉnh, ở đó Ai , Di , Wi (i = 1, . . . , p) là các ma trận hằng số cho trước. Để thuận lợi cho các trình bày tiếp theo, ta đặt P (ξ) = p X ξi Pi , i=1 Γij = ATi Pj h i + Pj Ai + (1 + τ )Pj , Φij = Pj Di τ Pj Wi , 17 Σj = diag{Pj , τ Pj },    Γij Mi (Ai , Di , Wi , Pj ) =  ΦTij Pj Di τ Pj Wi   Γij  =  DiT Pj −Pj 0 ,   −Σj T 0 −τ Pj hWi Pj Φij    S 0 0   S =  0 0 0 .   0 0 0 Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của hệ (2.1). Định lý 2.1 ([10]). Hệ (2.1) ổn định tiệm cận nếu tồn tại các ma trận đối xứng, xác định dương Pi ∈ Rn×n (i = 1, . . . , p), một ma trận đối xứng, nửa xác định dương S ∈ Rn×n và một số dương  > 1 sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn Mi (Ai , Di , Wi , Pi ) < −S, i = 1, . . . , p Mi (Ai , Di , Wi , Pj ) + Mj (Aj , Dj , Wj , Pi ) < (2.2a) 2 S, p−1 (2.2b) i = 1, . . . , p − 1; j = i + 1, . . . , p. Chứng minh. Xét hàm Lyapunov dưới đây V (t, x(t)) = xT (t)P (ξ)x(t). Dễ dàng kiểm tra được Λ1 kx(t)k2 ≤ V (t, x(t)) ≤ Λ2 kx(t)k2 , (2.3) ở đó Λ1 = min {λmin (Pi )}, Λ2 = max {λmax (Pi )}. i=1,...,p i=1,...,p Do đó điều kiện (i) trong Định lý 1.10 được thỏa mãn. Sử dụng Bổ đề 1.3, ta tính được đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm V (t, x(t)) dọc theo quỹ đạo nghiệm của hệ (2.1) như sau C α 0 Dt V (t, x(t)) α ≤ 2xT (t)P (ξ) C 0 Dt x(t)   = xT (t) P (ξ)A(ξ) + AT (ξ)P (ξ) x(t) + 2xT (t)P (ξ)D(ξ)x(t − h) Z t T + 2x (t)P (ξ)W (ξ) x(s)ds. t−τ (2.4) 18 Vì V (t, x(t)) = xT (t)P (ξ)x(t) nên theo Định lý 1.10, ta giả thiết có một số thực  > 1 sao cho V (t + s, x(t + s)) < V (t, x(t)), ∀s ∈ [−κ, 0]. Sử dụng Bổ đề 1.4 kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ma trận (Bổ đề 1.1), ta thu được các đánh giá dưới đây 2xT (t)P (ξ)D(ξ)x(t − h) ≤ xT (t)P (ξ)D(ξ)P −1 (ξ)DT (ξ)P (ξ)x(t) + xT (t − h)P (ξ)x(t − h) T ≤ x (t)P (ξ)D(ξ)P −1 (2.5) T (ξ)D (ξ)P (ξ)x(t) + V (t − h, x(t − h)) ≤ xT (t)P (ξ)D(ξ)P −1 (ξ)DT (ξ)P (ξ)x(t) + xT (t)P (ξ)x(t), Z t T 2x (t)P (ξ)W (ξ) x(s)ds t−τ ≤ τ x (t)P (ξ)W (ξ)P −1 (ξ)W T (ξ)P (ξ)x(t)  Z t Z t T 1 x(s)ds x(s)ds P (ξ) + τ t−τ t−τ T ≤ τ xT (t)P (ξ)W (ξ)P −1 (ξ)W T (ξ)P (ξ)x(t) Z t + xT (s)P (ξ)x(s)ds t−τ = τ xT (t)P (ξ)W (ξ)P −1 (ξ)W T (ξ)P (ξ)x(t) Z 0 + xT (t + s)P (ξ)x(t + s)ds (2.6) −τ = τ x (t)P (ξ)W (ξ)P −1 (ξ)W T (ξ)P (ξ)x(t) Z 0 + V (t + s, x(t + s))ds T −τ T −1 T −1 ≤ τ x (t)P (ξ)W (ξ)P T Z 0 xT (t)P (ξ)x(t)ds (ξ)W (ξ)P (ξ)x(t) +  −τ = τ x (t)P (ξ)W (ξ)P T (ξ)W (ξ)P (ξ)x(t) + τ xT (t)P (ξ)x(t). Kết hợp (2.4)–(2.6), ta thu được C α 0 Dt V (t, x(t)) ≤ xT (t)Ξ(ξ)x(t), trong đó Ξ(ξ) = AT (ξ)P (ξ) + P (ξ)A(ξ) + P (ξ)D(ξ)P −1 (ξ)DT (ξ)P (ξ) (2.7) 19 + τ P (ξ)W (ξ)P −1 (ξ)W T (ξ)P (ξ) + (1 + τ )P (ξ). Theo Bổ đề 1.2, Ξ(ξ) < 0 nếu   T (ξ) P (ξ)D(ξ) τ P (ξ)W (ξ)   U (ξ) =  ∗ <0 −P (ξ) 0   ∗ ∗ −τ P (ξ) ở đó T (ξ) = AT (ξ)P (ξ) + P (ξ)A(ξ) + (1 + τ )P (ξ). Vì P (ξ) = p P ξi Pi , A(ξ) = i=1 p P ξi Ai , D(ξ) = i=1 p P ξi Di , W (ξ) = i=1 p P ξi Wi , i=1 p P ξi = i=1 1, ξi ≥ 0(i = 1, . . . , p) nên ta có U (ξ) = p X ξi2 Mi (Ai , Di , Wi , Pi ) i=1 p−1 X + p X ξi ξj [Mi (Ai , Di , Wi , Pj ) + Mj (Aj , Dj , Wj , Pi )] . i=1 j=i+1 Từ các điều kiện (2.2a) và (2.2b), ta thu được " p # p p−1 X p p−1 X p X X X X 2 2 U (ξ) ≤ − ξi2 S + ξi ξj S = − ξi2 + ξi ξj S. p − 1 p − 1 i=1 i=1 j=i+1 i=1 i=1 j=i+1 Mặt khác, từ ràng buộc (p − 1) p X ξi2 −2 i=1 ta có " − p−1 X p X i=1 j=i+1 p X i=1 ξi ξj = p−1 X p X 2 (ξi − ξj ) ≥ 0, i=1 j=i+1 # p−1 X p X 2 ξi2 + ξi ξj S < 0, p − 1 i=1 j=i+1 điều này suy ra rằng Ξ(ξ) < 0 từ các điều kiện (2.2a) và (2.2b). Từ đó suy ra C α 0 Dt V (t, x(t)) < 0. Vậy, điều kiện (ii) trong Định lý 1.10 cũng được thỏa mãn. Vậy, hệ (2.1) ổn định tiệm cận toàn cục.