Tài liệu Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ CÚC VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CHO LỚP HỆ ĐỘNG LỰC DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ CÚC VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CHO LỚP HỆ ĐỘNG LỰC DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: TS. MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN - 2017 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Mai Viết Thuận. Từ tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của tôi và tôi sẽ cố gắng phấn đấu hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, cùng các giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán của trường Đại học Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K9A (khóa 2015–2017) đã luôn động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập, nghiên cứu. Nhân dịp này, tôi cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Nguyễn Thị Cúc i Mục lục Lời cảm ơn i Mục lục ii Một số ký hiệu và viết tắt iii Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Hệ tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Hệ tuyến tính dương có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Bất đẳng thức ma trận tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương 11 2.1. Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ 17 3.1. Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Kết luận của luận văn 29 ii Tài liệu tham khảo 30 iii Một số ký hiệu và viết tắt R, R+ tập các số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian véctơ Euclide thực n−chiều kxk2 v u n uX T n chuẩn Euclide của véctơ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ R , kxk2 = t x2i i=1 kxk∞ Rn×r chuẩn vô cùng của véctơ x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Rn , kxk∞ = max |xi | i=1,...,n không gian các ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn AT ma trận chuyển vị của ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất cả các giá trị riêng của ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} q kAk chuẩn phổ của ma trận A, kAk = A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa là A − B ≥ 0 A>0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0 A0 A là một ma trận không âm A≻0 A là một ma trận dương LM Is Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities). iii λmax (AT A) Mở đầu Một hệ động lực được gọi là hệ động lực dương hoặc gọi tắt là một hệ dương nếu quỹ đạo của các véc tơ trạng thái bắt đầu từ điều kiện ban đầu đều nằm trong orthant dương với mọi điều kiện đầu vào không âm. Hệ dương xuất hiện nhiều trong lĩnh vực về khoa học và công nghệ như các quá trình sinh học, hóa học, trong các mô hình dân số, trong cơ học, kinh tế học [3], [6], [7]. Do đó việc nghiên cứu tính chất định tính của các hệ động lực dương có trễ cũng như không có trễ đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Tính ổn định theo nghĩa Lyapunov cho hệ dương được nghiên cứu trong [9], [10], [11]. Chú ý rằng tính ổn định theo nghĩa Lyapunov nghiên cứu dáng điệu của hệ động lực dương trong khoảng thời gian vô hạn. Tuy nhiên, trong các ứng dụng thực tế, ta luôn cần phải xem xét dáng điệu của véc tơ trạng thái của hệ động lực dương trong một thời gian hữu hạn, khi đó các giá trị lớn của véc tơ trạng thái là không thể chấp nhận. Một hệ dương được gọi là ổn định hữu hạn thời gian nếu khi ta đưa ra một giới hạn cho điều kiện ban đầu, véc tơ trạng thái của hệ không vượt ra khỏi ngưỡng đã giới hạn trong suốt khoảng thời gian đã cho. Những năm gần đây, đã có một vài kết quả nghiên cứu về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương. Chẳng hạn, trong [5], các tác giả đã nghiên cứu tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ tuyến tính chuyển mạch dương. Gần đây, bài toán ổn định hữu hạn và ổn định hóa được hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính chuyển mạch phân thứ được nghiên cứu trong [13]. Chú ý rằng các kết quả trên nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ chuyển mạch và sử dụng định nghĩa 1 ổn định hữu hạn thời gian đối với lớp hệ chuyển mạch. Định nghĩa này khác hoàn toàn đối với định nghĩa hữu hạn thời gian được đưa ra bởi Amato và các cộng sự [2]. Do đó việc nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian đối với hệ động lực dương bằng cách sử dụng định nghĩa của Amato và các cộng sự [2] là cần thiết và có ý nghĩa khoa học. Vì những lý do phân tích ở trên, trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ và không có trễ. Luận văn gồm có 3 chương với những nội dung chính sau: Chương 1 "Một số kiến thức chuẩn bị". Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản về hệ tuyến tính dương có trễ và không có trễ. Nội dung chính của chương này được chúng tôi tham khảo trong các tài liệu [7], [8]. Chương 2 "Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương". Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương với cách tiếp cận sử dụng bài toán quy hoạch tuyến tính và bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Chương 3 "Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ". Bằng cách sử dụng ý tưởng chọn hàm Lyapunov trong bài báo [14], chúng tôi chứng minh được một số điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ hằng số. Cuối chương, chúng tôi đưa ra hai ví dụ số minh họa cho kết quả lí thuyết. 2 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về kết quả về tính ổn định và ổn định hóa được của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [1], [7], [8]. 1.1. Hệ tuyến tính dương Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về ma trận dương, ma trận Metzler và khái niệm hệ dương. Định nghĩa 1.1 [7] Cho ma trận A ∈ Rn×m. (i) Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m được gọi là ma trận không âm nếu aij ≥ 0, ∀i = 1, . . . , n, ∀j = 1, . . . , m. Khi đó ma trận không âm A được ký hiệu là A  0. (ii) Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m được gọi là ma trận dương nếu tất cả các thành phần của ma trận A đều dương, tức là aij > 0, ∀i = 1, . . . , n, ∀j = 1, . . . , m. Khi đó ma trận dương A được ký hiệu là A ≻ 0. 3 Ngoài ra, ta ký hiệu Rn+ = {x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Rn : xi ≥ 0 (i = 1, . . . , n)}, Rn×m = {A = (aij )n×m ∈ Rn×m : aij ≥ 0 (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m)}. + Định nghĩa 1.2 Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m được gọi là ma trận Metzler nếu aij ≥ 0, ∀ i 6= j. Định lí sau cho ta mối quan hệ về tính dương của ma trận mũ và ma trận Metzler. Định lý 1.1 [7] Cho A là một ma trận vuông cấp n. Khi đó A là ma trận Metzler khi và chỉ khi eAt  0, với t > 0 nào đó.   −1 0 1     Ví dụ 1.1 Cho ma trận A =  0 2 1 .   0 0 2 Theo Định nghĩa 1.2 thì A là một ma trận Metzler. Ta tính được ma trận eAt là eAt   1 −t 1 2t −t e 0 −3e + 3e     2t = 0 e . 0   2t 0 0 e Ta thấy eAt là một ma trận không âm. Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm về hệ động lực dương. Xét hệ điều khiển tuyến tính mô tả bởi hệ phương trình vi phân ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, (1.1a) x(0) = x0 , (1.1b) y(t) = Cx(t) + Du(t), (1.1c) trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, y(t) ∈ Rp là véc tơ quan sát, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×m là các ma trận hằng số cho trước. 4 Định nghĩa 1.3 [7] Hệ (1.1a)-(1.1c) được gọi là hệ dương nếu với bất kỳ véc tơ điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn+ và mọi véc tơ đầu vào u(t) ∈ Rm + ta đều có x(t) ∈ Rn+ và y(t) ∈ Rp+ với mọi t ≥ 0. Định lí sau cho ta một điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính (1.1) là dương. Định lý 1.2 [7] Hệ điều khiển tuyến tính (1.1) là dương nếu và chỉ nếu ma p×m trận A = (aij )n×n là ma trận Metzler và B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n + + , D ∈ R+ . Chứng minh. Điều kiện đủ: Ta có công thức nghiệm của phương trình (1.1a), (1.1b) là At x(t) = e x0 + Z t eA(t−s) Bu(s) ds. (1.2) 0 Vì A ma trận Metzler nên theo Định lí 1.2, ma trận eAt ∈ Rn×n + , ∀t ≥ 0. Theo giả thiết, ta có B ∈ Rn×m , x0 ∈ Rn+ và u (t) ∈ Rm + + với ∀t ≥ 0. Do đó từ phương trình (1.2) chúng ta thu được x(t) ∈ Rn+ với ∀t ≥ 0. Ngoài ra, từ p×m phương trình (1.1c), ta có y(t) ∈ Rp+ vì x(t) ∈ Rn+ và C ∈ Rp×n + , D ∈ R+ . Điều kiện cần: Cho u (t) = 0 với ∀t ≥ 0 và x0 = ei (ei là cột thứ i của ma trận đơn vị In ). Ta thấy quỹ đạo của véc tơ trạng thái x(t) không vượt qua Rn+ chỉ khi ẋ(0) = Aei ≥ 0. Điều này suy ra aij ≥ 0 với mọi i 6= j. Suy ra A là ma trận Metzler. Từ các phương trình (1.1a), (1.1b), cho x0 = 0, ta có n×m ẋ(0) = Bu(0) ≥ 0. Vì u(0) ∈ Rm . + có thể được chọn tùy ý nên ta có B ∈ R+ Từ phương trình (1.1c) với u(0) = 0 ta có y(0) = Cx0 ≥ 0. Vì x0 ≥ 0 có p×n thể được chọn tùy ý nên suy ra C ∈ R+ . Một cách hoàn toàn tương tự, ta cho x0 = 0. Từ phương trình (1.1c) ta thu được y(0) = Du(0) ≥ 0. Lại vì u(0) ≥ 0 có thể chọn tùy ý nên ta có D ∈ Rp×m + . Hệ quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2. Hệ quả 1.1 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính 5     ẋ(t) = Ax(t), t ≥ 0, (1.3)   x(0) = x0 , Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.3) là dương nếu và chỉ nếu ma trận A là ma trận Metzler. 1.2. Hệ tuyến tính dương có trễ Xét hệ điều khiển tuyến tính đa trễ hằng số ẋ(t) = A0 x(t) + q X Ak x(t − dk ) + Bu(t), t ≥ 0, (1.4a) k=1 (1.4b) y(t) = Cx(t) + Du(t), trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, y(t) ∈ Rp là véc tơ quan sát, A0 , Ak (k = 1, . . . , q) ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×m là các ma trận hằng số cho trước. Các hằng số không âm dk (k = 1, . . . , q) là độ trễ. Hàm điều kiện ban đầu cho hệ (1.4a) là x(t) = x0 (t), t ∈ [−d, 0], d = max {dk }, 1≤k≤q (1.5) ở đó x0 (t) ∈ C([a, b], Rn ). Định nghĩa 1.4 [8] Hệ (1.4) được gọi là hệ dương nếu với bất kỳ điều kiện n ban đầu x0 (t) ∈ Rn+ và mọi véc tơ đầu vào u(t) ∈ Rm + ta đều có x(t) ∈ R+ và y(t) ∈ Rp+ với mọi t ≥ 0. Định lí sau cho ta một điều kiện cần và đủ cho tính dương của hệ (1.4). Định lý 1.3 [8] Hệ điều khiển tuyến tính (1.4) là dương nếu và chỉ nếu ma n×m trận A0 là ma trận Metzler, Ak ∈ Rn×n , C ∈ Rp×n + (k = 1, . . . , q), B ∈ R+ + và D ∈ Rp×m + . 6 Chứng minh. Điều kiện cần: Trong phương trình (1.4a) cho x0 (t) = 0, t ∈ [−d, 0] và u(t) = 0, ∀t ≥ 0 ta thu được x(t) = A0 x(t), (1.6) t ∈ [0, d]. Theo Định lí 1.2, ta có véc tơ trạng thái của hệ (1.6) là x(t) ∈ Rn+ nếu và chỉ nếu A là ma trận Metzler. Vậy, ta đã chứng minh được A là ma trận Metzler. Tiếp theo, từ phương trình (1.4a), cho u(t) = 0, t ≥ 0, x(0) = 0, x0 (−dk ) = ei , i = 1, . . . , n (ei là véc tơ cột thứ i của ma trận đơn vị In ), x(−dj ) = 0, j = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , n. Khi đó với t = 0, ta có ẋ(0) = Ak ei = Aki ∈ Rn+ , trong đó Aki là cột thứ i của ma trận Ak . Từ đó suy ra Ak ∈ Rn×n + (k = 1, . . . , q). Mặt khác, lại từ phương trình (1.4a), ta cho x0 (t) = 0, t ∈ [−d, 0]. Khi đó tại t = 0, ta có ẋ(0) = Bu(0). Vì u(0) ∈ Rm + có thể được chọn tùy ý nên ta có B ∈ Rn×m . Việc chứng minh C ∈ Rp×n và D ∈ Rp×m được thực hiện hoàn + + + toàn tương tự như Định lí 1.2. Điều kiện đủ: Với t ∈ [0, d] nghiệm của hệ phương trình vi phân (1.4a), (1.5) cho bởi công thức sau x(t) = eA0 t x0 (t) + Zt 0 eA0 (t−τ ) q X k=1 ! Ak x0 (τ − dk ) + Bu(τ ) dτ. (1.7) Theo giả thiết A0 là ma trận Metzler nên ta có eA0 t ∈ Rn×n + . Do đó, từ phương trình (1.7) ta suy ngay ra x(t) ∈ Rn+ , ∀t ∈ [0, d] vì x0 (t) ∈ Rn+ , ∀t ∈ [0, d] và p u(t) ∈ Rm + , ∀t ≥ 0. Ngoài ra, từ phương trình (1.4b) ta có y(t) ∈ R+ , t ∈ [0, d] p×n vì x(t) ∈ Rn+ theo chứng minh trên và u(t) ∈ Rm và + (∀t ≥ 0), C ∈ R+ D ∈ Rp×m theo giả thiết. Sử dụng phương pháp từng bước, ta sẽ thu được + x(t) ∈ Rn+ và y(t) ∈ Rp+ trên các đoạn [d, 2d], [2d, 3d], . . . Định lí hoàn toàn được chứng minh.  7 1.3. Bất đẳng thức ma trận tuyến tính Định nghĩa 1.5 [1] Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) là biểu thức có dạng LM I(y) = A0 + y1 A1 + ... + ym Am ≥ 0, (1.8) trong đó y = (y1 , y2 , ..., ym )T ∈ Rm , A0 , A1 , ..., Am ∈ Rn×n là các ma trận đối xứng. Các sự kiện tiêu biểu trong sự phát triển của LMI: • LMI xuất hiện đầu tiên năm 1890, khi Luapunov xuất bản các công trình về lí thuyết Lyapunov. Ông chỉ ra rằng phương trình vi phân . x(t) = Ax(t) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một ma trận P đối xứng xác định dương sao cho AT P + P A < 0. Bất đằng thức trên là một dạng đặc biệt của LMI, và có thể giải thích một cách tường minh thông qua các bất phương trình tuyến tính. • Khoảng năm 1940, Lur’e, Postnikov và nhiều nhà khoa học Liên Xô khác lần đầu tiên áp dụng các phương pháp của Lyapunov cho một số bài toán thực tế trong điều khiển máy móc, đặc biệt, bài toán ổn định của hệ điều khiển với một nhiễu phi tuyến. Các kết quả về ổn định của họ có dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính và được giải "bằng tay". Tất nhiên, các kết quả này chỉ làm được với hệ có kích cỡ nhỏ (bậc 2 hoặc 3). • Đầu thập niên 60 (thế kỉ 20), Yakubovich, Popvo, Kalman và nhiều nhà khoa học khác đưa ra một cách tiếp cận khác trong việc giải các LMI, phương pháp hình học. Kĩ thuật này cho phép giải các hệ có kích cỡ lớn hơn, tuy nhiên cũng chỉ làm được với hệ không có nhiều hơn một nhiễu phi tuyến. Cuối những năm 60, các nhà khoa học nhận thấy các LMI tương tự có thể được giải thông qua phương trình vi phân Ricatti. 8 • Những năm đầu thập niên 80 (thế kỉ 20), nhiều LMI có thể giải được bằng máy tính thông qua bài toán quy hoạch. • Những năm cuối thập niên 80 (thế kỉ 20), sự ra đời của thuật toán điểm trong cho phép giải được các LMI phát sinh trong các hệ thống có điều khiển. Năm 1984, N. Karmarkar giới thiệu một thuật toán quy hoạch tuyến tính mới, thuật toán điểm trong, cho phép giải các bài toán tuyến tính với thời gian đa thức. Các công trình của ông chủ yếu cho các bài toán toàn phương (lồi) và tuyến tính. Sau đó, năm 1988, Nesterov và Nemirovskii đã phát triển thuật toán điểm trong (thuật toán phép chiếu của Nemirovskii) và áp dụng trực tiếp để giải các bài toán lồi liên quan tới LMI. • Năm 1993, Gahinet và Nemirovskii đã phát triển một phần mềm LMILab dựa trên code FORTRAN, cho phép người sử dụng miêu tả bài toán LMI dưới dạng kí hiệu. LMI- Lab giả quyết bài toán LMI này dựa trên thuật toán phép chiếu của Nemirovskii. Sau đó, năm 1994, El Ghaoui đã phát triển một phần khác, gọi là LMI-tool được sử dụng trong Matlab. Một phiên bản khác của LMI-tool được phát triển bởi Nikoukhah và Delebecque. Ba yếu tố khiến cho kĩ thuật LMI thu hút được nhiều sự quan tâm của nhiều nhà khoa học là: 1. Có nhiều thông số thiết kế và hạn chế có thể được thể hiện qua LMI. 2. Sau khi thiết lập LMI, một bài toán có thể được giải quyết một cách chính xác thông qua các thuật toán lồi tối ưu của LMI. 3. Trong khi các bài toán cùng với nhiều hạn chế và đa mục tiêu khó khăn trong việc tìm nghiệm của các phương trình ma trận, thì vấn đề này lại dễ xử lí khi dùng kĩ thuật LMI. Điều này khiến các thiết kế dựa trên LMI là sự thay thế đầy ý nghĩa cho các phương pháp cổ điển. 9 Điều thuận lợi nhất cho các nhà kĩ thuật là có nhiều phương pháp số hiệu quả để xác định xem LMI là khả thi hay không. Tính khả thi thể hiện ở chỗ: liệu có tồn tại y sao cho LM I (y) ≥ 0, hoặc để giải quyết một vấn đề tối ưu lồi hóa với những hạn chế LMI. Nhiều vấn đề tối ưu hóa trong lí thuyết điều khiển, hệ thống nhận dạng, và xử lí tín hiệu có thể được xây dựng bằng cách sử dụng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Để kiểm tra LMI thực thi hay không, hộp công cụ LMI trong Matlab có một vai trò quan trọng. Đặc biệt, cùng với phần mềm này, các công cụ thiết kế điều khiển có thể sử dụng một cách đơn giản mà không cần phải có kiến thức nhất định về LMI hoặc thuật toán để giải LMI. 10 Chương 2 Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương 2.1. Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính:    ẋ(t) = Ax(t) t ≥ 0, (2.1)   x(0) = x0 , trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A ∈ Rn×n là các ma trận hằng số cho trước, x0 ∈ Rn là điều kiện ban đầu. Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về tính ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân tuyến tính (2.1). Định nghĩa 2.1 Cho các số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ). Hệ (2.1) được gọi là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) nếu với mọi điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn thỏa mãn kx0 k∞ ≤ c1 ta đều có kx(t)k∞ < c2 , ∀t ∈ [0, Tf ]. Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính dương và ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính (2.1). 11 Định lý 2.1 Cho A là một ma trận Metzler, các số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ). Giả sử tồn tại một véc tơ λ = (λ1 , . . . , λn )T ≻ 0 và một số dương α sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn (−αIn + A)T λ ≺ 0, (2.2a) c1 M ≤ βc2 e−αTf , (2.2b) ở đó β= min i∈{1,2,...,n} λi , M = nkλk∞ . Khi đó hệ (2.1) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ). Chứng minh. Vì A là ma trận Metzler nên theo Định lí 1.3, hệ (2.1) là một hệ dương. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh hệ (2.1) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ). Đặt (−αIn + A)T λ = −r. Khi đó r ≻ 0. Ta xét hàm không âm sau V (x(t)) = λT x(t). (2.3) Lấy đạo hàm của hàm V (x(t)) theo thời gian, ta thu được đánh giá sau V̇ (x(t)) − αV (x(t)) = −αλT x(t) + λT ẋ(t) ≤ −αλT x(t) + λT Ax(t) = λT (−αIn + A) x(t) = −rT x(t) ≤ 0. (2.4) Vậy, ta có V̇ (x(t)) ≤ αV (x(t)), ∀t ∈ [0, Tf ]. (2.5) Lấy tích phân hai vế của bất phương trình bên trên từ 0 tới t, ta có V (x(t)) ≤ V (x0 )eαt = λT x0 eαt ≤ Mkx0 k∞ eαt ≤ c1 MeαTf . 12 (2.6) Mặt khác, bằng các đánh giá đơn giản, ta thu được V (x(t)) ≥ λT x(t) ≥ βkx(t)k∞ . (2.7) Kết hợp các điều kiện (2.6), (2.7) và (2.2b), ta thu được kx(t)k∞ < c2 , ∀t ∈ [0, Tf ]. Do đó hệ (2.1) là ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ). Định lí được chứng minh hoàn toàn.  Nhận xét 2.1 Khi cố định số α, điều kiện (2.2a) là một bài toán qui hoạch tuyến tính theo λ. Điều kiện này có thể giải được bởi hộp công cụ lập trình tuyến tính tối ưu (linear programming optimal toolbox) trong tài liệu [12]. Nhận xét 2.2 Cho các số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ). Từ Định lí 2.1 và Nhận xét 2.1, ta có thủ tục sau để xét tính ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) của hệ (2.1): Bước 1. Kiểm tra xem A có là một ma trận Metzler. Bước 2. Cho trước số dương α. Ta giải bài toán qui hoạch tuyến tính (2.2a) T để tìm được véc tơ λ = (λ1 , . . . , λn ) ≻ 0. Bước 3. Tính β và M. Bước 4. Kiểm tra điều kiện (2.2b). Nếu điều kiện này thỏa mãn thì sang Bước 5. Nếu trái lại thì quay trở lại Bước 2. Bước 5. Kết luận hệ (2.1) là hệ dương và ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ). Với cách dùng chuẩn của véc tơ trạng thái x(t) là chuẩn vô cùng. Định lí 2.1 đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính (2.1) thông qua việc giải bài toán qui hoạch tuyến tính. Khi ta chọn chuẩn véc tơ trạng thái x(t) là chuẩn Euclide, định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn cho hệ tuyến tính (2.1) dưới dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính. 13