Tài liệu Về tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THÚY VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN CÓ HẠN CHẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THÚY VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HÓA CHO LỚP HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN CÓ HẠN CHẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS. MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Mở đầu iii 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương trình thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . 1.1.3. Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . 1 vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 1.2. Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương trình có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Bài toán ổn định hệ có trễ . . . . . . . . . . . 1.2.2. Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ . . 1.3. Hệ tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Hệ tuyến tính dương có trễ . . . . . . . . . . . . . . . vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 6 7 8 2 Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế 9 2.1. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính . . . . . . 9 2.2. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính với điều khiển có hạn chế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương có trễ với điều khiển có hạn chế 22 3.1. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính dương có trễ 22 3.2. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ với điều khiển có hạn chế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết luận 27 33 ii Tài liệu tham khảo 34 iii Lời nói đầu Hệ dương xuất hiện nhiều trong lĩnh vực về khoa học và công nghệ như các quá trình sinh học, hóa học, trong các mô hình dân số, trong cơ học, kinh tế học (xem [6, 9] và các tài liệu tham khảo trong đó). Nói một cách hình tượng, một hệ động lực được gọi là hệ dương nếu các vectơ trạng thái và vectơ đầu ra của hệ là không âm khi mà các điều kiện ban đầu và đầu vào là không âm. Bài toán nghiên cứu tính ổn định hóa các hệ điều khiển dương là một bài toán quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống và đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên thế giới (xem [3, 7, 9] và các tài liệu tham khảo trong đó). Mặt khác, trong nhiều bài toán thực tiễn, các đối tượng điều khiển thường sẽ bị hạn chế (ràng buộc) bởi các điều kiện do các thông số kỹ thuật phải thỏa mãn những yêu cầu khác nhau. Ví dụ, ta đòi hỏi đối tượng điều khiển là các số không âm, hoặc nằm trong một miền giới hạn cho trước nào đó. Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển dương với điều khiển có hạn chế là một bài toán cần thiết và có ý nghĩa. Bài toán này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong những năm gần đây (xem [10, 13] và các tài liệu tham khảo trong đó). Mục đích của luận văn là trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ cũng như không có trễ với điều khiển có hạn chế trên cơ sở các bài báo [9, 11] trong danh mục tài liệu tham khảo. Nội dung của luận văn gồm 3 chương: Chương 1 là chương kiến thức chuẩn bị. Mục 1.1 giới thiệu bài toán ổn định, bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường. Mục 1.2 giới thiệu bài toán ổn định và bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân có trễ. Mục 1.3 và Mục 1.4 trình bày một số khái niệm hệ dương có trễ cũng như không có trễ. Chương 2 nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với iv điều khiển có hạn chế. Ngoài ra, trong chương này, chúng tôi đưa ra 04 ví dụ số được tính toán bằng phần mềm MATLAB để minh họa cho kết quả lý thuyết. Có thể nói ngoài việc đọc hiểu và trình bày một cách chi tiết các kết quả trong bài báo [11], thì 04 ví dụ số này chính là đóng góp mới của chúng tôi trong luận văn này. Chương 3 nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ. Cũng như Chương 2, trong chương này, chúng tôi cũng đưa ra 02 ví dụ số được tính toán bằng phần mềm MATLAB để minh họa cho kết quả lý thuyết. Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Mai Viết Thuận, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã dành nhiều thời gian và tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng toàn thể các thầy cô trong và ngoài trường đã giảng dạy giúp tôi trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu của bản thân. Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K9C (khóa 2015-2017) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập . Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 9 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thúy Một số ký hiệu và chữ viết tắt R, R+ tập các số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vectơ Euclide thực n−chiều Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn AT ma trận chuyển vị của ma trận A I ma trận đơn vị A0 ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn AB nghĩa là A − B  0 A0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0 A≺0 ma trận A xác định âm A0 ma trận A xác định không âm A≥0 A là một ma trận không âm A>0 A là một ma trận dương M tập các ma trận Metzler p = {1, 2, . . . , p}, p0 = {0, 1, 2, . . . , p}, 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định và ổn định hóa được của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả về hệ tuyến tính dương và hệ tuyến tính dương có trễ. Kiến thức sử dụng trong chương này được tham khảo trong [1, 2, 5, 6, 7, 8]. 1.1. Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường 1.1.1. Bài toán ổn định Xét một hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân ẋ(t) = f (t, x(t)), t ∈ R+ , (1.1) trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, f : R+ × Rn → Rn là một hàm cho trước. Giả thiết rằng hàm f (.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mọi (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn hệ (1.1) có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t0 , x0 ) và xác định trên [t0 ; +∞). Nghiệm này được kí hiệu là x(t; t0 , x0 ). Giả sử f (t, 0) = 0, với mọi t ∈ R+ . Giả thiết này đảm bảo hệ có nghiệm tầm thường x ≡ 0. Khi đó ta có các định nghĩa sau. Định nghĩa 1.1 ([1]) • Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với mọi  > 0, t0 ≥ 0, tồn tại δ = δ(t0 , ) sao cho với nghiệm x(t; t0 , x0 ) bất kì của hệ (1.1), nếu ||x0 || < δ thì ||x(t; t0 , x0 )|| < , ∀t ≥ t0 . 2 • Nghiệm của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và với mỗi t0 ≥ 0 tồn tại δ = δ0 (t0 ) > 0 sao cho với nghiệm x(t; t0 , x0 ) bất kỳ của hệ (1.1), nếu ||x0 || < δ0 thì lim ||x(t; t0 , x0 )|| = 0. t→+∞ • Nghiệm của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các hằng số α > 0, N ≥ 1 sao cho với mọi x0 ∈ Rn , t0 ∈ R+ , nghiệm x(t; t0 , x0 ) bất kì của hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện ||x(t; t0 , x0 )|| ≤ N ||x0 ||e−α(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 . Số N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α gọi là số mũ ổn định. Ngoài ra α, N còn được gọi chung là chỉ số ổn định Lyapunov. Để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm không của hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.1) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ). Xét lớp hệ tuyến tính ôtônôm  ẋ(t) = Ax(t), t ≥ t0 (1.2) x(t ) = x 0 0 Dựa vào tính chất tập các giá trị riêng của ma trận A, Lyapunov đã đưa ra một điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của hệ (1.2). Cụ thể là hệ (1.2) là ổn định mũ khi và chỉ khi Reλj < 0 với mọi λj ∈ λ(A). Tuy nhiên, trong thực tế các hệ thống thường chứa các tham số không biết trước, chẳng hạn đối với hệ (1.2), ma trận A bị nhiễu thành A + ∆A(t), ở đó ∆A(t) = EF (t)H, với E, F là các ma trận thực cho trước có số chiều thích hợp, F (t) là ma trận không biết trước nhưng thỏa mãn F T (t)F (t) ≤ I. Vì sự phức tạp của tập phổ λ(A + ∆A(t)), Lyapunov đã đưa ra một cách tiếp cận dựa trên dạng hàm toàn phương V (x) = xT P x, trong đó P là một ma trận đối xứng, xác định dương, phương trình Lyapunov (LE) : AT P + P A = −Q có nghiệm P là ma trận đối xứng, xác định dương. Phương pháp này thường được gọi là phương pháp hàm Lyapunov. 1.1.2. Phương pháp hàm Lyapunov Ta nhắc lại khái niệm hàm Lyapunov cho hệ (1.1). Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Hàm V : R+ × Rn → R, khả vi liên tục, thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu: 3 (i) Hàm V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa ∃a ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . ∂V f (t, x(t)) ≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1). Nếu ∂x hàm V (t, x) thỏa mãn thêm các điều kiện: ∃b, c ∈ K sao cho (ii) V̇ (t, x(t)) := (iii) V (t, x) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn , (iv) V (t, x) ≤ −c(||x(t)||) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) thì V (t, x) được gọi là hàm Lyapunov chặt của hệ (1.1). Sau đây, chúng tôi nhắc lại định lý về tính ổn định của hệ (1.1). Định lý 1.1 (Xem [1]) Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định. Hơn nữa, nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận. Định lý 1.2 (Xem [1]) Giả sử hệ (1.1) có hàm Lyapunov thỏa mãn các điều kiện sau: (i) ∃λ1 , λ2 > 0 : λ1 ||x||2 ≤ V (t, x) ≤ λ2 ||x||2 , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn , (ii) ∃λ3 > 0 : V (t, x) ≤ −2λ3 V (t, x(t)) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1). Khi đó r hệ (1.1) là ổn định mũ với các chỉ số ổn định Lyapunov là λ3 và λ2 N= . λ1 1.1.3. Bài toán ổn định hóa Xét một hệ thống điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình vi phân ẋ(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, (1.3) trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển. Hàm điều khiển u(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích trên các đoạn hữu hạn [0; s], ∀s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm . Hàm R+ × Rn × Rm → Rn là hàm vectơ cho trước, thỏa mãn điều kiện f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Giả thiết rằng, với mỗi u(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích trên các đoạn hữu hạn [0, s], với mọi s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm và với mọi x0 ∈ Rn , hệ (1.3) có nghiệm duy nhất xu (t) = xu (t; x0 ) thỏa mãn điều kiện ban đầu xu (0; x0 ) = x0 và xác định trên [0; +∞). Một bài toán quan trọng khác của lý thuyết điều khiển là bài toán ổn định hóa. 4 Định nghĩa 1.3 Hệ điều khiển (1.3) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm g : Rn → Rm sao cho hệ phương trình vi phân, thường gọi là hệ đóng (closed-loop system) ẋ(t) = f (t, x(t), g(x(t))), t ≥ 0, (1.4) là ổn định tiệm cận. Hàm u(t) = g(x(t)) gọi là hàm điều khiển ngược (state feedback control). Định nghĩa 1.4 Hệ điều khiển (1.3) gọi là ổn định hóa được dạng mũ nếu tồn tại hàm g : Rn → Rm sao cho hệ phương trình vi phân (1.4) là ổn định mũ. 1.2. Bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân có trễ 1.2.1. Bài toán ổn định hệ có trễ Như chúng ta đã biết hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mối quan hệ giữa biến thời gian t, trạng thái x(t) của hệ thống và tốc độ thay đổi của trạng thái x(t) tại cùng một thời điểm t. Tuy nhiên, trong thực tế, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền. Vì vậy lớp hệ phương trình vi phân thường không miêu tả được hết các quá trình này. Do đó, để mô tả một cách chính xác các quá trình này, người ta thường miêu tả chúng bằng các phương trình vi phân có trễ. Giả sử h là một số thực không âm. Ký hiệu C = C([−h, 0], Rn ) và P C([−h, 0], Rn ) lần lượt là không gian các hàm liên tục và liên tục từng khúc trên đoạn [−h, 0], nhận giá trị trong không gian Rn và chuẩn của một phần tử φ ∈ C hoặc P C([−h, 0], Rn ) được cho bởi ||φ||C = sup−h≤θ≤0 ||φ(θ)||. Với t0 ∈ R, σ ≥ 0 và x ∈ C([t0 − h, t0 + σ], Rn ), hàm xt ∈ C, t ∈ [t0 , t0 + σ], được xác định bởi xt (s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0]. Như vậy, x(t) là đoạn quỹ đạo trên đoạn [t − h, t] của hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi ||xt || := sups∈[−h,0] ||x(t+s)||. cho D ⊂ R+ × C là một tập mở và hàm f : D → Rn . Một phương trình vi phân có trễ trên D là phương trình dạng ([5]) ẋ(t) = f (t, xt ). (1.5) Phương trình này được ký hiệu là RF DE(f ). Một hàm x được gọi là nghiệm của phương trình vi phân có trễ (1.5) trên [t0 − h, t0 + σ) nếu tồn tại t0 ∈ 5 R, σ > 0 sao cho x ∈ C([t0 − h, t0 + σ), Rn ), (t, xt ) ∈ D và x(t) thỏa mãn phương trình (1.5) với mọi t ∈ [t0 , t0 + σ). Cho trước t0 ∈ R, φ ∈ C, ta nói x(t0 , φ, f ) là một nghiệm của phương trình (1.5) với hàm điều kiện ban đầu φ tại t0 hoặc đơn giản là một nghiệm đi qua điểm (t0 , φ) nếu tồn tại một số σ > 0 sao cho x(t0 , φ, f ) là nghiệm của hệ (1.5) trên [t0 − h, t0 + σ) và xt0 (t0 , φ, f ) = φ. Khi t0 và f đã rõ, để đơn giản hơn trong cách viết, từ nay về sau ta kí hiệu x(t, φ) thay cho x(t0 , φ, f )(t). Tiếp theo chúng tôi nhắc lại các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục cho hệ (1.5). Định lý 1.3 (Định lí tồn tại nghiệm địa phương [5]) Giả sử Ω là một tập mở của R × C và f 0 ∈ C(Ω, Rn ). Nếu (t0 , φ) ∈ Ω thì tồn tại nghiệm của phương trình (RF DE(f 0 )) đi qua điểm (t0 , φ). Tổng quát hơn, nếu W ⊂ Ω là tập compact và f 0 ∈ C(Ω, Rn ) cho trước, thì tồn tại một lân cận V ⊂ Ω của W sao cho f 0 ∈ C(V, Rn ), tồn tại một lân cận U ⊂ C 0 (V, Rn ) và α > 0 sao cho với mọi (t0 , φ) ∈ W, f ∈ U , tồn tại nghiệm x(t0 , φ, f ) của phương trình RF DE(f ) đi qua điểm (t0 , φ) tồn tại trên [t0 − h, t0 + α]. Định lý 1.4 (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương [5]) Giả sử Ω là một tập mở của R × C, f : Ω → Rn liên tục và f (t, φ) là Lipschitz theo φ trong mỗi tập con compact của Ω. Nếu (t0 , φ) ∈ Ω thì tồn tại duy nhất nghiệm đi qua điểm (t0 , φ) của phương trình RF ED(f ). Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tính tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục của hệ phương trình vi phân có trễ. Định lý 1.5 ([8]) Cho f : [0; +∞) × P C([−h, 0], Rn ) → Rn thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Với bất kỳ H > 0, tồn tại M (H) > 0 sao cho ||f (t, φ)|| ≤ M (H), (t, φ) ∈ [0, +∞) × P C([−h, 0], Rn ) và ||φ||C ≤ H; (ii) Hàm f (t, φ) là hàm liên tục theo cả hai biến trên tập [0, +∞)×P C([−h, 0], Rn ); (iii) Hàm f (t, φ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại hằng số Lipschitz L(H) > 0 sao cho ||f (t, φ1 ) − f (t, φ2 )|| ≤ L(H)||φ1 − φ2 ||C , với mọi t ≥ 0, φi ∈ P C([−h, 0], Rn ), ||φi || ≤ H, i = 1, 2; 6 (iv) ||f (t, φ)|| ≤ η(||φ||C ), t ≥ 0, φ ∈ P C([−h, 0], Rn ), trong đó η(r), r ∈ [0, +∞) là hàm liên tục, không giảm và sao cho với r0 ≥ 0 bất kỳ điều kiện sau thỏa mãn Z R dr lim = +∞. R→+∞ r0 η(r) Khi đó, với t0 ≥ 0 và φ ∈ P C([−h, 0], Rn ) cho trước, hệ (1.5) có duy nhất nghiệm x(t0 , φ, f ) xác định trên đoạn [t0 − h, +∞). Trong cả luận văn này, chúng tôi giả thiết rằng hàm f (.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm (t0 , φ) ∈ R+ ×C, hệ (1.5) có nghiệm duy nhất đi qua điểm (t0 , φ) và nghiệm xác định trên [t0 , +∞). Ta cũng giả thiết f (t, 0) ≡ 0, tức là hệ (1.5) luôn có nghiệm không. Khi đó, ta cũng có các khái niệm nghiệm không của hệ (1.5) là ổn đinh, ổn định tiệm cận, ổn định mũ tương tự hệ phương trình vi phân thường. Tuy nhiên để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm không của hệ (1.5) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta sẽ nói hệ (1.5) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ). 1.2.2. Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ Xét hệ điều khiển có trễ  ẋ(t) = f (t, x , u(t)), t ≥ 0, t x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], (1.6) trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u ∈ L2 ([0, +∞), Rm ) là vectơ điều khiển, tức là hàm điều khiển thuộc lớp hàm bình phương khả tích trên [0, +∞); h ≥ 0 là hằng số trễ, φ ∈ C([0, +∞), Rn ) là hàm điều kiện ban đầu và f : R+ × (C) × Rm → Rn là hàm vectơ cho trước thỏa mãn điều kiện, f (t, 0, 0) = 0, t ≥ 0. Ta cũng giả thiết hệ điều khiển (1.6) tồn tại và duy nhất nghiệm trên [0, +∞). Định nghĩa 1.5 Hệ (1.6) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm g : Rn → Rm sao cho hệ phương trình vi phân đóng (closed-loop system) ẋ(t) = f (t, xt , g(x(t))), là ổn định tiệm cận. (1.7) 7 1.3. Hệ tuyến tính dương Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về ma trận dương, ma trận Metzler và khái niệm về hệ tuyến tính dương. Định nghĩa 1.6 ([6]) Cho ma trận A ∈ Rn×m . (i) Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m được gọi là ma trận không âm nếu aij ≥ 0, ∀i = 1, . . . , n, ∀j = 1, . . . , m. Khi đó ma trận không âm A được ký hiệu là A ≥ 0. (ii) Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m được gọi là ma trận dương nếu tất cả các thành phần của ma trận A đều dương, tức là aij > 0, ∀i = 1, . . . , n, ∀j = 1, . . . , m. Khi đó ma trận dương A được ký hiệu là A > 0. (iii) Ma trận A = (aij )n×n ∈ Rn×n được gọi là ma trận Metzler nếu aij ≥ 0, ∀i 6= j. Ngoài ra, ta ký hiệu Rn+ = {x = (x1 , . . . , xn )T ∈ Rn : xi ≥ 0 (i = 1, . . . , n)}, Rn×m = {A = (aij )n×m ∈ Rn×m : aij ≥ 0 (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m)}. + Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm về hệ tuyến tính dương. Xét hệ điều khiển tuyến tính mô tả bởi hệ phương trình vi phân ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, (1.8a) x(0) = x0 , (1.8b) y(t) = Cx(t) + Du(t), (1.8c) trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển, y(t) ∈ Rp là vectơ quan sát, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×m là các ma trận hằng số cho trước. Định nghĩa 1.7 ([6]) Hệ (1.8a)-(1.8c) được gọi là hệ dương nếu với bất kỳ vectơ điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn+ và mọi vectơ đầu vào u(t) ∈ Rm + ta đều có x(t) ∈ Rn+ và y(t) ∈ Rp+ với mọi t ≥ 0. Định lí sau cho ta một điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển tuyến tính (1.8) là dương. Định lý 1.6 ([6]) Hệ điều khiển tuyến tính (1.8) là dương nếu và chỉ nếu ma p×m trận A = (aij )n×n là ma trận Metzler và B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n + + , D ∈ R+ . 8 1.4. Hệ tuyến tính dương có trễ Xét hệ điều khiển tuyến tính đa trễ hằng số ẋ(t) = A0 x(t) + q X Ak x(t − dk ) + Bu(t), t ≥ 0, (1.9a) k=1 y(t) = Cx(t) + Du(t), (1.9b) trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển, y(t) ∈ Rp là vectơ quan sát, A0 , Ak (k = 1, . . . , q) ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×m là các ma trận hằng số cho trước. Các hằng số không âm dk (k = 1, . . . , q) là độ trễ. Hàm điều kiện ban đầu cho hệ (1.9a) là x(t) = x0 (t), t ∈ [−d, 0], d = max {dk }, 1≤k≤q (1.10) ở đó x0 (t) ∈ C([a, b], Rn ). Định nghĩa 1.8 ([7]) Hệ (1.9) được gọi là hệ dương nếu với bất kỳ điều kiện n ban đầu x0 (t) ∈ Rn+ và mọi vectơ đầu vào u(t) ∈ Rm + ta đều có x(t) ∈ R+ và y(t) ∈ Rp+ với mọi t ≥ 0. Định lí sau cho ta một điều kiện cần và đủ cho tính dương của hệ (1.9). Định lý 1.7 ([7]) Hệ điều khiển tuyến tính (1.9) là dương nếu và chỉ nếu ma n×m trận A0 là ma trận Metzler, Ak ∈ Rn×n , C ∈ Rp×n + (k = 1, . . . , q), B ∈ R+ + p×m và D ∈ R+ . 9 Chương 2 Tính ổn định hóa của lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế. Chúng tôi cũng đưa ra các ví dụ số để chứng minh cụ thể cho các kết quả được nêu trong chương. Nội dung được trình bày trong chương này dựa trên bài báo [11] trong danh mục tài liệu tham khảo. 2.1. Tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính Trước hết, ta xét hệ tuyến tính ôtônôm  ẋ(t) = Ax, t ≥ 0, x(0) = x ∈ Rn , 0 (2.1) + trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, A ∈ Rn×n là ma trận hằng số cho trước, x0 ∈ Rn là điều kiện ban đầu. Định nghĩa 2.1 Hệ (2.1) được gọi là hệ dương nếu với bất kỳ vectơ điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn+ ta đều có x(t) ∈ Rn+ với mọi t ≥ 0. Bổ đề sau được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.6. 10 Bổ đề 2.1 Hệ (2.1) là hệ dương khi và chỉ khi ma trận A là ma trận Metzler. Để thuận tiện cho việc trình bày các kết quả tiếp theo, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về tính ổn định tiệm cận cho hệ (2.1). Định nghĩa 2.2 Hệ dương (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nghiệm x(t) bất kỳ của hệ thỏa mãn lim x(t) = 0, ∀x0 ∈ Rn+ . t→+∞ Định lý sau cho ta một số tiêu chuẩn cho tính ổn định tiệm cận của hệ dương (2.1). Định lý 2.1 ([6]) Giả sử hệ (2.1) là hệ dương. Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (i) Hệ (2.1) là ổn định tiệm cận; (ii) Các giá trị riêng của ma trận A có phần thực nhỏ hơn 0 (A là ma trận Hurwitz); (iii) Các hệ số của đa thức đặc trưng WA (α) = det(αI − A) = αn + an−1 αn−1 + . . . + a1 α + a0 là dương, tức là ai > 0, ∀i = 0, 1, . . . , n − 1; (iv) Tất cả các định thức con chính của ma trận −A là dương. Định lý 2.2 Giả sử hệ (2.1) là hệ dương. Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (i) Hệ (2.1) là ổn định tiệm cận; (ii) Tồn tại vectơ λ ∈ Rn sao cho Aλ < 0, λ > 0. Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử hệ (2.1) ổn định tiệm cận. Lấy tích phân hai vế của biểu thức ẋ(t) = Ax(t) từ 0 tới +∞, ta có Z +∞ x(+∞) − x(0) = A x(t)dt. 0 Theo giả thiết hệ (2.1) là ổn định tiệm cận nên x(+∞) = 0. Vì hệ (2.1) là hệ dương nên Z +∞ −x(0) = A x(t)dt < 0. 0 11 R +∞ Đặt λ = 0 x(t)dt ∈ Rn . Vì (2.1) là hệ dương nên λ > 0. Do đó, ta có Aλ < 0 với λ > 0. (ii) ⇒ (i). Giả sử tồn tại λ ∈ Rn , λ > 0 sao cho Aλ < 0. Ta chứng tỏ hệ (2.1) ổn định tiệm cận. Trước hết, ta quan sát thấy các hệ ẋ(t) = Ax(t) (I) và ẋ(t) = Ax(t) (II) có cùng tính chất ổn định tiệm cận, tức là hệ (I) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi hệ (II) ổn định tiệm cận. Do đó để chứng minh hệ (2.1) ổn định tiệm cận, ta sẽ chứng tỏ hệ sau  ẋ(t) = AT x, (2.2) x(0) = x ∈ Rn , 0 + ổn định tiệm cận. Xét hàm Lyapunov V (x(t)) = xT (t)λ. Lấy đạo hàm của V (x(t)) theo thời gian, ta có V̇ (x(t)) = ẋT (t)λ = xT (t)Aλ < 0. Ta thấy hàm V (x(t)) thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.1. Vậy hệ (2.2) ổn định tiệm cận. Suy ra hệ (2.1) ổn định tiệm cận.  Nhận xét 2.1 Định lý 2.2 cho ta một điều kiện cần và đủ cho tính ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính dương thông qua việc giải các bất đẳng thức tuyến tính. Vì vậy ta có thể giải bài toán này bằng bài toán quy hoạch tuyến tính (Linear Programming problem). Ngoài ra, ta có thể dùng hộp công cụ LMI trong MATLAB để giải các bất đẳng thức tuyến tính có dạng như trong Định lý 2.2. Ví dụ 2.1 Xét tính ổn định tiệm cận của hệ tuyến tính dương sau:  ẋ(t) = Ax(t), t ≥ 0, x(0) = x ∈ R4 , 0 + trong đó x(t) ∈ R5 là vectơ trạng thái và ma  −1 1 0.8   2 −4 1 A=  2 0.4 −5  0.9 1 0.5 trận  0.9  0.5 . 1  −6 (2.3) 12 Ta sẽ áp dụng Định lý 2.2 để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận cho hệ (2.3). T Ta chỉ ra tồn tại một vectơ λ = (λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ) ∈ R4 , λ > 0 sao cho Aλ < 0. Dễ thấy điều kiện Aλ < 0, λ > 0 tương đương với    −λ1 + λ2 + 0.8λ3 + 0.9λ4 < 0,       2λ − 4λ2 + λ3 + 0.5λ4 < 0,   1 2λ1 + 0.4λ2 − 5λ3 + λ4 < 0,      0.9λ1 + λ2 + 0.5λ3 − 6λ4 < 0,     λ > 0, (i = 1, 2, 3, 4). i Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI trong MATLAB ta thấy các điều kiện trên được thỏa mãn với λ = (6.6103, 4.1057, 3.0686, 0.0262)T ∈ R4 . Vậy theo Định lý 2.2, hệ dương (2.3) là ổn định tiệm cận. Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hóa của hệ điều khiển tuyến tính. Xét hệ điều khiển tuyến tính sau  ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, (2.4) x(0) = x ∈ Rn , 0 + trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rp là vectơ điều khiển, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×p là các ma trận thực, hằng số cho trước. Ta sẽ đi tìm điều khiển ngược u(t) = Kx(t), với K ∈ Rp×n là ma trận sẽ được xác định để hệ đóng sau  ẋ(t) = (A + BK) x(t), t ≥ 0, (2.5) x(0) = x ∈ Rn , 0 + là dương và ổn định tiệm cận. Định lý sau cho ta một tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa của lớp hệ điều khiển tuyến tính (2.4). Định lý 2.3 ([11]) Xét hệ điều khiển tuyến tính (2.4). Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (i) Tồn tại điều khiển ngược u(t) = Kx(t), t ≥ 0 sao cho hệ đóng (2.5) là dương và ổn định tiệm cận; (ii) Tồn tại ma trận K ∈ Rp×n sao cho A + BK vừa là ma trận Metzler, vừa là ma trận Hurwitz; 13 (iii) Tồn tại n + 1 vectơ d = [d1 . . . dn ]T ∈ Rn và z1 , . . . , zn ∈ Rp sao cho Ad + B n X zi < 0 i=1 (2.6) d>0 aij dj + bi zj ≥ 0, với i 6= j, trong đó A = [aij ]và B T = [bT1 . . . bTn ]. Hơn nữa, ma trận K trong điều kiện (i) và (ii) xác định bởi: −1 K = [d−1 1 z1 . . . dn zn ]. Chứng minh. Ta thấy (i) ⇔ (ii) được suy ra ngay từ Bổ đề 2.1 và Định lý 2.1. Vì vậy ta chỉ cần chứng tỏ (ii) ⇔ (iii). Trước hết, ta chứng tỏ (iii) ⇒ (ii). Giả sử điều kiện (iii) đúng, ta đặt K = [k1 . . . kn ] với ki = di−1 zi , (i = 1, . . . , n), ki ∈ Rp . Bằng tính toán trực tiếp, ta có n X BKd = B zi . i=1 Theo điều kiện (iii), ta tính được (A + BK) d = Ad + BKd = Ad + B n X zi < 0. i=1 Vì d > 0 nên theo Định lý 2.2 ta có A + BK là ma trận Hurwitz. Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra A + BK là ma trận Metzler. Với mọi i 6= j, từ biểu thức cuối trong (2.6), ta suy ra aij + bi d−1 j zj ≥ 0. Từ đó suy ra với mọi i 6= j, ta có aij + bi dj−1 zj = aij + bi kj = (A + BK)ij ≥ 0. Do đó A + BK là ma trận Metzler. Vậy ta đã chỉ ra (iii) ⇒ (ii). Tiếp theo ta chứng tỏ (ii) ⇒ (iii). Giả sử (ii) đúng, ta chọn h i −1 −1 K = d1 z1 . . . dn zn . Bằng các tính toán trực tiếp, ta suy ngay ra (2.6).  Nhận xét 2.2 Định lý 2.3 cho ta một điều kiện cần và đủ để nghiên cứu tính ổn định hóa của hệ điều khiển tuyến tính (2.4). Ngoài ra, ta thấy điều