Tài liệu Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— LÊ THỊ NHUNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 04/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— LÊ THỊ NHUNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. MAI VIẾT THUẬN Thái Nguyên, 4/2019 1 Mục lục Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát 17 2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Tiêu chuẩn ổn định Mittag-Leffler toàn cục . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 3 Tính ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát 27 3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Tiêu chuẩn ổn định đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 LỜI NÓI ĐẦU Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988 [7]. Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [3, 8, 15]. Năm 2008, trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [3] lần đầu tiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tính chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [3, 15]. Do đó hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ đã được công bố trong những năm gần đây (xem [15, 18, 19, 27] và các tài liệu tham khảo trong đó). Như chúng ta đã biết, tính ổn định là một trong những tính chất cơ bản và quan trọng của mọi hệ động lực và hệ phương trình vi phân phân thứ cũng không là ngoại lệ. Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong những năm gần đây (xem [2, 10, 12, 14, 17] và các tài liệu tham khảo trong đó). Đối với lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ, một vài kết quả thú vị và sâu sắc đã được công bố trong những năm gần đây [20, 22, 25, 26]. Bằng cách sử dụng biến đổi Laplace và sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, H. Wang cùng các cộng sự [20] nghiên cứu tính ổn định tiệm 3 cận cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ. Trong [25], các tác giả nghiên cứu tính ổn định Mittag–Leffler đối với lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt không liên tục. Tính ổn định cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ phức được nghiên cứu trong [26]. Bằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính, các tác giả trong [27] nghiên cứu tính ổn định Mittag–Leffler của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ không có trễ với hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Gần đây, tính ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát được nghiên cứu trong [23] với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính và định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ. So với cách tiếp cận sử dụng biến đổi Laplace và tìm nghiệm của đa thức đặc trưng trong các bài báo [20, 25], cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính có ưu thế là có thể kiểm tra các điều kiện ổn định bằng phần mềm MATLAB. Ngoài ra, với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính, bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có thể giải quyết không mấy khó khăn. Luận văn tập trung trình bày tính ổn định cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp các bài báo đã được công bố trong những năm gần đây. Luận văn gồm có 3 chương. Cụ thể: Trong chương 1, tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duy nhất nghiệm. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [10, 12, 13]. Trong chương 2 của luận văn, tôi trình bày một số điều kiện đủ cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [23]. Trong chương 3 của luận văn, tôi trình bày một số điều kiện đủ cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [23] 4 Luận văn này được thực hiện tại trường ĐH Khoa Học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận.Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình. Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này. Tôi xin trân trọng cảm ơn BGH trường ĐH Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – tin cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn những người bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường ĐH Khoa Học Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin chân thành cảm ơn. 5 Danh mục ký hiệu R, R+ tập các số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị của ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk chuẩn phổ của ma trận A, kAk = A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa là A − B ≥ 0 A>0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= 0 LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn )> ∈ Rn Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r) p λmax (A> A) C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn AC m [a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t 0 It toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α 6 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [9, 10, 12, 13]. 1.1. 1.1.1. Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm tích phân lặp thông thường. Định nghĩa 1.1. ([13]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi Z t 1 α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0. 0 Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước α t0 It := I với I là toán tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với 0 < α < 1 được cho bởi định lí sau Định lí 1.1. ([13]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi 7 đó, tích phân α t0 It x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, α t0 It x cũng là một hàm khả tích. Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản. Ví dụ 1.1. ([13]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a. (ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có α t0 It x(t) −α =λ +∞ X j=0 1.1.2. (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > 0. Đạo hàm phân thứ Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Định nghĩa 1.2. ([13]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi RL α t0 Dt x(t)  dn  n−α 1 dn := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dn dtn là đạo hàm thông thường cấp n. Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, nếu t ≥ 0 f (t) =   0, nếu t < 0. Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α của hàm f (t) là RL α 0 Dt f (t) = t−α . Γ(1 − α) 8 Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau. Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f 0 (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi trên [a, b]. Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] như sau:   d }. D= dt AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n [a, b]. Mệnh đề 1.1. ([13]) Không gian AC n [a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và Z t 1 α (t − s)n−1 ϕ(s)ds. t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, . . . , n − 1). ck = k! Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville. Định lí 1.2. ([13]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn dưới dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) 1 (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2 Z t t0 f (n) (s)ds . (t − s)α−n+1 9 Hệ quả 1.1. ([13]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì   Z t 0 1 f (t ) f (s)ds 0 RL α + . t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.2. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] Z dn t 1 (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = Γ(n − α) dtn t0 Z Z dn t dn t λ µ n−α−1 = (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds n n Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t). Định nghĩa 1.3. ([12]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dn dxn là đạo hàm thông thường cấp n. T Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau: C α t0 Dt x(t) :=
T C α C α C α t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), . . . , t0 Dt xd (t) . Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân thứ cấp α. 10 Định lí 1.3. ([13]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo α hàm phân thứ Caputo C t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có α (i) Nếu α 6∈ N thì C t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau: Z t f (n) (s)ds 1 C α D f (t) = . t0 t Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t 0 f (s)ds 1 C α . t0 Dt f (t) = Γ(1 − α) t0 (t − s)α n (ii) Nếu α = n ∈ N thì C t0 Dt f (t) biểu diễn dưới dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t). Đặc biệt, C 0 t0 Dt f (t) = f (t). Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử tuyến tính. Mệnh đề 1.3. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là C α t0 Dt [λf (t) α C α + µg(t)] = λ C t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b]. Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2. Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo. Mệnh đề 1.4. ([12]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì C α t0 Dt ξ = 0. Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ. Định lí 1.4. ([13]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có C α α t0 Dt ( t0 It f (t)) = f (t). 11 Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây Định lí 1.5. ([13]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t)
= f (t) − n−1 (k) X f (t0 ) k=0 k! (t − t0 )k . Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì α C α t0 It t0 Dt f (t)
= f (t) − f (t0 ). Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau Định lí 1.6. [13] Cho α > 0 và đặt n = dαe . Với bất kì x ∈ AC n [a, b], chúng ta có: C α t0 Dt x(t) α =RL x(t) − t0 Dt n−1 X (t − t0 )j j=0 j! ! x(j) (t0 ) , với hầu hết t ∈ [a, b]. 1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn k.k∞ được định nghĩa như sau kxk∞ := max kx(t)k, t∈[0,T ] ( trong đó k.k là chuẩn Euclide trong không gian Rn ). Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo C α 0 Dt x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1) 12 với điều kiện ban đầu x(0) = x0 ∈ Rn , (1.2) trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn . Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn ) thỏa mãn (1.1) và (1.2). Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân. Mệnh đề 1.5. [9] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn [0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân Z t 1 (t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ]. ϕ(t, x0 ) = x0 + Γ(α) 0 (1.3) Nhận xét 1.1. [2] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời điểm hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được ϕ(t, x0 ) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trên đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ. Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lí sau: Định lí 1.7. ([9] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và K > 0 tùy ý. Đặt G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], kx − x0 k ≤ K} và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho: kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lkx − yk, ∀(t, x), (t, y) ∈ G. 13 Đặt M = sup kf (t, x)k và (t,x)∈G T∗ =    T, nếu M = 0,   min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α }, trong trường hợp còn lại. Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗ ], Rn ) là nghiệm của bài toán (1.1) với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2). Định lí 1.8. ([2] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L(t)kx − yk, ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý x0 ∈ Rn , bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞). 1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler. Định nghĩa 1.4. [12] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi Eα (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + 1) được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số. Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có E1 (z) = +∞ X k=0 +∞ X zk zk = = ez . Γ(k + 1) k! k=0 Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ. Định nghĩa 1.5. [12] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi Eα,β (z) = +∞ X k=0 zk , Γ(αk + β) 14 được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là Eα,β (A) = +∞ X k=0 Ak , ∀A ∈ Rn×n . Γ(αk + β) Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [13]. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệ phương trình tuyến tính phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến Caputo. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo    C Dα x(t) = f (t, x(t)), t ≥ t0 , t0 t (1.4)   x(t0 ) = x0 ∈ Rn , T trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là thời điểm ban dầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x. Định nghĩa 1.6. ([27]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0. Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thể chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x 6= 0 là một điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ (1.4) trở thành C α t0 Dt y(t) = C α t0 Dt (x(t) − x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)), (1.5) trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t). Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định tính của điểm gốc 0 của hệ. Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có điểm cân bằng là 0. 15 Định nghĩa 1.7. ([27]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.4) được gọi là ổn định Mittag–Leffler nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn b kx(t)k ≤ [m(x0 )Eα (−λ(t − t0 )α )] , ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≤ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0 . Nhận xét 1.3. ([27]) Nếu hệ (1.4) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm cận, tức là lim kx(t)k = 0. t−→+∞ Như ta đã biết, phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến. Đối với lớp hệ phân thứ Caputo không có trễ, Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny đã đưa ra phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ. Định lí 1.9. ([14]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện: α1 kx(t)ka ≤ V (t, x(t)) ≤ α2 kx(t)kab , (i) (ii) C α t0 Dt V (t, x(t)) ≤ −α3 kx(t)kab , trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0 trong Rn . Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục. Đối với lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ, Chen B.S và Chen J.J là những tác giả đầu tiên đưa ra định lý kiểu Razumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ này. α Định lí 1.10. [6] Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có trễ C t0 Dt x(t) = h(t, xt ), ở đó xt = x(t + θ) ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn ), −τ ≤ θ ≤ 0, h : [t0 , +∞) × C([t0 − τ, t0 ], Rn ) → Rn là một hàm liên tục từng khúc theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương trên [t0 , +∞), xt0 = φ ∈ C([t0 − τ, t0 ], Rn ) là điều kiện ban đầu. Giả sử rằng ω1 , ω2 : R −→ R là các hàm liên tục không giảm, 16 ωi (s), i = 1, 2 dương với s > 0 và ωi (0) = 0, i = 1, 2, ω2 là hàm tăng chặt. Nếu tồn tại hàm khả vi V : R × Rn −→ R thỏa mãn ω1 (kxk) ≤ V (t, x) ≤ ω2 (kxk), t ∈ R, x ∈ Rn và với bất kỳ t0 ∈ R cho trước, điều kiện dưới đây được thỏa mãn C α t0 Dt V (t, x(t)) < 0 khi mà supt0 −τ ≤θ≤t V (θ, x(θ)) = V (t, x(t)), ∀t ≥ 0. Khi đó hệ ổn định đều. 1.4. Một số bổ đề bổ trợ Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn. Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [4]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau: ±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y. Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0 nếu và chỉ nếu   T X Z   < 0. Z −Y Bổ đề 1.3. [10] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương và x : R+ −→ Rn là một hàm liên tục và có đạo hàm. Khi đó ta có bất đẳng thức sau đúng C α 0 Dt   α xT (t)P x(t) ≤ 2xT (t)P C 0 Dt x(t), ∀t ≥ 0. Bổ đề 1.4. [23] Giả sử rằng các ma trận Qi ∈ Rn×n (i = 0, 1, . . . , p) là các ma trận thực, đối xứng. Khi đó điều kiện η T Q0 η > 0, ∀η 6= 0 sao cho η T Qi η ≥ 0, (i = 1, 2, . . . , p) đúng nếu tồn tại các số τi ≥ 0(i = 1, 2, . . . , p) sao cho p P Q0 − τi Qi > 0. i=1 17 Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát 2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Xét hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát    C Dα x(t) = −Cx(t) + Bg(x(t)) + I, t ≥ t0 , t0 t (2.1)   x(t0 ) = x0 ∈ Rn , ở đó α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) T ∈ Rn là véc tơ trạng thái của mạng nơ ron, C = diag{c1 , c2 , . . . , cn } với ci > 0, B = (bij ) là ma trận hằng số, véc tơ I = [I1 , I2 , . . . , In ]T ∈ Rn tín hiệu đầu vào, g(x(t)) = [g1 (x1 (t)), g2 (x2 (t)), . . . , gn (xn (t))]T ∈ Rn là hàm kích hoạt của mạng nơ ron. Hàm kích hoạt được giả thiết thỏa mãn điều kiện dưới đây: Giả thiết 2.1. Hàm kích hoạt gi (.), i = 1, 2, . . . , n thỏa mãn điều kiện dưới đây ki− ≤ gi (u) − gi (v) ≤ ki+ , u−v ∀u, v ∈ R, u 6= v, (2.2) ở đó ki− , ki+ (i = 1, 2, . . . , n) là hằng số cho trước. Nhận xét 2.1. Trong Giả thiết 2.1, các hằng số ki+ và ki− có thể là số dương, số âm hoặc bằng 0. Đặc biệt, khi ki− = 0 và ki+ > 0, Giả thiết 2.1 suy ra rằng gi (.), i = 1, 2, . . . , n là các hàm đơn điệu không tăng thỏa mãn điều kiện 18 Lipschitz toàn cục. Khi ki+ > ki− > 0, ta có hàm kích hoạt thuộc lớp hàm đơn điệu tăng với đạo hàm có cận trên và cận dưới. Trong hầu hết các kết quả đã có (chẳng hạn trong [1, 27]), các hàm kích hoạt gi (.) đều thỏa mãn điều kiện |gi (u) − gi (v)| ≤ ki |u − v|, với mọi u, v ∈ R. Dưới giả thiết này, các giá trị tuyệt đối của ki+ và ki− đều bằng nhau. Như vậy, so với các điều kiện hàm kích hoạt thuộc lớp hàm đơn điệu không giảm hoặc thuộc lớp hàm liên tục Lipschitz, điều kiện (2.2) là ít bảo thủ hơn. Nhận xét 2.2. Trong [1], luận văn của Nguyễn Văn Cường đã nghiên cứu tính ổn định cho lớp mạng nơ ron phân thứ (2.2). Tuy nhiên, trong [1] mới chỉ nghiên cứu tính ổn định cho hệ (2.1) trong trường hợp hàm kích hoạt thuộc lớp hàm liên tục Lipschitz. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày tính ổn định cho hệ (2.1) trong trường hợp hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện (2.2) dựa trên việc đọc hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống bài báo [23]. Vì vậy, các nội dung chính trong luận văn này khác với kết quả trong [1]. Định nghĩa 2.1. Một ánh xạ H : Rn −→ Rn là một phép đồng phôi trên Rn nếu H là một ánh xạ liên tục, một song ánh và H −1 là một ánh xạ liên tục. Bổ đề dưới đây cho ta một điều kiện đủ để một ánh xạ là một phép đồng phôi. Bổ đề 2.1. [16] Nếu ánh xạ liên tục H : Rn −→ Rn thỏa mãn hai điều kiện dưới đây: (i) H là một đơn ánh trên Rn ; (ii) kH(x)k → ∞ khi kxk → ∞ thì H là một phép đồng phôi trên Rn . Bổ đề 2.2. [23] Nếu H là một phép đồng phôi trên Rn thì tồn tại duy nhất một điểm ω ∈ Rn sao cho H(ω) = 0. Chứng minh. Vì H là một phép đồng phôi nên H là một song ánh. Do H là một toàn ánh nên tồn tại một điểm ω ∈ Rn sao cho H(ω) = 0. Ngoài ra, vì H là một đơn ánh nên điểm ω nói trên phải là duy nhất.