Tài liệu Về tính chất cofinite và tính chất không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THÁI SƠN VỀ TÍNH CHẤT COFINITE VÀ TÍNH CHẤT KHÔNG TRIỆT TIÊU CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THÁI SƠN VỀ TÍNH CHẤT COFINITE VÀ TÍNH CHẤT KHÔNG TRIỆT TIÊU CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - 2020 Thái Nguyên, năm 2018 Lời cảm ơn Để thực hiện tốt luận văn này, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự quan tâm, giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè và gia đình. Nhân đây tôi xin được gửi lời cảm ơn. Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn quý Thầy Cô trong khoa toán trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Thái Nguyên và quý Thầy Cô của viện toán học Việt Nam đã truyền thụ và giảng dạy những kiến thức bổ ích, làm nền tảng cho tôi trong quá trình nghiên cứu luận văn này. Và hơn hết, tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến Thầy PGS.TS Nguyễn Văn Hoàng, người đã tận tình hướng dẫn, dạy bảo tôi phương pháp nghiên cứu khoa học và tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian xem xét, chỉnh sửa và đưa ra những nhận xét quý báu để luận văn của tôi được hoàn thiện. Bên cạnh sự chỉ dạy của thầy cô, tôi cũng nhận được sự quan tâm của gia đình và bạn bè. Xin chân thành cảm ơn mọi người. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi xin cam đoan mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. ii Mục lục MỞ ĐẦU 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Tập Ass, Supp của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Môđun Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Độ sâu, chiều và hệ tham số của môđun . . . . . . . . . . . 6 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Vành và môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Môđun I -cofinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Về tính chất cofinite và tính chất không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương 14 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương trên vành đầy đủ . . . . . 14 2.2 Môđun đối đồng điều địa phương trên vành địa phương Noether. 18 2.3 Môđun đối đồng điều địa phương của iđêan sinh bởi một phần hệ tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 32 iii MỞ ĐẦU Như giả thiết, vành R là vành giao hoán Noether có phần tử đơn vị khác với phần tử không. Với mỗi iđêan I của R và mỗi R-môđun M , khái niệm môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với giá I được định nghĩa bởi công thức i n HIi (M ) = lim Ext (R/I , M ). R −→ n Những kiến thức chi tiết hơn về lớp môđun đối đồng điều địa phương được trình bày trong các tài liệu [5], [7]. Trong bài báo [9], C. Huneke đã nêu câu hỏi sơ khai như sau: Cho W = {depth(Mp ) + ht(I + p)/p : I * p ∈ Supp M }. Khi đó phát biểu sau đây liệu có đúng hay không: 0 ≤ n ∈ / W nếu và chỉ nếu HIn (M ) là R-môđun hữu hạn sinh? Liên quan đến câu hỏi sơ khai này, ta có thể xem thêm trong bài báo [12]. Năm 2014, Bagheriyeh - Bahmanpour - A’zami [3] chứng minh được một kết quả tương tự cho câu hỏi đã nêu trên trong trường hợp R là một vành địa phương đầy đủ và I là iđêan cực đại của R. Năm 1969, Grothendieck đã nêu giả thuyết rằng, nếu I là một iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh, thì R-môđun HomR (R/I, HIi (M )) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0. R. Hartshorne đã xây dựng một phản ví dụ cho giả thuyết này [8]; đồng thời, ông cũng định nghĩa một môđun T là I -cofinite nếu Supp T ⊆ Var(I) và ExtiR (R/I, T ) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0, và ông cũng hỏi câu hỏi sau đây. Với những vành R và iđêan I nào thì các môđun HIi (M ) là I -cofinite với mọi i và mọi môđun hữu hạn sinh M ? Hartshorne đã chứng minh rằng, nếu I là một iđêan của vành địa phương chính quy đầy đủ R và M là R-môđun hữu hạn sinh, thì HIi (M ) là I -cofinite trong hai trường hợp sau đây: • (i) I là iđêan chính (xem [8, Hệ quả 6.3]), • (ii) I là iđêan nguyên tố với dim R/I = 1 (xem [8, Hệ quả 7.7]). Chủ đề này được tiếp tục nghiên cứu bởi nhiều tác giả khác sau đó (xem 1 [1], [4], [6], [10], [14], [20]). Trong bài báo [3], Bagheriyeh - Bahmanpour - A’zami đã chứng minh được một số kết quả mới liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương cofinite và tính triệt tiêu của một số môđun đối đồng điều địa phương. Mục đích của luận văn này là trình bày chi tiết lại những kết quả được trình bày trong bài báo [3], một số kiến thức bổ trợ ở Chương 1 được tham khảo ở các cuốn sách [5] và [15], ngoài ra một số kiến thức bổ sung cần thiết khác được dùng trong Chương 2 được tham khảo trong các tài liệu còn lại. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này nhằm trình bày một số kiến thức cơ sở nền tảng để người đọc dễ theo dõi các kiến thức được trình bày ở Chương 2. Chương này trình bày vắn tắt về tập Ass, Supp, môđun Ext, độ sâu, chiều, hệ tham số, môđun đối đồng điều địa phương, vành và môđun Cohen - Macaulay. Ta giả thiết chung ở đây rằng R là vành giao hoán Noether có đơn vị khác phần tử không. Những kiến thức ở chương này chủ yếu được tham khảo từ các cuốn sách: “Local cohomology: An algebraic introduction with geometric applications” của M. P. Brodmann - R. Y. Sharp (1998) (xem [5]) và “Commutative ring theory” của H. Matsumura (1986) (xem [15]), ngoài ra mục cuối của chương này nhắc lại một số kiến thức về tính chất cofinite của môđun (trích trong một số bài báo [18], [2], [8]). 1.1 Tập Ass, Supp của môđun Định nghĩa 1.1.1. Cho M là một R-môđun. Iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho annR (x) = p (để ý rằng, vì p 6= R nên x 6= 0). Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là AssR (M ) (hoặc Ass M ) và gọi là tập iđêan nguyên tố liên kết của M . Định nghĩa 1.1.2. Cho M là R-môđun. Tập giá của môđun M kí hiệu là Supp(M ), được xác định bởi công thức Supp M = {p ∈ Spec(R) : Mp 6= 0}. 3 Nhận xét 1.1.3. Cho I là iđêan của R. Ta đặt Var(I) = {p ∈ Spec(R) : p ⊇ I}. Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì Supp M = Var(ann(M )), trong đó ann(M ) = (0 :R M ). Rõ ràng ta có Supp(R/I) = Var(I). Mệnh đề 1.1.4. Giả sử M là R-môđun khác 0 và p là phần tử tối đại trong tập các iđêan linh hóa tử của các phần tử 0 6= x ∈ M. Khi đó p là một iđêan nguyên tố. Do đó p ∈ Ass M . Hệ quả 1.1.5. Nếu R là một vành Noether và M là một R-môđun khác 0, thì tồn tại một iđêan nguyên tố liên kết của M . Do đó trong trường hợp này Ass M 6= ∅ khi và chỉ khi M 6= 0. Hệ quả 1.1.6. Nếu R là một vành Noether và M là một R-môđun Noether khác 0. Khi đó tồn tại chuỗi các môđun con 0 = Mr ⊆ Mr−1 ⊆ . . . ⊆ M2 ⊆ M1 = M sao cho mỗi môđun thương Mi /Mi+1 đẳng cấu với R/pi trong đó pi là một iđêan nguyên tố nào đó của R. Định nghĩa 1.1.7. Cho M là R-môđun. Phần tử x ∈ R được gọi là ước của không của M nếu tồn tại 0 6= m ∈ M sao cho xm = 0. Tập tất cả các ước của không của M được kí hiệu là ZdvR (M ). Mệnh đề 1.1.8. Cho R là vành Noether, M là một R-môđun khác 0. Khi đó tập các ước không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M . Nói cách khác, ta có [ ZdvR (M ) = p. p∈Ass M Mệnh đề 1.1.9. Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh, N là một R-môđun bất kì. Khi đó AssR (HomR (M, N )) = Ass(N ) ∩ Supp(M ). 4 1.2 Môđun Ext Định nghĩa 1.2.1 (Môđun mở rộng). Cho n là số tự nhiên và M, N là các R-môđun. Hàm dẫn xuất phải thứ n của hàm tử hiệp biến HomR (M, −) được gọi là hàm tử mở rộng thứ n, kí hiệu ExtnR (M, −). Khi đó ExtnR (M, N ) được gọi là môđun mở rộng thứ n của M và N . Cụ thể hơn, môđun mở rộng ExtnR (M, N ) được xác định bằng cách như sau: Lấy α u u u 0 → N → E0 →0 E1 →1 E2 →2 . . . là một giải nội xạ của R-môđun N . Tác động hàm tử HomR (M, −) vào dãy khớp trên ta được đối phức u∗0 u∗1 u∗2 0 → HomR (M, E0 ) → HomR (M, E1 ) → HomR (M, E2 ) → ... Khi đó, với n ≥ 1, ta đặt ExtnR (M, N ) = Ker u∗n / Im u∗n−1 . Đặc biệt, do HomR (M, −) là hàm tử khớp trái, nên ta có Ext0R (M, N ) = Ker u∗0 /0 ∼ = HomR (M, N ). Nhận xét 1.2.2. (i) Việc xây dựng môđun Ext không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của N . (ii) Môđun ExtnR (M, N ) có thể được xây dựng theo hai cách: nó vừa là môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử hiệp biến HomR (M, −) ứng với môđun N , vừa là môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử phản biến HomR (−, N ) ứng với môđun M . Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Ext. Hệ quả 1.2.3. Cho P là R-môđun xạ ảnh và E là R-môđun nội xạ. Khi đó ExtnR (M, E) = 0 và ExtnR (P, M ) = 0 với mọi R-môđun M và mọi số tự nhiên n ≥ 1. Mệnh đề 1.2.4. (i) Nếu M và N là các R-môđun hữu hạn sinh thì ExtnR (M, N ) cũng là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0. (ii) Cho dãy khớp ngắn 0 → N 0 → N → N 00 → 0. Khi đó với mỗi n ≥ 0, 0 tồn tại các đồng cấu nối ExtnR (M, N 00 ) → Extn+1 R (M, N ) sao cho ta có dãy khớp dài cảm sinh: 0 → Hom(M, N 0 ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N 00 ) → Ext1R (M, N 0 ) 5 → Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N 00 ) → Ext2R (M, N 0 ) → ... (iii) Cho dãy khớp ngắn 0 → N 0 → N → N 00 → 0. Khi đó với mỗi n ≥ 0, 00 tồn tại các đồng cấu nối ExtnR (N 0 , M ) → Extn+1 R (N , M ) sao cho ta có dãy khớp dài cảm sinh 0 → Hom(N 00 , M ) → Hom(N, M ) → Hom(N 0 , M ) → Ext1R (N 00 , M ) → Ext1R (N, M ) → Ext1R (N 0 , M ) → Ext2R (N 00 , M ) → ... 1.3 Độ sâu, chiều và hệ tham số của môđun Định nghĩa 1.3.1. Chiều Krull của một vành R là cận trên đúng của tất cả độ dài của các xích của các iđêan nguyên tố trong R, chiều Krull của R được kí hiệu là dim R. Định nghĩa 1.3.2. Cho p là iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó dim Rp được gọi là độ cao của p, kí hiệu bởi ht(p). Số dim(R/p) được gọi đối độ cao của p, kí hiệu là Coht(p). Với iđêan I của R thì độ cao của I được xác định bởi ht(I) = inf {ht(p)}, còn đối độ cao của I là Coht(I) = sup{Coht(p)}. p⊇I p⊇I Định nghĩa 1.3.3. Cho M là một R-môđun. Khi đó chiều Krull của M được kí hiệu là dim M , được xác định bởi dim M = dim(R/ ann M ) nếu M 6= 0, và nếu M = 0 thì ta quy ước dim M = −1. Định lý 1.3.4. Một vành R là một vành Artin khi và chỉ khi R là một vành Noether có chiều Krull dim R = 0. Định lý 1.3.5. Cho M là một R-môđun khác không và hữu hạn sinh trên vành Noether R. Khi đó M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi chiều Krull dim(R/ ann M ) = 0. Định nghĩa 1.3.6. Cho (R,m) là một vành địa phương Noether với iđêan cực đại m, và M là một R-môđun hữu hạn sinh và khác không. Chiều Chevalley, kí hiệu s(M ) của M , là số nhỏ nhất r sao cho tồn tại a1 , a2 , . . . , ar ∈ m để `R (M/(a1 , a2 , . . . , ar )M ) < ∞. Nếu M là môđun không, thì người ta quy ước s(M ) = −1. Định lý 1.3.7. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh trên một vành địa phương Noether R. Khi đó, ta có dim M = s(M ). 6 Định nghĩa 1.3.8. Cho (R, m) là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m, M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d > 0. (i) Một hệ gồm d phần tử x = (x1 , . . . , xd ) của m được gọi là hệ tham số của M nếu `(M/(x1 , . . . , xd )M ) < ∞. (ii) Iđêan sinh bởi một hệ tham số gọi là iđêan tham số. (iii) Nếu x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của môđun M thì hệ các phần tử x1 , . . . , xi được gọi là một phần của hệ tham số với mọi i = 1, . . . , d − 1. Sau đây là một số tính chất cơ bản của hệ tham số dùng trong luận văn. Mệnh đề 1.3.9. (i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của một môđun M cũng là một hệ tham số của M . (ii) Nếu x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của một môđun M thì dim M/(x1 , . . . , xi )M = d − i,với mọi i = 1, . . . , d. (iii) x = (x1 , . . . , xd ) là một hệ tham số của một môđun M khi và chỉ khi xi ∈ / p với mọi p ∈ Ass(M/(xi , . . . , xi−1 )M ) mà dim R/p = d − i + 1 với mọi i = 1, . . . , d. 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương Với mỗi môđun con N của R-môđun M , ta đặt (N :M I) = {m ∈ M | Im ⊆ N }. Dễ thấy, (N :M I) là một môđun con của M và N ⊆ (N :M I). Mệnh đề 1.4.1. Cho I, J là các iđêan của R thỏa mãn I ⊆ J . Khi đó (N :M J) ⊆ (N :M I). Chứng minh. Lấy m ∈ (N :M J) bất kì. Khi đó, Jm ⊆ N , suy ra Im ⊆ N , hay m ∈ (N :M I). Trường hợp đặc biệt khi N là môđun không. Từ mệnh đề trên ta có Định nghĩa 1.4.2. Cho M là R-môđun, I là iđêan của R. Khi đó ΓI (M ) = ∪n∈N (0 :M I n ) = {m ∈ M | ∃n ∈ N để I n m = 0} 7 là một môđun con của M và được gọi là môđun con I -xoắn của M . Trong phần còn lại của mục này ta luôn giả thiết I là iđêan của vành giao hoán Noether R. Định nghĩa 1.4.3. Cho M là một R-môđun và d0 η d2 d2 C : 0 → M −→ E0 −→ E1 −→ E2 −→ . . . là một dải nội xạ của M . Khi đó ta phức ΓI (d0 ) ΓI (d1 ) ΓI (d2 ) ΓI (C) : 0 → ΓI (E0 ) −→ ΓI (E1 ) −→ ΓI (E2 ) −→ . . . Đặt HIn (M ) = H n (ΓI (C)) = Ker ΓI (dn )/ Im ΓI (dn−1 ). Lúc này ta gọi HIn (M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ n của M ứng với I . Tiếp theo, ta sẽ đưa ra điều kiện để nhận biết khi nào môđun đối đồng điều địa phương bị triệt tiêu. Trước hết ta cần một số khái niệm sau. Định nghĩa 1.4.4. Cho M là R-môđun và I là iđêan của R. Khi đó, ta nói M là môđun I -xoắn nếu M = ΓI (M ). Mệnh đề 1.4.5. Các mệnh đề sau là đúng. (i) Nếu M là R-môđun thì ΓI (M ) là môđun I -xoắn. (ii) Môđun con và ảnh đồng cấu của môđun I -xoắn cũng là môđun I -xoắn. (iii) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì M là I -xoắn khi và chỉ khi tồn tại n ∈ N sao cho I n M = 0. Chứng minh. (i) Lấy m ∈ ΓI (M ). Khi đó tồn tại n ∈ N sao cho I n m = 0. Suy ra m ∈ (0 :ΓI (M ) I n ). Do đó m ∈ ΓI (ΓI (M )). Do đó ΓI (M ) ⊆ ΓI (ΓI (M )). (ii) Với mọi môđun con N của M ta có ΓI (N ) = N ∩ ΓI (M ). Vì M là I xoắn nên N là I -xoắn. Giả sử f : M −→ N là đồng cấu của các R-môđun, không mất tính tổng quát, ta giả sử f là toàn cấu. Ta có với mọi y ∈ N tồn tại m ∈ M sao cho y = f (m), vì M là I -xoắn nên tồn tại n ∈ N để I n m = 0, suy ra I n y = I n f (m) = f (I n m) = f (0) = 0. Suy ra y ∈ ΓI (N ). 8 (iii) Vì R là vành Noether mà M là hữu hạn sinh trên R, nên M là môđun Noether. Do đó dãy tăng (0 :M I) ⊆ (0 : M I 2 ) ⊆ . . . phải dừng, tức là tồn tại n để (0 :M I n ) = (0 :M I n+i ) với mọi i ≥ 1. Khi đó M = (0 :M I n ), tức là I n M = 0. Mệnh đề 1.4.6. Cho I là iđêan của vành Noether R và M là R-môđun. Khi đó HIn (M ) là I -xoắn với mọi n ∈ N. Chứng minh. Từ định nghĩa của môđun đối đồng điều địa phương. Ta có: HIn (M ) = Ker dn / Im(ΓI (dn−1 )) ⊆ ΓI (E n )/ Im(ΓI (dn−1 )). Áp dụng mệnh đề (1.4.5) ta được điều phải chứng minh. Định lý 1.4.7. I là iđêan của vành Noether R và M là R-môđun I -xoắn. Khi đó HIn (M ) = 0 với mọi n ≥ 1. Chứng minh. Vì M có lời giải nội xạ gồm các môđun I -xoắn. Áp dụng Mệnh đề (1.4.6), với n > 0 ta có HIn (M ) = Ker(ΓI (dn ))/ΓI (Im(dn−1 )) = Ker dn / Im dn−1 = 0. Hệ quả 1.4.8. Cho I là iđêan của vành Noether R và M là R-môđun và N ⊆ M là môđun con I -xoắn. Đặt p : M −→ M/N là phép chiếu chính tắc. Khi đó (i) HI0 (p) : HI0 (M ) −→ HI0 (M/N ) là toàn cấu. (ii) HIn (p) : HIn (M ) −→ HIn (M/N ) là đẳng cấu với mọi n ≥ 1. p Chứng minh. Xét dãy khớp 0 −→ N −→ M −→ M/N −→ 0. Ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương H 0 (p) I 0 → HI0 (N ) −→ HI0 (M ) −→ HI0 (M/N ) H 1 (p) δ I → HI1 (N ) −→ HI1 (M ) −→ HI1 (M/N ) → . . . HIn−1 (M/N ) δ → HIn (N ) −→ HIn (p) n HI (M ) −→ HIn (M/N ) −→ Áp dụng Định lí 1.4.7 ta có HIn (N ) = 0 với mọi n > 0. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 1.4.9. Cho I là iđêan của R và M là R-môđun. Đặt M = M/ΓI (M ). Khi đó HI0 (M ) = 0 và HIn (M ) ∼ = HIn (M ) với mọi n ≥ 1. 9 Chứng minh. Vì ΓI (M ) là I -xoắn nên HIn (ΓI (M )) = 0 với mọi n ≥ 1. Lập luận tương tự Hệ quả 1.4.8 ta được điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.4.10. ΓI (M ) = 0 khi và chỉ khi AssR (M ) ∩ Var(I) = ∅. Chứng minh. Xét p ∈ AssR (M ) bất kì, khi đó tồn tại 0 6= m ∈ M sao cho p = ann(m). Mặt khác, vì ΓI (M ) = 0 nên I n m 6= 0 với mọi n ∈ N. Suy ra I * p hay p ∈ / Var(I). Do đó AssR M ∩ Var(I) = ∅. p Ngược lại, giả sử tồn tại 0 6= m ∈ ΓI (M ). Suy ra I ⊆ annR (m), nên tồn tại p ∈ AssR (Rm) sao cho I ⊆ p. Vậy ta có p ∈ AssR (M ) ∩ Var(I) và do đó AssR (M ) ∩ Var(I) 6= ∅. Mệnh đề 1.4.11. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó i) AssR (ΓI (M )) = AssR (M ) ∩ Var(I) ii) AssR (M/ΓI (M )) = AssR (M ) \ Var(I). Chứng minh. (i) Lấy p ∈ AssR (ΓI (M )). Vì ΓI (M ) là môđun con của M nên p ∈ AssR (M ). Vì M là Noether nên tồn tại n ∈ N sao cho I n ΓI (M ) = 0. Suy ra I n ⊆ annR (ΓI (M )) ⊆ p. Do đó I ⊆ p, vì thế p ∈ Var(I). Ngược lại, lấy p ∈ AssR (M ) ∩ Var(I). Khi đó có 0 6= m ∈ M để p = annR (m). Vì p ⊇ I , nên Im = 0. Do đó m ∈ ΓI (M ). Vì thế p ∈ AssR (ΓI (M )). (ii) Lấy p ∈ AssR (M ). Ta có p ∈ Ass(ΓI (M )) ∪ Ass(M/ΓI (M )). Nếu p∈ / Var(I), thì p ∈ / Ass(ΓI (M )). Do đó p ∈ AssR (M/ΓI (M )). Ngược lại, lấy p ∈ AssR (M/ΓI (M )). Vì ΓI (M/ΓI (M )) = 0 nên Ass(M/ΓI (M )) ∩ Var(I) = ∅. Suy ra I * q với mọi q ∈ Ass(M/ΓI (M )). Đặc biệt, ta cũng suy ra I * p. Do đó I * ∪q∈AssR (M/ΓI (M )) q, nên tồn tại x ∈ I mà x không là ước của không của M/ΓI (M ). Lấy m ∈ M sao cho p = annR (m + ΓI (M )). Suy ra pm ⊆ ΓI (M ). Vì M là Noether, nên tồn tại n ∈ N để I n ΓI (M ) = 0. Suy ra rằng p(Rxn m) = xn pm ⊆ I n ΓI (M ) = 0, vì vậy p ⊆ (0 :R R(xn m)). Ngược lại, lấy a ∈ (0 :R R(xn m). Suy ra aR(xn m) = a(xn m) = 0 ∈ ΓI (M ), vì vậy axn (m + ΓI (M )) = 0. Do đó axn ∈ annR (m + ΓI (M )) = p. Vì x ∈ / p, nên a ∈ p. Do vậy n (0 :R R(x m) = p, vì thế p ∈ AssR (M ). Ta thấy p ∈ / Var(I). Vậy p ∈ AssR (M ) \ Var(I). Định nghĩa 1.4.12. Cho M là R-môđun. Một phần tử x ∈ R được gọi là M -chính quy nếu xm 6= 0 với mọi 0 6= m ∈ M . Một dãy các phần tử 10 x1 , . . . , xr ∈ R được gọi là một M -dãy chính quy (hay M -dãy) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: (i) xi là phần tử M/(x1 , . . . , xi−1 M )-chính quy, với mọi i = 1, . . . , r, và (ii) M/(x1 , . . . , xn )M 6= 0. Chú ý 1.4.13. x1 , . . . , xr ∈ R là M -dãy chính quy nếu và chỉ nếu M/(x1 , . . . , xr )M 6= 0 và xi ∈ / p với mọi p ∈ AssR (M/(x1 , . . . , xi−1 )M ). Định lý 1.4.14. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh, r ∈ N. Khi đó các điều kiện sau tương đương: (i) Tồn tại M -dãy x1 , . . . , xr ∈ I . (ii) HIi (M ) = 0 với mọi i < r. Chứng minh. (i) => (ii) Ta chứng minh quy nạp theo r. Vì x1 không là ước của không của M , nên ta suy ra Γ(x1 ) (M ) = ∪n∈N (0 : (x1 )n ) = 0. Mặt M khác HI0 (M ) = ΓI (M ) ⊆ Γ(x1 ) (M ). Suy ra HI0 (M ) = 0. Vậy khẳng định đúng với r = 1. Xét r > 1, khi đó vì x1 , . . . , xr−1 ∈ I là một M -dãy. Nên theo giả thiết quy nạp HIi (M ) = 0 với mọi i < r − 1. Ta chỉ cần chứng minh HIr−1 (M ) = 0. Vì vậy, từ dãy khớp x 0 → M →1 M → M/x1 M → 0 ta có dãy khớp x HIr−2 (M/x1 M ) → HIr−1 (M ) → HIr−1 (M ). Vì x2 , . . . , xr là M/x1 M -dãy chính quy. Áp dụng quy nạp ta được x1 → HIr−1 (M ) HIi (M/x1 M ) = 0 với mọi i < r − 1. Suy ra ánh xạ HIr−1 (M ) − là đơn cấu. Do đó x không là ước của không của HIr−1 (M )); điều này cũng đúng cho xn với mọi n ∈ N. Từ đó vì HIr−1 (M ) là I -xoắn và x ∈ I nên HIr−1 (M ) = 0. ii) => i). Điều kiện đủ: Giả sử HIi (M ) = 0 với mọi i ∈ {0, 1, . . . , r − 1}. Ta phải tìm một M -dãy x1 , . . . , xr ∈ I . Ta có ΓI (M ) = HI0 (M ) = 0. Do đó, AssR (M ) ∩ Var(I) = AssR (ΓI (M )) = AssR (0) = ∅, suy ra I * p với mỗi p ∈ AssR (M ). Vì AssR (M ) là hữu hạn nên theo Định lý tránh nguyên tố ta có I * ∪p∈AssR (M ) p. Suy ra tồn tại x1 không là ước của không của M , tức là x1 là M -chính quy. Vậy trường hợp r = 1 được chứng minh. 11 Xét r > 1, ta có dãy khớp HIi−1 (M ) → HIi−1 (M/x1 M ) → HIi (M ) với mọi i ∈ N. Do đó HIj (M/x1 M ) = 0 với mọi j < r−1. Bằng quy nạp, tồn tại M/x1 M -dãy x2 , . . . , xr trong I . Từ đó suy ra x1 , . . . , xr là M -dãy. Chú ý 1.4.15. (i) Nếu IM 6= M và x1 , . . . , xr là M -dãy chính quy trong I . Ta nói rằng x1 , . . . , xr là M -dãy tối đại trong I nếu không tồn tại xn+1 ∈ I sao cho x1 , . . . , xr , xr+1 là M -dãy có độ dài r + 1. (ii) Nếu IM 6= M thì mọi dãy chính quy của M trong I đều mở rộng được thành dãy chính quy cực đại của M trong I . Hơn nữa từ Định lý 1.4.14, ta thấy mọi dãy chính quy cực đại của M trong I đều có cùng độ dài, độ dài chung này gọi là độ sâu của M trong I , kí hiệu là depth(I, M ). Khi (R, m) là vành địa phương Noether, và M là R-môđun, ta kí hiệu depth(m, M ) bởi depth M . 1.5 Vành và môđun Cohen-Macaulay Định nghĩa 1.5.1. Cho (R, m) là vành địa phương Noether và M là Rmôđun. Ta nói M là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc depth M = dim M (khi M 6= 0). Khi vành (R, m) là R-môđun Cohen-Macaulay thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay. Sau đây là một số tính chất của môđun Cohen-Macaulay. Mệnh đề 1.5.2. Một R-môđun M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M đều là dãy chính quy của M . Mệnh đề 1.5.3. Cho M là một R-môđun Cohen-Macaulay, khi đó ta có (i) dim R/p = d, với mọi p ∈ AssR M ; (ii) Nếu (x1 , . . . , xi ) là dãy chính quy của M thì M/(x1 , . . . , xi )M cũng là môđun Cohen-Macaulay; (iii) Mp là môđun Cohen-Macaulay với mọi p ∈ Supp M . Mệnh đề 1.5.4. R-môđun M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi HIi (M ) = 0 với mọi i 6= d. 12 1.6 Môđun I-cofinite Phần này ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản liên quan về môđun I -cofinite, chúng được trình bày trong một số bài báo về tính chất cofinite. Định nghĩa 1.6.1 (R. Hartshorne [8]). Cho R là vành, I là iđêan của R và M là R-môđun. M được gọi là I -cofinite nếu Supp(M ) ⊆ V (I) và ExtiR (R/I, M ) là R-môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0. Mệnh đề 1.6.2. ([18, Hệ quả 3.4]) Cho I là iđêan của vành R, x ∈ I và Supp(M ) ⊆ V (I). Khi đó, nếu (0 :M x) và M/xM là I -cofinite thì M là I -cofinite. Bổ đề 1.6.3. ([2, Bổ đề 2.1]) Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh, p là iđêan nguyên tố của R sao cho dim R/p = 1 và số nguyên t sao cho t ≥ 1. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: (i) Hmt (M ) là p-cofinite; (ii) Hmt−1 (M ) là Artin; (iii) (Hpt−1 (M ))p = 0. 13 Chương 2 Về tính chất cofinite và tính chất không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương Chương này sẽ trình bày về tính chất cofinite của môđun đối đồng điều địa phương và tính chất không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương trong một số trường hợp đặc biệt. Kiến thức của chương này được tham khảo chính từ bài báo số [3]. Ngoài ra một số kiến thức bổ trợ để giải thích cho các lập luận được trích dẫn từ một số bài báo còn lại ở mục tài liệu tham khảo. 2.1 Môđun đối đồng điều địa phương trên vành đầy đủ Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu tính chất hữu hạn của môđun đối đồng điều địa phương trên vành địa phương Noether đầy đủ. Trước tiên ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về đầy đủ m-adic, tập iđêan nguyên tố gắn kết (tham khảo từ các sách [5] và [15]). Chú ý 2.1.1. (i) Cho (R, m) là một vành địa phương. Ta xét R như một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt với t = 0, 1, 2, . . .. Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tùy ý r ∈ R gồm các lớp ghép r + mt với t = 0, 1, 2, . . .. Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R kí hiệu bởi R̂ được định nghĩa theo cách thông thường bằng ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy 14