Tài liệu Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN XUÂN LAI VỀ SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA ĐA THỨC VI PHÂN ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN XUÂN LAI VỀ SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA ĐA THỨC VI PHÂN ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 9 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. TS. Vũ Hoài An 2. GS.TSKH. Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - NĂM 2018 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Hà Huy Khoái và TS Vũ Hoài An. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác. Thái Nguyên, tháng 2 năm 2018 Tác giả Nguyễn Xuân Lai ii Lời cảm ơn Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Hà Huy Khoái và TS Vũ Hoài An. Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến các thầy. Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên và các Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng toàn thể giảng viên trong khoa, Bộ môn Giải tích và Toán ứng dụng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Cao đẳng Hải Dương, các giảng viên trong Khoa Giáo dục Tiểu học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu luận án. Tác giả xin chân thành cám ơn PGS.TSKH Trần Văn Tấn, PGS.TSKH Tạ Thị Hoài An là hai cán bộ phản biện cùng các nhà khoa học trong Hội đồng đánh giá luận án cấp cơ sở đã đọc và góp ý, sửa chữa luận án được hoàn thiện tốt hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô, bạn bè trong các Seminar tại Bộ môn Giải tích và Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm -ĐHTN, Trường Đại học Thăng Long và Trường Cao đẳng Hải Dương đã luôn giúp đỡ, động viên tác giả trong nghiên cứu khoa học. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong gia đình bố, mẹ, vợ cùng hai con trai những người đã chịu nhiều vất vả và dành hết tình cảm yêu thương, động viên, chia sẻ, để tác giả hoàn thành được luận án. Tác giả Nguyễn Xuân Lai iii Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Vấn đề nhận giá trị và duy nhất với tác động bội của không điểm và cực điểm đối với đa thức vi phân dạng (f n )(k) 12 1.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Giả thuyết Hayman đối với hàm phân hình trên trường không Acsimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình trên trường không Acsimet 23 Chương 2. Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với đa thức vi phân nhiều biến trên trường không Acsimet . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2. Vấn đề nhận giá trị và tương tự Giả thuyết Hayman đối với đa thức vi phân nhiều biến của các hàm nguyên không Acsimet . . . . . . . . . . . 42 2.3. Vấn đề duy nhất đối với đa thức vi phân nhiều biến kiểu FermatWaring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Chương 3. Tác động của bội không điểm, cực điểm lên lực lượng của tập xác định duy nhất đối với hàm phân hình phức . . . 63 3.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2. Tác động của bội không điểm, cực điểm lên lực lượng của tập xác định duy nhất đối với hàm phân hình phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3. Tập xác định duy nhất với số phần tử bé hơn 11 của các hàm phân hình có bội của không điểm, cực điểm lớn hơn 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 iv Bảng ký hiệu U RSE : Tập xác định duy nhất đối với hàm nguyên. U RSM : Tập xác định duy nhất đối với hàm phân hình. Ef (S) : Nghịch ảnh của tập S qua hàm f tính bội Ef,m) (S): Nghịch ảnh của tập S qua hàm f tính bội chặn bởi m. Ef (1) : Nghịch ảnh của 1 qua hàm f tính bội. E f (1) : Nghịch ảnh của 1 qua hàm f không tính bội. E f (S) : Nghịch ảnh của tập S qua hàm f không tính bội. #(S) : Là lực lượng của tập S . CM : Tính cả bội. IM : Không tính bội. U P M : Đa thức duy nhất SU P M : Đa thức duy nhất mạnh. M(C): Trường các hàm phân hình trên C. Pn (K): Là không gian xạ ảnh n chiều trên K. 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Phân bố giá trị của hàm phân hình là một trong những bài toán trung tâm của giải tích phức. Trong lĩnh vực đó, những kết quả về phân bố giá trị của hàm và đạo hàm có vai trò quan trọng. Người khởi xướng hướng nghiên cứu này là Hayman. Năm 1967, ông đưa ra giả thuyết sau đây: 0 Giả thuyết Hayman [42] Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn f n (z) f (z) 6= 1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng. Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàm nguyên siêu việt và n > 1, đã được Clunie J. [17] kiểm tra đối với n = 1. Hayman đã đặt ra câu hỏi tương tự cho hàm phân hình. Giả thuyết này có mối liên hệ giữa phân bố giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó. Vấn đề trên thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học, và được mở rộng theo nhiều hướng khác nhau. Năm 2006, Giả thuyết Hayman đã được Nevo X.C. Pang Sh. - Zalcman L. [51] giải quyết cho hàm phân hình. Liên quan đến Giả thuyết Hayman là vấn đề nhận giá trị của đa thức vi 1 0 0 (f n+1 ) . Khi đó, Giả thuyết Hayman làm phân. Chú ý rằng, f n f = n+1 nảy sinh vấn đề nhận giá trị của đạo hàm bậc cao của hàm nguyên, hàm phân hình ([30], [31]). Hennekemper W. [44], Chen H.H. [16] và Wang Y.F.([65], [66]) đã chứng minh định lí sau: Định lí A.Cho f là hàm nguyên siêu việt trên C và n, k là các số nguyên dương với n ≥ k + 1. Khi đó (f n )(k) nhận giá trị phức khác 0 bất kì vô hạn lần. Năm 2007, Bhoosnurmath S.S.-Dyavanal R.S. [14] đã đưa ra định lí sau đây: Định lí B [14]. Cho f là hàm phân hình siêu việt trên C và n, k là các 2 số nguyên dương với n ≥ k + 3. Khi đó (f n )(k) nhận giá trị phức khác 0 bất kì vô hạn lần. Vào những thập niên đầu của thế kỷ XX, Nevanlinna đã giải quyết vấn đề phân bố giá trị của hàm phân hình thông qua lý thuyết phân bố giá trị được ông xây dựng. Một trong những ứng dụng sâu sắc của lý thuyết phân bố giá trị là vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng qua điều kiện ảnh ngược của ít nhất 5 điểm phân biệt (4 điểm) mà được gọi là Định lý 5 điểm (Định lý 4 điểm) của Nevanlinna. Và ta nói là vấn đề duy nhất kiểu thứ nhất. Năm 1977, Gross F. đưa ra một ý tưởng mới là xét ảnh ngược của các tập hợp điểm trong C ∪ {∞} . Ông đưa ra hai câu hỏi sau: i) Tồn tại hay không tập S của C ∪ {∞} để với bất kỳ các hàm phân hình khác hằng f, g thỏa mãn điều kiện Ef (S) = Eg (S) ta có f = g? ii) Tồn tại hay không hai tập Si , i = 1, 2 của C ∪ {∞} để với bất kỳ các hàm phân hình khác hằng f, g thỏa mãn điều kiện Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, 2 ta có f = g? Ta nói vấn đề xác định duy nhất theo ý tưởng của Gross F. là vấn đề duy nhất kiểu thứ hai. Nhiều tác giả đã nghiên cứu vấn đề này dựa trên hai hướng chính: Hướng thứ nhất là tìm các tập xác định duy nhất với số phần tử bé nhất có thể có. Hướng thứ hai là tìm các đặc trưng của tập xác định duy nhất. Năm 1982 Gross F. và Yang C.C. chứng tỏ tập S = {z ∈ C |z + ez = 0} là tập U RSE ; gần đây U RSE và U RSM với hữu hạn phần tử được tìm thấy bởi Yi H.X. [63], Li P. và Yang C.C. [49], Mues E. và Reinders M.[50], Frank G. và Reinders M. [23], Fujimoto H.[24]. Theo hướng thứ nhất thì Yi H.X. đã dùng các ước lượng hàm Nevanlinna để chứng minh tập SY = {z ∈ C |z n + az m + b = 0} với các điều kiện khác nhau của n, m, a, b là U RS . Năm 1998, Frank G. và Reinders M. [23] đã chứng minh định lí sau: Định lí C. Với mọi số nguyên n ≥ 11, c 6= 0, c 6= 1 tập hợp   n(n − 2) n−2 (n − 1)(n − 2) n n−1 z − n(n − 2)z + z +c=0 SF R = z ∈ C | 2 2 là URS cho các hàm phân hình. 3 Năm 2000, Fujimoto H.[24] đã tổng quát hóa Định lí C như sau: Giả sử PF (z) là đa thức bậc q không có nghiệm bội với tập nghiệm là SF . Ta viết 0 PF = q(z − d1 )q1 ...(z − dk )qk , với k là chỉ số đạo hàm của P (z) và q1 + ... + qk = q − 1. Đa thức khác không P (z) được gọi là thỏa mãn điều kiện (H) nếu P (dl ) 6= P (dm ), với mọi 1 ≤ l < m ≤ k. Đa thức khác không P (z) được gọi là thỏa mãn điều kiện (G) nếu P (d1 ) + ... + P (dk ) 6= 0. Định lí D. Giả sử hoặc k ≥ 3 hoặc k = 2 và min(q1 , q2 ) ≥ 2 và PF (z) là đa thức duy nhất mạnh bậc q thỏa mãn điều kiện (H) ở trên (i) Nếu q ≥ 2k + 6 thì SF là tập xác định duy nhất cho các hàm phân hình. (ii) Nếu q ≥ 2k + 12 thì SF là tập xác định duy nhất cho các hàm phân hình không tính bội. (iii) Nếu q ≥ 2k + 2 thì SF là tập xác định duy nhất cho các hàm nguyên. (iv) Nếu q ≥ 2k + 5 thì SF là tập xác định duy nhất cho các hàm nguyên không tính bội. Năm 2009, Bai X., Han Q. và Chen A.[8] đã cải tiến kết quả của Fujimoto H.[24]. Năm 1995, Li P. và Yang C.C. [49] đã đưa ra ký hiệu   λM = inf #(S)|S là U RSM , λE = inf #(S)|S là U RSE . Ở đó #(S) là lực lượng của tập S . Và hai ông đã đưa ra giả thuyết λM = 6, λE = 4. Hà Huy Khoái [36] đưa ra giả thuyết rằng λM = 7. Cho đến nay số phần tử ít nhất của U RSM đã được thiết lập là 11. Các phương pháp được dùng trong các bài báo đó bao gồm các đánh giá của hàm đặc trưng Nevanlinna. Cũng trong [23] các tác giả đã chú ý rằng theo phương pháp của họ không nhận được U RSM với số phần tử bé hơn 11. Từ đó, vấn đề xác định duy nhất theo hai kiểu nói trên đã được mở rộng, nghiên cứu liên tục và mạnh mẽ với kết quả của Fujimoto H., Shirosaki M., Ru M., Yi H.X., Hu P.C.-Yang C.C., Hà Huy Khoái, Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Tạ Thị Hoài An, Sĩ Đức Quang, Escassut A., Phạm Việt Đức, Hà Trần Phương, Gross F. và Yang C.C, Yi H.X., Shiffman B., Yang C.C.-Hua X.H., Mues E.- Reinders M., Li P., Wang.J.T-Y,Wong.P-M., ... 4 Đối với đạo hàm của hàm phân hình, Giả thuyết Hayman và vấn đề nhận giá trị của đa thức vi phân đã nảy sinh vấn đề xác định duy nhất. Người khởi xướng hướng nghiên cứu này là Fang M.L. và Hua X.H. [21], Yang C.C. và Hua X.H.[58]. Họ đã chứng minh định lí sau: Định lí E([21], [58]). Cho f, g là hai hàm nguyên khác hằng trên C và 0 0 n ≥ 6 là số nguyên dương. Nếu f n f và g n g nhận 1CM thì hoặc f = c1 ecz , g = c2 e−cz , ở đó c1 , c2 và c là ba hằng số thỏa mãn (c1 c2 )n+1 c2 = −1 hoặc f = tg, với t là hằng số sao cho tn+1 = 1. Từ đó, hướng nghiên cứu trên phát triển với những kết quả sâu sắc của Lahiri I., Han Q. – Yi X.H., Bergweiler W., Langley J.K., Liu K., Yang L.Z., Hong L.C., Fang M.L., Li B.Q., Hu P.C. - Yang C.C., Eremenko A., Frank G. - Hua X.H. – Vaillancourt R., Bhoosnurmath S.S. – Dyavanal R.S, Yang C.C. -Hua X.H., . . . Chú ý rằng mỗi định lí nhận giá trị của hàm sẽ nhận được một định lí duy nhất. Chẳng hạn, hai định lí sau đây lần lượt là các định lí tương ứng với Định lí A, Định lí B. Định lí F [22]. Cho f, g là hai hàm nguyên khác hằng trên C và n, k là các số nguyên dương với n > 2k + 4. Nếu (f n )(k) và (g n )(k) nhận 1CM thì hoặc f = c1 ecz , g = c2 e−cz , ở đó c1 , c2 và c là ba hằng số thỏa mãn (−1)k (c1 c2 )n (nc)2k = 1 hoặc f = tg, với t là hằng số sao cho tn = 1. Định lí G [14]. Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên C và n, k là các số nguyên dương với n > 3k + 8. Nếu (f n )(k) và (g n )(k) nhận 1CM thì hoặc f = c1 ecz , g = c2 e−cz , ở đó c1 , c2 và c là ba hằng số thỏa mãn (−1)k (c1 c2 )n (nc)2k = 1 hoặc f = tg, với t là hằng số sao cho tn = 1. Trong những năm gần đây, Giả thuyết Hayman được đặt ra cho các hàm phân hình p-adic. Năm 2008, Ojeda J.[54] đã nhận được kết quả sau: Định lí H [54]. Cho f là hàm phân hình trên K, n > 2 là một số nguyên 0 và a ∈ K− {0}. Khi đó nếu f n (z) f (z) 6= a với mọi z ∈ K thì f là hằng. Năm 2011, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An [30] đã tổng quát hóa kết quả của Ojeda J.[54] cho đa thức vi phân kiểu f n ((f )(k) )m . Vũ Hoài An- Lê Thị Hoài Thu [5] đã xét vấn đề này trong trường hợp p-adic nhiều biến. Năm 2014, Escassut A. và Ojeda J. [19] đã xem xét Định lí H trong trường hợp n = 2. Gần đây, Boussaf K. - Escassut A. – Ojeda J.[13] đã bắt đầu nghiên cứu 5 0 0 0 0 Vấn đề duy nhất của các hàm phân hình p-adic: f P (f ), g P (g) nhận một hàm nhỏ. Quan sát Định lí A, B, E, G ta thấy rằng từ số mũ n của hàm có thể suy ra rằng: bội của không điểm, bội của cực điểm của f ít nhất là n. Có rất nhiều lớp hàm được quan tâm nghiên cứu có cực điểm với bội d ≥ 2. Chẳng hạn lớp hàm Weiestrass elliptic(xem[67]) sau đây:  X  1 1 1 ℘(z; w1 , w2 ) = 2 + − 2 z (z + mw + nw ) (mw1 + nw2 )2 1 2 2 2 m +n 6=0 có cực điểm là 2, và hàm ℘n (z; w1 , w2 ), với n là số nguyên dương, có không điểm với bội ít nhất là n và cực điểm với bội là 2n. Nhằm góp phần hoàn thiện Giả thuyết Hayman trên trường p−adic, và vấn đề nhận giá trị và duy nhất của Lý thuyết Nevanlinna, chúng tôi chọn tên luận án:" Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình". Đây là vấn đề có tính thời sự của giải tích phức và số học. Luận án đặt ra các vấn đề nghiên cứu sau đây: Vấn đề 1: Thiết lập một tương tự Giả thuyết Hayman cho các đa thức vi phân trong trường hợp p-adic (đa thức vi phân p−adic.) Vấn đề 2: Thiết lập định lý duy nhất đối với các đa thức vi phân p− adic. Vấn đề 3: Tìm các lớp hàm phân hình có tập xác định duy nhất với số phần tử bé hơn 11. 2. Mục tiêu luận án 2.1. Chứng minh tương tự Giả thuyết Hayman cho các đa thức vi phân p-adic dạng (f n )(k) và đa thức vi phân nhiều biến p−adic của các hàm nguyên dạng (P n (f ))(k) , ở đó P (f ) là đa thức kiểu Fermat-Waring. 2.2. Thiết lập được định lí về sự xác định duy nhất đối với đa thức vi phân p− adic dạng (f n )(k) , với điều kiện được xét gồm n, k và bội của không điểm, cực điểm của hàm phân hình f ; và đa thức vi phân nhiều biến p−adic kiểu Fermat-Waring. 2.3. Chỉ ra lớp hàm phân hình có tập xác định duy nhất S với số phần tử bé hơn 11, có sự tác động bội của không điểm và cực điểm lên lực lượng của S ; xây dựng tập xác định duy nhất có 9 phần tử cho lớp hàm hàm Weiestrass elliptic, đưa ra công thức hiện cho đa thức duy nhất mạnh bậc 6. 6 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu Giả thuyết Hayman, Định lí Nevanlinna p- adic và các tương tự của nó, hàm phân hình, đa thức vi phân nhiều biến p−adic của các hàm nguyên dạng (P n (f ))(k) . Trong luận án, ta luôn giả thiết K là một trường đóng đại số, đặc số 0, đầy đủ với chuẩn không Acsimet. 4. Phương pháp và công cụ nghiên cứu Công cụ và phương pháp để giải quyết vấn đề của luận án là các kiểu định lý chính thứ hai của Nevanlinna và các tương tự p−adic của nó (Bổ đề 1.2.7) để đưa ra ước lượng giữa hàm đặc trưng, hàm đếm của đạo hàm bậc cao với hàm đặc trưng, hàm đếm của hàm phân hình ban đầu, các kiểu Bổ đề Borel p−adic cho đa thức vi phân nhiều biến của các hàm nguyên (Bổ đề 2.2.5). 5. Ý nghĩa khoa học của luận án Luận án góp phần hoàn thiện và làm sâu sắc, phong phú thêm Lý thuyết phân bố giá trị của Nevanlinna, Giả thuyết Hayman đối với hàm phân hình p- adic và đa thức vi phân nhiều biến và ứng dụng bài toán về tập xác định duy nhất đối với hàm nguyên, phân hình trên trường không Acsimet. 6. Cấu trúc và kết quả của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận án được viết gồm ba chương : Chương 1: Chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu đối với Vấn đề 1, Vấn đề 2. Chúng tôi nghiên cứu để đưa ra ước lượng giữa hàm đặc trưng, hàm đếm của đạo hàm bậc cao. Thiết lập Bổ đề 1.2.7, Bổ đề 1.3.3 từ đó chứng minh Định lí 1.2.9, Định lí 1.3.7. Định lí 1.2.9 Cho f là hàm phân hình trên K thoả mãn điều kiện (f n (z))(k) 6= 1 với mọi z ∈ K và n là số nguyên dương, k là số nguyên không âm. Nếu n ≥ k + 2 thì f là hàm hằng. Định lí 1.3.7 sau đây là một kết quả cho Vấn đề nghiên cứu thứ hai. Chúng tôi đã sử dụng công cụ là các kiểu Định lí chính thứ hai trong trường hợp p-adic có xét đến bội của không điểm và cực điểm của hai hàm f, g. Định lí 1.3.7. Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên K. Giả sử mỗi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f, g có bội ít nhất là s (tương ứng, l) và n là số nguyên dương, k là số nguyên không âm. Khi đó 1. f = cg với cn = 1, c ∈ K nếu một trong hai điều kiện sau đây thỏa 7 mãn (i) E(f n )(k) (1) = E(gn )(k) (1) và n ≥ 3k + 4( 1s + 1l ), k > 0; (ii) E (f n )(k) (1) = E (gn )(k) (1) và n ≥ 9k + 7( 1s + 1l ), k > 0. c 2. f = cg hoặc f = với cn = 1, c ∈ K nếu một trong hai điều kiện g sau đây thỏa mãn (i) Ef n (1) = Egn (1) và n ≥ 4( 1s + 1l ); (ii) E f n (1) = E gn (1) và n ≥ 7( 1s + 1l ). Định lí 1.3.7 chúng tôi tìm được điều kiện giữa n, k đối với các lớp hàm có bội của không điểm hoặc cực điểm lớn hơn hoặc bằng 2. Khi bội không điểm và cực điểm ít nhất là 2 thì điều kiện n, k là n ≥ 3k + 4. Từ đây ta có tương tự Giả thuyết Hayman trên trường p−adic như sau: Giả thuyết Hayman p-adic. Nếu một hàm phân hình f trên K thỏa mãn (f n (z))(k) 6= 1, với n ≥ k + 1, và n, k là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ K thì f là hằng. Định lí 1.2.9 là một kết quả cho Vấn đề nghiên cứu thứ nhất, góp phần khẳng định Giả thuyết Hayman p-adic là đúng với n ≥ k + 2. Các kết quả này đã được đăng trong bài báo[32]. Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu Vấn đề 1, Vấn đề 2 cho đa thức vi phân nhiều biến trên trường không Acsimet. Chúng tôi thiết lập được định lí về vấn đề nhận giá trị và duy nhất của đa thức vi phân nhiều biến của các hàm nguyên, thiết lập bổ đề kiểu Borel cho đa thức vi phân p-adic nhiều biến (Bổ đề 2.2.5). Kết quả chính của chương được trình bày ở các Định lý 2.2.12, Định lý 2.3.3, Ví dụ 2.3.4, Ví dụ 2.3.5. Ta đưa ra khái niệm đa thức nhiều biến của các hàm nguyên sau. Bây giờ xét q dạng tuyến tính của n + 1 biến ở vị trí tổng quát: Li = Li (z1 , ..., zn+1 ) = αi,1 z1 + αi,2 z2 + · · · + αi,n+1 zn+1 , i = 1, 2, · · · , q. Giả sử d, k, m, s ∈ N, m < s và giả sử ai , bi ∈ K, ai , bi 6= 0. Định nghĩa q − 1 đa thức thuần nhất bậc s: m s Pi (z1 , ..., zn+1 ) = Lsi+1 − ai Ls−m i+1 L1 + bi L1 , i = 1, ..., q − 1. Cho các hàm nguyên f1 , ..., fn+1 đặt d P (f1 , ..., fn+1 ) = P1d (f1 , ..., fn+1 ) + · · · + Pq−1 (f1 , ..., fn+1 ) (2.1). 8 Kết quả thu được về vấn đề nhận giá trị và duy nhất cho đa thức vi phân p-adic nhiều biến là hai định lí sau: Định lí 2.2.12. Cho P (f1 , ..., fn+1 ) được xác định như trong (2.1), ở đó f1 , ..., fn+1 là độc lập tuyến tính trên K. Giả sử rằng s ≥ 2m + 8 và m ≥ 3 hoặc m = 2 và s là số lẻ. Khi đó P (k) (f1 , ..., fn+1 ) nhận mọi giá trị a ∈ K nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn 1. k > 0 và d ≥ q 2 − 3q + k + 2; 2. k = 0 và d ≥ q 2 − 2q. Định lí 2.3.3. Cho P (f1 , ..., fn+1 ) và P (g1 , ..., gn+1 ) được xác định như trong (2.1), ở đó (f1 , ..., fn+1 ), (g1 , ..., gn+1 ) là hai hệ (n+1) các hàm nguyên độc lập tuyến tính. Giả sử rằng k là số nguyên không âm, s ≥ d d 2m + 8, b2d i 6= bj bl với i 6= j và i 6= l, i, j, l ∈ {1, ..., q − 1}; và m = 2, s là số lẻ và q ≥ n + 1, hoặc m ≥ 3 và q ≥ n + 2. Khi đó 1. gi = αfi , i = 1, . . . , n + 1 với α ∈ K, α 6= 0 nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn (i) P (k) (f1 , ..., fn+1 ) và P (k) (g1 , ..., gn+1 ) nhận 0 CM, k > 0 và d ≥ 4q 2 − 10q + k + 5; (ii) P (f1 , ..., fn+1 ) và P (g1 , ..., gn+1 ) nhận 0 CM và d ≥ 4q 2 − 12q + 8. 2. gi = αfi , i = 1, . . . , n + 1 với αsd = 1, α ∈ K nếu P (k) (f1 , ..., fn+1 ) và P (k) (g1 , ..., gn+1 ) nhận 1 CM và d ≥ 4q 2 − 10q + k + 6. Ví dụ 2.3.4, Ví dụ 2.3.5 là hai ví dụ về đa thức duy nhất mạnh, nó khác với đa thức duy nhất được xây dựng bởi Yi X.H, Frank G.-Reinder M. và Fujimoto H. Đây cũng là kết quả mới đầu tiên cho vấn đề nhận giá trị, vấn đề xác định duy nhất đối với đa thức vi phân nhiều biến của các hàm nguyên p-adic. Các kết quả này đã được đăng trong bài báo[33]. Chương 3: Trong chương này chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu Vấn đề 3. Chúng tôi thiết lập tập xác định duy nhất với số phần tử bé hơn 11 của các hàm phân hình có bội của không điểm, cực điểm lớn hơn 1. Chỉ ra một ví dụ cho lớp hàm Weiestrass elliptic có tập xác định duy nhất với 9 phần tử. Nội dung của chương này được viết trong bài báo[34]. Kết quả của chương này là Định lý 3.2.9, Định lí 3.3.3, Định lý 3.3.5, Định lý 3.3.6. Các định lí này góp phần trả lời chưa chọn vẹn giả thuyết của Hà Huy Khoái là: số 9 phần tử ít nhất của tập xác định duy nhất thiết lập được là 7. Cho một tập con S = {a1 , a2 , · · · , aq } ⊂ C với các giá trị phân biệt, ta xét đa thức tổng quát ở dạng dưới đây R(z) = (z − a1 )(z − a2 ) . . . (z − aq ) (3.1) Giả sử đạo hàm của R(z) có k không điểm phân biệt d1 , d2 , · · · , dk với bội q1 , q2 , · · · , qk tương ứng. Giả sử rằng R(di ) 6= R(dj ), 1 ≤ i < j ≤ q. (3.2) Các kết quả chính của chương 3 là các định lí sau. Định lí 3.2.9 Giả sử f và g là hai hàm phân hình (tương ứng, hàm nguyên) và m là số nguyên dương, hoặc ∞. Giả sử R(z) là đa thức duy 0 nhất mạnh ở dạng (3.1) thỏa mãn điều kiện (3.2) với R (z) = qz m1 (z − d2 )m2 . . . (z−dk )mk . Giả sử rằng q ≥ 5, k ≥ 3, hoặc k = 2 và min{m1 , m2 } ≥ 2, và Ef,m) (S) = Eg,m) (S), và mọi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f và g có bội ít nhất là s (tương ứng, l). Khi đó f = g nếu một trong các điều kiện dưới đây là thỏa mãn: 4 4 4 1. q > 2k − 2 + + (tương ứng, q > 2k − 2 + ) khi m ≥ 3 hoặc ∞; s l s 3 4 9 3 4 2. q > 2k − + + (tương ứng, q > 2k − + ) khi m = 2; 2 s 2l 2 s 4 6 4 3. q > 2k + + (tương ứng, q > 2k + ) khi m = 1. s l s Định lí 3.2.9 cho ta sự tác động của bội không điểm, cực điểm lên lực lượng của tập xác định duy nhất. Chú ý rằng tập xác định duy nhất ở đây là tồn tại nếu đa thức duy nhất mạnh tồn tại. Cho n, p là số nguyên dương và giả sử a, b ∈ C là các hằng số khác không. Ta đặt ! p i X (−1) P (z) = (n + p + 1) z n+p+1−i bi + a = Q(z) + a (pi ) n+p+1−i i=0 (3.20) Ở đó ! p i X (−1) Q(z) = (n + p + 1) (pi ) z n+p+1−i bi . n+p+1−i i=0 10 Giả sử rằng ! ! p i X p (−1) bn+p+1 6= −2 i n+p+1−i i=0 (3.21) Định lí 3.3.5 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng (tương ứng, hàm nguyên) trên C, và P (z) là đa thức có dạng (3.20) thỏa mãn điều kiện (3.21) và m là số nguyên dương, hoặc ∞. Giả sử rằng Ef,m) (S) = Eg,m) (S), và mọi không điểm (tương ứng, cực điểm) của f và g có bội ít nhất là s ( tương ứng, l) và p > 1 + 1l , np > p + n. Khi đó f = g nếu một điều kiện của hệ (I)và một điều kiện của hệ (II) dưới đây thỏa mãn (I) 1. n + p > 2k − 3 + 4s + 4l (n + p > 2k − 3 + 4s ) khi m ≥ 3 hoặc ∞; 2. n + p > 2k − 52 + 4s + 2l9 (n + p > 2k − 52 + 4s ) khi m = 2; 3. n + p > 2k − 1 + 4s + 6l (n + p > 2k − 1 + 4s ) khi m = 1. (II) 4. n > 1s + 1l (n > 1s ) khi a = 1; 5. n > p + 1s + 1l (n > m + 1s ) khi a 6= 1. Định lí 3.3.5 chỉ ra sự tác động của bội không điểm, cực điểm lên số phần tử của tập xác định duy nhất đã được xây dựng từ đa thức duy nhất mạnh đã được thiết lập. Định lí 3.3.6 cho ta tập xác định duy nhất với 7 phần tử, 8 phần tử, 9 phần tử, 11 phần tử đối với các hàm phân hình có bội của không điểm, cực điểm được chọn một cách phù hợp. Chẳng hạn với, k = 2 và có cực điểm bội ít nhất là 2 (lớp hàm Weiestrass elliptic là một ví dụ) thì từ Định lí 3.3.5 ta thiết lập được tập xác định duy nhất của lớp hàm này. Kí hiệu Fs,l là lớp các hàm phân hình có các không điểm và cực điểm bội ít nhất s, l tương ứng, ta nhận được định lý sau. Định lí 3.3.6 Cho P(z) là đa thức thỏa mãn điều kiện (3.21) với tập nghiệm là S . Khi đó S là tập xác định duy nhất cho Fs,l , nếu một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1. #(S) = 7 và 1s + 1l ≥ 43 . 2. #(S) = 8 và 1s + 1l ≥ 45 . 3.#(S) = 9 và 1s + 1l ≥ 23 . 4. #(S) = 10 và 1s + 1l ≥ 74 . 11 5. #(S) = 11 và 1s + 1l ≥ 2. Các kết quả trong luận án đã được báo cáo tại các Hội nghị toàn quốc về Đại số - Hình học – Tôpô: Tuần Châu-Hạ Long ngày 18-21/12/2014, Buôn Mê Thuột ngày 26-30/10/2016; Tại Hội thảo quốc tế về giải tích phức và ứng dụng lần thứ 20 tại Hà Nội ngày 29/07-3/08/2012; Tại Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang 10-14/08/2013; Tại các Seminar của Bộ môn Giải tích, khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên; Tại các Seminar định kì của nhóm nghiên cứu tại Trường Đại học Thăng Long và Trường Cao đẳng Hải Dương. 12 Chương 1 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất với tác động bội của không điểm và cực điểm đối với đa thức vi phân dạng (f n)(k) Năm 1967, Hayman[42] đã đưa ra giả thuyết: nếu f (z) là hàm nguyên trên 0 C thoả mãn f n (z)f (z) 6= 1, thì f (z) là hàm hằng. Năm 1997, Yang C.C. - Hua X.H.[58] đã nghiên cứu vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình trên 0 C ở dạng f n f . Trong chương này chúng tôi nghiên cứu vấn đề duy nhất và Giả thuyết Hayman cho hàm phân hình p−adic. Nội dung của chương này được viết trong bài báo [32], [1]. Cụ thể là: 1. Nghiên cứu vấn đề nhận giá trị đối với hàm phân hình trên trường không Acsimet. 2. Nghiên cứu vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình trên trường không Acsimet. Kết quả của chương này là đưa ra một số định lý về nhận giá trị và duy nhất của hàm phân hình p−adic dạng (f n )(k) , (g n )(k) . Chúng tôi thu được Định lý 1.2.9, Hệ quả 1.2.10 và Định lý 1.3.7. 13 1.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ Trong chương này, ta luôn ký hiệu K là trường đóng đại số, có đặc số 0, đầy đủ với chuẩn không tầm thường không Acsimet ký hiệu bởi | . |, và log là hàm logarit cơ số ρ > 1, với ρ là số thực và ln là hàm logarit có cơ số e. Định nghĩa 1.1.1. Hàm chỉnh hình f trên K được gọi là một hàm nguyên. Hàm f trên K, được gọi là hàm phân hình nếu f = ff21 , với f1 và f2 là các hàm nguyên trên K không có không điểm chung. Hàm đếm của hàm nguyên([45], pp.21-23) Giả sử f là hàm nguyên trên K và b ∈ K. Khi đó f viết dưới dạng ∞ P bn (z − b)n , f= n=q với bq 6= 0,và đặt µ0f (b) = q. Với a ∈ K ta định nghĩa hàm µaf : K → N xác định bởi µaf (b) = µ0f −a (b). Cố định số thực ρ0 với 0 < ρ0 ≤ r. Định nghĩa 1.1.2. Cho f là hàm nguyên trên K và a ∈ K, ta gọi hàm đếm không điểm của f − a (hay hàm đếm không điểm của hàm f tại a) tính cả bội trên đĩa Dr = {z ∈ K : |z| ≤ r} là hàm, xác định Z r n(x, 1 ) 1 1 f −a )= dx, N (r, f −a ln ρ 0 x 1 ở đó n(x, f −a ) là số nghiệm của phương trình f (z) = a, tính cả bội, trên đĩa Dx = {z ∈ K : |z| ≤ x} . Với l là một số nguyên dương, đặt Zr n (x, 1 ) l 1 1 f −a dx, Nl (r, ) = f ln ρ x ρ0 1 ở đó nl (x, f −a ) = |z|≤r min µaf (z), l . Giả sử k là số nguyên dương. Định nghĩa hàm µf,k) từ K vào N xác định bởi  0 nếu µ0f (z) > k µf,k) (z) = µ0 (z) nếu µ0 (z) ≤ k, f f P  14 và nk) (r, X 1 µf −a,k) (z), )= f −a |z|≤r nl,k) (r, 1 )= f −a X  min µf −a,k) (z), l . |z|≤r Định nghĩa Zr n (x, 1 ) k) f −a 1 1 Nk) (r, )= f −a ln ρ x dx. ρ 1 Nếu a = 0, thì đặt Nk) (r, f −a ) = Nk) (r, f1 ). Với với 0 < ρ0 < ρ ≤ r, đặt Nl,k) (r, 1 1 )= f −a ln ρ Z r ρ0 1 ) f −a dx, x nl,k) (x, Tương tự ta định nghĩa: N(k (r, 1 1 ), Nl,(k (r, ) f −a f −a Hàm đặc trưng của hàm phân hình ([45], pp.33-46) Cho hàm nguyên khác hằng f (z) trên K, biểu diễn dưới dạng chuỗi luỹ thừa ∞ X an z n , f (z) = n=0 Với mỗi r > 0, ta ký hiệu |f |r = max{|an |rn , 0 ≤ n < ∞}. f1 Bây giờ giả sử f = là hàm phân hình khác hằng trên K, ở đó f1 , f2 f2 |f1 |r là các hàm nguyên trên K không có không điểm chung, ta đặt |f |r = |f . 2 |r Với mỗi a ∈ K ∪ {∞} ta định nghĩa hàm µaf : K → N xác định bởi 0 µaf (b) = µ0f1 −af2 (b) với a 6= ∞ và µ∞ f (b) = µf2 (b). Định nghĩa 1.1.3. Cho f là hàm phân hình và a ∈ K. Ta gọi hàm đếm không điểm của f − a, tính cả bội, trên đĩa Dr = {z ∈ K : |z| ≤ r}, xác định bởi 1 1 1 ) = N (r, ) và đặt N (r, f ) = N (r, ). N (r, f −a f1 − af2 f2