Tài liệu Về quy tắc fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THỦY VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THỦY VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƢU Thái Nguyên - 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan: Bản luận văn tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo sát và phân tích từ thực tiễn dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu. Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn này là hoàn toàn trung thực và chưa được sử dụng để bảo vệ một học vị nào, phần tài liệu tham khảo được xếp đúng thứ tự và đủ các thông tin theo đúng yêu cầu. Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015 Tác giả Phạm Thị Thủy Mục lục Trang Lời cam đoan……………………………………………………………… i Mục lục…………………………………………………………………… ii Danh sách kí hiệu ………………………………………………………... iv Lời nói đầu………………………………………………………............... 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị……………………………………………. 4 1.1. Tập lồi………………………………………………………... 4 1.2. Hàm lồi……………………………………………………….. 5 1.3. Các phép toán bảo toàn tính lồi ………………………... …… 7 1.4. Bài toán tối ưu………………………………………………. 7 1.5. Tính liên tục của hàm số ……………………………….…… 9 1.6. Đạo hàm và ma trận Hessian………………………….…….. 10 1.7. Ma trận xác định dương, nửa xác định dương. …………..…. 11 1.8. Bổ đề Farkas. ………………………………………………… 11 1.9. Nón pháp tuyến. ………………………………………..……. 11 1.10. Dưới vi phân………………………………………………… 12 Chương 2. Quy tắc Fermat trong bài toán cực trị………………………… 14 2.1. Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến không có ràng buộc…………………………………………………………. 18 2.2. Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến có ràng buộc…… 22 2.3. Quy tắc Fermat cho hàm nhiều biến khả vi không có ràng buộc………………………………………………………………. 27 2.4. Mở rộng nguyên lý Fermat cho hàm nhiều biến có ràng buộc………………………………………………………...……… 32 Chương 3. Áp dụng giải một số bài toán phổ thông…………… ….…..… 39 3.1. Áp dụng cho bài toán cực trị hàm một biến…………………... 39 3.2. Áp dụng chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số nhiều biến ……………………..…..…..……….. 43 Kết luận …………………………………………………...…..………….. 55 Tài liệu tham khảo………………………………………...…..…............... 56 Danh sách ký hiệu n Không gian Euclid n chiều f '  x , f "  x Đạo hàm (bậc 1 và bậc 2) của hàm số f(x) lim f  x n a Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới a [a,b] Đoạn thẳng nối hai điểm a và b .,. Tích vô hướng trong  n f Gradient của hàm f 2 f Ma trận Hessian f Dưới vi phân của hàm f NC  x  nón pháp tuyến ngoài của C tại x 1 Lời nói đầu. Trong việc ứng dụng toán học vào các bài toán thực tiễn, các bài toán cực trị là một trong những dạng toán gần với những ứng dụng thực tế nhất. Những yêu cầu về đường đi ngắn nhất, đường đi nhanh nhất, góc nhìn lớn nhất, tổng thời gian chờ đợi ít nhất, tổng chi phí ít nhất, tổng lợi nhuận cao nhất, diện tích lớn nhất … là những yêu cầu rất tự nhiên xuất phát từ những bài toán của sản xuất, đời sống và khoa học. Chính vì thế những bài toán cực trị cần có một chỗ đứng xứng đáng trong chương trình toán ở phổ thông. Các phương pháp giải bài toán cực trị cũng cần phải được trình bày một cách bài bản. Trên phương diện phương pháp, có hai cách tiếp cận chính cho lời giải của các bài toán cực trị, đó là phương pháp sử dụng bất đẳng thức và phương pháp hàm số. Với phương pháp bất đẳng thức, sơ đồ cơ bản là: Để chứng minh M là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên miền C, ta sẽ chứng minh i) f(x)  M với mọi x thuộc C ii) Tồn tại x0 thuộc C sao cho f(x0) = M. Phương pháp hàm số sẽ khảo sát hàm f(x) trên C và dựa vào các định lý của giải tích để tìm ra điểm cực trị và giá trị M. Fermat – một luật sư, nhà toán học người Pháp đã sử dụng công cụ đạo hàm để giải bài toán cực trị bằng cách đưa bài toán cực trị từ cách giải đánh giá bằng bất đẳng thức cần nhiều tư duy, mẹo mực về cách giải tự nhiên tìm điểm nghi vấn chỉ nhờ giải các phương trình (đối với hàm số một biến) và hệ phương trình (đối với hàm số nhiều biến). Quy tắc Fermat là một công cụ mạnh, cho phép bài toán cực trị có được lời giải tự nhiên Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu quy tắc Fermat trong từng bước phát triển của nó từ sơ cấp lên cao cấp, nhằm nâng cao kiến thức và khả năng trong 2 giảng dạy và nghiên cứu về toán tối ưu, có được cái nhìn tổng thế từ toán cao cấp vào toán sơ cấp. Nội dung luận văn được viết trong 3 chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Một số kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi, hàm khả vi, điểm dừng… Chương 2. Quy tắc Fermat. Quy tắc Fermat và các ví dụ ứng dụng trong các trường hợp hàm số một biến, khả vi, không có ràng buộc, phát triển đến hàm một biến khả vi, có điều kiện ràng buộc, nâng cao lên hàm nhiều biến, khả vi, không ràng buộc, tổng quát nhất là bài toán hàm nhiều biến, không khả vi và có ràng buộc. Sau mỗi bước phát triển ta đều có thể quay trở về bài toán sơ cấp trước đó bằng cách bổ sung thêm giả thiết. Từ đó thấy được các bước phát triển của quy tắc Fermat, đồng thời cũng cho thấy cái nhìn của Toán cao cấp vào toán sơ cấp. Chương 3. Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài toán phổ thông. Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài toán phổ thông, từ những bài toán đơn giản đến những bài toán nâng cao, từ cách giải áp dụng trực tiếp quy tắc đến việc sử dụng toán cao cấp định hướng cho cách giải trong chương trình phổ thông. Do thời gian và kiến thức có hạn nên chắc chắn luận văn này còn nhiều thiếu sót, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp thu và hoàn thiện luận văn hơn nữa. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn. 3 Bên cạnh đó, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Khoa Toán Tin, trung tâm học liệu đã tạo điều kiện giúp tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015 Học viên Phạm Thị Thủy 4 Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này chủ yếu nhắc lại một số khái niệm cơ bản về hàm lồi, tập lồi, các khái niệm cực tiểu cực đại, bài toán tối ưu, khái niệm đạo hàm, đạo hàm cấp hai. Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5]. 1.1. Tập lồi Định nghĩa 1.1. Một tập C  n được gọi là một tập lồi, nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua 2 điểm bất kỳ của nó. Tức C là lồi khi và chỉ khi x, y  C,  0,1   x  (1   ) y  C. Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véc-tơ) x1, x2 ,..., xk nếu k k j 1 j 1 x    j x j ,  j  0j  1,..., k ,   j  1 Một điểm x  C được gọi là điểm cực biên của C nếu x không thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp lồi chặt của hai điểm phân biệt bất kì nào của C, tức không tồn tại y, z  C, y  z sao cho x   y  1    z với 0    1. Ví dụ 1.1. Trong 1 các khoảng  a, b  a  1    b |   0,1 , 5 đoạn a, b  a  1   b | 0,1 là các tập lồi, đoạn  a, b có hai điểm cực biên là x = a và x=b. Trong  2 các đa giác lồi, hình tròn, hình elip là các tập lồi. Trong  3 các khối đa diện, khối cầu là các tập lồi. 1.2. Hàm lồi Định nghĩa 1.2. Cho C  n là một tập lồi và f : C   . Ta sẽ ký hiệu domf : x  C f ( x)   Tập dom f được gọi là miền hữu dụng của f . Định nghĩa 1.3. Cho   C  n là một tập lồi và hàm f : n    . Ta nói f là hàm lồi trên C, nếu f   x  1    y    f  x   1    f  y  x, y  C ,    0,1 hàm f : n    được gọi là hàm lồi chặt trên C, nếu f   x  1    y    f  x   1    f  y  x, y  C ,    0,1 hàm f : n    được gọi là hàm lồi mạnh trên C với hệ số   0 , nếu x, y  C,    0,1 có 1 f   x  1    y    f  x   1    f  y    1    x  y 2 2 Bằng quy nạp ta chứng minh được nếu f nhận giá trị hữu hạn trên tập lồi C thì với mọi số tự nhiên m và mọi x1,..., xm  C thỏa mãn 6 m 1  0,..., m  0,   j  1 , j 1 ta có  m  m f  j x j   j f x j  j 1  j 1   (Bất đẳng thức Jensen). Hàm f được gọi là hàm lõm trên C nếu  f lồi trên C. Các ví dụ về hàm lồi 1. Hàm a-phin f  x  : aT x   trong đó a  n ,   là một hàm vừa lồi vừa lõm trên toàn không gian. Khi   0 , thì hàm này được gọi là hàm tuyến tính. 2. Hàm chỉ. Cho C   là 1 tập lồi. Đặt 0 khi x  C  khi x  C  C  x  :  Ta nói C là hàm chỉ của C. Do C lồi nên C là một hàm lồi. 3. Hàm mặt cầu. Cho S : x  n | x  1 là một mặt cầu và h : S   là một hàm bất kỳ. Định nghĩa hàm f như sau: 0 khi x  1  f  x  : h  x  khi x  1   khi x  1 Hàm này được gọi là hàm mặt cầu và là một hàm lồi trên n . 4. Hàm khoảng cách. Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được định x y nghĩa bởi dC  x  : min yC 5. Hàm chuẩn. Giả sử x   x1 ,..., x f  x  : x 1 : max xi i n  7 1 Hoặc f  x  : x :  x12  ...  xn2  2 6. Hàm số một biến. Hàm số f :  a, b    khả vi cấp hai liên tục trên (a,b) và có f " x   0x   a, b  thì lồi trên (a,b). 1.3. Các phép toán bảo toàn tính lồi Cho f và g là hai hàm xác định trên C và không nhận giá trị  . Với mọi x  C ta định nghĩa các hàm:  f  g  x  : f  x   g  x    f  x  :  f  x  ,  là số thực. Mệnh đề dưới đây suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Mệnh đề 1.1. (i) Cho f và g là hai hàm lồi lần lượt trên các tập lồi A và B, với A  B   . Khi đó hàm   f     g  lồi trên A  B với mọi   0,   0 . (ii) Giới hạn theo từng điểm của một dãy các hàm lồi cũng là một hàm lồi. Tức là nếu fi : C   i   và dãy số  f  x  hội tụ với mỗi i x  C thì hàm f  x  : lim fi  x  cũng lồi trên C. i  (iii) Nếu f : C   lồi trên tập lồi C và hàm một biến  : I   không giảm trên khoảng I, sao cho f C   I thì hàm hợp   f lồi trên C. 1.4. Bài toán tối ƣu Bài toán tối ưu tổng quát được phát biểu như sau: hoặc min  f  x  : x  C (P) max  f  x  : x  C (P’) 8 trong đó C  X khác rỗng ( X là một không gian nào đó), thông thường X  n và f : C   . Định nghĩa 1.4. Một điểm x*  C được gọi là cực tiểu địa phương của f trên C (Nghiệm tối ưu địa phương của (P)) nếu tồn tại một lân cận U của x* sao cho   f x*  f  x  x  U  C Điểm x*  C được gọi là cực đại địa phương (Nghiệm tối ưu địa phương của (P’)) nếu   f x*  f  x  x  U  C Nếu f  x*   f  x  x  C thì x* được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối của f trên C (Nghiệm tối ưu toàn cục của (P)). Nếu f  x*   f  x  x  C thì x* được gọi là cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối của f trên C (Nghiệm tối ưu toàn cục của (P’)). Mệnh đề 1.2. Cho f : n     lồi. Khi đó mọi điểm cực tiểu địa phương trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục. Hơn nữa tập hợp các điểm cực tiểu của f là một tập lồi. Nếu f lồi chặt thì điểm cực tiểu nếu tồn tại, sẽ duy nhất. Chứng minh. Cho C   n . Giả sử x* là điểm cực tiểu địa phương trên C của f . Khi đó tồn tại lân cận U của x* sao cho   f  x   f x* x  U  C x  C , 0    1 do C lồi và U là lân cận của x*  C nên ta có điểm x : 1    x *  x  C  U khi  đủ nhỏ. Do f  x*   f  x  và f lồi, ta có     f x*  f  x   1    f x*   f  x  9 suy ra f  x*   f  x  . Chứng tỏ x* là điểm cực tiểu toàn cục của f . Giả sử x* , y*  C là các điểm cực tiểu của f trên C, vậy     f x*  f y*  f  x  x  C . Lấy z* :  x*  1    y* với 0    1 . Do C lồi nên z*  C và do f lồi nên       f z*   f x*  1    f y*  f  x  Suy ra z* cũng là điểm cực tiểu của f trên C. Chứng tỏ tập các điểm cực tiểu của f trên C là lồi. Dễ thấy rằng tập hợp này chỉ gồm nhiều nhất một điểm khi f lồi chặt. Cực đại hàm lồi. Các tính chất cực đại của một hàm lồi khác hẳn các tính chất về cực tiểu của nó. Cụ thể,cực đại địa phương của một hàm lồi không nhất thiết là cực đại tuyệt đối. Ví dụ hàm f  x   x2 có điểm cực đại địa phương trên [-1, 2] là x = -1, nhưng điểm cực đại tuyệt đối lại là x = 2. Nếu xét hàm này trên [-2,2] ta thấy các điểm cực đại tuyệt đối của nó trên đoạn này không lồi vì nó chỉ gồm 2 điểm 2 và -2. Dưới đây nếu không nói gì thêm thì ta hiểu cực đại là cực đại tuyệt đối. 1.5. Tính liên tục của hàm số Cho hàm số f xác định trên tập mở C  n . Hàm f được gọi là liên tục tại điểm x0  C nếu với mọi   0 , tồn tại   0 sao cho f  x   f  x0    với mọi x  C thỏa mãn x  x0   . Nói cách khác, hàm số f là liên tục tại x0  C   nếu với mọi dãy xn   C hội tụ đến x0 , ta có f  xn   f  x0  . Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại điểm x0  C nếu với mọi   0 , tồn tại   0 sao cho f  x   f  x0     f  x  f  x     0 10 với mọi x  C thỏa mãn x  xn   . Nói cách khác, hàm số f là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại x0  C nếu  với mọi dãy xn   C hội tụ đến x0 , và dãy f  x lim f x   f x n n 0  n    hội tụ, ta có  lim f  x   f  x   . n 0 n Rõ ràng nếu f là nửa liên tục dưới tại x0  C thì  f là nửa liên tục trên tại x0  C . Hàm f vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới tại x0  C thì liên tục tại điểm đó. Hàm f được gọi là liên tục (nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) trên C nếu nó liên tục (nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) tại mọi điểm của C. 1.6. Đạo hàm và ma trận Hessian Cho hàm f xác định trên tập mở C  n . Giả sử rằng tại x0 , các đạo hàm riêng của hàm f theo mọi biến tồn tại. Khi đó vec tơ  f  x0  f  x0  f  x0   , ,...,    x  x  x 1 2 n   T được gọi là gradient của f tại x0  C và kí hiệu f  x0  . Nếu các đạo hàm cấp hai theo mọi biến của f tại x0 đều tồn tại thì ma trận   2 f  x0   2 f  x0      x1xn   x1x1       2   2 f  x0     f  x0      x  x xn xn  n 1  được gọi là ma trận Hessian của f tại x0 kí hiệu là 2 f  x0  . 11 Điểm x  C là điểm dừng của f trên C lồi nếu  n f x , x  x  0, x  C trong đó a, b  aT b   a j b j . j 1  Nói riêng, nếu f x  0 thì x là điểm dừng. 1.7. Ma trận xác định dƣơng, nửa xác định dƣơng. Cho A là một ma trận đối xứng thực cấp n, A được gọi là một ma trận nửa xác định dương, nếu xT Ax  0, x n , là một ma trận xác định dương nếu xT Ax  0, x  n , x  0 . A được gọi là một ma trận nửa xác định âm nếu xT Ax  0, x n , là một ma trận xác định âm nếu xT Ax  0, x  n , x  0 . 1.8. Bổ đề Farkas. Cho vectơ p n và ma trận A cấp m  n , muốn cho p, x  0 với mọi x nghiệm đúng Ax  0 điều kiện cần và đủ là tồn tại vectơ u   m sao cho u  0 và p  AT u ( p biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính không âm các vec tơ hàng của A). 1.9. Nón pháp tuyến. Một tập C được gọi là nón nếu   0,x  C  x  C một nón được gọi là nón lồi nếu đồng thời nó là một tập lồi. Cho tập C  n là một tập lồi và một điểm x  C . Ký hiệu NC  x   w| w,y  x  0y  C . 12 Hiển nhiên 0  NC  x  . Dùng định nghĩa, kiểm tra được NC  x  là một nón lồi đóng, nón này được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x. Tập  N C  x  được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x. Hiển nhiên  NC  x   w| w,y  x  0,y  C. Khi C là một tập mở (trường hợp riêng là C  n ) thì NC  x   0 . 1.10. Dƣới vi phân Cho f :  n     . Ta nói x* n là dưới đạo hàm của f tại x nếu x* ,z  x  f  x   f  z  ,z. Tương tự đối với hàm lồi khả vi thông thường biểu thức này có nghĩa là phương trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị của hàm số, tuy nhiên khác với trường hợp khả vi, tiếp tuyến ở đây có thể không tồn tại duy nhất. Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là f  x  . Nói chung đây là một tập (có thể bằng rỗng) trong  n . Khi f  x    thì ta nói f khả dưới vi phân tại x. Theo định nghĩa, một điểm x* f  x  khi và chỉ khi nó thỏa mãn một hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính. Như vậy f  x  là giao của các nửa không gian đóng. Vậy f  x  luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng). Ví dụ 1.3. 1. f  x   x ,x  n . Tại điểm x = 0 hàm này không khả vi, nhưng nó khả dưới vi phân và   f  0  x* | x* ,x  x ,x 2. f  C là hàm chỉ của một tập lồi C   . Khi đó với x0  C   C  x0   x* | x* ,x  x0  C  x  ,x 13 Với x  C , thì C  x    , nên bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy   C  x0   x* | x* ,x  x0  0,x  C  NC  x 0  Vậy đưới vi phân của hàm chỉ của một tập lồi C khác rỗng tại điểm x0  C chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0. 14 Chƣơng 2 QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ Pierre de Fermat sinh ngày 17 tháng 8 năm 1601 tại Pháp, ông mất năm 1665. Fermat là một học giả vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và là cha đẻ của lý thuyết số hiện đại. Fermat xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án nhưng lại vô cùng say mê toán học với thói quen nổi tiếng là ghi các ghi chú bên lề các quyển sách. Fermat là một học giả nghiệp dư đích thực. Ông được mệnh danh là "Ông Hoàng của những người nghiệp dư". Trong những thư từ trao đổi với các nhà toán học, ông luôn viết những phát biểu cho định lí mới nhất của mình, nhưng không gửi kèm chứng minh. Và ông thách thức họ tìm ra chứng minh đó. Việc ông không bao giờ tiết lộ chứng minh của mình cho mọi người biết khiến họ rất bực mình. Rene Descartes đã gọi Fermat là "thằng cha khoác lác", còn John Wallis thì gọi ông là "gã người Pháp chết tiệt". Khi Blaise Pascal ép ông công bố chứng minh, nhà toán học đã nói: "Bất cứ công trình nào của tôi cũng xứng đáng được công bố, nhưng tôi không muốn tên tôi xuất hiện ở đó.". Ông là một người ưa bí mật, ông sẵn sàng hy sinh danh tiếng của mình để miễn là không bị quấy rầy bởi những câu hỏi vụn vặt của những người phê bình. Phạm vi các định lí của Fermat trải rộng từ định lí cơ bản đến những định lí đơn thuần chỉ có tính giải trí, và thông thường định lí được phát biểu ở mức độ ngắn