Tài liệu Về phương trình tuyến tính với các số fibonacci

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- ĐINH THỊ HUYỀN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VỚI CÁC SỐ FIBONACCI Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN - 2019 i Möc löc Líi c£m ìn Mð ¦u 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1 2 4 2 C¡c ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi c¡c sè Fibonacci 9 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 D¢y Fibonacci v  d¢y Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . B i to¡n 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B i to¡n 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giîi thi»u b i to¡n têng qu¡t, c¡c kh¡i ni»m . . Tr÷íng hñp m = 3 v  m = 4 . . . . . . . . . . . Tr÷íng hñp têng qu¡t . . . . . . . . . . . . . . Tr÷íng hñp x(i) < b, vîi måi i . . . . . . . . . . Tr÷íng hñp tçn t¤i i º x(i) ≥ b . . . . . . . . . Mët sè k¸t qu£ v· t½nh ch§t cõa tªp S1 . . . . . Tr÷íng hñp b l´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chùng minh ành lþ 2.3.1 ( ành lþ ng¨u nhi¶n) K¸t luªn T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 7 9 13 16 22 25 29 33 36 38 39 1 Líi c£m ìn Tr÷îc h¸t, tæi xin gûi líi bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n PGS. TS. Næng Quèc Chinh ¢ h÷îng d¨n tæi ho n th nh b£n luªn v«n n y. Khi b­t ¦u nhªn · t i thüc sü tæi c£m nhªn · t i mang nhi·u nëi dung mîi m´. Hìn núa vîi vèn ki¸n thùc ½t äi n¶n r§t khâ º ti¸p cªn · t i. M°c dò r§t bªn rën trong cæng vi»c nh÷ng Th¦y v¨n d nh nhi·u thíi gian v  t¥m huy¸t trong vi»c h÷îng d¨n, ëng vi¶n khuy¸n kh½ch tæi trong suèt thíi gian tæi thüc hi»n · t i. Trong qu¡ tr¼nh ti¸p cªn · t i ¸n qu¡ tr¼nh ho n thi»n luªn v«n Th¦y luæn tªn t¼nh ch¿ b£o v  t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho tæi ho n th nh luªn v«n. Cho ¸n b¥y gií luªn v«n th¤c s¾ cõa tæi ¢ ÷ñc ho n th nh, xin c£m ìn Th¦y ¢ æn èc nh­c nhð tæi. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, Khoa To¡n - Tin v  Pháng  o t¤o cõa tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn c¡c Th¦y, Cæ ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi nh§t º tæi ho n th nh luªn v«n n y. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban gi¡m hi»u, c¡c th¦y cæ gi¡o tr÷íng THPT Hoa L÷ A - Ninh B¼nh nìi tæi cæng t¡c ¢ t¤o i·u ki»n gióp ï tæi ho n th nh cæng vi»c chuy¶n mæn t¤i nh  tr÷íng º tæi ho n th nh ch÷ìng tr¼nh håc tªp cao håc. Cuèi còng, tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi khæng ngøng ëng vi¶n, hé trñ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2019 T¡c gi£ inh Thà Huy·n 2 Mð ¦u Leonardo Pisano Bogollo (kho£ng 1170  kho£ng 1250), cán ÷ñc bi¸t ¸n vîi t¶n Leonardo cõa Pisa, hay phê bi¸n nh§t d÷îi c¡i t¶n Fibonacci, l  mët nh  to¡n håc ng÷íi Þ v  æng ÷ñc mët sè ng÷íi xem l  "nh  to¡n håc t i ba nh§t thíi Trung Cê". Fibonacci nêi ti¸ng trong th¸ giîi hi»n ¤i v¼ câ cæng lan truy·n h» kþ sè Hindu-ƒ Rªp ð ch¥u …u, v  °c bi»t l  d¢y sè hi»n ¤i mang t¶n æng, d¢y Fibonacci trong cuèn s¡ch Liber Abaci. D¢y sè Fibonacci l  mët trong nhúng v´ µp cõa kho t ng To¡n håc. D¢y Fibonacci xu§t hi»n v  bi¸n hâa væ tªn trong tü nhi¶n, vîi r§t nhi·u t½nh ch§t µp v  ùng döng quan trång. ¸n nay câ r§t nhi·u mð rëng cõa d¢y Fibonacci nh÷ d¢y k -Fibonacci... H¦u h¸t nhúng t½nh ch§t tèt cõa nhúng d¢y n y ·u xu§t ph¡t tø d¢y Fibonacci. Mët d¢y tçn t¤i song song vîi d¢y Fibonacci l  d¢y Lucas. D¢y n y câ nhi·u ùng döng °c bi»t trong t¼m nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh Diophantine. Hai d¢y n y l  chóng câ mèi li¶n h» ch°t ch³ vîi nhau. Trong tü nhi¶n câ nhi·u hi»n t÷ñng, sü vªt xu§t hi»n tròng vîi d¢y sè Fibonacci. H¦u h¸t c¡c bæng hoa câ sè c¡nh hoa l  mët trong c¡c sè 3, 5, 8. Sè nh¡nh tø mët c¥y khi i tø gèc l¶n ngån công th÷íng tu¥n theo d¢y Fibonacci khi tø 1 nh¡nh l¶n 2 nh¡nh, 3 nh¡nh rçi 5, 8, 13 nh¡nh. Nhúng chi¸c l¡ tr¶n mët nh nh c¥y công t÷ìng ùng vîi d¢y sè Fibonacci. Trong luªn v«n n y chóng ta i t¼m hiºu c¡c b i to¡n ri¶ng, b i to¡n têng qu¡t v· ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh trong â c¡c h» nghi»m l  c¡c sè Fibonacci. Nëi dung cõa luªn v«n tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 d nh º tr¼nh b y l¤i sè ki¸n thùc li¶n quan ¸n sè Fibonacci v  sè Lucas, giîi thi»u hai b i to¡n 779 v  804 v  líi gi£i cõa hai b i to¡n n y. C¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa ch÷ìng n y ÷ñc vi¸t theo t i li»u [1], [2], [3]. Ch÷ìng 2 ta tªp trung i t¼m hiºu b i to¡n têng qu¡t, líi gi£i b i to¡n 3 trong khi m = 3, 4 tø â ÷a ra dü o¡n líi gi£i cho b i to¡n têng qu¡t. Cö thº trong ph¦n 2.1 giîi thi»u b i to¡n têng qu¡t. Ph¦n 2.2 tr¼nh b y líi gi£i trong tr÷íng hñp m = 3 ho°c 4. Ph¦n 2.3 tr¼nh b y líi gi£i cho tr÷íng hñp têng qu¡t â l  ành lþ ng¨u nhi¶n. Ph¦n 2.4 ¸n h¸t 2.8 l  c¡c k¸t qu£ xoay quanh vi»c chùng minh cõa ành lþ ng¨u nhi¶n. C¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa ch÷ìng n y ÷ñc vi¸t theo t i li»u [4]. 4 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1.1 D¢y Fibonacci v  d¢y Lucas ành ngh¾a 1.1.1. D¢y sè Fibonacci, kþ hi»u (Fn)n∈ N ÷ñc ành ngh¾a bði cæng thùc truy hçi ( F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 , (n ≥ 1), ð ¥y Fn l  sè h¤ng thù n cõa d¢y sè Fibonacci. C¡c sè ¦u ti¶n cõa d¢y Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . . . Tø h» thùc truy hçi cõa d¢y Fibonacci ta câ Fn+2 − Fn+1 − Fn = 0, vîi måi n ≥ 0. Do â ta câ ph÷ìng tr¼nh x2 − x − 1 = 0 hay x2 = x + 1. Nh¥n hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh vîi xn−1 ta ÷ñc xn+1 = xn + xn−1 . (1.1) Rã r ng n¸u ϕ l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) th¼ 1 − ϕ công l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1). Do â ϕn+1 = ϕn + ϕn−1 v  (1 − ϕ)n+1 = (1 − ϕ)n + (1 − ϕ)n−1 . n Vîi méi c°p sè thüc a, b, ta °t Fa,b (n) = aϕn + b(1 − ϕ) . Khi â t§t c£ c¡c h m n y thäa m¢n h» thùc truy hçi Fibonacci. 5 ành ngh¾a 1.1.2. C¡c h m Fa,b (n) = aϕn + b(1 − ϕ)n ÷ñc gåi l  h m sinh. Trong ành ngh¾a d¢y Fibonacci, c¡c sè h¤ng cõa d¢y ÷ñc cho d÷îi d¤ng truy hçi n¶n khi sû döng d¢y æi khi g°p khâ kh«n. M»nh · sau ¥y cho ta cæng thùc t÷íng minh cõa d¢y Fibonacci v  ÷ñc gåi l  cæng thùc Binet. Cæng thùc Binet ÷ñc sû döng húu hi»u trong c¡c chùng minh sau n y. M»nh · 1.1.3. D¢y sè Fibonacci ÷ñc cho bði cæng thùc  Fn = √ n 1+ 5 2  − √ 5 √ n 1− 5 2 . D¢y Lucas l  mët d¢y sè ÷ñc °t t¶n nh¬m vinh danh nh  to¡n håc Francois ’douard Anatole Lucas (1842-1891), ng÷íi ¢ nghi¶n cùu d¢y sè Fibonacci, d¢y sè Lucas v  c¡c d¢y t÷ìng tü. Gièng nh÷ d¢y Fibonacci, méi sè trong d¢y Lucas b¬ng têng cõa hai sè li·n tr÷îc nâ. D¢y sè gçm th÷ìng giúa hai sè Lucas li·n nhau s³ hëi tö ¸n giîi h¤n b¬ng t¿ l» v ng. Tuy vªy kh¡c vîi d¢y Fibonacci, hai sè ¦u ti¶n trong d¢y Lucas l  L0 = 2 v  L1 = 1 (trong d¢y Fibonacci l  0 v  1). Ch½nh v¼ th¸ m  mët sè t½nh ch§t cõa sè Lucas s³ kh¡c vîi sè Fibonacci. ành ngh¾a 1.1.4. Cho r, s l  c¡c sè nguy¶n kh¡c khæng. D¢y Lucas ùng vîi c°p (r, s) ÷ñc ành ngh¾a l : u0 (r, s) = 0, u1 (r, s) = 1, un (r, s) = run−1 + sun−2 (n ≥ 2) . Trong tr÷íng hñp (r, s) = (1, 1) ta k½ hi»u sè h¤ng thù n cõa d¢y l  Ln v  gåi ng­n gån l  d¢y Lucas. T÷ìng tü nh÷ d¢y Fibonacci, b¬ng quy n¤p ta câ thº chùng minh ÷ñc d¢y Lucas ÷ñc cho bði cæng thùc sau. M»nh · 1.1.5. Vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n, ta câ Ln = √ !n 1+ 5 − 2 √ !n 1− 5 2 Tø M»nh · 1.1.3 v  M»nh · 1.1.5 ta câ ành lþ sau. ành lþ cho ta mèi li¶n h» giúa c¡c sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y Fibonacci v  d¢y Lucas. 6 ành lþ 1.1.6. Vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n > m, ta câ FnLm = Fn+m + Fn−m . Vîi méi sè nguy¶n d÷ìng n ta °t F−n = (−1)n Fn v  Ln = (−1)n Ln . 1.2 B i to¡n 779 N«m 1995, t¤p ch½ The Fibonacci Quarterly sè 33.1 ¢ giîi thi»u b i to¡n B.779 cõa Andrew Cusumano. Nëi dung cõa b i to¡n â l : T¼m c¡c sè nguy¶n a, b, c v  d thäa m¢n 1 < a < b < c < d sao cho çng nh§t thùc sau l  óng vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n. Fn = Fn−a + 6Fn−b + Fn−c + Fn−d (1.2) ¢ câ nhi·u nh  to¡n håc kh¡c nhau gûi líi gi£i ¸n t¤p ch½ The Fibonacci Quarterly, h¦u h¸t c¡c nh  to¡n håc ch¿ gûi ¸n líi gi£i a = 2, b = 5, c = 6, d = 8 v  kh¯ng ành r¬ng vi»c chùng minh ¯ng thùc Fn = Fn−2 + 6Fn−5 + Fn−6 + Fn−8 (1.3) b¬ng ph÷ìng ph¡p chùng minh quy n¤p theo n l  ìn gi£n. Ch¿ câ Bruckman v  Figghion ¢ chùng minh cö thº v  ch¿ ra c¡ch t¼m a, b, c, d. Tuy nhi¶n, c¡c ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn v  gi£i quy¸t b i to¡n d÷íng nh÷ khæng câ t½nh kh¡i qu¡t. Ta câ thº câ chùng minh ¯ng thùc (1.3) b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo n nh÷ sau: Vîi n = 8 th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.3) t÷ìng ÷ìng vîi F8 = F6 + 6F3 + F2 + F0 . ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng v¼ F8 = 21, F6 = 8, F3 = 2, F2 = 1, F0 = 0. Gi£ sû ¯ng thùc óng vîi måi sè tü nhi¶n 8 ≤ k ≤ n. Ta chùng minh (1.3) óng vîi k = n + 1. Theo ành ngh¾a d¢y Fibonacci v  gi£ thi¸t quy 7 n¤p ta câ Fn+1 = Fn + Fn−1 = (Fn−2 + 6Fn−5 + Fn−6 + Fn−8 ) + F(n−1)−2 + 6F(n−1)−5 + F(n−1)−6 + F(n−1)−8
= (Fn−2 + Fn−3 ) + 6 (Fn−5 + Fn−6 ) + (Fn−6 + Fn−7 ) + (Fn−8 + Fn−9 ) = Fn−1 + 6Fn−4 + Fn−5 + Fn−7 . V¼ vªy ta câ Fn+1 = F(n+1)−2 + 6F(n+1)−5 + F(n+1)−6 + F(n+1)−8 . 1.3 B i to¡n 804 Nëi dung cõa b i to¡n 804 l : H¢y t¼m t§t c£ c¡c sè nguy¶n a, b, c v  d (vîi 1 < a < b < c < d) sao cho çng nh§t thùc sau ¥y l  óng vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n Fn = Fn−a + 9342Fn−b + Fn−c + Fn−d . (1.4) Ngay sau â, n«m 1997, L.A.G. Dersel ¢ ÷a ra líi gi£i cõa b i to¡n 804 trong sè 35.1 (1997) cõa t¤p ch½ The Fibonacci Quarterly. Líi gi£i cö thº nh÷ sau. Tø nhªn x²t 9342 = 9349 − 7 = L19 − L4 , ð ¥y Lk l  sè Lucas thù k. Sû döng c¡c çng nh§t thùc giúa c¡c sè Fibonacci v  sè Lucas ta câ Fm+19 − Fm−19 = Fm L19 , Fm+4 + Fm−4 = Fm L4 . Trø v¸ vîi v¸ cõa 2 ¯ng thùc tr¶n ta nhªn ÷ñc Fm+19 − Fm−19 − Fm+4 − Fm−4 = Fm (L19 − L4 ) . °t n = m + 19, ta nhªn ÷ñc ¯ng thùc sau Fn = Fn−15 + 9342Fn−19 + Fn−23 + Fn−38 . Nh÷ vªy ta câ c¡c sè tr¶n c¦n t¼m l : a = 15, b = 19, c = 23, d = 38. Bèn sè tr¶n ch½nh l  mët líi gi£i cõa b i to¡n 804. 8 Nhªn x²t 1.3.1. (i) Trong thüc t¸, vi»c gi£i c¡c b i to¡n 779 v  804, ch½nh l  vi»c t¼m c¡c sè Fibonacci thäa m¢n c¡c çng thùc ¢ n¶u, hay nâi c¡ch kh¡c ch½nh l  vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi c¡c nghi»m l  c¡c sè Fibonacci. (ii) Rã r ng ta câ thº thay êi h» sè cõa h¤ng tû thù 2 cõa v¸ ph£i c¡c çng nh§t thùc tr¶n v  ta s³ nhªn l¤i ÷ñc mët b i to¡n mîi vîi c¡c líi gi£i kh¡c nhau. V½ dö 1.3.2. Zeitlin ¢ t¼m ra a = 2, b = 20, c = 40, d = 1 l  líi gi£i cõa ph÷ìng tr¼nh Fn = Fn−2 + 9349Fn−20 + Fn−40 + Fn−41 Trong ch÷ìng sau (nëi döng ch½nh cõa luªn v«n) chóng ta s³ nghi¶n cùu c¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi c¡c bë nghi»m l  c¡c sè Fibonacci. 9 Ch÷ìng 2 C¡c ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi c¡c sè Fibonacci 2.1 Giîi thi»u b i to¡n têng qu¡t, c¡c kh¡i ni»m T÷ìng tü nh÷ B i to¡n 779 v  804 ta x²t b i to¡n têng qu¡t sau. B i to¡n. Cho m l  mët sè nguy¶n thäa m¢n m ≥ 3. T¼m t§t c£ c¡c bë sè nguy¶n {c 6= 0, a(1), ...a(m)} thäa m¢n i·u ki»n 0 < a(1) < a(2) < ... < a(m) sao cho vîi måi sè n > 0 cho tr÷îc ta câ Fn = Fn−a(1) + cFn−a(2) + Fn−a(3) + Fn−a(4) + ... + Fn−a(m) . (2.1) ành ngh¾a 2.1.1. Ph÷ìng tr¼nh (2.1) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t vîi c¡c sè Fibonacci câ ë d i m. Trong ph÷ìng tr¼nh (2.1) ÷ñc gåi b¬ng c¡ch thay n = a(2) = b v  °t x(1) = b − a(1), x(i) = a(i) − b, i = 3, 4, ..., m. Khi â tø ph÷ìng tr¼nh (2.1) ta câ ph÷ìng tr¼nh sau Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−x(m) , (2.2) 0 < x(1) < b; 0 < x(3) < x(4) < ... < x(m). (2.3) trong â ành ngh¾a 2.1.2. Ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh rót gån cõa (2.1). 10 ành ngh¾a 2.1.3. Mët nghi»m b, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m) cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l  1 − tham sè n¸u b + 2j, x(1) + 2j, x(3) + 2j, x(4) + 2j, . . . , x(m) + 2j công l  nghi»m cõa (2.2). Mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l  nghi»m ìn n¸u nâ khæng l  1 − tham sè. Nhªn x²t: Nh÷ vªy, tªp t§t c£ c¡c nghi»m 1 − tham sè l  mët lîp væ h¤n c¡c nghi»m, m  chóng câ kho£ng c¡ch ·u nhau giúa c¡c ch¿ sè. V¼ vªy, t§t c£ c¡c ch¿ sè cõa c¡c nghi»m 1 − tham sè câ thº biºu di¹n nh÷ mët h m tuy¸n t½nh cõa mët tham sè duy nh§t. V¼ vªy, n¸u nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) l  1 − tham sè, th¼ kho£ng c¡ch giúa c¡c ch¿ sè l  r§t quan trång. ành ngh¾a 2.1.4. èi vîi nghi»m 1−tham sè b, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m) cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ta sû döng y − k½ hi»u ("y − notation") thay cho bë (m − 1) sau ¥y: hy(1), y(3), y(4), · · · , y(m)i, trong â y(i) ÷ñc x¡c ành bði y(i) = |b − x(i)| . vîi i = 1, 3, 4, . . . , m. V½ dö 2.1.5. a) èi vîi çng nh§t thùc Fb = Fb−1 + Fb−2 ta câ y − k½ hi»u l  h1, 2i V¼ y(1) = · · · = 1 y(2) = · · · = 2. b) èi vîi çng nh§t thùc Fb = Fb−2 + Fb−1 th¼ y − k½ hi»u l  h2, 1i ành ngh¾a 2.1.6. Hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) thäa m¢n i·u ki»n (2.3) ÷ñc gåi l  hai nghi»m nh÷ nhau n¸u ë d i v  y − k½ hi»u cõa chóng l  b¬ng nhau. Rã r ng quan h» hai nghi»m nh÷ nhau trong lîp c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc ành ngh¾a nh÷ tr¶n l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng. 11 V½ dö 2.1.7. èi vîi çng nh§t thùc Fb = Fb−1 + Fb−2 , ta câ y(1) = |b − x(1)| = |b − (b − 1)| = 1, y(3) = |b − x(3)| = |b − (b − 2)| = 2. ành ngh¾a 2.1.8. Ta nâi sè Fibonacci Fz l  lîn, n¸u z > 2. Ta nâi mët çng nh§t thùc l  lîn n¸u m  c¡c v¸ cõa nâ l  mët tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c sè Fibonacci câ t§t c£ c¡c ch¿ sè ·u lîn hìn 2. Mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l  lîn n¸u b > 2 v  x(i) > 2 vîi måi i = 1, 3, 4, . . . , m. ành ngh¾a 2.1.9. Ta nâi mët çng nh§t thùc câ d¤ng Pj∈J Fj = Fb l  ph¥n t½ch ÷ñc n¸u têng cõa mët tªp con kh¡c réng thüc sü n o â c¡c h¤ng tû cõa v¸ ph£i b¬ng 0. N¸u çng nh§t thùc P j∈J Fj = Fb khæng ph¥n t½ch ÷ñc th¼ ta nâi çng nh§t thùc â l  nguy¶n tè. V½ dö 2.1.10. a) Ph÷ìng tr¼nh Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) câ mët nghi»m l  0 < x(1) = x(3) v  0 < x(4) = b (vîi x(3) < x(4)), ngh¾a l  Fb = Fx(1) + F−x(1) + F−b vîi b l´ v  x(1) ch®n. ¥y l  nghi»m ph¥n t½ch ÷ñc cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho v¼ ta câ Fx(1) + F−x(3) = 0. b) Ph÷ìng tr¼nh Fb = Fx(1) + F−x(3) câ nghi»m x(1) = b − 1, x(3) = b − 2, vîi b ≥ 3, b l´. V¼ khi b l´ ta câ (b − 2) l  l´, do â F−(b−2) = Fb−2 . V¼ vªy Fb = Fb−1 + F−(b−2) l  nghi»m nguy¶n tè cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n. èi vîi çng nh§t thùc ph¥n t½ch ÷ñc, ta câ thº biºu di¹n v¸ ph£i cõa nâ nh÷ l  têng cõa c¡c nh¥n tè (" factor"). ành ngh¾a 2.1.11. a) Ta hiºu mët nh¥n P tè ("factor") cõa mët çng nh§t thùc ph¥n t½ch ÷ñc l  mët têng câ d¤ng ho°c l  P j∈J Fj = 0, ho°c P j∈J Fj = Fb , j∈J Fj thäa m¢n: 12 trong â J l  tªp con thüc sü cõa tªp c¡c ch¿ sè: {x(1), x(3), x(4), · · · , x(m)}. b) Sè l÷ñng c¡c nh¥n tè cõa mët çng nh§t thùc ph¥n t½ch ÷ñc l  sè lîn nh§t cõa c¡c tªp con kh¡c réng, khæng giao nhau cõa c¡c ch¿ sè trong çng nh§t thùc â, sao cho èi vîi méi tªp con J nh÷ vªy, ta câ P j∈J Fj l  mët nh¥n tè cõa çng nh§t thùc ¢ cho. c) ë d i cõa mët nh¥n tè l  sè h¤ng tû câ trong nh¥n tè â. V½ dö 2.1.12. a) Vîi m = 6 ta câ çng nh§t thùc Fb = Fd + F−1 + F−2 + F−d + F−b vîi d ch®n, b l´ v  2 < d < b l  mët nghi»m cõa (2.2), v  çng nh§t thùc tr¶n câ 3 nh¥n tè v  v¼ vªy nâ l  ph¥n t½ch ÷ñc. C¡c nh¥n tè â l : Fd + F−d = 0. V¼ d l  ch®n, nh¥n tè n y câ ë d i l  2. T÷ìng tü ta câ 2 nh¥n tè cán l¤i công câ ë d i l  2 F−1 + F−2 = 0 Fb = F−b v¼ b l  l´. b) Vîi m = 7 ta câ çng nh§t thùc Fb = Fd + F−1 + F−3 + F−4 + F−d + F−(b+1) + F−(b+2) vîi b l´, d ch®n v  d < 4 < b + 1. ¥y l  çng nh§t thùc ph¥n t½ch ÷ñc v¼ nâ câ 3 nh¥n tè â l  Fd + F−d = 0, câ ë d i 2. F−1 + F−3 + F−4 = 0, câ ë d i 3. V¼ b l´ n¶n F−(b+2) = Fb+2 , F−(b+1) = −Fb+1 n¶n ta câ nh¥n tè: Fb = F−(b+1) + F−(b+2) câ ë d i 3. ành ngh¾a 2.1.13. Mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l  ch®n (ho°c l´) n¸u b t÷ìng ùng l  ch®n (ho°c l´). ành ngh¾a 2.1.14. Mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l  nguy¶n tè n¸u çng nh§t thùc Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−x(m) l  khæng ph¥n t½ch ÷ñc, ngh¾a l  khæng câ mët tªp con J thüc sü n o cõa tªp {b, x(1), −x(3), . . . , −x(m)} sao cho P j∈J Fj = 0. 13 2.2 Tr÷íng hñp m = 3 v  m = 4 Möc ½ch cõa ph¦n n y l  t¼m líi gi£i cho ph÷ìng tr¼nh (2.2) trong tr÷íng hñp m = 3 v  m = 4. Vîi m = 3, ph÷ìng tr¼nh (2.2) câ d¤ng Fb = Fx(1) + F−x(3) , 0 < x(1) < b, 0 < x(3). Tr÷îc ti¶n ta c¦n bê · sau. Bê · 2.2.1. N¸u {b, x(1), x(3)} l  mët nghi»m lîn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) vîi m = 3 th¼ x(1) = b − 1, x(3) = b − 2, b l´, b ≥ 5 ho°c x(1) = b − 2, x(3) = b − 1, b ch®n, b ≥ 5. Chùng minh. Theo i·u ki»n cõa x(1) ta luæn câ 0 < x(1) < b. Do â ta x²t c¡c tr÷íng hñp sau. Tr÷íng hñp 1: x(1) = b − 1. V¼ {b, x(1), x(3)} l  mët nghi»m lîn n¶n b, x(1), x(3) > 2. Khi â F−x(3) = Fb − Fx(1) = Fb − Fb−1 = Fb−2 > 0. Do â x(3) l  sè l´ v  x(3) = b − 2 ≥ 3 hay b ≥ 5. Tr÷íng hñp 2: x(1) = b − 2. Khi â F−x(3) = Fb − Fx(1) = Fb−1 > 0. T÷ìng tü ta câ x(3) l  sè l´ v  x(3) = b − 1 n¶n b ch®n. M°t kh¡c x(1) = b − 2 > 2 n¶n b ≥ 5. Tr÷íng hñp 3: x(1) ≤ b − 3. Khi â n¸u F−x(3) ≤ Fb−1 th¼ ta câ Fx(1) + F−x(3) ≤ Fb−3 + Fb−1 < Fb , i·u n y l  m¥u thu¨n. N¸u F−x(3) ≥ Fb do x(1) > 0 ta suy ra Fx(1) + F−x(3) > Fb , i·u n y l  m¥u thu¨n. Vªy khæng x£y ra tr÷íng hñp x(1) ≤ b − 3. Do â ph÷ìng tr¼nh d¤ng Fb = Fx(1) + F−x(3) , 0 < x(1) < b, 0 < x(3) ch¿ câ hai hå nghi»m 1 − tham sè l  Fb = Fb−1 + F−(b−2) vîi b l´, b ≥ 5 v  Fb = Fb−2 + F−(b−1) vîi b ch®n, b ≥ 6.  ành lþ 2.2.2. Khi m = 3, ph÷ìng tr¼nh (2.2) ch¿ câ c¡c nghi»m l  (i) x(1) = b − 1, x(3) = b − 2, b ≥ 3 v  b l  sè l´. (ii) x(1) = b − 2, x(3) = b − 1, b ≥ 4 v  b l  sè ch®n. (iii) b = 3, x(1) = 1, x(3) = 1. (iv) b = 4, x(1) = 1, x(3) = 3. (v) b = 4, x(1) = 3, x(3) = 1. 14 Chùng minh. Theo Bê · 2.2.1, n¸u nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) l  lîn v  b ≥ 5 th¼ nghi»m â l  d¤ng (i) ho°c (ii). Tr÷íng hñp cán l¤i, nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khæng lîn th¼ mët trong ba gi¡ trà b, x(1), x(3) ph£i b¬ng 1 ho°c 2. Hìn núa, tø nhªn x²t ph÷ìng tr¼nh Fz − 1 = Fy l  khæng gi£i ÷ñc èi vîi y n¸u z ≥ 5. V¼ vªy, ta câ thº kiºm tra t§t c£ c¡c iºm 3 3 tåa ë nguy¶n trong khèi lªp ph÷ìng [1, 4] ⊂ R3 . Ph÷ìng tr¼nh (2.2) ch¿ câ 3 nghi»m d¤ng (iii) ho°c (iv) v  (v). V¼ vªy c¡c nghi»m khæng lîn cõa (2.2) l  F3 = F1 + F−1 (x(3) = −1) , F4 = F1 + F−3 (x(3) = 3) , F4 = F3 + F−1 (x(3) = 1). Ta câ i·u ph£i chùng minh.  K¸t qu£ sau l  h» qu£ trüc ti¸p cõa ành lþ 2.2.2. H» qu£ 2.2.3. T§t c£ c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) khi m = 3 ·u thuëc mët trong c¡c d¤ng sau. (i) Fn = Fn−1 + Lb−2Fn−b + Fn−(2b−2), (ii)Fn = Fn−2 + Lb−1Fn−b + Fn−(2b−1), (iii) Fn = Fn−1 + 2Fn−4 + Fn−5. (iv) Fn = Fn−2 + 2Fn−3 + Fn−4. (v) Fn = Fn−3 + 5Fn−4 + Fn−7. b ≥ 3 v  b l´. b ≥ 4 v  b ch®n. Chó þ r¬ng c¡c nghi»m khæng lîn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) trong (iii), (iv) v  (v) l  nghi»m ìn trong khi nghi»m lîn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) l  1 − tham sè. Ti¸p theo ta x²t tr÷íng hñp m = 4. Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.2) câ d¤ng Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) , trong â b > x(1) > 0 v  0 < x(3) < x(4). T÷ìng tü nh÷ trong tr÷íng hñp m = 3 ta câ ành lþ sau. ành lþ 2.2.4. Khi m = 4 th¼ b, x(1), x(3), x(4) l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) n¸u nâ l  mët trong 10 nghi»m kh¡c nhau ÷ñc tr¼nh b y trong b£ng 2.1, 2.2 v  2.3 d÷îi ¥y. 15 Hai nhâm gièng nhau cõa c¡c nghi»m nguy¶n tè 1− tham sè cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) vîi m = 4 ÷ñc tr¼nh b y trong b£ng 2.1 d÷îi ¥y. y-k½ hi»u Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2.2) i·u ki»n cõa b < 2, 0, 1 > Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+1) b > 3, b ch®n < 4, 3, 1 > Fb = Fb−4 + F−(b−3) + F−(b+1) b > 5, b ch®n B£ng 2.1: Hai nhâm gièng nhau cõa nghi»m nguy¶n tè cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khi m = 4. b, x(1), x(3), x(4) b, b − 2, b, b + 1 b, b − 4, b − 3, b − 1 b, x(1), x(3), x(4) 4, 3, 2, 3 5, 3, 1, 3 4, 1, 4, 5 6, 3, 1, 5 6, 3, 1, 5 6, 5, 3, 1 Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2.2) F4 F5 F4 F6 F6 F6 = F3 + F−2 + F−3 = F3 + F−1 + F−3 = F1 + F−4 + F−5 = F3 + F−1 + F−5 = F1 + F−3 + F−5 = F5 + F−1 + F−3 B£ng 2.2: S¡u nghi»m ìn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khi m = 4. S¡u nghi»m ìn ÷ñc tr¼nh b y trong b£ng 2.2. Trong 6 nghi»m n y th¼ nghi»m b = 4, x(1) = 3, x(3) = 2, x(4) = 3 l  nghi»m ph¥n t½ch ÷ñc, 5 nghi»m cán l¤i ·u l  c¡c nghi»m nguy¶n tè. Khi m = 4, hai hå nghi»m ph¥n t½ch ÷ñc cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc cho trong b£ng 2.3. Hå nghi»m trong h ng 1 l  nghi»m 1 − tham sè, ph¥n t½ch ÷ñc v¼ Fx(1) + F−x(1) = 0. Vîi x(1) l  ch®n. Hå nghi»m trong h ng 2 l  nghi»m ìn v  ph¥n t½ch ÷ñc v¼ F1 + F−2 = 0. Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2.1.2) Giîi h¤n tham sè Fb = Fx(1) + F−x(1) + F−b b l´; x(1) ch®n x(1) < b Fb = F1 + F−2 + Fb b l´; b > 2 B£ng 2.3: Hai nghi»m nh¥n tè cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khi m = 4. b, x(1), x(3), x(4) b, x(1), x(1), b b, 1, 2, b 16 Nhªn x²t 2.2.5. M÷íi nhâm nghi»m ríi nhau cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khi m = 4 ÷ñc tr¼nh b y ð tr¶n, °t cho ta c¥u häi v· vi»c x¡c ành mªt ë cõa c¡c nghi»m. Ta câ thº ti¸n h nh vi»c â nh÷ sau: Méi nghi»m cõa (2.2) thäa m¢n (2.3) l  mët bë bèn. Ta câ thº chån mët sè u khæng êi v  ¸m t§t c£ c¡c bë 4 sè nguy¶n 4 n¬m trong khèi si¶u lªp ph÷ìng [1, u] . Kiºm tra xem nhúng bë bèn n o l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) v  thäa m¢n (2.3). Trong b£ng bèn d÷îi ¥y, ta l§y u = 40 trong h¼nh si¶u lªp ph÷ìng [1, 40]4 câ 131 nghi»m cõa (2.2), trong â câ s¡u nghi»m ìn cö thº ÷ñc trong b£ng 2.2, khi u t«ng ta công ch¿ câ 6 nghi»m ìn cö thº â, cán l¤i t§t c£ c¡c nghi»m ·u n¬m trong 4 hå nghi»m cõa b£ng 2.1 v  b£ng 2.3. Trong h¼nh si¶u lªp ph÷ìng câ 125 nghi»m cõa 4 hå nghi»m n y, chi¸m 95%. Mªt ë c¡c nghi»m cõa 4 hå nghi»m â ÷ñc x¡c ành trong b£ng 2.4 d÷îi ¥y. b, x(1), x(3), x(4) b, x(1), x(1), b b, 1, 2, b b, b − 2, b, b + 1 b, b − 4, b − 3, b − 1 Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2.2) Mªt ë Fb Fb Fb Fb = Fx(1) + F−x(1) + F−b = F1 + F−2 + F−b = Fb−2 + F−b + F−(b+1) = Fb−4 + F−(b−3) + F−(b−1) 69% 14% 6% 6% B£ng 2.4: Mªt ë cõa c¡c hå nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khi m = 4, trong 4 tªp sè trong h¼nh si¶u lªp ph÷ìng[1, 40]4. Khi u t«ng th¼ mªt ë c¡c nghi»m s³ thay êi, t¡c gi£ Stephens Hall dü o¡n l  nâ s³ ti¸n ¸n mët giîi h¤n n o â, v  câ nhªn x²t r¬ng h¦u h¸t c¡c nghi»m ÷ñc cho trong b£ng 2.4 ·u khæng ph£i l  nghi»m nguy¶n tè. 2.3 Tr÷íng hñp têng qu¡t Möc ½ch ch½nh cõa ph¦n n y l  tr¼nh b y líi gi£i trong tr÷íng hñp têng qu¡t. Tr÷îc khi ph¡t biºu k¸t qu£ ch½nh ta c¦n mët sè quy ÷îc sau. Ta quy ÷îc k½ hi»u o, o0 , o00 t÷ìng ùng l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng, l´ tòy þ. N¸u J l  tªp con c¡c sè nguy¶n th¼ a ≤ J ≤ b câ ngh¾a l  a ≤ j ≤ b vîi måi j ∈ J . T÷ìng tü J l  ch®n (l´) ngh¾a l  t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa tªp hñp J l  ch®n (l´). Khi â k¸t qu£ sau l  ành lþ ch½nh cõa ch÷ìng n y. 17 ành lþ 2.3.1. (ành l½ ng¨u nhi¶n) Gi£ sû {b, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m)} l  mët nghi»m nguy¶n tè lîn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) vîi m ≥ 3. Khi â nghi»m n y l  1 − tham sè. Hìn núa n¸u m = 3 th¼ nghi»m câ d¤ng (i) v  (ii) trong ành l½ 2.2.2, n¸u m > 3, b l  sè ch®n th¼ nghi»m n y thuëc mët trong ch½n d¤ng nh÷ sau. (1) Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2) + F−(b−o) + ... + F−(b−1) . (2) Fb = Fb−2 + F−b + F−(b−1) . (3) Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + ... + F−(b+o00 +1) + F−(b+o00 +2) . (4) Fb = Fb−0−3 + F−(b−0−1) + F−(b−0) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+1) . (5) Fb = Fb−0−3 + F−(b−0−1) + F−(b−0) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + ... + F−(b+o00 +1) + F−(b+o00 +2) . (6) Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2) + F−(b−o) + ... + F−(b−3) + F−b + F−(b+1) . (7) Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2) + F−(b−o) + ... + F−(b−3) + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + ... + F−(b+o00 +1) + F−(b+o00 +2) . (8) Fb = Fb−o−4−o0 +F−(b−o−3−o0 ) +F−(b−o−1−o0 ) +...+F(b−o−4) +F−(b−o−1) + F−(b−o) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+1) . (9) Fb = Fb−o−4−o0 + F−(b−o−3−o0 ) + F−(b−o−1−o0 ) + ... + F−(b−o−4) + F−(b−o−1) + F−(b−o) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + ... + F−(b+o00 +1) + F−(b+o00 +2) . Ng÷ñc l¤i måi sü lüa chån sè nguy¶n d÷ìng b l  lîn, ch®n v  måi lüa chån o, o0 v  o00 sao cho t§t c£ c¡c ch¿ sè trong 9 d¤ng ð tr¶n ·u lîn th¼ ta nhªn ÷ñc nghi»m 1 − tham sè, lîn, ch®n, nguy¶n tè cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) vîi m > 3. V½ dö sau ¥y l  mët minh håa cho c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2). V½ dö 2.3.2. C¡c nghi»m sau ¥y cho ph÷ìng tr¼nh (2.2), vîi c¡c gi¡ trà kh¡c nhau cõa m minh håa bði 9 d¤ng sau: (1) Fb = Fb−10 + F−(b−9) + F−(b−7) + F−(b−5) + F−(b−3) + F−(b−1) . (2) Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+1) . (3) Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + F−(b+6) + F−(b+7) . (4) Fb = Fb−4 + F−(b−2) + F−(b−1) + F−b + F−(b+1) . (5) Fb = Fb−4 + F−(b−2) + F−(b−1) + F−b + F−(b+2) + F−(b+3) . (6) Fb = Fb−8 + F−(b−7) + F−(b−5) + F−(b−3) + F−b + F−(b+1) . (7) Fb = Fb−6 + F−(b−5) + F−(b−3) + F−b + F−(b+2) + F−(b+3) . 18 (8) Fb = Fb−6 + F−(b−5) + F−(b−2) + F−(b−1) + F−b + F−(b+1) . (9) Fb = Fb−8 +F−(b−7) +F−(b−5) +F−(b−2) +F−(b−1) +F−b +F−(b+2) +F−(b+3) . Tr÷îc khi chùng minh ành lþ ng¨u nhi¶n ta câ nhªn x²t v· 9 d¤ng nghi»m trong ph¡t biºu cõa ành lþ. Nhªn x²t 2.3.3. Trong 9 d¤ng ð tr¶n, duy nh§t d¤ng 1 câ x(i) < b vîi måi i, t§t c£ c¡c d¤ng cán l¤i ·u câ x(i) ≥ b vîi i n o â. Trong qu¡ tr¼nh chùng minh ành lþ ng¨u nhi¶n, chóng ta quy ÷îc s³ sû döng mët sè k½ hi»u sau ¥y: - N¸u têng Fx + Fy + · · · + Fz câ trong ph÷ìng tr¼nh th¼ ta hiºu têng â b¬ng ho°c Fx , ho°c b¬ng Fx + Fx+d + Fx+2d + · · · + Fx+jd , vîi y = x + d, z = x + jd, d 6= x vîi j l  mët sè nguy¶n d÷ìng kh¡c khæng n o â. - Mët têng câ d¤ng Fx + Fy + · · · + Fz + Fu ÷ñc hiºu l  (Fx + Fy + · · · + Fz ) + Fu . - Mët têng câ d¤ng Fx + Fy + · · · + Fz + Fy + Fy + · · · + Fw ÷ñc hiºu l  (F2 + Fy + · · · + Fz ) + (Fy + Fy + · · · + Fw ) . Bê · 2.3.4. Vîi sè nguy¶n d÷ìng z tòy þ ta câ: a) Fz + Fz+1 + Fz+3 + Fz+5 + · · · + Fz+o = Fz+o+1. b) Fz − Fz−1 − Fz−3 − Fz−5 − · · · − Fz−o = Fz−o−1. trong â o l  1 sè nguy¶n d÷ìng l´ b§t k¼. Chùng minh. Biºu di¹n o = 2k + 1. Ta s³ chùng minh ph¦n a) bê · tr¶n b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo k . + Vîi k = 0 suy ra o = 1, ta câ Fz + Fz+o = Fz + Fz+1 = Fz+2 = Fz+o+1 . Suy ra bê · óng vîi k = 0. + Gi£ sû bê · l  óng vîi sè nguy¶n d÷ìng k , ngh¾a l  ta câ Fz + Fz+1 + Fz+3 + · · · + Fz+2k+1 = Fz+(2k+1)+1 . X²t têng: