Tài liệu Về phương trình hàm loại giá trị trung bình và áp dụng

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- BÙI THỊ DU VỀ PHƢƠNG TRÌNH HÀM LOẠI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- BÙI THỊ DU VỀ PHƢƠNG TRÌNH HÀM LOẠI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC (Xác nhận) TS. Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Mở đầu 2 Chương 1. Về phương trình hàm loại giá trị trung bình 5 1.1 Mở đầu về phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tổng quan về phương trình hàm loại giá trị trung bình . . 7 1.3 Phương trình hàm và định lý giá trị trung bình Cauchy . . 12 Chương 2. Về phương trình hàm nhiều biến loại giá trị trung bình 22 2.1 Định lý giá trị trung bình đối với hàm hai biến . . . . . . . 22 2.2 Phương trình hàm loại giá trị trung bình . . . . . . . . . . 23 2.3 Phương trình hàm loại giá trị trung bình suy rộng . . . . . 31 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 2 Mở đầu Chúng ta đều biết rằng môn Toán được coi là môn "thể thao trí tuệ" giúp người học có nhiều cơ hội rèn luyện, phát triển tư duy khi nghiên cứu những công thức giải toán độc đáo và mới mẻ. Trong nhiều năm qua, hầu hết các kỳ thi quan trọng như thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế,.... các bài toán liên quan đến phương trình, phương trình hàm chiếm một vị trí đáng kể. Phương trình hàm là bài toán được sử dụng và khai thác từ nhiều khía cạnh của Toán học. Về cơ bản, ở chương trình Toán phổ thông chỉ đi giải phương trình có nghiệm là số cụ thể, còn đối với phương trình mà nghiệm của nó là hàm toán học nào đó thì chưa được trình bày, loại phương trình này được gọi là phương trình hàm. Tuy nhiên, trong các khía cạnh của Toán ứng dụng, chẳng hạn như phương trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng thì nghiệm của nó chủ yếu là các hàm toán học. Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán, các bài toán về phương trình hàm luôn được khai thác, không chỉ vì dễ khai thác tính mới lạ của dạng toán, mà nó còn có nhiều ý nghĩa trong ứng dụng của Toán học hiện đại. Phương trình hàm loại giá trị trung bình thật đẹp từ nội dung đến các ứng dụng nhiều góc độ trong giải toán nên nó thu hút không ít sự quan tâm của người học cho đến những chuyên gia đầu ngành nghiên cứu về Toán một cách sâu sắc và toàn diện. Vì lí do đó chúng tôi đã chọn đề tài luận văn là "Về phương trình hàm loại giá trị trung bình và áp dụng". Nội dung của luận văn được chia thành hai chương, được tham khảo từ hai tài liệu chính là [10] và [12]. Các nội dung được tham khảo này đã được tác 3 giả cố gắng trình bày chi tiết hơn. Cụ thể trong Chương 1 của luận văn, tác giả trình bày sơ lược về phương trình hàm, tổng quan về phương trình hàm loại giá trị trung bình, mối quan hệ giữa phương trình hàm và định lý giá trị trung bình Cauchy. Trong Chương 2, tác giả trình bày về phương trình hàm hai biến, nội dung xoay quanh phương trình hàm hai biến liên quan tới định lý giá trị trung bình và một số kết quả mở rộng. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy cô trong Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, Khoa Toán –Tin. Với bản luận văn này, em mong muốn được góp một phần nhỏ công sức của mình vào việc gìn giữ và phát huy vẻ đẹp, sự hấp dẫn cho những định lý toán học vốn dĩ đã rất đẹp. Đây cũng là một cơ hội cho em gửi lời tri ân tới tập thể các thầy cô giảng viên của trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên nói chung và Khoa Toán – Tin nói riêng, đã truyền thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu trong thời gian em được là học viên của trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT An Lão, An Lão, Hải Phòng cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học; cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao học Toán K10B1 và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên. Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo chủ nhiệm lớp Toán K10B1, TS. Trần Xuân Quý đã luôn quan tâm ân cần chỉ bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình và góp ý sâu sắc cho em trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện đề tài. Chặng đường vừa qua sẽ là những kỉ niệm đáng nhớ và đầy ý nghĩa đối với các anh chị em học viên lớp K10B1 nói chung và với bản thân em nói riêng. Dấu ấn ấy hiển nhiên không thể thiếu sự hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương của cha mẹ hai bên và các anh chị em con cháu trong gia đình. Xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân yêu đã giúp đỡ, đồng hành cùng em trên chặng 4 đường vừa qua. Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 15 tháng 6 năm 2018 Học viên Bùi Thị Du 5 Chương 1 Về phương trình hàm loại giá trị trung bình 1.1 Mở đầu về phương trình hàm Việc nghiên cứu về hàm cộng tính có từ thời A.M. Legendre là người đầu tiên cố gắng tìm nghiệm của phương trình hàm Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ R. Việc nghiên cứu hệ thống phương trình hàm Cauchy cộng tính đã được khởi xướng bởi A.L. Cauchy trong cuốn sách của ông "Coursd d’Analyse" năm 1821. Các hàm cộng tính là các nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính. Đầu tiên ta phải làm rõ hàm cộng tính là gì? Sau đó ta bàn về phương trình hàm Cauchy cộng tính và chỉ ra rằng phương trình hàm cộng tính liên tục hoặc khả tích địa phương là tuyến tính. Ngoài ra ta nghiên cứu cách giải của phương trình hàm không tuyến tính không liên tục và chỉ ra chúng biểu diễn một phương diện khác: Các đồ thị của chúng là trù mật trên mặt phẳng. Các hàm cộng tính cũng được tìm thấy ở nhiều nơi trong các cuốn sách của Aczél (1966, 1987), Aczél và Dhombres (1989) và Smital (1988). Nghiệm tổng quát của nhiều phương trình hàm với hai hay nhiều biến có 6 thể chỉ ra trong nhiều số hạng của các hàm cộng tính, nhân tính, hàm logarit và hàm mũ. Một vài phần quan trọng của chương được tìm ra bởi Aczél (1965) và Wilansky (1967). Cho hàm f : R → R thỏa mãn phương trình f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1) với mọi x, y ∈ R. Phương trình hàm này đã được biết là phương trình hàm Cauchy. Phương trình hàm (1.1) được nghiên cứu đầu tiên bởi A.M. Legendre (1791) và C.F. Gauss (1809) nhưng A.L. Cauchy (1821) là người đầu tiên tìm ra nghiệm liên tục tổng quát của nó. Phương trình (1.1) có vị trí quan trọng trong toán học. Hàm f được gọi là cộng tính nếu thỏa mãn phương trình (1.1). Định lý 1.1.1. Cho f : R → R là liên tục và thỏa mãn phương trình (1.1). Khi đó f tuyến tính, nghĩa là f (x) = cx trong đó c là một hằng số tùy ý. Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng một hàm cộng tính nhận giá trị thực trên Rn có thể được biểu diễn như là tổng của n hàm cộng tính một biến. Phương trình (1.1) có thể được tổng quát như sau: Xét hàm số f : Rn → R thỏa mãn f (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ) = f (x1 , x2 , ..., xn ) + f (y1 , y2 , ..., yn ) với (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn và (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Xét trường hợp phương trình hàm cộng tính hai biến ta có khẳng định trong định lý sau đây. Định lý 1.1.2. Nếu f : R2 → R cộng tính trên R2 khi đó tồn tại các hàm cộng tính A1 , A2 : R → R sao cho f (x1 , x2 ) = A1 (x1 ) + A2 (x2 ) (1.2) với mọi x1 , x2 ∈ R. Phương trình hàm có dạng f (x) + f (y) x+y = f 2 2 ! (1.3) 7 với mọi x, y ∈ R được gọi là phương trình hàm Jensen. Hàm f thỏa mãn phương trình (1.3) được gọi là hàm Jensen. Định lý 1.1.3. Hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện phương trình hàm Jensen f (x) + f (y) x+y = f 2 2 ! (JE) với mọi x, y ∈ R nếu và chỉ nếu f (x) = A(x) + a (1.4) với A : R → R là một hàm cộng tính và a là một hằng số bất kì. 1.2 Tổng quan về phương trình hàm loại giá trị trung bình Trong mục này chúng tôi trình bày về phương trình hàm loại giá trị trung bình, tức là các vấn đề về phương trình hàm liên quan tới các định lý giá trị trung bình. Các kết quả trình bày trong mục này được lấy từ tài liệu [8, 10] của P. Kannappan và cộng sự. Định lý 1.2.1. Giả sử hàm f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Khi đó tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho f 0 (ξ) = f (b) − f (a) . b−a Phương trình tiếp tuyến tại điểm (ξ, f (ξ)) là y = (x − ξ)f 0 (ξ) + f (ξ). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (a, f (a)) và (b, f (b)) là f (b) − f (a)  y = (x − a) + f (a). b−a  Nếu đường thẳng này song song với tiếp tuyến tại ξ thì f 0 (ξ) = f (b) − f (a) . b−a 8 Đây là định lý giá trị trung bình Lagrange, một định lý có vai trò quan trọng trong phép tính vi phân. Định lý này được đưa ra bởi J. L. Lagrange (1736–1813). Nếu hàm f : R → R khả vi và [a, b] là đoạn bất kỳ, khi đó theo định lý giá trị trung bình tồn tại ξ ∈ (a, b) thỏa mãn f (b) − f (a) = f 0 (ξ(x, y)), b−a (1.5) với ξ(x, y là hàm phụ thuộc x, y. Câu hỏi đặt ra, là với hàm f như thế nào để giá trị trung bình ξ(x, y) phụ thuộc vào x, y thỏa mãn phương trình đã cho. Từ đẳng thức (1.5) xem như một phương trình hàm với f là hàm chưa biết và cho trước ξ(x, y). Hàm ξ(x, y) có thể là một hàm tổng quát, cũng có thể là một tổ hợp tuyến tính hoặc phi tuyến của x và y, chẳng hạn x+y , 2 √ ξ(x, y) = xy, ξ(x, y) = ξ(x, y) = v u p u p x t + yp . 2 (1.6) (1.7) (1.8) Trong phương trình (1.5) vế phải có thể được thay bằng hàm chưa biết, chẳng hạn hàm h, khi đó phương trình (1.5) trở thành f (x) − f (y) = h(ξ(x, y)). x−y (1.9) Nếu chọn ξ(x, y) = (x + y)/2, thì ta thu được phương trình hàm như sau x + y f (x) − f (y) = (x − y)h với mọi x, y ∈ R. 2  (1.10) Huruki (1979) và Aczél (1985) độc lập với nhau đã tìm ra nghiệm của phương trình hàm (1.10). Định lý 1.2.2. Cho f : R → R là hàm thỏa mãn x + y f (x) − f (y) = (x − y)h với mọi x, y ∈ R. 2  (1.11) Khi đó tồn tại a, b, c ∈ R sao cho f (x) = ax2 + bx + c và h(x) = 2ax + b. 9 Phương trình hàm (1.10) có thể viết lại như sau f (x) − f (y) = g(x + y) với g(x) := h(x/2). x−y (1.12) Nhận thấy rằng phương trình (1.12) chỉ thỏa mãn khi x 6= y. Nên để xét phương trình hàm trên R, ta xây dựng hàm tỉ sai phân như sau f [x, y] = f (x) − f (y) . x−y Khi đó, phương trình hàm (1.12) được biểu diễn như sau f [x, y] = g(x+y). Một cách tổng quát, ta thu được các phương trình hàm dạng sau f [x, y, z] = g(x + y + z), (1.13) f [x1 , x2 , . . . , xn ] = g(x1 + x2 + · · · xn ). (1.14) Ta trình bày định nghĩa sau. Định nghĩa 1.2.3. Cho n số thực phân biệt x1 , x2 , ..., xn , tỉ sai phân bậc n của hàm f : R → R được xác định truy hồi như sau f [x1 ] = f (x1 ) f [x1 , x2 , ..., xn ] = (1.15) f [x1 , x2 , ..., xn−1 ] − f [x2 , ..., xn ] , n > 2. x1 − xn (1.16) Từ Định nghĩa 1.2.3, ta có một số tính chất sau. Bổ đề 1.2.4. 1. Nếu f (x) = bx + c thì f [x, y, z] = 0. 2. Nếu f (x) = ax2 + bx + c thì f [x, y, z] = a. 3. f (x) = ax3 + bx2 + cx + d thì f [x, y, z] = a(x + y + z). 4. f [x1 , x2 , . . . , xn ] = n X f (xi ) . − xj ) Qn i=1 j6=i (xi Bài toán 1.1. Các hàm f, h : R → R thỏa mãn phương trình hàm f [x, y] = h(x + y), x 6= y, (1.17) 10 khi và chỉ khi f (x) = ax2 + bx + c và h(x) = ax + b, trong đó a, b, c là các số thực tùy ý. Lời giải. Từ định nghĩa tỉ sai phân của f , có thể viết lại như sau f (x) − f (y) = (x − y)h(x + y), x 6= y. (1.18) Nếu f thỏa mãn phương trình (1.18), thì f + b cũng thỏa mãn, với b là hằng số tùy ý. Vì vậy, không mất tính tổng quát ta giả sử f (0) = 0. Đặt y = 0 trong phương trình (1.18) ta có f (x) = xh(x). (1.19) xh(x) − yh(y) = (x − y)h(x + y). (1.20) Từ (1.18) ta có Ngược lại, nếu h thỏa mãn phương trình (1.20) thì h + c cũng thỏa mãn, với c là hằng số tùy ý. Giả sử h(0) = 0, đặt x = −y trong (1.20), ta được −yh(−y) = yh(y). (1.21) Do đó h là hàm lẻ, cho y = −y trong (1.20), ta có xh(x) − yh(y) = (x + y)h(x − y). (1.22) So sánh (1.22) và (1.20), ta có (x − y)h(x + y) = (x + y)h(x − y) (1.23) và thay u = x + y, v = x − y vào (1.23), ta được vh(u) = uh(v),∀u, v ∈ R . Do đó ta có h(u) = au. Nếu không có giả sử h(0) = 0 thì ta có h(u) = au+b, suy ra h(x) = ax + b, ∀x ∈ R. Từ (1.19) có f (x) = x(ax + b), nếu không có f (0) = 0 thì f (x) = ax2 + bx + c, x ∈ R. Như vậy ta có điều phải chứng minh. Từ bài toán trên ta có bài toán sau. 11 Bài toán 1.2. Hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm f (x) − f (y) = (x − y)f 0 x+y , x 6= y 2 ! khi và chỉ khi f (x) = ax2 + bx + c, với a, b, c là hằng số thực tùy ý. Bài toán 1.3. Tìm tất cả các hàm f, g : R → R thỏa mãn phương trình hàm sau f (x) − f (y) = (x − y) g(x) + g(y) 2 (1.24) với mọi x, y ∈ R. Bài toán 1.4. Tìm tất cả các hàm f, g : R → R thỏa mãn phương trình hàm sau xf (y) − yf (x) = (x − y)g(x + y) (1.25) với mọi x; y ∈ R. Bài toán 1.5. Tìm tất cả các hàm f, g : R → R thỏa mãn phương trình hàm sau √ f (x) − f (y) = (x − y)g( xy) (1.26) với mọi x, y ∈ (0; ∞). Kết quả sau được Kannappan, Sahoo và Jacobson công bố năm 1995. Kết quả này được chính nhóm tác giả này mở rộng cho hàm hai biến năm 1998, sẽ được trình bày trong Chương 2 của luận văn. Định lý 1.2.5. [Xem Định lý 1.2.3 trang 6 trong [4], Định lý 2.5 trang 44 trong [10]] Với các tham số thực s, t các hàm f, g, h : R → R thỏa mãn f (x) − g(y) = h(sx + ty) x−y (1.27) 12 với mọi x, y ∈ R, x 6= y khi và chỉ khi                    f (x) =                                      g (y) =                                       ax + b nếu s = 0 = t ax + b nếu s = 0, t 6= 0 ax + b nếu s 6= 0, t = 0 αtx2 + ax + b nếu s = t 6= 0 A(tx) t +b nếu s = −t 6= 0 βx + b nếu s2 6= t2 ay + b nếu s = 0 = t ay + b nếu s = 0, t 6= 0 ay + b nếu s 6= 0, t = 0 αty 2 + ay + b nếu s = t 6= 0 A(ty) t (1.29) nếu s = −t 6= 0 +b βy + b nếu s2 6= t2 tùy ý nếu s = 0 = t a nếu s = 0, t 6= 0 a nếu s 6= 0, t = 0 h (y) =  αy + a       (c −  A(y)   +   y   y      (1.28) nếu s = t 6= 0 b)t β (1.30) nếu s = −t 6= 0 nếu s2 6= t2 trong đó A : R → R là một hàm cộng tính và a, b, c, α, β là các hằng số thực tùy ý. 1.3 Phương trình hàm và định lý giá trị trung bình Cauchy Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày một số khẳng định về phương trình với định lý giá trị trung bình trong đó giá trị trung bình được xác định cụ thể trong miền xác định của hàm số và một số kết quả liên quan. 13 Cho hai hàm số khả vi F, G : R → R, khi đó theo định lý giá trị trung bình Cauchy ta có với bất kì [a, b] ⊂ R, a < b, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho [F (b) − F (a)] g(c) = [G(b) − G(a)]f (c). (1.31) Ở đây ta dùng ký hiệu f = F 0 và g = G0 . Trong trường hợp đặc biệt khẳng định (1.31) trở thành Định lý giá trị trung bình Lagrange khi chọn g(x) = x, tức là F (b) − F (a) = f (c)(b − a). (1.32) Bài toán 1. Tìm tất cả các cặp (F, G) các hàm khả vi F, G : R → R thỏa mãn phương trình sau [F (b) − F (a)] g(αa + βb) = [G(b) − G(a)]f (αa + βb). (1.33) với mọi a, b ∈ R, trong đó α, β ∈ (0, 1) với α + β = 1. Ở mục này, ta sẽ nghiên cứu phương trình hàm biểu thị mối quan hệ giữa các hàm F , G trong đó F, G : R → R là hàm khả vi 3 lần với đạo hàm của chúng F 0 = f, G0 = g thỏa mãn phương trình a+b a+b [F (b) − F (a)] g = [G(b) − G(a)]f 2 2 ! ! (1.34) với mọi a, b ∈ R. Trước tiên ta trình bày kết quả về Định lý giá trị trung bình Lagrange với giá trị không đổi. Với mọi c ∈ (a, b) có thể viết duy nhất như sau c = αa + βb với α, β ∈ (0, 1) thỏa mãn α + β = 1. Dễ thấy phương trình 1 (1.33) thỏa mãn với mọi a, b ∈ R với α cho trước và α 6= nếu hàm F 2 1 tuyến tính và với α = nếu F là một hàm bậc hai. Chúng tôi sẽ chứng 2 minh điều ngược lại vẫn đúng. Khẳng định đó được trình bày trong mệnh đề sau đây Mệnh đề 1.3.1. Cố định trước α ∈ (0, 1) và β = 1 − α. Giả sử hàm F : R → R khả vi liên tục và thỏa mãn phương trình sau F (b) − F (a) = f (αb + βa)(b − a) ∀a, b ∈ R với a < b. Khi đó ta có các khẳng định sau (1.35) 14 1. Nếu α 6= 1 thì F là một hàm tuyến tính; 2 2. Nếu α = 1 thì F là một hàm bậc hai. 2 Chứng minh. Đặt αb + βa = x và b − a = h. Theo phương trình (1.35) ta có F (x + βh) − F (x − αh) = f (x)h, ∀x ∈ R, h > 0. (1.36) Từ phương trình (1.35), thì f = F 0 là khả vi, biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của hai hàm khả vi, do đó hàm F có đạo hàm cấp 2. Bằng phép quy nạp, thì hàm F là khả vi vô hạn. Từ phương trình (1.36), lấy đạo hàm theo h, ta được βf (x + βh) + αf (x − αh) = f (x), x ∈ R, h > 0. (1.37) Ta lại lấy đạo hàm theo biến h từ phương trình (1.37) ta được β 2 f 0 (x + βh) − α2 f 0 (x − αh) = 0, x ∈ R, h > 0. Vì hàm f 0 liên tục, cho h & 0, ta được  β 2 − α2 f 0 (x) = (1 − 2α) f 0 (x) = 0, ∀x ∈ R.  1 Như vậy, Nếu α 6= , suy ra f 0 = 0. Hay f là hàm hằng và do đó hàm F 2 tuyến tính. 1 Nếu α = , thì phương trình (1.37) trở thành 2 h h f x+ +f x− = 2f (x), x ∈ R, h > 0. 2 2 ! ! và đạo hàm hai h ta được ! lần đối với ! h h f 00 x + + f 00 x − = 0, x ∈ R, h > 0. 2 2 Bây giờ cho h & 0, ta được f 00 = 0 ∀x ∈ R, vì vậy hàm f là tuyến tính hay F là hàm bậc hai. 15 Tiếp theo ta sẽ trình bày Định lý giá trị trung bình Cauchy với giá trị trung bình cho trước. Cho tập Uf := {x ∈ R : f (x) 6= 0}, Ug := {x ∈ R : g(x) 6= 0}, (1.38) và cùng phần bù của chúng Zf := R \ Uf và Zg := R \ Ug . Nếu Ug = ∅ thì G là hàm hằng trên R, do đó phương trình (1.33) là hiển nhiên với mọi hàm F khả vi. Hiển nhiên, nếu F là hàm hằng trên R, thì phương trình (1.33) cũng đúng với mọi hàm G khả vi. Vì vậy giả sử rằng Ug 6= ∅. Khi đó tồn tại dãy tập mở đôi một rời nhau {Iσ }σ∈P , Ug = [ P ⊂ N thỏa mãn (1.39) Iσ . σ∈Σ Mệnh đề 1.3.2. Nếu Ug 6= ∅ và Uf ∩ Ug = ∅, thì Uf = ∅, nghĩa là hàm f ≡ 0 trên R hay F là hàm hằng. Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại khoảng khác rỗng (p, q) ⊂ Ug sao cho g(x) 6= 0 trên (p, q), nhưng f (x) = 0 với mọi x ∈ [p, q]. Khi đó, bằng cách đổi biến h = b − a, x = αa + βb, từ phương trình (1.33) ta được F (x + αh) − F (x − βh) = 0 ∀x ∈ (p, q), h > 0. (1.40) Từ phương trình (1.40) ta thế cho x + αh bởi y với mọi x ∈ [p, q] và h > 0, ta được F (y) − F (y − h) = 0 nếu (h, y) ∈ L với L := {(h, y) : h > 0, p + αh < y < q + αh} . Khi đó, với y > p chọn h > 0 sao cho (h, y) ∈ L, ta có ∂ ∂ ∂ ∂ F (y) = F (y − h) = − F (y − h) = − F (y) = 0, ∂y ∂y ∂h ∂h p+q hay F (y) là hàm hằng, hay F (y) = F cho y > p. Từ phương trình 2 (1.40) ta có F (q + αh) = F (q − βh) và do đó F (y) cũng là một hàm hằng ! với mọi y < q. Vì vậy f (y) = 0 với mọi y ∈ R. 16 Mệnh đề 1.3.2 chứng tỏ rằng điều kiện Uf ∩ Ug = ∅ chỉ thỏa mãn nếu ít nhất một trong hai tập Uf và Ug là tập rỗng. Khi đó, ta có trường hợp đơn giản được mô tả trong phần đầu. Mệnh đề 1.3.3. Cho (F, G) là một nghiệm của Bài toán 1 thỏa mãn điều kiện Uf ∩ Ug 6= ∅ (1.41) và xét biểu diễn (1.39). Nếu F, G, 1 phụ thuộc tuyến tính như các hàm trên Iσ với mọi σ ∈ P , thì F, G, 1 phụ thuộc tuyến tính trên R. Chứng minh. Giả sử σ1 , σ2 ∈ , với σ1 6= σ2 , xét các khoảng Iσ1 := P (p1 , q1 ), Iσ2 := (p2 , q2 ) với p1 < q1 ≤ p2 < q2 , (1.42) và giả sử rằng {F, G, 1} phụ thuộc tuyến tính trên các khoảng Iσ1 và Iσ2 . Khi đó, tồn tại các hằng số A1 , A2 , B1 , B2 ∈ R thỏa mãn F (x) = A1 G(x) + B1 , x ∈ Iσ1 , (1.43) = A2 G(x) + B2 , x ∈ Iσ2 . (1.44) Bằng cách đổi biến h = b − a, x = αa + βb, từ phương trình (1.33) ta được [F (x + αh) − F (x − βh]g(x) = [G(x + αh) − G(x − βh)]f (x) với mọi x ∈ R và h > 0. Khi đó f (x) = A2 g(x) nếu x ∈ Iσ2 do thỏa mãn phương trình (1.44) và hàm g(x) 6= 0 với x ∈ Iσ2 , từ đó ta có F (x + αh) = A2 G(x + αh) + (A1 − A2 )G(x − βh) + B1 , (1.45) với mọi x ∈ Iσ2 , h > 0. Nếu đồng thời x − βh ∈ Iσ1 , thì F (x − βh) = A1 G(x − βh) + B1 do (1.43). Thay vào phương trình (1.45), ta được F (x + αh) = A2 G(x + αh) + (A1 + A2 )G(x − βh) + B1 (1.46) 17 với x ∈ Iσ2 , x − βh ∈ Iσ1 , h > 0. (1.47) Đặt y = x + αh, thì x − βh = y − h, và từ phương trình(1.47) suy ra (h, y) ∈ Π với Π xác định như sau Π := (h, y) : p2 + αh < y < q2 + αh, p1 + h < y < q1 + h. Vì β ∈ (0, 1) nên từ phương trình (1.42) suy ra Π 6= ∅, và từ phương trình (1.46) kéo theo F (y) = A2 G(y) + (A1 − A2 )G(y − h) + B1 , ∀(h, y) ∈ Π. Vì thế tại điểm bất kì của Π, ta có 0= ∂ F (y) = −(A1 − A2 )G0 (y − h) = (A2 − A1 )g(y − h). ∂h Nhưng y − h ∈ Iσ1 do (1.47), vì vậy g(y − h) 6= 0 và do đó A2 − A1 = 0. Vì σ1 , σ2 ∈ P (1.48) , kết hợp phương trình (1.48) cùng với (1.43) và (1.44) suy ra f (x) = Ag(x) với A ∈ R và mọi x ∈ Ug . (1.49) Mặt khác, bằng cách thay đổi vai trò của F và G trong phân tích trên, ta có g(x) = Kf (x) với K ∈ R và mọi x ∈ Uf . (1.50) Từ điều kiện (1.41) tồn tại x0 ∈ Ug ∩ Uf nên AK = 1 và các hệ số này khác không. Nhưng từ (1.49) kéo theo Ug ⊂ Uf và (1.50) có Uf ⊂ Ug ; vì vậy Ug = Uf và Zg = Zf . Tức là f (x) = Ag(x), g(x) = Kf (x) nếu x ∈ Zg = Zf . Vì vậy (1.49) và (1.50) thỏa mãn trên R = Uf ∪ Zf = Ug ∪ Zg . Đặc biệt, suy ra {F, G, 1} phụ thuộc tuyến tính trên R. 18 Trong phần này, chúng tôi xét trường hợp không đối xứng, tức là trong phương trình (1.33) chọn α, β ∈ (0, 1) với α 6= 1 và β = 1 − α. 2 (1.51) Khẳng định dưới đây chỉ ra mọi cặp (F, G) các hàm liên tục khả vi cấp hai thỏa mãn phương trình (1.33) và điều kiện (1.51) trên α, β trong khoảng đó mà g = G0 không biến mất. Mệnh đề 1.3.4. Cho cặp hàm (F, G) là nghiệm của Bài toán 1 với α, β thỏa mãn điều kiện (1.51) và I = (p, q), −∞ ≤ p < q ≤ +∞ là một khoảng mà ở đó đạo hàm g(x) không triệt tiêu. Khi đó, nếu F, G liên tục khả vi cấp hai trên I, thì {F, G, 1} phụ thuộc tuyến tính trên I. Chứng minh. Bằng cách đổi biến h = b − a, x = αa + βh, từ phương trình (1.33) ta được [F (x + αh) − F (x − βh)]g(x) = [G(x + αh) − G(x − βh)]f (x), (1.52) nếu x ∈ I và h > 0 sao cho x + αh, x − βh ∈ I. Điều kiện sau mà (1.52) thỏa mãn nếu (h, x) ∈ T với T xác định như sau T := (h, x) : 0 < h < q − p, p + βh < x < q − αh. (1.53) Lấy đạo hàm hai vế của phương trình (1.52) theo h, chúng ta có được mối quan hệ sau trong T [α2 f 0 (x + αh) − β 2 f 0 (x − βh)]g(x) = [α2 g 0 (x + αh) − β 2 g 0 (x − βh)]f (x). Vì tất cả các hàm là liên tục do đó khẳng định sau thỏa mãn trên T , đặc biệt trên khoảng h = 0, p < x < q. Vì vậy, với β 2 − α2 = 1 − 2α 6= 0 do điều kiện (1.51), ta có f 0 (x)g(x) = g 0 (x)f (x) với mọi x ∈ I = (p, q). Ta có thể chia cả hai vế cho g 2 (x) ta thu được (f /g)0 = 0 trên I. Điều này kéo theo f /g = A với hằng số A ∈ R nào đó, và F 0 (x) = f (x) = Ag(x) = AG0 (x), x ∈ I. Lấy tích phân ta được F (x) = AG(x) + B(x), x ∈ I.