Tài liệu Về phương trình hàm jensen tính ổn định và ứng dụng

.. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- HOÀNG THẾ ANH VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- HOÀNG THẾ ANH VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN XUÂN QUÝ THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn và sự hội tụ . . . . . . . . . 1.2 Không gian Banach và tiêu chuẩn hội tụ Cauchy . . 1.3 Hàm lồi, hàm cộng tính và một số kết quả . . . . . 3 3 5 7 Chương 2. Phương trình hàm Jensen và tính ổn định 10 2.1 Phương trình hàm Jensen . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Một số phương trình hàm liên quan . . . . 15 2.1.3 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . 17 2.2 Tính ổn định của phương trình hàm Jensen . . . . 19 2.2.1 Tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias . . . . . . 20 2.2.2 Sự ổn định trên miền giới hạn . . . . . . . . 25 2.2.3 Phương pháp điểm bất động . . . . . . . . . 32 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 ii Bảng ký hiệu N Q R R+ C R2 K KN X N RN (−c, c)N |u| kuk E1 E, E2 (JE) J J-lõm J-lồi tập hợp các số tự nhiên tập hợp các số hữu tỉ tập hợp các số thực tập hợp các số thực dương tập hợp các số phức tập hợp các cặp (x, y) số thực tập R hoặc tập C tập RN hoặc tập CN không gian định chuẩn hoặc không gian Banach số nguyên dương N tập hợp các bộ số thực (x1 , ..., xN ) tập hợp các bộ số (x1 , ..., xN ) trong khoảng (−c, c) giá trị tuyệt đối của số thực u hoặc module của số phức u chuẩn của u không gian định chuẩn thực không gian Bannach thực phương trình hàm Jensen hàm Jensen hàm Jensen lõm hàm Jensen lồi 1 Mở đầu Phương trình hàm là một nhánh của Toán học hiện đại, từ năm 1747 đến 1750 nhà toán học J. D’Alembert đã công bố 3 bài báo liên quan về phương trình hàm, đây được xem là các kết quả đầu tiên về phương trình hàm. Nhiều nhà toán học (tiêu biểu: N.H. Abel, J. Bolyai, A.L. Cauchy, J. D’Alembert, L. Euler, M. Fréchet, C.F. Gauss, J.L.W.V. Jensen, A.N. Kolmogorov, N.I. Lobacevskii, J.V. Pexider, và S.D. Poisson) đã tiếp cận phương trình hàm theo các mục tiêu nghiên cứu khác nhau, như nghiên cứu định tính (xác định một số đặc trưng cơ bản của hàm số) hoặc nghiên cứu định lượng (ước lượng nghiệm, số nghiệm hay dạng cụ thể của nghiệm), nghiên cứu nghiệm địa phương hoặc nghiệm toàn cục, nghiên cứu nghiệm liên tục hay nghiệm có tính gián đoạn,... Dựa vào các phương pháp tiếp cận đó, luận văn đã được hoàn thành với tên đề tài là: Về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng. Nội dung luận văn sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng. Các kết quả này được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1] và một số tài liệu liên quan. Ngoài mục lục, lời nói đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong 2 chương. Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này luận văn trình bày một số kiến thức về không gian định chuẩn và sự hội tụ, không gian Banach và tiêu chuẩn hội 2 tụ Cauchy, về hàm lồi, hàm cộng tính và một số kết quả. Chương 2. Phương trình hàm Jensen và tính ổn định Ở chương này luận văn trình bày về phương trình hàm Jensen, cách tìm nghiệm của phương trình hàm Jensen xác định trên trường số thực và chỉ ra nghiệm liên tục của nó là affine. Sau đó, nghiên cứu nghiệm liên tục của phương trình hàm Jensen trên khoảng đóng và bị chặn. Tiếp theo, nghiên cứu nghiệm của phương trình hàm kiểu Jensen liên hệ từ bất đẳng thức Popoviciu và một số bài tập áp dụng. Và cuối cùng, luận văn trình bày tính ổn định của phương trình hàm Jensen trong đó có tính ổn định Hyers-UlamRassias, sự ổn định trên miền giới hạn và phương pháp điểm bất động. Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin gửi cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán Tin và Phòng Đào tạo của trường. Trân trọng cảm ơn các Thầy, Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất trong quá trình học tập. Đặc biệt, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành đến TS. Trần Xuân Quý, người Thầy đã hướng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn này. Mặc dù rất bận rộn trong công việc nhưng Thầy vẫn dành nhiều thời gian và tâm huyết trong việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện đề tài. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, những người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Thái Nguyên, ngày 05 tháng 5 năm 2017 Tác giả luận văn Học viên. Hoàng Thế Anh 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Với mục tiêu tìm hiểu về phương trình hàm Jensen, tính ổn định và ứng dụng, trong chương này luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian định chuẩn và sự hội tụ, không gian Banach và tiêu chuẩn hội tụ Cauchy, về hàm lồi, hàm cộng tính và một số kết quả. 1.1 Không gian định chuẩn và sự hội tụ Đặt K := R hoặc K := C. Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian véc tơ trên trường K. Khi đó, X được gọi là một không gian định chuẩn trên K nếu và chỉ nếu tồn tại một chuẩn k·k trên X, nghĩa là với mọi u, v ∈ X và α ∈ K, ta có các khẳng định sau: (i) kuk ≥ 0 (tức là kuk là một số thực không âm); (ii) kuk = 0 nếu u = 0; (iii) kαuk = |α| kuk; (iv) ku + vk = kuk + kvk . 4 Không gian định chuẩn tương ứng trên K = R hoặc K = C được gọi là không gian định chuẩn thực hoặc phức. Số ku − vk được gọi là khoảng cách giữa 2 điểm u và v. Đặc biệt, kuk là khoảng cách giữa điểm u và điểm gốc v = 0. Vì −u = (−1)u, nên từ (iii) của định nghĩa trên ta có k−uk = kuk với mọi u ∈ X. Từ (iv) ta có k(u + v) − wk ≤ ku + vk+kwk ≤ kuk+kvk+kwk . P N P N kuj k với mọi Tổng quát, bằng quy nạp ta có uj ≤ j=1 j=1 u1 , ..., uN ∈ X, N = 1, 2, ... Ví dụ 1.1.2. Cho X := R. Ta đặt kuk := |u| với mọi u ∈ R, với |u| là một giá trị tuyệt đối của u. Khi đó, X = R được gọi là một không gian định chuẩn thực. Ví dụ 1.1.3. Cho X := C. Ta đặt kuk := |u| với mọi u ∈ C, với |u| là một module của số phức u. Khi đó, X được gọi là một không gian định chuẩn phức. Mệnh đề 1.1.4. Cho X là một không gian định chuẩn. Khi đó, với mọi u, v ∈ X, ta có bất đẳng thức sau |kuk − kvk| ≤ ku ± vk ≤ kuk + kvk . Định nghĩa 1.1.5. Cho (un ) là một dãy trong không gian định chuẩn X, tức là, un ∈ X với mọi n. Ký hiệu lim un = u n→∞ nếu lim kun − uk = 0. n→∞ Ta nói rằng giới hạn của dãy (un ) hội tụ về u. Ta cũng có thể ký hiệu un → u khi n → ∞. 5 Mệnh đề 1.1.6. Cho X là một không gian định chuẩn trên K. Cho un , vn , u, v ∈ X và αn , α ∈ K với mọi n = 1, 2, ... Khi đó ta có các khẳng định sau (i) Nếu tồn tại giới hạn lim un , thì giới hạn đó là duy nhất. n→∞ (ii) Nếu un → u khi n → ∞, thì (un ) là bị chặn, nghĩa là tồn tại một số r ≥ 0 thỏa mãn kun k ≤ r với mọi n. (iii) Nếu un → u khi n → ∞, thì kun k → kuk khi n → ∞. (iv) Nếu un → u và vn → v khi n → ∞ thì un + vn → u + v khi n → ∞. (v) Nếu un → u và αn → α khi n → ∞ thì αn un → αu khi n → ∞. Định nghĩa 1.1.7. Dãy (un ) trên không gian định chuẩn X gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại số n0 (ε) thỏa mãn kun − um k < ε với mọi n, m ≥ n0 (ε). Mệnh đề 1.1.8. Trong không gian định chuẩn, mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy. 1.2 Không gian Banach và tiêu chuẩn hội tụ Cauchy Định nghĩa 1.2.1. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu và chỉ nếu mọi dãy Cauchy của nó đều hội tụ. Ví dụ 1.2.2. Không gian X := K là không gian Banach trên K với chuẩn kuk := |u| với mọi u ∈ K. 6 Ví dụ 1.2.3. Với N = 1, 2, .... Không gian X := KN là không gian Banach trên K với chuẩn kxk := |x|∞ , trong đó |x|∞ := max |ξj | , 1≤j≤N với x = (ξ1,..., ξN ) . Xét xn = (ξ1n,..., ξN n ) . Khi đó lim |xn − x|∞ = 0 nếu lim ξkn = ξk với mọi k = 1, ..., N . n→∞ n→∞ Ví dụ 1.2.4. Với N = 1, 2, .... Không gian X := KN là không gian Banach với chuẩn Euclide k·k, với  kxk :=  N X  21 ξj2  , j=1 trong đó x = (ξ1,..., ξN ) . Ngoài ra lim |xn − x| = 0 nếu lim ξkn = ξk với mọi k = 1, ..., N. n→∞ n→∞ Ví dụ 1.2.5. Với −∞ < a < b < +∞. Khi đó, X := C[a, b] là không gian Banach với chuẩn kuk := max |u(x)| . a≤x≤b Sự hội tụ un → x khi n → ∞ trong X, hay được hiểu là kun − uk = max |un (x) − u(x)| → 0 a≤x≤b khi n → ∞. Mệnh đề 1.2.6. Cho (un ) là dãy Cauchy trong không gian định chuẩn X. Dãy (un ) chứa một dãy con (unk ) hội tụ tới u. Khi đó dãy (un ) cũng hội tụ tới u. 7 1.3 Hàm lồi, hàm cộng tính và một số kết quả Hàm f : R → R được gọi là một hàm lồi nếu và chỉ nếu thỏa mãn  x + y  f (x) + f (y) f 6 (1.1) 2 2 với mọi x, y ∈ R.(xem hình vẽ dưới đây). Hàm lồi lần đầu tiên được giới thiệu bởi J.L.W.V.Jensen năm 1905, mặc dù hàm số thỏa mãn điều kiện (1.1) đã được nghiên cứu bởi Hadamard (1893) và Holder (1889). Ví dụ. Một số ví dụ về hàm lồi (a) f (x) = ax + b trên R với mọi a, b ∈ R. (b) f (x) = x2 trên R. (c) f (x) = eαx trên R với mọi α ≥ 1 hoặc α ≤ 0. (d) f (x) = |x| trên R với mọi α ≥ 1. (e) f (x) = x log x trên R+ .  π (f) f (x) = tan x trên 0, 2 . 8 Tổng hữu hạn các hàm lồi là một hàm lồi. Tuy nhiên, tích các hàm lồi chưa chắc lồi. Ví dụ, f (x) = x2 và g(x) = ex là một hàm lồi trên R nhưng tích của chúng h(x) = x2 ex không phải là hàm lồi trên R. Một hàm A : X → Y được gọi là hàm cộng tính nếu A(x + y) = A(x) + A(y) với mọi x, y ∈ X. Nếu A : R → R là một hàm cộng tính, thì A là một hàm lồi. Nếu A : R → R là một hàm cộng tính và f : R → R là một hàm lồi thì hàm hợp f (A(x)) cũng là hàm lồi. Định lý 1.3.1. Cho X, Y là các không gian Banach. Hàm f : X → Y thỏa mãn kf (x + y) − f (x) − f (y)k 6 σ với σ > 0 và với mọi x, y ∈ X. Khi đó giới hạn Ax = lim 2−n f (2n x) n→∞ tồn tại với mỗi x ∈ X và A : X → Y là hàm cộng tính duy nhất thỏa mãn kf (x) − A(x)k 6 σ với mọi x ∈ X. Ngoài ra, nếu f (tx) liên tục theo t với mỗi x ∈ X cố định, thì A tuyến tính. Định lý 1.3.2. Cho X, Y là các không gian Banach. Hàm f : X → Y thỏa mãn kf (x + y) − f (x) − f (y)k 6 σ(kxkp + kykp ) 9 với σ > 0, p ∈ [0, 1) và với mọi x, y ∈ X. Khi đó tồn tại duy nhất hàm cộng tính A : X → Y thỏa mãn kf (x) − A(x)k 6 2σ kxkp p 2−2 với mọi x ∈ X. Ngoài ra, nếu f (tx) liên tục theo t với mỗi x ∈ X cố định, thì A tuyến tính. Bổ đề 1.3.3. Cho X là không gian Banach và N là số nguyên dương. Cho trước c > 0, xét hàm f : (−c, c)N → X thỏa mãn bất đẳng thức kf (x + y) − f (x) − f (y)k 6 σ với mỗi σ > 0 và với mọi x, y ∈ (−c, c)N với x + y ∈ (−c, c)N . Khi đó tồn tại hàm cộng tính A : RN → X thỏa mãn kf (x) − A(x)k 6 (5N − 1)σ với mọi x ∈ (−c, c)N . Định lý 1.3.4. Cho X là không gian Banach. Giả sử A : X → X là toán tử co chặt với hằng số Lipschitz L < 1. Nếu tồn tại số nguyên không âm n sao cho kAn0 +1 x − An0 xk < ∞ với mỗi x ∈ X thì có các khẳng định sau: (i) Dãy (An x) hội tụ tới điểm bất động x∗ của A; (ii) x∗ là điểm bất động duy nhất của A trong X ∗ = {y ∈ X : kAn0 x − yk < ∞}; (iii) Nếu y ∈ X ∗ thì ky − x∗ k 6 1 kAy − yk. 1−L Nhận xét, kết quả Định lý 1.3.4 đúng cho không gian metric đầy đủ. 10 Chương 2 Phương trình hàm Jensen và tính ổn định Trong chương này, đầu tiên ta tìm hiểu về phương trình hàm Jensen, nghiệm tổng quát của phương trình hàm Jensen trên tập số thực. Chúng ta cũng tìm nghiệm liên tục của phương trình hàm Jensen trên khoảng đóng và bị chặn [a,b]. Đồng thời, chúng ta đi nghiên cứu nghiệm của một phương trình hàm kiểu Jensen liên hệ từ bất đẳng thức Popoviciu và một số bài tập áp dụng. Các kết quả và bài tập áp dụng được trích dẫn từ tài liệu [6]. Cuối cùng là nghiên cứu về tính ổn định của phương trình hàm Jensen cụ thể là tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias, sự ổn định trên miền giới hạn và phương pháp điểm bất động. Các kết quả được trích dẫn từ các tài liệu [7, 10, 11]. 2.1 2.1.1 Phương trình hàm Jensen Định nghĩa và ví dụ Phương trình hàm có dạng  x + y  f (x) + f (y) f = 2 2 với mọi x, y ∈ R được gọi là phương trình hàm Jensen. 11 Định nghĩa 2.1.1. Một hàm f : R → R được gọi là hàm Jensen nếu nó thỏa mãn  x + y  f (x) + f (y) f = , với mọi x, y ∈ R. 2 2 Định nghĩa 2.1.2. Một hàm f : R → R được gọi là affine nếu nó có dạng f (x) = ax + b với a, b là các hằng số tùy ý. Định lý 2.1.3. Hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện phương trình hàm Jensen  x + y  f (x) + f (y) f = (JE) 2 2 với mọi x, y ∈ R nếu và chỉ nếu f (x) = A(x) + a (2.1) với A : R → R là một hàm cộng tính và a là một hằng số bất kì. Chứng minh. Dễ dàng thấy (2.1) thỏa mãn phương trình hàm Jensen(JE). Thay y = 0 và phương trình (JE), ta được  x  f (x) a f + , với a = f (0). (2.2) = 2 2 2 Dễ dàng nhận thấy f (x + y) + a f (x) + f (y) = 2 2 suy ra f (x + y) + a = f (x) + f (y). (2.3) Cho A : R → R là một hàm số xác định bởi A(x) = f (x) − a (2.4) 12 Từ phương trình (2.3), ta suy ra A(x + y) = A(x) + A(y) hay A là hàm cộng tính. Do đó ta suy ra f (x) = A(x) + a với A : R → R là một hàm cộng tính. Định lý 2.1.4. Mọi phương trình hàm Jensen liên tục đều affine. Định nghĩa 2.1.5. Với m và n là hai số nguyên dương. Số hữu m tỉ có dạng n được gọi là một số hữu tỉ nhị nguyên (dyadic). 2 Định lý 2.1.6. Nghiệm liên tục của  x + y  f (x) + f (y) f = 2 2 (JE) với mọi x, y ∈ [a, b] được cho bởi f (x) = α + βx (2.5) với α, β là các hằng số tùy ý. Chứng minh. Xét hàm số F : [0, 1] −→ R xác định như sau F (y) = f ((b − a)y + a), y ∈ [0, 1]. Ta chứng minh F thỏa mãn (JE). Thật vậy, từ x + y   y + x  = f (b − a) +a F 2 2   [(b − a)x + a)] + [(b − a)y + a)] =f 2 f ((b − a)x + a) + ((b − a)y + a) = 2 F (x) + F (y) = , ∀x, y ∈ [0, 1]. 2 (2.6) 13 suy ra F thỏa mãn phương trình hàm Jensen trên [0,1]. Thay x = 0 và y = 1 vào (JE), ta được   1 F (0) + F (1) c + d 1 F = = = c + (d − c), 2 2 2 2 1 với c = F (0) và d = F (1). Tương tự, thay x = 0 và y = vào 2 (JE), ta được
  1 F (0) + F 2 c + c + 21 (d − c) 1 1 F = = = c + (d − c). 4 2 2 4 Thay x = 1 và y = 1 vào (JE), ta được 2
  F 12 + F (1) 3 3 = = c + (d − c). F 4 2 4 Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng nếu x là số thực bất kỳ có dạng m với m, k là các số nguyên dương thỏa mãn 0 ≤ m ≤ 2k , thì k 2 F (x) = c + x(d − c). (2.7) Chúng ta tiếp tục sử dụng quy nạp với k. Ta đã chỉ ra khẳng định đúng với k = 1, 2. Giả sử (2.7) đúng với k = n. Ta xét hai trường hợp sau: 2m . 2n+1 2m + 1 Trường hợp b) x = n+1 . 2 Trường hợp a) x = a) Ta có   m 2m m 2m F = F = c + (d − c) = c + (d − c), 2n+1 2n 2n 2n+1 14 b) Ta có     2m + 1 1 m m+1 F =F + 2n+1 2 2n  2n  m m+1 F n +F 2 2n = 2   1 m m+1 = c + n (d − c) + c + (d − c) 2 2 2n m+1 = c + n+1 (d − c). 2 Vậy (2.7) thỏa mãn tất cả các giá trị của x trong khoảng [0,1]. Do đó F liên tục và tập tất cả các số hữu tỉ dyadic trong [0, 1] là trù mật trên [0, 1], ta có F (x) = c + x(d − c) với mọi x ∈ [0, 1]. Hay f (x) = α + βx, với α, β là các hằng số tùy ý. Chú ý 2.1.7. Ta thấy rằng trong chứng minh định lý trên, hàm F xác định bởi F (x) = f ((b − a)x + a) thỏa mãn phương trình hàm Jensen trên đoạn [0, 1]. Theo chứng minh của Định lí (JE), thì hàm số F (x) = A(x) + α, với A : [0, 1] → R là hàm cộng tính và α là hằng số tùy ý. Như vậy, theo kết quả về phương trình hàm Cauchy, F có thể mở rộng từ [0, 1] tới R. Vì vậy, nghiệm tổng quát f : [a, b] → R của phương trình hàm Jensen có thể cho bởi f (x) = A (x − a) + α, (b − a) với A : R → R là hàm cộng tính. Vì vậy, ta có định lí sau. 15 Định lý 2.1.8. Nghiệm tổng quát của phương trình  x + y  f (x) + f (y) f = 2 2 với mọi x, y ∈ [a, b] cho bởi hàm số   x−a + α, f (x) = A b−a (2.8) với α là một hằng số bất kì và A : R → R là một hàm cộng tính. 2.1.2 Một số phương trình hàm liên quan Popoviciu (1965) chứng minh rằng nếu I là một khoảng khác rỗng  xvà+fy :+I z→  R là một hàm lồi, thì f thỏa mãn bất đẳng thức 3f + f (x) + f (y) + f (z) 3 h x + y  y + z   z + x i ≥2 f +f +f 2 2 2 với mọi x, y, z ∈ I. Nếu ta thay bất đẳng thức trên bằng đẳng thức, ta được một phương trình hàm kiểu Jensen. Trong phần này, mục tiêu là xác định nghiệm tổng quát của phương trình hàm kiểu Jensen, là tìm nghiệm tổng quát của phương trình,  x +tức y + z 3f + f (x) + f (y) + f (z) 3 h x + y  y + z   z + x i =2 f +f +f (2.9) 2 2 2 với mọi x, y, z ∈ R. Trong Định lý 2.1.9 nghiệm tổng quát của phương trình hàm (2.9) được xây dựng bởi Trif (2000). Định lý 2.1.9. Hàm số f : R → R thỏa mãn phương trình hàm (2.9) với mọi x, y, z ∈ R nếu và chỉ nếu f (x) = A(x) + b (2.10) 16 với mọi x ∈ R, với A : R → R là một hàm cộng tính và b là một số thực tùy ý. Chứng minh. Dễ dàng ta thấy được nếu f có dạng (2.10), thì f là nghiệm của phương trình hàm (2.9). Ta sẽ chứng minh điều ngược lại. Nghĩa là, mọi nghiệm của (2.9) đều có dạng (2.10). Trước tiên, ta xác định một hàm số A : R → R xác định bởi A(x) = f (x) − b (2.11) với mọi x ∈ R, tại b = f (0). Khi đó A(0) = 0 và hàm số A thỏa x+y+z mãn 3A + A (x) + A (y) + A (z) 3 h x + y  y + z   z + x i =2 A +A +A 2 2 2 (2.12) với mọi x, y, z ∈ R. Thay y = x và z = −2x vào (2.9) ta được  x A(−2x) = 4A − với mọi x ∈ R. (2.13) 2 Thay x bằng −x vào (2.13), ta được A(2x) = 4A x 2 (2.14) với mọi x ∈ R. Lại thay x bằng 2x vào (2.14), ta được A(4x) = 4A(x) (2.15) với mọi x ∈ R. Đặt y = z = 0 thay vào (2.12) và kết hợp với (2.14), ta được x = A (2x) − A (x) (2.16) 3A 3 với mọi x ∈ R. Thay y = x và z = 0 vào (2.12) và kết hợp với (2.16), ta được x A(4x) = A(2x) − 4A (2.17) 2